小升初奥数备考讲义第五讲数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数提高版

第五讲 数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数

数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，

完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视。本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.

本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和

倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.

【例1】 （实验中学入学测试题）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足

条件的5位数？

分析：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。

［点评］现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手

【例2】 （华罗庚金杯竞赛试题）11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么

这11个数的平均数是多少？

分析： 因为343=73

，则可知，在11个连续的两位数种，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98。

又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5。连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75。

综上所述，这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50。所以教学目标

你还记得吗？

想 挑 战 吗 ？

二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地连续报数.如果报2和200的是同一个人，共有——个小朋友? 分析：小朋友的人数应是(200－2)=198的约数，而198=2×3×3×11，约数中只有2×11=22符合题意.

专题精讲

专题一平方数

【例1】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

分析：设这两个完全平方数分别为A2、B2那么这两个完全平方数的差为54=（A+B）（A－B），由于（A+B）

和（A－B）的奇偶性质相同，所以（A+B）（A－B）不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.

[拓展]（清华附中入学测试题）一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数？

分析：B2- A2=20， B2- A2=（A+B）（B－A）=20，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，所以只能拆成2×10，这样A+B=10，B－A=2，所以A=4，B=6，所以这个数为26。

【例2】03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？

分析：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A2，04年的为B2，从中我

们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子

此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，

所以

［拓展］一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？

分析：A2-B2=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为424。

【例3】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.

分析：五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为A2，一二年级的学生人数为B2，则153=（A+B）（A-B），而153=3×3×17，所以，（A+B）和（A-B）的可能值

为153和1；17和9；51和3，有这三个答案得到的A和B的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然前两组答案荒谬之极，所以A=27，B=24最为现实.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为729+576+676=1981人.

专题二 分解质因数

【例4】 将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数，已知这两个三位数的乘

积等于55872，那么，这两个三位数的和为多少？

分析：55872=2×2×2×2×2×2×3×3×97，这两个三位数中有一个一定是97的倍数，且这两个三位数不会超过600，否则另一个数就不可能是三位数，而如果其中一个是3的倍数，另一个也一定3的倍数，当然这两个数中一定是有3的倍数的，依次其中一个三位数是3×97=291，另一个是192，两个数的和为483.

[巩固]将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数．已知这两个三位数的乘积等于52605，那么，这两个三位数的和等于______．

分析：52605=3×5×7×501=105×501所以，105＋501＝606．

【例5】 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么

四位数〇△□☆是多少？

分析：因为□△□△□△=□△10101⨯，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101。作质因数分解得37137310101⨯⨯⨯=，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有371321⨯⨯。注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21。即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132。

【例6】 从1到300中所有能被3整除的数相乘所得的乘积末尾有多少个0？

分析：1到600中被3整除的数有200个，这两百个数中每5个就有一个数能被5整除，每25个就有一个数能被25整除，每125个有一个数能被125整除，被5整除的3的倍数有15、30、45、……600，共40个，被25整除的数有75、150、225、300、375、450、525、600共8个，被125整除的3的倍数只有375，所以乘积分解质因数后有40+8+1=49个5，显然分解后的质因数中2比5多，所以最后的乘积末尾一共有49个0.

[巩固]（奥数网精选试题）从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？

分析：首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0。其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的数字5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有7+4+2+1=14个0。