复变函数第1讲 复平面

1. 复平面

对,定义

(1.1)

根据(1)式可以决定(x,y)的乘法, C上的矢量线性运算(加法和数乘)与(1)决定的乘法叫做复数运算. 如果令1=(1,0), i=(0,1),则对复数z=(a,b), 可以写成z=a+ib, 故

(1.2)

故把z叫做复数, C叫做复数集.

此外, 对两个复数可以定义数量积

和向量积

对z=x+yi, 记x=Re z, y=Im z叫做z的实部和虚部. 注意z的实部和虚部都是实数.

, 叫做z的模长和辐角. Arg z中有无数

个数值, 内的值叫做主辐角, 记作arg z. 则

引入记号

(1.3)

叫做Euler公式, 那么一个复数就可以写成极坐标形式

(1.4)

那么复数的乘除就可以简单的化简为

(1.5)

如果在复平面C上构造空间坐标系轴与Re轴重合, 轴与Im轴重合, 则有

Riemann. 取N(0,0,1), 对z=x+iy=(x,y,0), 连接Nz, , 则

构造了一个映射,这个映射叫做球极投影. 根据直线的向量式参数方程可以写出射线Nz的方程: . 由此

并且可以得到逆变换

如果建立球坐标, 令t为Z的经度, s为Z的纬度, 则

. 补充定义并记, 则也是双射.

下面看复平面的拓扑. 对C, 距离可以定义为|z-z0|, 而对Riemann球面则可以用球面距离定义

(1.6)

有

则在C上. 由此可以定义邻域的概念

(1.7)

于是类似就可以类似于实变函数一样定义C的拓扑. 在拓扑的基础上可以定义极限的概念, 对复数列, 如果存在点a∈C使得使得a在C上的任意邻域内都包含序列{an}的无数个点, . 明显

(1.8)

此外我们会用到集合的距离

从区间[α,β]到C的映射[α,β]→C叫做一条道路, 如果两条道路等价, 则要求

(1) 的像相同

(2) 的定义域到道路的定义域的可逆函数

则道路, 积分

(1.9)叫做道路γ的长度, ds叫做γ的弧微分. 根据(1.9)式, 很明显函数

(1.10)

这个函数叫做道路γ的切向量或导数. 根据这种定义, 很容易得到类函数的概念, 其中

.如果道路不自相交, 则道路叫做Jordan道路. 同理可以定义Jordan曲线的概念.

与R n拓扑类似, 把一个连通的开集D叫做区域, 集合叫做D的边界. 注意D为开集, 则.如果集合K可以表示为区域D与其边界∂D的

并则K叫做闭区域. 此外, 若存在区域D使得集合S满足,

则S叫做广义区域. 明显, 区域和闭区域都是广义区域的特例. 对广义区域S, 令

叫做S的边界, 内部和闭.

下面的区域都是广义区域.

如果区域S是不连通的, 若S能够分成n个连通区域的并, 且这些区域不被S的其他连通区域包含, 则这些区域叫做S的连通分支. 如果S是连通的, ∂S也连通, 则S叫做单连通的, 否则: 若有n为连通分支, 则S叫做n连通的; 若, 则S叫做无限连通的.

如果区域S的闭为区域K的子集, 则称S紧闭于K, .

复数在物理中应用广泛, 下面考虑几个例子. 首先, 考虑一个齐次的振动系统, 其微分方程为

(1.11)

取x=expλt, 代入得到

物理上把叫做阻尼系数, 叫做本征角频率, 叫做本征频率. 令

叫做真实频率, 上式的解为, 下面讨论这个解.

时, 用辅助角公式化简

这是一个递减的正弦函数.

时方程(1.11)的解为

这是一个递减的指数函数与一个一次函数的乘积, 当时解就变成了指数函数, 这就不

是振动了.

再比如说RLC电路方程

(1.12)

其中: R——电阻, L——电感, C——电容, Q——电量, t——时间, ——电动势(电源电压).

也变成了方程(1.11)的样子.

Euler公式在物理中可以表示一种用复数和复平面上的矢量表达的量, 叫做相量. 比如

对交流电, 可以用Euler公式写成在物理中为了

与电流强度区分开, 我们取复数则可以

用一个旋转矢量表示, 其范数为, 在极坐标下表示为

.

再比如说频谱分析中的Fourier级数, 对周期为的信号输入, 其Fourier展开为

其中. 如果我们把Euler公式代入的话, 则级数变成

这样形式就简洁很多.

下面我们用线性空间来表示Fourier函数系, 首先我们知道

则V是一个无限维的线性函数空

间, 叫做三角函数系. 在V上定义内积为

那么函数f(x)的Fourier变换可以写成

且

下面我们用一种新的角度看Fourier级数. 对信号f(t), 令

则构造了映射, 叫做Fourier变换. 明显, 其逆变换为

下面看看Fourier变换的性质, 比如信号,其

Fourier矢量为 , 容易算出其

Fourier变换为

这种分段的情况叫做离散谱. 我们定义一个函数

注意这里S为开区间, 则f(t)的Fourier变换可以写成

函数叫做Dirac的δ函数. 再比如反正切信号的Fourier变换为

是一个虚数.

在给出的几个Fourier变换的例子中可以看出, Fourier变换给出了信号在不同频率的信号强度, 所以我们把信号的Fourier变换叫做频谱. 信号的原形式是一个关于时间的函数f(t), 叫做时域信号, 经过Fourier变换后变成频率的函数F(ω), 叫做频域信号.

研究信号的科学叫做Fourier分析, 目前Fourier分析在AI, 机器视觉, 深度学习等前沿领域用途广泛. Fourier分析中的信号可以是任何信息, 包括图画, 音乐等等, 这些信息都可以通过Fourier级数展开成三角函数系空间的一个矢量, 或者通过Fourier变换变成一个频谱, 这些Fourier矢量, Fourier频谱包含了信息的大量内容且能够通过数字的方式准确表达.