信号与系统 精解课件§1.5 奇异函数
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信号与系统 精解课件§1.5 奇异函数
t0
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
O
f t 1
t0
O t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信 号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
1 jt cost e e jt 2
e j t cost j sint
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
性质
2π πO
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sinπ t π t
1、
t
(t ) d t t
( t ) f ( t )dt f (t ) (t ) f (t ) (t )dt f (0) 2、
时移，则：
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
(t ) f (t ) d t f (0)
t
( t ) f (t ) d t
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
O
f t 1
t0
O t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信 号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
1 jt cost e e jt 2
e j t cost j sint
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
性质
2π πO
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sinπ t π t
1、
t
(t ) d t t
( t ) f ( t )dt f (t ) (t ) f (t ) (t )dt f (0) 2、
时移，则：
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
(t ) f (t ) d t f (0)
t
( t ) f (t ) d t
信号与系统 第一章第2讲
17
若冲激点在t=t0处，则定义式为：
(t t0 )dt 1 (t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0) (1)
0
t0
t
单位冲激函数的特性： 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数
18
由定义知 当t<0时 当t>0时
t
( )d 0
门函数与任意函数相乘， 在外为0，在内为f(t)
12
G(t) 1
0 t0
t
符号函数——单位阶跃函数的派生函数：
1 t 0 sgn( t ) 2 u ( t ) 1 ( 1 . 5 10 ) 1t 0
2u(t) sgn(t)
2 0
t
1
0 t
在此，符号函数在跳变点 也不予定义。有些书中规 定sgn(0)=0
f(t) A T
2
式中A、、分别为正弦信号的振幅、角 频率、初相位
2
正弦信号的性质：
无时限信号
周期信号，T=2/
对它进行微分或积分运算后，仍是同频率 的正弦函数 f(t) 指数函数
a<0 a>0
f (t) Ae
at
A 0
3
a=0
t
其中A，a均为常数
指数函数的性质：
对指数函数的微分或积分，仍是指数函 数形式 抽样函数
t
( )d 1
所以函数的积分为：
o 0 t ( )d o 1 t
t
19
所以， u(t)与函数的关系为
或
u ( t ) ( ) d
t
单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数
若冲激点在t=t0处，则定义式为：
(t t0 )dt 1 (t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0) (1)
0
t0
t
单位冲激函数的特性： 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数
18
由定义知 当t<0时 当t>0时
t
( )d 0
门函数与任意函数相乘， 在外为0，在内为f(t)
12
G(t) 1
0 t0
t
符号函数——单位阶跃函数的派生函数：
1 t 0 sgn( t ) 2 u ( t ) 1 ( 1 . 5 10 ) 1t 0
2u(t) sgn(t)
2 0
t
1
0 t
在此，符号函数在跳变点 也不予定义。有些书中规 定sgn(0)=0
f(t) A T
2
式中A、、分别为正弦信号的振幅、角 频率、初相位
2
正弦信号的性质：
无时限信号
周期信号，T=2/
对它进行微分或积分运算后，仍是同频率 的正弦函数 f(t) 指数函数
a<0 a>0
f (t) Ae
at
A 0
3
a=0
t
其中A，a均为常数
指数函数的性质：
对指数函数的微分或积分，仍是指数函 数形式 抽样函数
t
( )d 1
所以函数的积分为：
o 0 t ( )d o 1 t
t
19
所以， u(t)与函数的关系为
或
u ( t ) ( ) d
t
单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数
信号与系统_1.5-1.8
x (t )
1 ∆τ
∆τ
t
t
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9
信号与系统 Signals & Systems
x(t) ≈ ∑ x(k∆τ )[u(t − k∆τ ) − u(t −k∆τ −∆τ )]
k =−∞ ∞
∞
x (t )
[u(t −k∆τ) −u(t −k∆τ −∆τ)] = ∑ x(k∆τ) ⋅∆τ ∆τ k=−∞
1 f D = ∫ f (t )dt T −T
2 T 2
信号减去直流分量剩下的就是交流分量： 信号减去直流分量剩下的就是交流分量：
f A (t ) = f (t ) − f D
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2
信号与系统 Signals & Systems
若此时间函数为电流信号，则在时间间隔 内流 若此时间函数为电流信号，则在时间间隔T内流 过单位电阻所产生的平均功率等于： 过单位电阻所产生的平均功率等于： 1 T2 2 P = ∫ T f (t )dt T −2
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13
信号与系统 Signals & Systems
x (t ) = ∑ ci g i (t )
i =1
n
式中的c 是组合系数，它与函数x和分量g (t)有关 有关： 式中的ci是组合系数，它与函数x和分量gi(t)有关：
t2
x (t ) g i* (t ) dt ∫
t1 t2
∞
= ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ = x(t) ∗δ (t)
−∞
∞
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10
信号与系统 Signals & Systems
以上积分式称为卷积积分。式子说明： 以上积分式称为卷积积分。式子说明：一连续时间信 号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说， 号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说， 单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。 单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。也有 用此式作为单位冲激信号的定义。 用此式作为单位冲激信号的定义。 ∞
1 ∆τ
∆τ
t
t
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9
信号与系统 Signals & Systems
x(t) ≈ ∑ x(k∆τ )[u(t − k∆τ ) − u(t −k∆τ −∆τ )]
k =−∞ ∞
∞
x (t )
[u(t −k∆τ) −u(t −k∆τ −∆τ)] = ∑ x(k∆τ) ⋅∆τ ∆τ k=−∞
1 f D = ∫ f (t )dt T −T
2 T 2
信号减去直流分量剩下的就是交流分量： 信号减去直流分量剩下的就是交流分量：
f A (t ) = f (t ) − f D
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2
信号与系统 Signals & Systems
若此时间函数为电流信号，则在时间间隔 内流 若此时间函数为电流信号，则在时间间隔T内流 过单位电阻所产生的平均功率等于： 过单位电阻所产生的平均功率等于： 1 T2 2 P = ∫ T f (t )dt T −2
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13
信号与系统 Signals & Systems
x (t ) = ∑ ci g i (t )
i =1
n
式中的c 是组合系数，它与函数x和分量g (t)有关 有关： 式中的ci是组合系数，它与函数x和分量gi(t)有关：
t2
x (t ) g i* (t ) dt ∫
t1 t2
∞
= ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ = x(t) ∗δ (t)
−∞
∞
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10
信号与系统 Signals & Systems
以上积分式称为卷积积分。式子说明： 以上积分式称为卷积积分。式子说明：一连续时间信 号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说， 号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说， 单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。 单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。也有 用此式作为单位冲激信号的定义。 用此式作为单位冲激信号的定义。 ∞
信号与系统课件全套课件
如图1.2-1(1a.2)-所1(a)所示示。。 f (t)
f (t)
1 t
0
t
0
t0
(a) 正弦波信号
(b) 矩形波信号
图 1.2-1 连续时间信号
8
第 1 章信号与系统分析的理论基础
3. 连续时间信号与离散时间信号
与连续信号相对应的是离散信号。它们是离散时间的函数，只
在某些不连续的规定瞬间给出函数值，其他时间函数没有定义。
E f (t) 2 dt
(1.2-2a)
P lim T
T 2
T
f (t) 2 dt
2
(1.2-2b)
10
第 1 章信号与系统分析的理论基础
1.2.2 系统的分类 1. 线性系统与非线性系统
线性系统是指由线性元件组成的系统； 非线性系统则是含有非线性元件的系统。
Q1：什么是信号？
1.1 引言
我国古代利用烽火台 传送敌人入侵的警报信息。 击鼓鸣金 传达战斗命令信息
可见，所谓的信号就是携带信息的一种载体，而根据载体的 不同，可以有不同的信号形式。
2
第 1 章信号与系统分析的理论基础 Q2：什么是系统？
系统的功能 解决信号探测、传输和处理问题，也就是根据不 同物理事件形成的不同信号，建立一个传输装置或进行加工 处理的系统
如果离散信号的幅值是连续的，即幅值可取任意实数，如图1.2-
2(a)所示，则称为离散抽样信号。如果离散信号的幅值只能取某
些规定的数值，如图1.2-2(b)所示，则称为数字信号。
f (tk )
(4.1)
f (tk )
(3)
(2)
(1.3)
(1)
1
信号与系统课件第一章.ppt
冲激信号的性质 (1)筛选（乘积)特性
x(t )
(1)
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t t0 )
x(t ) (t t0 )
( x(t0 ) )
t0
t
t0
t
(2)抽样特性
x(t ) (t t0 )dt x(t0 )
x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 )
1
0 x t t e
t0 t0
0
t
1.2 信号的分类
• 1 确定信号与随机信号
确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。
随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。
·¨ È ¶Å к Å
æ » Ë ú Ð Å º Å µ Ä Ò » · ö Ñ ù ± ¾
•能量信号: 0<E<，P=0。 •功率信号: E，0<P<。 直流信号与周期信号都是功率信号。 注意: 一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号。
1.3 常用单元信号 1. 正弦信号
x(t ) A sin(t )
A x(t) T
2
A: 振幅 :角频率 弧度/秒 t :初始相位
1.4信号的运算
• • • • • • • 信号相加 信号相乘 信号的平移 信号的尺度变换 信号的翻转 信号的微分 信号的积分
1. 信号的相加
x(t)=x1(t)+ x2(t)+ ……xn(t)
x1(t) 0.5 0 t 0.5 0.5 0 t x2(t)
y(t)=x1(t)+x2(t) 1 t
3.单位斜坡信号
信号与系统_精解课件§1[1].5_奇异函数
![信号与系统_精解课件§1[1].5_奇异函数](https://img.taocdn.com/s3/m/9edd53a4b0717fd5360cdc2c.png)
1 sgn(t) = −1 t >0 t <0
−
τ O
2
τ
2
sgn(t )
O
t
1 sgn(t ) = −u(−t ) + u(t ) = 2u(t ) − 1 u(t ) = [sgn(t ) + 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
X
定义1
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t)dt = 0 −∞
−∞
∞
3、 δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , δ ′(t − t) = −δ ′(t − t ) 、 0 0
所以 ′(t )是奇函数 δ
∫
δ ′(t)dt = 0 , −∞
−∞
∞
X
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t) 1
O
u(t) 1 t 1
O
δ (t)
∞
(1)
t0 u(t + t0 )
t
1
− t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数： 门函数：也称窗函数
τ τ f (t ) = u t + − u t − 2 2
−
τ O
2
τ
2
sgn(t )
O
t
1 sgn(t ) = −u(−t ) + u(t ) = 2u(t ) − 1 u(t ) = [sgn(t ) + 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
X
定义1
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t)dt = 0 −∞
−∞
∞
3、 δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , δ ′(t − t) = −δ ′(t − t ) 、 0 0
所以 ′(t )是奇函数 δ
∫
δ ′(t)dt = 0 , −∞
−∞
∞
X
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t) 1
O
u(t) 1 t 1
O
δ (t)
∞
(1)
t0 u(t + t0 )
t
1
− t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数： 门函数：也称窗函数
τ τ f (t ) = u t + − u t − 2 2
信号与系统(郑君里)ppt
t
f(t)
t/2
f(t/2)
0
1
0
1
T
2
T
2
时间尺度压缩：t t 2 ,波形扩展
求新坐标
t
f(t/2)
0
1
2T
2
f(t)f(2t)
f t
2 1
O
Tt
宗量相同，函数值相同
t
f(t)
2t
f(2t)
0
1
0
1
T
2
T
2
求新坐标
t
f(2t)
0
1
T/2
2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
比较
f t
2 1
O
Tt
•三个波形相似，都是t 的一次 函数。 •但由于自变量t 的系数不同， 则达到同样函数值2的时间不同。 •时间变量乘以一个系数等于改 变观察时间的标度。
a 1 压缩,保持信号的时间缩短 f (t) f (at)0 a 1 扩展,保持信号的时间增长
4．一般情况
f t f at b f at b a 设a 0
f (t) K sin(t )
f
t
T
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
振幅：K 周期：T
2π
1
f
频率：f
角频率： 2 π f t 初相：
t0 0
t0
欧拉(Euler)公式
sin t 1 ejt ejt 2j
cos t 1 ejt ejt 2
t
间为，t0时函数有断点，跳变点
宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
信号与系统PPT课件(共9章)第2章连续时间信号的时域分析可修改全文
17
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续 点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇 异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号 重点：典型确定性信号的描述 难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分 难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续 点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇 异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号 重点：典型确定性信号的描述 难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分 难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即
1.4和1.5奇异函数和系统描述
1、连续时间单位脉 2、离散时间单位脉冲信号 称为单位序列，用δ (k)表 冲信号用δ (t)表 示，定义: 示，定义:
0 (t ) 1
t0 t0
1
0 (k ) 1
k0 k0
(k )
k
0
(1)矩形脉冲演变为冲激函数 (2)三角形脉冲演 变为冲激函数
定义：矩形面积不变， 宽趋于0时的极限
当t 0 当t 0
(t ) 积分
0
(t )
( )d (t )
d ( t ) (t ) dt
t
t
(t )
微分
0
反之：阶跃函数的微分应等于冲激函数
t
(t )
0
t
0
t
(d)冲激函数的尺度变换
1 (at ) ( t ) a
证明：
a0
简写作Sgn(t),可用阶跃信号表示。
1 t0 Sgn( t ) 1 t 0
sgn( t )
1
1
t
与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不 予定义，或规定Sgn(0)=0. 显然，阶跃信号来表示符号函数
Sgn( t ) 2 ( t ) 1
３.单位冲激信号
某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函 数模型来描述。 例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪， 数字通信中的抽样脉冲„„等等。
1
0
t 0t 0 1
t
(2)截平的斜变信号
在时间以后斜变波形被切平，如图所示信号波形。
f1 ( t )
k
0
t
t 0 0 t t
信号与系统全套课件
解答
f (t)
f (t 5)
1
时移
1
1 O 1 t 尺度 变换
f (3t)
6 5 4
t 尺度 O 变换
f (3t 5)
1 t
1O 1
33
时移
1 t
2 4 3
1.4.2 信号的变换
平移、展缩、反折相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f(-2t-4)。 解答
右移4，得f (t–4)
反转，得f (-2t–4)
1.4.2 信号的变换
2.信号的平移
将 f (t) → f (t–t0) ，称为对信号f (t)的右移
f (t) → f
其中，t0 >0
如
(t +t0)， 称为对信号f t → t–1右移
(t)的左移
f (t-1)
1
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t+1左移
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
1.2.2 信号的分类
1. 确定信号和随机信号
•确定性信号 可用确定的时间函数表示的信号。
对于指定的某一时刻t，有确定的函数值f(t)。
•随机信号
取值具有不确定性的信号。 如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。
•伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
1.2.2 信号的分类
f (t)
2
1
4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
(a)
(b)
图5 确定性信号与随机信号
信号与系统PPT全套课件
T T
T
f (t ) dt
f (t ) dt
2
2
（1.1-1）
1 P lim T 2T
T
T
（ 1.1-2 ）
上两式中，被积函数都是f ( t )的绝对值平方，所以信号能量 E 和信号功率P 都是非负实数。 若信号f ( t )的能量0 < E < , 此时P = 0，则称此信号 为能量有限信号，简称能量信号（energy signal）。 若信号f ( t )的功率0 < P < , 此时E = ，则称此信 号为功率有限信号，简称功率信号（power signal）。 信号f ( t )可以是一个既非功率信号，又非能量信号， 如单位斜坡信号就是一个例子。但一个信号不可能同时既是 功率信号，又是能量信号。
1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念 什么是系统（ system ）？广义地说，系统是由若干相互作用 和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如， 通信系统、自动控制系统、计算机网络系统、电力系统、水 利灌溉系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激 励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 1.3.2 系统的数学模型 分析一个实际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数 学模型的基础上，再根据系统的初始状态和输入激励，运用 数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理 解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性 的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系 统特性。
2．连续信号和离散信号 按照函数时间取值的连续性划分，确定信号可分为连续时 间信号和离散时间信号，简称连续信号和离散信号。 连续信号（ continuous signal）是指在所讨论的时间内，对 任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号，通常用f ( t ) 表示。 离散信号（discrete signal）是指只在某些不连续规定的时刻 有定义，而在其它时刻没有定义的信号。通常用 f(tk) 或 f(kT) [简写 f(k )] 表示，如图1.1-2所示。图中信号 f (tk) 只在t k = －2, －1, 0, 1, 2, 3,…等离散时刻才给出函数值。
第一章信号与系统得基本概念(1)PPT课件
5
信号与系统－第一章 信号与系统基本概念
平稳随机信号（语音信号）
22.07.2020
6
信号与系统－第一章 信号与系统基本概念
均匀分布白噪声（无物理意义随机信号）
histogram of u(n) u(n)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
1500
1000
500
0 0
22.07.2020
20
22.07.2020
34
信号与系统－第一章 信号与系统基本概念
3、一般的复指数信号：
22.07.2020
35
信号与系统－第一章 信号与系统基本概念
1.2.2奇异函数：函数本身有不连续点或导数、积分 有不连续的点的函数
(1)连续时间单位阶跃信号、冲激信号及其相关函数
22.07.2020
36
信号与系统－第一章 信号与系统基本概念
x(t) d
dt
y(t)dx(t) xt
dt
x(t )
t
y(t)
x()d
自变量变换：只涉及自变量（时间轴）的简单变换。
（1）时间移位： x(t)x(tt0) x(t)x(tt0)
（2）时间反转： x(t)x(t) 22.07.2020
x[n]x[nn0] x[n]x[nn0] x[n]x[n]
56
连续信号：
T
2
E lim x ( t ) dt T T
N
同理离散信号：
E lim x [ n ] 2
22.07.2020
N nN
21
信号与系统－第一章 信号与系统基本概念
能量信号：满足能量E有限，功率P趋于0的信号。 功率信号：满足功率P有限，能量E趋于无限大的信 号。 无限能量、无限功率信号：功率P、能量E均趋于无 限大信号。
信号与系统课件-绪论：信号与系统
周期信号
f (t)
f (t)
A
－ T T o T
T
2
2
－A
…
…
t
－4 －2 0
246
k
上一页
2022/1/13
信号与线性系统分析——绪论、信号与系统
17
纵轴对称：余弦(偶函数)
f t f t
T
原点对称：正弦(奇函数)
T
f t f t
o
Tt
T
o
t
半波重叠：偶次波 （偶谐函数）ftT 2
f
(c)
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2022/1/13
信号与线性系统分析——绪论、信号与系统
14
信号的分类（二） 因 果：t < 0 时，f ( t ) ≡ 0 非因果：对任何 t < 0 或 t > 0，f (t)≠0 反因果：t > 0 时，f (t) ≡ 0
如：连续信号、离散信号
上一页 返 回
2022/1/13
o t0 (c)
12
t t 2022/1/13
信号与线性系统分析——绪论、信号与系统
13
离散信号
f1(k )
… －8
－6
－4
－2
A
5 6 78 01 2 3 4
… k
f2(k ) 2 1
－A (a)
f3(k ) A
－ 3 － 1 01 23 4
k
－1
－ 3 － 1 01 2 3 4 5 6 k
(b)
信号与线性系统分析——绪论、信号与系统
目录
§1.1 绪 言 §1.2 信 号 §1.3 信号的基本运算 §1.4 阶跃函数和冲激函数 §1.5 系统的描述 §1.6 系统的特性和分析方法
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》PPT课件第一章：信号与系统概述1.1 信号的概念与分类信号的定义信号的分类：连续信号、离散信号、随机信号等1.2 系统的概念与分类系统的定义系统的分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等1.3 信号与系统的研究方法解析法数值法图形法第二章：连续信号及其运算2.1 连续信号的基本性质连续信号的定义与图形连续信号的周期性、奇偶性、能量与功率等性质2.2 连续信号的运算叠加运算卷积运算2.3 连续信号的变换傅里叶变换拉普拉斯变换Z变换第三章：离散信号及其运算3.1 离散信号的基本性质离散信号的定义与图形离散信号的周期性、奇偶性、能量与功率等性质3.2 离散信号的运算叠加运算卷积运算3.3 离散信号的变换离散时间傅里叶变换离散时间拉普拉斯变换离散时间Z变换第四章：线性时不变系统的特性4.1 线性时不变系统的定义与性质线性时不变系统的定义线性时不变系统的性质：叠加原理、时不变性等4.2 线性时不变系统的转移函数转移函数的定义与性质转移函数的绘制方法4.3 线性时不变系统的响应输入信号与系统响应的关系系统的稳态响应与瞬态响应第五章：信号与系统的应用5.1 信号处理的应用信号滤波信号采样与恢复5.2 系统控制的应用线性系统的控制原理PID控制器的设计与应用5.3 通信系统的应用模拟通信系统数字通信系统第六章：傅里叶级数6.1 傅里叶级数的概念傅里叶级数的定义傅里叶级数的使用条件6.2 傅里叶级数的展开周期信号的傅里叶级数展开非周期信号的傅里叶级数展开6.3 傅里叶级数的应用周期信号分析信号的频谱分析第七章：傅里叶变换7.1 傅里叶变换的概念傅里叶变换的定义傅里叶变换的性质7.2 傅里叶变换的运算傅里叶变换的计算方法傅里叶变换的逆变换7.3 傅里叶变换的应用信号分析与处理图像处理第八章：拉普拉斯变换8.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的性质8.2 拉普拉斯变换的运算拉普拉斯变换的计算方法拉普拉斯变换的逆变换8.3 拉普拉斯变换的应用控制系统分析信号的滤波与去噪第九章：Z变换9.1 Z变换的概念Z变换的定义Z变换的性质9.2 Z变换的运算Z变换的计算方法Z变换的逆变换9.3 Z变换的应用数字信号处理通信系统分析第十章：现代信号处理技术10.1 数字信号处理的概念数字信号处理的定义数字信号处理的特点10.2 现代信号处理技术快速傅里叶变换（FFT）数字滤波器设计数字信号处理的应用第十一章：随机信号与噪声11.1 随机信号的概念随机信号的定义随机信号的分类：窄带信号、宽带信号等11.2 随机信号的统计特性均值、方差、相关函数等随机信号的功率谱11.3 噪声的概念与分类噪声的定义噪声的分类：白噪声、带噪声等第十二章：线性系统理论12.1 线性系统的状态空间描述状态空间模型的定义与组成线性系统的性质与方程12.2 线性系统的传递函数传递函数的定义与性质传递函数的绘制方法12.3 线性系统的稳定性分析系统稳定性的定义与条件劳斯-赫尔维茨准则第十三章：非线性系统13.1 非线性系统的基本概念非线性系统的定义与特点非线性系统的分类13.2 非线性系统的数学模型非线性微分方程与差分方程非线性系统的相平面分析13.3 非线性系统的分析方法描述法映射法相平面法第十四章：现代控制系统14.1 现代控制系统的基本概念现代控制系统的定义与特点现代控制系统的设计方法14.2 模糊控制系统模糊控制系统的定义与原理模糊控制系统的结构与设计14.3 神经网络控制系统神经网络控制系统的定义与原理神经网络控制系统的结构与设计第十五章：信号与系统的实验与实践15.1 信号与系统的实验设备与原理信号发生器与接收器信号处理实验装置15.2 信号与系统的实验项目信号的采样与恢复实验信号滤波实验信号分析与处理实验15.3 信号与系统的实践应用通信系统的设计与实现控制系统的设计与实现重点和难点解析信号与系统的基本概念：理解信号与系统的定义、分类及其研究方法。
信号与系统_第一章(重点PPT)
5
5
解 (1) costδ(t)=δ(t)， 因为cos0=1。 (2) (t-1)δ(t)=-δ(t)， 因为(t-1)|t=0=-1。
(3) ∫ (t 2 + 2t + 1)δ (t )dt = 1因为(t 2 + 2t + 1) |t =0 = 1
5 5
5
(4) ∫ (t 2 + 2t + 1)δ (t 6)dt = 0因为δ (t 6) 不在积分区间内。
序列x(n)
第1章 信号与系统 章
信号分类
1. 确定性信号与随机信号
信号可以用确定的时间函数来表示的， 是确定性信号， 也称规则信 号。 如正弦信号、 单脉冲信号、 直流信号等。
信号不能用确定的时间函数来表示， 只知其统计特性， 如在某时刻 取某值的概率的，则是随机信号。
第1章 信号与系统 章
2． 周期信号与非周期信号
ke at sin ωt f (t ) = 0
t>0 t<0
k f (t)
0
t
－k
第1章 信号与系统 章
3. 复指数信号
f(t)=kest
s=σ+jω为复数， σ为实部系数， ω为虚部系数。 借用欧拉公式： kest=ke(σ+jω)t=keσt e jωt=keσt cosωt+jkeσt sinωt
1 －2
τ
－ 2
τ2
0
τ2
τ
2
τ1
2
t
第1章 信号与系统 章
单位冲激函数一般定义为
∞ t = 0 δ (t ) = 0 t ≠ 0 ∞ ∫∞ δ (t )dt = 1
0
δ (t)
5
解 (1) costδ(t)=δ(t)， 因为cos0=1。 (2) (t-1)δ(t)=-δ(t)， 因为(t-1)|t=0=-1。
(3) ∫ (t 2 + 2t + 1)δ (t )dt = 1因为(t 2 + 2t + 1) |t =0 = 1
5 5
5
(4) ∫ (t 2 + 2t + 1)δ (t 6)dt = 0因为δ (t 6) 不在积分区间内。
序列x(n)
第1章 信号与系统 章
信号分类
1. 确定性信号与随机信号
信号可以用确定的时间函数来表示的， 是确定性信号， 也称规则信 号。 如正弦信号、 单脉冲信号、 直流信号等。
信号不能用确定的时间函数来表示， 只知其统计特性， 如在某时刻 取某值的概率的，则是随机信号。
第1章 信号与系统 章
2． 周期信号与非周期信号
ke at sin ωt f (t ) = 0
t>0 t<0
k f (t)
0
t
－k
第1章 信号与系统 章
3. 复指数信号
f(t)=kest
s=σ+jω为复数， σ为实部系数， ω为虚部系数。 借用欧拉公式： kest=ke(σ+jω)t=keσt e jωt=keσt cosωt+jkeσt sinωt
1 －2
τ
－ 2
τ2
0
τ2
τ
2
τ1
2
t
第1章 信号与系统 章
单位冲激函数一般定义为
∞ t = 0 δ (t ) = 0 t ≠ 0 ∞ ∫∞ δ (t )dt = 1
0
δ (t)
005第二章-3奇异函数
解：f (t ) e [ (t ) (t 2)] e (t ) e (t 2)
t t t
t t t t f (t ) e (t ) e (t ) e (t 2) e (t 2)
(t ) e (t 2) e [ (t ) (t 2)]
1sin263tt?0??2sindtttt??24奇异函数2312?tt2??425dttt?24ft?2已知信号ft变换后的图形要求画出ft24奇异函数0123t10001ttatttaaaat?????????????????????三单位斜变函数rt24奇异函数000tttrtdt?????单位冲激偶t为一正一负两个冲激四单位冲激偶t24奇异函数带括号的1标在中间它不表示冲激的强度而是表示单位冲激函数的导数基本信号门函数幅度为1宽度为的对称矩形脉冲信号
(t ) e (t 2) e [ (t ) (t 2)]
2 t
例：如图所示函数，求其导数
▲函数连续的部分用常规求导方法求 ▲函数有跳变的地方
，则有一个冲激函数存在，冲激 方向取决于向上还是向下跳变，冲激的强度则取决于 它的跃变量
单位冲激函数的几个性质：
1、f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
t
d dt
(t )
t
d dt
(t )
t
d dt
r (t )
基本信号－抽样信号
sin t 定义： f (t ) Sa (t ) t
Sa(t)
1
性质：
1、偶函数
信号与系统分析PPT全套课件可修改全文
1．系统的初始状态
根据各电容及电感的状态值能够确定在 t 0
时刻系统的响应及其响应的各阶导数
( y(0 ) k 1, 2 , , n 1)
称这一组数据为该系统的初始状态。
2．系统的初始值
一般情况下，由于外加激励的作用或系统内 部结构和参数发生变化，使得系统的初始值与 初始状态不等，即：
y(0 ) y(0 )
自由响应又称固有响应，它反映了系统本身 的特性，取决于系统的特征根； 强迫响应又称强制响应，是与激励相关的响 应。 利用经典法可以直接求得自由响应与强迫响 应，强迫响应即特解
先求得系统的零输入响应和零状态响应，并 获得系统的全响应；
然后利用系统特性与自由响应、激励与强迫 响应的关系可以间接得到自由响应和强迫响应。
t
f (t) (t)dt f (0) (t)dt
f (0) (t)dt f (0)
(1)
0
t
ห้องสมุดไป่ตู้（3）偶函数
（4）
(at)
1 a
(t)
f (t) (t) ( f (0))
（5） (t)与U (t)的关系
0
t
1.2 基本信号及其时域特性
单位冲激偶信号 '(t)
f (t) 1/
f ' (t) (1/ )
第2章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的模型 2.2 LTI连续系统的响应 2.3 冲激响应与阶跃响应 2.4 卷积与零状态响应
2.1 LTI连续系统的模型
2.1.1 LTI连续系统的数学模型 2.1.2 LTI连续系统的框图
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2.1.1 LTI连续系统的数学模型
对于任意一个线性时不变电路，当电路结构 和组成电路的元件参数确定以后， 根据元件的伏安关系和基尔霍夫定律，可以 建立起与该电路对应的动态方程。
信号与系统
1 2
τ →0
δ (t )
τ /2 τ /2
1 − 2
τ → 0
d δ ' (t) = δ (t) dt ' δ (t )
-τ /2
Signals and Systems, Tsinghua University
16
冲激偶的性质
(1)若f’(t)在t=0处连续 若f’(t)在t=t0处连续
(4) δ(t)与u(t)的关系 与 的关系
du(t) δ (t) = dt
δ(t) 0
u(t) t
u(t) = ∫ δ (τ )dτ
−∞
t
或
δ(t-τ)
u(t) = ∫ δ (t −τ )dτ
0
+∞
δ(t-τ) t<0 积分区间 t>0 积分区间 0 t
τ
τ
t
0
上图分别为参变量t>0、t<0两种情况的的积分区间 、 两种情况的的积分区间。 上图分别为参变量 Tsinghua 两种情况的的积分区间。 Signals and Systems, University
δ (t − t0 ) f (t )dt = f (t0 )
(3)
δ(t)为偶函数 δ (t ) = δ (− t ) 为偶函数
证明δ(t)为偶函数，只要考察δ(t)和δ(-t)对其他 为偶函数， 和 对 函数的作用结果相同即可。 函数的作用结果相同即可。
∫ ∫
δ (t ) f (t )dt = f (0) −∞
t 0 τ t
GT (t) = u(t + ) − u(t − ) 2 2
窗函数， 窗函数，也称门函数
−
τ
τ →0
δ (t )
τ /2 τ /2
1 − 2
τ → 0
d δ ' (t) = δ (t) dt ' δ (t )
-τ /2
Signals and Systems, Tsinghua University
16
冲激偶的性质
(1)若f’(t)在t=0处连续 若f’(t)在t=t0处连续
(4) δ(t)与u(t)的关系 与 的关系
du(t) δ (t) = dt
δ(t) 0
u(t) t
u(t) = ∫ δ (τ )dτ
−∞
t
或
δ(t-τ)
u(t) = ∫ δ (t −τ )dτ
0
+∞
δ(t-τ) t<0 积分区间 t>0 积分区间 0 t
τ
τ
t
0
上图分别为参变量t>0、t<0两种情况的的积分区间 、 两种情况的的积分区间。 上图分别为参变量 Tsinghua 两种情况的的积分区间。 Signals and Systems, University
δ (t − t0 ) f (t )dt = f (t0 )
(3)
δ(t)为偶函数 δ (t ) = δ (− t ) 为偶函数
证明δ(t)为偶函数，只要考察δ(t)和δ(-t)对其他 为偶函数， 和 对 函数的作用结果相同即可。 函数的作用结果相同即可。
∫ ∫
δ (t ) f (t )dt = f (0) −∞
t 0 τ t
GT (t) = u(t + ) − u(t − ) 2 2
窗函数， 窗函数，也称门函数
−
τ
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X
描述
1 ( t ) lim p( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t )
(t t0 )
时移的冲激函数
(1)
(1)
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 取0极限，都可以认为是冲激函数。
(t ) f (t ) d t f (0)
t
( t ) f (t ) d t
( ) f ( ) d( )
( ) f ( ) d f (0)
又因为 (t )只在t 0有值 ，故 (t ) (t )
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 t 义函数。就时间 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．标度变换
X
1、抽样性 (筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
d ' f (t ) (t ) f (0) (t ) dt
X
2. 奇偶性
(t ) ( t )
证明：
f t K
2π
T
振幅：K 2π 1 周期：T f 频率：f 角频率： 2 π f 初相：
O
2π
t
衰减正弦信号：
K e t sint f (t ) 0 t0 0 t0
X
欧拉(Euler)公式
1 jt jt sint e e 2j
1、
t
(t ) d t t
( t ) f ( t )dt f (t ) (t ) f (t ) (t )dt f (0) 2、
时移，则：
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
X
3、冲激函数的抽样性定义(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )
(t ) f (t ) d t f (0)
f ( 0)
o
t
对于移位情况：
(t ) f (t t 0) f (t0 ) (t )
X
3. 时间尺度变换
1 at t a
(5t ) f ( t )dt ?
X
四、单位冲激偶
s(t )
1
(t )
(1)
1
o
s(t )
1
t
O
t
0
(t )
2
1
2
O 1 2 1
t
O
t
2
X
冲激偶的性质
K
O
t
X
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t 0 2
1 u(t )
O
u( t t 0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1
t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1 由 t t0 0 可知 t t0 , 即时 ，函数有断点，跳变点 间为 t0时
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 (t)
(-<t< )
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 ( t ) ( t )
f (t ) (t ) d t f (0)
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
O
2
2
sgnt
O
t
1 sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1 u( t ) [sgn( t ) 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
X
t
( t ) d t 0
( t ) d t (t )
f (t ) (t ) d t f (0) （3）比例性 1 (at ) t f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 d u( t ) t f t t f t (t ) ( ) d u(t ) X dt
（2）奇偶性 ( t ) (t )
X
定义2：狄拉克(Dirac)函数
( t ) d t 1 ( t ) 0 t 0
(t ) d t (t ) d t
0 0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
X
一．单位斜变信号
1． 定义
0 R( t ) t t0 t0
O
R(t ) 1 1
t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
R( t t 0 )
1
O
t0
f (t )
t0 1 t
3．三角形脉冲
K R( t ) f (t ) 0 0 t 其它
t0 u( t t 0 )
t
1
t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数
f t u t u t 2 2
1 f t G τ t t
其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 符号函数：(Signum)
定义1
1
p(t )
1 p( t ) u t u t 2 2
0
2
O
2
t
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
1 jt cost e e jt 2
e j t cost j sint
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
性质
2π πO
t
π
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sinπ t π t
t0
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
OHale Waihona Puke f t 1t0O t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信 号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
§1.5 奇异函数
几种典型确定性信号
1.指数信号 2.正弦信号 3. 抽样信号(Sampling Signal) 4.钟形脉冲函数(高斯函数) 信号的表示 函数表达式 f t
波形
X
1．指数信号
f (t ) A e t
l
l l
0 直流(常数), 0 指数衰减, 0 指数增长
3、 ( t ) ( t ) , (t t ) (t t ) 0 0
所以 (t )是奇函数
(t ) d t 0 ,
X
四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
(t )
(1)
3π
X
4．钟形脉冲函数(高斯函数)
f ( t ) Ee
E
0.78 E
t
2
f t
E e O
2
t
在随机信号分析中占有重要地位。
X
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
描述
1 ( t ) lim p( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t )
(t t0 )
时移的冲激函数
(1)
(1)
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 取0极限，都可以认为是冲激函数。
(t ) f (t ) d t f (0)
t
( t ) f (t ) d t
( ) f ( ) d( )
( ) f ( ) d f (0)
又因为 (t )只在t 0有值 ，故 (t ) (t )
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 t 义函数。就时间 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．标度变换
X
1、抽样性 (筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
d ' f (t ) (t ) f (0) (t ) dt
X
2. 奇偶性
(t ) ( t )
证明：
f t K
2π
T
振幅：K 2π 1 周期：T f 频率：f 角频率： 2 π f 初相：
O
2π
t
衰减正弦信号：
K e t sint f (t ) 0 t0 0 t0
X
欧拉(Euler)公式
1 jt jt sint e e 2j
1、
t
(t ) d t t
( t ) f ( t )dt f (t ) (t ) f (t ) (t )dt f (0) 2、
时移，则：
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
X
3、冲激函数的抽样性定义(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )
(t ) f (t ) d t f (0)
f ( 0)
o
t
对于移位情况：
(t ) f (t t 0) f (t0 ) (t )
X
3. 时间尺度变换
1 at t a
(5t ) f ( t )dt ?
X
四、单位冲激偶
s(t )
1
(t )
(1)
1
o
s(t )
1
t
O
t
0
(t )
2
1
2
O 1 2 1
t
O
t
2
X
冲激偶的性质
K
O
t
X
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t 0 2
1 u(t )
O
u( t t 0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1
t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1 由 t t0 0 可知 t t0 , 即时 ，函数有断点，跳变点 间为 t0时
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 (t)
(-<t< )
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 ( t ) ( t )
f (t ) (t ) d t f (0)
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
O
2
2
sgnt
O
t
1 sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1 u( t ) [sgn( t ) 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
X
t
( t ) d t 0
( t ) d t (t )
f (t ) (t ) d t f (0) （3）比例性 1 (at ) t f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 d u( t ) t f t t f t (t ) ( ) d u(t ) X dt
（2）奇偶性 ( t ) (t )
X
定义2：狄拉克(Dirac)函数
( t ) d t 1 ( t ) 0 t 0
(t ) d t (t ) d t
0 0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
X
一．单位斜变信号
1． 定义
0 R( t ) t t0 t0
O
R(t ) 1 1
t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
R( t t 0 )
1
O
t0
f (t )
t0 1 t
3．三角形脉冲
K R( t ) f (t ) 0 0 t 其它
t0 u( t t 0 )
t
1
t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数
f t u t u t 2 2
1 f t G τ t t
其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 符号函数：(Signum)
定义1
1
p(t )
1 p( t ) u t u t 2 2
0
2
O
2
t
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
1 jt cost e e jt 2
e j t cost j sint
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
性质
2π πO
t
π
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sinπ t π t
t0
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
OHale Waihona Puke f t 1t0O t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信 号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
§1.5 奇异函数
几种典型确定性信号
1.指数信号 2.正弦信号 3. 抽样信号(Sampling Signal) 4.钟形脉冲函数(高斯函数) 信号的表示 函数表达式 f t
波形
X
1．指数信号
f (t ) A e t
l
l l
0 直流(常数), 0 指数衰减, 0 指数增长
3、 ( t ) ( t ) , (t t ) (t t ) 0 0
所以 (t )是奇函数
(t ) d t 0 ,
X
四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
(t )
(1)
3π
X
4．钟形脉冲函数(高斯函数)
f ( t ) Ee
E
0.78 E
t
2
f t
E e O
2
t
在随机信号分析中占有重要地位。
X
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号