不定积分的换元法

解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
x ln tan C 2
1 u2
想到公式 du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a

x) d (a x )2 1 (a
想到

du 1 u2
arcsin u C

f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
(凑微分法或配元法)
例4. 求 解:

cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
例12 求
解
sin nx sin mxdx 1 sin nx sin mxdx 2 [cos( m n) x cos(m n) x]dx
dcos x sin x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x

例5. 求
解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2a x a x a x a 2 2a ( x a)( x a )
例7. 求

e3
x
x
dx .
3 x
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
dsin x dcos x
(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx

1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
1 1 cos( m n) xdx cos( m n) xdx 2 2 1 1 [ cos( m n) xd (m n) x 2 mn 1 cos( m n) xd (m n) x] mn 1 1 1 [ sin( m n) x sin( m n) x] C. 2 mn mn
第三章 积分的计算 3-1 不定积分的换元法
1. 不定积分第一换元法 设 F ( y ) f ( y) , 可导, 则有
dF [ ( x)] F ( y) ( x)dx f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F ( y ) C
y ( x )
例11 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 ( 1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1 cos 4 x ) 1 ( 1 2 cos 2 x 4 2
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) 1 ( 4 2 2
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
f ( y )d y
或写成
y ( x )
F [ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注: 当
时
例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
类似地
1 xa C C ln 2a x a
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x