中考复习与圆有关的计算
2024河南中考数学复习 与圆有关的计算(含阴影部分面积) 强化精练 (含答案)
2024河南中考数学复习与圆有关的计算(含阴影部分面积)强化精练基础题1.(2023兰州)如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧AB ︵，圆弧的半径OA ＝20cm ，圆心角∠AOB ＝90°，则AB ︵＝()第1题图A.20πcmB.10πcmC.5πcmD.2πcm2.(2023新疆维吾尔自治区)如图，在⊙O 中，若∠ACB ＝30°，OA ＝6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()第2题图A.12πB.6πC.4πD.2π3.(2023鄂州)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是()第3题图A.53－33πB.53－4πC.53－2πD.103－2π4.(2023连云港)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC ＝5，则阴影部分的面积是()第4题图A.414π－20B.412π－20C.20πD.205.(2023金华)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，∠BAC ＝50°，以AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则弧DE 的长为________cm.第5题图6.如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C ，D 都在格点上，线段CD 与AC ︵交于点E ，则图中AE ︵的长度为________．第6题图7.(2023重庆A 卷)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB ＝4，AD ＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8.(2023包头)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为________．第8题图9.(万唯原创)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以点A为圆心，AC 长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E，则图中阴影部分的周长为________．第9题图10.(2023新乡一模)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为________．第10题图11.(2023驻马店二模)如图，将扇形OAB沿OA方向平移得到对应扇形CDE，线段CE交AB︵于点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则阴影部分的面积为________．第11题图拔高题12.(2023通辽)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB︵于点D，点C是半径OB 上一动点，若OA ＝1，则阴影部分周长的最小值为()A.2＋π6B.2＋π3C.22＋π6 D.22＋π3第12题图13.如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB ︵的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分面积等于()第13题图A.π2－1B.π2－2C.π－1D.π－214.如图，AB 为⊙O 的直径，将BC ︵沿BC 翻折，翻折后的弧交AB 于点D.若BC ＝45，sin ∠ABC ＝55，则图中阴影部分的面积为()第14题图A.25πB.25πC.8D.1015.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝22，对角线AC，BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点F，连接FO并延长交AB于点M，连接AF，则图中阴影部分的面积是______．(结果保留π)第15题图参考答案与解析1.B 【解析】∵圆弧的半径OA ＝20cm ，圆心角∠AOB ＝90°，∴ AB 的长＝90π×20180＝10π(cm).2.B 【解析】∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∴S 扇形AOB ＝60×π×62360＝6π.3.C【解析】如解图，连接OD ，BD ，在Rt △ABC 中，tan 30°＝AB BC ，∴BC ＝AB tan 30°＝43，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∵BO ＝DO ，∴△BOD 是等边三角形，∴BD ＝BO ＝12BC ＝23，∠BDO ＝60°，∴∠BDC ＝90°，AD ＝BD ·tan 30°＝2.∴S 阴影部分＝S △ABD ＋S △BOD －S 扇形BOD ＝12×23×2＋34×(23)2－60π×（23）2360＝53－2π.第3题解图4.D 【解析】如解图，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝4，BC ＝5，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴阴影部分的面积为S矩形ABCD ＋π×(AB 2)2＋π×(BC 2)2－π×(AC 2)2＝S 矩形ABCD ＋π×14(AB 2＋BC 2－AC 2)＝S 矩形ABCD ＝4×5＝20.第4题解图5.56π【解析】如解图，连接OE ，OD ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠ODB ，∴OD ∥AC ，∴∠EOD ＝∠AEO ，∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠BAC ＝50°，∴∠EOD ＝∠BAC ＝50°，∵OD ＝12AB ＝12×6＝3(cm)，∴ DE 的长为50π×3180＝56π(cm).6.54π【解析】如解图，连接AC ，AD ，设AC 交网格线于点O ，连接OE .∵AD 2＝22＋12＝5，AC 2＝22＋12＝5，CD 2＝12＋32＝10，∴AD ＝AC ，AD 2＋AC 2＝CD 2，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠ACD ＝45°，∵∠ABC 是直角，∴AC 是⊙O 的直径，∴∠AOE ＝90°.∵AC ＝5，∴OE ＝OA ＝12AC ＝52，∴ AE 的长为90π×52180＝54π.第6题解图7.254π－12【解析】如解图，连接BD ，由题知∠BAD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD ＝AD 2＋AB 2＝32＋42＝5，∴S 阴影＝S ⊙O －S 矩形ABCD ＝π×(52)2－3×4＝254π－12.第7题解图8.π【解析】∵正方形ABCD 对角线相交于点O ，∴AO ＝BO ，CO ＝DO ，∠AOD ＝∠BOC ，∴△AOD ≌△BOC ，∴阴影部分的面积＝扇形DBE 的面积，∵正方形的边长为2，∴由勾股定理得BD ＝22，∠DBC ＝45°，∴阴影部分的面积＝45360×π·(22)2＝π.9.π3＋23【解析】如解图，连接AE ，∵在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∴BC ＝2AC ＝4，AB ＝23.∵ DE 是以点A 为圆心，AC 长为半径的弧，∴AD ＝AE ＝AC ＝2，∴BD ＝AB －AD＝23－2，∠AEC ＝∠C ＝60°，∴△AEC 为等边三角形，∴AE ＝EC ＝2.，∴BE ＝2，∠BAE＝∠B ＝30°，∴ DE 的长为30π×2180＝π3，∴阴影部分的周长为2＋π3＋23－2＝π3＋23.10.π【解析】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，由勾股定理得，AB ＝22＋22＝22，∵将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90度到△AB 1C 1的位置，∴∠CAC 1＝90°，∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BAB 1＋S △B 1AC 1－S △ACB －S 扇形CAC 1＝S 扇形BAB 1－S 扇形CAC 1＝90π×（22）2360－90π×22360＝π.11.3π4－334【解析】如解图，连接OF ，过点C 作CH ⊥OF 于点H ，由平移性质知，CE ∥OB ，∴∠CFO ＝∠BOF ，∵CO ＝CF ，∴∠COF ＝∠CFO ，∴∠COF ＝∠BOF ＝12∠BOC ＝30°，在等腰△OCF 中，OH ＝12OF ＝12OB ＝32，∴CH ＝OH ·tan 30°＝32×33＝32，∴S 阴影＝S 扇形AOF －S △COF ＝30·π×32360－12×3×32＝3π4－334.第11题解图12.A 【解析】如解图，作D 点关于直线OB 的对称点E ，连接AE ，OE ，DE ，CE ，AE 与OB 的交点为C 点，则CD ＝CE ，OD ＝OE ，∠DOB ＝∠EOB ，∴AC ＋CD ＝AC ＋CE ≥AE ，当A ，C ，E 三点共线时，AC ＋CD 取得最小值，此时阴影部分周长最小，在扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，OD 平分∠AOB 交 AB 于点D ，∴∠AOD ＝∠BOD ＝30°，由轴对称的性质，∠EOB ＝∠BOD ＝30°，OE ＝OD ，∴∠AOE ＝90°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∵OA ＝1，∴AE ＝2， AD 的长＝30π×1180＝π6，∴阴影部分周长的最小值为2＋π6.第12题解图13.D 【解析】两扇形的面积和为180π·（2）2360＝π，如解图，过点C 作CM ⊥AE 于点M ，CN ⊥BE 于点N ，连接CE ，则四边形EMCN 是矩形，∵点C 是 AB 的中点，∴EC 平分∠AEB ，∴CM ＝CN ，∴矩形EMCN 是正方形，∵∠MCG ＋∠FCN ＝90°，∠NCH ＋∠FCN ＝90°，∴∠MCG ＝∠NCH ，在△CMG 与△CNH 中，MCG ＝∠NCH ，＝CN ，CMG ＝∠CNH ，∴△CMG ≌△CNH (ASA)，∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，∴空白区域的面积为12×2×2＝1，∴图中阴影部分的面积＝π－2.第13题解图14.C 【解析】如解图，连接AC ，CD ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵∠ABC ＝∠DBC ，∴ AC ＝ CD，∴AC ＝CD ，∵CH ⊥AD ，∴AH ＝HD ，∵BC ＝45，sin ∠ABC ＝55，∴CH ＝BC ·sin ∠ABC ＝4，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵sin ∠ABC ＝AC AB ＝55，∴设AC ＝5m ，AB ＝5m ，根据勾股定理，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴5m 2＋80＝25m 2，∴m ＝2(负值已舍去)，∴AC ＝CD ＝25，∴AH ＝AC 2－CH 2＝（25）2－42＝2，∴AD ＝2AH ＝4，∴S 阴影＝S △ACD ＝12AD ·CH ＝12×4×4＝8.第14题解图15.π－22＋2【解析】在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝22，∴∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∵AF ＝AB ＝22，AF 2＝AD 2＋DF 2，∴(22)2＝22＋DF 2，∴DF ＝2，∴AD ＝DF ，∴∠DAF ＝∠DFA ＝45°，∴∠BAF ＝45°，在△BOM 和△DOF 中，MBO ＝∠FDO＝ODBOM ＝∠DOF ，∴△BOM ≌△DOF (ASA)，∴BM ＝DF ＝2，∴AM ＝22－2，∴图中45π×（22）2360－12×(22－2)×2＝π－22＋2.阴影部分的面积为：。
中考复习圆的计算技巧
中考复习圆的计算技巧圆是数学中一个重要的几何形状，我们在中考复习中经常会遇到与圆相关的计算题目。
正确掌握圆的计算技巧能够帮助我们更好地解决这类题目。
本文将介绍一些常用的圆的计算技巧，旨在帮助同学们在中考中取得好成绩。
一、圆的周长和面积计算1. 圆的周长圆的周长是指圆的边界一周的长度。
周长的计算公式为：C = 2πr，其中r为圆的半径，π约等于3.14。
根据这个公式，我们可以很方便地计算出圆的周长。
例题1：一个圆的半径为10cm，求其周长。
解：根据公式C = 2πr，将半径r代入公式得到C = 2 × 3.14 × 10 ≈ 62.8cm。
因此，该圆的周长约为62.8cm。
2. 圆的面积圆的面积是指圆所包围的平面区域的大小。
面积的计算公式为：S = πr²，其中r为圆的半径，π约等于3.14。
通过这个公式，我们可以轻松地计算圆的面积。
例题2：一个圆的半径为8cm，求其面积。
解：根据公式S = πr²，将半径r代入公式得到S = 3.14 × 8² ≈ 200.96cm²。
因此，该圆的面积约为200.96cm²。
二、圆的问题转化与利用有时候，我们在解决与圆相关的问题时，可以通过一些转化和利用的方法简化计算过程。
1. 圆的问题转化为正方形或矩形在某些情况下，圆的问题可以转化为正方形或矩形的问题来解决。
例如，一个圆在某一平面上切割得到的扇形，可以转化为一个与之相似的矩形，从而简化计算过程。
例题3：一个半径为6cm的圆被切割成扇形，其圆心角为60°。
求该扇形的面积。
解：将扇形转化为与之相似的矩形，可以发现圆心角60°正好是矩形的1/6，而圆的面积与扇形的面积之间的比例为1:6。
因此，扇形的面积等于圆的面积除以6。
根据例题2的计算结果，该圆的面积为200.96cm²，将其除以6得到扇形的面积约为33.49cm²。
第26课时 与圆有关的计算 课件 2025年中考数学一轮总复习
是 ；
图2
（3）（2024·湖北改编）如图3，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在
AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，
交AC于点E，且BD＝BC. 连接OB交
☉O于点F. 若AD＝ ，AE＝1，则☉O的直径EC＝ ，弧CF的长为 .
有
关概
念
正多边形每一边所对的圆心角叫做
正多边形的
正多边形的中心到正多边形的一边
的距离叫做正多边形的
半径
中心角
边心距
知识点3 与圆有关的阴影部分面积把不规则图形的面积转化为规则图
题型：（1）根据扇形面积（弧长）公式，已知
圆心角、半径、面积（弧长）三个量中
的两个，求第三个量；（2）根据扇形面积公式，已知弧长、
半径、面积三个量中的两个，求第三
个量；
（3）用分段的方法计算由弧长组成的路
径长；（4）用割补法计算与扇形有关的阴影部
分的面积.
考点一 正多边形和圆
例1 （1）如图1，正五边形ABCDE内
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质第26课时 与圆有关的计算
知识点1 与圆有关的计算公式
公式
备注
圆周长
C＝2πR
R为圆的半径
圆面积
S＝πR2
弧长
l＝
R为弧所在圆的半
径，n为弧所对的圆心角的度数
扇形面积
S扇＝ πR2S扇＝ lR
R为圆的半径，l为弧长，n为扇形的圆心角度数
知识点2 正多边形和圆
A. π
B. π
C. 2 π
D. π
D
1. （2024·甘孜州）如图，正六边形
二、解答重难题型突破+题型5 圆的综合++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)
P在半圆弧AB上运动(不与A,B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D.
(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC.
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由.
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
28
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠BCD=30°.
31
本课结束
∴BF=BE=5.
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE,
∴ = ,即 = = =2.
设MF=x,则AM=2x,
∴BM=10-2x.
5
∵BM2+MF2=BF2,
∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3.
∴∠PCD=60°.
∵四边形ABDC内接于☉O,
∴∠B=∠PCD=60°.
9
(2)∵点C为的中点,
∴∠CAD=∠CDA,∴AC=CD.
∵∠ADB=90°,
∴∠CDA+∠CDP=90°.
在Rt△ADP中,∠CAD+∠P=90°,
∴∠CDP=∠P,
∴CD=PC=2 ,
∴AC=CD=PC=2 ,
,对角线AC为☉O
【例2】(2024·济南三模)如图,四边形ABCD内接于☉O,=
的直径,延长BC交过点D的切线于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
3
(2)若☉O的半径为5,tan∠DAC= ,求DE的长.
4
12
【自主解答】(1)连接DO并延长交AB于F,
第三节 与圆有关的计算+++课件+2025年中考数学人教版一轮复习(广西)
数学
广西专版
命题点3：阴影部分面积的计算(近6年考查3次)
5．(2018•北部湾第10题3分)如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为
圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，
则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( D )
A．π＋ 3
B．π－ 3
C．2π－ 3
D．2π－2 3
【解析】连接BO，∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝24°，∴n＝ ＝15.
24
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数学
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【考情分析】广西近6年主要考查弧长、扇形面积、圆锥侧面展开图、西专版
命题点1：弧长与扇形面积的有关计算(近6年考查2次)
1．(2023•梧州第9题3分)若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧
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第三节
数学
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与圆有关的计算
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1．请回答以下问题：
(1)若扇形的半径为2，圆心角为120°，则扇形的弧长为
积为
4
3
π ，围成的圆锥底面圆半径为
面积为
＋ －
.
π
π
【解析】连接OE，OB，S阴影＝S扇形OAB－S△AOB－S弓形AE＝ － －（ － ）＝
4
2025年中考数学二轮复习专题：圆的证明与计算练习
2025年中考数学二轮复习专题：圆的证明与计算练习例1．如图①，Rt △ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，经过顶点B ，C 作⊙O ，分别交边AB ，AC 于点D ，E ，连接DE ，DC ．（1）求证：AD ＝ED ．（2）当AE ＝4，CE ＝2时，求⊙O 的半径．（3）设AE EC =x ，tan ∠DCB ＝y ．①求y 关于x 的函数表达式；②如图②，连接OE ，OD ，若S △ODE S △ABC =1564，求y 的值．例2.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且DE ＝OE ．（1）求证：∠BAC ＝3∠ACD ；（2）点F 在弧BD 上，且∠CDF =12∠AEC ，连接CF 交AB 于点G ，求证：CF ＝CD ；（3）①在（2）的条件下，若OG ＝4，设OE ＝x ，FG ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； ②求出使得y 有意义的x 的最小整数值，并求出此时⊙O 的半径．例3.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠ABC +∠OAB ＝90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，交OB 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若DE ＝2，CE ＝6，求BC 的长；（3）①若四边形ADEO 的面积等于△BEC 的面积，求sin ∠BAC 的值；②记tan ∠BAC ＝x ，△AOB 与△CDB 的面积之比为y ，请用含有x 的代数式表示y ．例4.如图，⊙O 是等腰△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，点D 为AĈ上一点，连结AD ，CD ，作BF ∥AD 交AC 的延长线于点F ．（1）求证：∠BCF ＝∠ADC ；（2）若AD ＝2，BF ＝8，求AC •CF 的值．（3）连结BD 交AF 于点E ，若BD ⊥AC ．①当AE ＝2时，求CF 的长；②若AC CF =k ，用含有k 的代数式表示tan ∠BAC ．例5．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y 轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连接DE交OM于点K．（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标；②求ME的长．（2）若OKMK=3，求∠OBA的度数．（3）设tan∠OBA＝x（0＜x＜1），OKMK=y，直接写出y关于x的函数解析式．例6．如图，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，连结OC ，过点B 作AC 的垂线，交⊙O 于点D ，交OC 于点M ，交AC 于点E ，连结AD ．（1）若∠D ＝α，请用含α的代数式表示∠OCA ；（2）如图1．求证：CE 2＝EM •EB ；（3）如图1证明：OC ∥AD（4）①如图1连结CD ，求证：DM=CD②连接AO 并延长交BD 于N ，连接CN ，求证：△AEN ≌△AED③若BM ＝3，DM ＝2，求tan ∠BAC 的值．（5）如图2，连结CD ，若x =DM BM ，①求DM BM 与AC CE 的值（用x 表示）②令y =S 四边形ABCD S △BMC ，求y 关于x 的函数表达式．例7．已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB 的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．例8.如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．̂的中点；（1）如图1．①求证：点P为BAC②求sin∠BAC的值；̂的中点，求CE的长；（2）如图2，若点A为PC（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．例9.如图1，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，直径CF 交线段BE 于点G ，且AĈ=AF ̂，BG ＝xAE （1＜x ＜2）．（1）求证：AB ＝CD ；（2）当点E 是AG 的中点时，求BĈ的度数和x 的值； （3）设FGCG =y ．①求y 关于x 的函数表达式；②如图2，连结BF ，若△CEG 的面积是△BGF 面积的3倍，求tan ∠BFG 的值．课后练习1.如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，取BC中点E，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F，连接BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）如果，求tan A．2.已知，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是优弧CBD上的任意一点，AH＝2，CH＝4．（1）如图1，①求⊙O的半径；②求sin∠CMD的值．（2）如图2，直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CD于点F，求HE•FH的值．3.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧AC上动点，延长AD，BC交于点E，作DF∥AB交⊙O于F，连结CF．（1）如图①，当点D为的中点时，求证：DF＝BC；（2）如图②，若CF＝CA，∠ABC＝α，请用含有α的代数式表示∠E；（3）在（2）的条件下，若BC＝CE，①求证：AC+AD＝DE；②求tan∠E的值．。
2中考复习：圆弧,圆锥,扇形相关计算
中考复习：圆弧，圆锥，扇形相关计算一．基本公式：1.弧长的计算：半径为R ，圆心角为n°的弧长公式为：180n Rl π= 2扇形的面积：①如果扇形的半径为R ，圆心角为n ︒，那么扇形面积的计算公式为：2360n R S π=扇形. ②如果扇形所对的弧长为l ，扇形的半径为R ，那么扇形面积的计算公式为：12S lR =扇形. 3.圆锥的侧面积和全面积①沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长， 如图24.4-3所示，若圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ， 那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π， 因此圆锥的侧面积S =侧122r l rl ππ⨯⋅=. ②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积：所以()2S S S .rl r r l r πππ=+=+=+侧全底4.多边形的有关计算:设正多边形的边数为n ，边长为n a ，半径为n R ，边心距为n r ，中心角为α，周长为n P ，面积为n S ，则求：中心角00360180;2sin n a R n n α==边长；边心距nR r n 0180cos =，周长n n na P =，面积n n n P r S ⋅=21二．常见习题分类：（1）.基本公式的应用和推广方法：一般情况下，先看问题，列出相关公式。
然后将已知条件中的量带入公式中，未知量即可求出。
例如弧长公式，l ，R ，n 三个未知量，知道其中两个，另一个即可求出。
例题：①半径为1的圆的周长等于060的圆心角所对的弧长，则该弧所在圆的半径是__________. ②弧长为24,cm π半径为180cm 的弧所对的圆心角的度数为__________.图③如果一条弧的弧长等于l ，它的圆心角等于0,n 那么它的半径R =______,如果圆心角增加01，那么它的弧长增加_________.④秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，其小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所汤过的圆弧长为（ ） A. π B. 2π C.43π D.32π⑤已知一个扇形的半径为30,cm 圆心角为0120，若用它做一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径是_____.⑥弧长为6π的弧所对的圆心角为60，则弧所在的圆的半径为 （ ） （A ）6 （B ）62 （C ）12 （D ）18⑦已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是 （ ） （A ）12π （B ）15π （C ）30π （D ）24π⑧一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是 （ ）（A ）66π平方厘米 （B ）30π平方厘米 （C ）28π平方厘米 （D ）15π平方厘米 ⑨将一张长80厘米、宽40厘米的矩形铁皮卷成一个高为40厘米的圆柱形水桶的侧面，（接口损耗不计），则桶底的面积为 （ ） （A ）π1600平方厘米 （B ）1600π平方厘米（C ）π6400平方厘米 （D ）6400π平方厘米⑩如图，以圆柱的下底面为底面，上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4，高线长为3，则圆柱的侧面积为 （ ）（A ）30π （B ）76π （C ）20π （D ）74π（2）阴影面积：中考必考知识3%方法：将给出的已知图形利用割，补，凑或等量转化变成我们所熟知的图形，再根据相关图形公式计算。
第25节与圆有关的计算-中考数学一轮知识复习课件
知识清单
点与圆的位置关系
1．点与圆有__三___种位置关系：点在_圆__内___、点在_圆__上___、 点在__圆__外__，可转化为__点__到__圆__心__的___距__离___与_圆__的___半__径__之
间的数量关系． 2．点与圆的位置关系的判定和性质：如果圆的半径是 r，
点与圆心的距离为 d，那么点在圆外⇔__d_>__r__；点在圆上 ⇔__d_＝__r__；点在圆内⇔__d_<__r__．
A．3 B．3 3 C．6 D．9
针对训练 5．(2020·广州)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°， AB＝5，cos A＝45 ，以点 B 为圆心，r 为半径作⊙B， 当 r＝3 时，⊙B 与 AC 的位置关系是( B ) A.相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
6．(2020·齐齐哈尔)如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为
A. 62° B．31° C．28° D．56°
3．(2020·汕头市一模)如图，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，点 C 是⊙O 上一点，且∠P＝36°，则 ∠ACB＝( B )
A．54° B．72° C．108° D．144°
4．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长 为 1 的网格中，点 A、B、C 均落在格点上，用一 个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的 最小圆面的半径是______5____．
(2)当 BC＝4，AC＝6 时，求⊙O 的半径．
解：设⊙O 的半径为 r. ∵AB＝AC＝6，AE 是∠BAC 的平分线， ∴BE＝CE＝12 BC＝2. ∵OM//BE，∴△AOM∽△ABE. ∴OBME ＝AAOB ，即2r ＝6－6 r . 解得 r＝32 ，即⊙O 的半径为32 .
2025年九年级中考数学一轮复习考点突破课件+第26讲 与圆有关的计算(7年7考,3～5分)
A. 4
B. 6
C. π
D. π
D
3. (2022·玉林16题3分)数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁
丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不
计)，则所得扇形DAB的面积是 .
1
4. (2019·北部湾经济区23题8分)如图，△ABC是☉O的内接三角
∴ 的长为 ＝ π.
圆锥的有关计算(7年1考，3分)
5. (2022·柳州10题3分)如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长
AC＝12，则这个圆锥的侧面积为( C )
A. 16π
B. 24π
C. 48π
D. 96π
C
6. (2021·北部湾经济区17题3分·源自人教九上P116第10题)如图，
3. [源自人教九上P的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 .
4. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积
为 .
2
20π
考点梳理
3. 正多边形和圆
(1)正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，正n边
形的中心角α的度数为 ；
(2)正多边形中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边
心距；
(3)正多边形的外接圆的半径R、边心距r、边长a之间的关系：
r2＋()2＝R2.
对点训练
5. 如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数
是 .
是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC
分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为( C )
A.
B.
C.
D.
C
8. (2020·百色16题3分)如图，正方形ABCD的边长为2.以点A为
中考数学复习第30课时《与圆有关的计算》教案
中考数学复习第30课时《与圆有关的计算》教案一. 教材分析《与圆有关的计算》是中考数学的重要内容之一，主要包括圆的周长、面积、弧长、扇形的面积等计算方法。
这部分内容在中考中占有较大比重，是学生必须掌握的知识点。
通过本节课的学习，使学生理解圆的计算方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似多边形的性质、圆的定义、圆的性质等基础知识。
但部分学生在理解圆的计算方法，尤其是涉及到圆的周长、面积等公式的灵活运用上还存在困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.理解圆的周长、面积、弧长、扇形的面积等计算方法。
2.能够灵活运用圆的计算公式解决实际问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆的周长、面积公式的理解和运用。
2.弧长、扇形面积的计算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的计算方法。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示圆的计算过程。
3.采用小组合作学习，培养学生团队合作精神。
4.注重个体差异，针对性地进行辅导。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的圆形物体，如硬币、地球等，引导学生关注圆的周长和面积。
提问：你知道这些物体的周长和面积是如何计算的吗？2.呈现（10分钟）讲解圆的周长和面积公式，以及如何运用这些公式解决实际问题。
通过例题，展示圆的周长和面积的计算过程。
3.操练（10分钟）学生独立完成练习题，巩固圆的周长和面积的计算方法。
教师巡回指导，针对性地进行辅导。
4.巩固（5分钟）针对学生练习中出现的问题，进行讲解和辅导。
再次强调圆的周长和面积公式的运用。
5.拓展（10分钟）讲解弧长和扇形面积的计算方法，引导学生运用所学知识解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调圆的计算方法及其应用。
初三中考一轮复习(24)与圆有关的计算 题型分类 含答案(全面 非常好)
考点一：正多边形和圆例1 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（） A. 2 B． 3 C．3D．32OD对应训练1．正六边形的边心距与边长之比为（）A．3：3 B．3：2 C．1：2 D．2：21．B考点二：圆周长与弧长例2 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为6π．解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，AB=4，BC=3，∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC （BD ）=5． ∵根据旋转的性质知，∠ADA ′=90°，AD=A ′D=BC=3， ∴点A 第一次翻滚到点A ′位置时，则点A ′经过的路线长为：90331802ππ⨯=． 同理，点A ′第一次翻滚到点A ″位置时，则点A ′经过的路线长为：904180π⨯=2π． 点″第一次翻滚到点A 1位置时，则点A ″经过的路线长为：90551802ππ⨯=． 则当点A 第一次翻滚到点A 1位置时，则点A 经过的路线长为：35222πππ++=6π． 故答案是：6π． 对应训练2．如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ） A ．32πcmB ．（2+32π）cm C ．43πcmD ．3cm2．C考点三：扇形面积与阴影部分面积π⨯，解得：r=1cm．2πr=1203180故选D．对应训练4．一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A．60°B．90°C．120°D．180°4．D考点五：圆的综合题例5如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；，求cos∠ACB的值．（3）若AC=12，tan∠F=12解答：（1）证明：连接OA，∵PA 与圆O 相切， ∴PA ⊥OA ，即∠OAP=90°， ∵OP ⊥AB ，∴D 为AB 中点，即OP 垂直平分AB ， ∴PA=PB ，∵在△OAP 和△OBP 中，AP BP OP OP OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△OAP ≌△OBP （SSS ）， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴BP ⊥OB ，则直线PB 为圆O 的切线；（2）答：EF 2=4DO •PO ．证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA ， ∴△OAD ∽△OPA ， ∴OA ODOP OA=，即OA 2=OD •OP ， ∵EF 为圆的直径，即EF=2OA ，【聚焦中考】1．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A ．6，32 B ．3 2，3 C ．6，3 D ．62，321．B2．如图，正方形ABCD 中，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ） A ．πaB ．2πaC ．12πaD ．3a2．A3．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，以AB 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．4πB ．π-12C ．12D ．4π + 12．C4．将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．22B ．2C ．10D ．32．A5．在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 （结果保留π）． ．56π6．已知一个扇形的半径为60cm ，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm ． 257．如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是 ．．433π- 8．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（ ） A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π．B9．如果一个扇形的弧长是43π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（ ）A．40°B．45°C．60°D．80°A10．已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm．B11．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．3πD．4π．A12．用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm12．B，13．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ=13则该圆锥的侧面积是（）A．242πB．24πC．16πD．12π．D14．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E 、B ，E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．9πB ．39πC ．33322π-D ．33223π-D二、填空题1．已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm ，则扇形的半径为 cm ． ．152．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．．π-23．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为 cm2．．404．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为．．95．如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为 cm．．4π6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为．π6．2547．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O 重合，点A在x轴上，点B在反比例函数k=位于第一象限的图象上，则k的值yx为．．93三、解答题1．如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长．`．解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则：πl=2πr，∴l=2r，∴母线与高的夹角的正弦值=12r l =，∴母线AB 与高AO 的夹角30°．2.如图，在矩形ABCD 中，AB=2DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交DC 于点E ，交AD 的延长线于点F ，设DA=2．（1）求线段EC 的长；（2）求图中阴影部分的面积．2．解；（1）∵在矩形ABCD 中，AB=2DA ，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE=2223AE AD -=，∴EC=CD-DE=4-23；（2）∵sin ∠DEA=12AD AE =， ∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴图中阴影部分的面积为：S 扇形FAB -S △DAE -S 扇形EAB=290413602π⨯-×2×23-2304360π⨯=83π-23．3．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC2=AD•AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．3．（1）证明：如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，∵OC为半径，∴EF是⊙O的切线．。
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—与圆有关的计算
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—与圆有关的计算1.掌握弧长和扇形面积计算公式；2.会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算考点1：圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.考点2：扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=；（2）扇形面积公式：213602n R S lRπ==n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积注意：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.考点3：扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh rππ+C 1D 1（2）圆柱的体积：2V r hπ=2、圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+（2）圆锥的体积：213V r hπ=注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（180r 2Rn ΠΠ=）【题型1：正多边形和圆的有关计算】【典例1】（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（）A．B ．2C ．3D ．2【答案】C【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝OA＝，＝OB•AM＝＝，∴S△AOB∴正十二边形的面积为12×＝3，∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值为3，故选：C．【变式1-1】（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60°B．90°C．180°D．360°【答案】B【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．【变式1-2】（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（）A．60°B．54°C．48°D．36°【答案】D【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故选：D．【变式1-3】（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【答案】A【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴AB＝BC＝2，OQ＝3，∴OA＝OB＝，∴OC＝3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3，﹣2），故选：A．【变式1-4】（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．60°【答案】B【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故选：B．【题型2：弧长和扇形面积的有关计算】【典例2】（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．πB．3πC．2πD．2π﹣【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴＝＝，∵的长＝＝π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π．故选：B．【变式2-1】（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．πB．πC．πD．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【变式2-2】（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m【答案】C【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），故选：C．【变式2-3】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（）A．πB．πC．πD．2π【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面积为，故选：D．【题型3：有圆有关的阴影面积的计算】【典例3】（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD ＝CE ，∴四边形OECD 是正方形，∴∠DCE ＝90°，△DCE 和△OEC 全等，∴S 阴影＝S △DCE +S 半弓形BCE＝S △OCE +S 半弓形BCE＝S 扇形COB＝＝，故选：B ．【变式3-1】（2023•雅安）如图，某小区要绿化一扇形OAB 空地，准备在小扇形OCD 内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB ＝120°，OA ＝15m ，OC ＝10m ，则种草区域的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 扇形COD ＝＝（m 2）．故选：B．【变式3-2】（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．5πB．5﹣4πC．5﹣2πD．10﹣2π【答案】C【解答】解：连接OD．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，∴BC＝AB＝4，∴OC＝OD＝OB＝2，∴∠DOB＝2∠C＝60°，∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB＝×4×4﹣﹣＝8﹣3﹣2π＝5﹣2π．故选：C．【变式3-3】（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）A．米2B．米2C．米2D．米2【答案】C【解答】解：连结BC，AO，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵⊙O的直径为1米，∴AO＝BO＝（米），∴AB＝＝（米），∴扇形部件的面积＝π×（）2＝（米2），故选：C．【题型4：圆锥的有关计算】【典例4】（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，∴R＝3．故选：A．【变式4-1】（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．100°C．120°D．150°【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故选：C．【变式4-2】（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（）A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2【答案】C【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；∵圆柱的高CD＝2.5m，∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C．【变式4-3】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm【答案】D【解答】解：设母线的长为R，由题意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母线的长为24cm，故选：D．一．选择题（共10小题）1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（）A．72°B．60°C．48°D．36°【答案】A【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：A．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．，πC．2，D．2，【答案】D【解答】解：如图所示，连接OC、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∴OM＝OB sin∠OBM＝4×＝2，的长＝＝；故选：D．3．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【答案】C【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴的长＝＝＝π，故选：C．4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图，连接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，OB＝OC＝BC＝1，∴的长为＝，故选：A．5．如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（）A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B【解答】解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π．故选：B．6．若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（）A．120πcm2B．240πcm2C．360πcm2D．60πcm2【答案】A【解答】解：该扇形的面积为：（cm2）．故选：A．7．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3π【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，∴∠ABC＝30°．∴AB＝2AC＝6．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′．∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC＝＝．故选：C．8．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（）A．B．6πC．D．【答案】C【解答】解：如图，作EF⊥AB于点F，∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°，∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°，∴EF＝BE＝1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE＝﹣×2×﹣×1＝4π﹣2﹣2．故选：C．9．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（）A．180°B．216°C．240°D．270°【答案】B【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，∴圆锥底面圆的半径为：＝3（cm），∴2π×3＝，解得n＝216°．故选：B．10．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．25π【答案】C【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π，故选：C．二．填空题（共8小题）11．AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP 与OB交于点C，则∠OCP的度数为90°．【答案】90°．【解答】解：∵AB是⊙O的内接正六边形一边，∴∠AOB＝＝60°，∴＝30°，∵BP∥OA，∴∠OAC＝∠P＝30°，∴∠OCP＝∠AOB+∠OAC＝60°+30°＝90°．故答案为：90°．12．已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为12．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA•sin60°＝a×＝，解得a＝2，∴它的周长＝6a＝12．故答案为：12．13．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路的长度为40πm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，这段弯路的长度为，故答案为：40π．14．已知扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，则该扇形所在圆的半径为9cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，∴由S＝得：r＝＝＝9cm，故答案为：9cm．15．圆锥的侧面积是10πcm2，底面半径是2cm，则圆锥的母线长为5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：底面半径是2cm，则扇形的弧长是4π．设母线长是l，则×4πl＝10π，解得：l＝5．故答案为：5．16．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是4 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面圆的周长为4π，∴圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．故答案为4．17．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是6π．【答案】见试题解答内容【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：＝6π，故答案为：6π．18．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为132°．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．一．选择题（共7小题）1．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．D．【答案】C【解答】解：连接OB，OA，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴点B的坐标为：（2，2），故选：C．2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（）A．38°B．42°C．49°D．58°【答案】C【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故选：C．3．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（）A．B．C．D．4π【答案】A【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．又OB＝5，∴OD＝＝＝，∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．∴AF＝DF＝＝，又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，∴四边形ODFE为正方形．∴，∴CE＝＝＝2，∴CF＝CE+EF＝3＝BF，故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，∴所对的圆心角为90°，∴＝＝．故选：A．4．如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，B的对应点都与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接AC，OC，OE，BE，由题意得：CD垂直平分OA，∴AC＝OC，∴△OAC是等边三角形，同理△BOE是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOE＝60°，∴∠COE＝60°，∴弓形AMC、弓形ONC、弓形OPE的面积相等，∵圆的直径是4，∴OA＝2，∴扇形OAC的面积＝＝，△OAC的面积＝OA2＝，∴扇形OCE的面积＝扇形OAC的面积＝，∴弓形AMC的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝﹣，∴阴影的面积＝扇形OCE的面积﹣弓形AMC的面积×2＝﹣2×（﹣）＝2﹣．故选：A．5．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC 对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，由题意可知，BD＝BO，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，∴∠BOD＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＝30°，∵的长为π，∴，∴r＝6，∴OB＝6，∴OE＝＝3，BE＝OB＝3，∴CE＝OE＝，+S△COE﹣S△BOE＝+﹣＝6π﹣3．∴阴影部分的面积＝S扇形BOD故选：A．6．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝8，∵AD∥BO，∴∠OAD＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．故选：B．7．如图，一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是（）A．24πB．40πC．48πD．【答案】A【解答】解：根据题意，这个圆锥的侧面积＝×8π×6＝24π．故选：A．二．填空题（共5小题）8．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC，则图中阴影部分的周长为（4）cm．【答案】（4）．【解答】解：解法一：如图，取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E，∵N是弧AD的中点，∴NO⊥AD，∵CD⊥AD，∴NO∥CD，∴△NOE∽△CDE，∴＝＝＝＝，∴OE＝OD＝，在Rt△NOE中，NE＝＝＝，∴CM＝CN＝3NE＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．解法二：作NH⊥BC于点H，则CH＝2，NH＝6，在Rt△NHC中，NC＝＝＝2，∴CM＝CN＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．故答案为：（4）．9．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，曲线CC1C2C3C4…是由多段120°的圆心角所对的弧组成的，其中的圆心为A，半径为AC；的圆心为B，半径为BC1；的圆心为C，半径为CC2；的圆心为A，半径为AC3……，，，，…的圆心依次按点A，B，C循环，则的长是．（结果保留π）【答案】．【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴AC＝AC1＝1，∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，；∴BC2＝BC1＝AB+AC1＝2，CC3＝CC2＝BC2+AB＝3，∠CAC1＝∠C1BC2＝C2CC3＝120°，∴的半径为1；的半径为2；的半径为3；所对的圆心角为120°，∴的半径为n，所对的圆心角为120°，∴所在圆的半径为2023，所对的圆心角为120°，∴的长为．故答案为：．10．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．【答案】见试题解答内容【解答】解：cos∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝60°，∴圆锥的侧面展开图的弧长为：＝π，∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形ABC围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是．【答案】．【解答】解：连接BC，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝20，∴AB＝10，设该圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径为m．故答案为：．12．如图，AB是圆锥底面的直径，AB＝6cm，母线PB＝9cm，点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为cm．【答案】cm．【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝6cm，故底面周长等于6πcm，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得6π＝，解得n＝120°，所以展开图中∠APD＝120°÷2＝60°，因为半径PA＝PB，∠APB＝60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA＝9cm，PD＝cm，根据勾股定理求得AD＝（cm），所以蚂蚁爬行的最短距离为cm．故答案为：cm．1．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（）A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20【答案】D【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故选：D．2．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2B．2π﹣2C．2π﹣4D．4π﹣4【答案】C【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠B＝45°，+S扇形CBF﹣S△ABC∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE＝×2﹣＝2π﹣4．故选：C．3．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为18．【答案】见试题解答内容【解答】解：360°÷20°＝18．故这个正多边形的边数为18．故答案为：18．4．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是10．【答案】10．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．5．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是6cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆锥的母线长为x cm，根据题意得＝2π•2，解得x＝6，即圆锥的母线长为6cm．故答案为6．6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为2cm．【答案】2．【解答】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，2πr＝，∴r＝2（cm）．故答案为：2．7．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为．【答案】．【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），＝×π×22＝．∴阴影部分的面积＝S扇形ADO故答案为：．8．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为πcm．【答案】π．【解答】解：连接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的长＝＝π（cm）．故答案为：π．9．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．【答案】5；．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．。
中考数学圆知识点总结5篇
中考数学圆知识点总结5篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心。
圆具有旋转对称性，任意绕圆心旋转一定的角度都可能与原来的圆重合。
二、圆的性质1. 圆心距性质：任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之和的，两圆外离；任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之差的，两圆内含；任意两个圆的圆心距离小于两圆半径之和但大于两圆半径之差的，两圆相交。
2. 切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
3. 圆的幂性质：如果两条弦与同一条直径垂直，那么这两条弦所对的直径段相等。
4. 圆锥曲线性质：以圆锥的底面直径为长轴，以圆锥的高为短轴的椭圆，叫做圆锥椭圆。
圆锥椭圆的两焦点是圆锥的底面圆心和顶点。
双曲线类似。
三、圆的应用1. 在建筑设计中，可以利用圆的旋转对称性，设计出美观大方的建筑外观。
如圆形广场、圆形剧场等。
2. 在机械制造中，许多零部件都是圆形或环形的设计，如轴承、齿轮等。
这些零部件的精确制造和安装对于整个机械的性能和稳定性至关重要。
3. 在电子科技领域，许多电子元件和电路板都是基于圆形或环形的布局设计，如电容、电感等。
这些元件的形状和布局对于电子设备的功能和性能有着重要影响。
4. 在生物学和医学领域，许多生物体的结构和器官都是圆形或近似的圆形设计，如人体的大脑、心脏等。
对于这些结构和器官的研究和理解，有助于我们更好地认识生命的奥秘。
四、圆的解题技巧1. 圆的题目中，常常会出现一些隐含的条件，如切线的性质、圆的幂性质等。
我们需要认真分析题目中的条件，找出这些隐含的条件，并加以利用。
2. 对于一些复杂的题目，我们可以利用几何软件进行辅助分析，如使用CAD软件进行绘图分析，可以帮助我们更好地理解题意和解题思路。
3. 在解题过程中，我们需要注重几何语言的准确性和规范性，避免出现混淆概念、计算错误等问题。
与圆有关的计算中考第一轮复习原创课件
考点 正多边形与圆 1．正多边形的相关概念
圆内接 正n边形
中心 半径 边心距
把圆分成n(n≥3)等份，依次连接① 各等分点 所得 的多边形 正多边形的②外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 ③ 外接圆 的半径叫做正多边形的半径 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距
中心角
透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要
求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的
面积的比值)为
.
第3题图
第4题图
4．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆
弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是
.
5．如图，正△ABC的边长为2，D，E，F分别
②
＝.
考点 圆柱与圆锥 6年1考 展开图
圆 柱
侧面积与全面积
圆 锥
考情分析►以选择题或填空题的命题方式考查扇形的面积或弧长的计算，以解答题的 命题方式综合考查阴影部分的面积． 预测►以填空题考查正多边形的有关计算，或综合在切线的性质与判定中考查阴影部 分的面积．
命题点 扇形的面积与弧长的计算
1.如图， 从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的 扇形，则此扇形的面积为( A )
4．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的 点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC. (1)求证：AE＝ED； (2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求 的长．
解题要领：已知圆的半径R及弧所对的圆心角n°，那么这个弧就是一段确定的弧，
求其长度除了利用弧长公式，很多时候可以通过
来计算，特殊的
60°的弧长
来计算，特殊的
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中考总复习——与圆有关的计算
●教学目标
一、知识目标
1．弧长计算公式及扇形面积计算公式
2．圆锥的侧面积公式，表面积公式
二、能力目标
1．掌握弧长及扇形面积公式后，能用公式联想到与圆锥侧面和关系关掌握圆锥侧面积公式
2．能用弧长公式及扇形面积公式，求阴影部分的周长及面积
三、情感目标
1．体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．
●教学重点
1．经历复习弧长及扇形面积计算公式的过程．
2．理解圆锥侧面与底面的联系
3．会用公式解决问题．
4. 会用两个不同的式子表示圆锥侧面展开图的弧长，会用两种不同的式子表示圆锥的侧面积
●教学难点
1．应用弧长及扇形面积计算公式解决问题
2．根据圆锥侧面与底面的联系解决问题
3. 求阴影面积
●教学过程
一、知识点复习
同学们，今天我们要进行的是中考总复习的第24课时，与圆有关的计算。
主要内容分为弧长及扇形面积，圆锥，阴影面积的求法这三方面内容。
而这些计算都离不开公式。
所以，我们先来把基本知识点复习一下。
（接下来由教师引导，学生回答）．
考点一：弧长及扇形面积
1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为R，那么弧长的计算公式为：?Rn＝l1802．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．若
2?Rn扇形的圆心角为n°，所在圆的半径为R，弧长为l，面积为S，则S＝或3601S＝lR 2(注：公式中的n表示1°的圆心角的倍数，所以不写单位)
考点二：圆锥
1．如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形．这个扇形的弧长等于底面的周长．这个扇形的面积可以用弧长l和底面半径r表示为________
考点三：阴影部分的面积1．规则图形：按规则图形的面积公式求．．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法，把不规则图形的面积采用2“旋转法”“等
积变形法”等转化为规则图形的面积．“割补法”二、基础巩固训练考点一：
弧长、扇形面积再做最基本的公式应由于是中考复习，同学们在前面复习公式后，【分析】用题，基本问题不大，所以这个考点中的几个题，每个题都给短暂的计
算时间，适当的把握时间根据学生实际情况，并请其他同学判断正误，即可找同
学做答，安排。
______
，则弧长为已知弧所对的圆心角为900，半径是4问题1.，那么这条弧所对的圆
心角8π 9问题2. 已知一条弧的半径为，弧长为为____。
是两个完全重合的
直角三角板，C′B′A如图，．问题3(2013·济宁)△ABC和△在落′A当点顺
时针旋转，C绕直角顶点C′B′A三角板10 cm.斜边长为，30°＝B∠．
5πAB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm.
3
．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇4问题)
C 的“等边扇形”的面积为( 形”．则半径为22 2
D . π．π B1 C．A．3_______. ，则这个扇形的面积为120°，半径为2问题5.已知扇形
的圆心角为考点二：圆锥但圆锥侧面展开图是有一个扇形，有自己的弧长公式
和面积公式，【分析】侧面即侧面展开图的弧长是底面周长，因此，由于侧面展
开图与底面也有联系，弧长有两个表示展开后扇形弧长公式和面积公式又各自有
了新的表示方法，即，。
这是一个难点。
由教师带方法，面积有两个表示方法，领学生做一个例题后，
再给同学们训练时间。
的扇形做成一个圆锥的侧，半径为6 cm例：(2013·眉山)
用一圆心角为120°)
面，这个圆锥的底面半径是( B．2 cm A．1 cm
4 cm
D．．3 cm C120π×6B.
故选2.＝r2π设圆锥的底面半径为【点拨】r cm，则r＝，解得180B
【答案】【师】同学们，你们还有别的方法吗？练习（先自己做，然后小组
讨论方法和结果）那么侧面展开图的圆心角，已知圆锥的母线长是1、10cm底面半径长是5cm，_______
是的圆，使之恰好1 cm、如图①，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为2)
C(围成图②所示的圆锥，则圆锥的高长为
cm D. 15 C.cm 3 BA.17 cm ．4 cm
考点三：阴影面积的求法【分析】阴影面积的习题中，关于图形的处理是一大难点，本考点，按四种方法，按照由易到难的顺序，循序渐近地渗透给学生，每种方法配一个例题，一个变式题，例题由教师引导学生完成，并讲解该方法的精髓之处，然后由学生独立完成变式，60°＝1，∠AOB＝A【分割法】例1．如图，AB是⊙O的切线，切点为，OA)
则图中阴影部分的面积是(C
1 π－A. 361 π－B. 3313 π－C. 6213 π－D. 32【分析】分割法，一般我们见到的阴影图形是不规则的，通过观察，找到该阴影并且被一条线分割成一个规则的空白图形和一个不规被哪个规则图形包括在内，则的阴影图形，然后用大图形的面积，减去空白图形的面积即可。
中，OAO=2，（给学生一些时间计算并小组讨论）变式：已知⊙ AOB的面积（1）请求出三角形）请求出黄色图形的面积（
2 3）请求出灰色图形的面积（A
o B
【补位法】例2．如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于点A，BC交⊙O 于点D，且D是BC的中点，若∠C＝45°，求阴影部分的面积．
形成的弓AD以“分割法”为铺垫，将弓形割下来，补到弧与弦AD【分析】现在就变成了规则图形——等腰直角三角表，形处。
这样原本不规则的阴影图形，然后应用其面积公式即可的正方形，则以格点为圆心，)如图，小方格都是边长为1变式:(2013·乐山.
－4 和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为2π半径为1
SAB，根据轴对称与旋转对称的性质，从图中可知，解析：如图，连接阴影22×90π14.
π－＝2×2)2×2)－＝2(SS＝×(－扇形AOBAOB△2360
度所组成的图形，求阴影部分的45ACB旋转下图是关半圆【旋转法】例3：面
积
【分析】某一规则图形，经旋转后，旋转过程扫过的面积为不规则图形，但分割后，就变成了一个半是可由分割，变成两个规则图形，如本题，由直线AC圆和一个扇形，而求阴影面积，只需再减去空白的半圆面积即可。
最终发现，旋 ACB 转前后的半圆面积相抵消，实际上阴影面积就是扇形的面积所以，旋转法中面积的相消是常见的．
变式：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2.将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC 扫过的5π.（小组讨论完成）区域面积为12
则AB, 弦CD∥O4：如图，半圆的直径AB=2,【等积变形法】例0,?90?COD______
图中阴影部分的面积为
同底等与△CDOCD∥AB,由平行线间距离相等可知，△CDA【分析】本题中， CDO，与另一部分阴影恰好组成一个扇形高，故可把△CDA变成△故等积变形，就是指把相积相等的两个图形，用其中一个代替另一个，从而能得到规则的图形，方便用面积公式求解。
∥OA,连B，AB切⊙O于，弦BCOA变式：是半径为2的⊙外一点，OA=4_________
接AC,则阴影部分面积为
三、课时小结本节课你有什么收获？本节课学习了如下内容：n Rl，并运用公式进行计算；1．弧长的计算公式＝π180n2RS扇形的面积公式，并运用公式进行计算；π＝360
2．圆锥中：阴影面积的求法：分割法，补位法，旋转法，等积变形法。
其中分割法和3.
补位法常在一起出现，也就是我们常说的割补法。
四．课后作业页《中考金牌》103，104五、板书设计与圆有关的计算一、弧长公式、扇形面积公式?Rn 1、 l＝18012?Rn 2、S＝=lR
2360二、圆锥（注：这里的l是母线，r是底面半径）
? 1、侧面积rl?S222 2、l?h?r三、阴影面积的求法
1、分割法
2、补位法
3、旋转法
4、等积变形法
六、教学反思
备课不仅要备教材，更要备学生。
课堂上，学生们对公式的背诵较熟练，而对于阴影面积的求法不太熟练，如果能在串知识点的过程中节约出几分钟来，放在最后求阴影面积这一环节，而且是放在学生们自己练习的过程中，将效果更好。
今后应练习尽量用简洁又到位的语言教授知识，既能节约时间，又清晰。
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