6.1_空间曲面及其方程__多元函数
2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
空间曲面及其方程
空间曲面及其方程空间曲面是指在三维空间中展开的曲面，可以用方程来描述其在坐标系中的位置和形状。
空间曲面广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，并且在计算机图形学中也扮演着重要角色。
本文将介绍空间曲面的概念和方程，并通过几个具体的示例进行说明。
一、空间曲面的概念空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用数学方程表示。
与平面相比，空间曲面具有曲率和弯曲性，可以是任意形状的曲面，如球面、锥面、柱面等。
空间曲面可以通过参数方程或隐式方程来描述。
二、参数方程表示空间曲面空间曲面的参数方程使用参数来表示曲面上的点的位置。
例如，球面可以用参数方程表示为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r为球体的半径，θ为极角（取值范围为0到π），φ为方位角（取值范围为0到2π）。
通过改变θ和φ的取值，可以得到球面上的不同点的坐标。
三、隐式方程表示空间曲面空间曲面的隐式方程是通过将曲面上的坐标点代入方程中，得到满足该方程的点的集合。
例如，球面的隐式方程可以表示为：x² + y² + z² = r²其中，r为球体的半径。
通过满足这个方程的点的集合，可以得到球面的几何形状。
四、示例：球面和圆锥面1. 球面球面是以一点为中心，半径相等的点构成的曲面。
我们可以使用参数方程或隐式方程表示球面。
例如，使用参数方程可以表示为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中，r为球面的半径，θ为极角，φ为方位角。
通过改变θ和φ的取值，可以得到球面上的不同点的坐标。
2. 圆锥面圆锥面是由一条直线绕着一个点旋转所形成的曲面。
我们可以使用参数方程或隐式方程表示圆锥面。
例如，使用参数方程可以表示为：x = a * u * cosφy = a * u * sinφz = b * u其中，a和b为常数，u为参数，φ为方位角。
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
空间曲面的方程与性质
空间曲面的方程与性质空间曲面是三维空间中的曲面，它由一个或多个方程描述。
在这篇文章中，我们将讨论关于空间曲面的方程及其性质。
首先，让我们回顾一下二维平面上的曲线方程。
在二维平面上，曲线可以由一个方程描述，比如y = f(x)。
同样地，在三维空间中，空间曲面可以由一个方程描述，比如z = f(x, y)。
这是最简单的一种情况，我们可以称之为显式方程。
除了显式方程，还有一种常见的方式是用隐式方程来描述空间曲面。
隐式方程是一种通过等式关系描述空间曲面的方式，例如x^2 + y^2 +z^2 = 1是描述球面的隐式方程。
对于一个给定的点(x, y, z)，如果它满足这个等式关系，则说明该点位于球面上。
此外，参数方程也可以用来描述空间曲面。
参数方程使用参数来表示空间曲面上的点，例如x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)。
通过给定参数的取值范围，可以得到曲面上的所有点。
空间曲面的性质包括曲率、切线、法线等。
曲率是曲面在某一点上弯曲的程度，可以通过曲面的二阶导数来计算。
切线是曲面上的一条直线，与曲面在该点的切平面相切。
法线是与曲面在某一点的切平面垂直的直线。
曲面还可以根据其形状进行分类。
常见的曲面包括平面、球面、柱面、圆锥面等。
平面是一种无限延伸的曲面，可以由一个点和法线方向来确定。
球面是由距离一个固定点一定距离的所有点组成的曲面。
柱面是由平行于给定直线的直线沿给定曲线移动而得到的曲面。
圆锥面则是由直线沿与给定直线平行的方向移动所得到的曲面。
在实际应用中，空间曲面的方程和性质经常用于数学、物理、计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，空间曲面的方程可以用来描述三维模型的形状，从而实现三维渲染和动画效果。
在物理学中，空间曲面的性质可以用来描述电场、重力场等现象。
总结起来，空间曲面的方程与性质是研究空间几何学的重要部分，它们可以描述曲面的形状、弯曲程度以及与其他几何对象的关系。
大一高数下册知识点汇总
大一高数下册知识点汇总在大一高等数学下学期的学习中，我们将继续学习和探索更深入的数学知识。
下面是对本学期知识点的汇总和总结。
一、向量代数1. 向量的基本概念和表示法：向量的定义，零向量，单位向量，向量的数量表示法。
2. 向量的加法和减法：向量之间的加法和减法运算，平行四边形法则，共线向量和共面向量。
3. 数乘和数量积：向量与实数的数乘运算，向量的数量积的定义和性质，向量的模长和方向余弦。
4. 向量的叉乘和向量积：向量的叉乘定义和性质，向量积的模长和方向。
二、空间解析几何1. 空间直线及其方程：空间直线的定义，向量方程和参数方程的转换，直线的方向向量和点向式方程。
2. 平面及其方程：平面的定义，平面的一般方程，点法式方程和一般法式方程。
3. 空间曲线及其方程：空间曲线的定义，参数方程，齐次方程和标准方程。
4. 空间曲面及其方程：二次曲面的方程和图像，球面和圆锥曲线的方程。
三、多元函数及其极限1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义，自变量和因变量的关系，函数的定义域和值域。
2. 多元函数的极限：二重极限和多重极限的概念，函数极限的性质与判定方法。
3. 偏导数：多元函数的偏导数定义，偏导数的计算方法，高阶偏导数，混合偏导数。
4. 微分：多元函数的微分及其几何意义，微分的计算方法。
四、多元函数的微分学1. 隐函数及其求导：隐函数的概念和性质，隐函数求导的方法。
2. 方向导数与梯度：方向导数的定义和计算，梯度的概念和性质。
3. 多元函数极值与条件极值：多元函数的极值判定，约束条件下的极值求解。
五、多元函数的积分学1. 重积分：二重积分的概念和性质，二重积分的计算，极坐标下的二重积分。
2. 三重积分：三重积分的概念和性质，三重积分的计算，柱面坐标和球面坐标下的三重积分。
3. 曲线与曲面积分：曲线积分的概念和计算，曲面积分的概念和计算。
六、无穷级数1. 数列极限与无穷级数：数列的极限概念和性质，常见数列的收敛与发散，无穷级数的概念和性质。
最新考研数学二知识点比例分布
考研数学二知识点分布(1)1、函数、极限、连续：(1)函数;(2)极限;(3)连续。
2、一元函数微分学：(1)导数与微分;(2)导数的计算;(3)微分中值定理;(4)导数的应用。
3、一元函数积分学：(1)不定积分;(2)定积分;(3)定积分的应用。
4、向量代数和空间解析几何：(1)向量的概念及运算;(2)空间平面方程;(3)空间直线方程;(4)空间曲面及其方程;(5)空间曲线及其方程。
5、多元函数微分学：(1)多元函数微分学的极限与连续、偏导数与全微分;(2)多元函数的极值与最值;(3)多元函数微分学的几何应用。
6、多元函数积分学：(1)二重积分;(2)三重积分;(3)曲线积分;(4)曲面积分。
7、无穷级数：(1)数项级数;(2)幂级数;(3)傅里叶级数。
8、常微分方程(1)微分方程;(2)差分方程。
考研数学二知识点分布(2)做模拟题时候，尤其是数学模拟题，建议按照考试的规定时间来，比如数学从8：30-11：30，或者9：00-12：00，要保证三个小时的时间去训练。
因为上帝只给你3小时。
在这个过程中，学会舍弃，千万不能一直卡在一道题目上半天，因小失大。
不会就跳过，要牢牢的把时间控制在自己手里，不让那些情绪酝酿开来，做题的速度决定了你对整场考试的掌控力，是你来主宰考试，还是考试时间把你拖着走。
做过以后，我们认真对答案，不必太过纠结分数多少，通过做模拟题去检验知识点的掌握情况是关键。
而且有些题出的本身就比较偏，太多的去钻研它的含义反而没有多大意义。
我们可以通过看它的解题思路回忆对应的知识点，如果知识点遗忘可以翻看课本进行补充，基础远大于有难度的题。
现阶段，不是做的题越多越好，是做的越精越好，凡是做过的，都理解透了就能取的不错的结果。
考研数学二知识点分布(3)1、高等数学(微积分)。
这部分我用的同济大学的高等数学，一共两册，是很不错的教材。
2、线性代数。
这部分的教材我依旧用的同济大学的工程数学，和经济类的数学差别并不大。
多元函数
( x, y )
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}
这个点集称为二元函数的图形. 注意：二元函数的图形通常是一张曲面.
医用高等数学
z
M ( x, y, z)
y
o
x
p
y
D
x
医用高等数学
三、二元函数的极限与连续
1.二元函数的极限 定义4-2 设函数 z f ( x, y)在点P 0 ( x0 , y 0 )的某一邻域内 有定义(点 P 0 ( x0 , y 0 ) 可以除外).如果当 P( x, y ) 沿任何路径 趋近于 P 0 ( x0 , y 0 )时，函数 f ( x, y )无限趋近于一个常数 A ,则 称 f ( x, y )当 P( x, y) P0 ( x0 , y 0 ) 时 ,以 A 为极限，记作
证明 当 p( x, y)沿曲线 y kx 趋于(0, 0)时
xy kx 2 k lim 2 lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x k x x y 1 k y kx 0
当k取不同的值时,所得的值不同
xy 所以 lim 不存在． x 0 x 2 y 2 y 0
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M 1 P PN NM 2
2
2
医用高等数学
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
M 1 P PN NM 2
医用高等数学
自变量 ( x , y ) 的取值范围称为函数的定义域.
第6章 多元函数微分学
6.4 多元复合函数微分法 6.4.1 多元复合函数微分法 设 z = f (u,v), u = u (x,y), v = v(x,y),则 , ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 这是本节最重要、最好记忆的公式, 这是本节最重要、最好记忆的公式,也是应 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话, 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话,你 是不会出错的. 是不会出错的. 本节假设所有的抽象函数总能 满足所需要的条件. 满足所需要的条件. 的偏微商. 练习 求 z = (x2 + y2)xy 的偏微商. 提示： 提示：令u = x2 + y2, v = xy.
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
的偏微商与全微分. 例 求z = cos2x + 3siny的偏微商与全微分 的偏微商与全微分 ∂z ∂z 解 = −2sin 2x, = 3cos y. ∂x ∂y
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
= − 2sin2xdx + 3cosydy
第6章 多元函数微分学
重点： 重点：求偏微商 难点： 难点：多元复合函数微分法 多元函数极值
6.1 空间解析几何
6.1.1 空间直角坐标系
点与坐标
两点间的距离公式 间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + (z1 − z2 )
[理学]§61空间解析几何简介
![[理学]§61空间解析几何简介](https://img.taocdn.com/s3/m/5b2d11e36f1aff00bed51e72.png)
积
分
教
案
第六章 多元函数微积分
中 山 大 学 南 方 学 院
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微
§6.1空间解析几何简介
积
分
教
案
一、空间直角坐标系
中
二、空间两点间的距离
山
大
学
南 方
三、曲面及其方程
学
院
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一、空间直角坐标系
微
积 分
三个坐标轴的正方向
教 案
符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
中
山 大
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
学 南
（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
方 学
那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程，
院 而曲面S 就叫做方程的图形．
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微 积
例 2 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
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2、平面
微
积
分 教
平面的一般方程为：
案
Ax By Cz D 0
中
山
大
学
南
其中 A，B，C，D 是不全为0的常数
方
学
院
即
A2 B2 C 2 0
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Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
微 积
到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
分
教 案
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
空间曲面与空间曲线【高等数学PPT课件】
研究空间曲面有两个基本问题：
S
（1）已知一曲面的几何轨迹， 建立曲面方程．
oy x F(x, y, z) 0
（2）已知一三元方程 F(x, y, z ) = 0 研究曲面形状．
以下给出几例常见的曲面：
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为
R 的球面方程.
z
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
y
0
.
o x
z
(3) y x 表示母线平行z轴的平面.
z
o
y
x
y x
平面
例2
y2 b2
z c
2 2
1
椭圆柱面
//x 轴
准线为：
y2 b2
z2 c2
x 0
1
x2 a2
y2 b2
1 双曲柱面
// z轴
准线为：
x2 a2
y2 b2
1
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴 准线为： x2 2 pz
交准线于点 M0 ( x0 , y0 ,1)( x02 y02 1),
OM OM0
即有 x0 y0 1 , x yz
即
x0
x z
,
y0
y, z
代入 x02 y02 1 得 x2 y2 z2 圆锥面 x
z
M
0
M
o y
常见锥面及方程:
x y2 z2 y x2 z2
o
y
x
该圆还可表示为下列形式:
x2 y2 z2 1
空间曲面及其方程
空间曲面的研究方法
解析几何方法
空间曲面的表示：参数方程、隐式方程、显式方程 空间曲面的性质：光滑性、连续性、可微性 空间曲面的变换：旋转、平移、缩放 空间曲面的分类：球面、柱面、锥面、扭面等
微积分方法
微积分的基本概念：极限、导数、积分等 空间曲面的微分几何：曲面的切平面、法线、曲率等 空间曲面的积分方程：高斯公式、斯托克斯公式等 空间曲面的微分方程：拉普拉斯方程、热传导方程等
汽车工业：空间 曲面在汽车工业 中的应用，如汽 车车身设计、汽 车内饰设计等。
船舶工业：空间 曲面在船舶工业 中的应用，如船 舶设计、船舶内 饰设计等。
物理中的应用
光学：空间曲面在光学系统中的应用，如透镜、反射镜等 力学：空间曲面在力学系统中的应用，如弹性曲面、塑性曲面等 电磁学：空间曲面在电磁学中的应用，如电磁波传播、电磁场模拟等 量子力学：空间曲面在量子力学中的应用，如量子纠缠、量子信息处理等
圆锥面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与某个平面相交
双曲面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与两个平面相交
抛物面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与一个平面相交
旋转曲面：所有点与原点距 离相等，且平行于某个平面， 且与一个平面相交，且绕某 个轴旋转
曲面的方向
代数几何方法
空间曲面的代数表 示：通过方程来描 述空间曲面
空间曲面的代数性 质：研究空间曲面 的代数性质，如光 滑性、正则性等
空间曲面的代数变 换：通过代数变换 来研究空间曲面的 性质
空间曲面的代数分 类：根据代数性质 对空间曲面进行分 类
THNK YOU
汇报人：XX
空间曲面的应用
几何学中的应用
空间曲面的性质与方程
空间曲面的性质与方程一、引言空间曲面是三维几何中的重要概念。
它既是空间中的一个对象，也可以通过合适的方程来描述。
本文将探讨空间曲面的性质以及与之相关的方程。
二、曲面的基本性质1. 曲面的定义空间曲面可以简单理解为没有尖角和断裂的三维几何体。
它可以通过在三维坐标系中移动一个曲线或曲线段来得到。
2. 曲面的参数方程曲面可以通过参数方程表示，其中每个点都对应一组参数值。
例如，二次曲面可以通过参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)来定义。
3. 曲面的方程除了参数方程外，我们还可以使用其他形式的方程来表示曲面。
例如，一般方程Ax+By+Cz+D=0可以描述平面，而柱面可以用x^2+y^2=r^2来表示。
三、曲面的分类1. 平面平面是最简单的一类曲面，它由一组满足线性方程的点组成。
平面在空间中没有曲率，可以通过法向量来描述。
2. 曲率曲面的曲率描述了其在每个点处的弯曲程度。
曲率分为正曲率、负曲率和零曲率三种情况。
例如，球面具有正曲率，下凹的抛物面具有负曲率。
3. 曲面的类型曲面可以分为封闭曲面和开放曲面两种类型。
封闭曲面是有限的，类似于球面；而开放曲面则是无限的，如抛物面。
四、常见的空间曲面方程1. 隐函数方程隐函数方程是通过等式来定义曲面的，例如锥面的方程为x^2+y^2=z^2。
2. 参数方程参数方程是通过参数表示曲面上的每个点，例如球面可以通过参数方程x=r*sinθ*cosφ，y=r*sinθ*sinφ，z=r*cosθ来定义。
3. 一般方程一般方程是曲面的一种常见表示形式，例如平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0。
五、曲面的应用空间曲面的研究在数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，空间曲面的表示和渲染是实现逼真图像的关键。
六、结论空间曲面的性质和方程是几何学中的重要内容。
了解和掌握空间曲面的基本性质以及不同类型的方程对于深入理解几何学和应用数学都具有重要意义。
高中数学备课教案多元函数的空间曲线与曲面的方程
高中数学备课教案多元函数的空间曲线与曲面的方程高中数学备课教案多元函数的空间曲线与曲面的方程一、引言多元函数是数学中的一个重要概念，它描述了多个自变量与一个或多个因变量之间的关系。
在高中数学中，学生需要学习多元函数的性质和特点，以及如何表示和求解多元函数的方程。
本教案将重点介绍多元函数的空间曲线和曲面的方程表示方法与应用。
二、空间曲线的方程1. 参数方程法空间曲线可以通过参数方程来表示。
考虑一条曲线L，可以用参数t的函数形式表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上各点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)是自变量t的函数。
通过给定不同的t值，就可以得到曲线上的不同点。
2. 隐函数法除了参数方程，空间曲线还可以通过隐函数的形式来表示。
假设曲线L可以用方程F(x, y, z) = 0表示，其中F是含有x、y、z的函数。
这样的方程F(x, y, z) = 0即为曲线L的隐函数方程。
三、空间曲面的方程1. 二次曲面二次曲面是指由二次方程表示的曲面。
其一般方程为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数，而x、y、z分别为曲面上的点的坐标。
2. 参数方程法类似于空间曲线的表示，空间曲面也可以通过参数方程来表示。
考虑一张曲面S，可以用参数u和v的函数形式表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是自变量u和v的函数，通过给定不同的u和v值，可以得到曲面上的不同点。
四、应用举例1. 空间曲线的方程应用假设一飞机以速度v0垂直于地面从起飞点(0, 0, 0)起飞，受到重力加速度的作用，在水平方向上以速度v1匀速飞行。
空气阻力可忽略不计。
考虑时间t，该飞机的位置可以用以下参数方程表示：x = t * v1y = 0z = -0.5 * g * t^2 + v0 * t其中g表示重力加速度。
空间曲面认识空间曲面的特征与方程
空间曲面认识空间曲面的特征与方程空间曲面是指在三维空间中由曲线无限延伸而成的图形。
它是几何学中一个重要的研究对象，具有丰富的特征和方程。
本文将围绕空间曲面的特征与方程展开论述。
一、空间曲面的特征空间曲面的特征主要包括形状、表达方式和性质等方面。
1. 形状：空间曲面可以有各种形状，如平面、球面、圆柱面、锥面等。
其中，平面是一种特殊的曲面，它是无限大的、无弯曲的。
而球面是一种曲率相等的曲面，它的每一点到球心的距离都相等。
2. 表达方式：空间曲面可以通过方程、参数方程和隐函数方程等方式来表示。
其中，方程法是最常用的表达方式之一。
通过将空间曲面的特征用数学方程表达出来，可以更直观地描述曲面的几何性质。
3. 性质：空间曲面具有各种几何性质，如曲率、切平面和法向量等。
曲率是描述曲面弯曲程度的量，切平面是与曲面相切且与曲面法线垂直的平面，法向量是垂直于曲面的一个向量。
二、空间曲面的方程类型根据空间曲面的特征不同，可以将空间曲面的方程分为若干类型，常见的有点法向式方程、参数方程和球面方程等。
1. 点法向式方程：点法向式方程是一种常用的描述曲面的方式。
它通过给出曲面上的一点和该点的法向量来表示曲面方程。
例如，对于球心在坐标原点、半径为r的球面，其点法向式方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a,b,c)为球心坐标。
2. 参数方程：参数方程是把曲面上的点用参数的形式表示出来。
通常，参数方程是由两个参数u和v的关系所决定的。
例如，对于圆柱面，其参数方程可以表示为x = r*cos(u), y = r*sin(u), z = v，其中r为圆的半径，(u,v)为参数。
3. 球面方程：球面方程是一种特殊的曲面方程，用于描述球面的几何性质。
球面方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a,b,c)为球心坐标，r为球的半径。
三、空间曲面的方程应用空间曲面的方程在实际应用中具有广泛的应用价值。
高等数学空间曲面各种类型及方程
高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，其中涵盖了许多复杂的数学概念和理论。
其中，空间曲面是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
本文将系统地介绍高等数学中空间曲面的各种类型及其方程。
一、空间曲面的定义空间曲面指的是三维空间中的曲线的集合，也就是说，它是由参数方程或者隐函数方程所描述的。
在数学中，空间曲面通常可以用下面的方程形式来表示：1. 参数方程形式：$P(x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)), \alpha < t < \beta$2. 隐函数方程形式：$F(x, y, z) = 0$二、曲面的分类根据曲面的性质和方程的形式，空间曲面可以分为多种类型。
下面将分别介绍常见的曲面类型及其方程。
1. 锥面锥面是一种由一条直线（母线）绕着一个固定点（顶点）旋转而成的曲面。
它的方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = at \\y = bt \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。
2. 圆锥曲面圆锥曲面是由一条固定直线（母线）和一个固定点（焦点）相对应的点所生成的曲面。
其方程可以用隐函数方程表示为：$x^2 + y^2 = z^2$3. 圆柱面圆柱面是由一条曲线（母线）沿着平行于一条直线轴线运动而形成的曲面。
其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。
4. 圆锥面圆锥面是由一条圆锥曲线绕着其中心轴旋转而形成的曲面。
其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = \pm\sqrt{x^2 + y^2}\end{cases}$其中，a、b为常数。
5. 双曲面双曲面是一种具有双曲线截面的曲面。
空间曲面及其方程
空间曲面及其方程空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的曲线、曲面或曲体。
在几何学中，研究空间曲面的形状、性质以及其方程是一项重要的课题。
一、曲面的基本概念曲面可以用数学语言进行描述，其具体形式取决于其类型和特性。
常见的曲面包括球面、圆柱面、抛物面、双曲面等。
1. 球面：球面是以一个固定点为球心，以一定半径为半径的点的集合。
球面方程可表示为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
2. 圆柱面：圆柱面由一条直线L（母线）沿着一条平面曲线C（母线曲线）平行移动形成。
圆柱面方程可表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
3. 抛物面：抛物面是一个像开口碗一样的曲面。
抛物面方程可表示为z=ax²+by²，其中a和b为常数。
4. 双曲面：双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。
单叶双曲面的方程可表示为(x/a)²+(y/b)²-(z/c)²=1，双叶双曲面的方程可表示为(x/a)²+(y/b)²-(z/c)²=-1。
二、空间曲面的方程表示空间曲面的方程描述了曲面上的所有点的几何特征。
不同类型的曲面有不同的方程形式。
1. 参数方程：使用参数方程可以表示曲面上的每个点。
例如，曲线的参数方程可以写为x=f(u)，y=g(u)，z=h(u)，其中u为参数。
2. 一般方程：一般方程是通过将曲面上的点的坐标表示为x、y和z 的函数来定义。
例如，一般方程可以写为F(x,y,z)=0，其中F是一个关于x、y和z的函数。
3. 隐函数方程：隐函数方程是通过将曲面上的点的坐标表示为一个或多个变量的函数来定义。
例如，隐函数方程可以写为F(x,y,z)=0，其中F是关于x、y和z的方程。
三、空间曲面的性质和应用空间曲面的性质和应用广泛，涉及到几何学、物理学、工程学等领域。
空间曲面及其方程ppt课件
方程表示以点(1,2,3）为
（x 1）2 （y 2）2 (z 3)2 18. 球心，半径为3 2的球面.
例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其 准线为 xoy 面上曲线 C .
只含 x, z 而缺 y 的方程 F ( x, z) 0 ，在空间
直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线
为 xoz 面上曲线 C .
只含 z, y 而缺 x 的方程 F (z, y) 0 ，在空间
x2 y2 z2
1
,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
例4 方程z ( x 1)2 ( y 2)2 1
的解图形根是据怎题样意的有？z 1
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
z
(x, y, z)
F((xxx,,yy,,z)) 00
.M . M´
(x, y, z)
o2 4
当 A2 B2 C 2 4D 0 时,是球面方程.
例：方程
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r M
o
B y
A
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
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(5)利用坐标作向量的线性运算
设
a
(aax ,ba
y,
az ), b (ax bx ,
(bx ,by ,bz ) ay by ,az
, 为实数，则
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说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
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例2 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
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(4) 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以
i
,
j,
k
分别表示
x,
y,
z
轴上的单位向量
,
设点
M
的坐标为
则
z OM ON NM OA OB OC C
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a. 再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0 故 0, 即 .
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一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
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“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6 M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6 M 2M3 M1M3 即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
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3、向量及其运算
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定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
解 由于过三个已知点的平面的法向量 n 与向量
M1M 2 、 M1M 3 都 垂 直 ， 而 M1M2 4,1,0 ， M1M3 3,2,1，设 n x, y, z ，则有：
n M1M2 x, y, z4,1,0 4x y 0
n M1M3 x, y, z3, 2,1 3x 2 y z 0
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
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例1 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
解此方程组，可得 x 1, y 4, z 11 ,即所求平面的
法线向量 n 1,4, 11 .根据平面的点法式方程，所
求平面的方程为：(x 1) 4( y 1) 11(z 1) 0
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二、平面的一般方程 (General Equation of a Plane)
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向
量
求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
M0M n
故
M0M n 0
z
M
o x
n
M0
y
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
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例 4 求过三点 M1 (1,1,1) 、 M 2 (3,2,1) 及 M 3 (4,3,2) 的 平面方程.
高等数学多媒体课件
华南农业大学理学院数学系
牛顿（Newton）
2019年8月15日星期四
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莱布尼兹（Leibniz）
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第六章 多元函数微积分
第一部分 空间解析几何 第二部分 多元函数微分学 第三部分 二重积分
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主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
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(x 1)2 ( y 0)2 (z 1)2 (x 0)2 ( y 1)2 (z 2)2
整理得
2x 2y 6z 3 0
该方程表示的是垂直平分线段 M1M2 的一 个平面，即线段 M1M 2 的垂直平分面.
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三、空间常见的空间曲面及其方程
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
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例 3 设有点 M1(1, 0,1) 与点 M 2 (0,1, 2) ，求到这 两点的距离相等的点的轨迹方程. 解 设 P(x, y, z) 是所求轨迹上的任意一点，则由 | PM1 || PM 2 | 得
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
空间曲面及其方程 多元函数 偏导数 全微分 复合函数和隐函数的偏导数 二元函数的极值 二重积分 二重积分的应用 经济应用Ⅵ
2019年8月15日星期四
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第六章
第一节 空间曲面及其方程 多元函数