复变函数第1讲 复平面
复变函数初步
复变函数初步复变函数是指定义在复平面上的函数，由于其定义域和值域均为复数，因此与实变函数有很大的不同。
复变函数理论是数学的一个重要分支，也是物理学、工程学等领域的基础。
1. 复数与复平面复数是由实数和虚数组成的数，可以用$a+bi$的形式表示，其中$a$为实部，$b$为虚部，$i$为虚数单位。
复数可以与复平面上的点一一对应，实部$a$对应$x$轴坐标，虚部$b$对应$y$轴坐标。
图1. 复平面示意图复平面的横轴为实轴，纵轴为虚轴，原点为坐标轴的交点，与原点距离相等的点在复平面上的模长相等，与$x$轴的夹角称为辐角。
复数的共轭是把虚部取负所得的复数，例如$3+2i$的共轭为$3-2i$。
2. 复变函数的定义在复平面上定义的函数$f(z)$，其中$z$为复数，可以写成$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的形式，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是实函数，分别为$f(z)$的实部和虚部。
对于$f(z)$来说，如果对于复平面上的所有$z_1$，$z_2$，均有$f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2)$，并且存在复数$a$，使得对于复平面上的所有$z$，$f(z+a)=f(z)$，那么称$f(z)$是复平面上的周期函数。
3. 复变函数与解析函数对于$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，如果$f(z)$的实部和虚部的一阶偏导数都存在且连续，那么称$f(z)$是复平面上的可导函数。
如果$f(z)$在复平面上处处可导，那么称其为复平面上的解析函数。
解析函数是复变函数的一个重要概念，在复变函数理论中有着重要应用。
此外，解析函数还具有一些重要的性质，如解析函数的实部和虚部都是调和函数。
4. 复数级数与幂级数称以一列复数为通项的级数$a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$为复数级数。
复数级数有类似于实数级数的求和和收敛的概念，同时也有类似于实数级数的收敛判别法。
幂级数是一类形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$的级数，其中$a_n$和$z$都是复数。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数论第1章第2节
−
1 3
1 3
( 4) z − 1 + z + 1 < 4 z −1 + z +1 = 4
表示到1, 的距离之 表示到 –1的距离之 和为定值4的点的轨迹 的点的轨迹, 和为定值 的点的轨迹 是椭圆, 是椭圆
z − 1 + z + 1 < 4表 示 该 椭 圆 内 部 ,
有界的单连通域. 有界的单连通域 作业： 作业： P42 6 (2)(3)(4)(5)(8)
(1) D 为开集； 为开集；
( 2) D 中任意两点可用全在 D 中的折线连接 .
定义1.6 定义1.6 区域 D 连同它的边界 C 一起构成 闭区域， 闭区域，
记作 D = D + C .
练习 判断下列点集是否有界?是否为区域？ 判断下列点集是否有界 是否为区域？ 是否为区域
y
r2
(1) 圆环域 r1 < z − z0 < r2 ; 圆环域: (2) 上半平面 Im z > 0; 上半平面: (3) 角形域 φ1 < arg z < φ 2 ; 角形域: (4) 带形域 a < Im z < b. 带形域: 答案 (1)有界 有界; 有界 (2) (3) (4)无界 无界. 无界
称点集 0 <| z − z0 |< ρ 为点 z0 的去心 ρ
邻域， 邻域， 记作 N ρ ( z0 ) − { z0 }.
若平面上一点 z0 的任意邻 定义1.2 对于点集 E ， 定义1.2
的无穷多个点， 域都有 E 的无穷多个点， 则称 z0 为 E的聚点或
极限点 .
若 z0 属于 E，但非 E 的聚点， 则称 z0 为 E 的 的聚点，
复变函数入门 1ppt课件
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
注解：
➢ 复数的减法运算是加法运算的逆运算
➢ 复数的除法运算是乘法运算的逆运算
➢ 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
7
定理: 全体复数关于上述运算做成一个数域.
称为复数域，用C表示.即
复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 z1 z2 z2 z1 ②加法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ③乘法交换律 z1 z2 z2 z1 ④乘法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ⑤乘法对加法的分配律
面上的点向量oz 表示.
o
x
x
18
结论:
两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致.
y
z2
z1 z2
y
z2
z1
o
z1
x
o
x
z1 z2
z2
19
附录： 向Hamilton 学习
Hamilton.William Rowan（威廉.罗万.哈 密儿顿，1805——1865）爵士，无 疑是使爱尔兰人在数学领域中享有 盛益的最伟大的人物，同时也是有 名望的物理学家和天文学家。他 1805年生于都柏林，除了短时间外 出访问外，一生都是在这里度过 的。他才一岁时，被委托给一位叔 叔教育，这位叔叔的热心在于给他 侧重语言上的教育，不久之后，他 就成了孤儿。Hamilton是个神童，3 岁时能阅读英文，5岁时能阅读、
以上各式证明略.
10
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
复变函数第一章
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数 复平面的拓扑
数
2. 下列方程表示什么样的曲线？
1) z 1 it, 0 t 1
2) z a Re z b, a,b均为正实数
数
3. z 2 z 2 1
4. z 1 i z 2 i
练习：1．满足下列条件的点集是什么？
如果是区域，是单连通域还是多连通域？
哈
尔 滨
1) Im z 3
2) z i 2 i
工
程 大 学
3) z 1, Re z 1
2
复
变 函
4) 2 arg z i 3
数 则称该曲线为光滑的.
令z(t) x(t) iy(t), t , 则平面曲线的 复数表示式为 z z(t) ( t ).
z( ), z( )称为曲线的端点。
简单曲线（Jordan曲线）：除端点z( )和z( )外,
哈
本身不自交的连续曲线称为简单曲线。
工
程 大
一个是有界区域，称为C的内部；
学
复 一个是无界区域，称为C的外部.
变
函 数
C是它们的公共边界。
外部
内部
C z(a)=z(b)
边界
单连通域与多连通域
哈 复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单
尔 滨
闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域；
工 程
非单连通域称为多连通域。
大
学
复 变 函 数
第一章 复数及复平面
哈
尔
滨
§1.2 复平面的拓扑
工
程
大
学
学习要点
复
变
函
数
了解复平面上点集的基本概念
复变函数第1章重点.docx
第一章复数和复平面§1.1复数1.复数的概念复数z = a + ib或空=。
+仞，其中d和b为实数，i称为虚单位，即是满足r =-1.Q与“分别称为复数z的实部和虚部，记作Q二Rez, /? = Im乙■2.复数的向量表示和复平面根据复数相等的定义，任何一个复数z = a + ib f都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定；，有序实数对@0)与平面直角坐标系屮的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平而直角坐标系中的点集之间的对应.我们说点z(a,b),与复数z = a + ib表示同一意义.如果z = a + ib ,则z = a —ib.复数z = a + ib还可以用rtl原点引向点z的向量丞來表示，这种表示方式建立了复数集Q与平面向量所成的集合的一一对应(实数0与零向量对应).向量丞的 < 度称为复数z 的模，记为|z|或儿因此有|z| =厂=J/ > 0 (1.1) 显然,|Rez| 5|z| 5|Rez| + |lmz|, |lmz| <|z| W|Rez| + |lmz|・考虑复平面□的不为零的点z = x + iy .如图1.3所示，这个点有极坐标(r,&):x = “os0,y =A*sin&.显然厂=忖,&是正实轴与从原点0到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为& = Argz,英屮满足条件：一兀<05的值称为z = x + iy的主幅角,记为 6 = 6/rgz ,显然有 Argz = argz + 2k7T, k = 0,±l,±2,±3,…实部，虚部，模与幅角的关系：兀=厂cos&, y = rsin3 tan^ = —.|z| =厂=Jx 2 + 于V arctan —,x>0x y龙+ arctan —v 0,y > 0x y八--ZT +arctan —,x< 0,y < 06 = argz = x—,x = 0, y > 02 ”0,y<07T,x<0,y = 03.复数的运算设复数z, =a + ib,z 2 =c + id ,贝！J 由下式定义:加法:z 1 + z 2 = (a + c) + i(h + d) (1.2)减法:z }-z 2=(a- c) + i(b - d)a乘法:z }- z 2=ac + ihc + lad + rbd = (ac 一 hd) + i(hc +ad).除法 Z] _a + ib _(a + ib)(c-id) _ac + bd +jbc-ad z 2 c+ id (c + id)(c — id) c 2 +d 2 c 1 +d 2(1.4) (1-5)复数的模和共轨复数冇下面的性质:l)Rez = -(z + z), Imz =—(z-z);2 2i z — \----- _ _ __ _____ Z2)(z + vv) = z + zw = z iv; 一 \ /=二3工 0); w3)|zvv| = |z||w 心旦w |w|5)|z| = |z|.4.复数的三角表示和复数的方根 利用极坐标表示，攵数z 可以表示为 三角形式：z=r （cos 〃+rsin 〃）.指数形式：z = 4|z | z —,Arg =• = Argz,- Argz 2. \Z 2\ Z 2 设复数z =沁&从而有:z n = (r(cos^ + zsin 3))n = F'(cos0 + isin&)" = r n (cos nO + i sin nO) = r n c ine .|z"|=|z|",英中n 为正整数.当r=\吋,得棣莫拂(de Moivre)公式(cos 0 + i sin &))" = cos n0 + i sin nd. (1.15)复数的“次方根是复数〃次乘幕的逆运算.下面我们介绍复数的川次方根的定义和求法. 设z =卅是已知的复数，〃为正整数，则称满足方程of - Z的所有的复数血为z 的77次方根，并且记为CO — yfz .O)k =(^z )k =^ze ”, "0,1,2,…，介 1 (1.16)若记©二仏吩，则©可表示为 .2kn CO k — CO ()e n , ^=1,2, •••, /7-1 (L17)§1.2复平面点集我们研究的许多对象一一解析函数、保角变换等等问题，首先遇到的是定义域和值域的 问题，这些都是复平面上的一种点集。
复变函数 全套课件
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
复变函数第1讲
例2. 求 1 i 1 i
4
1 i 提示： i , 1 i
1 x 1 1 1 )dx 例 3 arctan x dx 0 ( 2 0 1 x 2i ix ix
5
例8.
-1 = cosπ + isinπ
π + 2kπ π + 2kπ = cos + isin ( k = 0,1) 2 2
i, k = 0 = . -i, k = 1
26
例9. 求
3
1
解 : 1 cos0 i sin0
3
0 2k 0 2k 1 cos i si n , ( k 0,1,2). 3 3
r (cos
n
i
i
θ+ 2 kπ n
q 2k
n
i 2 k n
i sin
q 2k
n
)
n re n e
q
(k = 0, ,n -1) 1,2,
23
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
i sin ) n n 1 q 2 q 2 n w1 r (cos i sin ) n n
28
5. 共轭复数
显然
z = z , argz = -arg z .
另外，还经常用到以下性质：
( z ) z , z1 z2 z1 z2 ; z1 z1 ( 2) z1 z2 z1 z2 , ( ) ( z2 0); z2 z2 (1)
因此 | z1 z2 |= r1r2 , Arg( z1 z2 ) = Arg( z1 ) + Arg( z2 )
复变函数——复平面上的曲线和区域ppt课件
arg z arg z ,
33
3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
(3) 1 3 z
1 3 z 1,
z
3
是以原点为中心, 半径为1 3
的圆的外部, 无界的多连通域.
16
(4) z 1 z 1 4 z1 z1 4 表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, z 1 z 1 4表示该椭圆内部, 有界的单连通域.
例如：iz相当于将z所对应的oz沿逆时针旋转
2
2
2、参数方程形式
x
y
xt yt
zt
xt
iyt
3
例1：指出满足下列条件的点集
(1) z i z 1
(2) Reiz 3
(3) z 3 z 3 10 (4) z 1 z 1 2 (5) z 2
z1
解 （1）i与-1连线中垂线上的点，y=-x
注：闭区域不是区域，也未必有界
13
(3) 单连通域与多连通域的定义:
复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线,而 曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单
连通域, 就称为多连通域.
单连通域
多连通域
14
例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还
是无界的,单连通的还是多连通的.
(2) z x y, z x iy iz y ix y 3,表示z x 3i x2 y2
(3) a 5,c 3; 1 25 16
4
(5) z 2 z1
z 2 z 1 z z 2z 1 z 1
x2 y2 2x2 y2 2x 1
x 22 y2 2
17
(5) z 1 z 1 1
复变函数课件1-2复平面上的点集
没有重点的连续曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲 线).
重点
如果简单曲线 C 的起点和终点重合 , 即 z( ) z( ) , 那 末 称C 为 简 单 闭 曲 线 .
即：简单曲线自身不相交.
9
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铃
简单闭曲线的性质约当定理
任意一条简单闭曲 线 C 将复平面唯一地分 成C,I(C),E(C) 三个点集. 满足：
o x
r1
r2
z 0
y
(1)有界;
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(2) (3) (4)无界.
7
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定义1.7 连续曲线: 如 果 x ( t ) 和 y( t ) 是 两 个 连 续 的 实 变 函 , 数
那 末 方 程 组x x( t ) , y y( t ), ( t ) 代 表一条平面曲线 , 称为连续曲线 .
如果 E 内每一点都是它的内点,那末E 称 为开集.
如果在z0的任意一个邻域内,都有属于 E 的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界 点。 点集E的全体边界组成的集合称为E的边 界.记为：E
4
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定义1.4 有界集和无界集:
如果一个 点集E可 以 被 包 含 在 一 个 以 点 原为中 心的圆里面 , 即 存 在M 0, 使 区 域 的 每 一 个 点 都 满 足 z M, 那末 E 称为有界的 ,否则称为无界的 .
5
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2 、 区域与约当(Jordan)曲线
《复变函数》第一章 复数与复变函数
(1.14)
若 z 为指数形式， z rei ， w f (z) 则又可表为 w p(r,) i(r,) (1.15)
其中 p(r, ) ，Q(r, ) 均为 r 、 的二元实函数． 由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面 z 上的
z 1
均为多值函数．
今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．
设 w f (z) 是定义在点集 E 上的函数，若令 z x iy ，w u iv
则 u 、 v 均随着 x 、 y 而确定，即 u 、v 均为 x 、y 的
二元实函数，因此我们常把 w f (z) 写成
f (z) u(x, y) iv(x, y)
z2
Argz1 Argz1
Argz2 Argz2
(1.11)
公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数 z1 ， z2 的乘积（或商），其模等
于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或
差）．
特别当 z2 1 时可得 z1z2 rei(12 )
cos3 cos3 3cos sin2 4cos3 3cos
sin 3 3cos2 sin sin3 3sin 4sin3
4.曲线的复数方程
例1.2 连接 z1 及 z2 两点的线段的参数方程为 z z1 t(z2 z1) (0 t 1)
区域．
例如，例1.5—1.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连 通区域．
作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9
§3 复变函数
1．复变函数概念
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
复变函数与积分变换 法平面
复变函数与积分变换一、复变函数的定义与基本性质1.1 复数与复平面1.1.1 复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a、b为实数，i为虚数单位。
1.1.2 虚数单位的性质•i的定义：i^2 = -1•i的乘法：i * i = -11.1.3 复平面的构建复平面是由实轴和虚轴组成的平面，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
1.2 复变函数的定义1.2.1 复变函数的定义复变函数是指自变量和函数值都为复数的函数。
1.2.2 复变函数的表示复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + yi为自变量，f(z) = u(x,y) + iv(x,y)为函数值，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部。
1.3.1 复变函数的连续性与实函数类似，复变函数也具有连续性的概念，即极限存在的情况下，函数值与极限值相等。
1.3.2 复变函数的导数复变函数的导数与实函数稍有不同，即导数定义中的差商在复数域中有无穷个方向。
1.3.3 复变函数的积分复变函数的积分与实函数的积分类似，可以分为定积分和不定积分。
复变函数的积分路径可以沿任意闭合曲线。
二、复变函数的解析2.1 复变函数的解析概念2.1.1 解析的定义解析的定义为函数在给定域上无穷次可导，并且在该域上的导数处处存在。
2.1.2 柯西－黎曼条件柯西－黎曼条件是判断复变函数解析性的重要准则，包括实部和虚部的偏导数关系。
2.2 复变函数的解析函数2.2.1 解析函数的定义解析函数是指除了在有限个点上有奇点外，在其余所有点处都是解析的复变函数。
解析函数具有许多重要性质，如可导、连续、无穷次可导等。
2.3 复变函数的调和函数2.3.1 调和函数的定义调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，其实部和虚部都是调和函数。
2.3.2 调和函数的性质调和函数具有许多重要性质，如调和函数的平均值性质、极值性质等。
三、复变函数的积分变换3.1 复变函数的积分3.1.1 复变函数的积分定义复变函数的积分定义与实函数的积分类似，可以用极限的方法进行定义。
复变函数-平面点集概念(1)
z2
P边界点
点都满足 z < M, 那末 D 称为有界的, 否则称为
无界的.
有界集E的直径为
d(E) = sup z - z' | z E,z' E
5
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1 z z0 r2;
r1
z0
(2) 上半平面: Im z 0;
y
(3) 角形域:1 arg z 2;
(4) 带形域: a Im z b.
o
x答案 (1)有界; (2来自 (3) (4)无界.6
(8) 单连通域与多连通域的定义
先介绍几个有关平面曲线的概念。链接曲线概念.ppt
7
(8) 单连通域与多连通域的定义
复平面上的一个区域G, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就称 为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域.
集合为 z0 的去心邻域. (3) 内点 设 G 为一平面点集, z0 为G 中任意一点. 如果
存在 z0 的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于 G,
那末 z0 称为G 的内点. 2
(4) 开集 如果G 内每一点都是它的内点,那么称G 为开集. (5) 区域
连通的开集称为区域, 即：如果平面点集
D 满足以下两个条件,则称它为一个区域. D是一个开集；
注意1： 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
C2
z C1
C3
注意2： 区域D与它的边界一起构成闭区域 D .
4
聚点：如果z0的任一邻域中都至少含有集合E中的两个点，
则称z0为E的聚点。
边界 区域
第一章_复数与复平面
或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
2、复平面
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平 面.
复变函数起源简介
十六世纪中叶, 意大利卡尔丹( Cardan,1545) 在 解三次方程时, 首先产生了负数开平方的思想, 他把50 看作5+5i 与5-5i 的乘积, 然而这只不过 是一种纯形式的表示而已, 当时, 谁也说不上这 样表示究竟有什么好处。 为了使负数开平方有意义, 也就是要使上述这类 方程有解, 我们需要再一次扩大数系, 于是就引 进了虚数, 使实数域扩大到复数域。但最初, 由 于对复数的有关概念及性质了解不清楚, 用它们 进行计算又得到一些矛盾, 因而, 长期以来, 人 们把复数看作不能接受的“虚数”。
解
(5 5i )( 3 4i ) z1 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
( 15 20) (15 20)i 7 1 i. 25 5 5
z1 7 1 i. 5 5 z2
复变函数起源简介
在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一 元n 次方程a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中a_0、a_1、⋯a_n 都是 复数, 在复数域内恒有解。这就是著名的代数 学基本定理, 它用复变函数来解决是非常简洁 的。又如, 在实数域内负数的对数无意义, 而 在复数域内我们就可以定义负数的对数。
复变函数第一章
z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 等号成立的充要条件是 , z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z1 z2
z2
z1 z2
z1
o x
二、复数的三角形式和指数形式
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
z z z z2 .
2
2. 复数的辐角(argument)
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 以表示z 的 , 向量OP 为终边的角 称为 z 的辐角, 记作 Arg z .
y
说明 任何一个复数z 0有
y
Pz x iy
无穷多个辐角 .
o
x
x
如果 1 是其中一个辐角 ,
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
(2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算 .
i:虚数单位
2. 复数的代数形式的定义:
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数 .
实部（Real） 记做：Rez=x
虚部(Imaginary) 记做：Imz=y
r1 r2 rne i (1 2 n ) .
2．除法
设z1 r1 (cos1 i sin1 ), z2 r2 (cos 2 i sin 2 ),
z1 r1 则 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2
课01-第一章(复变函数1)
3
• 复变函数论不但在其他学科得到了广泛 的应用，而且在数学领域的许多分支也 都应用了它的理论。它已经深入到微分 方程、积分方程、概率论和数论等学科， 对它们的发展很有影响。
4
• 从柯西算起，复变函数论已有170多年的 历史了。它以其完美的理论与精湛的技 巧成为数学的一个重要组成部分。它曾 经推动过一些学科的发展，并且常常作 为一个有力的工具被应用在实际问题中， 它的基础内容已成为理工科很多专业的 必修课程。现在，复变函数论中仍然有 不少尚待研究的课题，所以它将继续向 前发展，并将取得更多应用。
说明
任何一个复数 z ≠ 0有无穷多个辐角 , 有无穷多个辐角
那么 z 的全部辐角为
如果 θ 1 是其中一个辐角,
Argz = θ 1 + 2kπ ( k为任意整数 ).
特殊地 , 当 z = 0 时, z = 0,
辐角不确定. 辐角不确定
28
辐角主值的定义: 辐角主值的定义
在 z ( ≠ 0) 的辐角中, 把满足 − π < θ 0 ≤ π 的 θ 0 称为 Argz 的主值 , 记作 θ 0 = arg z . arctan y , x > 0, z ≠ 0 辐角的主值 x π x = 0, y ≠ 0, ± 2, arg z = arctan y ± π , x < 0, y ≠ 0, x π, x < 0, y = 0.
6
第一章 复数与复变函数 1.1 复数
• 向量与复数
7
实数 x 复数｛ 复数｛ 纯虚数 yi 虚数 ｛ 非纯虚数 x+yi
x+yi （虚数似乎不可理解）
<=> 有序数组(x,y) <=> 平面上的点 <=> 矢量或向量
22第一章 复平面上的复变函数 (1)
解：
z1 3 4i (3 4i)(1 2i) 1 2i z2 1 2i 1 4
z1 z2 1 2i
5 复数共轭下的四则运算
在今后应用中常进行复数共轭下的四则运算，主要 规则如下：
1
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2
z1 z1 3 z2 z2
z2 0
4 z z 2 Re z, z z 2i Im z
例1-3 设 z1及 z2 为两个复数，试证：
z1 z2
证：
2
z1 z2 2 Re( z1 z2 )
2
2
并用此等式证明三角不等式。
z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
1 i i 1 i
•从几何上看，将复数 于把 w 所代表的向量伸（或缩） 度角。
i z re w 与复数
r
相乘相当 倍后再转
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• i 相当于将向量｛0，1｝逆时针旋转 2 度角， 从而得到向量 1,0 ，而此向量对应复数 -1，这也 可解释 为 z 2 1 0 的根。
rr 1 2 cos1 cos2 sin 1 sin 2 irr 1 2 sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 ,
r1r2 cos 1 2 i 1 2
i1 2
rr 1 2e
y
z1 z2
例1-1 设 解：
i 1 i ，z 1 i i
求 Re z, Im z,
z
。
i 1 i i (1 i ) i (1 i ) Re z Re( ) Re( ) Re[ ] Re[ ] 1 i i 2 1 1 i 1 3 Re[ ] Re[ 1 i ] 1 2 2 2
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1. 复平面
对,定义
(1.1)
根据(1)式可以决定(x,y)的乘法, C上的矢量线性运算(加法和数乘)与(1)决定的乘法叫做复数运算. 如果令1=(1,0), i=(0,1),则对复数z=(a,b), 可以写成z=a+ib, 故
(1.2)
故把z叫做复数, C叫做复数集.
此外, 对两个复数可以定义数量积
和向量积
对z=x+yi, 记x=Re z, y=Im z叫做z的实部和虚部. 注意z的实部和虚部都是实数.
, 叫做z的模长和辐角. Arg z中有无数
个数值, 内的值叫做主辐角, 记作arg z. 则
引入记号
(1.3)
叫做Euler公式, 那么一个复数就可以写成极坐标形式
(1.4)
那么复数的乘除就可以简单的化简为
(1.5)
如果在复平面C上构造空间坐标系轴与Re轴重合, 轴与Im轴重合, 则有
Riemann. 取N(0,0,1), 对z=x+iy=(x,y,0), 连接Nz, , 则
构造了一个映射,这个映射叫做球极投影. 根据直线的向量式参数方程可以写出射线Nz的方程: . 由此
并且可以得到逆变换
如果建立球坐标, 令t为Z的经度, s为Z的纬度, 则
. 补充定义并记, 则也是双射.
下面看复平面的拓扑. 对C, 距离可以定义为|z-z0|, 而对Riemann球面则可以用球面距离定义
(1.6)
有
则在C上. 由此可以定义邻域的概念
(1.7)
于是类似就可以类似于实变函数一样定义C的拓扑. 在拓扑的基础上可以定义极限的概念, 对复数列, 如果存在点a∈C使得使得a在C上的任意邻域内都包含序列{an}的无数个点, . 明显
(1.8)
此外我们会用到集合的距离
从区间[α,β]到C的映射[α,β]→C叫做一条道路, 如果两条道路等价, 则要求
(1) 的像相同
(2) 的定义域到道路的定义域的可逆函数
则道路, 积分
(1.9)叫做道路γ的长度, ds叫做γ的弧微分. 根据(1.9)式, 很明显函数
(1.10)
这个函数叫做道路γ的切向量或导数. 根据这种定义, 很容易得到类函数的概念, 其中
.如果道路不自相交, 则道路叫做Jordan道路. 同理可以定义Jordan曲线的概念.
与R n拓扑类似, 把一个连通的开集D叫做区域, 集合叫做D的边界. 注意D为开集, 则.如果集合K可以表示为区域D与其边界∂D的
并则K叫做闭区域. 此外, 若存在区域D使得集合S满足,
则S叫做广义区域. 明显, 区域和闭区域都是广义区域的特例. 对广义区域S, 令
叫做S的边界, 内部和闭.
下面的区域都是广义区域.
如果区域S是不连通的, 若S能够分成n个连通区域的并, 且这些区域不被S的其他连通区域包含, 则这些区域叫做S的连通分支. 如果S是连通的, ∂S也连通, 则S叫做单连通的, 否则: 若有n为连通分支, 则S叫做n连通的; 若, 则S叫做无限连通的.
如果区域S的闭为区域K的子集, 则称S紧闭于K, .
复数在物理中应用广泛, 下面考虑几个例子. 首先, 考虑一个齐次的振动系统, 其微分方程为
(1.11)
取x=expλt, 代入得到
物理上把叫做阻尼系数, 叫做本征角频率, 叫做本征频率. 令
叫做真实频率, 上式的解为, 下面讨论这个解.
时, 用辅助角公式化简
这是一个递减的正弦函数.
时方程(1.11)的解为
这是一个递减的指数函数与一个一次函数的乘积, 当时解就变成了指数函数, 这就不
是振动了.
再比如说RLC电路方程
(1.12)
其中: R——电阻, L——电感, C——电容, Q——电量, t——时间, ——电动势(电源电压).
也变成了方程(1.11)的样子.
Euler公式在物理中可以表示一种用复数和复平面上的矢量表达的量, 叫做相量. 比如
对交流电, 可以用Euler公式写成在物理中为了
与电流强度区分开, 我们取复数则可以
用一个旋转矢量表示, 其范数为, 在极坐标下表示为
.
再比如说频谱分析中的Fourier级数, 对周期为的信号输入, 其Fourier展开为
其中. 如果我们把Euler公式代入的话, 则级数变成
这样形式就简洁很多.
下面我们用线性空间来表示Fourier函数系, 首先我们知道
则V是一个无限维的线性函数空
间, 叫做三角函数系. 在V上定义内积为
那么函数f(x)的Fourier变换可以写成
且
下面我们用一种新的角度看Fourier级数. 对信号f(t), 令
则构造了映射, 叫做Fourier变换. 明显, 其逆变换为
下面看看Fourier变换的性质, 比如信号,其
Fourier矢量为 , 容易算出其
Fourier变换为
这种分段的情况叫做离散谱. 我们定义一个函数
注意这里S为开区间, 则f(t)的Fourier变换可以写成
函数叫做Dirac的δ函数. 再比如反正切信号的Fourier变换为
是一个虚数.
在给出的几个Fourier变换的例子中可以看出, Fourier变换给出了信号在不同频率的信号强度, 所以我们把信号的Fourier变换叫做频谱. 信号的原形式是一个关于时间的函数f(t), 叫做时域信号, 经过Fourier变换后变成频率的函数F(ω), 叫做频域信号.
研究信号的科学叫做Fourier分析, 目前Fourier分析在AI, 机器视觉, 深度学习等前沿领域用途广泛. Fourier分析中的信号可以是任何信息, 包括图画, 音乐等等, 这些信息都可以通过Fourier级数展开成三角函数系空间的一个矢量, 或者通过Fourier变换变成一个频谱, 这些Fourier矢量, Fourier频谱包含了信息的大量内容且能够通过数字的方式准确表达.。