信号与系统 精解课件§1.5 奇异函数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.5 奇异函数
几种典型确定性信号
1.指数信号 2.正弦信号 3. 抽样信号(Sampling Signal) 4.钟形脉冲函数(高斯函数) 信号的表示 函数表达式 f t
波形
X
1．指数信号
f (t ) A e t
l
l l
0 直流(常数), 0 指数衰减, 0 指数增长
(t ) f (t ) d t f (0)
t
( t ) f (t ) d t
( ) f ( ) d( )
( ) f ( ) d f (0)
又因为 (t )只在t 0有值 ，故 (t ) (t )
（2）奇偶性 ( t ) (t )
1 jt cost e e jt 2
e j t cost j sint
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
性质
2π πO
t
π
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sinπ t π t
t0 u( t t 0 )
t
1
t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数
f t u t u t 2 2
1 f t G τ t t
其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 符号函数：(Signum)
f t K
2π
T
振幅：K 2π 1 周期：T f 频率：f 角频率： 2 π f 初相：
O
2π
t
衰减正弦信号：
K e t sint f (t ) 0 t0 0 t0
X
欧拉(Euler)公式
1 jt jt sint e e 2j
X
定义2：狄拉克(Dirac)函数
( t ) d t 1 ( t ) 0 t 0
(t ) d t (t ) d t
0 0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
t0
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
O
f t 1
t0
O t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信 号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
1、
t
(t ) d t t
( t ) f ( t )dt f (t ) (t ) f (t ) (t )dt f (0) 2、
时移，则：
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
X
3、冲激函数的抽样性定义(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )
(t ) f (t ) d t f (0)
f ( 0)
o
t
对于移位情况：
(t ) f (t t 0) f (t0 ) (t )
K
O
t
X
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t 0 2
1 u(t )
O
u( t t 0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1
t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1 由 t t0 0 可知 t t0 , 即时 ，函数有断点，跳变点 间为 t0时
1．抽样性 2．奇偶性 3．标度变换
X
1、抽样性 (筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
d ' f (t ) (t ) f (0) (t ) dt
X
2. 奇偶性
(t ) ( t )
证明：
定义1
1
p(t )
1 p( t ) u t u t 2 2
0
2
O
2
t
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 (t)
(-<t< )
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 ( t ) ( t )
f (t ) (t ) d t f (0)
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 t 义函数。就时间 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
O
2
2
sgnt
O
t
1 sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1 u( t ) [sgn( t ) 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
X
X
描述
1 ( t ) lim p( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t )
(t t0 )
时移的冲激函数
(1)
(1)
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 取0极限，都可以认为是冲激函数。
3、 ( t ) ( t ) , (t t ) (t t ) 0 0
所以 (t )是奇函数
(t ) d t 0 ,
X
四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
(t )
(1)
t
( t ) d t 0
( t ) d t (t )
f (t ) (t ) d t f (0) （3）比例性 1 (at ) t f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 d u( t ) t f t t f t (t ) ( ) d u(t ) X dt
X
3. 时间尺度变换
1 at t a
(5t ) f ( t )dt ?
X
四、单位冲激偶
s(t )
1
(t )
(1)
1
o
s(t )
1
t
O
t
0
(t )
2
1
2
O 1 2 1
t
O
t
2
X
冲激偶的性质
X
一．单位斜变信号
1． 定义
0 R( t ) t t0 t0
O
R(t ) 1 1
t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
R( t t 0 )
1
O
Baidu Nhomakorabea
t0
f (t )
t0 1 t
3．三角形脉冲
K R( t ) f (t ) 0 0 t 其它
3π
X
4．钟形脉冲函数(高斯函数)
f ( t ) Ee
E
0.78 E
t
2
f t
E e O
2
t
在随机信号分析中占有重要地位。
X
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
几种典型确定性信号
1.指数信号 2.正弦信号 3. 抽样信号(Sampling Signal) 4.钟形脉冲函数(高斯函数) 信号的表示 函数表达式 f t
波形
X
1．指数信号
f (t ) A e t
l
l l
0 直流(常数), 0 指数衰减, 0 指数增长
(t ) f (t ) d t f (0)
t
( t ) f (t ) d t
( ) f ( ) d( )
( ) f ( ) d f (0)
又因为 (t )只在t 0有值 ，故 (t ) (t )
（2）奇偶性 ( t ) (t )
1 jt cost e e jt 2
e j t cost j sint
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
性质
2π πO
t
π
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sinπ t π t
t0 u( t t 0 )
t
1
t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数
f t u t u t 2 2
1 f t G τ t t
其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 符号函数：(Signum)
f t K
2π
T
振幅：K 2π 1 周期：T f 频率：f 角频率： 2 π f 初相：
O
2π
t
衰减正弦信号：
K e t sint f (t ) 0 t0 0 t0
X
欧拉(Euler)公式
1 jt jt sint e e 2j
X
定义2：狄拉克(Dirac)函数
( t ) d t 1 ( t ) 0 t 0
(t ) d t (t ) d t
0 0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
t0
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
O
f t 1
t0
O t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信 号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
1、
t
(t ) d t t
( t ) f ( t )dt f (t ) (t ) f (t ) (t )dt f (0) 2、
时移，则：
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
X
3、冲激函数的抽样性定义(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )
(t ) f (t ) d t f (0)
f ( 0)
o
t
对于移位情况：
(t ) f (t t 0) f (t0 ) (t )
K
O
t
X
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t 0 2
1 u(t )
O
u( t t 0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1
t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1 由 t t0 0 可知 t t0 , 即时 ，函数有断点，跳变点 间为 t0时
1．抽样性 2．奇偶性 3．标度变换
X
1、抽样性 (筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
d ' f (t ) (t ) f (0) (t ) dt
X
2. 奇偶性
(t ) ( t )
证明：
定义1
1
p(t )
1 p( t ) u t u t 2 2
0
2
O
2
t
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 (t)
(-<t< )
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 ( t ) ( t )
f (t ) (t ) d t f (0)
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 t 义函数。就时间 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
O
2
2
sgnt
O
t
1 sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1 u( t ) [sgn( t ) 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
X
X
描述
1 ( t ) lim p( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t )
(t t0 )
时移的冲激函数
(1)
(1)
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 取0极限，都可以认为是冲激函数。
3、 ( t ) ( t ) , (t t ) (t t ) 0 0
所以 (t )是奇函数
(t ) d t 0 ,
X
四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
(t )
(1)
t
( t ) d t 0
( t ) d t (t )
f (t ) (t ) d t f (0) （3）比例性 1 (at ) t f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 d u( t ) t f t t f t (t ) ( ) d u(t ) X dt
X
3. 时间尺度变换
1 at t a
(5t ) f ( t )dt ?
X
四、单位冲激偶
s(t )
1
(t )
(1)
1
o
s(t )
1
t
O
t
0
(t )
2
1
2
O 1 2 1
t
O
t
2
X
冲激偶的性质
X
一．单位斜变信号
1． 定义
0 R( t ) t t0 t0
O
R(t ) 1 1
t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
R( t t 0 )
1
O
Baidu Nhomakorabea
t0
f (t )
t0 1 t
3．三角形脉冲
K R( t ) f (t ) 0 0 t 其它
3π
X
4．钟形脉冲函数(高斯函数)
f ( t ) Ee
E
0.78 E
t
2
f t
E e O
2
t
在随机信号分析中占有重要地位。
X
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号