河海大学2017数值分析真题
河海大学 硕士2002级数值分析考试试题1
硕士2002级数值分析考试试题2003年1月12日专业 学号 姓名一、（14分）已知x ex f -=)(的下列数据（1） 用抛物插值计算2.0-e 的近似值，已知2.0-e 的精确值为0.81873075……,指出抛物插值所得近似值的有效数字的位数；（2） 试求x ex f -=)(的二次Newton 插值多项式。
二、（10分）求211)(xx f +=在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
三、（14分）（1） 写出数值积分梯形法的步长逐次分半算法（梯形法的递推化公式），并用Romberg 算法计算dx x⎰311的近似值（要求二分3次，结果保留五位小数）；（2） 确定参数a ，使求积公式)](')0('[121)]()0([)(20h f f h h f f ah dx x f h-++≈⎰ 的代数精度尽量高，并指出构造出的求积公式所具有的代数精度。
四、（14分）（1） 用Gauss 列主元消去法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++-6557710462332121321x x x x x x x x （2） 用追赶法求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛19158341131121114321x x x x五、（12分）（1） 设A 为对称正定阵，其最大特征值为1λ，证明当α满足0<α<12λ时，迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α收敛；（2） 给定线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x 建立收敛的Jacobi 和Gauss-seidel 迭代公式，并指出该迭代公式收敛的理由。
六、（12分）（1） 应用Newton 法于方程03=-a x 导出求3a 的迭代格式；（2） 讨论该迭代格式的局部收敛性及收敛阶；（3） 取初值x 0=12，用Newton 迭代法求32003的近似值，要求迭代两步，并指出该近似值有几位有效数字。
河海大学研究生数值分析复习题
一 填空
1. 已知f (1) 1.0, f (2) 1.2, f (3) 1.3，则用抛物线公式 计算求得 f ( x )dx _____，用复合梯形公式计算求得
1 3
3
1
f ( x )dx _____。
2. 设 f ( x )可微，求方程x f ( x )的牛顿迭代公式是______。
9. 设li ( x )( i 0,1, , n)是插值基函数，x0 , x1 , , xn为两 两互异的节点，则 li ( x ) ___, xi4 l i (3) ___ 。
i 0 i 0 n n
10. 若迭代公式xk 1
2 1 xk 2 . 设f ( x ) x 3 +x 1, 则差商f [0,1, 2, 3] __, f [0,1, 2, 3, 4] __。
4. 解常微分方程的四阶龙格库塔公式的局部 截断误差为O(h p ),则p ______ 。
5. 已知函数表 x f ( x) 3.2 3.4 3.6 3.8 0 2 4 10
九、已知方程
x3 x 1 0 在1.5附近有根，把方程写成三
种不同的等价形式(1) x 3 1+x (2) x x3 1 ； 1 (3) x 2 。 试建立相应的简单迭代格式 ，并判断迭代 x 1 格式在 x0 1.5 附近的收敛性。
用三点公式计算f (3.6) ______ 。
2 1 6. A ,则其谱半径为 ______ 。 1 2
7. 数值求解积分的梯形公式具有_____次代数精度， 辛甫生公式具有_____次代数精度。
8. n 1个求积节点的插值型求积公式的代数精度至少为 _____ 次。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
《数值分析》所有参考答案
等价三角方程组
， ，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
， ， ，
16.已知 ，求 ， ， 。
解：
, ,
17.设 。证明
，(II)
，
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
， ， ，
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当 时， ，
1 2
当 时
，
，
， ，
1)
迭代格式 ，
,
当 时， ，
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当 时存在 使得
，
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 ， ， 及 ， 。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
， 使得
对一切 均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
《高等数学》 2016-2017学年第一学期期末试卷A卷
河海大学2016—2017学年第一学期 《高等数学》 期末试卷（A ）一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数xxx f g x x f -+=-=-11))((,1)2(，则)3(g 等于（ A ）。
A ．3- B ．2- C ．0 D ．1 2．设x x x x y ++-=，则y 是x 的（ A ）阶无穷小。
A ．81B ．41C ．21D ．13．点0=x 是函数xe xf 111)(+=的（ C ）。
A ．振荡间断点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．无穷间断点 4．下列条件中,（ C ）是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件。
A ．hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在 B ．)(lim 0x f x x '→存在C ．)(x f 在0x 处可微D ．)(x f 在0x 处连续 5．设)(u f 可微,则)(sin x f y =的微分=dy （ B ）。
A ．dx x f )(sin 'B ．xdx x f cos )(sin 'C ．()x d x f sin )(sin 'D ．xdx x f sin )(sin '二、填空题（每小题3分，共15分）： 1. 函数[]x x y -=的最小正周期是1。
2．设)0(003cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤+=a x x a x a x x xx f ,当=a 49时, 0=x 是)(x f的连续点。
3．⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim )(2nx nx x f n 的间断点是=x ,且是第二类间断点。
4．设12)(-=x e x f ，则()=)0(2008f 120082-e 。
5．设方程0arctan =+-y y x 确定的函数)(x y y =,求=dxdy221y y +。
三、（6分）叙述∞=→)(lim 0x f x 的定义,并用定义证明定义∞=+→xx x 12lim0。
《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷
吉林大学《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()(1212)x x x εεε−=−x B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εε=+ε D. ()()22x x x εε=2. 步长为的等距节点的插值型求积公式，当h 2n =时的牛顿－科茨求积公式为（ ） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦∫B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ D ．()()3442bah b a a b f x dx f a f a f f a ⎡−+⎛⎞⎛⎞⎛≈+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦∫4b a −⎤⎞⎟⎠3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．＝0， B ． ()00l x ()110l x =()00l x ＝0，()111l x = C ．＝1，()00l x ()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程在区间()0f x =[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是（ ） n ≥ A ．ln()ln 1ln 2b a ε−++ B.ln()ln 1ln 2b a ε−+− C. ln()ln 1ln 2b a ε−−+ D.ln()ln 1ln 2b a ε−−− 5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ ）A ． B.123123123104025261x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩123123123315226x x x x x x x x x −+=⎧⎪01−−+=⎨⎪++=−⎩ C. D.12312312322526x x x x x x x x x −+=⎧⎪−−+=⎨⎪++=⎩01012312312310402501x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 数x ∗＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是 。
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析习题参考答案1
部分习题参考答案习题一1. 分别有3位、5位与4位有效数字2. 分别有５位、3位、4位与３位有效数字3. 有３位有效数字; 绝对误差为 －０、0012;相对误差-０、0005570514. (1) (2）(3)６、提示:注意字长为８位得计算机上得机器数系得特点与计算机对数得接收与运算处理。
7、提示:通过证明进行说明,这里 8、,不稳定 9、最好10、采用j 从10000到２得顺序相加,或通过进行化简计算。
11、本题有递推公式得出得就就就是。
算法１、2、For k=n-1,n-2,…,1,0 做12、提示：仿照例１、9做之。
习题二 2、提示:3、取迭代函数讨论之。
4、由确定k,迭代次数59、5、迭代公式及区间为,数列得极限值。
6、x 3=０、567１43 ７、，用New ｔo ｎ迭代公式及定理６做，根1、03０ 8、两个根: ;9、取,当时，取区间,用定理6做，当时,由做转换讨论。
极限为 １1提示:由可得,或由用定理2、4 １2、()()()()()()()()()()()()()()()()()222******1*22*****1*2***2*3(),()2'()2!()'()'()2'()'()'()2()'()2k k kk k k k k k k k k k k k kk k k k k k f f y x x x f y f x f x y x y x f x f x f f y x x y x y x y x y x f x f x f x y x f f x f x y x f x y x f x x f f x ξξξξξξ+'''''-=-=+-+-'''∴-=--=------''⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭-''''=-+()()()()()2*13*121*32()2'()()()()4'()2'()k k kk k k f x x f x x xf f f f x x f x f x ξξξξξ⎛⎫''⨯- ⎪⎝⎭''-''''⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭１3、提示:借助代入中约化。
《数值分析》2018-2019学年第二学期期末考试A卷
河海大学2018-2019学年第二学期期末考试《数值分析》试题(A)卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四总分分数一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为（）。
A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n 阶方阵A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（）。
A.<3B.3≤C.>3D.3≥3、若迭代公式)(1k k x x ϕ=+是p 阶收敛，则=--+∞>-pkk k x x x x )(lim **1（）。
A.０B.p!C.)(*)(x p ϕ D.!/)(*)(p x p ϕ4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于)(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。
（其中∏=-=nj jxx x w 0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξB.)()!1()()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξC.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠-D.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =-５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（）。
A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为。
２、设1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。
３、设有求积公式)31()31(10f A f A +-是插值型求积公式，则=0A ，=1A 。
河海大学硕士数值分析试卷08~09
1. 填空(10分,每空2分)1) 为了减少运算次数,应将表达式113141817162345---++x x x x x 改写为 .为了减少舍入误差的影响,应将表达式20002001-改写为 .2) 用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为 .3) 在高斯顺序消去法中,)1(-k kk a 称为第k 步主元.为使消去法得以顺利进行,必须 .2. 选择题(10分,每题2分)(1)设有求方程1=xxe 根的迭代公式kx k ex -+=1，取初值5.00=x ，则迭代公式A. 发散B. 敛散不定C. 收敛D. 不确定 (2)辛普森(Simpson)公式)]()2(4)([6)(b f ba f a f ab dx x f ba+++-≈⎰可由 A. 分段线性插值导出 B. 抛物插值导出 C. 线性插值导出 D. 分段抛物型插值导出(3)矩阵A 满足什么条件时，LR A =且分解唯一（L 是单位下三角阵，R 是上三角阵）A. 无限制B. 对称C. 可逆D. 严格对角占优 (4)为什么要把解常微分方程的欧拉(Euler)方法发展为改进的欧拉方法？A. 提高精度B. 便于计算C. 提高精度和便于计算D. 稳定性需要 (5) 当0)(=x f 有m 重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为 A. )()()(x f x f x x '-=ϕ B. )()()(x f x f m x x '-=ϕ C. )()()(x f m x f x x '-=ϕ D. )()()(x f x f mx x '-=ϕ4. (10分)选取求积公式中的常数a ，使)]()0([)]()0([2)(0h f f a h f f hdx x f h'-'++≈⎰的代数精度尽量高。
试指出最高代数精度，并估计误差。
数值分析版试题及答案
由于h2，f xx，xk12k k1,2,3，x12 2kk 0,1,2,3，所以，有
k一
2
例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元
再回代，得到x33，x22，1
所以，线性方程组的解为X11,X22,X33
例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解:
则由A LU的对应元素相等，有
10、已知f⑴=2,f(2)=3,f(4)=5.9，则二次Newton插值多项式中x系数为
(0.15)；
度为(5 )
5、设f (x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()；
Xnf(Xn)
xn1xn~~~
答案1 f(xn)
6、 对f(x) x3x 1,差商f[0,1,2,3]( 1 ),f[0,1,2,3,4]( 0 )
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,
截 断 误 差 = 舍入 误 差
(?)
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差
(
1000彳
1.用计算机求 爲时，应按照n从小到大的顺序相加n1n
()
(对)
3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
()
4.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变
11
u1ห้องสมุดไป่ตู้，u13
56
l21u11
l21
1
l31u11-
1312，
121u12
u22
河海大学《概率论与数理统计》2016-2017学年第一学期期末考试B卷
河海大学2016-2017学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》试题（B）卷姓名：_______班级：_______学号：_______成绩：_______一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.每次试验失败概率为)10(<<p p ，则3次重复试验中至少成功一次的概率为（）．A ．)1(3p -B ．3)1(p -C ．31p-D ．213)1(pp C -2.设离散型随机变量的X 分布律为),2,1()( ===k b k X P kλ，则λ＝（）．A.0>λ的实数B.1+b C.11+b D.11-b 3.设随机变量X 的方差DX 存在，b a ,为常数，则=+)(b aX D （）．A.baDX + B.bDX a +2C.DXa 2D.aDX4.下列命题不成立的是()．A.B B A B A =B.B A B A =C.(Φ=)(B A AB D.AB B A ⊂⇒⊂5.设随机变量的分布密度为,)1(1)(2x x f +=π则X Y 2=的密度函数为（）．A.)1(12x +π B.)4(22x +π C.)41(12x +π D.)411(12x +π二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分）6.设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P ．7.若连续型随机变量的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧><≤<=660010)(2x x x Ax x F ，则=A 1/36．8.设随机变量X 和Y 独立，且)3(~),2,0(~e Y U X ，则=)(XY E 1/3．9.一均匀骰子重复掷10次，设X 表示3点出现次数，则X 的分布律==)(k X P ．10.若随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为221, 1(,)0, x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他，则随机变量Y的边缘分布密度为()Y f y =．三、判断题（本大题共3小题,每小题3分，共9分）11.A ，B 为两个随机事件，若()()()P AB P A P B =⋅，则B A ,相互独立．（）12.若f x （）是随机变量X 的概率密度，则()1,()0f f +∞=-∞=．（）13.若随机变量X 的概率函数为{}, 12k k P X x p k === ,,，则1kkp=∑．（）四、计算题（本大题共5小题，每题7分，共35分）14.设,A B 为随机事件，()0.5, ()0.4, ()0.6P A P B P A B ===，求：()P A A B ．15.在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度大于R 的概率．16.X 的分布函数为()arctan , F x A B x x =+-∞<<+∞.求:(1).,A B ，(2).X 落在(1,1)-内的概率，(3).X 的概率密度.B=1A=π/217.设随机变量X 与Y 独立，且X 服从指数分布(1)e ，Y 服从指数分布(2)e ，求Z X Y=+的概率密度．18.对某一目标进行射击，直到击中时为止，如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望与方差。
数值分析第四版习题及答案
数值分析第四版习题及答案数值分析第四版习题及答案第四版数值分析习题第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式11783100n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x+∞+??9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}ny 满足递推关系1101nn y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算621)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?36322)70 2.(21)(322)--++13. 2()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(1)ln(1)x x x x -=-+计算,求对数时误差有多大?14.试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明面积的误差s ?满足.s a b cs a b c≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令200011211121()(,,,,)11n n n n n n n n nx x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()nV x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且1111()(,,,)()()nn n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8ln x -0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0kx x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8maxmax a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2n n y =,求4n y ?及4ny δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数). 11. 证明1()k k k k k kf g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n k kn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n nn n f x a a x a x a x --=++++有n个不同实根12,,,nx x x ,证明{, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质:i) 若()()F x cf x =,则[][]011,,,,,,nnF x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]0111,,,,,,,,,nnnF x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ?及0182,2,,2f . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()nx ?并证明当n →∞时,()nx ?在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()hI x ,计算各节点间中点处的()hI x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()hI x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.jx 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53jy0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条插值()S x 并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii) (0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i) [][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"; ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中ix 为插值节点,且01n a x x x b=<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)nm B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)nB f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax ≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n nT x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权2x x ρ=-的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11 ()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼。
2013年河海大学数值分析试卷课案
4 17 ，求分解 A 20
LDL T ，其中 D 是对焦阵， L 是单位下
三角阵。则 D=_____________________; L=_____________________ 。
《数值分析》 2013 级(A) 第 1 页 共 5 页
二、 (本题 12 分 ) (本题 10 分 )
求函数 f ( x) ln x ， x [1,2] 的一次最佳平方逼近多项式。
三、（本题 12 分）
给定数据表如下：
x
0.25 0.3
0.5
f(x) 0.5 0.54
0.72
分别用拉格朗日和牛顿插值法求 f(x) 的二次插值多项式，
《数值分析》 2013 级(B) 第 2 页 共 5 页
怎样才能避免这种情况 ?
_________________ .
3、写出求解非线性方程 x sin x 5 的牛顿迭代格式 ______________________________ __ ；
以及弦截法迭代格式
_________________
。
4、给定矩阵 A
12
0
4
，则 A 1
_________,
1 u0 1 ，迭代 2 次，写出结果。
1
《数值分析》 2013 级(B) 第 4 页 共 5 页
八、 (本题 12 分 )
0.5
f(x) 0.5 0.54
0.72
分别用拉格朗日和牛顿插值法求 f(x) 的二次插值多项式，
三、 (本题 10 分 )
求函数 f ( x) ln x ， x [1,2] 的一次最佳平方逼近多项式。
《数值分析》 2013 级(A) 第 2 页 共 5 页
研究生《数值分析》试卷(带答案)
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点：,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增 又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .（注：原题中)(2h o 错误）解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
河海大学2015、2016、2017年《高等数学》上册期中试卷
4
4
4
五、（8 分）已知函数 y ex sin x ，求高阶导数 y(2016) .
1 f (x) 1
六、（6 分）设极限 lim x0
x x2
1 ，试确定常数 a, b ，使当 x 0 时， f (x) 与 axb 等
价.
七、（6
分）设数列 xn由递推公式
xn1
1 2
( xn
b 处的切线斜率是 2
.
5、设函数 f (x) ex cos x ，则 f (4) (0)
.
三、计算下列各题（每小题 6 分，共 30 分）
1、求极限 lim x0
1 x sin x cos x (1 e3x ) ln(1 x) .
2、设 f (x) (3 1 x 1)g(x) ，其中 g(x) 在 x 0 处连续，求 f (0) .
5、函数 f (x) (x2 x 2) x2 x 的不可导点的个数是（ ）.
A、0； B、1； C、2； D、3. 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1、用极限的 定义表述 lim 2x 1为
.
x0
2、函数
f
(x)
cos x, ax b,
x x
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1、
lim n
n2 n 1
2n1
.
2、就奇偶性而言，函数
f
(x)
1 2x 1
1 2
是
函数，其导函数是
3、设 f (x) x(x 1)(x 2)(x n) ，则 f (1)
.
函数.
4、
河海大学《概率论与数理统计》2016-2017学年第二学期期末考试A卷
河海大学2016-2017学年第二学期期末考试《概率论与数理统计》试题（A）卷姓名：_______班级：_______学号：_______成绩：_______一、判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）1．设A、B 是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B)()2．设A、B 是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B()3．若X 服从二项分布B(n,p),则EX=p()4．样本均值X =n 1∑=n i i X 1是总体均值EX 的无偏估计（）5．X～N(μ,21σ),Y～N(μ,22σ)，则X－Y～N(0,21σ－22σ)（）二、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.2．甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.3．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,则EX=___________.4．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.5．当检验的Ｐ值_________指定的显著性水平时，接受原假设。
三、单项选择题（本题共15分，每小题3分）1．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A）X 与Y 独立.（B）()D X Y DX DY -=+.（C）()D X Y DX DY -=-.（D）()D XY DXDY =.（）2．设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A）1/2, 1.a b ==（B）2,a b ==（C）1/2,1a b ==-.（D）2,a b ==（）3．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P 010.40.6Y P 则有（A）()0.P X Y ==（B）()0.5.P X Y ==（C）()0.52.P X Y ==（D）() 1.P X Y ==（）4．对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A）0.（B）.X （C）.EX （D）3().EX （）5．设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（A）/2/2(x u x uαα-+（B）1/2/2(x u x uαα--+（C）(x u x uαα-+（D）/2/2(x u x uαα-+（）四、（8分）甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为1∶7∶2，而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。
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河海大学2017-2018学年第一学期硕士研究生
《数值分析》试题(A)
任课教师姓名
姓名 专业 学号 成绩
一、填空题（每空2分，共30分）：
1、圆周率π的近似值取为141592.3，其有效数字是 位．
2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）=]3,2,1,0[f ，=]4,3,2,1,0[f ．
3、积分⎰+=1
0121dx x I ，用梯形公式计算得 ，用辛普生公式计算
得 (保留四位小数)．
4、已知：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=1327A ，则=F A ， =1)(A cond ．
5、求解非线性方程)(x f x =根的牛顿法迭代公式为： ．
6、已知矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=8231A ，取初始向量T v )1,1(0=，用规范化的幂法迭代3次，求得矩阵 A 的主特征值近似为 ，相应的特征向量近似为 ．
7、用改进欧拉(Euler)法解初值问题20
1='⎧=⎪⎨=⎪⎩x y y y ，取步长0.1=h ，则1=y （保留四位小数）．
8、牛顿－柯特斯 (Cotes Newton -)数值求积公式
)()()(50
0)50(k k k b a x f C a b dx x f ∑⎰=-≈ 至少具有 次代数精度，并且
=∑=500)50(k k C ．
9、设)5,4,3,2,1,0(=j x j 为互异节点，)(x l j 为对应的5次Lagrange 插值基函数，则=-∑=505
)2(j j
j l x ，=+-+∑=50245)()235(j j j j j x l x x x ．
二、（本题8分）确定求积公式
)()0()()(0011x Af Bf x Af dx x f ++-≈⎰
- 中待定参数B A ,和0x 的值，使公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度．
三、（本题9分）在区间]1,0[上给定函数x e x f =)(，求其在},,1{span 2x x =Φ上关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式．
四、（本题9分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1256144412A ，
（1）求矩阵A 的Doolittle 分解，即分解成LU A =的形式，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；
（2）利用上述分解求解方程组b Ax =，其中T T b x x x x )8,1,2(,
),,(321--==.
五、（本题9分）已知)(x f 在节点6,3,2,1的函数表： 37
2212)(6321----i i x f x （1）求差商表；（2）写出三次牛顿(Newton)插值多项式)(3x N ；（3）利用上述插值多项式)(3x N 计算)4(f 的近似值，并写出插值余项．
六、（本题9分）已知线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=++=++3322235212321321321x x x x x x x x x ，
（1）写出求此方程组的高斯—赛德尔(Gauss —Seidel)迭代格式；
（2）讨论高斯—赛德尔(Gauss —Seidel)迭代格式的收敛性．
七、（本题9分）解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=∈='0
00)(],[),,(y x y b x x y x f y 的一个隐式单步法：
[]),()1(),(111+++-++=n n n n n n y x f y x f h y y αα，
（1）求参数α，使公式的局部截断误差的阶数达到最高；（2）求其绝对稳定区域和绝对稳定区间．
八、（本题8分）已知n n R A ⨯∈，I 为n 阶单位阵，⋅为矩阵的某个算子范数，且1<A ，
证明：A I +可逆，且A
A I -<+-11)(1．
九、（本题9分）用龙贝格算法计算积分⎰+=1
01
x dx I （要求二分三次）.。