大学物理难题集

带电质点由x=2d运动到x=d过程中
d
a q
m 0
方向向左
t1
2d a
20m q
t1
2d a
20m q
带电质点由x=d运动到x=0过程中
q
FqE xkx
0
q
k
0
带电质点在线性恢复力作用下作简谐振动
xA co ts () k q
m 0m 简谐振动的初始条件为
x0 dAcos
V0 V1Asin
l(x)(ax)0
dhx a
E(x) U U l(x) d hx a
D(x)0rE(x)
U h
0r
d x
a
(x)Dx
U h
0r
d x
a
导体板上X到x+dx窄条上的电量为
dQ(x)dS
U h
0rbdx
d x
a
Q
(x)dS a 0
U h
0rbdx
d x
a
0rbUahlnddh
CU Q0rba hlndd h
dB
0I 4r3
dlr
r x i ( y a )j
dldixdjy
d B 4 0 r I 3(di x d j) yx i (y a ) j
4 0 rI3
d(x ya)kx
d ky
40rI3 ayxd dx ydx k
0I 4r3
x2
ay2adxk
dB 4 0 rI3
1、质量为m的小球可沿半径为r的圆形环轨道运动，环面为
水平面。小球带有固定的正电荷q。设在以环形轨道为其截
面的柱体内有均匀的随时间t变化的磁场，磁感应强度B的方
向 垂 直 于 环 面 。 已 知 t=0 时 ， B=0 ， 小 球 静 止 于 环 上 ；
0<t<T时，B随时间t线性增长；t=T时，B=B0。设重力和
部分绕成初始半径为r0 的小圆圈.圆圈所在区域有与平面垂直
的均匀磁场B.回路的B端固定,C、D为自由端。A端在沿BA方 向的恒力F的作用下向右移动。从而使圆圈缓慢缩小。设在 缩小过程中，线圈始终保持圆的形状。并设导体回路是软的，
摩擦力可忽略。试求：在0<t<T时间内小球运动状态及小球
对轨道的作用力。
FqE
N
FL
r
B(t)
解、在0<t<T时间内
B(t)
B0
t
T
在环上产生的感生电场为
E2rdd(B r2)
dt
dt
E B0r 2T
感生电场力产生的切向加速度为
at
qE qB0r m 2Tm
V
at
t
qB0r t 2Tm
FL
r
B(t )
FqE
N
V
at
t
qB0r t 2Tm
小球受的磁场力指向圆心
FL
BqV q2B02rt2 2T2m
圆环对小球的法向支持力为N，则
V2 FL Nm r
N
q2B02r 4T2m
t
2
FL
r
B(t)
FqE
N
2、半径为1cm的两根足够长的平行导线相距20cm,在两导线 中有20A的方向相反 的电流。（1）若将两导线分开到40cm, 试求磁场对单位长度导线所作的功。（2）分开两导线时， 单位长度的磁能改变了多少？增加还是减少？说明能量的来 源或去向。
q 0m
tan V0 2 x0
cos 0 初相位在第一象限
带电质点由x=d运动到x=0过程中,所需的时间为满足方程
x ( t2 ) A co t2 s) ( 0
t 2
2
arcta2n
t2
2
2
带电质点由x=2d运动到x=0过程中所需的时间为
arcta2n
t t2 t1 2
2 0m q
2.03 0 m q
解、（1）当两导线分开到相距40cm时，磁场对单位
导线作的功为
A
0.4Il0I 0.2 2r
dr0I2l 2
5.5105J
（2）单位长度导线的磁能改变可由自感磁能的改变求得
L1
0l
l
nd1 a
L2
0l
l nd2 a
W 1 2L 2I21 2L 1I25.515 0 J
能量的来源电源做功
3、把10F的电容器充电充到100V,再通过100的电阻和0.4H的电感串 联放电。试问：（1）此时电路处理于什么状态？（2）为使电路处理于 临界阻尼状态，应再串联或并联一个多大的电阻？或者应再串联或并联 一个多大的电容？
若 lnd h h
dd
C 0 r ba
d
若 lndhh1h2
d d 2d
C0rba1 h
d 2d
电容的一级近似
6、抛物线形状的无穷长导线载有电流I.若焦点到顶点的距离 为a.试求焦点处的磁感应强度B.
y
Idl
P a x
解:抛物线方程 x2 2py
x2 4ay
a p 2
x2 4ay
1 0 LC
时电路处于阻尼态振;荡状
由题目所给数据，有
R
2
2L
L1C0
,所以电路处于阻 状尼 态振 ; 荡
（2）设电路处于临界阻尼状态时的总电阻为R’，则
R 2 1 0 2L LC R 40 0 应再串联的电阻为100
设电路处于临界阻尼状态时的总容为C’，则
R2 2L
1 0 LC
C 16 F 0
应再并联的电容为 C 1 6 10 0 15 F 0
4、在-d<x<d的空间区域内，电荷密度>0为常数，其它区 域均为真空。若在x=2d处将质量为m,电量为q（<0）的带 电质点自静止释放。试问经过多少时间它能到达x=0的位置。
d
0d
x
x
解、由高斯定理可得电场分布
d E
0 x E 0
xd dxd
5、两块长为a宽为b的平行导体板在制成电容器时稍有偏?,使 两对宽度一过相距d,另一宽过相距为d+h,且h<<d.若此电容 器内充满了相对介电常数为r 的电介质,试求电容器的电容.
a d h
l( x )
0 d a
o
x
解:两块间的等势面是一系列不同.对应的平面,而电场线则是一系列以o 点为中心的圆弧线,每条线上的电场强度大小近似相同.不同圆弧线上的电 场强度不同.
解、（1）这是一个RCL串联的放电电路，电路的微分方程为 d2q Rdq q 0 d2t Ldt LC
上述微分方程的特征方程为
P2 RP 1 0 L LC
PR
R2
1
L 2L LC
当
2RL2
1 0 LC
时电路处于过阻尼 ; 状态
当
R
2
2L
1 0 LC
时电路处于临阻尼 ; 状态
当2RL2
ayd
x k
r2x2(ay)2 x2 4ay
r2 (ay)2
ห้องสมุดไป่ตู้
ay
1
1
r3
(ay)2
a21
x 22
2a
dB
0 I
dx
4a2
a
2
1
x
2
2
k
2a
B 20
0I
dx
4a2
a
2
1
x
2
2
k
2a
作变量替换
tan x
2a
B2 2 0
0 aIco2s dk
0I
k
4a
7、如图所示,ABCDA是闭合导体回路,总电阻为R,AB段的一