6.1_空间曲面及其方程__多元函数

高等数学多媒体课件
华南农业大学理学院数学系
牛顿（Newton）
2019年8月15日星期四
1
莱布尼兹（Leibniz）
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第六章 多元函数微积分
第一部分 空间解析几何 第二部分 多元函数微分学 第三部分 二重积分
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主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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a4
a5
a3
a2 a1
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(2) 向量的减法
a
三角不等式
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(3) 数与向量的乘积
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定 :
常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、 旋转面和二次曲面等. 空间曲线，特别是直 线，在空间解析几何中非常重要. 下面，我 们对这些图形作简单介绍.
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1. 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第六章
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解此方程组，可得 x 1, y 4, z 11 ,即所求平面的
法线向量 n 1,4, 11 .根据平面的点法式方程，所
求平面的方程为：(x 1) 4( y 1) 11(z 1) 0
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二、平面的一般方程 (General Equation of a Plane)
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一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且

b
故 b a. 再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0 故 0, 即 .
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y2
,
z1 z2 2
M
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内容小结
1. 空间直角坐标系 2. 向量的概念及其线性运算 3. 利用坐标变量作向量的线性运算
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二、空间曲面与方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
可见
总之:
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
1a a ; 1a a ;
分配律
(a

b)


a


b
则有单位向量 a
因此
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定理1 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
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例2 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得 此方程表示: 球心为
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向
量
求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
M0M n
故
M0M n 0
z
M
o x
n
M0
y
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
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例 4 求过三点 M1 (1,1,1) 、 M 2 (3,2,1) 及 M 3 (4,3,2) 的 平面方程.
空间曲面及其方程 多元函数 偏导数 全微分 复合函数和隐函数的偏导数 二元函数的极值 二重积分 二重积分的应用 经济应用Ⅵ
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第六章
第一节 空间曲面及其方程 多元函数
一、空间直角坐标系 二、空间曲面与方程的概念 三、常见的空间曲面及其方程 四、多元函数 五、二元函数的极限与连续性
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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(1) 向量的加法
平行四边形法则:
ab
三角形法则: a b
c
bc a (b c)
ab
运算规律 : 交换律 a b b a 结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
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“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM

MA


1 2
(
a

F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
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例1 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
半径为 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
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例 3 设有点 M1(1, 0,1) 与点 M 2 (0,1, 2) ，求到这 两点的距离相等的点的轨迹方程. 解 设 P(x, y, z) 是所求轨迹上的任意一点，则由 | PM1 || PM 2 | 得
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
设有三元一次方程
( A2 B2 C2 0) ② 任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6 M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6 M 2M3 M1M3 即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
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3、向量及其运算
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定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 :
bz )
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当 a

0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
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例3 已知两点
及实数
在AB直线上求一点 M , 使
r M
o
B y
A
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
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(5)利用坐标作向量的线性运算
设
a


(aax ,ba
y,
az ), b (ax bx ,
(bx ,by ,bz ) ay by ,az
, 为实数，则
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM

1
1
(OA
OB

B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
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x
6
A(x, y,0)
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z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
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2. 空间中两点之间的距离 设 M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间的两点，记 M1, M 2 的距离为 M1M2 ，
d 2 M1M2 2 M1N 2 NM2 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2.
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说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
解 由于过三个已知点的平面的法向量 n 与向量
M1M 2 、 M1M 3 都 垂 直 ， 而 M1M2 4,1,0 ， M1M3 3,2,1，设 n x, y, z ，则有：
n M1M2 x, y, z4,1,0 4x y 0
n M1M3 x, y, z3, 2,1 3x 2 y z 0
(x 1)2 ( y 0)2 (z 1)2 (x 0)2 ( y 1)2 (z 2)2
整理得
2x 2y 6z 3 0
该方程表示的是垂直平分线段 M1M2 的一 个平面，即线段 M1M 2 的垂直平分面.
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三、空间常见的空间曲面及其方程
b)
MB


1 2
(
b

a
)
A
a
B
MC

1 2
(
a

b
)
MD

1 2
(
b

a
)
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(4) 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以
i
,
j,
k
分别表示
x,
y,
z
轴上的单位向量
,
设点
M
的坐标为
则
z OM ON NM OA OB OC C
Ⅵ
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在直角坐标系下
点 M 11 有序数组
11 向径
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
C(x, o, z) o r
M y
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向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
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于是空间两点间的距离公式为：
d ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
特别地 d x2 y2 z2
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例1 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证:
M1M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14