第5章离中趋势度量法
第五章离散趋势的测量
• QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元） QU＝（1500＋1630） 1565（元） • QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我 QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我
们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 1565元之间。 1565元之间。 • 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家 庭人均月收入的四分位差为： • QU—QL=? QU—
• 三、变异指标的作用 • 变异指标是描述数据分布的一个很重要的
特征值，因此，它在统计分析、统计推断 特征值，因此，它在统计分析、 中具有很重要的作用。 中具有很重要的作用。具体可以概括为以 下几点： 下几点：
• 1.反映总体各单位变量值分布的均衡性 1.反映总体各单位变量值分布的均衡性 • 一般来说，标志变异指标数值越大，总体 一般来说，标志变异指标数值越大，
• 2. 加权平均法 • 在资料分组的情况下，应采用加权平均式： 在资料分组的情况下，应采用加权平均式：
• 平均差计算简便，意义明确，而且平均差 平均差计算简便，意义明确，
是根据所有变量值计算的，每个数据均参 是根据所有变量值计算的， 与了计算，因此它能够准确地、 与了计算，因此它能够准确地、全面地反 映一组数值的变异程度。但是， 映一组数值的变异程度。但是，由于平均 差是用绝对值进行运算的， 差是用绝对值进行运算的，它不适宜于代 数形式处理， 数形式处理，所以在实际应用上受到很大 的限制。 的限制。
• [例3.13] 某厂甲、乙两组工人生产某种产
品的产量资料如表3.8所示。 品的产量资料如表3.8所示。
• 从计算结果看，甲、乙两组平均生产件数 从计算结果看，
第五章 离中趋势测量法
Σ( x − x ) f σ= Σf
2
…………（5.6） （ ）
例4，仍以例 的资料为例说明加权标 ，仍以例2的资料为例说明加权标 准差的计算，见表5－ 。 准差的计算，见表 －4。(FJ5-5)
在实际应用中， 在实际应用中，标准差和方差的计算 可采用下列简单公式计算。 可采用下列简单公式计算。 在资料未分组时，简单公式为： 在资料未分组时，简单公式为：
Z分数的数学性质： 分数的数学性质： 分数的数学性质
分数之和等于零， ⑴Z分数之和等于零，因为： 分数之和等于零 因为： (x − x ) 1 ΣZ = Σ = Σ( x − x ) = 0LLL （5.13） σ σ 分数的算术平均数等于零， ⑵Z分数的算术平均数等于零，因为： 分数的算术平均数等于零 因为： ΣZ Z= = 0LLL （5.14） n 分数的标准差等于1， 分数的方差也等于 分数的方差也等于1，因为： ⑶Z分数的标准差等于 ，Z分数的方差也等于 ，因为： 分数的标准差等于
Σ( Z − Z ) 2 ΣZ 2 1 x−x 2 Z 分数的标准差 = = = Σ( ) n n n σ 1 Σ( x − x ) 2 = = 1LLL （5.15a） 2 σ n
Z分数的方差＝1 分数的方差＝ 分数的方差
……………（5.15b） （ ）
（五）是非标志与成数 是非标志是指能将统计总体的全部 单位划分为具有某种属性和不具有 某种属性的两组的分组标志。 某种属性的两组的分组标志。 成数就是总体中具有某种属性的 单位数占全部单位数的比重， 单位数占全部单位数的比重，一 般用英文字母p或 表示 表示。 般用英文字母 或q表示。
(总标准差)σ = 209.98 = 14.49(分)
（四）标准分 标准分是离差与标准差的比值， 标准分是离差与标准差的比值，即：
第五讲 集中趋势和离中趋势的度量 PPT课件
xH 1
1 1
x1 m1 x2 m2
m1 m2 mn
m
1 xn mn
1
1
1
1
x1 m1 x2 m2 xn mn
m x
m1 m2 mn
第二节 数值平均数
调和平均数
上述公式是加权调和平均数的公式。若各变量值 的权数都相等时，加权调和平均数简化为简单调和 平均数。即:
xG
f
x f1 1
x2 f2
xn fn f
xf
第二节 数值平均数
本节小结
本节主要讨论了算术平均数、调和平 均数、几何平均数三种数值平均数的应用条 件和计算方法，其中最常用的是算术平均数。
第三节 位置平均数
本节重点 众数、中位数的概念与计算方法
本节难点 众数、中位数的的定义
x
100%
第四节 离中趋势的度量
本节小结
标志变异指标的意义与测定既是本 章的重点，也是整个统计学中的重要问 题。特别要弄清楚标准差的计算原理、 计算方法和离散系数的应用条件。
(x x) 0或(x x) f 0
第二节 数值平均数
（五）算术平均数的数学性质 ⒉各变量值与算术平均数的离差平方和
为最小。
(x x)2 min 或(x x)2 f min
第二节 数值平均数
二、调和平均数
又叫倒数平均数，即各变量值的倒数的算术平均 数的倒数。调和平均数用 xH 表示。
第一节 集中趋势指标概述
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢 的倾向，测度集中趋势即要寻找数据一般水平 的代表值或中心值。
集中趋势指标即统计平均数，是反 映若干统计数据一般水平或集中趋势的 综合指标。它可能表现为总体内各单位 某一数量标志的一般水平，也可能表现 为总体在某一段时期内的数量一般水平。
第五章 集中趋势与离中趋势的度量习题
第五章集中趋势与离中趋势的度量习题一、填空题1．平均数就是在——内将各单位数量差异抽象化，用以反映总体的。
2．权数对算术平均数的影响作用不决定于权数的大小，而决定于权数的的大小。
3．几何平均数是，它是计算和平均速度的最适用的一种方法。
4．当标志值较大而次数较多时，平均数接近于标志值较的一方；当标志值较小而次数较多时，平均数靠近于标志值较的一方。
5．当时，加权算术平均数等于简单算术平均数。
6．利用组中值计算加权算术平均数是假定各组内的标志值是分布的，其计算结果是一个。
7．统计中的变量数列是以为中心而左右波动，所以平均数反映了总体分布的。
8．中位数是位于变量数列的那个标志值，众数是在总体中出现次数的那个标志值。
中位数和众数也可以称为平均数。
9．调和平均数是平均数的一种，它是的算术平均数的。
10．现象的是计算或应用平均数的原则。
11．当变量数列中算术平均数大于众数时，这种变量数列的分布呈分布；反之算术平均数小于众数时，变量数列的分布则呈分布。
12．较常使用的离中趋势指标有、、、、。
13．极差是总体单位的与之差，在组距分组资料中，其近似值是。
14．是非标志的平均数为、标准差为。
15．标准差系数是与之比。
16．已知某数列的平均数是200，标准差系数是30％，则该数列的方差是。
则该数列的极差为，四分位差为。
18．对某村6户居民家庭共30人进行调查，所得的结果是，人均收入400元，其离差平方和为5100000，则标准差是，标准差系数是。
19．测定峰度，往往以为基础。
依据经验，当β=3时，次数分配曲线为；当β<3时，为曲线；当β>3时，为曲线。
20．在对称分配的情况下，平均数、中位数与众数是的。
在偏态分配的情况下，平均数、中位数与众数是的。
如果众数在左边、平均数在右边，称为偏态。
如果众数在右边、平均数在左边，则称为偏态。
21．采用分组资料，计算平均差的公式是，计算标准差的公式是。
二、单项选择题1．加权算术平均数的大小( )A受各组次数f的影响最大B受各组标志值X的影响最大C只受各组标志值X的影响D受各组次数f和各组标志值X的共同影响2，平均数反映了( )A总体分布的集中趋势B总体中总体单位分布的集中趋势C总体分布的离散趋势D总体变动的趋势3．在变量数列中，如果标志值较小的一组权数较大，则计算出来的算术平均数( )A接近于标志值大的一方B接近于标志值小的一方C不受权数的影响D无法判断4．根据变量数列计算平均数时，在下列哪种情况下，加权算术平均数等于简单算术平均数( ) A各组次数递增B各组次数大致相等C各组次数相等D各组次数不相等5．已知某局所属12个工业企业的职工人数和工资总额，要求计算该局职工的平均工资，应该采用( )A简单算术平均法B加权算术平均法C加权调和平均法D几何平均法6．已知5个水果商店苹果的单价和销售额，要求计算5个商店苹果的平均单价，应该采用( ) A简单算术平均法B加权算术平均法C加权调和平均法D几何平均法7．计算平均数的基本要求是所要计算的平均数的总体单位应是( )A大量的B同质的C差异的D少量的8，某公司下属5个企业，已知每个企业某月产值计划完成百分比和实际产值，要求计算该公司平均计划完成程度，应采用加权调和平均数的方法计算，其权数是( )A计划产值B实际产值C工人数D企业数9．中位数和众数是一种( )A代表值B常见值C典型值D实际值10．由组距变量数列计算算术平均数时，用组中值代表组内标志值的一般水平，有一个假定条件，即( )A各组的次数必须相等B各组标志值必须相等C各组标志值在本组内呈均匀分布D各组必须是封闭组11．四分位数实际上是一种( )A算术平均数B几何平均数C位置平均数D数值平均数12．离中趋势指标中，最容易受极端值影响的是( )A极差B平均差C标准差D标准差系数13．平均差与标准差的主要区别在于( )A指标意义不同B计算条件不同C计算结果不同D数学处理方法不同A7万元B1万元C12 万元 D 3万元15．已知某班40名学生，其中男、女学生各占一半，则该班学生性别成数方差为( )A25％ B 30％ C 40％ D 50％16．当数据组高度偏态时，哪一种平均数更具有代表性? ( )A算术平均数B中位数C众数D几何平均数17．方差是数据中各变量值与其算术平均数的( )A离差绝对值的平均数B离差平方的平均数C离差平均数的平方D离差平均数的绝对值18．一组数据的偏态系数为1.3，表明该组数据的分布是( )AlE态分布B平顶分布C左偏分布D右偏分布19．当一组数据属于左偏分布时，则( )A平均数、中位数与众数是合而为一的B众数在左边、平均数在右边C众数的数值较小，平均数的数值较大D众数在右边、平均数在左边20．四分位差排除了数列两端各( )单位标志值的影响。
离中趋势的测定
离中趋势的测定
离中趋势是统计学中用于描述数据集中趋势的一种指标。
常见的离中趋势测定方法包括以下几种：
1. 平均值：计算数据集的算术平均值，即将所有数据相加后除以数据的个数。
2. 中位数：将数据集按照大小的顺序排列，然后找出中间位置的数值。
如果数据个数为奇数，则中位数是中间的数值；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数值的平均值。
3. 四分位数：将数据集按照大小的顺序排列，然后将数据集分成四个等分，每个等分包含25%的数据。
第一个四分位数(Q1)是数据集的25%位置处的数值，第二个四分位数是数据集的50%位置处的数值（即中位数），第三个四分位数(Q3)是数据集的75%位置处的数值。
4. 极差：计算数据集的最大值与最小值之间的差值。
5. 方差：计算数据集中每个数据与平均值的差值的平方的平均值。
6. 标准差：方差的平方根。
这些测定方法可以帮助我们了解数据集的离散程度和分布情况，从而揭示出数据集的离中趋势。
选择合适的测定方法取决于数据集的特点以及我们希望得到的信息。
第五章-离中趋势测量法
⑴简单标准差 对于未分组资料计算标准差时可 采用简单法，其计算公式为：
(x x ) n
2
例，求26,45,88,62,74这些数字的标准差
⑵加权标准差 按照分组资料（变量数列）计算标准差时可采 用加权法。由组距数列计算标准差时，还应先 求出组中值（开口组的组中值以邻近组的组距 确定），再按加权法计算。其计算公式为：
AD x x n
…………（5.1）
例1，有两个参赛篮球队队员身高（单位：cm）如下： 甲队：185 191 195 202 217 乙队：190 197 199 200 204 以上述资料为例，计算简单平均差。
⑵加权平均差 在资料已经分组时，平均差采用加 权平均法计算，其计算公式为：
AD
第五章 离中趋势测量法 离中趋势测量法
离中趋势是指变量数列中变量值 之间的差异程度或离散程度。
本章重点： 1、平均差 2、方差与标准差 3、离散系数 本章难点： 1、方差与标准差 2、是非标志的方差
变异指标的概念和作用
一、变异指标的概念 变异指标又称标志变动度，是反映总体各单位标志值之间差异程度的 综合指标。 二、变异指标的作用 1、是衡量平均指标代表性的尺度 2、可用来研究现象的稳定性和均衡性 3、在抽样调查和相关分析中有着重要作用 变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平 均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。变异指标不仅可以 综合地显示变量值的离中趋势，还可以用来判别平均数的代表性。
(1)当 x M
e
M 0时 ， 对 称 分 布 ；
，右偏分布； ＜Me ＜ Mo时，左偏分布。
(三) 偏态系数
我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和 偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众 数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，X 、 M 、 M 三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之 间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由 X 与 M o 的差来表示，即
社会统计学第五章离中趋势测量法
3. 偏态系数
我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和 偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众 数之间存在的关系：当总体呈对称分布时， 、 、 三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之 间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由 与 的差来表示，即
为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相 对数，即偏态系数，用α来表示
R =Xmax - Xmin＝91 - 69＝22
对分组资料，不能确小组的组中值 （2）用组值最大组的上限减去最小组的下限 （3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限；
或最大组的上限减去最小组的组中值
运用上 述方法计 算左边数 列的全距
优点：
72
-1
1
81
8
64
86
13
169
69
-4
16
57
-16
256
365
0
506
X2
5184 6561 7395 4761 3249 27151
2. 对于分组资料
计算左
边数列的 标准差
3. 标准差的性质
标准差是反映总体各单位标志值的离散状况和差异 程度的最佳测度。
（1）以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任 何数值为基准计算的标准差要小。“最小二乘方”性质—
计算左 边数列的 平均差
第三节 标准差（standard deviation)
各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数的
平方根，均方差，又称用S表示。
即克服平均差带有绝对值的缺点，又保留其综合平 均的优点。
1. 对于未分组资科
求72、81、86、69、57这些数字的标准差。
X
离中趋势的量度：变异指标
第五章离中趋势测量法平均指标对总体的共性和一般水平作了概括，以此来说明总体标志值分布的集中趋势。
但是总体作为统计对象，还有其变异性的一面。
变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。
变异指标不仅可以综合地显示变量值的离中趋势，还可以用来判别平均数的代表性。
所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间的差距和离散程度。
离势小，平均数的代表性高；离势大，平均数代表性低。
变异指标的种类较多，如按计算的基准来分有以下两类：(1)以两数之差来表达的有全距和四分位差等。
(2)以对平均数偏差来表达的有平均差、标准差等。
变异指标如按数量关系来分有以下两类；(1)凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势，主要有极差、平均差、四分位差、标准差等。
(2)凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势，主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。
第一节全距与四分位差1．全距全矩是最大变量值与最小变量值之差，用R来表示。
对未分组资料，计算全距用原始式。
由于全距是一组数据中两个极端值之差，所以它又称极差。
全距的最大优点是：计算简单，便于直观。
缺点是；①受极端值影响大，遇含开口组的资料时将无法计算；②由于没有量度中间各个单位间的差异性，所以数据利用率很低，信息丧失严重；③受抽样变动影响很大。
一般说来，大样本全距要比小样本全距大些，因为大样本有较多的机会包含最极端的变量值。
2．四分位差四分位是用第三四分位数和第一四分位数的半距作为测定离中趋势的一种变异指标，它可以避免全距测量离中趋势受极端值影响大这个缺点。
但由于它仅以两数之差为基准，全距的另两个缺点依然无法避免。
第二节平均差要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计算各变量值与算术平均数的离差。
但由于算术平均数的性质，各变量值与其算术平均数离差的代数和恒为零，所以用这个性质无法构造出能够测定离中趋势的变异指标。
第五章集中趋势和离中趋势的度量
第五章集中趋势和离中趋势的度量第五章数据分布特征的描述第⼀节集中趋势指标概述⼀、集中趋势指标及其特点集中趋势（Central tendency），是指⼀组数据向某⼀中⼼值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据⼀般⽔平的代表值或是⼼值。
在现象的同质总体中，各个单位的标志值是不尽相同的。
如果我们的⽬的是要对总体的数量⽔平有⼀个概括地、⼀般地认识，显然不能⽤某⼀单位的标志值表⽰。
统计平均数就是⽤来反映总体的⼀般⽔平和集中趋势的指标。
通俗的理解就是，在不变更总体总量的情况下，对总体内的全部标志值进⾏“截长补短”，使得总体各单位拥有同⼀⽔平的数量表现，这个同⼀⽔平的数量表现就是平均数，即集中趋势指标。
统计平均数有两个重要的特点：第⼀，平均数是⼀个代表值，表⽰被研究总体的⼀般⽔平。
例如，某企业职⼯的⼯资⽔平有⾼有低，有的职⼯⽉⼯资1680元，有的职⼯⽉⼯资1900元，有的职⼯⽉⼯资1870元，有的职⼯⽉⼯资2200元，等等。
若根据该企业各个职⼯⽉⼯资额综合计算出职⼯⽉平均⼯资为1860元，那么，1860元就是⼀个代表值。
它反映了该企业职⼯⽉⼯资的—般⽔平。
第⼆，平均数把被研究总体各单位的标志值的数量差异抽象化了。
例如，某企业职⼯的⽉平均⼯资为1860元，但是各个职⼯的⼯资⽔平有⾼有低，⾼于1860元的⼯资和低于1860元的⼯资互相抵消了，从⽽得出平均⼯资1860元。
由此可见，平均⼯资（1860元）已把各职⼯⽉⼯资⽔平的差别抽象化了。
⼆、集中趋势指标的作⽤集中趋势指标——统计平均数，在统计研究中被⼴泛应⽤，平均数的作⽤可以归纳为以下⼏点：1.利⽤平均数对⽐不同总体的⼀般⽔平。
平均数可以⽤来对同类现象在各单位、各部门、各地区之间进⾏⽐较，以说明⽣产⽔平的⾼低或经济效果的好坏。
例如，要⽐较不同的⽣产企业⽣产⽔平的好坏，仅对⽐企业的产品总产量是不⾜以说明问题的，因为产品总产量受到企业规模⼤⼩的影响。
要⽐较，需要计算各企业⽣产⼈员的平均产品产量，即劳动⽣产率，并分析不同的⽣产条件，才能做出正确的判断。
集中趋势和离中趋势的度量
第五章数据分布特征的描述第一节集中趋势指标概述一、集中趋势指标及其特点集中趋势（Central tendency），是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或是心值。
在现象的同质总体中，各个单位的标志值是不尽相同的。
如果我们的目的是要对总体的数量水平有一个概括地、一般地认识，显然不能用某一单位的标志值表示。
统计平均数就是用来反映总体的一般水平和集中趋势的指标。
通俗的理解就是，在不变更总体总量的情况下，对总体内的全部标志值进行“截长补短”，使得总体各单位拥有同一水平的数量表现，这个同一水平的数量表现就是平均数，即集中趋势指标。
统计平均数有两个重要的特点：第一，平均数是一个代表值，表示被研究总体的一般水平。
例如，某企业职工的工资水平有高有低，有的职工月工资1680元，有的职工月工资1900元，有的职工月工资1870元，有的职工月工资2200元，等等。
若根据该企业各个职工月工资额综合计算出职工月平均工资为1860元，那么，1860元就是一个代表值。
它反映了该企业职工月工资的—般水平。
第二，平均数把被研究总体各单位的标志值的数量差异抽象化了。
例如，某企业职工的月平均工资为1860元，但是各个职工的工资水平有高有低，高于1860元的工资和低于1860元的工资互相抵消了，从而得出平均工资1860元。
由此可见，平均工资（1860元）已把各职工月工资水平的差别抽象化了。
二、集中趋势指标的作用集中趋势指标——统计平均数，在统计研究中被广泛应用，平均数的作用可以归纳为以下几点：1.利用平均数对比不同总体的一般水平。
平均数可以用来对同类现象在各单位、各部门、各地区之间进行比较，以说明生产水平的高低或经济效果的好坏。
例如，要比较不同的生产企业生产水平的好坏，仅对比企业的产品总产量是不足以说明问题的，因为产品总产量受到企业规模大小的影响。
要比较，需要计算各企业生产人员的平均产品产量，即劳动生产率，并分析不同的生产条件，才能做出正确的判断。
社会统计学5离中趋势的量度精品PPT课件
2021/1/6
第五章 离中趋势的量度
2
第一节 全距与四分位差
1.全距(range) 全距（R）：最大值和最小值之差。也叫极差。全距越大，
表示变动越大。 对分组资料，不能确知最大值和最小值：
1、组值最大组的组中值减去最小组的组中值 2、组值最大组的上限减去最小组的下限 3、组值最大组的组中值减去最小组的下限；最大组的 上限减去最小组的组中值
（2）它将总体中各单位标志值的差异全包括在内，受抽 样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组 距方面，缺点同算术平均数。
方差：标准差的平方。
2021/1/6
第五章 离中趋势的量度
17
问：已知一组数列的平均数和标准差，此 时若将该组数列的每一个变量值均增加 10形成一组新数列，请问新数列的平均 数和标准差怎样变化。
注意：
样本标准差(Sample Standard Deviation)：n-1 样本方差
2021/1/6
第五章 离中趋势的量度
18
假如两个学生都通过不同的大学入学考试，共同 向一个学校申请奖学金。设Mary参加的是 ACT (the Academic College Testing Service) and scored 26 ACT points, [0~36] John 参加的 是SAT (the Stanford Admissions Test) and scored 900 SAT points.[200~1600]
B： 55，68，78，81，83，84，85，88，90， 98，99，100
2021/1/6
第五章 离中趋势的量度
7
第二节 平均差(Mean absolute deviation)
第五章 离中趋势测量法_社会统计学
2014-6-16
10
求72、81、86、69、57这些数字的标准差。
X
72 81 86 69 57 365
(X X )
( X X )2
1 64 169 16 256 506
X2
5184 6561 7395 4761 3249 27151
-1 8 13 -4 -16 0
2014-6-16
11
8
2014-6-16
[例1] 试分别以算术平均数为基准，求85，69， 69，74，87，91，74这些数字的平均差。 [例2] 试以算术平均数为基准，求下表所示数据 的平均差。
计算左 边数列的 平均差
2014-6-16
9
第三节 标准差（standard deviation)
各变量值对其算术平均数的离差平方 的算术平均数的平方根，均方差，又称 用S表示。 即克服平均差带有绝对值的缺点， 又保留其综合平均的优点。 1. 对于未分组资科
2014-6-16 19
2.
异众比率
所谓异众比率，是指非众数的频数与总体单位数 的比值，用V· R来表示
其中：
为众数的频数；
是总体单位数
异众比率能表明众数所不能代表的那 一部分变量值在总体中的比重。
2014-6-16
20
例1：某项调查发现，现今三口之家的家庭最多 （32%），求异众比率。某开发商根据这一报导，将房 屋的户型大部分都设计为适合三口之家居住的样式和面 积，你认为如何呢？ 例2：设为测体重，得到成人组和婴儿组各100人的 两个抽样总体。成人组平均体重为65千克，全距为10千 克；婴儿组平均体重为4千克，全距为2.5千克。能否认 为成人组体重的离势比婴儿组体重的离势大？
离中趋势的度量
1、未分组数据求方差和标准差
S2= (X-Xm)2/n
S=√ S2=√(X－Xm)2/n
或者
S2=(X2-(X)2/n)/n
S=√(X2-(X)2/n)/n
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例：
Xi 6 5 7 4 6 8 N=6, X=36
Xi-Xm=x 0 -1 1 -2 0 2
x=0
X2
72
71
99
50
76
75
66
94
85
85
75
67
38
81
83
83
94
69
82
54
92
84
86
78
66
72
71
99
50
85
75
67
38
81
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作业二：计算下列次数分布表的方差和标准差
表1
分组区间 f
39-41
4
36-38
8
33-35
14
30-32
19
27-29
8
24-26
0 1 1 4 0 4 x2 =10
Xi2 36 25 49 16 36 64 Xi2 =226
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2、已分组数据求方差和标准差
S2= (fd2/N-(fd/N)2)·i2 S=√ (fd2/N-(fd/N)2)·i
其中：d=(Xc-AM)/i, (Xc-为各分组区间的组中值，f为 各分组区间的次数，AM为估计平均数，N=f，I 为组距。
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第五章集中趋势与离中趋势的度量习题
第五章集中趋势与离中趋势的度量习题一、填空题1．平均数就是在——内将各单位数量差异抽象化，用以反映总体的。
2．权数对算术平均数的影响作用不决定于权数的大小，而决定于权数的的大小。
3．几何平均数是，它是计算和平均速度的最适用的一种方法。
4．当标志值较大而次数较多时，平均数接近于标志值较的一方；当标志值较小而次数较多时，平均数靠近于标志值较的一方。
5．当时，加权算术平均数等于简单算术平均数。
6．利用组中值计算加权算术平均数是假定各组内的标志值是分布的，其计算结果是一个。
7．统计中的变量数列是以为中心而左右波动，所以平均数反映了总体分布的。
8．中位数是位于变量数列的那个标志值，众数是在总体中出现次数的那个标志值。
中位数和众数也可以称为平均数。
9．调和平均数是平均数的一种，它是的算术平均数的。
10．现象的是计算或应用平均数的原则。
11．当变量数列中算术平均数大于众数时，这种变量数列的分布呈分布；反之算术平均数小于众数时，变量数列的分布则呈分布。
12．较常使用的离中趋势指标有、、、、。
13．极差是总体单位的与之差，在组距分组资料中，其近似值是。
14．是非标志的平均数为、标准差为。
15．标准差系数是与之比。
16．已知某数列的平均数是200，标准差系数是30％，则该数列的方差是。
则该数列的极差为，四分位差为。
18．对某村6户居民家庭共30人进行调查，所得的结果是，人均收入400元，其离差平方和为5100000，则标准差是，标准差系数是。
19．测定峰度，往往以为基础。
依据经验，当β=3时，次数分配曲线为；当β<3时，为曲线；当β>3时，为曲线。
20．在对称分配的情况下，平均数、中位数与众数是的。
在偏态分配的情况下，平均数、中位数与众数是的。
如果众数在左边、平均数在右边，称为偏态。
如果众数在右边、平均数在左边，则称为偏态。
21．采用分组资料，计算平均差的公式是，计算标准差的公式是。
二、单项选择题1．加权算术平均数的大小( )A受各组次数f的影响最大B受各组标志值X的影响最大C只受各组标志值X的影响D受各组次数f和各组标志值X的共同影响2，平均数反映了( )A总体分布的集中趋势B总体中总体单位分布的集中趋势C总体分布的离散趋势D总体变动的趋势3．在变量数列中，如果标志值较小的一组权数较大，则计算出来的算术平均数( )A接近于标志值大的一方B接近于标志值小的一方C不受权数的影响D无法判断4．根据变量数列计算平均数时，在下列哪种情况下，加权算术平均数等于简单算术平均数( ) A各组次数递增B各组次数大致相等C各组次数相等D各组次数不相等5．已知某局所属12个工业企业的职工人数和工资总额，要求计算该局职工的平均工资，应该采用( )A简单算术平均法B加权算术平均法C加权调和平均法D几何平均法6．已知5个水果商店苹果的单价和销售额，要求计算5个商店苹果的平均单价，应该采用( ) A简单算术平均法B加权算术平均法C加权调和平均法D几何平均法7．计算平均数的基本要求是所要计算的平均数的总体单位应是( )A大量的B同质的C差异的D少量的8，某公司下属5个企业，已知每个企业某月产值计划完成百分比和实际产值，要求计算该公司平均计划完成程度，应采用加权调和平均数的方法计算，其权数是( )A计划产值B实际产值C工人数D企业数9．中位数和众数是一种( )A代表值B常见值C典型值D实际值10．由组距变量数列计算算术平均数时，用组中值代表组内标志值的一般水平，有一个假定条件，即( )A各组的次数必须相等B各组标志值必须相等C各组标志值在本组内呈均匀分布D各组必须是封闭组11．四分位数实际上是一种( )A算术平均数B几何平均数C位置平均数D数值平均数12．离中趋势指标中，最容易受极端值影响的是( )A极差B平均差C标准差D标准差系数13．平均差与标准差的主要区别在于( )A指标意义不同B计算条件不同C计算结果不同D数学处理方法不同则该公司20个商店商品销售额的平均差为( )A7万元B1万元C12 万元 D 3万元15．已知某班40名学生，其中男、女学生各占一半，则该班学生性别成数方差为( )A25％ B 30％ C 40％ D 50％16．当数据组高度偏态时，哪一种平均数更具有代表性? ( )A算术平均数B中位数C众数D几何平均数17．方差是数据中各变量值与其算术平均数的( )A离差绝对值的平均数B离差平方的平均数C离差平均数的平方D离差平均数的绝对值18．一组数据的偏态系数为1.3，表明该组数据的分布是( )AlE态分布B平顶分布C左偏分布D右偏分布19．当一组数据属于左偏分布时，则( )A平均数、中位数与众数是合而为一的B众数在左边、平均数在右边C众数的数值较小，平均数的数值较大D众数在右边、平均数在左边20．四分位差排除了数列两端各( )单位标志值的影响。
离中趋势和集中趋势的度量 PPT
第三节 位置平均数
中位数将变量数列分为相等得两部分,
一部分得标志值小于中位数,另一部分得标
志值大于中位数。
如何确定中位数？
1、由未分组得数据确定中位数 2、由单项数列确定中位数 3、由组距数列确定中位数
1
2
f
x ......
2
n
f
n
f f ...... f
1
2
n
（x1
x
2
......
x
)
n
f
nf
x1 x 2 ...... x n
n
第二节 数值平均数
(五)算术平均数得数学性质 ⒈各变量值与算术平均数得离差之 和为零。这一性质说明算术平均数 就是一组数据得重心。
(x x) 0或 (x x) f 0
上述三个指标带有计量单位,而且其离中 趋势大小与变量平均水平得高低有关。
要比较数据平均水平不同得两组数据得 离中程度得大小,就有必要计算她们得相对 离中程度指标,即离散系数。
常用得离散系数指标就是标准差系数。
第二节 数值平均数
几何平均数
几何平均数就是n个变量值连乘积得n次方根,适应于 计算平均比率和平均速度。根据掌握得资料不同,有 简单几何平均数和加权几何平均数两种。
简单几何平均数适应于已知每个比率或每个速度求 平均数得情况。
x x x x n ...... n x
G
12
n
第二节 数值平均数
2、如果就是单项式数列或未分组得数 据,出现次数最多得那一个标志值就就 是众数。
3、由组距式数列确定众数,先根据次数 得多少确定众数组,然后可按下述公式 之一计算:
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1 15 50
0.7 70%
在所调查的50人当中，购 买其他品牌饮料的人数占 70%，异众比率比较大。因 此，用“可口可乐”代表消 费者购买饮料品牌的状况， 其代表性不是很好
4 - 18
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STATISTICS
顺序数据：四分位差
4 - 19
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3.
例以xx2=自如=7，由，5。那取样当么值本x，有x3则另=3必个5一然确数个取定值则2后，不，，即能而xx自不1，1=由能2x2，取取和x其值x23=他有，4，值两比x个如3=数x91=，据6则，可
4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，
从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差
去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量
同容量样本的分布，方差比较的是 (xi x)2 的平均值
n-1，是自由度，可以得到总体方差的无偏估计。
4. 方差易受极端值影响。
4 - 29
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STATISTICS
样本方差
自由度(degree of freedom)
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数
2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后, 只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据 则不能自由取值
/
人
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为抽选样本单位数提供依据
4 - 12
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统计学 为抽选样本单位数提供依据
STATISTICS
离中趋势指标 样本单位数 离中趋势指标 样本单位数
4 - 13
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5.2 离散程度的度量
4 - 15
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STATISTICS
分类数据：异众比率
4 - 16
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异众比率
(variation ratio)
1. 对分类数据离散程度的测度 2. 非众数组的频数占总频数的比例 3. 计算公式为
vr
fi fm 1 fm
fi
fi
4. 用于衡量众数的代表性
➢ 由此可见，在射击比赛中，运动员能否取得 好的成绩，发挥的稳定性至关重要。那么， 怎样评价一名运动员的发挥是否稳定呢？
4 -4
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STATISTICS
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
离中趋势 (分散程度)
偏态和峰态 （形状）
4 -5
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STATISTICS
数据分布特征的测度
STATISTICS
四分位差
(quartile deviation)
1. 对顺序数据离散程度的测度
2. 也称为内距或四分间距
3. 上四分位数与下四分位数之差
Qd = QU – QL 4. 反映了中间50%数据的离散程度
5. 不受极端值的影响
6. 用于衡量中位数的代表性
4 - 20
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STATISTICS
第 5 章 离中趋势度量法
5.1 离中趋势度量的目的 5.2 离中趋势的度量 5.3 偏态与峰态的度量
4 -1
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学习目标
1. 离中趋势的基本概念 2. 离中趋势各测度值的计算方法 3. 离中趋势各测度值的特点及应用场合
4 -2
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4 - 34
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STATISTICS
相对位置的测量：标准分数
4 - 35
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标准分数 (standard score)
1. 也称标准化值 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量
衡量、比较均值的代表性
4 - 10
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统计学 衡量、比较均值的代表性
STATISTICS
离中趋势指标 均值的代表性 离中趋势指标 均值的代表性
4 - 11
x甲
73
74
75 5
76
77
75件
/
人
x乙
50
65
70 5
90
100
75件 /
人
x丙
75
75
75 5
75
75
75件
为什么称作标准差
Mary Smith 和Jason Jones都在申请奖学金，Mary 参加的是the Academic College Testing Service (ACT)test ， 成 绩 为 26 ； Jason 参 加 的 是 the Stanford Admission Test (SAT)，成绩是1100。两 类 考 试 的 分 数 范 围 分 别 是 0-36 、 200-1600 ， 那 么 谁将获得奖学金？
5.2.1 分类数据：异众比率 5.2.2 顺序数据：四分位差 5.2.3 （非）数值型数据：方差和标准差 5.2.4 相对位置的度量：标准分数 5.2.5 相对离中的趋势度量
4 - 14
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STATISTICS
离中趋势
1. 数据分布的另一个重要特征 2. 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度） 3. 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 4. 不同类型的数据有不同的离散程度测度值
2040
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STATISTICS
平均差
(例题分析)
k
M d
i 1
Mi x n
fi
2040 120
17(台)
含义：每一天的销售量平均数相比，
平均相差17台
4 - 26
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方差和标准差
STATISTICS(variance and standard deviation)
4 -3
统计学 哪名运动员的发挥更稳定?
STATISTICS
➢ 最会的比赛结果是，中国运动员郭文珺凭借 决赛的稳定发挥，以总成绩492.3环夺得金 牌，预赛排在第1名的俄罗斯运动员纳塔利 娅·帕杰林娜以总成绩498.1环获得银牌，预 赛排在第4名的格鲁吉亚运动员妮诺·萨卢克 瓦泽以总成绩487.4环的成绩获得铜牌，而 预赛排在第3名的蒙古运动员卓格巴德拉赫· 蒙赫珠勒仅以479.6环的成绩名列第8名
1. 数据离散程度的最常用测度值
2. 反映了各变量值与均值的平均差异
3. 根据总体数据计算的，称为总体方差或标 准差；根据样本数据计算的，称为样本方 差或标准差
x = 8.3
4 - 27
4 6 8 10 12
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样本方差和标准差
STATISTICS (simple variance and standard deviation)
4 - 30
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STATISTICS
按销售量分组 140~150 150 ~ 160 160 ~170 170 ~180 180 ~ 190 190 ~ 200 200 ~ 210 210 ~220 220 ~230 230 ~240 合计
4 - 31
样本标准差
(例题分析)
某电脑公司销售量数据平均差计算表
n 1
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样本方差和标准差
STATISTICS (simple variance and standard deviation)
1. 均值和标准差永远是联合使用的， 后者反映数值在均 值周围聚集的程度。
2. xi x 提供两个重要信息：样本观察值偏离其均值的
距离；偏离的方向。
3.
(xi x)2 随样本容量增加而增加，无法比较两个不
xACT 22, sACT 2, xSAT 1000, sSAT 100
4 - 33
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STATISTICS
为什么称作标准差
对于数值型数据由三种表示形式 ▪原始数据值：26ACT points, 1100SAT points ▪偏离平均值的距离：+4 +100 ▪偏离均值的标准差数：+2 +1
数据特征的测度
集中趋势
众数 中位数 平均数
4 -6
离散程度
分布的形状
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
偏态 峰态
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统计学 5.1 离中趋势度量的目的
STATISTICS
5.1.1 描述总体内部差异程度 5.1.2 衡量和比较均值指标的代表性高低 5.1.3 为抽选样本单位数提供依据
方差的计算公式
标准差的计算公式
未分组 i1 n 1
组距分组数据：
注意：
样本方差用自 由度n-1去除!
未分组数据：
n
(xi x)2
s i1 n 1
组距分组数据：
k
(Mi x)2 fi
s 2 i1 n 1
s
4 - 28
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k
(Mi x)2 fi
i1
4 - 17
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STATISTICS
异众比率
(例题分析)
不同品牌饮料的频数分布
饮料品牌
频数
比例
百分比 (%)
可口可乐 15 0.30 30
旭日升冰茶 11 0.22 22
百事可乐
9 0.18 18