第5章离中趋势度量法

3.
例以xx2=自如=7，由，5。那取样当么值本x，有x3则另=3必个5一然确数个取定值则2后，不，，即能而xx自不1，1=由能2x2，取取和x其值x23=他有，4，值两比x个如3=数x91=，据6则，可
4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，
从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差
去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量
为什么称作标准差
Mary Smith 和Jason Jones都在申请奖学金，Mary 参加的是the Academic College Testing Service (ACT)test ， 成 绩 为 26 ； Jason 参 加 的 是 the Stanford Admission Test (SAT)，成绩是1100。两 类 考 试 的 分 数 范 围 分 别 是 0-36 、 200-1600 ， 那 么 谁将获得奖学金？
R = max(xi) - min(xi)
7 8 9 10
4 - 23
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统计学
STATISTICS
平均差
(mean deviation)
1. 各变量值与其平均数离差绝对值的平均数 2. 能全面反映一组数据的离散程度 3. 数学性质较差，实际中应用较少
4. 计算公式为
未分组数据
n
xi x
4 - 30
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STATISTICS
按销售量分组 140~150 150 ~ 160 160 ~170 170 ~180 180 ~ 190 190 ~ 200 200 ~ 210 210 ~220 220 ~230 230 ~240 合计
4 - 31
样本标准差
(例题分析)
某电脑公司销售量数据平均差计算表
0 170 200 240 160 250
55400
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STATISTICS
样本标准差
(例题分析)
k
(M i x)2 fi
s i1 n 1
55400 21.58(台) 120 1
含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台
4 - 32
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STATISTICS
QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差：
Qd = QU - QL
=3–2 =1
4 - 21
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STATISTICS
数值型数据：方差和标准差
4 - 22
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STATISTICS
极差
(range)
1. 一组数据的最大值与最小值之差 2. 离散程度的最简单测度值 3. 易受极端值影响 4. 未考虑数据的分布 7 8 9 10 5. 计算公式为
➢ 由此可见，在射击比赛中，运动员能否取得 好的成绩，发挥的稳定性至关重要。那么， 怎样评价一名运动员的发挥是否稳定呢？
4 -4
统计学
STATISTICS
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
离中趋势 (分散程度)
偏态和峰态 （形状）
4 -5
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STATISTICS
数据分布特征的测度
同容量样本的分布，方差比较的是 (xi x)2 的平均值
n-1，是自由度，可以得到总体方差的无偏估计。
4. 方差易受极端值影响。
4 - 29
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STATISTICS
样本方差
自由度(degree of freedom)
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数
2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后, 只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据 则不能自由取值
统计学
STATISTICS
第 5 章 离中趋势度量法
5.1 离中趋势度量的目的 5.2 离中趋势的度量 5.3 偏态与峰态的度量
4 -1
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STATISTICS
学习目标
1. 离中趋势的基本概念 2. 离中趋势各测度值的计算方法 3. 离中趋势各测度值的特点及应用场合
4 -2
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/
人
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STATISTICS
为抽选样本单位数提供依据
4 - 12
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统计学 为抽选样本单位数提供依据
STATISTICS
离中趋势指标 样本单位数 离中趋势指标 样本单位数
4 - 13
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STATISTICS
5.2 离散程度的度量
2040
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STATISTICS
平均差
(例题分析)
k
M d
i 1
Mi x n
Hale Waihona Puke Baidu
fi
2040 120
17(台)
含义：每一天的销售量平均数相比，
平均相差17台
4 - 26
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方差和标准差
STATISTICS(variance and standard deviation)
STATISTICS
四分位差
(quartile deviation)
1. 对顺序数据离散程度的测度
2. 也称为内距或四分间距
3. 上四分位数与下四分位数之差
Qd = QU – QL 4. 反映了中间50%数据的离散程度
5. 不受极端值的影响
6. 用于衡量中位数的代表性
4 - 20
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组中值(Mi) 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235
频数(fi) 4 9
16 27 20 17 10
8 4 5
M i x2
40 30 20 10
0 10 20 30 40 50
—
120
—
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M i x2 fi
160 270 320 270
n 1
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样本方差和标准差
STATISTICS (simple variance and standard deviation)
1. 均值和标准差永远是联合使用的， 后者反映数值在均 值周围聚集的程度。
2. xi x 提供两个重要信息：样本观察值偏离其均值的
距离；偏离的方向。
3.
(xi x)2 随样本容量增加而增加，无法比较两个不
M d i1 n
k
组距分组数据
Mi x fi
M d i1 n
4 - 24
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STATISTICS
平均差
(例题分析)
某电脑公司销售量数据平均差计算表
按销售量分组
140~150 150 ~ 160 160 ~ 170 170 ~ 180 180 ~ 190 190 ~ 200 200 ~ 210 210 ~ 220 220 ~ 230 230 ~ 240
衡量、比较均值的代表性
4 - 10
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统计学 衡量、比较均值的代表性
STATISTICS
离中趋势指标 均值的代表性 离中趋势指标 均值的代表性
4 - 11
x甲
73
74
75 5
76
77
75件
/
人
x乙
50
65
70 5
90
100
75件 /
人
x丙
75
75
75 5
75
75
75件
1 15 50
0.7 70%
在所调查的50人当中，购 买其他品牌饮料的人数占 70%，异众比率比较大。因 此，用“可口可乐”代表消 费者购买饮料品牌的状况， 其代表性不是很好
4 - 18
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STATISTICS
顺序数据：四分位差
4 - 19
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4 - 34
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STATISTICS
相对位置的测量：标准分数
4 - 35
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STATISTICS
标准分数 (standard score)
1. 也称标准化值 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量
4 -7
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STATISTICS
描述总体内部差异程度
4 -8
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STATISTICS
描述总体内部差异程度
厂名
甲厂 已厂
供货计划完成情况 (%) 一月 二月 三月 全季度
32
34
34
100
20
30
50
100
4 -9
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STATISTICS
方差的计算公式
标准差的计算公式
未分组数据：
n
(xi x)2
s 2 i1 n 1
组距分组数据：
注意：
样本方差用自 由度n-1去除!
未分组数据：
n
(xi x)2
s i1 n 1
组距分组数据：
k
(Mi x)2 fi
s 2 i1 n 1
s
4 - 28
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k
(Mi x)2 fi
i1
5.2.1 分类数据：异众比率 5.2.2 顺序数据：四分位差 5.2.3 （非）数值型数据：方差和标准差 5.2.4 相对位置的度量：标准分数 5.2.5 相对离中的趋势度量
4 - 14
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STATISTICS
离中趋势
1. 数据分布的另一个重要特征 2. 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度） 3. 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 4. 不同类型的数据有不同的离散程度测度值
1. 数据离散程度的最常用测度值
2. 反映了各变量值与均值的平均差异
3. 根据总体数据计算的，称为总体方差或标 准差；根据样本数据计算的，称为样本方 差或标准差
x = 8.3
4 - 27
4 6 8 10 12
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样本方差和标准差
STATISTICS (simple variance and standard deviation)
组中值(Mi) 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235
频数(fi) 4 9
16 27 20 17 10
8 4 5
Mi x 40 30 20 10
0 10 20 30 40 50
合计
—
120
—
4 - 25
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Mi x fi 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250
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四分位差
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别
甲城市 户数 (户) 累计频数
非常不满意
24
24
不满意
108
132
一般
93
225
满意
45
270
非常满意
30
300
合计
300
—
解：设非常不满意为 1,不满意为2, 一般为 3, 满意为 4, 非常满 意为5 。 已知
4 - 15
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分类数据：异众比率
4 - 16
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STATISTICS
异众比率
(variation ratio)
1. 对分类数据离散程度的测度 2. 非众数组的频数占总频数的比例 3. 计算公式为
vr
fi fm 1 fm
fi
fi
4. 用于衡量众数的代表性
4 -3
统计学 哪名运动员的发挥更稳定?
STATISTICS
➢ 最会的比赛结果是，中国运动员郭文珺凭借 决赛的稳定发挥，以总成绩492.3环夺得金 牌，预赛排在第1名的俄罗斯运动员纳塔利 娅·帕杰林娜以总成绩498.1环获得银牌，预 赛排在第4名的格鲁吉亚运动员妮诺·萨卢克 瓦泽以总成绩487.4环的成绩获得铜牌，而 预赛排在第3名的蒙古运动员卓格巴德拉赫· 蒙赫珠勒仅以479.6环的成绩名列第8名
4 - 17
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异众比率
(例题分析)
不同品牌饮料的频数分布
饮料品牌
频数
比例
百分比 (%)
可口可乐 15 0.30 30
旭日升冰茶 11 0.22 22
百事可乐
9 0.18 18
汇源果汁
6 0.12 12
露露
9 0.18 18
合计
50 1 100
解：
vr
50 15 50
数据特征的测度
集中趋势
众数 中位数 平均数
4 -6
离散程度
分布的形状
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
偏态 峰态
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统计学 5.1 离中趋势度量的目的
STATISTICS
5.1.1 描述总体内部差异程度 5.1.2 衡量和比较均值指标的代表性高低 5.1.3 为抽选样本单位数提供依据
xACT 22, sACT 2, xSAT 1000, sSAT 100
4 - 33
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STATISTICS
为什么称作标准差
对于数值型数据由三种表示形式 ▪原始数据值：26ACT points, 1100SAT points ▪偏离平均值的距离：+4 +100 ▪偏离均值的标准差数：+2 +1
统计学 哪名运动员的发挥更稳定?
STATISTICS
➢ 在奥运会女子10米气手枪比赛中，每个运动员首先进行 每组10抢共4组的预赛，然后根据预赛总成绩确定进入决 赛的8名运动员。决赛时8名运动员再进行10枪射击，再 将预赛成绩加上决赛成绩确定最后的名次
➢ 在2008年8月10日举行的第29届北京奥运会女子10米气 手枪决赛中，进入决赛的8名运动员的预赛成绩和最后10 枪的决赛成绩如下表