高中基本不等式的十一类经典题型
高中基本不等式经典题型
高中基本不等式经典题型
高中基本不等式的经典题型有很多，主要包括以下几种：
1. 直接应用基本不等式：这类题目比较简单，主要考察对基本不等式的理解和应用。
例如，利用均值不等式求最值等。
2. 分式函数利用基本不等式求最值：这类题目通常涉及分式函数，需要通过基本不等式找到函数的最值。
3. 分式与整式乘积构造基本不等式：这类题目需要构造合适的不等式，再利用基本不等式求解。
4. 利用1的妙用：在某些情况下，将1巧妙地代入不等式可以简化问题。
5. 利用整式中和与积的关系来求最值：这类题目需要利用整式的和与积的关系，结合基本不等式求最值。
6. 两次运用基本不等式的题型：这类题目需要连续运用两次基本不等式来解决问题。
7. 负数的基本不等式：当题目中出现负数时，需要特别注意不等式的方向和性质。
8. 化成单变量形式：有些题目需要将多变量问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求解。
9. 与函数相结合：这类题目通常将基本不等式与函数结合，需要同时考虑函数的性质和不等式的约束。
10. 判别式法：通过判别式法来求解一些与基本不等式相关的问题。
11. 构造法：通过构造适当的代数式或函数，将问题转化为可以利用基本不
等式解决的问题。
以上只是高中基本不等式的经典题型的一部分，具体题型和解法可能因教材和地区而异。
在解题时，关键是要理解和掌握基本不等式的性质和运用场景，以及灵活运用各种解题技巧。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。
它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。
本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。
二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。
三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。
学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。
23个经典的不等式专题
1、 证明：2221111+...223n +++<； 2、 若：332a b +=，求证：2a b +≤ ； 3、 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 4、 若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ；5、 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b ca b c+>+++ ； 6、当2n ≥时，求证：222111111...12123n n n-<+++<-+ ；7、 若x R ∈，求y =的值域 ； 8、求函数2cos y θθ=-的最大值和最小值 ；9、 若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ ； 10、 若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 11、 若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值12、 若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 13、 若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，30ax by cz ++=，求：a b cx y z++++的值；14、 求证：21153nk k =<∑； 15、 当2n ≥时，求证：12(1)3n n<+<；16、求证：113135135 (21)...224246246 (2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ； 17、求证：1)1...1)<+< ； 18、 已知：0x >,求证：ln(1)1xx x x <+<+ ； 19、 已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n+++<+<++++ ；20、 已知：2n ≥，求证：2(1)n n n >- ；21、 已知：n N +∈，求证：1111 (23212)n n++++>- ；22、设：...n S 2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 23、 已知：n N +∈，求证：1111 (21231)n n n <+++<+++ .【解答】 1. 证明：2221111+...223n+++< ； 1、证明：221222111111111112(1)1nn n n k k k k k k k k k k n ====⎡⎤⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑. 从第二项开始放缩后，进行裂项求和.另：本题也可以采用积分法证明.构建函数：1()2f x x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数.于是：222112111111111111()221nnn n k k dx k kx x n n ===+<+=-=--=-<∑∑⎰从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为[1,]n ；积分项小于求和项时，积分限为[2,1]n +. 2. 若：332a b +=，求证：2a b +≤；2、证明：3322()()()a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()2ab a b +≤则：3()6ab a b +≤，333()8a b ab a b +++≤，即：3()8a b +≤，即：2a b +≤. 立方和公式以及均值不等式配合.另：本题也可以采用琴生不等式证明.构建函数：3()f x x =，则在在x R +∈区间为单调递增函数，且是下凸函数. 对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值.即：()()...() (1212)()f x f x f x x x x n n f n n++++++≥ 对于本题：()()()22f a f b a b f ++≥ 即：33322a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即：33321222a b a b ++⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，即：12a b +≤，即：2a b +≤ 琴生不等式可秒此题.3. 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++；3、由：n n n k n +≥+> (1,2,...,)k n =得：1112n n k n≤<+ ，则：1111112nn nk k k n n k n===≤<+∑∑∑， 即： 111...212n n n n n n n n ≤+++<+++故：1111...12122n n n ≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和.另：本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第k 项，均满足1112n n k n≤<+，当有n 项累加时， 不等式两个边界项乘以n 倍，则不等式依然成立. 即：大于最小值得n 倍，小于最大值的n 倍.另外，111...122n n n+++++的最大值是ln 20.693147...≈，本题有些松. 4.若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ； 4、解：222()244(3)4()12a b a b ab ab a b a b +=++≥=++=++，令：t a b =+，则上式为：24120t t --≥. 解之得：6t ≥. 均值不等式和二次不等式. 5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b ca b c+>+++ ； 5、证明：构造函数()1xf x x=+，则在0x >时，()f x 为增函数. 所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +>，那么，()()f a b f c +>，即：11a b ca b c+>+++ . 111111a b a b a b c a b a b a b a b c ++>+=>+++++++++. 构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.另：不等式的入门证法就是“作差法”和“作商法”. “作差法”即两项相减得差与0比较；作商法”即同号两项相除得商与1比较.本题亦可以采用“作差法”.6. 当2n ≥时，求证：222111111...12123n n n-<+++<-+ ； 6. 证明：当2n ≥时，11n n n -<<+，都扩大n 倍得：2(1)(1)n n n n n -<<+， 取倒数得：2111(1)(1)n n n n n >>-+，裂项：21111111n n n n n ->>--+， 求和：222211111()()11nn nk k k k k k k k ===->>--+∑∑∑， 即： 2221111111 (2321)n n n ->+++>-+ 先放缩，裂项求和，再放缩. 另：本题也可以采用积分证明.构建函数：1()2f x x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数. 由面积关系得到：111()122k k dx f k dx k kx x +>>⎰⎰- 即：111121k k x x k k k+->>-- 即：11111211k kkk k ->>--+本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式.后面的证法同前.7、若x R ∈，求y = ；7、解：y ==设：1(,)22m x =+，1(,22n x =-，则：3m x ⎛=+ ，1n x ⎛=- (1,0)m n -=代入向量不等式：m n m n -<-得：1y m n m n =-<-=，故：11y -<<. 这回用绝对值不等式.本题另解.求函数y =.求导得：'0y ==则：x =±∞，故函数y =x =±∞. 函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在[0,)x ∈+∞.y ===lim 1m x y →+∞==由于是奇函数，故在(,0)x ∈-∞，y ===lim (1m x y →-∞==-故：(1,1)y ∈-. 8、求函数2cos y θθ=-的最大值和最小值 ；8、解：将函数稍作变形为：M Ny == ，设点(,)M M M x y ，点(,)N N N x y ，则(2,0)M ，(cos ,sin )N θθ-， 而点N 在单位圆上，y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直线倍，关键是直线过圆上的N 点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围 就是：11y -≤≤ .故y 的最大值是1，最小值是-1.原本要计算一番，这用分析法，免计算了.另：如果要计算.先变形：y =2cos cos y y y θθθθ-==+；即：2))y θθθϕ=+=+；sin()θϕ=+，即：1sin()1θϕ-≤=+≤；即：22413y y≤+，即：2243y y ≤+，即：21y ≤，即：11y -≤≤ 如果要计算，需要用到辅助角公式.9、若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++≥+++++ 9、证明：由柯西不等式：()()()2111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++⋅+++++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 即：()()2111239a b c a b b c c a ⎛⎫++⋅++≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭即：()2229a b b c c a a b c ⎛⎫++≥ ⎪+++++⎝⎭ 柯西不等式.本题也可以采用排序不等式证明.首先将不等式变形：92a b c a b c a b c a b b c c a ++++++++≥+++； 即：932c a b a b b c c a +++≥+++，即：32c a b a b b c c a ++≥+++. 由于对称性，不妨设：a b c ≥≥，则：a b a c b c +≥+≥+；即：111b c a c a b≥≥+++. 有排序不等式得：正序和a b c a b cb c a c a b a c a b b c ++≥++++++++乱序和； 正序和a b c a b cb c a c a b a b b c a c++≥++++++++乱序和； 上两式相加得：23a b c a b b c a cb c a c a b a b b c a c+++⎛⎫++≥++= ⎪++++++⎝⎭ 即：32c a b a b b c c a ++≥+++ 证毕. 排序不等式.10、若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ； 10、解：柯西不等式：()()()222222212222a b c a b c ⎡⎤+-+++≥-+⎣⎦；即：()292522a b c ⨯≥-+，故：2215a b c -+≤； 所以：152215a b c -≤-+≤.柯西不等式.另：本题亦可采用求极值的方法证明. 构建拉格朗日函数：1222(,,)22(25)L a b c a b c a b c λ=-++++-由在极值点的导数为0得：210L aa λ∂=+=∂，则：2a λ=-，即：2a λ=-； 220L b a λ∂=-+=∂，则：b λ=，即：b λ=； 220L b a λ∂=+=∂，则：c λ=-，即：c λ=-. 代入22225a b c ++=得：103λ=± 极值点为：523a λ=-=，103b λ==±，103c λ=-= 则：2215y a b c m =-+=，即：152215a b c -≤-+≤11、若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值 ； 11、解：设：(2,1,2)m =--，(,,)n x y z =，则：22222(1)(2)9m =+-+-=；2222n a b c =++；22m n a b c ⋅=--； 代入m n m n ≥⋅得：()()222292236a b c a b c ++≥--=；即：2224a b c ++≥，故：最小值为4.向量不等式.向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本题当然可用柯西不等式.2222222[2(1)(2)]()(22)a b c a b c +-+-++≥--，即：22222222(22)6()4[2(1)(2)]9a b c a b c --++≥==+-+- 用拉格朗日乘数法也行.构建拉氏函数：222(,,)(226)L a b c a b c a b c λ=+++--- 在极值点的导数为0，即：220La a λ∂=+=∂，即：a λ=-； 20Lb b λ∂=-=∂，即：2b λ=； 220Lc cλ∂=-=∂，即：c λ=. 代入226a b c --=得：43λ=-则：43a =，23b =-，43c =-故：2222224243643339a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤+-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下.12、若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 12、解：柯西不等式：()()()2222222134212342a c a b c ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥-+++-⎡⎤⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即：()22512a b c ⨯≥++-；故：()525a b c -≤++-≤； 于是：()37a b c -≤++≤. 柯西不等式.另：本题也可以采用换元法求解.有人说：222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 它的三个半轴长分别为：4A =，B =2C =设：1x a =-，2y b =+，3z c =-，则这个椭球的方程为：2221222x y z A B C++= ① 现在来求a b c ++的最大值和最小值. 采用三角换元法：令：sin cos x A θϕ=，sin sin y B θϕ=，cos z C θ= 代入方程①检验，可知它满足方程. 采用辅助角公式化简：sin cos sin sin cos f x y z A B C θϕθϕθ=++=++4sin cos sin 2cos θϕθϕθ=++)2cos θϕϕθ=++)sin 2cos αϕθθ=++]θθ)θφ+故：f x y z =++的峰值是： 当2sin ()1αϕ+=时，5f m===即：55x y z -≤++≤而1232x y z a b c a b c ++=-+++-=++-， 故：525a b c -≤++-≤，即：37a b c -≤++≤.13、若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，30ax by cz ++=，求：a b cx y z++++的值 ；13、解：本题满足：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++=++即柯西不等式中等号成立的条件. 故有：0a b cx y zλ===>，即：a x λ=，b y λ=，c z λ=. 则：2222222()a b c x y z λ++=++；即：22222222536a b c x y z λ++==++，即：56λ=故：56a b c a b c x y z x y z λ++=====++ . 柯西不等式中等号成立. 14、求证：21153nk k =<∑ ； 14、证明：222212222114411111124412121nn n n nk k k k k k k k k k k =====⎛⎫=+=+<+=+- ⎪--+⎝⎭∑∑∑∑∑1115121232133n ⎛⎫=+⨯-<+⨯= ⎪+⎝⎭注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.另：本题也可以采用积分法证明. 构建函数：1()2f x x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数. 2222313311151511444nn n n k k k dx kk k x ====++=+≤+∑∑∑⎰ 3515111541192054431212123nx n n +⎛⎫=-=--=-<== ⎪⎝⎭ 15、当2n ≥时，求证：12(1)3n n<+< ；15、证明：① 由二项式定理得：1212011111111...12nnk n n n n n n k n k C C C C C n n n n n n =⎛⎫+=⋅=+⋅+⋅++⋅+⋅= ⎪⎝⎭>∑ ② 由二项式定理得：11111!11!1111!()!!()!nn n nkn k k kk k k n n C n n k n k n k n k n ===⎛⎫+=+⋅=+⋅=+ ⎪--⎝⎭∑∑∑ 1121(1)(2)(1)111...111!!!nn nk k k n n n n k k n n n n k k ===---+⎡⎤=+⋅⋅⋅⋅⋅<+=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 22211111222213!(1)1n n nk k k k k k k k n ===⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪--⎝⎭∑∑∑本题①由二项式中，保留前两项进行放缩得到：1(1)2n n+>；本题②由二项式中，分子由从n 开始的k 个递减数连乘，分母由k 个n 连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：1(1)3n n+<.另：本题也可以利用函数的基本性质证明.构建函数：1()1x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在1x ≥时，函数为单调递增函数.故：在2x ≥时，1()(1)(11)2f x f ≥=+= 利用基本不等式：ln(1)x x +<，即：1x x e +<则：()111()11()3x y yf x y e e y x ⎛⎫=+=+<=< ⎪⎝⎭.本方法需要运用ln(1)x x +<，该不等式成立的条件是：0x >.16、求证：113135135 (21)...224246246 (2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 16、证明：()()22221(21)(21)n n n n >-=-+，故：212221n nn n -<+； 令：135(21)...246(2)n n S n -=⋅⋅⋅⋅， 246(2)...357(21)n n T n =⋅⋅⋅⋅+ ；则：n n S T <，即：2135(21)246(2)1......246(2)357(21)21n n n n n S S T n n n -<⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++ ；故：n S <①由><<，故：代入①式得：n S <则：原式=1211...1nnn k k k S S S S ==+++=<=<∑∑本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差， 然后利用求和来消去中间部分，只剩两头. 17、求证：1)1...1)<+< ； 17、证明：由<2>=；即：1121)nnk k ==>=∑ ① 由：()()()22222281811882n n n n ->--=-得：()281n->==即：281n->，即：2(21)2(21)1 n n n n++-->，即：21>1 ><，多项求和：)111n nk k==<=②由①②，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法.18、已知：0x>,求证：ln(1)1xx xx<+<+;18、证明：(1)构造函数：()ln(1)f x x x=-+，则：(0)0f=.当0x>时，函数的导数为：1'()101f xx=->+，即当0x>时，函数()f x为增函数. 即：()(0)0f x f>=；故：()ln(1)0f x x x=-+>，即：ln(1)x x+<.(2) 构造函数：()ln(1)1xg x xx=+-+，则：(0)0g=.当0x>时，其导数为：()()2211'()01111x xg xx x x x⎡⎤=--=>⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦.即当0x>时，函数()g x为增函数. 即：()(0)0g x g>=；故：()ln(1)01xg x xx=+->+，即：ln(1)1xxx<++.由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、已知：n N+∈，求证：11111...ln(1)1...2312xn n+++<+<++++；19、证明：先构造函数：1()f xx=，在函数图象上分别取三点A,B,C，即：1(,)A kk,1(1,)1B kk--,1(1,)1C kk++,我们来看一下这几个图形的面积关系：S S S S<=<；即：1111()1k kkk dx f k dx xx +-⋅<⋅<⋅⎰⎰ ；即：11ln ()ln k kk k x f k x +-<< ；即：1ln(1)ln ln ln(1)k k k k k +-<<-- ； (1) 1ln(1)ln k k k+-<求和：11111(ln(1)ln )1...2nnk k k k kn ==+-<=+++∑∑；即：11ln(1)1...2n n+<+++；(2) 1ln ln(1)k k k<--求和：；即：121111...ln(1)231n k n kn +==+++<++∑; 由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题. 20、 已知：当2n ≥时，求证：2(1)n n n >- ；20、 证明：当21r n ≤≤-时，1r n nC C n >=. 由二项式定理得：11112(11)(1)nn n nnkk nnk k k C C n n n --====+=>>=-∑∑∑证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、 已知：n N +∈，求证：1111 (23212)n n++++>- ；21、 证明：设：1111 (2321)n n S =++++-，则：111111111111111()()()...(...)234567*********n n n n n n S --=++++++++++++-++-2233331111111111111()()()...(...)222222222222n n n n n >++++++++++++-11111111()()()...()1(1)2222222222n n n n n n =+++++-=+-=+->证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n 组，每组都大于12，这样放缩得证.22、设：...S求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 22、证明：由(1)122k k k k ++<<=+得：12k k <<+，求和得：11112nnnk k k k k ===⎛⎫<+ ⎪⎝⎭∑∑即：2(1)(1)(2)(1)22222n n n n n n n n n S ++++<<+=< 即：2(1)2(1)n n n S n +<<+..23、 已知：n N +∈，求证：1111 (21231)n n n <+++<+++ . 23、 证明：设：111 (1231)n S n n n =++++++ ； 采用倒序相加得：111111112...131********n S n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；各括号内通分得：()()()()()()()()424242422...131********n n n n n S n n n n n n n n ++++=++++++++-++；即：()()()()()()()()1111(21)...131********n S n n n n n n n n n ⎡⎤=+++++⎢⎥++++-++⎣⎦ ①；由：()()()()222(1)(31)21212121n n n n n n n n n ++=+-++=+-<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；()()()()()222(2)(3)21(1)21(1)21121n n n n n n n n n +=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()()()()222(3)(31)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n +-=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ……()()()()()222(31)(1)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n n n n ++=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 共有：(31)(1)121n n n +-++=+项. 将上述不等式代入①式得：()()()()2222111(21)(21)...(21)121212121n n S n n n n n n ⎡⎤+>++++=+⋅=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦； 即：1S > ②另：1111112122 (2123111111)n n n S n n n n n n n n ++=+++<+++=<=++++++++； 即： 2n S < ③ 由②和③，本题得证.本题中n S 有(21)n +项，将其放缩为同分母的分式是解题关键.。
基本不等式题型大全
基本不等式题型大全知识点：1.几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤ ②（基本不等式）2a b+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+2.几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.板块一 基本不等式及其变换一、“配、凑、拆”的技巧 ①基本不等式及变形1.函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________；2.函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________．2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53.已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________． 解：∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2..54124,45.1的最大值求函数已知-+-=<x x y x 答案：1.,)0(312)(.2的值并求取最值时的最值求x x x xx f ≠+=答案：略223.,,()().a b y x a x b =-+-（三星）为实常数求的最小值解：（1）方法一：方法二：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为____________； (2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为____________．解：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0.x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.8.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． 解：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．9.函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12..)2)(12(,523.42222的最大值求已知++==+b a y b a答案：147162223.,1,1.2y x y R x x y +∈+=+（三星）设且求的最大值221y+≤2210.1,.x yx y xyx y+>=-（二星）若且求的最小值答案：23.设x，y∈R，且xy≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1y2·⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2的最小值为________．解：⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1y2⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．14．在各项都为正数的等比数列{}n a中，若2018a=，则2017201912a a+的最小值为________．4 14．已知正数x y，满足2230x xy＋－＝，则2x y＋的最小值是___________．3②二次分式有关12.已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解：∵t>0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．13.当x>0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：∵x>0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．14.(1)求函数f(x)＝1x－3＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝x2－3x＋1x－3(x＞3)的最小值；解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝1x－3＋(x－3)＋3≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时取等号，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1t＝t＋1t＋3≥2t·1t＋3＝5.当且仅当t＝1t，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.15.设x>－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；解：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9.4.当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：(1)∵x ＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．5.函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是________．解：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2 x－13x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2③平方平均数的应用228.,1,.x y R x y x y +∈+=+（一星）已知且求的最大值解：使用不等式变形2a b +≤.11.()0,0,1,.a b a b >>+=二星设答案：7．（三星）设,0,5,a b a b >+= _________. 解：因为,0,5,a b a b >+=所以()()139a b +++=由不等式2x y+≤2≤=，13.（四星）已知实数a b c ，，满足22201a b c a b c ++=++=，，则a 的最大值是 ____________． 解：∵222b c bc +≥，即()()2222222b c b c bc b c +++=+≥，∴()2222b c b c++≥，由0a b c ++=，得b c a +=-，由2221a b c ++=，得()22222122b c a a b c +-=+=≥，∴223a ≤，∴a ，故a ．9.（三星）已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）BA ．15B ．9C ．1D ．53-1.（二星）若0,0x y >>的最小值为_________.2.)510)(51(.52的最值求函数≤≤-=x x x y答案：4675.cos sin ,.62的最大值求为锐角设θθθ=y答案：9二、附条件求最值：“1”的代换5：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是____． 解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab ＝3＋2 2.36.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_________． 解 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．37.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； 解 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．38.已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：∵9x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋29y x ·xy ＝16.当且仅当9y x ＝x y 且9x ＋1y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16.39.已知x ，y 为正实数，且1x ＋16y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：∵1x ＋16y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋216x y ·yx ＝25.当且仅当16x y ＝y x 且1x ＋16y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25.1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________． 解： ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a≥52＋22a b ·b 2a＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.40.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6解 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.41.正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y ，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9xy ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.9.,,280,.x y R x y xy x y +∈+-=+（二星）已知且求的最小值答案：18227.()01,,,().1a b x a b f x x x<<=+-三星设为常数求的最小值答案：2()a b +2.（二星）若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解：因为直线过点(1,1),所以111=+b a ，所以ba ab b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以4222=⨯+≥++baa b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立.14.（二星）若()42log 34log a b +=则a b +的最小值是（ ）DA ．6+B ．7+C ．6+D ．7+112511.0,0,1,:.4a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫>>+=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（三星）设求证1.（四星）已知20x y >>，且满足181022x y x y++=-，求实数x 的最大值. 答案：[]2,181.已知,x y 都是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为__________.941.（三星）设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___________.141.（三星）已知1,,(0,1)4ab a b =∈，则1211a b+--的最小值是__________.20．（四星）函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于2），则()12f x x 的最小值为_______。
第9讲 基本不等式9种常见题型(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)
第9讲基本不等式9种常见题型【考点分析】考点一：重要不等式若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；考点二：基本不等式若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号.其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．考点三：几个常见重要的不等式①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).【题型目录】题型一：直接利用基本不等式求最值题型二：“1”的代换，乘1法题型三：常规凑配法题型四：换元法题型五：消参法题型六:双换元题型七：齐次化题型八：和、积、平方和的转化题型九：多选题【典型例题】题型一直接利用基本不等式求最值【例1】（2021·湖南邵阳市）若正实数y x ,满足12=+y x .则xy 的最大值为（）A ．14B ．18C ．19D ．116【答案】B【解析】1218x y xy +≥≥≤ 当且仅当122x y ==时取等号，即xy 的最大值为18故选：B 【例2】（2021·六安市裕安区新安中学）已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（）A ．12B ．14C ．23D ．34【答案】D【解析】因为01x <<，所以10,0x x ->>，所以()1x x +-≥，当且仅当1x x =-，即12x =时，等号成立，所以1≤，整理得()114x x -≤，即3(33)4x x -≤.所以(33)x x -的最大值为34.故选：D.【题型专练】1.（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C【解析】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=，当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立.故选：C ．2.（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（）A ．4-B ．4C ．8D ．8-【答案】B【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B 题型二“1”的代换，乘1法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．【例1】（2021·上海市大同中学）设b a ,为正数，且1a b +=，则ba 11+的最小值为_______.【答案】4【解析】因为b a ,为正数，且1a b +=，所以11111111124a b a b a b a b a b b a +=+⨯=+⨯+=+++≥+=()()(),当且仅当a=b=1时取等号即11a b+的最小值为4.故答案为：4【例2】（2021·河北石家庄市）已知0,0x y >>，且350x y xy +-=，则34x y +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．9【答案】B【解析】由350x y xy +-=，得135y x+=，所以1131312134(34)13(135555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,2x y ==，取等号.故选：B.【例3】（2021·北京师范大学万宁附属中学）已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为（）A ．3222-B ．3222+C ．3-D ．3+【答案】B【解析】因为0a >，0b >，且122a b+=，所以()112121322332222b a a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b =即212a +=，222b +=时，a b +有最小值3222+.故选：B.【例4】（2021·浙江高一期末）0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【答案】32m ≤【解析】因为21a b +=，所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭1122a b b b a b +=++++322a b b b a b+=+++333222≥+=+=当且仅当2a b bb a b+=+，即1)a b =-时，取等号，因为不等式1102m b a b +-≥+恒成立，所以m 小于等于112b a b++最小值，所以32m ≤【例5】（2021·浙江）当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】不等式11014m x x+-≥-恒成立化为41414m x x ≤+-恒成立，因为104x <<，所以140x ->，所以()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭44(14)5144x x x x -=++-5≥+549=+=，当且仅当44(14)144x x x x -=-，即16x =时，等号成立.所以9m ≤，所以m 的最大值为9.故选：C【例6】若1,0m n >>，3m n +=，则211m n+-的最小值为__________．【答案】232+【解析】因为3=+n m ，所以21=+-n m ，所以1221=+-nm ，所以232232112212111221112112+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-n m m n n m m n n m n m n m 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-3211n m n m m n，等号成立.【例7】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为．【答案】322+【解析】因为1=+b a ，所以()b a b a b a a b a ab b a a ab a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=+1212111111322322122+=+⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+++=b a a b b a a b ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=12b a b aa b ，等号成立.【例8】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是．【答案】43【解析】因为2=+b a ，所以14412444421+=+≥++=++=+aa a ab a a b a a b a a b a b a a ，当0>a 时，45141||||21=+≥+b a a ，当当0<a 时，43141||||21=+-≥+b a a 【题型专练】1.（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】C 【解析】【分析】依题意可得2xy x y =+，则4362xy x y x y --=+，再由乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：由0x >，0y >且211x y+=，可得2xy x y =+，所以43648362xy x y x y x y x y--=+--=+()2142448y x x y x y x y ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即4x =，2y =时取等号．故选：C2.（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a ba b +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】A 【解析】【分析】对已知条件和要求最值的代数式恒等变形之后应用均值不等式即可求解【详解】()()232111a b a b +=⇒-+-=因为12a >，1b >，所以210a ->，10b ->又221111112211211211a b a b a b a b a b -+-++=+=++------所以()()1111211211211a b a b a b ⎛⎫+=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭21122224121a b b a --=++≥+=+=--当且仅当23211121a b a b b a +=⎧⎪--⎨=⎪--⎩即34a =，32b =时，取等号所以21126211211a b a b a b +=++≥----故选：A3.（2022·四川·石室中学三模（文））已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】B 【解析】【分析】将1a 中分子1替换为a +b ，将8b中分子8替换为8(a +b )，化简即可利用基本不等式求该式子的最小值．【详解】由已知，得188********a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭916262650b a a b =++≥+=，当且仅当916b a a b =，即37a =，47b =时等号成立．因此，1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是50．故选：B ．4.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.【答案】9【解析】【分析】由0ab a b --=得111a b +=，则()4141a a b b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+，展开利用基本不等式可求得最值.【详解】由0ab a b --=得111a b +=，所以()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，即32a =，3b =时取等号，故4a b +的最小值为9.故答案为：95.（2022·天津·南开中学模拟预测）设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．1.【解析】【分析】两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果.【详解】因为1x y +=，所以2211122222222x x x y x x x y x yxy xy y y x y y x+++++==++=++1122222x x y y y x =++++1112x y y x =++≥=当且仅当1,2x y ==212x xy+1，1.6．（2022·重庆·三模）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】由题得313a b b a+=+，再利用基本不等式求出2(3)a b +的最小值即得解.【详解】解：由题得331(3)3,3a b ab a b a b a b ab b a++=+∴+==+，所以23133(3)()(3)101016a b a b a b b a b a +=++=++≥+=.(当且仅当1a b ==时取等)因为34a b +≥，所以3a b +的最小值为4.故答案为：4题型三常规凑配法【例1】（2021·云南文山壮族苗族自治州）已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（）A ．4B ．7C ．2D ．8【答案】B【解析】因为3()x ∈+∞，，所以43003x x ->>-，，44(3)33=733y x x x x =+=-++≥+--当且仅当43=3x x --即5x =时取等号，所以43y x x =+-的最小值为7.故选：B 【例2】（2021·安徽省泗县第一中学）函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（）A ．134B ．3C ．72D ．94【答案】A【解析】因为1x >，所以10x ->，所以9191113()(1)4141444x f x x x x =+=-+++=-- ，当且仅当1941x x -=-，即7x =时等号成立，所以()f x 的最小值为134.故选：A ．【例3】若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是__________.【答案】51≥a 【解析】max221313⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⇔++≥x x x a x x x a ，因51131132≤++=++xx x x x ，所以51≥a 【例4】设0abc >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（A ）2（B ）4（C）（D ）5【答案】4【解析】原式()()()()()22251212251011c a b a a b a a ab ab c ac a b a a b a a ab ab -+-⋅-+⋅≥+-+-+-++=4022=++=【例5】（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A 【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥+-3=，当且仅当()1311x x -=-，即13x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2.（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B ．52+C ．3D ．3+【答案】D 【解析】【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得.【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >，由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=------，当且仅当2111x y =--，即112x y =+=+“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+故选：D3.（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3【解析】【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.题型四换元法【例1】（2021·永丰县永丰中学高一期末）函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．5【答案】B【解析】因为1x >，设01>-=x t ，所以1+=t x 所以()()332333311122+≥++=++=++++=tt t t t t t t t f ，当且仅当tt 3=，即3=t ，所以1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+B【例2】（2021·全国高一课时练习）函数2y =___________.【答案】4【解析】令1t =≥，则244y t t==+≥，当且仅当2t =，即x =时，min 4y =.所以函数2y =4.故答案为：4题型五消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例1】已知22451()x y y x y +=∈R ，，则22x y +的最小值是．【答案】54【解析】因22451x y y +=，所以42215y x y-=，所以422222222211142425555555y y y x y y y y y y -+=+=-+=+≥=⨯=当且仅当221455y y =，即212y =时取等号【例2】若实数x ，y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．【答案】8【解析】因33xy x +=，所以33x y =+，所以33y x=+，因此311133668333y y x y y y +=++=-++≥+=---当且仅当133y y -=-时取等号【题型专练】1.（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=.【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =，则0t >21262t a b =+++++由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立.故答案为：2.（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22114343xy xy x y z x xy y y x ==-++-，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+ ，当且仅当1y =时取等号，即212x y z+-的最大值是1．故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.3.（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B．2C．2D ．6【答案】B 【解析】【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842，用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解.【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++88422224222 ，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号.故选：B.题型六双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．【例1】若00a b >>，，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为．【答案】1【解析】设21a b x b y +=⎧⎨+=⎩，则121x y a b y --⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以111x y =+，因此21223a b x y y x y =--+-=+-+因()111124x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以2431a b ≥-=+【例2】已知0x y >，，求44x yx y x y+++的最大值.【答案】1【解析】设4x y a x y b +=⎧⎨+=⎩，则343a b x b a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因此441453343333333a b b ax y b a b a x y x y a b a b a b --⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++⎝⎭因2333b a a b +≥=所以421433x x y x y +≥-=++【例3】（2022·浙江省江山中学高三）设0a >，0b >，若221a b +=2ab -的最大值为（）A．3B．C．1D．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()124a b b -+=进而根据三角换元得5cos ,(062sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可.【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()124a b b -+=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧+>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-+≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.【题型专练】1.（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
高一不等式经典题型
高一不等式经典题型高中数学中，不等式是一个重要的章节，它是解决各种问题的关键。
在高一阶段，学习不等式，需要掌握一些经典的题型，这些题型比较常见，而且难度适中，掌握一定的技巧可以解决大部分的不等式问题。
1. 二次不等式二次不等式是高中数学中比较重要的一类不等式。
它的一般形式是ax+bx+c>0或ax+bx+c<0，其中a、b、c是实数，且a≠0。
解题步骤：（1）化简不等式，将其转化为标准形式ax+bx+c>0或ax+bx+c<0。
（2）判断二次函数的开口方向和顶点坐标。
（3）根据二次函数的图像和不等式的符号关系，求出不等式的解集。
2. 绝对值不等式绝对值不等式也是高中数学中常见的一类不等式。
它的一般形式是|ax+b|>c或|ax+b|<c，其中a、b、c是实数，且a≠0。
解题步骤：（1）化简不等式，将其转化为标准形式|u|>v或|u|<v。
（2）根据绝对值的定义和不等式的符号关系，求出不等式的解集。
3. 算术平均数-几何平均数不等式算术平均数-几何平均数不等式是一种经典的不等式，它的一般形式是对于任意n个正实数a、a、…、an，有(a+a+…+an)/n ≥ (aa…an)^(1/n)其中等号成立的充分必要条件是a=a=…=an。
解题步骤：（1）将不等式中的n个正实数取对数，转化为等价的不等式。
（2）应用AM-GM不等式，得到不等式的解。
以上是高一不等式经典题型的简要介绍，希望能对学习数学的同学有所帮助。
掌握这些经典题型，能够帮助我们更好地理解不等式的性质，提高解题的能力。
高中不等式经典题型
高中不等式经典题型
1.均值不等式：在实数范围内，对于任意正数a，b，总有2a+b≥ab，当且仅当
a=b时等号成立。
例如，求函数y=x+4/x的最小值。
2.绝对值不等式：对于任意实数x，y，总有∣x+y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣，当且
仅当x，y同号时等号成立。
例如，求函数f(x)=|x-1|-|x+2|的最大值。
3.柯西不等式：对于任意实数a，b，c，总有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅
当c=ad时等号成立。
例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。
4.排序不等式：对于任意实数a，b，c，总有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等
号成立。
例如，求函数f(x)=x^2+y^2的最小值。
这些不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决一些最优化问题、比较大小等问题。
在解决不等式问题时，需要灵活运用这些不等式，结合具体的题目条件进行求解。
高考不等式题型及解题方法
高考不等式题型及解题方法高考不等式题型及解题方法不等式作为数学中的一种重要的数学概念，它在高考数学中也占有重要的地位。
在高考中，关于不等式的考点主要有以下几个方面：1. 不等式的基本性质：包括不等式的传递性、反对称性、加减乘除不等式两端的数等等。
2. 不等式的解法：包括一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法等等。
3. 不等式的应用：包括利用不等式求最值、证明不等式等等。
在高考中，关于不等式的考点是非常多的，而其中涉及到的不等式类型也是非常多的，下面我们就来了解一下高考中常见的不等式类型及其解法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是指一个未知数的一次不等式，它的一般形式为ax+b>0或ax+b<0。
解一元一次不等式时，首先需要将未知数的系数和常数项分别移项，然后根据不等式符号判断解的范围。
例如：解不等式2x-3>1。
解：将不等式中的常数项移项得：2x>4，再将未知数的系数2移项得：x>2。
所以，不等式2x-3>1的解集为{x|x>2}。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指一个未知数的二次不等式，它的一般形式为ax+bx+c>0或ax+bx+c<0。
解一元二次不等式时，可以利用函数图像、配方法、求根公式等方法进行求解。
例如：解不等式x+2x-3>0。
解：首先求出x+2x-3=0的两个根：x1=-3,x2=1。
然后将不等式方程对应的二次函数的图像画出来，根据函数图像的上下关系，可以判断出不等式的解集为(-∞,-3)U(1,+∞)。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指一个未知数与定值或其他未知数之间的关系，它的一般形式为|ax+b|<c或|ax+b|>c。
解绝对值不等式时，一般需要进行分情况讨论，然后利用不等式的基本性质进行求解。
例如：解不等式|2x-1|<3。
解：首先将不等式中的绝对值拆开，得到两个一元一次不等式：2x-1<3和2x-1>-3。
高中数学不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高中不等式15种典型例题 -回复
高中数学作为数学教育中的重要一环，其内容涵盖了许多重要的知识点和技巧。
其中，不等式作为数学中的重要内容之一，其在高中数学中占据着重要的地位。
不等式是数学中一个非常重要的概念，它是指两个数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等关系。
在高中数学中，不等式是一个非常重要的知识点，也是考试中经常出现的题型之一。
今天，我们将就高中数学中的不等式问题进行一些讨论。
本文将围绕高中数学中不等式的15种典型例题展开讨论，帮助大家更好地理解和掌握高中数学中的不等式知识。
1. 一元一次不等式我们来讨论一元一次不等式的解法。
一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。
类似于$x+3>5$这样的不等式就是一元一次不等式的典型例子。
解一元一次不等式的方法和解一元一次方程类似，不过在不等式中除了要进行加减乘除的运算外，还要注意不等式方向的改变。
在解一元一次不等式时，可以运用逆向思维法，即将原不等式中的未知数移到一边，常数移到一边，且改变不等式的方向。
对于不等式$x+3>5$，我们可以将3移到不等式的右边，得到$x>5-3$，即$x>2$。
这样就得到了不等式$x+3>5$的解$x>2$。
通过这种方法，我们可以解决许多简单的一元一次不等式问题。
2. 一元二次不等式我们来讨论一元二次不等式的解法。
一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的不等式。
类似于$x^2-4x+3>0$这样的不等式就是一元二次不等式的典型例子。
解一元二次不等式的方法相对复杂一些。
一般来说，可以先将一元二次不等式化简成关于未知数的一元二次方程，然后通过求解二次方程的根的方法来解决不等式问题。
我们还可以通过画出一元二次函数的图像，来直观地了解不等式的解集。
对于不等式$x^2-4x+3>0$，我们可以先将其化简为$(x-1)(x-3)>0$，然后通过求解二次方程$(x-1)(x-3)=0$得到不等式的解集，再通过画出函数$y=x^2-4x+3$的图像，来进一步确认不等式的解集。
高中数学基本不等式知识点及练习题
高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。
基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。
要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。
高中基本不等式的十一类经典题型
高中基本不等式的十一类经典题型类型一：基本不等式的直接运用类型二：分式函数利用基本不等式求最值类型三：分式与整式乘积构造的基本不等式类型四：1的妙用类型五：利用整式中和与积的关系来求最值类型六：两次运用基本不等式的题型类型七： 负数的基本不等式类型八： 化成单变量形式☆类型九：与函数相结合类型十： 判别式法类型十一：构造高考真题10.已知512a -=，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为▲.[解析] 考查指数函数的单调性. 51(0,1)2a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n.类型一、基本不等式的直接运用1 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值 （改)4(2x x y -=）（2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值（3）求)20(42<<-+=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值2 ,141,0,0=+>>yx y x 则xy 的最小值是 3 ,141,0,0=+>>yx y x 则y x +的最小值是 4已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值 5.如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则mn 的最大值为 18 ．【解答】解：∵函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f ′（x ）≤0，即（m ﹣2）x+n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m ﹣2）x+n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f ′（2）≤0即可．即，由②得m ≤（12﹣n ），∴mn ≤n （12﹣n ）≤=18， 当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn 的最大值为18．故答案为：18．类型二、分式函数利用基本不等式求最值1设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最值 2 已知1x >-，求2311x x y x -+=+的最值及相应的x 的值 3 不等式1322<+-x x 的解集为类型三、分式与整式乘积构造的基本不等式1 若c b a >>，求使11k a b b c a c+≥---恒成立的k 的最大值. 2 若0,0>>b a 且11121=+++b b a ，求b a 2+的最小值 3 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．4. 设,1,1,,>>∈b a R y x 若,4,22=+==b a b a x x 则yx 12+的最大值为 5. 求)490(4911<<-+x x x 的最小值 6. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值围。
高中数学不等式13种常考问题与方法
高中数学不等式13种常考问题与方法
高中数学不等式常考的题型，出题方式，以及问题的解法，同学们在复习不等式内容的时候都要逐一了解才行。
比如：简单的一元高次不等式解法、分式不等式的解法、绝对值不等式的解法、不等式的恒成成立能成立恰成立问题、二元一次不等式组与线性规划问题。
线性规划常见题型与解法：线性目标函数的取值范围、求可行域的面积、求可行域中整点个数、求线性目标函数中参数的取值范围、求非线性目标函数的最值。
线性规划的实际应用：平移找解法、整点调整法、逐一检验法。
那么，这些都是高中同学复习不等式阶段所必须要掌握的内容。
同学们都掌握全面了吗？
需要打印的同学跟家长，可以私信我：高中数学不等式解法，就可以了。
高一基本不等式题型归纳
高一基本不等式题型归纳一、利用基本不等式求最值1. 积定和最小- 例1：已知x>0，y>0，且xy = 16，求x + y的最小值。
- 解析：根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知xy=16。
- 则x + y≥slant2√(xy)=2√(16)=8。
- 当且仅当x=y时取等号，又因为xy = 16，所以x=y = 4时，x + y取得最小值8。
2. 和定积最大- 例2：已知x>0，y>0，x + y=8，求xy的最大值。
- 解析：由基本不等式xy≤slant((a + b)/(2))^2（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知x + y = 8。
- 则xy≤slant((x + y)/(2))^2=((8)/(2))^2 = 16。
- 当且仅当x=y时取等号，又因为x + y = 8，所以x=y = 4时，xy取得最大值16。
二、基本不等式的变形应用1. 配凑法求最值- 例3：已知x> - 1，求y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}的最小值。
- 解析：- 因为x> - 1，则x+1>0。
- 对y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}进行变形，y=frac{(x + 1)^2+5(x + 1)+4}{x + 1}=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5。
- 根据基本不等式a+b≥slant2√(ab)，这里a=x + 1，b=(4)/(x + 1)。
- 则y=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5≥slant2√((x + 1)×frac{4){x + 1}}+5=2×2 +5=9。
- 当且仅当x + 1=(4)/(x + 1)，即(x + 1)^2=4，因为x> - 1，所以x + 1 = 2，x=1时取等号，y的最小值为9。
高中数学不等式解法15种典型例题
x + 5 0 (x + 4)(x
−
2)
0
x x
−5 −4或x
2
∴原不等式解集为 x x −5或 − 5 x −4或x 2
说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 x 的系数必为正；②对
于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇 穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题七
∴原不等式解集是{x x −2，或1 x 5，或x 6} ． 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解． 解法二中，“定符号”是关键．当每个因式 x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决 定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
2x2 3x2
− −
3x 7x
+ +
1200或32xx22
− −
3x 7x
+ +
1 0 20
∴原不等式解集为
(−,
1) 3
(
1 2
,1)
(2,+)
。
x 1 或 1 x 1或x 2 32
解法二：原不等式等价于 (2x −1)(x −1) 0 (3x −1)(x − 2)
(2x −1)(x −1)(3x −1) (x − 2) 0 用“穿根法”∴原不等式解集为 (−, 1) (1 ,1) (2,+)
画数轴，找因式根，分区间，定符号． (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之，得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}．
说明：此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解． 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。
2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()min a b +=。
其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。
例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ．解析：很明显，和为定，当且仅当1a b ==-时取等号。
变式：函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。
解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明12m n ==时取等号。
例题2：已知函数()2122xx f x +=+，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得，当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。
变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为 。
解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：解法1：故而可得分式的解法2：问题2：“1”的代换例题4：若两个正实数x 、y 满足141x y += ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。
高中不等式所有知识典型例题超全
一．不等式的性质：二．不等式大小比拟的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商〔常用于分数指数幂的代数式〕；3．分析法；4．平方法；5．分子〔或分母〕有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
其中比拟法〔作差、作商〕是最根本的方法。
三．重要不等式1.〔1〕假设R b a ∈,，那么ab b a 222≥+ (2)假设R b a ∈,，那么222b a ab +≤〔当且仅当b a =时取“=〞〕2. (1)假设*,R b a ∈，那么ab b a ≥+2(2)假设*,R b a ∈，那么ab b a 2≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕(3)假设*,R b a ∈，那么22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=〞〕 3.假设0x >，那么12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=〞〕; 假设0x <，那么12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=〞〕 假设0x ≠，那么11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕 假设0>ab ，那么2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=〞〕假设0ab ≠，那么22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕 4.假设R b a ∈,，那么2)2(222b a b a +≤+〔当且仅当b a =时取“=〞〕 注：〔1〕当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大〞．〔2〕求最值的条件“一正，二定，三取等〞(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc 〔a,b,c ∈R +〕,a +b +c 3a =b =c 时取等号〕；6. 1n(a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤(a +b 2)2 (a,b ∈R +) ; abc ≤(a +b +c 3)3(a,b,c ∈R +)a ≤2ab a +b ≤ab ≤a +b 2≤a 2+b 22≤b.(0<a ≤b)7.浓度不等式：b －n a －n <b a <b +m a +m ,a>b>n>0,m>0;应用一：求最值例1：求以下函数的值域〔1〕y ＝3x 2＋12x 2 〔2〕y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项 例1：54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
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高中基本不等式的十一类经典题型
类型一：基本不等式的直接运用
类型二：分式函数利用基本不等式求最值
类型三：分式与整式乘积构造的基本不等式
类型四：1的妙用
类型五：利用整式中和与积的关系来求最值
类型六：两次运用基本不等式的题型
类型七： 负数的基本不等式
类型八： 化成单变量形式☆
类型九：与函数相结合
类型十： 判别式法
类型十一：构造
高考真题
10.已知512a -=，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .
[解析] 考查指数函数的单调性.
51(0,1)a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n.
类型一、基本不等式的直接运用
1 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值 （改)4(2x x y -=）
（2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值
（3）求)20(42<<-+=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值
2 ,141,0,0=+>>y
x y x 则xy 的最小值是 3 ,141,0,0=+>>y
x y x 则y x +的最小值是 4已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值 5.如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[
]上单调递减，则mn 的最大值为 18 ．
【解答】解：∵函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上
单调递减，
∴f ′（x ）≤0，即（m ﹣2）x +n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．
而y=（m ﹣2）x +n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．
故只须在两个端点处f ′（）≤0，f ′（2）≤0即可．即，
由②得m ≤（12﹣n ），
∴mn ≤n （12﹣n ）≤=18，
当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．
∴mn 的最大值为18．
故答案为：18．
类型二、分式函数利用基本不等式求最值
1设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最值 2 已知1x >-，求2311
x x y x -+=+的最值及相应的x 的值 3 不等式13
22<+-x x 的解集为
类型三、分式与整式乘积构造的基本不等式
1 若c b a >>，求使
11k a b b c a c
+≥---恒成立的k 的最大值. 2 若0,0>>b a 且11121=+++b b a ，求b a 2+的最小值 3 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其
中mn >0，则1m ＋2n
的最小值为________． 4. 设,1,1,,>>∈b a R y x 若,4,22=+==b a b a x x 则y
x 12+的最大值为
5. 求)490(4911<<-+x x x 的最小值
6. 已知0,0x y >>且191x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
7 若且
则的
最小值为 ．
8 定义: min{,}x y 为实数,x y 中较小的数.已知22min{,
}4b h a a b
=+，其中,a b 均为正实数,则h 的最大值是_________.
9 已知,0,2>=+b b a 当b
a a ||||21+取得最小值时，a 的值为？ 10.设y ,x 是正实数,则
y
x y y x x 3223+++的最大值为________.令分母分别为m,n 来做
类型四、1的妙用 1 设正实数b a ,满足,2=+b a 则当b
a a 21+的最小值为
2 函数x
x y 2sin 92cos 4+=的最小值是 3 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫+
+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 4 设01x <<，函数411y x x
=+-的最小值为 ． 5 设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b
+-的最小值为 ． 6 已知,0,0>>y x 且,082=-+xy y x 则y x +的最小值为？
7.已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b
的最小值为________. 解析 (1)11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a
＝2＋(44－4a ＋24a －1
) ＝2＋(44－4a ＋24a －1
)[(4－4a )＋(4a －1)]3 ＝2＋2＋13(4(4a －1)4－4a ＋2(4－4a )4a －1
) ≥4＋13×24(4a －1)4－4a ·2(4－4a )4a －1
＝4＋423， 当且仅当4(4a －1)4－4a ＝2(4－4a )4a －1
时取等号.
类型五：利用整式中和与积的关系来求最值
1 已知,93,0,0=++>>xy y x y x 则y x 3+的最小值为
类型六：两次运用基本不等式的题型
1 设,0>>b a 则)
(112b a a ab a -++的最小值是 2若222110,1025a b c a ac c ab a ab >>>+
+-+-求2的最小值？ 3 若正实数z y x ,,满足,3422xy z y x +=+则当z
xy 取得最大值时，z y x 1211-+的最大值为
4 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥22 5.已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则522
ac c c b ab c +-+-的最小值为 ． 先解决a,b ，再解决c, 太难了，算了吧
类型七： 负数的基本不等式 ab b a b a 2,0,0-≤+<<
1 已知10<<x ，求x
x y lg 4lg +
=的最大值 类型八： 化成单变量形式☆
1若正数满足 ,0132=-+xy x 则y x +的最小值是 2.已知1
4
ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ． 类型九：与函数相结合 1 若x,y 是非零实数，代数式15)(82222++-+x
y y x x y y x 的值恒为正数吗？ 2 .1
,043的取值范围求若++>x x x x 3 求函数x
x x x y 111+++
=（x>0）的最小值 4 若a>0，b>0，且a ＋b ＝2，则ab ＋1ab
的最小值为 ． 5 设001,,a b a b >>+=，求证：（提示：要用到4
1≤ab 作为变量，用函数思想求解）
（1）1118a b ab
++≥ ； （2）（错误较高的题）2211252()()a b a b +++≥； （3）++12a 12+b ≤22 （4）(121-a )(12
1-b )≥9
（5）)1)(1(b
b a a ++≥425 6 已知b a ,都是负数，则b
a b b a a +++2的最小值为 )12(2- （化成单变量来做，
令a
b x =
） 类型十： 判别式法 1.若正数x,y 满足,232=--y x xy 则y x 23+的最小值是 2.已知正数y x ,满足8223=++
+y
x y x ，则xy 的取值范围为 类型十一：构造
1.若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2
的最大值为________. 答案 24 二次构造 解析 由题意得(2x －y )(x ＋y )＝1，
令2x －y ＝t ，x ＋y ＝1t
， 则x ＝13(t ＋1t )，y ＝13(－t ＋2t
)， 因此x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2＝t －1
t t 2＋1t 2 ＝m m 2＋2≤|m |m 2＋2≤|m |22|m |＝24
， 其中m ＝t －1t
，当且仅当|m |＝2时取等号， 故x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2
的最大值为24.。