河海大学2017数值分析真题

河海大学2017-2018学年第一学期硕士研究生

《数值分析》试题(A)

任课教师姓名

姓名 专业 学号 成绩

一、填空题（每空2分，共30分）：

1、圆周率π的近似值取为141592.3，其有效数字是 位．

2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）=]3,2,1,0[f ，=]4,3,2,1,0[f ．

3、积分⎰+=1

0121dx x I ，用梯形公式计算得 ，用辛普生公式计算

得 (保留四位小数)．

4、已知：⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=1327A ，则=F A ， =1)(A cond ．

5、求解非线性方程)(x f x =根的牛顿法迭代公式为： ．

6、已知矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=8231A ，取初始向量T v )1,1(0=，用规范化的幂法迭代3次，求得矩阵 A 的主特征值近似为 ，相应的特征向量近似为 ．

7、用改进欧拉(Euler)法解初值问题20

1='⎧=⎪⎨=⎪⎩x y y y ，取步长0.1=h ，则1=y （保留四位小数）．

8、牛顿－柯特斯 (Cotes Newton -)数值求积公式

)()()(50

0)50(k k k b a x f C a b dx x f ∑⎰=-≈ 至少具有 次代数精度，并且

=∑=500)50(k k C ．

9、设)5,4,3,2,1,0(=j x j 为互异节点，)(x l j 为对应的5次Lagrange 插值基函数，则=-∑=505

)2(j j

j l x ，=+-+∑=50245)()235(j j j j j x l x x x ．

二、（本题8分）确定求积公式

)()0()()(0011x Af Bf x Af dx x f ++-≈⎰

- 中待定参数B A ,和0x 的值，使公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度．

三、（本题9分）在区间]1,0[上给定函数x e x f =)(，求其在},,1{span 2x x =Φ上关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式．

四、（本题9分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1256144412A ，

（1）求矩阵A 的Doolittle 分解，即分解成LU A =的形式，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；

（2）利用上述分解求解方程组b Ax =，其中T T b x x x x )8,1,2(,

),,(321--==.

五、（本题9分）已知)(x f 在节点6,3,2,1的函数表： 37

2212)(6321----i i x f x （1）求差商表；（2）写出三次牛顿(Newton)插值多项式)(3x N ；（3）利用上述插值多项式)(3x N 计算)4(f 的近似值，并写出插值余项．

六、（本题9分）已知线性方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=+--=++=++3322235212321321321x x x x x x x x x ，

（1）写出求此方程组的高斯—赛德尔(Gauss —Seidel)迭代格式；

（2）讨论高斯—赛德尔(Gauss —Seidel)迭代格式的收敛性．

七、（本题9分）解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=∈='0

00)(],[),,(y x y b x x y x f y 的一个隐式单步法：

[]),()1(),(111+++-++=n n n n n n y x f y x f h y y αα，

（1）求参数α，使公式的局部截断误差的阶数达到最高；（2）求其绝对稳定区域和绝对稳定区间．

八、（本题8分）已知n n R A ⨯∈，I 为n 阶单位阵，⋅为矩阵的某个算子范数，且1

证明：A I +可逆，且A

A I -<+-11)(1．

九、（本题9分）用龙贝格算法计算积分⎰+=1

01

x dx I （要求二分三次）.