高等数学第七章自测题解答

高等数学第七章自测题解答

一、试解下列各题

1. 已知向量)1,2,2(),4,1,1(-=-=b a ，求（1）b a ⋅；（2）b j a Pr ；（3）b a ⨯.

;4-=⋅b a ;184)

4(114Pr 222-=-++-=⋅=a b a b j a ).4,9,7(1

2241

1---=--=⨯k j i b a 2. 说出下列曲面方程的名称，若有旋转曲面，指出它是由什么平面上的哪条曲线绕哪个轴旋转而产生的,并画出曲面的图形.

(1) )0(222>=+a az

y x ；

旋转抛物面，由曲线 ⎩

⎨⎧==022x az y ，绕z 轴旋转而产生的. (2) )0(222>=+-a az

y x ;

双曲抛物面. (3) 14

422

2=-+z y x . 单叶旋转双曲面,由曲线

⎪⎩

⎪⎨⎧==-01422

x z y ，绕z 轴旋转而产生的. 3. 求与x 轴的距离为3，与y 轴距离为2的一切点所确定的曲线的方程，并确定它是一条什么样的曲线且画出图形.

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2222222

3z x z y ，两个圆柱面的交线. 4. 求由曲面222y x z +=及32

22=++z y x 所围成的立体在xOy 面的投影区域.

.2,

2(3,132322222222222≤+=+∴-=⇒=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++=y x xoy y x z z z z y x y x z 面的投影为立体在投影柱面为舍去）

二、已知平面0=+++D Cz By Ax ，指出下列各平面的特殊位置.

1. 0=A ;

平行于x 轴；

2. 0=D ;

过原点；

3. 0==D A ;

过x 轴；

4. 0==B A ;

平行于xoy 面；

5. 0===D B A .

xoy 面. 三、设直线1

21:-==-z y x l ，平面022:1=+++z y x π，0:2=++z y x π， 01:3=+++z y x π.试判断l 与321,,πππ的关系. .6

1arcsin ),

2,4,2()000(,0,0),1,1,1(),1,1,1(),1,1,2(),1,2,1(:22222333321=--∴=⋅∴=⋅===--=ϕππππππ的夹角为与交，其交点为既不平行也不垂直，相与上；在，故，，有公共点与平行，且与平行；与l l l O l l n s l n s n n n s l 四、求过点)2,1,1(-P 且与直线⎩⎨

⎧=-=+00:1z x z x l 及直线552432:2+=--=-z y x l 平行的平面方程.

.01135,0)2(3)1(5),

3,0,5(5

23010)5,2,3()0,1,0(),

5,2,3(),0,2,0(1

0110121=+-=--+-=-=-⨯=-==-=z x z x k j i n s k j i s 即程为

由点法式得所求平面方取 五、求过点)4,2,0(A 且与012:1=-+z x π，23:2=-z y π平行的直线方程.

.1

4322),

1,3,2(31020121-=-=--=-=⨯=z y x k j i n n s 程为

由点向式得所求直线方取

六、求直线⎩⎨⎧=+--=-+0

720532:z y x z y l 在平面083:=++-z y x π上的投影直线方程. .

0)72(532.0830********中束方程

注：投影平面不在平面故所求投影直线方程为

垂直，，与平面由于

=+--+-+⎩

⎨⎧=++-=+--=++-=+--z y x z y z y x z y x z y x z y x λ 七、确定λ，使直线λ12111:1-=+=-z y x l 和直线1

1111:2z y x l =-=+相交. 1

221112111121

1

2211

121][.4501)1(2)2(2)

1,1,2(1

1121)(0),1,2,2(),0,1,1(),1,1,1(),

1,1,1(),,2,1(2121212121212121212122112121--=⋅⨯==⇒=+-+--=⋅⨯---==⨯⇔⋅⨯--=--==λλλ

λλλλλλλ＝＝）（注：由以上运算可见）（混合积为零即三向量共面＝）（则

上取点在上取点在相交，即共面，

与设k j i M M s s M M s s M M s s k j i s s M M s s M M M l M l l l s s 八、直线过点)4,2,1(-又和直线2

1333:1z y x l =-=+相交且与平面01043:=-+-z y x π平行，求此直线方程.

.0

43241)

0,3,4()4,5,3(,20

74321333,0743,0)4()2(4)1(3:)4,2,1(001111⎪⎩⎪⎨⎧=--=+===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-=+=++-=-+--+-z y x MM s M t z y x t z y x l z y x z y x M 所求直线方程为

为取所求直线的方向向量得交点的交点

与求即平行，则与平面作平面过点 ππππ