【必考题】高一数学上期末模拟试题(及答案)
【必考题】高一数学上期末第一次模拟试卷(含答案)
【必考题】高一数学上期末第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞5．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,28．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 9．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．11．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1112．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.17．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．18．已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________. 19．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.20．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279f =，当1x >时，()()0,1f x ∈.(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明；(3)若()1f a +≤，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 23．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.24．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 25．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．26．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <，又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解【详解】 解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.6．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．7．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.8．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法9．A解析：A 【解析】 由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.10．A解析：A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C ，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：()0,1【解析】 【分析】令()0f x =，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两个交点. 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.15．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3 【解析】 【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合. 【详解】因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=,所以(3)(6)0m m --=,所以3m =或6m =-,当3m =时,12()f x x -=,其图象不过原点,符合题意; 当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意.综上所述:3m =.故答案为:3【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.16．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f （x0）=x0的实数根二次函数f （x ）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可 解析：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； 故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．17．【解析】【分析】【详解】故答案为解析：【解析】【分析】【详解】故答案为.18．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解.【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦，当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞，此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同，故a 的取值范围为(]0,1.故答案为:(]0,1.【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题. 19．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值．【详解】设x x t e e -=-，1x x x x t e ee e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x x x x a e e e e ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立， 0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t-≤+对3[0,]2t ∈上恒成立， 由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =， ∴256a -≤，即256a ≥-．综上，256a ≥-． 故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．20．【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得 解析：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a 的取值范围.【详解】当1x ≥时,()12x f x -=,此时值域为[)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1 即1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩,解得102a ≤< 故答案为:10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.三、解答题21．(1)()f x 为奇函数；(2)()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见解析；(3)[)4,1--.【解析】【分析】（1）令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当0x >时，()0f x >，再利用已知和单调函数的定义，证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （3）先利用赋值法求得()3f -=再利用函数的单调性解不等式即可 【详解】解：（1）令1y =-，则()()()1f x f x f -=-.∵()11f -=-，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数；(2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减.证明如下：由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--=当()0,1x ∈时，11x >，()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以当0x >时，()0f x >，设120x x <<，则211x x >，∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.∵函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减.(3)∵()1279f =，且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦，∴()3f = 又∵函数()f x 为奇函数，∴()3f -= ∵()1f a +≤()()13f a f +≤-，函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 又当0x ≥时，()0f x ≥.∴310a -≤+<，即41a -≤<-，故a 的取值范围为[)4,1--.【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法22．(1)1,22⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可；(2)由312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩， 即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】 本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题.23．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m <<【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =.函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x m f x x x x +=>---，[]2,6x ∈，所以()()10117x m x x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立. 当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =. 所以07m <<.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．24．(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-.【解析】【分析】（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值； （2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值.【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-,又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点,所以设2()(1)f x a x =+，因为(1)4f =,即2(11)4a +=， 所以设1a =所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-< 2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点.所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点.【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.25．（1）()3,1.-（2）1-±3）2【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值．【详解】（1）由已知得10,30,x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.- （2）()()()()()()2log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令()=0f x ,得223=1x x --+,即222=0x x +-,解得1x =-±∵1(-3,1)-,∴函数()f x的零点是1-（3）由2知,()()()22log 23log 14a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦, ∵31x -<<,∴()20144x <-++≤.∵01a <<,∴()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦, ∴()min log 44a f x ==-,∴1442a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．26．（1）()g x 为奇函数；（2）20【解析】【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值.【详解】（1）12()12xx g x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈. 因为11112212()()112212x x x x x xg x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=.所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.。
高一数学上学期期末模拟质量检测试卷含答案
高一数学上学期期末模拟质量检测试卷含答案一、选择题1．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则UA（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-2．函数()102f x x =+的定义域为（ ） A ．(),3-∞-B ．[)3,2--C ．()()3,22,--⋃-+∞D ．()3,2--3．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-4．已知点()3,4A ，向的OA 绕原点O 逆时针旋转3π后等于OB ，则点B 的坐标为（ ） A．⎝⎭ B．⎝⎭C．⎝⎭D．⎝⎭5．方程e 10x x ++=的根所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,0-C ．()2,1--D ．()1,26．为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：小时）的变化关系为220()t aC t t b+=+（,a b 为常数，0t ≥），当0t =时池水中药品的浓度为0mg /L ，当1t =小时池水中药品的浓度为4mg /L ，则池水中药品达到最大浓度需要（ ） A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时7．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，且()20f =，则不等式()0f x x>的解集为（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()(),20,2-∞-D ．()()2,02,-+∞8．已知函数121(02)()(2)(2)x x f x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，()log (1)a g x x =+（0a >，且1a ≠），若()()()F x f x g x =-在[0,)+∞上至少有5个不相同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()4,5C ．()2,3D ．()5,+∞二、填空题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A ．1010x x y -=- B ．()22log 1y x =+ C ．3y x =D ．|sin |y x =10．使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（ ）A ．1a b >-B ．11a b< C D ．10.30.3a b -<11．已知a ，b ，c 满足a b c >>，且0ac <，则下列不等式中恒成立的有（ ） A ．0a >，0c <B ．b c a a>C ．22b a c c>D ．ab bc >12．下列说法正确的是（ ）A ．“0x R ∃∈，0202x x >”的否定是“x R ∀∈，22x x ≤”B ．函数()f x =的最小值为6C ．函数1()2g x ⎛= ⎪⎝⎭1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．a b >的充要条件是a a b b三、多选题13．若命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是_____________.14．函数()2xf x =和()3g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <．若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a ，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12b ∈，则a b +=__________．15．已知函数22()tf x x t x =-+有最小值且最小值与t 无关，则t 的取值范围是_________． 16．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是________.四、解答题17．已知函数()1ln3x f x x-=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式()()2110ax a x a R +++>∈的解集为B .（1）求集合A ；（2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围. 18．已知函数()223sin cos 2cos f x x x x =⋅+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求该函数的单调递增区间；（3）求函数()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.19．已知函数1()(0xxb f x a a a -=+>且1)a ≠是奇函数． （1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围．20．对于等式b a c =（0a >，1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么b y x =是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么x y a =是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log a y x =是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.如果c 为常数e （e 为自然对数的底），将a 视为自变量x （0x >，1x ≠），则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =，记将y 表示成x 的函数为()f x .（1）求函数()f x 的解析式，并作出其图象；（2）若0m n >>且均不等于1，且满足()()f m f n =，求证：243m n +≥.21．已知函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象与y 轴交点为()0,1.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间；（3）对于任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()240f x mf x -+≥恒成立，求实数m 用的取值范围.22．已知函数()x x f x a a -=-（0a >且1a ≠）．（1）若(1)0f <，对任意[0,)x ∈+∞，恒有()2221a f x kx k a ⋅--+，求k 的最大值；（2）若3(1)2f =，函数()g x 满足(2)()()0(0)f x f x g x x +-⋅=≠．就实数m 的取值，讨论关于x 的方程()(2)10m g x g x ⋅=+的实数根的个数．【参考答案】1．B 【分析】先求出集合A ，根据补集运算，即可求出UA .【详解】由21x < 得： 11x -<<，又x U ∈，所以{}0A = ，因此{}1,1,2UA =- .故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题. 2．D 【分析】根据函数有意义列出式子求解即可. 【详解】解：由题可知()1330log 3020x x x ⎧+>⎪⎪+≥⎨⎪⎪+≠⎩，解得：322x x x >-⎧⎪≤-⎨⎪≠-⎩，故()32x ∈--，. 故选：D. 3．B 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-.故选：B本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 4．D 【分析】设OA 与x 轴正方向所成的角为α，设OB 与y 轴正方向所成的角为β，先求出5OA =，34cos ,sin 55αα==，再结合两角和的正弦公式和余弦公式求出cos β和sin β，进而可以求出结果. 【详解】设OA 与x 轴正方向所成的角为α，设OB 与y 轴正方向所成的角为β，则3πβα=+，由题意知 5OA =，34cos ,sin 55αα==，所以cos cos cos cos sin sin 333πππβααα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭sin sin sin cos cos sin 333πππβααα⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以点B 的横坐标为5cos 5β==；点B 的纵坐标为5sin 5β==；所以点B 的坐标为⎝⎭， 故选：D. 5．C 【分析】设e (1)x f x x =++，逐一分析各个选项，结合零点存在性定理，即可得答案. 【详解】设e (1)x f x x =++， 2211(2)10,(1)0,(0)2,(1)e 20,(2)e 30e ef f f f f -=-<-=>==+>=+> 因为(2)(1)0f f -⋅-<，根据零点存在性定理，可得()f x 的零点在区间()2,1--内. 故选：C6．A 【分析】由题意求出解析式，再由定义证明4,0y t t t=+>的单调性得出其最小值，进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间. 【详解】由题意可得02041a ba b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0,4a b ==当0t =时，(0)0C =，当0t >时，22020()44t C t t t t==++令4,0y t t t=+>任取()12,0,t t ∈+∞，且12t t <，则()()121212121212444t t t t y y t t t t t t --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭ 当2t ≥时，12120,4t t t t -<>，即12y y <；当02t <<时，12120,4t t t t -<<，即12y y > 则函数4,0y t t t=+>在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，即min 4224t t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即当2t =时，max ()(2)5C t C == 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由定义证明函数4,0y t t t=+>的单调性进而得出其最小值.7．D 【分析】分0x >和0x <两种情况讨论，利用函数的奇偶性和单调性可解得结果. 【详解】 当0x >时，()0f x x>可化为()0f x >， 又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x >可化为(||)(2)f x f >， 因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以||2x >，解得2x >； 当0x <时，()0f x x>可化为()0f x <， 又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x <可化为(||)(2)f x f <， 因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以||2x <，解得20x -<<；综上所述：不等式()0f x x>的解集为()()2,02,-+∞.故选：D 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键. 8．D 【分析】根据题意将问题转化为“()(),f x g x 的图象在[)0,+∞上至少有5个交点”，由此作出()(),f x g x 的图象，根据交点数分析出a 的取值范围.【详解】由题意可知：()(),f x g x 的图象在[)0,+∞上至少有5个交点； 因为2x >时，()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=， 所以()f x 为周期函数且一个周期为2， 当01a <<时，图象如下图所示：由图象可知：()(),f x g x 的图象没有交点，故不符合题意； 当1a >时，图象如下图所示：因为()(),f x g x 的图象至少有5个交点，所以由图象可得：()log 411a +<即可， 所以g 5log lo a a a <，所以5a >，即()5,a ∈+∞， 故选：D.【点睛】思路点睛：求解函数零点个数的问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.二、填空题9．AC 【分析】分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可. 【详解】四个函数的定义域为x ∈R ，定义域关于原点对称A ：记()1010-=-x x f x ，所以()1010()x x f x f x --=-=-，所以函数()1010-=-x x f x 是奇函数，又因为10x y =是增函数，10x y -=是减函数，所以1010x x y -=-是增函数，符合题意；B ：记()22()log 1=+g x x ，则()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x ，所以函数()22()log 1=+g x x 是偶函数，不符合题意；C ：记3()h x x =，则33)()()(=-=--=-h x h x x x ，所以函数3()h x x =是奇函数，根据幂函数的性质，函数3()h x x =是增函数，符合题意；D ：记()|sin |=t x x ，则()|sin()||sin |()-=-==t x x x t x ，所以函数()|sin |=t x x 为偶函数.故选：AC 10．CD 【分析】因为判断的是充分不必要条件，所以所选的条件可以推出a b >，且a b >无法推出所选的条件，由此逐项判断即可. 【详解】A ．因为1a b >-不能推出a b >，但a b >可以推出1a b >-，所以1a b >-是a b >成立的必要不充分条件，故不满足；B ．因为11a b <不能推出a b >（例如：1,1a b =-=），且a b >也不能推出11a b<（例如：1,1a b ==-），所以11a b<是a b >成立的既不充分也不必要条件，故不满足；C >0a b >≥能推出a b >，且a b >1,1a b ==-），a b >成立的充分不必要条件，故满足；D ．因为函数0.3x y =在R 上单调递减，所以10.30.3a b -<可以推出1a b ->，即1a b >+， 所以10.30.3a b -<可以推出a b >，且a b >不一定能推出10.30.3a b -<（例如：1,1a b ==）， 所以10.30.3a b -<是a b >成立的充分不必要条件，故满足， 故选：CD. 【点睛】结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分也不必要条件，则p 对应集合与q 对应集合互不包含. 11．AB 【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论． 【详解】解：a b c >>，且0ac <，0a ∴>，0c <，故A 成立；所以10a> ∴由b c >，所以b ca a>恒成立，故B 成立； 对于C ：若1a =，1b =-，则22b ac c =，故C 错误；对于D ：若0b =，ab bc =，故D 错误； 故选：AB ． 12．ACD 【分析】根据含全称量词、存在量词的命题的否定形式可判断A 选项是否正确； 根据基本不等式及等号成立的条件可判断B 选项是否正确； 利用复合函数单调性“同增异减”可判断C 选项的正误； 构造函数利用单调性判断D 选项是否正确． 【详解】对于A 选项，由特称命题的否定形式可知，A 选项正确；对于B 选项，若利用基本不等式有()6f x =≥，等号不能成立，故B 选项错误；对于C 选项，因为函数12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭为递减函数，若1()2g x ⎛= ⎪⎝⎭22y x x =--+递减，且220x x --+≥，解得112x -≤≤，故C 正确； 对于D 选项，设函数()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，则函数[)0,+∞上递增，在(),0-∞上也递增，故()f x 为R 上的单调增函数，所以a b >时a ab b ；当a a b b 时，有a b >. 故a b >的充要条件是a ab b ，D 选项正确．故选：ACD.三、多选题13．{1a a <-或}3a > 【分析】根据存在命题的定义，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”等价于200(1)10x a x +-+=有两个不等实数根，所以2(1)40a ∆=-->，即2230a a -->，解得1a <-或3a >.故答案为：{1a a <-或}3a >.14．10【分析】根据解析式与图像,判断12,C C 分别对应的解析式.根据零点存在定理,可判断两个交点所在的整数区间,即可求得,a b 的值,进而求得+a b . 【详解】根据函数()2x f x =过定点0,1,所以2C 对应函数()2xf x =;函数()3g x x =过()0,0,所以1C 对应函数()3g x x =因为()()()(),2211g f g f <> 所以由图像可知[]11,2x ∈,故1a = 因为()()()()9900,11g f g f >< 所以由图像可知[]29,10x ∈,故9b = 所以10a b += 故答案为:10 【点睛】本题考查了指数函数与幂函数的图像与性质应用,数形结合思想的应用,函数零点存在定理的应用,15．[1,)+∞【分析】本题可分为0t ≤、0t >两种情况进行讨论，然后0t >又可分为0u t <<、u t ≥进行讨论，最后对每种情况下是否有最小值以及最小值与t 是否有关进行研究，即可得出结果. 【详解】当0t ≤时，22()t f x x t x =-+， 令2u x =，则0>u ，ty u t u=+-在(0,)u ∈+∞时是增函数，无最小值． 当0t >时，令2u x =，0>u ，,0()(),t u t u t t uf xg u u t t u u t u t u ⎧-++<<⎪⎪==-+=⎨⎪+-≥⎪⎩，若0u t <<，()tg u u t u=-++是减函数，则()11g u t t >-++=， 若u t ≥，()t g u u t t t u =+-≥=，当且仅当u =时等号成立，t ，即1t ≥时，()g u 在[,)t +∞上递增，min ()()11g u g t t t ==-++=，t >，即01t <<时，min ()g u t =与t 有关，故答案为：[1,)+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最值．对含绝对值的函数一般根据绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号，然后可分段求最小值，最后比较可得．而利用函数的单调性是求最值的基本方法，有时也可用基本不等式求最值，但要注意基本不等式成立的条件，在条件不满足时，可用单调性得最值．16．130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【分析】 根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0>ω，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0>ω时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当2,2,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立， 则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意； ③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减， 由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈， 解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立， 可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由k Z ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想. 四、解答题17．（1）{}13A x x =<<；（2）{}1a a >-. 【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得集合A ；（2）对实数a 的取值进行分类讨论，求出集合B ，根据A B ⋂≠∅可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）对于函数()1ln3x f x x -=-，103x x ->-，可得103x x -<-，解得13x <<， 因此，{}13A x x =<<；（2）由()2110ax a x +++>，可得()()110ax x ++>.①当0a =时，则有10x +>，解得1x >-，即{}1B x x =>-，此时A B ⋂≠∅成立； ②当0a <时，因为10a ->，解不等式()()110ax x ++>可得11x a-<<-，即11B x x a ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭，因为A B ⋂≠∅，则11a ->，即10a a+<，解得10a -<<； ③当1a >时，110a -<-<，解不等式()()110ax x ++>可得1x <-或1x a>-， 即{1B x x =<-或1x a ⎫>-⎬⎭，此时A B ⋂≠∅成立；④当1a =时，则有()210x +>，解得1x ≠-，即{}1B x x =≠-，此时A B ⋂≠∅成立；⑤当01a <<时，11-<-a ，解不等式()()110ax x ++>可得1x a<-或1x >-， 即1B x x a ⎧=<-⎨⎩或}1x >-，此时A B ⋂≠∅成立.综上所述，实数a 的取值范围是{}1a a >-.18．（1）πT =；（2）πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）最大值为3，最小值为0.【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简()f x ，再由正弦函数的周期公式即可求解； （2）解不等式πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，()k ∈Z 即可求解；（3）根据π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出π26x +的范围，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）()2cos 2cos 2cos21f x x x x x x =⋅+=++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， （2）令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，解得：ππππ36k x k -+≤≤+，()k ∈Z所以该函数的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）因为π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2,π66x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ266x +=-即π6x =-时，πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 最小为12-，当ππ262x +=即π6x =时，πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 最大为1，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ()[]π2sin 210,36f x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0，最大值为3.19．(1) 0b = (2) 532t -<<- 【分析】（1）由()f x 的定义域为R ，且奇函数，则(0)0f =，从而可求出答案. (2)由题意1()1x g x a -=-，先求出函数()g x 的值域，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则max 2()3t g x t +>+，从而得出答案. 【详解】 (1)函数1()(0)x x b f x a a a-=+>的定义域为R ,又()f x 是奇函数 所以(0)110f b b =+-==当0b =时，1()xx f x a a =-，11()()xx x xf x a a f x a a --⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭-- 满足()f x 是奇函数，所以0b =(2) 11()()111x xxx xg x f x a a a a a --=--=--=- 由0x a >，则10x a >，所以10x a -<，所以111xa -<-- 即()g x 的值域为()1-∞-，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则213t t +<-+，解得532t -<<- 所以满足条件的实数t 的取值范围：532t -<<- 20．（1）1()ln f x x=，作图见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对y x e =两边取对数，并化简即得到1ln y x =，即得到函数1()ln f x x=及图象； （2）结合图象化简关系得到ln ln n m -=，即1mn =，22144m n n n+=+，再构造函数21()4(01)g x x x x=+<<，结合单调性求其最小值为3，即得证，或者拼凑22211144422m n n n n n n+=+=++，利用三项的基本不等式证明结果即可. 【详解】（1）解：由(0,1)y x e x x =>≠两侧取以e 为底的对数，得ln ln y x e =，即1ln y x=， 所以1()ln f x x=，其图象如图所示.（2）证明：因为|()||()|f m f n =，且0m n >>， 所以(0,1),(1,)n m ∈∈+∞，且ln ln n m -=， 即ln ln 0,ln()0m n mn +==，故1mn =，则22144m n n n+=+. 法一：记21()4(01)g x x x x=+<<.任取12,x x ，且1201x x ，因为()()()2222121212121211114444g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212211212144x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=+-+=-⋅， 因为1201x x ，所以21120,0x x x x ->>. 当12102x x ≤<<时，()121241x x x x +<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >； 当12112x x ≤<<时，()121241x x x x +>，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <. 所以21()4(01)g x x x x =+<<在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以当12x =时，min ()3g x =，所以243m n +≥. 法二：22223111114443432222m n n n n n n n n n+=+=++⋅⋅=≥（当且仅当2142n n =即12n =时取“=”），所以243m n +≥.21．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（3）4m ≤. 【分析】（1）先由最值，求出2A =，再由函数过点()0,1，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间[]0,π上的增区间；（3）先由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()[]1,2f x ∈，令()t f x =，将问题化为240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立，进而可求出结果. 【详解】（1）因为最大值为2，所以2A =．因为()f x 过点()0,1，所以2sin 1=ϕ，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．当0k =时，36x ππ-≤≤；当1k =时，2736x ππ≤≤． 又因为[]0,x π∈，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3． （3）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈．令()t f x =，则240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立， 即4m t t≤+在[]1,2t ∈时恒成立， 令()4g t t t=+，[]1,2t ∈，任取1212t t ≤<≤，则120t t -<，124t t <，所以()()()121212121244410g t g t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=--> ⎪⎝⎭，即()()12g t g t >， 所以()4g t t t=+在[]1,2t ∈上单调递减，则()()min 42242g t g ==+=，所以只需4m ≤，即实数m 用的取值范围是4m ≤. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解. 22．（1）12-；（2）答案见解析.【分析】（1）由(1)0f <得01a <<，利用()f x 的单调性得到212x k x -≤+当[)0,x ∈+∞时恒成立，再求212x x -+在[)0,x ∈+∞上的最小值即可； （2）由已知得到()22x x f x -=-，求出()g x ，问题等价于讨论关于()22222210x x x x m --⋅+=++实数根的个数，令()222x x s s -=+>问题转化为讨论y m =与8y s s =+()2s >交点的个数，结合8y s s=+的单调性可得答案. 【详解】（1）因为(1)0f <，所以110(1)f a a -=-<，解得01a <<， 所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递减，由()2221a f x kx k a ⋅--+，得()2211(1)2a f x kx k a f a a-=-=--≤， 所以221x kx k --≥，所以212x k x -≤+当[)0,x ∈+∞时恒成立，()()2224231324222x x x x x x x +-++-==++-+++， 令2t x =+()2t ≥，3()4m t t t=+-，设122t t >≥，则()121212*********()()t t m t m t t t t t t t t t ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭， 因为122t t >≥，所以12120,4t t t t ->>，所以12()()0m t m t ->， ()m t 在 2t ≥时是单调递增函数，所以11()(2)2422m t m ≥=+-=-，所以12k ≤-，k 的最大值为12-；（2）若3(1)2f =，则113)2(1f a a -=-=，解得2a =，或12a =-舍去， ()22xxf x -=-，由(2)()()0(0)f x f xg x x +-⋅=≠得()2222()22022x xx x x xg x x ----==+≠-，问题等价于讨论关于()22222210x x x xm --⋅+=++实数根的个数， 令()222x xs s -=+>，则由28m s s ⋅=+，即8m s s=+()2s >， 即讨论y m =与8y s s=+()2s >交点的个数，设12s s >>8()n s s s=+，则()121212*********()()s s n s n s s s s s s s s s ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12s s >>12120,8s s s s ->>，所以12()()0n s n s ->，()n s 在s >()n s n >=设122s s <<< 则()121212*********()()s s n s n s s s s s s s s s ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为122s s <<≤12120,8s s s s -<<，所以12()()0n s n s ->，()n s 在2s <≤()(2)n n s n ≤<，即()6n s <， 所以，当m <()(2)10m g x g x ⋅=+没有实数根；当m =6m ≥时，方程()(2)10m g x g x ⋅=+有2个实数根；当6m <时，方程()(2)10m g x g x ⋅=+有4个实数根. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式、讨论实数根的个数，关键点是构造函数利用函数的单调性解决问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.。
高一数学上册期末模拟综合试卷
高一数学上册期末模拟综合试卷一、选择题1．已知全集{}2,4,6,8,10U =，集合{}2,4A =，则UA（ ）A ．{}2,4B ．{}6,8,10C ．{}2,4,6,8D ．{}2,4,6,8,102．函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域为（ ） A ．()()0,22,+∞B ．[)()0,22,+∞C ．()()1,22,⋃+∞D ．[)()1,22,⋃+∞3．以下各角中，是第二象限角的为（ ） A ．83π-B ．76π- C ．76π D ．53π 4．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -，那么sin 2cos θθ+=（ ）A ．15B ．15-C ．25-D ．255．已知关于x 的方程62x ax +=在区间()1,2内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,1--B ．[]4,1--C ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，2x y =与()2log y x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知定义在[]22-,上的奇函数()f x 满足：对任意的[]12,2,2x x ∈-都有()()1212f x f x x x -<-成立，则不等式()()1140f x f x ++->的解集为（ ） A ．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．12,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知函数()()cos 333f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)21,3⎡⎣二、填空题9．已知幂函数9()5m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．()13216f -=B ．()f x 的定义域是RC ．()f x 是偶函数D ．不等式()()12f x f -≥的解集是[)(]1,11,3-10．21x ≤的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -≤<B ．1≥xC ．01x <≤D ．11x -≤≤11．下列结论正确的是（ ）A ．命题：0x ∀>，22x x >的否定是00x ∃≤，0202x x ≤B ．已知0a b >>，则22b ba a+>+ C ．已知1x y >>，01a <<，则a a x y --< D ．()00,πx ∃∈，使得222sin x=成立 12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点()3,33A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()0,0,2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则下列叙述正确的是（ ）A ．3πϕ=-B ．当[]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增C ．当[]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为33D ．当100t =时，6PA =三、多选题13．已知集合{}{}1,2,2,3A m B =-=，且{}2A B ⋂=，则实数m 的值为____14．已知函数()ln f x x m =-的零点位于区间()1,e 内，则实数m 的取值范围是________. 15．已知,a b 2222a a b ++的取值范围是_______.16．已知函数4,02,()3, 2.2x x xf x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根1x ，2x，且满足124x x <，则实数a 的取值范围为______.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}27A x x =<<，{4B x x =<-或}2x >，{}621,C x a x a a R =-≤≤-∈（1）求A B ； （2）若()UA B C ⋃⊆，求实数a 的取值范围.18．已知函数()cos()(0,12,0)f x A x A ωϕωϕπ=+><<<<的图象经过点()0,1，且一个最高点的坐标为2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式：（2）设P ，Q 分别为函数()f x 的图象在y 轴右侧且距y 轴最近的最高点和最低点，O 为坐标原点，实数m OP OQ =⋅，若函数()9cos 24cos 3g x m x n x =+-在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为8-，求实数n 的值.19．已知函数22()log (1)log (1)f x x x =-++. （1）判断该函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断并证明该函数的单调性，写出该函数在区间2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上的值域. 20．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1) 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H (t )=A sin(ωt +φ)+B 其中A >0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H (t )； (2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.21．已知()()()2log 2f x g x x +=-，其中()f x 为奇函数，()g x 为偶函数. （1）求()f x 与()g x 的解析式；（2）判断函数()f x 在其定义域上的单调性； （3）解关于t 不等式()()12130f t f t t -++->.22．已知{0M x R x =∈≠且}1x ≠，()(1,2)n f x n =是定义在M 上的一系列函数，满足：1()f x x =，()11()i i x f x f i N x ++-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（1）求()3f x ，()4f x 的解析式；（2）若()g x 为定义在M 上的函数，且1()1x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()22(21)2(1)()318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】根据补集的概念可得结果. 【详解】根据补集的概念可得UA{}6,8,10.故选：B 2．C 【分析】由题可得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，即可解出定义域.【详解】1()ln(1)2f x x x =-+-， 1020x x ->⎧∴⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠， ()f x ∴的定义域为()()1,22,⋃+∞.故选：C. 3．B 【分析】将各选项中的角表示为()202,k k Z απαπ+≤<∈，利用象限角的定义可得出合适的选项. 【详解】 对于A 选项，84433πππ-=-，43π为第三象限角，则83π-为第三象限角； 对于B 选项，75266πππ-=-，56π为第二象限角，则76π-为第二象限角；对于C 选项，76π为第三象限角； 对于D 选项，53π为第四象限角. 故选：B. 4．C 【分析】由三角函数的定义得43sin ,cos 55αα==-,进而得sin 2cos θθ+=25-【详解】解：由三角函数的定义得5r ==，所以43sin ,cos 55αα==-，所以sin 2cos θθ+=25-.故选：C. 5．A 【分析】把方程解的问题转化为函数图像交点问题，结合图像即可得解. 【详解】根据题意可得26x ax =-，故转化为函数y ax =和26x y =-的图像的交点，如图所示， 易知26x y =-的图像的两个交点为(1,4)-和(2,2)-， 当y ax =过(1,4)-点时4a =-， 当y ax =过(2,2)-点时1a =-， 所以a 的取值范围是(4,1)--. 故选：A 6．B 【分析】结合指数函数和对数函数的图像即可. 【详解】2x y =是定义域为R 的增函数，2log ()y x =-：-x >0，则x <0.结合选项只有B 符合. 故选：B 7．D 【分析】先由题中条件，得到函数单调性，利用函数奇偶性与单调性，将所求不等式化为141x x +<-，结合定义域，即可求出结果.【详解】因为对任意的[]12,2,2x x ∈-都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以()f x 是定义在[]22-,上的单调递减函数，所以212x -≤+≤且2142x -≤-≤，解得1344x -≤≤.又()f x 是奇函数，所以()()()11441f x f x f x +>--=-， 所以141x x +<-，解得23x >，所以2334x <≤. 故选：D. 8．C 【分析】本题首先可根据函数()f x 是偶函数得出33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过计算得出1a =-，然后通过转化得出()2sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过图像变换得出()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数对称性得出52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数，所以33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos 00cos 33a a ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322a a =--，解得1a =-，()cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1cos 2cos 33323f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=---⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 32sin 62x x πππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则()22sin 22y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 向上平移1个单位长度，得到()2sin 213y g x x π⎛⎫- ⎝=+⎪⎭=，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性易知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，此时()[)2,3g x ∈，实数m 的取值范围是[)2,3， 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出1a =-是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.二、填空题9．ACD 【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式. 【详解】因为函数是幂函数，所以915m +=，得45m =-，即()45f x x -=， ()()()45451322216f --⎡⎤-=-=-=⎣⎦，故A 正确；函数的定义域是{}0x x ≠，故B 不正确； ()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故C 正确；函数()45f x x -=在()0,∞+是减函数，不等式()()12f x f -≥等价于12x -≤，解得：212x -≤-≤，且10x -≠，得13x -≤≤，且1x ≠，即不等式的解集是[)(]1,11,3-，故D正确. 故选：ACD 10．AC 【分析】由不等式21x ≤，求得11x -≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式21x ≤，可得11x -≤≤，结合选项可得： 选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件； 选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项D 为21x ≤的一个充要条件, 故选：AC. 11．BCD 【分析】根据全称命题的否定是变量词否结论可判断A ；利用作差法比较22b a ++和ba的大小可判断B ；由幂函数的单调性可判断C ；解方程2sin x=D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：命题：0x ∀>，22x x >的否定是00x ∃>，0202x x ≤，故选项A 不正确；对于B ：当 0a b >>时，()()()()()22220222a b b a a b b b a a a a a a+-+-+-==>+++，所以22b ba a +>+， 故选项B 正确；对于C ：当01a <<时，10a -<-<，因为幂函数a y x -=在()0,∞+上单调递减，所以1x y >>可得a a x y --<，故选项C 正确；对于D ：由2sin x =2sin 2x ，解得：04x π=或34π，所以存在04x π=或34π使得2sin x=D 正确； 故选：BCD. 12．AD 【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论. 【详解】由题意，R 6，T ＝120＝2πω，∴ω＝60π，当t ＝0时，y ＝f (t )＝-代入可得-6sin φ，∵2πϕ<，∴φ＝－3π.故A 正确； 所以()6sin()603f t t ππ=-，当[]0,60t ∈时，260333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，所以函数()y f t =在[]0,60不是单调递增的，故B 不正确；因为260333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，max 66y ==，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 不正确；当100t =时，46033t πππ-=，此时y =-(3,P --，()336PA =--=，故D 正确， 故选：AD ． 【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.三、多选题13．4【分析】利用交集定义直接求解．【详解】解：∵集合A ＝{1，m ﹣2}，B ＝{2，3}，且A ∩B ＝{2}，∴m ﹣2＝2，解得m ＝4，∴实数m 的值为4．故答案为4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．（0,1）【分析】结合零点的概念,可得ln m x =,然后由()1,e x ∈,可求得ln x 的取值范围,进而可得到m 的取值范围.【详解】由题意,令()ln 0f x x m =-=,得ln m x =,因为()1,e x ∈,所以()ln 0,1x ∈,故()0,1m ∈.故答案为:()0,1.【点睛】本题考查了函数的零点,利用参变分离及对数函数的性质是解题的关键,属于基础题.15．⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先将分式的分子分母同除以a ，然后采用换元的方法令5b t a=+，根据基本不等式的变形()0,02x y x y +>>求解出原式的最小值，再根据t →+∞分析原式的最大值，由此求解出原式的取值范围.【详解】5a +5b t a =+，因为0,0a b >>，所以5t >，所以原式=()()2215215t t +-≥⨯⨯-，所以()()22221515t t ⎡⎤+-≥+-⎣⎦，22t -=≥==， 取等号时15t =-，即6b t a ==， 又因为t →+∞1=→， 综上可知原式的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭， 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．（4,5）【分析】分别作出(),y f x y a ==的图像，有两个交点得4a >，由2114=,32x x a a x ++=找到1x ，2x 的关系，把124x x <转化为2112684x x -+<解出1x 的范围，从而确定a 的范围.【详解】分别作出(),y f x y a ==的图像，如图示，∴4a >；方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根1x ，2x 如图示，则有12x ≤， 且2114=,32x x a a x ++=， ∴21211148=3=262x x x x x x +++-，∴ ∴124x x <可化为2112684x x -+<解得：112x <<， ∴()114=4,5a x x +∈ 即实数a 的取值范围为（4,5）故答案为：（4,5）【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．四、解答题17．（1）{}27x x <<；（2）322a ≤≤. 【分析】(1)根据题意，画出数轴即可得到A B ；(2)现根据题意，求出()U A B ，再结合()U A B C ⋃⊆，即可求出实数a 的取值范围.【详解】(1)根据题意得，{}27A B x x ⋂=<<.(2)根据题意得，{4A B x x ⋃=<-或}2x >，因此(){}U 42A B x x ⋃=-≤≤，又因()U A B C ⋃⊆，所以21264a a -≥⎧⎨-≤-⎩，解得322a ≤≤.18．（1）()2cos 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2） 【分析】（1）由最高点坐标求得A ，坐标(0,1)代入解析式可求得ϕ，由最高点坐标可求得ω，得解析式；（2）由三角函数性质求得,P Q 点坐标同，由数量积的坐标表示求得m ，()g x 化为关于cos x 的二次函数，换元后由二次函数性质求最小值，再根据最小值为8-求得n ．【详解】解析（1）由函数图象最高点的纵坐标为2知2A =，将点()0,1代入函数的解析式中，得1cos 2ϕ=， 0ϕπ<<，故3πϕ=. 将点2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭代人() f x 的解析式中，得2cos 133πω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 所以2233k πωπ-+=，k ∈Z ， 即32k πωπ=-+，k ∈Z ，又由 1 2 ω<<，从而 2πω=， 所以()2cos 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）23x k πππ+=，k ∈Z ，则取1k =得4,23Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；取2k =得10,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以410422339m OP OQ =⋅=⨯-⨯=， 于是2()4cos 24cos 38cos 4cos 7g x x n x x n x =+-=+-. 当2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，设 cos t x =，则1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 于是2()()847g x h t t nt ==+-，1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 当142n -≤-，即2n ≥时，()h t 单调递增，由182h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得32n =，矛盾；当1124n -<-<，即42n -<<时，由 84n h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得 n = 当14n -≥，即 4n ≤-时，()h t 单调递减，由(1)8h =-，得94n =-，矛盾．所以实数n 的值为19．（1）偶函数，理由见解析（2）函数在(1,0)-上为增函数，在[0,1)上为减函数，证明见解析，值域为(,1]-∞-.【分析】（1）令1010x x +>⎧⎨->⎩求得函数的定义域关于原点对称，再根据()()f x f x -=，可得函数()f x 为偶函数；（2）利用函数单调性的定义证明，根据单调性求值域即可.【详解】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩解得11x -<<， 所以函数定义域为()1,1-，关于原点对称，又22()log (1)log (1)()f x x x f x -=++-=，所以函数()f x 为偶函数.（2）函数在(1,0)-上为增函数，在[0,1)上为减函数.设12,[0,1)x x ∀∈且12x x <，则210x x x ∆=->，2222()log (1)log (1)log (1)f x x x x =-++=-，22212211()()()log 1()x f x f x x -∴-=-， 而222112121()[1()]()()0x x x x x x ---=-+<， 所以22211()011()x x -<<-， 故22212211()()()log 01()x f x f x x --=<-， 所以函数在[0,1)上为减函数，因为函数为偶函数，所以函数在(1,0)-上为增函数,当x ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，()f x 为减函数，所以21()(log 122f x f ≤==-， 即函数值域为(,1]-∞-【点睛】关键点点睛：根据奇偶函数的定义判断函数奇偶性注意分析函数定义域；利用函数单调性的定义证明，要注意做差后变形求证，属于中档题.20．(1)()40cos50(030)15H t t t π=-+≤≤;(2)答案见解析;(3)h 的最大值为40米【分析】 (1)设()sin()H t A t B ωϕ=++,根据最高点和最低点可得A 与B ,由周期求ϕ值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t ;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h 关于t 的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.【详解】(1)由题意可设()sin()(0,0,0)H t A t B A B ωϕω=++>>≥,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩,得40,50A B ==. 又函数周期为30,23015ππω==, ()40sin()5015H t t πϕ=++(030t ≤≤), 又0t =时,()10H t =,所以1040sin(0)5015πϕ=⨯++,即sin 1ϕ=-,ϕ可取2π-, 所以()40sin()5040cos 50(030)15215H t t t t πππ=-+=-+≤≤ (2) ()40cos 503015H t t π=-+=,1cos 152t π=解得5t =, 所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米;(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,游客甲,乙中间相隔5个座舱, 则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了t (530t ≤≤)分钟,则游客乙在摩天轮上坐了5t -分钟,所以高度差为:40cos50[40cos (5)50]1515140[cos cos (5)]40[cos ]151********cos()153h t t t t t t t ππππππππ=-+---+=---=-=-+ 当153t πππ+=即10t =时,h 取得最大值40.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答.21．（1）()()()()22121log log 22222,x f x g x x x x ⎛⎫-==+ ⎝+⎭-⎪；（2）详见解析；（3）()1,0-. 【分析】（1）根据()()()2log 2f x g x x +=-，其中()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，得到()()()2log 2f x g x x -+=+，两式联立求解.（2）由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，令24122x t x x-==-+++，用函数单调性的定义，证明t 在()2,2-上递减，再利用复合函数的单调性证明.（3）将()()12130f t f t t -++->转化为()()()()112121f t t f t t --->-+-+⎡⎤⎣⎦,令()()g x f x x =-，()()121g t g t ->-+再研究()g x 在()2,2-上的单调性和奇偶性求解.【详解】（1）()()()2log 2f x g x x +=-，其中()f x 为奇函数，()g x 为偶函数.所以()()()2log 2f x g x x -+-=+，即()()()2log 2f x g x x -+=+，两式联立解得()()()()22121log log 22222,x f x g x x x x ⎛⎫-==+ ⎝+⎭-⎪. （2）由（1）知()f x 的定义域为()2,2-， 令24122x t x x-==-+++， 任取()1212,2,2,x x x x ∈-<， 则()()()21121212444112222x x t t x x x x -⎛⎫-=-+--+= ⎪++++⎝⎭， 因为()12,2,2∈-x x ，所以()()12220x x ++>，因为12x x <，所以210x x ->，所以120t t ->，即12t t >，所以t 在()2,2-上递减， 又21log 2y x =在()0,∞+上递增， 由复合函数的单调性得：()f x 在()2,2-上递减.（3）因为()()12130f t f t t -++->，所以()()()()112121f t t f t t --->-+-+⎡⎤⎣⎦,令()()h x f x x =-，由（2）知()h x 在()2,2-上递减，又()()221212log log 2222x x h x x x h x x x +⎡-⎤⎛⎫⎛⎫-=+=--=- ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以()h x 在()2,2-上是奇函数，即()()()12121h t h t h t ->-+=--，则2122212121t t t t -<-<⎧⎪-<--<⎨⎪-<--⎩， 解得10t -<<，所以不等式的解集是()1,0-.【点睛】方法点睛：复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．22．（1）23411),1()(()f x f x x xx x f -=-==。
新高一数学上期末模拟试卷含答案
新高一数学上期末模拟试卷含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．2 D ．24．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2] D ．[0，2]5．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}7．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,29．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．510．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．12．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 二、填空题13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________.14．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.15．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 16．0.11.1a =，122log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 17．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 18．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()f x -=________19．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.20．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．三、解答题21．计算或化简：（1）1123021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++.22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.23．已知函数()x xk f x a ka -=+，（k Z ∈，0a >且1a ≠）.（1）若1132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求1(2)f 的值； （2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数λ，使得(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立若存在，请写出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.24．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在单调递减，在)+∞单调递增） 25．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？26．已知函数31()31x x f x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数.（1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式()21cos sin 32f x a x --<对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．C解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=，且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.4．D解析：D 【解析】 【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.5．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x ===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．6．D解析：D 【解析】 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解，则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解9．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
高一数学上册期末模拟质量检测试卷附答案
高一数学上册期末模拟质量检测试卷附答案一、选择题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =，则()⋃=U B A （ ） A ．{}1,2,3,6,7 B ．{}6,7 C ．{}1,2,3,4,6,7D ．{}1,2,3,4,5,6,72．下列函数是R 上的递减函数是（ ） A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y xC ．1y x=D ．12log y x =3．若cos 0α<，tan 0α>，则α是( ) A ．第四象限角 B ．第三象限角 C ．第二象限角 D ．第一象限角 4．已知角α的终边经过点(3,4)P ，则5sin 10cos αα+的值为（ ）A ．11B ．10C ．12D ．135．若函数31()log 1f x x x =-+的零点为0x ，则0x 属于（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，2x y =与()2log y x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()0,1A -，()3,1B 是其图象上的两点，那么|(2sin 1)|1f x +≤ 的解集为（ ）A ．,33xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ B ．722,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ C ．,63xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ D ．722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 8．已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为 （ ）A ．[]1,3-B ．[]1,5-C ．[]3,5-D ．[]3,3-二、填空题9．下列说法正确的是（ ）A ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -=，则()f x 是偶函数B ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -≠，则()f x 不是偶函数C ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -<，则()f x 在R 上是增函数D ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -<，则()f x 在R 上不是减函数 10．下列说法正确的是（ ） A ．函数1y x x=+的值域是[)2,+∞ B ．3,2x x R x ∀∈>的否定为3,2x x R x ∃∈≤C ．若0xy >且1x y +=，则11x y+的最小值为4D ．若0a b <<，则11a b< 11．若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+ 12．若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意的x ∈R ，都有()()f x T f x T +=+，则称()f x 为类周期函数，T 为()f x 的类周期.则（ ）A ．函数()f x x =是类周期函数B ．函数()2xf x =是类周期函数C ．若函数()f x 是类周期为T 的类周期函数，则函数()y f x x =-为周期函数D ．若()sin k f x x x =+为类周期函数，则1k =三、多选题13．集合sin ,2kx A x x k Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭的真子集的个数是______；14．22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅=________.15．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式sin ()0x f x ⋅>，[,]x ππ∈-的解集为_________.16．已知函数()f x 是R 上的奇函数，(2)()f x f x +=，当(0,1)x ∈时，()212f x x =，则(7.5)=f ________.四、解答题17．已知{}2230A x x x =--≤，()(){}40B x x k x k =--+>．（1）若[]0,3AB =R，求实数k 的值；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数k 的取值范围．18．已知函数())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，且图像与x 轴的相邻交点的距离为2π.（Ⅰ）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向右平移12π个单位长度后，得到()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间. 19．已知函数3()1f x x =-. （1）画出函数的草图，并用定义证明函数的单调性； （2）若[]2,7x ∈，求函数的最大值和最小值.20．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x ⎧-<≤⎪=⎨+->⎪+⎩（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．21．已知函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象与y 轴交点为()0,1.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间；（3）对于任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()240f x mf x -+≥恒成立，求实数m 用的取值范围.22．已知函数2()2(1)1f x x a x a =-+-+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1,1]-上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]g x x ax a f x x =---⋅，若函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，求实数t的取值范围；（3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、选择题 1．A 【分析】根据补集和并集的定义求解即可. 【详解】∵{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =， ∴{}1,6,7UA =，(){}1,2,3,6,7UB A ⋃=.故选：A . 【点睛】本题考查集合的并集和补集的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 2．A 【分析】根据二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数的单调性和定义域进行判断每个选项的正误即可． 【详解】解：对于A,1()2xy =的定义域为R ，且在R 上单调递减，∴该选项正确；对于B.2yx 在R 上不单调，∴该选项错误；对于C.1y x=的定义域不是R ，∴该选项错误； 对于D ．12log y x=的定义域不是R ，∴该选项错误．故选：A ． 3．B 【分析】根据三角函数的符号，确定终边上的点所处的象限，从而得到结果. 【详解】 cos 0xrα=< 0x ⇒< tan yxα=0y ⇒< 则(),x y 对应第三象限的点，即α是第三象限角本题正确选项：B 【点睛】本题考查各象限内三角函数值的符号，属于基础题. 4．B 【分析】由角α的终边经过点(3,4)P ，根据三角函数定义，求出sin cos αα，，带入即可求解. 【详解】∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin cos 55||5,O y x r r r P αα===∴===，=， ∴435sin 10cos =510=1055αα++. 故选：B 【点睛】利用定义法求三角函数值要注意：(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论． 5．B 【分析】根据零点存在性定理分析即可. 【详解】()f x 是增函数,1(1)02f =-<,311(2)log 2log 033f =->>,∴0(1,2)x ∈. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题. 6．B 【分析】结合指数函数和对数函数的图像即可. 【详解】2x y =是定义域为R 的增函数，2log ()y x =-：-x >0，则x <0.结合选项只有B 符合. 故选：B 7．D 【分析】由题意可得()01f =-，()31f =，所要解的不等式等价于()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤，再利用单调性脱掉f ，可得02sin 13x ≤+≤，再结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】由|(2sin 1)|1f x +≤可得1(2sin 1)1f x -≤+≤， 因为()0,1A -，()3,1B 是函数()f x 图象上的两点， 所以()01f =-，()31f =，所以()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤， 因为()f x 是定义在R 上的增函数，可得02sin 13x ≤+≤，解得：1sin 12x -≤≤，由正弦函数的性质可得722,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以原不等式的解集为722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将要解得不等式转化为()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤利用单调性可得02sin 13x ≤+≤. 8．A 【分析】根据(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2112f x f x x x >，转化为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2211x f x x f x >，令()()g x xf x =，则()g x 在(]0,7上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[]7,7-上是偶函数，将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为()()214g m g m -≤+求解.【详解】 令()()g x xf x =，因为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2211x f x x f x >，即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21g x g x >， 所以()g x 在(]0,7上递增， 又因为()()0f x f x -+=， 所以()g x 在[]7,7-上是偶函数，又因为()()()()212144m f m m f m --≤++， 所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+， 所以21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩即3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，解得13m -≤≤，所以实数m 的取值范围为 []1,3- 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,7上递增，结合()g x 在[]7,7-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解.二、填空题9．BD 【分析】取函数()()21f x x x =-，可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；取函数()2f x x x =+，可判断C 选项的正误；利用反证法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取函数()()21f x x x =-，则()()110f f -==，函数()f x 的定义域为R ，()()()21f x x x f x -=--=-，此时，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，必有()()f x f x -=， 因为()()11f f -≠，所以，()f x 不是偶函数，B 选项正确；对于C 选项，取函数()2f x x x =+，则()10f -=，()12f =，()()11f f -<， 但函数()2f x x x =+在R 上不单调，C 选项错误；对于D 选项，假设函数()f x 是定义在R 上的减函数，则()()11f f ->，这与题设矛盾， 假设不成立，所以，函数()f x 在R 上不是减函数，D 选项正确. 故选：BD.【分析】A.当0x <时，显然0y <，所以该选项错误；B.由全称命题的否定得该选项正确；C.由基本不等式得到函数的最小值为4，所以该选项正确；D. 由题得11a b>，所以该命题错误. 【详解】 A. 函数1y x x=+的值域不是[)2,+∞，当0x <时，显然0y <，所以该选项错误； B. 3,2x x R x ∀∈>的否定为3,2x x R x ∃∈≤，所以该选项正确；C. 由题得,0x y >且1x y +=，则()()2241111y x x y x x x y y y +=++=++≥+（当且仅当12x y ==时取等），所以函数的最小值为4，所以该选项正确； D. 若0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以该命题错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于选项C 的判断，这种题目求最值，一般利用先常量代换，再利用基本不等式求解. 11．AD 【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可． 【详解】解：对于A ，()()()()111111b a a b b b b aa a a a a a +-++--==+++0a b >>，所以0a b ->，所以()01b aa a -<+，所以11b b a a +<+，故选项A 一定不成立；对于B ，不妨取2a =，1b =，则11a b a b +>+，故选项B 可能成立； 对于C ，不妨取2a =，1b =，则11a b b a+>+，故选项C 可能成立； 对于D ，222(2)(2)02(2)(2)a b a a b b a a b b a a b b b a b b a b ++-+--==<+++，故22a b aa b b+<+，故选项D 一定不成立； 故选：AD ．【分析】对A ，B ，D 由类周期函数的定义即可判断；对C ，由类周期函数的定义以及周期函数的定义即可求解. 【详解】 解：对A ，()f x x =，()()f x T x T f x T ∴+=+=+， 故()f x 为类周期函数，即A 正确； 对B ，()2x f x =，()()()2222x T x T T f x f x T T f x ++==⋅=⋅≠∴+ 故B 错误；对C ，令()()F x f x x =-， 则 ()()()F x T f x T x T +=+-+， 函数()f x 是类周期为T 的类周期函数，()()f x T f x T ∴+=+，()()()()()()F x T f x T x T f x T x T f x x F x ∴+=+-+=+--=-=， ∴函数()()F x y f x x ==-为周期函数，故C 正确；对D ，若()sin k f x x x =+为类周期函数，即存在非零常数T ，对任意的x ∈R ，都有()()f x T f x T +=+， 即()()()()sin sin f x T x T k x T x kx T f x T +=+++=++=+, 即()()sin sin x T k x T x kx T +++=++， 令0x =，得sin T kT T +=①令x π=，得()()sin sin T k T k T ππππ+++=++， 化简得：sin T kT T -+=②， 由①+②得：22kT T =， 又0T ≠, 故1k =，即D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是对类周期函数定义的理解.三、多选题13．7 【分析】对k 进行分类，求出集合{}1,0,1A =-，再根据集合元素个数和真子集的个数关系，即可求出结果. 【详解】当4,k n n Z =∈时，sin 20x n π==；当41,k n n Z =+∈时，sin 2+12x n ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当42,k n n Z =+∈时，()sin 20x n ππ=+=； 当43,k n n Z =+∈时，3sin 212x n ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭； 所以集合{}1,0,1A =-，集合A 的真子集的个数为3217-=. 故答案为：7. 【点睛】本题主要考查了集合的真子集个数，属于基础题. 14．1； 【分析】根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：22(lg 2)(lg 5)lg 4lg 5++⋅ 222(lg 2)(lg 5)lg 2lg 5=++⋅ 22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5=++⋅()2lg 2lg5=+()2lg 25=⨯⎡⎤⎣⎦21= 1=故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.15．()()2,02,π-【分析】设()()sin g x x f x =⋅，先分析出()g x 的奇偶性，然后分类讨论()g x 在[]0,π上的取值情况，最后根据()g x 的奇偶性求解出()0g x >在[],ππ-上的解集. 【详解】设()()sin g x x f x =⋅，因为sin y x =为奇函数，()f x 为偶函数，所以()()()()()sin sin g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-，且定义域为R 关于原点对称，所以()g x 为奇函数，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =， 当0x =时，sin 0x =，所以sin ()0x f x ⋅=，当()0,2x ∈时，()sin 0,0x f x ><，所以sin ()0x f x ⋅<， 当2x =时，()20f =，所以sin ()0x f x ⋅=，当()2,x π∈时，()sin 0,0x f x >>，所以sin ()0x f x ⋅>， 所以当[]0,x π∈时，若()0g x >，则()2,x π∈，又因为()g x 为奇函数，且[],x ππ∈-，根据对称性可知：若()0g x >，则()()2,02,x π∈-，故答案为：()()2,02,π-.【点睛】方法点睛：已知()f x 的单调性和奇偶性，求解不等式()()00f x ><在指定区间上的解集的常用方法：（1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间分成几段，分别考虑每一段上()f x 的正负，由此求解出不等式的解集；（2）数形结合法：根据题意作出()f x 的草图，根据图象直接写出不等式()()00f x ><的解集.16．18-【分析】利用函数的周期与奇函数的性质，将(7.5)f 转化为(0.5)f -代入解析式计算. 【详解】因为(2)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为2，所以(7.5)(0.524)(0.5)f f f =-+⨯=-，又因为函数()f x 是奇函数，所以1(0.5)(0.5)8f f -=-=-.四、解答题17．（1）4k =；（2）7k >或1k <-． 【分析】（1）化简集合,A B ,求出B R,解不等式40,3,k k -=⎧⎨≥⎩得解； （2）由题得A B ⊆，即43k ->或1k <-，解不等式即得解.【详解】解：因为{}2230A x x x =--≤，所以{}13A x x =-≤≤，因为()(){}40B x x k x k =--+>，所以{B x x k =>或4}x k <-． （1）因为{}4R B x k x k =-≤≤， 若[]0,3RAB =，则40,3,k k -=⎧⎨≥⎩即4,3,k k =⎧⎨≥⎩所以4k =．（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，p 是q 的充分条件， 即A B ⊆，所以43k ->或1k <-， 即7k >或1k <-．18．（Ⅰ）32；（Ⅱ）511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先根据已知求出()26f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）根据平移变换先求出函数()g x 的解析式，再求函数()g x 的单调递减区间得解. 【详解】（Ⅰ）∵()f x 的图像与x 轴相邻交点的距离为2π， ∴()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又()f x 的图像关于直线3x π=对称，∴2()32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，∵22ππϕ-≤<，∴2236ππϕπ=-=-. ∴()26f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3244632f ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）将()f x 的图像向右平移12π个单位长度后，得到12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，∴()22121263g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.令3222()232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 则511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈. ∴()g x 的单调递减区间为511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 19．（1）图象见解析，证明见解析；（2）最大值为3，最小值为12. 【分析】（1）画出()f x 图象，利用定义法，证明()()120f x f x ->，结合()f x 的定义域，证得()f x 的单调区间.（2）结合()f x 的单调性来求得()f x 在区间[]2,7上的最大值和最小值. 【详解】（1）()f x 的图象如下图所示：()f x 的定义域为{}|1x x ≠，当1x <时，任取121x x <<，()()()()211212123331111x x f x f x x x x x --=-=⨯----，其中21120,10,10x x x x ->-<-<，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在区间(),1-∞上递减.同理可证得()f x 在区间()1,+∞上递减. （2）由（1）得()f x 在区间[]2,7上递减， 所以2x =时，()f x 取得最大值为3321=-， 当7x =时，()f x 取得最小值为31712=-. 20．（1）()2210050,020{9000195010,201x x x W x x x x -+-<≤=-->+；（2）29x =万台时最大利润为1360万元. 【分析】（1）由题意有()()8050W x xG x x =--，即可写出利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式.（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出020x <≤、20x >上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值. 【详解】（1）由题意知：()()8050W x xG x x =--，∴2210050,020()9000101950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩. （2）由（1）知：()()()22251200,020{90001960101,201x x W x x x x --+<≤=⎡⎤-+->⎢⎥+⎣⎦， ∴020x <≤时，()W x 单调递增，则max ()(20)1150W x W ==；20x >时，()19601360W x ≤-=，当且仅当29x =时等号成立. 综上，当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大为1360万元.21．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（3）4m ≤. 【分析】（1）先由最值，求出2A =，再由函数过点()0,1，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间[]0,π上的增区间；（3）先由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()[]1,2f x ∈，令()t f x =，将问题化为240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立，进而可求出结果.【详解】（1）因为最大值为2，所以2A =．因为()f x 过点()0,1，所以2sin 1=ϕ，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．当0k =时，36x ππ-≤≤；当1k =时，2736x ππ≤≤． 又因为[]0,x π∈，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3． （3）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈．令()t f x =，则240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立， 即4m t t≤+在[]1,2t ∈时恒成立， 令()4g t t t=+，[]1,2t ∈，任取1212t t ≤<≤，则120t t -<，124t t <，所以()()()121212121244410g t g t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=--> ⎪⎝⎭，即()()12g t g t >， 所以()4g t t t=+在[]1,2t ∈上单调递减，则()()min 42242g t g ==+=，所以只需4m ≤，即实数m 用的取值范围是4m ≤. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解.22．（1）(2,0)-；（2）1(,1)2；（3）91,)5.【分析】（1）根据()f x 的对称轴在区间()1,1-内列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（2）先求得()g x 表达式，将函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，转化为“对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立”，对t 分成11,22t t ≤>两种情况进行分类讨论，由此求得t 的取值范围.（3）构造函数()2=()|2|h x f x x x ++，将()h x 写出分段函数的形式，对a 分成2,2a a =-≠-两种情况进行分类讨论，结合()h x 在(1,2)-有两个不相等的实数根，求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为()f x 在区间[1,1]-上不单调，则111a -<+<，解得20a -<< 即a 的取值范围(2,0)-；（2）222()[(2)()]||[(2)(2(1)1)]||g x x ax a f x x x ax a x a x a x =---⋅=----+-+⋅(21)||x x =- 函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，等价于对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立，（*） 当12t ≤时，1[,1]2t ∈，此时1()02g =，与（*）式矛盾，不合题意 当12t >时，由[,1]x t ∈可知，210x ，||0x >，所以()0>g x 恒成立，即（*）成立 又在区间[,1]t 上实数t 必须满足1t <综上，所求实数t 的取值范围为1(,1)2；（3）令()2=()|2|h x f x x x ++方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根 等价于函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点因为222(2)1,10(=()2221,? 02a x a x h x f x x x x ax a x -+-+-<<⎧++=⎨--+≤<⎩）且()h x 在0x =处图象不间断当2a =-时，23,?10()=243,?02x h x x x x -<<⎧⎨++≤<⎩无零点； 当2a ≠-时，由于()2(2)1h x a x a =-+-+在(1,0)-单调，∴在(1,0)-内()h x 至多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为12,x x ，并且12x x <若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是26,?10()22,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意若0不是函数()h x 零点，则函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点有以下两种情形： ①若110x -<<，202x <<，则15(1)(0)0(1)(5)0919(0)(2)0(1)(95)0515a a h h a a a h h a a a ><-⎧-⋅<-+<⎧⎧⎪⇒⇒⇒<<⎨⎨⎨⋅<--<<<⎩⎩⎪⎩或.②若1202x x <<<，则248(1)01104 022111(0)09(2)05(1)(0)051a a a a a a a h a h h h a ⎧⎧∆=-->-⎪⎪<<⎪⎪<<⎪⎪<⇒⇒<<⎨⎨>⎪⎪<⎪⎪>⎪⎪->-<<⎩⎩． 综合①②得，实数a的取值范围是91,)5.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数定义域问题的求解，考查方程的根的问题求解，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.。
高一数学第一学期期末测试题和答案
高一数学第一学期期末测试题本试卷共4页，20题，满分为150分钟，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{13,4,5,7,9}=A ，B {3,5,7,8,10}=，那么=AB （ ）A 、{13,4,5,7,8,9}，B 、{1,4,8,9}C 、{3,5,7}D 、{3,5,7,8} 2．cos()6π-的值是（ ）A B ． C ．12 D ．12- 3．函数)1ln()(-=x x f 的定义域是（ ）A ． ),1(+∞B ．),1[+∞C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 4．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 5．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是 （ ） A ．(1,2) B ．(,3)e C ．(2,)e D ．(,)e +∞7．已知0.30.2a=，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（ ）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 8．若函数23()(23)m f x m x-=+是幂函数，则m 的值为（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、2 9．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）A 、34 B 、43C 、34-D 、43-10．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知3tan =α，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-= ；13．若cos α=﹣，且α∈（π，），则tan α= ．14．设{1,2,3,4,5,6},B {1,2,7,8},A ==定义A 与B 的差集为{|},A B x x A x B A A B -=∈∉--，且则（）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（满分12分）（1）4253sin cos tan()364πππ-（2）22lg 4lg 25ln 2e -+-+16．（满分12分）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)(R x ∈ (1)求()f x 的振幅和初相;(2)该函数图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？17.（本题满分14分） 已知函数()sin 2cos 21f x x x =+-（1）把函数化为()sin(),(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的形式，并求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取得最大值时x 的集合； 18.（满分14分）()2sin(),(0,0,),()62.1(0)228730(),(),sin 35617f x x A x R f x f ABC A B C f A f B C πωωπωππ=->>∈+=+=-已知函数且的最小正周期是（）求和的值；（）已知锐角的三个内角分别为，，，若求的值。
【典型题】高一数学上期末模拟试题(附答案)
【典型题】高一数学上期末模拟试题(附答案)一、选择题1．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,12．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－153．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．18-C ．18D ．2785．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦6．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x + B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -7．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)8．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A．1ln||yx=B．3y x=C．||2xy=D．cosy x=10．已知[]x表示不超过实数x的最大整数，()[]g x x=为取整函数，x是函数()2lnf x xx=-的零点，则()0g x等于（）A．1B．2C．3D．411．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xxxf xx⎛⎫∈-⎪=⎝⎭∈，则f(log43)＝()A．13B．14C．3D．412．已知()f x=22x x-+,若()3f a=,则()2f a等于A．5B．7C．9D．11二、填空题13．已知幂函数(2)my m x=-在(0,)+∞上是减函数，则m=__________．14．已知log loglog22a aax yx y+-=，则xy的值为_________________．15．已知函数()f x满足对任意的x∈R都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x成立，则127...888f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝．16．已知偶函数()f x的图象过点()2,0P，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x>的解集为______．17．函数()f x与()g x的图象拼成如图所示的“Z”字形折线段ABOCD，不含(0,1)A､(1,1)B､(0,0)O､(1,1)C--､(0,1)D-五个点，若()f x的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.18．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 19．若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____.20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()4f =______. 三、解答题21．已知函数()2()log 21xf x kx =+-为偶函数. （1）求实数k 的值； （2）若不等式1()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数1()2()24f x xx h x m +=+⋅，[1,2]x ∈，是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为2，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数()f x =（1）判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）函数2()()log 2g x f x x =+-在区间(1,2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确到0.3）；若没有零点，说明理由.1.118≈， 1.225≈ 1.323≈，2log 1.250.322≈，2log 1.50.585≈，2log 1.750.807≈）23．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好.附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 24．已知函数()224x x a f x =-+，()()log 0,1a g x x a a =>≠. （1）若函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若()()11f g =，设()112t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小. 25．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)26．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求BA 得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}BA x x =≤<.故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．A解析：A【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <，解得15a =-，故选：A.【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行4．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322ff18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题5．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.8．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A10．B【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.12．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.二、填空题 13．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3【解析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数； 当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.14．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题解析：3+【解析】 【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：2()2x y xy -=，即2()6()10x x y y -+=，解方程即可.【详解】 因为log log log 22a a ax yx y +-=，且x y >， 所以2log log ()2aa x y xy -=，即2()2x y xy -=. 整理得：2260x y xy +-=，2()6()10x xy y-+=.26432∆=-=，所以3x y =-3x y =+因为0x y >>，所以1xy >.所以3x y=+故答案为：3+【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.15．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】 【分析】 【详解】设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.16．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃， 故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．17．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【解析】 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<， 所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.18．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键解析：12-【解析】 【分析】由函数()f x 是奇函数，得到()010021f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()121x f x a =++是奇函数，所以()010021f a =+=+，解得12a =-，当12a =-时，函数()11212xf x =-+满足()()f x f x -=-， 所以12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包解析：0或1 【解析】 【分析】先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆， ②当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得213a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，综上可得0a =或1a =， 故答案为：0或1. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析：82【解析】 【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值. 【详解】令()3xf x t -=，所以()3xf x t =+，又因为()4f t =，所以34t t +=，又因为34ty t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =， 所以()31xf x =+，所以()443182f =+=.故答案为：82. 【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.三、解答题21．（1）12k =（2）0a ≤（3）存在，316m =- 【解析】 【分析】（1）利用公式()()0f x f x --=，求实数k 的值； （2）由题意得()2log 21xa <+恒成立，求a 的取值范围；（3）()214xxh x m =++⋅，[1,2]x ∈，通过换元得21y mt t =++，[2,4]t ∈，讨论m 求函数的最小值，求实数m 的值. 【详解】（1）f x （）是偶函数()()0f x f x ∴--=，()()22log 21log 210x x kx kx -∴++-++=，22112log (21)0210212x x kx x k x x R k k -+∴==∴-=∈∴-=∴=+. （2）由题意得()2log 21xa <+恒成立，()2211log 2100x x a +>∴+>∴≤.（3）()214x xh x m =++⋅，[1,2]x ∈，令2x t =，则21y mt t =++，[2,4]t ∈，1°当0m =时，1y t =+的最小值为3，不合题意，舍去； 2°当0m >时，21y mt t =++开口向上，对称轴为102t m=-<， 21y mt t ∴=++在[2,4]上单调递增min 432y m ∴=+=，104m ∴=-<，故舍去；3°当0m <时，21y mt t =++开口向下，对称轴为102t m=->， 当132m -≤即16m ≤-时，y 在4t =时取得最小值， min 3165216y m m ∴=+=∴=-，符合题意； 当132m->即106m -<<时，y 在2t =时取得最小值，min 14324y m m ∴=+=∴=-，不合题意，故舍去；综上可知，316m =-. 【点睛】本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论m ，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分0m =，0m >，和0m <三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值.22．（1）见解析；（2）有，1.5 【解析】 【分析】（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f （x ）在区间[)0,+∞上的单调性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）. 【详解】（1）函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数， 设[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()120f x f x -===<，所以()()12f x f x <，故函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数. （2）()2log 2g x x =-是增函数，又因为()21log1210g =-=-<，()22log 2210g =-=>， 所以连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点0x因为()21.5log 1.52 1.2250.58520.190g -≈+-=-<，所以()0 1.5,2x ∈又因为()21.75log 1.752 1.3230.80720.130g =-≈+-=->， 所以()0 1.5,1.75x ∈又1.75 1.50.250.3-=<，所以()g x 零点的近似值为1.5. 【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题. 23．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】 【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ； （2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案. 【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+,当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x+==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少. 【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.24．（1）()1,+∞；（2）12t t > 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性得到答案.（2）计算得到2a =，再计算()2110x t ->=，22log 0t x =<，得到答案. 【详解】（1）函数()224x x a f x =-+的对称轴为1x =，函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性，故1m ，即()1,m ∈+∞. （2）()()11f g =，即24log 10a a -+==，故2a =. 当()0,1x ∈时，()()212212110x x x t f x -+=-=>=；()22log 0t g x x ==<. 故12t t > 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.25．(1)2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克【解析】 【分析】当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．【详解】(1)由题意得，当04x <≤时，2v =； 当420x <≤时，设v ax b =+，由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以285v x =-+，故函数2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩．(2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，依题意及()1可得()22,0428,4205x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=； 当420x <≤时，()()222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克． 【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题．26．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元 【解析】 【分析】（1）先求出36x =，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元，再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大. 【详解】（1）两个合作社的投入相等，则36x =，1(36)253620872f =++⨯+=（万元）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元.当1536x ≤≤时，11()25(72)208122f x x x =+-+=-+，令t =6t ≤≤，则总收益2211()481(4)8922g t t t t =-++=--+，当4t =即16x =时，总收益取最大值为89； 当3657x <≤时，11()49(72)2010522f x x x =+-+=-+， ()f x 在(36,57]上单调递减，所以()(36)87f x f <=.因为8987>，所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元. 【点睛】本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.。
高一数学上册期末考试试卷及答案解析(经典,通用)
高一数学上册期末考试试卷及答案解析一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()U A B =（ ）A ．{}01， B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2- D ．{}0,1,1,2-2．“5x >”是“3x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对 4．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A ．矩形的两条对角线垂直 B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2≥ 2（a ﹣b ﹣1） C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0 D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤2成立5．已知02x <<，则y = ）A ．2B ．4C ．5D ．66．若110a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b <B ．1ba <C ．2b aa b +>D ．2ab b <7．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．40aB ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤8．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合222{2,1,4},{0,2}A a a a B a a =+-=--，5A ∈，则a 为（ ） A ．2B ．2-C ．5D ．1-10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最小值14 B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．下列命题为真命题的是（ ）. A ．若a b >，则11b a >B ．若0a b >>，0c d <<，则abd c < C ．若0a b >>，且0c <，则22cc a b > D ．若a b >，且11a b>，则0ab < 12．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，三、填空题13．若命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>，则其否定为p ⌝：__________________．14．已知:282p x -≤-≤，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______． 15．设集合{}{}21,2,R (1)0A B x x a x a ==∈-++=，若集合C = A B ，且C 的子集有4个，则实数a 的取值集合为______________. 16．若a ∈R ，0b >，3a b +=，则当=a ______时，1||3||a a b +取得最小值．四、解答题17．求解下列问题：(1)已知0b a <<，比较1a 与1b 的大小； (2)比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小．18．已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-． (1)求A B ，R ()A B ⋃： (2)若BC C =，求实数m 的取值范围．19．已知不等式20x ax b -+<的解集为{}17x x <<. （1）求实数,a b 的值.（2）求不等式101ax bx +>-的解集.20．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求（1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值． 21．22．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，3050x ≤≤，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？参考答案：1．A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1UB =-，故(){}0,1UAB =，故选：A.2．A 【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项. 【详解】{}5x x > {}3x x >，所以“5x >”是“3x >”的充分不必要条件. 故选：A3．C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C .4．B 【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误.C,D 选项是特称量词命题，故错误. B 选项是全称量词命题，用反证法证明， 因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确.故选:B. 5．【答案】A 【分析】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，由此可得2225x y +=，又面积1=2S xy ，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，则2225x y +=， 又1=2S xy由基本不等式可得221125=2224x y S xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭(当且仅当x =y 立) 故选：A.6．B 【分析】由110a b <<得出0b a <<，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误. 【详解】110a b<<，0b a ∴<<，0b a ∴->->，22a b ∴<，A 选项正确；1b b a a-=>-，B 选项错误；由基本不等式可得2baa b +≥=，当且仅当1b a =时等号成立，1b a >，则等号不成立，所以2baa b +>，C 选项正确；0b a <<，2b ab ∴>，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.7．C 【分析】由题意，p ⌝为真命题，进而可得p ⌝为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可. 【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，40-<恒成立，符合题意； 其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a ，综上可知，40a .结合选项可得，{}{}3040a a a a -≤≤⊆-<≤，即：30a -≤≤是40a 的一个充分不必要条件. 故选：C8．C 【分析】记U A B =⋃，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为{}1,2,4A =，{}2B x x A=∈，所以{}2,B =--，记{}2,U AB ==--，对于A 选项，其表示(){}4U A B =，不满足；对于B 选项，其表示(){}2,U A B =--，不满足；对于C 选项，其表示(){2,U A B =--，满足；对于D 选项，其表示{}1,2A B =，不满足；故选：C.9．BC 【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得a 的值.【详解】依题意5A ∈，当215a+=时，2a =或2a =-，若2a =-，则{}{}2,5,12,0,4A B ==，符合题意；若2a =，则220a a --=，对于集合B ，不满足集合元素的互异性，所以2a =不符合.当245a a -=时，1a =-或5a =，若1a =-，则212a +=，对于集合A ，不满足集合元素的互异性，所以1a =-不符合.若5a =，则{}{}2,26,5,0,18A B ==，符合题意. 综上所述，a 的值为2-或5. 故选：BC10．BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a b a b =+++=12a b ==时，，故B 选项正确；由11111(33)22322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭111[(2)(2)]3221222322a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确；由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确. 故选：BCD.11．BCD 【解析】举反例说明选项A 错误；利用不等式的性质证明出选项B ，C 正确；利用作差法证明出选项D 正确．【详解】选项A ：当取1a =，1b =-时，11b a <，∴本命题是假命题. 选项B ：已知0a b >>，0cd <<，所以110dc->->，∴abd c ->-，故abd c <，∴本命题是真命题. 选项C ：222211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，∵0c <，∴22cca b >，∴本命题是真命题. 选项D ：111100b aa b a b ab->⇒->⇒>， ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab <，∴本命题是真命题. 故选：BCD【点睛】本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题． 12．AB 【解析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件.【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞，故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.13．20,30x x ax ∃≥-+≤【分析】直接利用存在量词写出其否定即可. 【详解】因为命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>， 所以其否定p ⌝：20,30x x ax ∃≥-+≤.故答案为：20,30x x ax ∃≥-+≤.14．()5,6【分析】根据充分与必要条件，可得p ，q ，r 中集合的包含关系，再根据区间端点列式求解即可.【详解】易得:610p x ≤≤．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则AC ，CB ，则016210a a a >⎧⎪≤<⎨⎪>⎩，解得56a <<，即实数a 的取值范围是()5,6．故答案为：()5,615．{}1,2【分析】先求出集合B 中的元素，再由C 的子集有4个，可知集合C 中只有2个元素，然后分1,2a a ==和1a ≠且2a ≠三种情况求解即可.【详解】由2(1)0x a x a -++=，得1x =或x a =， 因为集合C = A B ，且C 的子集有4个， 所以集合C 中只有2个元素， ①当1a =时，{}1B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以1a =满足题意，②当2a =时，{}1,2B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以2a =满足题意， ③当1a ≠且2a ≠时，{}1,B a =， 因为{}1,2A =，所以{}1,2,A B a =，即{}1,2,C a =，不合题意，综上，1a =或2a =，所以实数a 的取值集合为{}1,2， 故答案为：{}1,216．32-【分析】由题知3a <，进而分0<<3a 和0a <两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为3a b +=，0b >，所以30b a =->，即3a <．当0<<3a 时，11173||99999a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+， 当且仅当34a =时取等号，所以当34a =时，13a a b+取得最小值79；当0a <时，11139999a a b a b a a ba b a b ++=--=---≥-+59=， 当且仅当32a =-时取等号，所以当32a =-时，13a a b+取得最小值59．综上所述，当32a =-时，13a a b+取得最小值．故答案为：32-17．(1)11a b <(2)()()()()3746x x x x ++<++【分析】（1）利用差比较法比较大小. （2）利用差比较法比较大小.(1)11110,0,0,0,b a b a ab b a a b ab a b-<<>-<-=<<.(2)()()()()()()()()4630,737634x x x x x x x x ++=-<-+<+++++.18．(1){|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或；(2)52m ≤． 【分析】（1）由并集的定义及补集的定义进行计算即可； （2）BC C =等价于C B ⊆，按B =∅和B ≠∅讨论，分别列出不等式，解出实数m 的取值范围． (1)∵集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<， ∴{|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或.(2) 因为BC C =，所以C B ⊆，当B =∅时，则121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，则12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得522m <≤；综上，实数m 的取值范围为52m ≤.19．（1）8,7a b ==；（2）11(,)(,)87-∞-⋃+∞【分析】（1）由解集得到方程20x ax b -+=的根，利用韦达定理可求,a b ．（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}17x x <<． 所以20x ax b -+=的解是1和7．故1771ab +=⎧⎨⨯=⎩，解得 87a b =⎧⎨=⎩． （2）由101ax bx +>-得81071x x +>-，即()()81710x x +->， 解得18x <-或17x >，故原不等式的解集为11(,)(,)87-∞-⋃+∞． 20．（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y xx y x y x y x y +=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y +=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥，当且仅当82x y =，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥， 所以xy 的最小值为64. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+， 当且仅当82y xx y =，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．(1)[0，254] (2){}|2a a <【分析】（1）首先求解集合A ，再求二次函数的值域；（2）首先将不等式，参变分离得2452x x a x -+-<-，转化为求函数的最值，即可求解. （1）2230x x --≤等价于()()2310x x -⋅+≤，．解得312x -≤≤所以3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭． ∴二次函数223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 函数在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当32x =时，y 取最大值为254， 当1x =-时，y 取最小值为0，所以二次函数234y x x =-++．x A ∈的值域是[0，254]． （2）由（1）知3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ∵()24520x a x a +-+->恒成立． 即24520x ax x a +-+->恒成立．∴()2245x a x x -⋅>-+-恒成立． ．∵312x -≤≤．∴20x -<．()()222214545122222x x x x x a x x x x x-+-+--+∴<===-+----∵20x ->，∴()1222x x-+≥-．． 当且仅当122x x -=-且312x -≤≤时，即1x =时，等号成立，． ∴2a <，故a 的取值范围为{}|2a a < 22．(1)31a b ==， (2)32a -≤<-或45a <≤ (3)53a ≥-【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值；（2）由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<，令()()2322h x x a x a =-+++，求出()0h x <解集中恰有3个整数时a 的取值范围即可．（3）由()f x b ≥在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立，化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，，()2111t t g t t t t+-==-+，求出()g t 的最大值，进一步求出实数a 的取值范围；(1)解：因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，又()0f x >的解集为{2|x x <或4}x >，所以2，4方程()23210x a x a b -++++=的两根，由()2432421a a b ⎧+=+⎨⨯=++⎩， 解得31;a b ==， (2)由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<， 令()()2322h x x a x a =-+++，则()()()()12h x x a x =-+-，知()20h =，故()0h x <解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1；①若解集中的3个整数是3，4，5，则516a <+≤，得45a <≤；②解集中的3个整数是1-，0，1；则211a -≤+<-，得32a -≤<-；综上，由①②知，实数a 的取值范围为32a -≤<-或45a <≤． (3)因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，由()f x b 在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立， 化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，， 设()2111t t g t t t t +-==-+，因为在()g t 在[]53--，上单调递增， 即()153133g t --+=--，所以53a ≥-． 23．(1)40吨(2)不会获利，700万元【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.（2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，再结合二次函数的性质，即可求解. （1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本1600()40yP x x x x==+-，3050x ≤≤，当3050x ≤≤时，1600()404040P x x x =+-≥=， 当且仅当1600x x=，即40x =等号成立， 故()P x 取得最小值为(40)40P =，故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. （2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ， 则()2220401600(30)700S x xx x =--+=---，当3050x ≤≤时，max 7000S =-<，故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.。
最全面【必考题】高一数学上期末模拟试卷(及答案)(精华版)
【必考题】高一数学上期末模拟试卷 ( 及答案 )一、选择题1． 已知 f 是（ ） x 是偶函数，它在 0, .若 f lg x f 1 ，则 x 的取值范围上是增函数 1101101100, 10,,10 ,1A ．B ．C ．0,1 10,D ．a,b, c 的大小关系是（2． 设 a log 6 3 ， cb lg5 ，c log 14 7 ，则 c） D ． cb 时， a bA ． ab B ． a C ． ba cb a a b a ；当3． 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当2b ，已知函数 a b 时， f x 1 x x 2 2 x x2,2 ，则满足a b f m 1f 3m 的实数的取值范围是（）1212 1 2 23,, 2,1, A ． B ． C ． D ．2 32，则 e 3c a ， b ，c 的大小关系是（ 4． 设 a log 2 3 ， ）3 ，cb ba C ． bc axA ． ab cB ． D ． a c bf x a ，且不等式 f 2x 的解集为 1,3 ，若方程5． 已知二次函数的二次项系数为 a f x6a 0 ，有两个相等的根，则实数 （ ）1 51 51 5A ．－B ． 1C ． 1或D ．1或a x,x 1 f (x)6． 若函数是 R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是a 24x 2, x 1（ ） D ． 4,8)1, A ． B ．（ 1,8）C ．（ 4,8）1 41 4 a 163 b7． 已知 a log 13， 5，则（ ），c c b c a bD ． bc aA ． a b cB ．C ． x 3 8． 用二分法求方程的近似解，求得f ( x) 2 x 9 的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 f ( x)-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793x3则当精确度为 0.1 时，方程 2x 9 0 的近似解可取为C ． 1.8B ． 1.7D ． 1.9A ． 1.6 9． 设 fx f xf x 0 ，当x ，恒有 是 R 上的周期为 2 的函数，且对任意的实数 x1 2log 10 x1,0 1 ，若关于 x 的方程 f xx 0 且 a 1 )a 时， f x( a a 的取值范围是 恰有五个不相同的实数根，则实数 ( )A ． 3,5 4,64,63,5B ．C ．D ．x7,7 上的奇函数 f x 26 ，则不等式10． 定义在，当 0 x 7 时， f xx f x0 的解集为A ． 2,7 2,0 2,7B ．2,02,7, 22,7C ．D ．f （x ）=x （ e x +ae ﹣x ）（ x ∈ R ），若函数 f （ x ）是偶函数，记 a=m ，若函数 f 11． 已知函数 （x ）为奇函数，记 A ．0 a=n ，则 B ． 121 的值为（ ） m+2n C ． 2 D ．﹣ 1x ,x 1f x2 的 fx1 log2 x, x 1，则满足 ()12． 设函数 的取值范围是 x A ．1,2二、填空题B ． 0,2C ． 1,D ． 0,1 4,( x xlog 2 x,(0 4)f ( x) k 有两个不同的实 f ( x)．若关于 x 的方程， 13． 已知函数x 4)根，则实数k 的取值范围是．14． 对于函数 f （x ），若存在 x 0∈ R ，使 f （ x 0） =x 0，则称 x 0 是 f （ x ）的一个不动点，已知 f （ x ） =x 2+ax+4 在 [1 ， 3] 恒有两个不同的不动点，则实数 a 的取值范围 .1 1 y f ( x) x 0 时， 15． 已知 是定义在 R 上的奇函数，且当 f (x)，则此函数xx42的值域为 .x2ax ax, x 1, 1,x 1, x 2 R, x 1 x 2 f ( x) { 16． 已知函数若f ( x 1 ) f ( x 2 ) 成立，，使得 1,．x 则实数 a 的取值范围是2f x 与g x 有g xf f x 17． 已知常数 ，若 a R ，函数 f xlog 2 xa ， 相同的值域，则 a 的取值范围为.f x f x [0,) 上是减函数，则18． 已知函数是定义在 R 上的偶函数，且 在区间 f x f 2 的解集是 ．2f x2xx a x a 3,0 19． 若函数 在区间 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 .x2x 1, m 1,10 m.20． 已知函数 y2 x 2 ， .若该函数的值域为 ，则 三、解答题21． 已知集合 Ax | 2 3x 1 8 , B x | 2x 1 5 , Cx | x a 或xa 1 ．A B, AB （1）求 ；C R CA ，求实数 a 的取值范围．（2）若22． 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某 x% （0 x 100 ）的 地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当30，0 S 中 30x 成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f x（单位：1800 x90，30 2 xx 100x 影响，恒为 分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 下列问题：40 分钟，试根据上述分析结果回答（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ g x g x 的单调性，并说明其实（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 的表达式；讨论 际意义． m 2 2m 30,23． 已知幂函数 f x xm Z 为偶函数，且在区间 上单调递减 .（1）求函数f x 的解析式；b F x a f x的奇偶性 a, b R （2）讨论 .（直接给出结论，不需证明）xf x2x2在区间 f x 4x a ， g x log x a 0, a 1 24． 已知函数 .a （1）若函数 f x 1,m m 的取值范围； 上不具有单调性，求实数 1 2f1g 1 ， t 2g x x 0,1 t 1 ， t 2 的大小 （2）若 ，设 t 1f x ，当 时，试比较 .2 2g( x)f ( x) 1 .25． 已知 f ( x) ， x1 g(x) 的奇偶性；10 （1）判断函数10f ( i )f (i ) 的值 .（2）求i 1i 1f (5) f (2)xa ( 8 26． 已知函数 f ( x ) 0 , 且a 1), 且 a .f (2m 3)( x) f (m 2) , 求实数 m 的取值范围 ;( 1) 若 | f 1| t 有两个解 , 求实数 t 的取值范围 .( 2) 若方程【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1． C 解析： C 【解析】 【分析】f lg x f 1 变形为 f lg xf 1 利用偶函数的性质将不等式，再由函数y f x 0,lg x 1 ，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单在 上的单调性得出调性即可求出结果 【详解】 . y f x f lg xf 1 f lg x f 1 由于函数是偶函数，由 得 ，函数 y f x 在 0,lg x 1，即 1 lg x 1 ，解得又 上是增函数，则1 10x 10 .故选： C.【点睛】 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题2．A解析： A 【解析】 【分析】 .x 2 log x构造函数 f x ，利用单调性比较大小即可 .【详解】 x 210 1log 2 xf x 1,f x log x 1 log x 2 1构造函数 ，则 在 上是增函数，又 a f 6 ， bf ， c f 14 ，故 a b c .故选 A【点睛】 本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题3．C.解析： C【解析】 f x1 x2 2 x 3x4 ； 2 x 1 时， 当2当 1 x 2 时， f xx x 2 2 4 ；x x3x 4, 2 4,1 4 在 x x 12f x 所以 ，3xx f x2,1 f x4 在 1,2 易知， 单调递增， 单调递增，且2 x 1 时， f x 3， 1 2 时， f3 ，x max minfx 2,2 则 在 上单调递增，2 2 m m 1 3m 21 22 ，故选 3所以 f m 1 f 3m 得：2 ，解得 m C ．1 3mx 4, 2 x 1 f x点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到 ，通过单调3x4,1 3m x 2f x f m 1f 在 2,2 上单调递增，解不等式 性分析，得到，要符合定义域2 2 m m 1 3m 22 和单调性的双重要求，则，解得答案． 1 3m4．A解析： A 【解析】【分析】 根据指数幂与对数式的化简运算 【详解】,结合函数图像即可比较大小.2e 3x因为 a log 2 3 , b 3 ,c x:令 fxlog 2 x , g 函数图像如下图所示2 , g 44 2则 f 4log 24 所以当 x3 时 , 23 log 2 3 ,即 a b b3 , ce 362 3 66 446b则 327 , cee2.753.1b6c 6,即 b 所以cca b 综上可知 故选 :A 【点睛】, 本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较 及不等式性质比较大小 ,属于中档题 .5．A解析： A 【解析】 【分析】 ,因为函数值都大于 1,需借助函数图像2设 fx axbx c ，可知 1、 3 为方程 f x2x 0 的两根，且 0 ，利用韦达定a f x6a 0 有两个相等的根，由理可将 b 、c 用 a 表示，再由方程 值. 【详解】 a 的0 求出实数 由于不等式f x 2x 的解集为 1,3 ， 2ax即关于 x 的二次不等式b 2 xc 0 的解集为 1,3 a 0 .，则 2由题意可知， 1、 3 为关于 x 的二次方程 axb 2 xc 0 的两根，b 2 ca由韦达定理得1 3 4 ， 1 3 3 ， b4a 2 ， c 3a ，a4a 2f x ax 2 x 3a ，f x6a 0 有两相等的根，x 的二次方程由题意知，关于 2即关于 x 的二次方程 ax4a 2 x 9a 0 有两相等的根，1522a则4 a 2 36a10a 2 2 2a0 ， a 0 ，解得 ，故选： A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题 的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于 中等题 .解析： D 【解析】【分析】 根据分段函数单调性列不等式，解得结果 【详解】.xa ,x 1 因为函数f ( x)是 R 上的单调递增函数，a 24x 2, x 1a 1a 2 所以4 0 4 a 8a242 a故选： D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题7．C.解析： C 【解析】 【分析】首先将 b 表示为对数的形式，判断出 b 0 ，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性3 比较与 a, c 的大小，即可得到2【详解】 a, b, c 的大小关系 .1 41 4b因为 5b log 5 log 5 1 0 ，，所以 1 43 2alog 13 log 3 4log 3 3,log 3 3 3 又因为 ，所以 a1, ， 1 33 1631,833 23, 2 2c 又因为 ，所以 c， c a C. b .所以 故选： 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.解析： C 【解析】【分析】 利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解 【详解】 .根据表中数据可知f 1.75 0.14 0 ， f 1.8125 0.5793 0 ，由精确度为 0.1 可知1.75 1.8 ， 1.8125 1.8 ，故方程的一个近似解为 1.8 ，选 C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区 间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终 零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解9．D.解析： D 【解析】 x1 2由 fx f x 0 ，知 f x 是偶函数，当 x1,0 时， 1 ，且f xf x 是 R 上的周期为 2 的函数，yf x y log a 1 x x 的方程作出函数 和 的函数图象，关于 f x log a x 10 ( y f x 和a 0 且 a 1 ) 恰有五个不相同的实数根，即为函数y log a 1 x 的图象有 5 个交点，a 3 5 1114 a 6 . 所以 log a log a D.1 ，解得 1故选点睛：对于方程解的个数 ( 或函数零点个数 ) 问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的 单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从 图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．B解析： B 【解析】 【分析】 f (2)0 ，则 ( 2,0)f ( x) 0 的解集为 2,7 0x 7时， f ( x) 为单调增函数，且当 ，再结合f (x) 0 的解集为 (2,7] f ( x) 为奇函数，所以不等式 【详解】 ．2x在(0,7] 0x 7时， f()6 ，所以 当 上单调递增，因为 x f ( x) 227 ，f ( x) 0 等价于 f (x)f (2) f (2) 2 6 0 ，所以当 0 x 7 时， ，即2 x [ 7,7] 在[ 2 7,0) 7 x 0 因为 f (x) 是定义在 上的奇函数，所以 时， f ( x) 上单调递增， f ( 2)f (x) f (2) 0 的解集为 0 ，所以 f ( x) (2,7]0 等价于 f ( x)f ( 2) ，即 x 0 ，所以不等且 ( 2,0) 式 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区 间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．11．BB 解析： 【解析】试题分析：利用函数 f （ x ） =x （ e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到 g （x ） =e x +ae ﹣x为奇函数，然后利 m ．函数 f （ x ） =x （ e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以 g （ x ） =e x +ae ﹣x 为偶函用 g （0） =0，可以解得 数，可得 n ，即可得出结论．解：设 g （ x ） =e x +ae ﹣x ，因为函数 数．f （ x ） =x （ e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （ x ） =e x +ae ﹣x 为奇函又因为函数 f （ x ）的定义域为 R ，所以 g （ 0） =0， 即 g （0） =1+a=0，解得 a=﹣ 1，所以 m=﹣ 1．因为函数 f （ x ） =x （ e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以 g （ x ） =e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（ e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（ 1﹣ a ）（ e ﹣x ﹣e x ）=0 对任意的 x 都成立 所以 所以 故选 a=1，所以 n=1， m+2n=1 B ．考点：函数奇偶性的性质．12．D解析： D 【解析】 【分析】分类讨论： ① ② 当 1 时； 当 1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后x x 出它们的并集即可． 【详解】 21 xx 0 ， 0 x 1．当 x12 的可变形为 1 x 1， 1 2当 x 1 时， 1 log 2 x 2 的可变形为 x1，故答案为0,， x ．故选 D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函 数的图象与直线有两个交点时有 (1,2)解析： 【解析】作出函数 f (x) 的图象，如图所示，41单调递减，且 4 x当 x 4 时， f ( x) log x 单调f (x) 1 12 ，当 0 x 4 时， 2 xy k 有两个交点时，有递增，且 f ( x) log 2 x 2 ，所以函数 f ( x) 的图象与直线 k 2 ．1 14．【解析】【分析】不动点实际上就是方程 f （ x0）=x0 的实数根二次函数 f（ x ）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4 有实根即方程 x=x2+ax+4 有两个 不同实根然后根据根列出不等式解答即可 10 3, 3 解析：【解析】 【分析】f （ x 0） =x 0 的实数根，二次函数 f （x ）=x 2+ax+4 有不动点，是指方不动点实际上就是方程x=x 2+ax+4 有实根，即方程 x=x 2+ax+4 有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即程 可．【详解】 解：根据题意， 两个实数根，f （ x ） =x 2+ax+4 在[1 ， 3] 恒有两个不同的不动点，得x=x 2+ax+4 在 [1 ， 3] 有x 2 +（ a ﹣ 1） x+4=0 在 [1 ， 3] 有两个不同实数根，令 g （ x ） =x 2+（ a ﹣ 1） x+4 在 [1 ，3] 有两即 个不同交点，g (1) g (3) 0 0a 3a 4 10 0 0∴，即，1 a1 a131322 1) 22( a 1) 16 0(a 16 0103, 3 解得： a ∈； 103故答案为： , 3 ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．15．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范 围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所 以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函 1 1 解析：, 4 4【解析】 【分析】 x 0 时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出 x 0 时的范围，合并后可得值可求出 域． 【详解】 21 1 21 42x，所以 0 t 1 ， 设 t，当 x0 时， ， 21 ytt tx20, 1414f x所以 0 y，故当 x0 时， ． 14因为 yf x 是定义在 x 0 时， R 上的奇函数，所以当 f x,0 ，故函数 1 1 , 4 4f x ． 的值域是1 1 , 4 4故答案为： ． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出 x 0 时的函x 0 时的范围，然后求并集即可．数值范围，再由对称性得出16．【解析】【分析】【详解】故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】故答案为 .17．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为 当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值 范围为故答案为 :【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 0,1解析： 【解析】【分析】分别求出 【详解】f ( x), g(x) 的值域，对 a 分类讨论，即可求解 . 2a R , f xlog 2 xa log 2 a ，f x [log a,) ，的值域为 2 2g xf f xlog 2 ([ f ( x)]a) ，2当 0 a 1,log 2 a 0,[ f ( x)] 0, g (x) log 2 a ，g(x) 值域为 [log a,) ，函数 2 f (x), g (x) 的值域相同； 此时 221时， log 2a 0,[ f ( x)](log 2 a) 当 a ，2g( x) log 2[(log a) a] ，2 2当 1 2 时， log 2 a1,(log 1, log 2 a (log 2 a)aa 2当 a 2,log a a)log 2 a ，2 2 2log 2 a (log 2 a)a ，f (x),g (x) 的值域不同，a 1时，函数所以当 0,1 .故 a 的取值范围为 0,1 故答案为 : .【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题.18．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可 求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在 区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合 ， 2 2，解析：【解析】 【分析】 f x ,0 f 1 1 f 2 由题意先确定函数 在 上是增函数，再将不等式转化为 即可求得 x 的取值范围 【详解】 . 函数 f x R 上的偶函数，且 f ,0 上是增函数x 在区间 [0, ) 上是减函数，是定义在 函数 fx 在区间 f xf 2f xf 2x x 22 或 x ≤ , 2 22, 解集为 , 22,故答案为： 【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型19．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为 .分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为 称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意 ①当时因为的对 ②当时此时函数9,00,3解析： 【解析】 【分析】a 分类讨论 将函数转化为分段函数，对参数 【详解】.2f x 2xx a x a ，转化为分段函数：223x 2ax 2ax a , x a 2, x a af x.x2为更好说明问题，不妨设：a322h x 3x 2ax a ，其对称轴为 x ；22g x①当 x2ax a xa .，其对称轴为 a 0 时， a 3因为 h x 3,0 的对称轴 x显然不在，则 gx a3,0 只需 的对称轴位于该区间，即，a 0,3 0 时， 3x 2, x x , x 解得： ，满足题意 .a②当 0 0f x，此时2 3,0 函数在区间 是单调函数，不满足题意 .a 0 时， ③当 因为 g x 3,0的对称轴 xa 显然不在a 3hx 3,0只需 的对称轴位于该区间即可，即解得： a 9,0 ，满足题意 . a9,0 0,3 . 综上所述： 9,00,3 .故答案为： 【点睛】本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数a 进行分类讨论 .20．4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详 解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值 1 又4【点睛】此题考查二次因为当时所以当时且解得或（舍）故故答案为：解析： 4 【解析】【分析】 根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解 【详解】 .2二次函数 y x2x 2 的图像的对称轴为 x 1 ，x ,1 递减，在 x 1,函数在 递增，1时，函数 f x 取得最小值 5 ，所以当 x且当 1，y y 10 ，且 x m时，x 4 或 1 时， m1，又因为当 解得 m2 （舍），故m 4 .故答案为： 4【点睛】 此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值三、解答题.A B x |1 x 3 , A B x | x 3 ；（ 2）a 1,2 21． （ 1） 【解析】 【分析】 A 1,3 , B ,3 A B, A B 的值 . （2） （1）首先求得，由此求得 a 1a1,2 C R C a, a 1 a,a 11,3 ，解得 .，由于 ，故a 1 3【详解】 A x|1 x 3 , B x | x 3 解： ，（1） A Bx |1 x 3 , A B x | x 3 ；（2）∵ Cx | x a 或xa 1 x | a 1 ，∴ C R Cx a ，a a 1 1a 1,2 ∵ C R C A ，∴ ，∴ ．322． (1) x45，100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2) 见解析 . 【解析】 【分析】（1）由题意知求出 f （ x ）＞ 40 时 x 的取值范围即可；（2）分段求出 【详解】g （ x ）的解析式，判断 g （ x ）的单调性，再说明其实际意义． （1）由题意知，当30 x 100 时，1800 x900 f x2x90 40 ，x2即65x 0 ，x 20 或 x 45 ，解得 ∴ x45，100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；x 30 时，（2）当 x 10g x30 x% 40 1 x%40；当 30x 100 时，2180 xx1310g x2 x90 x% 40 1 x%x 58 ；50 x4010g x∴ ；2x13 x58 50 10 g x 单调递减； 0 x 32.5 时， 当 g x 32.5x 100 时， 当 单调递增；说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为 32.5% 时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 423． （ 1） f x 【解析】 【分析】x （ 2）见解析2m0,f ( x) 在上单调递减 ,可推出 0 ( m Z ),再结合 f ( x) 为偶(1) 由幂函数 2m 3m ,得出结论 函数,即可确定 ; F (x) ,再依次讨论参数 a,b 是否为 f (x) 代入 ,即可得到 0 的情况即可 . (2) 将 【详解】 m 2 2m 30,f x xm Z (1) ∵幂函数 在区间 上是单调递减函数 ,2mm∴ ∵ 0 ,解得 0 或 m xm2 m3 3 ,2 .2m Z ,∴ 3 m 1 m 1或m2 ∵函数 f 1, xm Z 为偶函数 ,m f∴ 4xx ;∴ b b x4(2) F x a f xa x2bx 3,ax4xf xx 0 时, F x 当 a b 既是奇函数又是偶函数 ; 0, b ≠0 时 , F x 当 a 是奇函数 ; 0 时, F x a 0, b 当 是偶函数 ; 0, b ≠0 时, F x 当 a.是非偶非偶函数 【点睛】本题主要考查了幂函数单调性与奇偶性的综合应用 ,学生需要熟练掌握好其定义并灵活应用.；（2） t 1 t 21, 24． （ 1） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性得到答案 .2a 2 ，再计算 （2）计算得到 0 ，t 2 log 2 x 0 ，得到答案 t 1x 1.【详解】 2（1）函数 f x 2x4 x a 的对称轴为 x 1 ，1,m m 1,f x 函数 在区间 上不具有单调性，故 m 1 ，即 .（2） f 1g 1 2 4 log a 1 0 ，故 ，即 a a 2 .1 2 22x当 x 0,1 时， 0 ； t g x log x 0 .t f x2 x 1 x 12 2 1t 1t 2故 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综 合应用 .25． （ 1） g( x) 为奇函数；（ 2） 20 【解析】【分析】 （1）先求得函数 g x 证得 g x 为奇函数 .g x g x 的定义域，然后由 （2）根据 gx 所求表达式的值 【详解】 g( i ) g(i ) 0 ，从而得到 f ( i ) f (i) 2 ，由此求得为奇函数，求得 . x 1 1 2 2x R x R x R .（1） ，定义域为，当 时， g( x)x11 x x1 12 22 1x2 ，所以 g( x) 为奇函数. 因为 g( x )g( x ) xx 11 2x21 g( 10i )g(i) 0 ，于是 f ( i)f (i ) 102 i 12 .（2）由（ 1）得 1010f ( i )f (i ) [ f ( i)f (i )]10 2 20所以i 1i 1i 1【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题 .( ,5) ;( 2) 0,1 .26． ( 1) 【解析】 【分析】 f (5) f (2)8 求得 a 的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案；（1）由y | f ( x) 1| 与 y t 的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数t 的取（2）作出函数 值范围 . 【详解】 f (5) f (2) 8( 1) ∵ 5 a3∴ a8 则 a 22ax2 , 则函数 即 f ( x) 是增函数 f ( x ) f (2 m 3) f ( m 2) , 得 2m3 m 2由 得 m5 ,即实数 m 的取值范围是 ( ,5) . xxy t y 21 图象与 图象有两个不同交点 ( 2) f (x )2 ,, 由题知 t (0,1)由图知 :【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
高一数学第一学期期末模拟试卷(二)(解析版)
2020—2021学年度高一数学第一学期期末模拟试卷（二）(解析版)(时间120分钟 满分150分)一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1. 设集合A ={1,2，4}，B ={x|x 2−4x +m =0}，若A ∩B ={1}，则B =( )A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}【解答】C ． 2.已知，则x 的值为( )A. 12B. 2C. 3D. 4【答案】B3.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0+14≤0，则¬p 为( ) A. ∃x 0∈R ，x 02−x 0+14>0 B. ∃x 0∈R ，x 02−x 0+14<0 C. ∀x ∈R ，x 2−x +14≤0D. ∀x ∈R ，x 2−x +14>0【答案】D4.不等式2−3xx−1>0的解集为( )A. (−∞,34)B. (−∞,23)C. (−∞,23)∪(1,+∞)D. (23,1)【答案】D5.已知函数f(3x +1)=x 2+3x +2，则f(10)=( )A. 30B. 6C. 20D. 9【答案】C6.设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减【答案】D7.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I(t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为( )(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】 【分析】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题． 根据所给材料的公式列出方程K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解出t 即可． 【解答】解：由已知可得K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解得e −0.23(t−53)=119， 两边取对数有−0.23(t −53)=−ln19≈−3， 解得t ≈66， 故选：C ．8.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（） A ．01a <≤或54a =B ．01a ≤≤或54a =C ．01a <<或54a =D ．514a <≤或0a =【答案】A二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有 选错的得0分.）9.已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有( )A. y =2x +x 2B. y =4x +1xC. y =3x −1xD. y =x −1+4x+1【答案】ACD10.下列命题正确的是( )A. 三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件B.，x 2−x +1≠0C. 有些平行四边形是菱形是全称量词命题D. 至少有一个整数，使得n 2+n 为奇数是真命题【答案】AB11.下列各组函数是同一函数的是( )A. f(x)=√−2x 3与g(x)=x √−2x ；B. f(x)=x 与g(x)=√x 2；C. f(x)=x 0与g(x)=1x 0；D. f(x)=x 2−2x −1与g(t)=t 2−2t −1【答案】CD12.图象，则sin (ωx +φ)=( )A. sin (x +π3)B. sin (π3−2x)C.cos (2x +π6)D. cos (5π6−2x)【答案】BC三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合A ={1,2}，B ={a,a 2+3}.若A ∩B ={1}，则实数a 的值为______．为1．14化简求值：(8116)−14+log 2(43×24)=______ ．【答案】32315.关于x 的方程(12)|x|=|log 12x|的实数根的个数是________．【答案】216.已知a >0，设函数f(x)=2009x+1+20072009x +1+sinx(x ∈[−a,a])的最大值为M ，最小值为N ，那么M +N = ______ ．【答案】4016 【解析】解：∵f(x)=2009x+1+20072009x +1+sinx(x ∈[−a,a])∴设g(x)=2009x+1+20072009x +1，则g(x)=2009x+1+2009−22009x +1=2009−22009x +1，∵2009x 是R 上的增函数，∴g(x)也是R 上的增函数． ∴函数g(x)在[−a,a]上的最大值是g(a)，最小值是g(−a)．∵函数y =sinx 是奇函数，它在[−a,a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．∴函数f(x)的最大值M 与最小值N 之和M +N =g(a)+g(−a) =2009−22009a +1+2009−22009−a +1…第四项分子分母同乘以2009a=4018−[22009a+1+2×2009a2009a+1]=4018−2=4016．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合A={x|x≤−3或x≥2}，B={x|1<x<5}，C={x|m−1≤x≤2m} (Ⅰ)求A∩B，(∁R A)∪B；(Ⅱ)若B∩C=C，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)A∩B={x|2≤x<5}，∁R A={x|−3<x<2}，∴(∁R A)∪B={x|−3<x<5}．(Ⅱ)∵B∩C=C，∴C⊆B，当C=∅时，m−1>2m，∴m<−1；当C≠∅⌀时，{m−1≤2mm−1>12m<5,解得2<m<52，综上，m的取值范围是m<−1或2<m<52．【解析】本题考查了集合的交集，并集，补集运算，考查了集合包含关系的应用，属于基础题．(Ⅰ)根据定义，进行集合的交、并、补集运算，可得答案；(Ⅱ)分集合C=∅⌀和C≠⌀∅两种情况讨论m满足的条件，综合即可得m的取值范围．18.已知命题p：“方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根”，命题p是真命题。
高一数学上册期末模拟检测试卷附答案
高一数学上册期末模拟检测试卷附答案一、选择题1．对于全集U ，命题甲“所有集合A 都满足U A A U ⋃=”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲､乙真假判断正确的是（ ） A ．甲､乙都是真命题 B ．甲､乙都不是真命题 C ．甲为真命题，乙为假命题 D ．甲为假命题，乙为真命题 2．函数()ln 4f x x x =+-的定义域为（ ）A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．[]0,4D ．(]0,43．下列说法中，错误的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12πC ．1rad 的角比1的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 4．已知点()3,4A ，向的OA 绕原点O 逆时针旋转3π后等于OB ，则点B 的坐标为（ ） A ．433343,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．433343,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．343433,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．343433,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭5．方程41log 2x x=-的解所在的区间是（ ）A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p (千帕)是气球体积V (立方米)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为( )A ．p ＝96VB ．p ＝96V- C ．p ＝69VD ．p ＝96V7．若R 上的奇函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，且(3)0f =，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(0,3)-∞-C ．(3,0)(3,)-⋃+∞D ．()3,3-8．已知函数221,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，若函数()y f x k =-有三个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．[1,2]D ．[1,2)二、填空题9．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的实数想，x ，y 满足1()()()2f x y f x f y +=++，且1()02f =，下列结论正确的是（ ） A ．1(0)2f =-B ．3(1)2f -=- C ．()f x 为R 上的减函数 D ．1()2+f x 为奇函数10．下列命题不正确的有（ ） A ．函数tan y x =在定义域内单调递增 B ．若a b >，则lg lg a b >成立C ．命题“0x ∃>，230ax ax +-≥”的否定是“0x ∀>，230ax ax +-<”D ．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()221f x x x =-++，则[)0,x ∈+∞时，函数解析式为()221f x x x =-- 11．设0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ） A ．0a b +>B ．2211ab a b< C ．11b a a b+<+ D ．22ln ln a b <12．已知函数()2cos 2,f x x x x =-∈R ，则（ ） A ．2()2f x -≤≤B ．()f x 在区间(0,)π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．,33x R f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、多选题13．已知集合{15}A x Nx =∈<<∣，则A 的非空真子集有________个． 14．方程2210x x +-=的解可视为函数2y x =+的图像与函数1y x=的图像交点的横坐标，若方程440x ax +-=的各个实根1x ，2x ，，(4)k x k 所对应的点4,i i x x ⎛⎫⎪⎝⎭(1,2,,)i k =均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是______.15．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．16．已知14a <<，函数()[][]129,1,,,4f x x x a x a x=+∃∈∈，使得()()1280f x f x ≥，则a 的取值范围________.四、解答题17．已知a R ∈，集合{}2230A x x x =--≤，{}220B x x ax =--=.（1）若a =1，求A B ，R C A ； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,3P -，当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. （1）求函数()f x 的单调减区间; （2）求函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域; （3）若方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围.19．已知函数()f x 的图象向左平移3个单位后，再关于y 轴对称可得到函数()22g x x x =-的图象. （1）求()f x 的表达式；（2）()g x 的图象与直线y b =有两个交点时，求b 的取值范围.20．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持4PAQ π∠=不变，设BAP α∠=.（1）将APQ 的面积表示成α的函数，并写出定义域； （2）求APQ 面积的最小值.21．已知函数()f x x x a =-为R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）若不等式()()2sin 2cos 0f x f t x +-≥对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的最小值．22．已知函数()13x mf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈.（1）当函数()f x 为偶函数时，求m 的值； （2）若0m =，函数()()31xg x f x k=+-，[]2,0x ∈-，是否存在实数k ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由； （3）设函数()2327mx h x x =+，()()(),39,3h x x g x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对每一个不小于3的实数1x ，都有小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、选择题1．C 【分析】根据集合的运算可知甲正确，由命题与其否定命题的关系可知乙的真假. 【详解】全集U ，命题甲“所有集合A 都满足U A A U ⋃=”，根据补集及并集的运算知，是真命题， 所以由乙为命题甲的否定知，乙是假命题. 故选：C 2．D 【分析】根据真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，即可求得答案. 【详解】由题意得040x x >⎧⎨-≥⎩，解得04x <≤，所以定义域为(]0,4.故选：D 3．D 【分析】根据角度和弧度的定义可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A 选项正确； 对于B 选项，1的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，B 选项正确；对于C 选项，11180π=<，C 选项正确；对于D 选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查角度制与弧度制相关概念的判断，属于基础题. 4．D 【分析】设OA 与x 轴正方向所成的角为α，设OB 与y 轴正方向所成的角为β，先求出5OA =，34cos ,sin 55αα==，再结合两角和的正弦公式和余弦公式求出cos β和sin β，进而可以求出结果. 【详解】设OA 与x 轴正方向所成的角为α，设OB 与y 轴正方向所成的角为β，则3πβα=+，由题意知 5OA =，34cos ,sin 55αα==，所以cos cos cos cos sin sin 333πππβααα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭sin sin sin cos cos sin 333πππβααα⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以点B 的横坐标为5cos 5β==；点B 的纵坐标为5sin 5β==；所以点B 的坐标为⎝⎭， 故选：D. 5．B 【分析】令41()log 2f x x x=+-，则利用函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在区间即可．【详解】解：令41()log 2f x x x=+-，则()f x 为连续函数，又因为44111()log 32log 10333f =+-=+>，44111()log 22log 0222f =+-=<，11()()032f f <， 所以方程的解所在区间为1(3，1)2， 故选：B ． 6．D 【解析】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设kp V=，由图象可知，点()1.5,64 在函数图象上，所以64 1.5k =，解得96k =，故96p V=，故选D.7．C 【分析】由奇偶性可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(3)3f f -=-0=，分类讨论,利用单调性可得到结论． 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，且f （3）0=， 则()f x 在(0,)+∞上单调递增，且()(3)3f f -=-0=， 因为()0f x >，所以()()03x f x f <⎧⇒⎨>-⎩30x -<<或()()03x f x f >⎧⇒⎨>⎩3x >． 不等式()0f x >的解集是(3,0)(3,)-⋃+∞ 故选：C ． 8．A 【分析】做出函数()f x 的图像，根据图像即可求解. 【详解】函数()y f x k =-有三个零点， 即()y f x =与y k =有三个交点，()f x 的图像如下：由图像可得21k -<≤- . 故选:A【点睛】本题考查函数的零点，利用数形结合转化为两个函数的交点，属于基础题.二、填空题9．ABD 【分析】利用赋值法确定ABC 选项的正确性，根据奇偶性的定义判断D 选项的正确性.依题意1()()()2f x y f x f y +=++，且1()02f =，令0x y ==，得()()()()110000022f f f f +=++⇒=-，故A 选项正确. 令11,22x y ==-，则1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即1111012222f f ⎛⎫⎛⎫-=+-+⇒-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()11131222222f f ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确.由于()()10f f -<，故C 选项错误. 令y x =-，得()()()12f x x f x f x -=+-+， 即()()1122f x f x -=+-+，即()()11022f x f x ⎡⎤⎡⎤=++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()12f x +为奇函数，故D 选项正确. 故选：ABD 10．ABD 【分析】由正切函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ；由特称命题的否定判断C ；由函数的奇偶性判断D. 【详解】对于选项A ：因为tan y x =在其定义域内不具有单调性，故A 不正确； 对于选项B ：若0a b >>，则lg lg a b >，故B 不正确；对于选项C ：命题“0x ∃>，230ax ax +-≥”的否定是“0x ∀>，230ax ax +-<”，故C 正确；对于选项D ：当0x >时，()()()222121f x f x x x x x =--=---+=+-，又()00f =，所以当[)0,x ∈+∞时，()20,021,0x f x x x x =⎧=⎨+->⎩. 故D 不正确. 故选：ABD.【分析】取特殊值判断A ，由不等式性质判断B ，由作差法判断C ，根据对数函数单调性判断D. 【详解】对于A ，1,2a b =-=-，显然不成立，故A 错；对于B ，两边同乘以22a b 可得a b <，与题意矛盾，故B 错误；对于C ， 因为11111()+()(1)0a b a b a b b a b a ab +--=--=-+>，故11b a a b+<+，故C 正确；对于D ，因为0b a <<，所以22a b <，由对数函数ln y x =单调递增知22ln ln a b <，故D 正确. 故选：CD 12．ACD 【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可． 【详解】已知函数()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-，x ∈R ，A 、2()2f x -≤≤正确，B 、当26x k ππ-=，k Z ∈，即212k x ππ=+，k Z ∈，()f x 在区间(0,)π上只有2个零点7,1212x ππ=，则()f x 在区间(0,)π上只有1个零点错误，C 、()f x 的最小正周期为π，正确D 、当3x π=时，函数()2sin(2)6f x x π=-，x ∈R ，2sin 22336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3x π=为()f x 图象的一条对称轴，正确．故选：ACD ．三、多选题13．6 【分析】由题意可得集合{}234A =，，，结合求子集个数的计算公式即可. 【详解】 由题意知，{}15A x N x =∈<<，所以{}234A =，，，所以集合A 的非空真子集的个数为：3226-=. 故答案为：614．()(),66,-∞-+∞【分析】原方程等价于34x a x +=,分别作出3y x a =+和4y x=的图象,分0a >和0a <讨论,利用数形结合即可得到结论. 【详解】因为方程440x ax +-=等价于34x a x+=, 原方程的实根是3y x a =+ 与曲线4y x=的交点的横坐标, 曲线3y x a =+是由曲线3y x =纵向平移||a 个单位而得到,若交点4,i i x x ⎛⎫⎪⎝⎭(1,2,,)i k =均在直线y x =的同侧,因y x =与4y x=的交点为(2,2),(2,2)--,所以结合图象可得:3022a x a x >⎧⎪+>-⎨⎪≥-⎩或3022a x a x <⎧⎪+<⎨⎪≤⎩恒成立,所以32a x >--在[2,)-+∞上恒成立,或32a x <-+在(,2]-∞上恒成立,所以3max (2)a x >--=3(2)26---=,或33min (2)226a x <-+=-+=-,即实数a 的取值范围是()(),66,-∞-+∞.故答案为: ()(),66,-∞-+∞.【点睛】本题考查了数形结合思想,等价转化思想,函数与方程,幂函数的图象,属于中档题. 15．=4ω. 【分析】由所给函数图像 过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得. 【详解】 由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.16．(1,4【分析】由已知得出函数的单调性，再得出()()4f a f =时，a 的值，从而分91,4a <≤9<<44a 两种情况，分别由()()12max max 80f x f x ≥解得可得a 的取值范围. 【详解】 因为()9f x x x =+，所以函数()9f x x x=+在(]0，3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增， 当()()99444f a a f a =+==+时，解得94a =（4a =舍去），（1）当()()()()12max max 991,110804a f x f x f f a a a ⎛⎫<≤==+≥ ⎪⎝⎭，解得(1,4a ∈； （2）当()()()()12max max 99<<4,141048044a f x f x f f ⎛⎫==⨯+≥ ⎪⎝⎭，不符题意.故答案为：(1,4. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <.四、解答题17．（1）{}12A B =-，，()()13R C A =-∞-+∞，，；（2）713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 【分析】（1）当1a =，先求出集合B ，再利用集合的交集和补集计算即可；（2）先利用已知条件得到B A ⊆，由一元二次方程的根的分布建立不等式组，即可得出结果. 【详解】（1）由题意知：{}[]223013A x x x =--≤=-，，当a =1时，{}{}22012B x x x =--==-，， 所以{}12A B =-，，()()13R C A =-∞-+∞，，； （2）A B A B A ⋃=∴⊆，，因为()2+8>0a =-∆恒成立，所以B ≠∅，所以要使B A ⊆，则需()()2213211203320a a a ⎧-<<⎪⎪⎪--⨯--≥⎨⎪--≥⎪⎪⎩，解得713a ≤≤，所以实数a 的取值范围为：713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.18．（1）()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]0,2；（3）112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0- 【分析】（1）利用三角函数的定义求出ϕ的值，由题意知223T ππω==可得ω的值，进而可得()f x 的解析式，利用整体代入法以及正弦函数的单调性即可求解； （2）由x 的范围求出33x π-的范围，利用正弦函数的性质即可求解；（3）设()(]0,2f x t =∈，将问题转化为y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，数形结合可得112m -=-或010m ≤-<，即可求解. 【详解】（1）因为角ϕ的终边经过点(1,P，所以tan ϕ= 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，因为当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 所以223T ππω==，可得：3ω=，所以()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈解得：()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调减区间为()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （2）当4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，033x ππ<-<， 所以0sin 313x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以()02sin 323f x x π⎛⎫<=-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域为(]0,2， （3）设()(]0,2f x t =∈，因为方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 则230t t m -+=在(]0,2t ∈内有一根或两个相等的实根，因为23m t t -=-，所以y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，作出y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象，由图知：当16t =时211136612y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；当0t =时，0y = ；当2t =时，232210y =⨯-=， 所以112m -=-或010m ≤-≤直线y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点， 当10m -=时，2t =，此时方程()2sin 323f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭只有一解，不符合题意，所以112m -=-或010m ≤-<，即方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 所以：112m =或100m -<≤ 所以实数m 的取值范围为：112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0-19．（1）()243f x x x =-+；（2）1b =-或0b >.【分析】（1）()g x 关于y 轴对称的函数()22F x x x =+，再根据函数的平移法则得到答案.（2）将()g x 化简为分段函数，画出函数图象，根据图象得到参数范围. 【详解】（1）()g x 关于y 轴对称的函数()()2222F x x x x x =--=+，()F x 的图象向右平移3个单位可得到函数()f x 的图象，()()()2232343f x x x x x ∴=-+-=-+；（2）()2222,022,0x x x g x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，作出()g x 的图象可知：()g x 的图象与直线y b =有两个交点时，b 的范围：1b =-或0b >.【点睛】本题考查了函数的平移和对称，利用分段函数图象解决交点个数问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图象是解题的关键. 20．（1）11224APQSπα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；定义域为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭；（221 【分析】（1）在Rt ABP 与Rt ADQ 中，利用正方形的边长，求出,AP AQ，根据三角形的面积公式即可求解. （2）由（1）利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由BAP α∠=，4PAQ π∠=，则244ADQ πππαα∠=--=-，正方形的边长为1，在Rt ABP 中，1cos AP α=， 在Rt ADQ 中，1cos 4AQ πα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1111sin 242cos cos 4APQSAP AQ ππαα=⋅⋅=⋅⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭()211112cos cos sin 2cos cos sin αααααα=⋅=⋅++12121cos 2sin 2124ααπα=⋅=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由图可知04πα<<，所以函数的定义域为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由04πα<<，则32444πππα<+<，1124APQS πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8πα=时，APQ 面积的最小，即APQ1=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 21．（1）0a =；（2）14．【分析】（1）由奇函数得到()x x a x x a -⋅--=-⋅-，再由多项式相等可得a ；（2）由()f x 是奇函数和已知得到()()2sin 2cos f x f x t ≥-，再利用()f x 是R 上的单调增函数得到2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．利用参数分离得22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，再求22cos sin x x -，π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最大值可得答案．【详解】（1）因为函数()f x x x a =-为R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-对任意x ∈R 成立， 即()x x a x x a -⋅--=-⋅-对任意x ∈R 成立， 所以--=-x a x a ，所以0a =．（2）由()()2sin 2cos 0f x f t x +-≥得()()2sin 2cos f x f t x ≥--，因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()()2sin 2cos f x f x t ≥-．由（1）得，()22,0,,0,x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩是R 上的单调增函数，故2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．所以22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．因为()2222cos sin cos 2cos 1cos 12x x x x x -=+-=+-， 令cos m x =，由π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得1cos 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即11,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．所以()212y m =+-的最大值为14，故14t ≥，即t 的最小值为14．【点睛】本题考查了函数的性质，不等式恒成立的问题，第二问的关键点是根据函数的为单调递增函数，得到2sin 2cos x x t ≥-，再利用参数分离后求22cos sin x x -π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.22．（1）0m =；（2）83k =；（3）06m <<【分析】（1）由()()f x f x =-可得m 的值； （2）当[]2,0x ∈-时，()()21x xg x k =+⋅-，令1,13x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2221124k kg t t kt t ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，分类讨论求出()g t 的最小值，列方程即可求解；（3）将题目的条件转化为：对于任意一条直线y k =，如果y k =与()g x 图象中满足3x ≥的部分图象有交点，则y k =必然与()g x 的图象中满足3x <的部分图象也有交点，分四种情况讨论即可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）当函数()f x 为偶函数时，()()f x f x =-， 所以x m x m -=--，解得：0m =， 经检验，0m =符合，故0m =； （2）当[]2,0x ∈-时，()()21113xxx xg x k k ⎛⎫=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭，令1,13xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2221124k k g t t kt t ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，当123k -<即23k >-时，()g t 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以2111033k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：83k =，符合；当1132k ≤-≤即223k -≤≤-时，2104k --=无解； 当12k ->即2k <-时，()g t 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以110k +-=，解得：0k =，应舍去；综上，83k =；（3）()193m h x x x=⋅+，将题目的条件转化为：对于任意一条直线y k =，如果y k =与()g x 图象中满足3x ≥的部分图象有交点，则y k =必然与()g x 的图象中满足3x <的部分图象也有交点. 当3x ≥时，9y x x=+是单调递增的，所以当0m ≠时，()h x 是单调函数， 分四种情况讨论：①当0m <时，()g x 在[)3,+∞上符号是负，而在(),3-∞上符号是正的，所以不满足题目的条件；②当0m =时，当3x ≥时，()0g x =，而当3x <时，()1303xg x ⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，所以也不符合条件；③当03m <<时，要满足条件只需()()93f m h >即162m <，所以03m <<；④当3m ≥时，要满足条件只需()()933f h >即732mm ->，即3log 702mm +-<， 令()3log 72mt m m =+-， 因为()t m 在[)3,+∞上单调递增，且()60t =，所以解()()06t m t <=得6m <， 所以36m ≤<，综上，实数m 的取值范围为06m <<. 【点睛】关键点睛：本题的关键是能够将题目的条件转化为：对于任意一条直线y k =，如果y k =与()g x 图象中满足3x ≥的部分图象有交点，则y k =必然与()g x 的图象中满足3x <的部分图象也有交点，结合图象就能求解出实数m 的取值范围；当然再分析当3m ≥情况时，需要构造函数()3log 72mt m m =+-，利用单调性求解不等式.。
高一数学上学期期末模拟综合检测试卷含答案
高一数学上学期期末模拟综合检测试卷含答案一、选择题1．已知全集{}12A x x =≤≤，集合{}1B x x =≤，则()A B =R（ ）A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤2．函数()()3log 3f x x =- ） A ．(]3,5B ．(),5-∞C ．()3,5D ．()3,+∞3．如果已知sin cos 0αα⋅<，sin tan 0αα⋅<，那么角2α的终边在（ ） A ．第一或第二象限 B ．第一或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第四或第三象限4．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =-上，则sin 2α的值为（ ）．A ．45-B ．45±C ．35D ． 5．函数()e 6xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g7．定义在[]22-，上的函数()()22?lg 1f x x x =++，则满足()()21f x f x <-的x 的取值范围是（ ） A ．12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．113,1,232⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．()1,1,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭8．函数()2cos 1xx ee x y x--=-（e 为自然对数的底数）的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b ∈R 且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +> 且0ab <B ．0a b +< 且0ab <C ．0a b +< 且0ab >D ．以上都可能10．下列结论不正确的是（ ） A ．“x ∈N ”是“x Q ∈”的充分不必要条件 B ． “*x N ∃∈，230x -<”是假命题C ．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则“222+=a b c ”是“ABC 是直角三角形”的充要条件D ．命题“0x ∀>，230x ->”的否定是“0x ∃>，230x -≤” 11．若0a b >>，则（ ） A ．a c b c -<-B ．22a b >C ．ac bc >D ．11a b<12．已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，则（ ）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞三、多选题13．已知命题“x R ∀∈，240x x a -+>”的否定是______.14．已知实数x y ，，正实数a b ，满足2x y a b ==，且213x y+=-，则2a b +的最小值为__________．15．已知0a >，且1a ≠．若函数223()xx f x a -+=有最大值，则关于x 的不等式()2log 570a x x -+>的解集为_________．16．已知()()11,024,24x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-<<⎩，若()y f x =与直线y m =有四个不同的交点，其横坐标从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则()2221234x x x x ++-的取值范围为_____________. 四、解答题17．已知{}2230A x x x =--≤，()(){}40B x x k x k =--+>．（1）若[]0,3AB =R，求实数k 的值；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数k 的取值范围． 18．已知函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<的图像的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ的值；（2）若函数()2()y f x a a R =+∈在113,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为1，求a 的值. 19．已知函数()21x b f x ax +=+是定义在[1-，1]上的奇函数，且()112f =． （1）求a ，b 的值；（2）判断()f x 在[1-，1]上的单调性，并用定义证明；（3）设()52g x kx k =+-，若对任意的[]111x ∈-，，总存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围．20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x xf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.21．如图，现有一块半径为2m ，圆心角为3π的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB 上任取一点P (异于A ､B )，过点P 分别作PC ､PD 平行于OB ､OA ，交OA ､OB 分别于C ､D 两点，记AOP α∠=.（1）当点P 位于何处时，使得平行四边形OCPD 的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数()()24x xa g x f x a ⋅+=⋅（a为常数，且0a ≠，a R ∈）.请在下面四个函数：①()12g x x =，②()22log g x x =，③()23g x x =，④()48xg x =，中选择一个函数作为()g x ，使得()f x 具有奇偶性.（1）请写出()g x 表达式，并求a 的值；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[]1,2x ∈，都有()()2f x mf x ≥成立，求实数m 的取值范围；（3）当()f x 为偶函数时，请讨论关于x 的方程()()2f x mf x =解的个数.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】先求集合B 的补集B R，再进行交集运算即可.【详解】集合{}1B x x =≤，则{}1R B x x =>， 又{}12A x x =≤≤，故(){}12R A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 2．A 【分析】根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数()()3log 3f x x =-3050x x ->⎧⎨-≥⎩，得35x <≤，所以函数()()1log 3f x x =-(]3,5， 故选：A. 3．B 【分析】sin cos 0αα⋅<，sin tan 0αα⋅<，则sin 0,cos 0,tan 0ααα><<，可得α在第二象限，进而得出结论． 【详解】∵sin cos 0,sin tan 0αααα⋅<⋅<， ∴sin 0,cos 0,tan 0ααα><<， ∴α在第二象限， ∴2k 2,2k k ππαππ+<<+∈Z ．∴422k k παπππ+<<+，当2,k n n =∈Z 时，2α在第一象限，当21,k n n Z =-∈时，2α在第三象限 那么角2α的终边在第一或第三象限． 故选：B ． 4．A 【分析】根据角的终边所在直线斜率得tan α，然后应用二倍角公式并转化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，化为tan α，代入计算． 【详解】 由题意tan 2α，22222sin cos 2tan 2(2)4sin 2sin cos tan 1(2)15ααααααα⨯-====-++-+．故选：A ． 5．B 【分析】将区间端点代入函数，只要保证函数值异号，即可得答案； 【详解】易知()f x 是R 上的增函数，且()1e 50f =-<，()22e 40f =->，所以()f x 的零点所在的区间为()1,2． 故选：B. 6．A 【分析】设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .根据天平平衡，列出等式，可得12,m m 表达式，利用作差法比较12m m +与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >）， 先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m . 由杠杆的平衡原理：15bm a =⨯，25am b =⨯．解得15a m b =，25bm a=， 则1255b a m m a b+=+. 下面比较12m m +与10的大小：（作差比较法）因为()()2125551010b a b a m m a b ab-+-=+-=， 因为a b ，所以()250b a ab->，即1210m m +>. 所以这样可知称出的黄金质量大于10g . 故选：A【分析】根据偶函数的性质和函数在[0,2]上的单调性，将要解不等式等价转化为不等式求解即得. 【详解】()()22lg 1f x x x =++为[]2,2-上的偶函数，且在[]0,2上为单调递增，∴()()21f x f x <-等价于212,x x <-≤即()()2112122x x x ⎧<-⋯⎪⎨-≤⋯⎪⎩，由（1）得()2221x x <-,即23410x x -+>,解得13x <或1x >,由（2）得2212x -≤-≤，解得1322x -≤≤,∴1123x -≤<或312x <≤,即不等式的解集为：113,1,232⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,故选：C. 8．A 【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，即可排除BD ，最后利用特殊值，排除C ，即可判断； 【详解】 解：因为()()2cos 1xx e e x y f x x --==-，令210x -≠，解得1x ≠±，故函数的定义域为{}|1x x ≠±，()()()()()()22cos cos 11xx xx e e x e e x f x f x x x ------==-=----，故函数()()2cos 1xx e e x f x x--=-为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除BD ；又11211222211c 3os4cos 2212112e e e e f --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1cos 02>，21211e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11220e e-->，即102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故排除C 故选：A二、填空题【分析】先求出幂函数的解析式，3()f x x =，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到0a b +<. 【详解】因为223()(1)m m f x m m x +-=--为幂函数， 所以211m m --=，解得：m =2或m =-1. 因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数， 所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数. 因为,a b ∈R 且()()0f a f b +<， 所以()()f a f b <-. 因为()y f x =为增函数， 所以a b <-，所以0a b +<. 故BC 正确. 故选：BC 10．BC 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断AC ；利用特例法判断B ；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D. 【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“x ∈N ”是“x Q ∈”的充分不必要条件，A 正确；2130-<，所以“*x N ∃∈，230x -<”是真命题，B 错误；由222+=a b c ，可得90C =︒，ABC 是直角三角形，但是ABC 是直角三角形不一定意味着90C =︒，所以“222+=a b c ”是“ABC 是直角三角形”的充分不必要条件，C 错误； 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“0x ∀>，230x ->”的否定是“0x ∃>，230x -≤”，D 正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.【分析】A. 取2,1,1a b c ===判断；B. 利用不等式的乘方性质判断；C. 取0c 判断；D.利用 不等式的取倒数性质判断. 【详解】A. 当2,1,1a b c ===时，a c b c ->-，故错误；B. 由不等式的乘方性质得22a b >，故正确；C. 当0c 时，ac bc =，故错误；D. 由不等式的取倒数性质得11a b<，故正确； 故选：BD 12．AC 【分析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可； 【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误； 令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x-∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确； 令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查抽象函数的性质的应用，解答的关键是根据题干所给信息及需证明的性质合理利用特殊值法；三、多选题13．x R ∃∈，240x x a -+≤由全称命题的否定即可得解. 【详解】因为命题“x R ∀∈，240x x a -+>”为全称命题， 所以该命题的否定为“x R ∃∈，240x x a -+≤”. 故答案为：x R ∃∈，240x x a -+≤.14 【分析】由条件化简可得218a b =，利用均值不等式求最小值即可. 【详解】正实数a b ，满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==，所以2222212log log log 3a b a b x y +=+==-，所以218a b =，由均值不等式知，22a b +≥=，当且仅当2a b =，即a =，b =.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．()2,3【分析】由复合函数单调性可确定223u x x =-+在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；由函数有最大值可知()uf u a =单调递减，得到01a <<；根据对数函数单调性可将不等式化为20571x x <-+<，解不等式求得结果.【详解】223()xx f x a -+=，()f x ∴定义域为R223u x x =-+在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增()f x 有最大值，()u f u a ∴=需在R 上单调递减，01a ∴<<由()2log 570a x x -+>，得20571x x <-+<，解得：23x <<∴不等式的解集为()2,3故答案为：()2,3 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解函数不等式，涉及到复合函数单调性的求解、根据函数有最值求解参数范围等知识，解题的关键是通过复合函数的单调性确定函数有最值时，对数的底数所处的范围，再利用对数函数的单调性解不等，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.16．56(2,)9【分析】作分段函数的图象，根据图象可得1x ，2x ，3x ，4x 之间的关系，利用y m =，将()2221234x x x x ++-转化为关于m 的函数，求其值域即可.【详解】()()11,024,24x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-<<⎩，图象如图，()112|1|22f =-=，且()y f x =与直线y m =有四个不同的交点， 所以102m <<， ()y f x =图象关于直线2x =对称14234x x x x ∴+=+=，且121111m x x -=-=， 即1211,11x x m m==+-，12122x x x x +=⋅ ()222221212121222222()3()2311x x x x x x x x m m ⎛⎫∴++-=+-+=- ⎪--⎝⎭， 令221t m =-，由102m <<可得823t <<，()21212222212128)23(2)2()3(3x x x x x x x x t t t =+-∴++-+=-<<，2823(2)3y t t t =-<<的对称轴为3t 4=，223y t t ∴=-在8(2,)3t ∈上单调递增，5629y ∴<<， 故()2221234x x x x ++-的取值范围为56(2,)9故答案为：56(2,)9【点睛】关键点点睛：本题关键在于作出分段函数的图象，由图象得出102m <<，并能够看出1x ，2x ，3x ，4x 之间的关系，是解题的关键所在，最终利用关系转化为关于m 的函数求解，属于难题.四、解答题17．（1）4k =；（2）7k >或1k <-． 【分析】（1）化简集合,A B ,求出B R,解不等式40,3,k k -=⎧⎨≥⎩得解； （2）由题得A B ⊆，即43k ->或1k <-，解不等式即得解. 【详解】解：因为{}2230A x x x =--≤，所以{}13A x x =-≤≤，因为()(){}40B x x k x k =--+>，所以{B x x k =>或4}x k <-． （1）因为{}4R B x k x k =-≤≤， 若[]0,3RAB =，则40,3,k k -=⎧⎨≥⎩即4,3,k k =⎧⎨≥⎩所以4k =．（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，p 是q 的充分条件，即A B ⊆，所以43k ->或1k <-， 即7k >或1k <-． 18．（1）34πϕ=-，（2）-1 【分析】（1）通过函数的对称轴，结合0πϕ-<<，求出ϕ的值；（2）利用（1）以及函数()2()y f x a a R =+∈，求出含a 的函数表达式，利用最大值和最小值的和，求出a 的值即可 【详解】解：（1）因为函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<的图像的一条对称轴是直线8x π=，所以2()82k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()4k k ϕπ=π+∈Z ，因为0πϕ-<<， 所以34πϕ=-， （2）由（1），得3()sin(2)4f x x π=-， 所以32sin(2)4y x a π=-+， 当113,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，332,464x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以当3242x ππ-=时，max 2y a =+，当3246x ππ-=时，min 1y a =+， 所以231a +=，解得1a =-19．（1）1,0a b ==；（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明详见解析；（3）92k ≤. 【分析】（1）利用()()100,12f f ==求得,a b 的值. （2）利用定义法判断出()f x 在区间[]1,1-上的单调性.（3）将问题转化为()()max max f x g x ≤，对k 进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得k 的取值范围.【详解】（1）依题意函数()21x bf x ax +=+是定义在[1-，1]上的奇函数， 所以()00f b ==， ()111112f a a ==⇒=+， 所以()21xf x x =+，经检验，该函数为奇函数. （2）()f x 在[]1,1-上递增，证明如下： 任取1211x x ，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()()()()()12212112212222121211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++， 其中122110,0x x x x -<->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<， 故()f x 在[]1,1-上递增.（3）由于对任意的[]111x ∈-，，总存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x ≤成立，所以()()max max f x g x ≤. ()()max 112f x f ==. 当0k ≥时，()52g x kx k =+-在[]0,1上递增，()()max 15g x g k ==-， 所以195022k k ≤-⇒≤≤. 当0k <时，()52g x kx k =+-在[]0,1上递减，()()max 052g x g k ==-， 所以15202k k ≤-⇒<. 综上所述，92k ≤. 20．（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域；（2）先求出函数()g x 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；（3）等价于2114122x x x xt ≥=++，令122xx y =+，利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>（2）()()()11g x f x f x =+--∴1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<< ()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-∴420x xt t ⋅≥->∴()412x x t +≥∴2114122x x x xt ≥=++令122xxy =+，[]1,2x ∈时该函数为增函数， ∴min15222y =+=∴12552t ≥=又∵20x t ->∴()min22xt <=.综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（1）点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD；（2【分析】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，从而可得PH =2sin α，OH =2cos α，PC =CH =，得出2cos OC OH CH α=-= （1）平行四边形OCPD 的周长为f (α) 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. （2）()26S OC PH παα⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭. 【详解】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，因为OP =2，∠AOP =α，则PH =2sin α，OH =2cos α，2sin 43sin sin3PC ααπ=，123sin 2CH PC α== 所以23sin 2cos OC OH CH αα=-= （1）设平行四边形OCPD 的周长为f (α)， 则43sin 83sin 43sin ()2()4cos 4cos f OC PC αααααα=+=833πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为点P 异于A ､B 两点，所以03πα<<，所以当6πα=，即点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 83. （2）设平行四边形OCPD 的面积为S (α)，则23sin ()2cos 2sin S OC PH αααα⎛=⋅=⋅ ⎝⎭243sin 4sin cos ααα=23(1cos 2)2sin 2αα-=432326πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由（1）得，03πα<<，所以52666πππα<+<， 所以当262ππα+=，即6πα=，也就是点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 2322．（1）答案见解析；（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）答案见解析.【分析】（1）根据所选条件，结合奇函数和偶函数的定义可得出a 的等式或表达式，可求得对应的实数a 的值；（2）由已知条件可得出()22x xf x -=-，由参变量分离法得出22x x m -≤+，求出函数22x x y -=+在区间[]1,2上的最小值，由此可求得实数m 的取值范围；（3）设222x x s -=+≥，由参变量分离法得出()2m s h s s=-=，分析函数()h s 在区间[)2,+∞上的单调性，由此可得出当m 在不同取值下方程()()2f x mf x =的解的个数.【详解】（1）若选①，()2g x x =，则()224xx ax f x a +=⋅，该函数的定义域为R若函数()f x 为奇函数，则()100f a=≠，不合乎题意； 若函数()f x 为偶函数，则()()422222244x x x x x xax ax ax f x a a a-----+-⋅-===⋅， 由()()f x f x -=，可得224224x x x x ax ax a a -⋅+=⋅，化简可得()822016x xxa x x x -=≠+⋅，则a 不为常数，即函数()224x xax f x a +=⋅不可能为偶函数，不合乎题意；若选②，()2log g x x =的定义域为()0,∞+，所以，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 此时，函数()f x 为非奇非偶函数，不合乎题意；若选③，()2g x x =，则()224xxax f x a +=⋅. 若函数()f x 为奇函数，则()100f a=≠，不合乎题意； 若函数()f x 为偶函数，则()()222422244x x x x x x ax ax ax f x a a a---+++⋅-===⋅， 由()()f x f x -=，可得222424x x xxax ax a a +⋅+=⋅， 整理可得()()()()()222221428201611414x x x x xx x x a x x x x --==-=-≠--+， 则a 不为常数，不合乎题意.选④()8xg x =，()821224x x xx x a f x a a-⋅+==+⋅⋅，()122x x f x a --=+⋅， 当()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，即()()()11220x xf x f x a -⎛⎫+-=++= ⎪⎝⎭，可得1a =-；当()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，则()()()11220x xf x f x a -⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，可得1a =；（2）当()f x 为奇函数时，()22x x f x -=-，[]1,2x ∈，则[]22,4x∈，由于函数12x y =在[]1,2上为增函数，函数22xy -=在[]1,2为减函数，所以，函数()22x xf x -=-在[]1,2上为增函数，则()315,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若对于任意的[]1,2x ∈，都有()()2f x mf x ≥成立 ()(){}22minminmin 2222222x x x x x x f x m f x ---⎧⎫⎧⎫-⎪⎪⇔≤==+⎨⎬⎨⎬-⎪⎪⎩⎭⎩⎭，设[]22,4xt =∈，()1t t tϕ=+，任取1t 、[]22,4t ∈，且12t t <，即1224t t ≤<≤，则()()()()21121212121212121111t t t t t t t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212121t t t t t t --=，1224t t ≤<≤，则120t t -<，124t t >，可得()()120t t ϕϕ-<，即()()12t t ϕϕ<，所以，函数()t ϕ在[]2,4上为增函数，所以，()()min 522t ϕϕ==，52m ∴≤. 所以m 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）当()f x 为偶函数时，()22x xf x -=+，()()222222222x x x x f x --=+=+-，令222x x s -=≥=+，当且仅当0x =时，等号成立，则()222s ms s -=≥，()2m s h s s=-=， 又()2h s s s=-在[)2,+∞单调递增，所以()1h s ≥.①当1m <，此时方程无解； ②当m 1≥，存在唯一解[)02,s ∈+∞，又因为()22x xf x -=+为偶函数，不妨设120x x ≤<，()()()()()2111212121212212112222222222222x x x x x x x x x x x x x x f x f x --+-⎛⎫-=+-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭()()12121222212x x x x x x ++--=，因为120x x ≤<，则12220x x -<，120x x +>，所以，1221x x +>，()()12f x f x ∴<， 所以()f x 在[)0,+∞单调递增，在(],0-∞单调递减， （i ）当1m =时，02s =，此时方程有唯一解0x =； （ii ）当1m 时，02s >，此时方程有两个解；下证必要性：令()022x xh x s -=+-，该函数的定义域为R ，()()022x x h x s h x --=+-=，则()h x 为偶函数，()h x 在[)0,+∞单调递增， ()0020h s =-<，()202020log log log 200log 2220s s s h s s --=+-=>，所以()h x 在()200,log s 有一个零点，又因为函数()h x 是偶函数，则函数()h x 在()20log ,0s -也有一个零点， 所以当1m ，02s >时原方程一共有两个解. 【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.。
【必考题】高一数学上期末模拟试题(附答案)
【必考题】高一数学上期末模拟试题(附答案)一、选择题1．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设23a log =，3b =23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<3．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－154．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－16．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}9．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.17．求值：2312100log lg += ________ 18．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．19．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．20．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.三、解答题21．已知函数2()ln(3)f x x ax =-+.(1)若()f x 在(,1]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当3a =时，解不等式()x f e x ≥.22．已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+--- 的零点是-3和2 (1)求函数()f x 的解析式.(2)当函数()f x 的定义域是0,1时求函数()f x 的值域. 23．已知函数()2()log 21xf x kx =+-为偶函数. （1）求实数k 的值； （2）若不等式1()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数1()2()24f x x x h x m +=+⋅，[1,2]x ∈，是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为2，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由.24．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 25．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213UB x x p x p 或=-+．（1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围． 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．A解析：A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】因为23a log =,b =23c e =令()2f x log x =,()g x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <，解得15a =-，故选：A.【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.6．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->，即()()230f f <所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.9．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<，由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以3(,1)c ∈， 所以a c b <<，故选B.11．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇 解析：[2015,2019]【解析】 【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论．【详解】∵函数()12b f x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b b x a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤，由b D ∈，得20b -≤≤．∴22015201532019a b ≤-+≤．故答案为：[2015,2019]．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．15．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭， 所以()F x 的值域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞.【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.16．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题 解析：0a ≤【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x ≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：0a ≤【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.17．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有： 解析：32- 【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 18．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题 解析：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足 max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21x g x a x x =+++， 设21x y x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，当2x >-时，ln(2)x R +∈，若0,2,()a x g x >→-→-∞，若0,,()a x g x <→+∞→-∞所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-， 实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.19．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可．【详解】偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减， ∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩， 即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．20．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32【解析】【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解.【详解】()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题. 三、解答题21．(1)24a ≤<；(2){0x x ≤或}ln3x ≥【解析】【分析】（1）根据复合函数单调性的性质,结合二次函数性质即可求得a 的取值范围.（2）将3a =代入函数解析式,结合不等式可变形为关于x e 的不等式,解不等式即可求解.【详解】（1）()f x 在(,1]-∞上单调递减,根据复合函数单调性的性质可知23y x ax =-+需单调递减则12130a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩解得24a ≤<.（2）将3a =代入函数解析式可得2()ln(33)f x x x =-+则由()xf e x ≥,代入可得 ()2ln 33x x e e x -+≥同取对数可得233x x x e e e -+≥即2(e )430x x e -+≥,所以()(e 1)30x x e --≥即e 1x ≤或3x e ≥ 0x ∴≤或ln x ≥3, 所以原不等式的解集为{}0ln3x x x ≤≥或【点睛】本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题.22．（1）2()3318f x x x =--+（2）[12,18]【解析】【分析】【详解】（1）832,323,5b a ab a b a a----+=--⨯=∴=-= ,()23318f x x x =--+ （2）因为()23318f x x x =--+开口向下，对称轴12x =- ,在[]0,1单调递减， 所以()()max min 0,18,1,12x f x x f x ====当当所以函数()f x 的值域为[12,18]【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．23．（1）12k =（2）0a ≤（3）存在，316m =- 【解析】【分析】（1）利用公式()()0f x f x --=，求实数k 的值；（2）由题意得()2log 21x a <+恒成立，求a 的取值范围；（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，通过换元得21y mt t =++，[2,4]t ∈，讨论m 求函数的最小值，求实数m 的值.【详解】（1）f x （）是偶函数()()0f x f x ∴--=，()()22log 21log 210x x kx kx -∴++-++=，22112log (21)0210212x x kx x k x x R k k -+∴==∴-=∈∴-=∴=+. （2）由题意得()2log 21x a <+恒成立， ()2211log 2100x x a +>∴+>∴≤.（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，令2x t =，则21y mt t =++，[2,4]t ∈，1°当0m =时，1y t =+的最小值为3，不合题意，舍去；2°当0m >时，21y mt t =++开口向上，对称轴为102t m=-<，21y mt t ∴=++在[2,4]上单调递增min 432y m ∴=+=，104m ∴=-<，故舍去； 3°当0m <时，21y mt t =++开口向下，对称轴为102t m =->， 当132m -≤即16m ≤-时，y 在4t =时取得最小值， min 3165216y m m ∴=+=∴=-，符合题意； 当132m->即106m -<<时，y 在2t =时取得最小值， min 14324y m m ∴=+=∴=-，不合题意，故舍去； 综上可知，316m =-. 【点睛】本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论m ，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分0m =，0m >，和0m <三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值. 24．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<， 所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．25．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342p p-或． 【解析】【分析】 由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+, （1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围. 【详解】 因为{}213U B x x p x p =-+，或，所以(){}213U U B B x p x p ==-≤≤+, （1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩； 即4p <-或342p <≤. 综上，实数p 的取值范围342p p-或． 【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．(1)(,5)-∞;(2)()0,1.【解析】【分析】（1）由(5)8(2)f f =求得a 的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案； （2）作出函数|()1|y f x =-与y t =的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数t 的取值范围.【详解】(1)∵(5)8(2)f f = ∴5328a a a==则2a = 即()2x f x =,则函数()f x 是增函数由(23)(2)f m f m -<+,得232m m -<+得5m <,即实数m 的取值范围是(,5)-∞.(2)()2x f x =,由题知21xy =-图象与y t =图象有两个不同交点,由图知:(0,1)t ∈【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
(必考题)数学高一上期末基础卷(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12117]设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<2．(0分)[ID ：12114]已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+5．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(0分)[ID ：12126]设23a log =，3b =，23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<7．(0分)[ID ：12125]函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：12122]定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-9．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．(0分)[ID ：12058]已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．611．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃12．(0分)[ID ：12051]函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}13．(0分)[ID ：12043]已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣114．(0分)[ID ：12035]已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1115．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值2，最小值1 C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题16．(0分)[ID ：12220]已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.17．(0分)[ID ：12216]已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________18．(0分)[ID ：12191]已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.19．(0分)[ID ：12188]若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________． 20．(0分)[ID ：12187]求值： 233125128100log lg -+= ________ 21．(0分)[ID ：12185]如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数22logy x=，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.22．(0分)[ID ：12182]已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．23．(0分)[ID ：12151]函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______.24．(0分)[ID ：12139]已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；25．(0分)[ID ：12134]已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.三、解答题26．(0分)[ID ：12306]节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n pn r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）27．(0分)[ID ：12294]已知函数()2()log 21xf x kx =+-为偶函数. （1）求实数k 的值； （2）若不等式1()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数1()2()24f x x x h x m +=+⋅，[1,2]x ∈，是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为2，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 28．(0分)[ID ：12264]计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 332log log 2log 36⋅--29．(0分)[ID ：12255]某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t（天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q（万股）关于时间t （天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？30．(0分)[ID ：12260]如图，OAB ∆是等腰直角三角形，ABO 90∠=，且直角边长为，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ，试求函数()f t 的解析式.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．A3．B4．B5．C6．A7．B8．A9．C10．C11．C12．D13．B14．B二、填空题16．【解析】【分析】由已知可得＝a恒成立且f（a）＝求出a＝1后将x＝log25代入可得答案【详解】∵函数f（x）是R上的单调函数且对任意实数x都有f＝∴＝a恒成立且f （a）＝即f（x）＝﹣+af（a）17．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函18．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题19．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x＜2时f(x)＜0即f(x)＜20．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：21．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函22．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题23．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m的取值范围是故答案为：【点睛】24．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属25．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解. 【详解】已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，2112121113111a aa a a ->-⎧⎪∴-<-<∴<<⎨⎪-<-<⎩故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．6．A解析：A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】 因为23a log =,3b =,23c e = 令()2f x log x =,()g x x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c <<【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.7．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．8．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行9．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.10．C【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 12．D【解析】 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.13．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．14．B解析：B因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.15．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题16．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】 【分析】由已知可得()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221x f x ++]＝13，∴()221x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x 221++a ＝13， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 221++1， ∴f （log 25）＝23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．17．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】 【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1)与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令1,1x t t x+=≠，则11x t ，所以()1131f t t =--， 所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.18．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题 解析：0a ≤【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min 111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：0a ≤ 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.19．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜解析：(－2,2) 【解析】 【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).20．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：解析：32-【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 21．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函解析：11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x在函数y x=的图像上，所以2Ax =，即212A x ==⎝⎭.因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ⎛== ⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题解析：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++， 设21xy x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.23．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.24．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析：)22,2e e ⎡--⎣【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】函数()f x 的图像如下图所示，由图可知1,22a ba b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣. 故答案为：)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.25．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】 【分析】将已知等式8(9)aaa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解. 【详解】8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.三、解答题 26．（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次【解析】 【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得02r =,1 1.94r =,所以当1n =时,()0.510015p r r r r +=--⋅, 即0.51.942(2 1.94)5p +=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-, 将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-, 又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.27．（1）12k =（2）0a ≤（3）存在，316m =- 【解析】【分析】（1）利用公式()()0f x f x --=，求实数k 的值；（2）由题意得()2log 21x a <+恒成立，求a 的取值范围；（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，通过换元得21y mt t =++，[2,4]t ∈，讨论m 求函数的最小值，求实数m 的值.【详解】（1）f x （）是偶函数()()0f x f x ∴--=，()()22log 21log 210x x kx kx -∴++-++=，22112log (21)0210212x x kx x k x x R k k -+∴==∴-=∈∴-=∴=+.（2）由题意得()2log 21x a <+恒成立， ()2211log 2100x x a +>∴+>∴≤.（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，令2x t =，则21y mt t =++，[2,4]t ∈，1°当0m =时，1y t =+的最小值为3，不合题意，舍去；2°当0m >时，21y mt t =++开口向上，对称轴为102t m=-<， 21y mt t ∴=++在[2,4]上单调递增min 432y m ∴=+=，104m ∴=-<，故舍去； 3°当0m <时，21y mt t =++开口向下，对称轴为102t m =->， 当132m -≤即16m ≤-时，y 在4t =时取得最小值， min 3165216y m m ∴=+=∴=-，符合题意； 当132m->即106m -<<时，y 在2t =时取得最小值， min 14324y m m ∴=+=∴=-，不合题意，故舍去； 综上可知，316m =-. 【点睛】本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论m ，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分0m =，0m >，和0m <三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值. 28．（1）99；（2）3-.【解析】【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；（2）直接利用对数运算性质即可得出.【详解】（1）原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦7351001442=++-- 99=. （2）原式323log 313=--- 31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 29．（1）40Q t =-+，030t <≤，t ∈N （2）在30天中的第15天，日交易额最大为125万元.【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得一次函数解析式.（2）求得日交易额的分段函数解析式，结合二次函数的性质，求得最大值.【详解】（1）设Q ct d =+，把所给两组数据()()4,36,10,30代入可求得1c =-，40d =. ∴40Q t =-+，030t <≤，t N ∈（3）首先日交易额y （万元）=日交易量Q （万股）⨯每股交易价格P （元）()()1240,020,51840,2030,10t t t t N y t t t t N ⎧⎛⎫+-+≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩， ∴()()22115125,020,516040,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩ 当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元当20t 30<≤时，y 随x 的增大而减小故在30天中的第15天，日交易额最大为125万元.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的最值，考查二次函数的性质，属于中档题.30．()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩【解析】【分析】分02t <≤、24t <≤和4t >三种情况讨论，当02t <≤时，直线x t =左边为直角边长为t 的等腰直角三角形；当24t <≤时，由AOB ∆的面积减去直角边长为4t -的等腰直角三角形面积得出()f t ；当4t >时，直线x t =左边为AOB ∆.综合可得出函数()y f t =的解析式.【详解】等腰直角三角形OAB ∆中，ABO 90∠=，且直角边长为22，所以斜边4OA =， 当02t <≤时，设直线x t =与OA 、OB 分别交于点C 、D ，则OC CD t ==，()212f t t ∴=；当24t <≤时，设直线x t =与OA 、AB 分别交于点E 、F ，则4EF EA t ==-，()()221112222444222f t t t t ∴=⨯⨯--=-+-.当4t >时，()4f t =.综上所述，()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，注意处理好各段的端点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
【必考题】高中必修一数学上期末试题(附答案)(1)
3
26
36
的单调性得到 a<b,∴c＜a，且 a＜b；∴c＜a＜b．
故选 D．
【点睛】
考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和 0 比较，
做商和 1 比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
求出函数 f x log1 x2 2x 的定义域，然后利用复合函数法可求出函数 y f x 的
所以 1 30%x 0.2，
0.7x 0.2 ，
两边取对数得，
lg 0.7x lg 0.2 ，
x
lg 0.2 lg 0.7
14
，
3
所以至少经过 5 个小时才能驾驶汽车.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的
能力，属于基础题.
2．D
解析：D
18． a 1.10.1 ， b log1
2
2 ， c ln 2 ，则 a，b，c 从小到大的关系是________. 2
19．若函数
f
x
1 2x 1
a
是奇函数，则实数
a
的值是_________.
20．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且 f x 在区间[0, ) 上是减函数，则
【详解】
画出 y x, y cos x 的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函
数
f
x
x
cos
x
，
f
6
6
3 0.523 0.866 0.343 0 ， 2
f
4
4
【常考题】高一数学上期末模拟试卷(含答案)
【常考题】高一数学上期末模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称3．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,14．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a b c <<7．已知函数()2x x e e f x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 8．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,610．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.14．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________ 15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．求值： 2312100log lg += ________ 17．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.18．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．20．若函数()22xxe a x ef x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.三、解答题21．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,AB A B ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．22．已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.23．对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，总存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点．（1）当1a =，3b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有关于参数1两个不动点，求a 的取值范围； （3）当1a =，5b =时，函数()f x 在(]0,4x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围． 24．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅--25．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，为二次函数且顶点为(1,1)，（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.26．设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，A ∪(∁R B )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3．B解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求BA 得解.由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}BA x x =≤<.故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．5．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行6．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x x x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.8．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．11．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.12．A解析：A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C ，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3 【解析】 【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合. 【详解】因为函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=, 所以(3)(6)0m m --=, 所以3m =或6m =-, 当3m =时,12()f x x-=,其图象不过原点,符合题意;当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意. 综上所述:3m =. 故答案为:3 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.14．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般解析：1(,0)4-【解析】 【分析】令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】令20x t =>,则方程化为:20t t a --=方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,1212140100a x x x x a ∆=+>⎧⎪∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.故答案为: 1(,0)4-. 【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.15．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】 【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x ++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭，所以()F x 的值域为[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞. 【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.16．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有： 解析：32- 【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 17．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值．【详解】设x x t e e -=-，1x x x x t e ee e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x x x x a e e e e ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立， 0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t-≤+对3[0,]2t ∈上恒成立， 由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =， ∴256a -≤，即256a ≥-． 综上，256a ≥-． 故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．18．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥）【解析】【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11fx -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11fx -=，0x （）≥.1，0x （）≥【点睛】 本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析：(][)22-∞-⋃+∞，， 【解析】【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤()()2f x f ∴≤2x ∴≥2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞故答案为：(][),22,-∞-+∞本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型. 20．2【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性得最小值由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数由勾形函数的性质知时单调递增∴时递减∴因为只有一个零点所以故答案为：2【点睛】本题考查函数的零点考查复合 解析：2【解析】【分析】利用复合函数单调性得()f x 的单调性，得最小值，由最小值为0可求出a ．【详解】由题意()22122x x x x e e x a e x a ef x -=++-=++-是偶函数， 由勾形函数的性质知0x ≥时，()f x 单调递增，∴0x ≤时，()f x 递减．∴min ()(0)f x f =，因为()f x 只有一个零点，所以(0)20f a =-=，2a =．故答案为：2.【点睛】本题考查函数的零点，考查复合函数的单调性与最值．掌握复合函数单调性的性质是解题关键．三、解答题21．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈【解析】【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈. 【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<，（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+， ∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈． 22．（1）奇函数；（2）(],2-∞-【解析】（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案； （2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(lg f x x -=-+，所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设lg y u =，u x =，x ∈R .因为lg y u =是增函数，由定义法可证u x =在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.23．（1）4或1-；（2）()0,1；（3）(]10,11．【解析】【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）当1a =，5b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求．【详解】解：（1）当1a =，3b =-时，2()24f x x x =--，由题意可得，224x x x --=即2340x x --=，解可得4x =或1x =-，故()f x 关于参数1的不动点为4或1-；（2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，则210ax bx b ++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，所以△24(1)0b a b =-->恒成立，即2440b ab a -+>恒成立，∴216160a a ∆=-<，则01a <<，∴a 的取值范围是()0,1；（3）1a =，5b =时，2()64f x x x mx =++=在(0,4]上有两个不同实数解， 即46m x x-=+在(0，4]上有两个不同实数解， 令4()h x x x=+，04x <≤， 结合对勾函数的性质可知，465m <-≤，解可得，1011m <≤．故m 的范围为(]10,11．【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的灵活应用，属于中档题．24．（1）99；（2）3-.【解析】【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；（2）直接利用对数运算性质即可得出.【详解】（1）原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦7351001442=++-- 99=. （2）原式323log 313=--- 31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.25．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩（2）(]1,3 【解析】【分析】（1）当0x >时，设出二次函数顶点式，结合(2)0f =求得二次函数解析式.根据奇函数的性质，求得当0x <时，()f x 的解析式，从而求得()f x 在R 上的解析式.（2）由（1）画出()f x 的图像，结合()f x 在区间[1,2]a --上单调递增列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-且()00f =当0x >时由已知可设2()(1)1(0)f x a x a =-+≠，又(2)0f =解得1a =-所以0x >，2()2f x x x =-+当0x <时，0x ->，∴()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦又()0f 满足()22f x x x =+∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩ （2）由（1）可得图象如下图所示：由图可知()f x 的增区间为[1,1]-∵在()f x 区间[1,2]a --上单调递增，∴121a -<-≤解得：(]1,3a ∈∴a 的取值范围为：(]1,3【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数解析式的求法，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.26．见解析【解析】【分析】根据题意，在数轴上表示出集合,A B ，再根据集合的运算，即可得到求解.【详解】解：如图所示．∴A ∪B ＝{x |2<x <7}，A ∩B ＝{x |3≤x <6}．∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥7}，∁R (A ∩B )＝{x |x ≥6或x <3}．又∵∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3}．又∵∁R B＝{x|x≤2或x≥6}，∴A∪(∁R B)＝{x|x≤2或x≥3}．【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集与补集的混合运算问题，其中解答中正确在数轴上作出集合,A B，再根据集合的交集、并集和补集的基本运算求解是解答的关键，同时在数轴上画出集合时，要注意集合的端点的虚实，着重考查了数形结合思想的应用，以及推理与运算能力.。
【典型题】高一数学上期末模拟试卷(含答案)
【典型题】高一数学上期末模拟试卷(含答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．76．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－17．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>9．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞二、填空题13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.14．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．15．函数20.5log y x =的单调递增区间是________16．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.17．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.18．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________. 三、解答题21．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
(必考题)数学高一上期末经典习题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．(0分)[ID ：12126]设23a log =，b =23c e=，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<5．(0分)[ID ：12103]已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．(0分)[ID ：12084]对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－17．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6 B ．1.7C ．1.8D ．1.98．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．(0分)[ID ：12034]已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 10．(0分)[ID ：12033]若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．(0分)[ID ：12072]设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,612．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,213．(0分)[ID ：12069]已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ）A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+14．(0分)[ID ：12067]已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．15．(0分)[ID ：12042]若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题16．(0分)[ID ：12228]定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___． 17．(0分)[ID ：12227]已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．18．(0分)[ID ：12226]已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.19．(0分)[ID ：12221]已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．20．(0分)[ID ：12219]若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m的取值范围是__________．21．(0分)[ID ：12197]函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．22．(0分)[ID ：12193]定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________23．(0分)[ID ：12182]已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．24．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．25．(0分)[ID ：12158]对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．三、解答题26．(0分)[ID ：12327]某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x （130x ≤≤，x +∈N ）天的单件销售价格（单位：元20,115()50,1530x x f x x x +≤<⎧=⎨-≤≤⎩,第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），且第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格⨯销售量）. （1）求m 的值；（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？27．(0分)[ID ：12275]设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.28．(0分)[ID ：12262]已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 29．(0分)[ID ：12236]记关于x 的不等式x−a−1x+1<0的解集为P ，不等式(x −1)2≤1的解集为Q ．（1）若a =3，求集合P ；（2）若a >0且Q ∩P =Q ，求a 的取值范围．30．(0分)[ID ：12230]设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R(A∩B)，(∁R A)∩B，A∪(∁R B)．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．C3．B4．A5．D6．C7．C8．C9．D10．A11．D12．C13．B14．C15．C二、填空题16．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x）＜0在（4+∞）上f（x）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根17．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：18．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象19．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有20．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根21．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复22．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式23．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题24．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即25．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果.【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】因为23a log =,b =23c e = 令()2f x log x =,()g x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】 考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.7．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1；即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.10．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解．∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.11．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.13．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-，此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.14．C解析：C【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.15．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立，即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,12)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,12〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-. 故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题16．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x ）＜0在（4+∞）上f （x ）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根 解析： [-4，0]∪[4，+∞） 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案. 【详解】根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0，又由f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，又由函数f （x ）为奇函数，则在（-4，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-4）上，f （x ）＜0， 若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4， 则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）； 故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．17．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：3{|}2x x ≤【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 18．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a=与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．20．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]【解析】 【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围． 【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增，∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数，∴01212m m >⎧⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]．故答案为(0,3]． 【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．21．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-【解析】 【分析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞.令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．22．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.23．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题4 ⎥⎝⎦【解析】 【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++， 设21xy x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.4⎥⎝⎦【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.24．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃， 故答案为()(),20,2-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．25．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案.【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣ 故答案为：1【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.三、解答题26．（1）40m =；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元．【解析】【分析】（1）利用分段函数，直接求解(20)(20)600f g =．推出m 的值．（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可．【详解】（1）销售价格20,115,()50,1530,x x f x x x +<⎧=⎨-⎩第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），当20x 时，由(20)(20)(5020)(20)600f g m =--=，解得40m =．（2）当115x <时，(20)(40)y x x =+-2220800(10)900x x x =-++=--+，故当10x =时，900max y =，当1530x 时，22(50)(40)902000(45)25y x x x x x =--=-+=--，故当15x =时，875max y =，因为875900<，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元．【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．27．（1）4,2a b ==（2）2log x =3）()[]0,240g x ∈ 【解析】【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可（2）令0f x得421x x -=，即()22210x x --=，然后解出即可 （3）()42x xg x =-，令2x t =，转化为二次函数 【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42x x f x =-，令0f x 得421x x -=，即()22210x x --=，解得2x =，又20,2x x >∴=，解得2log x = （3）由（1）知()42x x g x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为g t 在[]1,16t ∈上单调递增所以()[]0,240g x ∈，28．(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-.【解析】【分析】（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值； （2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值.【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-,又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点,所以设2()(1)f x a x =+，因为(1)4f =,即2(11)4a +=， 所以设1a =所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-<2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点.所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点.【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.29．（1）P =(−1,4);（2）(1,+∞).【解析】试题分析：（1）当a =3时，利用分式不等式的解法，求得P =[−1,4]；（2）根据一元二次不等式的求解方法，解得Q =[0,2]，由于a >0，故x−a−1x+1<0⇔−1<x <a +1.Q ∩P =Q ⇔Q ⊆P ，则a +1>2⇒a >1.试题解析：（1）当a =3时， 原不等式为：x−4x+1<0⇔(x −4)(x +1)<0⇔−1<x <4,∴集合P =(−1,4).（2）易知：P =(−1,a +1)，Q =[0,2]；由Q ∩P =Q ⇒Q ⊆P ，则a +1>2⇒a >1，∴a 的取值范围为(1,+∞).30．见解析【解析】【分析】根据题意，在数轴上表示出集合,A B ，再根据集合的运算，即可得到求解.【详解】解：如图所示．∴A ∪B ＝{x |2<x <7}，A ∩B ＝{x |3≤x <6}．∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥7}，∁R (A ∩B )＝{x |x ≥6或x <3}．又∵∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3}．又∵∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥6}，∴A∪(∁R B)＝{x|x≤2或x≥3}．【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集与补集的混合运算问题，其中解答中正确在数轴上作出集合,A B，再根据集合的交集、并集和补集的基本运算求解是解答的关键，同时在数轴上画出集合时，要注意集合的端点的虚实，着重考查了数形结合思想的应用，以及推理与运算能力.。
【必考题】高一数学上期末模拟试卷含答案
【必考题】高一数学上期末模拟试卷含答案一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A ．B ．C ．D ．2．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]4．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( )A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ）A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1 C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．149．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C．(D．)210．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．111．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =12．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}二、填空题13．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.14．若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围是__________．15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a的取值范围是．16．已知f（x）是定义域在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，如果f（m ﹣2）>f（2m﹣3），那么实数m的取值范围是_____.17．如图，矩形ABCD的三个顶点,,A B C 分别在函数2logy x=，12y x=，22xy⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为______.18．已知()f x､()g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x-=-，则(1)(1)f g+=__________.19．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为__________．20．已知二次函数()f x，对任意的x∈R，恒有()()244f x f x x+-=-+成立，且()00f=.设函数()()()g x f x m m=+∈R.若函数()g x的零点都是函数()()()h x f f x m=+的零点，则()h x的最大零点为________.三、解答题21．已知定义在R上的函数()f x是奇函数，且当(),0x∈-∞时，()11xf xx+=-．()1求函数()f x在R上的解析式；()2判断函数()f x在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．已知函数()10()mf x x xx=+-≠.（1）若对任意(1)x∈+∞，，不等式()2log0f x>恒成立，求m的取值范围.（2）讨论()f x零点的个数.23．已知函数()221f x x ax=-+满足()()2f x f x=-.(1)求a的值；(2)若不等式()24xxfm≥对任意的[)1,x∈+∞恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数()()()22log log 1g x f x k x =--有4个零点，求实数k 的取值范围. 24．已知()()()22log 2log 2f x x x =-++. (1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由.25．已知函数22()21x xa f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥; (3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f txf x +->恒成立，求实数t 的取值范围.26．已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
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【必考题】高一数学上期末模拟试题(及答案)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A ．B ．C ．D ．2．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,13．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．设23a log =，3b =，23c e=，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<6．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．7．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2788．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且RA B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >10．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7- C ．()()2,02,-+∞D ．[)(]7,22,7--11．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<12．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.15．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 16．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________． 17．函数y =________ 18．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____． 19．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--326031(2).(32)(8)9⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭－ 23．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 24．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 25．某支上市股票在30天内每股的交易价格P （单位：元）与时间t （单位：天）组成有序数对(),t P ，点．(),t P 落在．．如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （单位：万股）与时间t （单位：天）的部分数据如下表所示： 第t 天4 10 16 22 Q （万股）36302418（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量Q 与时间t 的一次函数解析式；（Ⅲ）若用y （万元）表示该股票日交易额，请写出y 关于时间t 的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
2．B解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求BA 得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}BA x x =≤<.故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B.考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．5．A解析：A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】因为23a log =,b =23c e =令()2f x log x =,()g x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.6．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322ff18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题8．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知，()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.10．B解析：B 【解析】 【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 342a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以3(,1)2c ∈， 所以a c b <<，故选B.12．A解析：A 【解析】试题分析：241(22)y x x =-+-≤≤对应的图形为以0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或解析：12或32 【解析】 【分析】 【详解】若01a <<，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递减，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又01a <<，故12a =．若1a >，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又1a >，故32a =． 答案：12或3215．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：0,1【解析】 【分析】 令0f x，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出1y x =-的图象，如下图，y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两个交点. 故答案为：0,1.【点睛】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于解析：-3 【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数； 当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.17．【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析：[)1,0-【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】依题意220.50log 0x x ⎧>⎨≥⎩，即201x <≤，解得[)(]1,00,1x ∈-.当[)1,0x ∈-时，2x 为减函数，0.5log x 为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知，函数y =递增区间是[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.18．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1 【解析】 【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案. 【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣故答案为：1 【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.19．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥） 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11f x -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11f x -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5 【解析】 【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】cos x πππ-≤≤,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ， cos 1x =-的解有π， cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．（1）{}1|0x x <<；（2）12k =-. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：()1由题意得()()()221log 1log f x f x x x +-=+-，然后解不等式即可(2) 图象关于y 轴对称即为偶函数，即：()()22log 21log 21xx kx kx -+-=++成立，从而求得结果解析：（1）因为()()11f x f x +->，所以()22log 1log 1x x +->，即：21log 1x x +>，所以12x x+>，由题意，0x >，解得01x <<，所以解集为{}1|0x x <<.（2）()()21x gx f kx =++ ()2log 21x kx =++，由题意，()g x 是偶函数，所以x R ∀∈，有()()g x g x -=，即：()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++成立，所以()()22log 21log 212xxkx -+-+=，即：221log 221x x kx -+=+，所以2log 22xkx -=，所以2x kx -=，()210k x +=，所以12k =-. 22．（1）32.（2）44. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算. 试题解析：223222321(1).log 24lg log lg 2log 321(log 24log 3)(lg lg 2)log 32333log 8lg13222+--=-++-=+-=-=3261(-8)9⎛⎫-- ⎪⎝⎭－ 11362322(32()3)1--=⨯--9827144=⨯--=考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算. 23．（1）见解析（2）51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解()f x 是否存在最小值；（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把()()2430f x f x -+-≥进行转化求解. 【详解】（1）由101xx ->+可得1010x x ->⎧⎨+>⎩或1010x x -<⎧⎨+<⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，设1211x x -<<<，则()()()211212122111111x x x x x x x x ----=++++，∵1211x x -<<<，∴210x x ->，()()12110x x ++>，∴12121111x x x x -->++，①当1a >时()()12f x f x >，则()f x 在()1,1-上是减函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 有最小值，且最小值为()1log 1atf t t-=+； ②当01a <<时，()()12f x f x <，则()f x 在()1,1-上是增函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 无最小值.（2）由于()f x 的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，且()()111log log 11a a x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数.由（1）可知，当1a >时，函数()f x 为减函数，由此，不等式()()2430f x f x -+-≥等价于()()234f x f x -≥-，即有2341211431x x x x -≤-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得513x <<，所以x 的取值范围是51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养. 24．(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-. 【解析】 【分析】（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值；（2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值. 【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点, 所以设2()(1)f x a x =+，因为(1)4f =,即2(11)4a +=，所以设1a = 所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-<2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点. 所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点. 【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.25．（Ⅰ）12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）40Q t =-+；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得P 与时间t 所满足的函数解析式； （Ⅱ）设Q kt b =+，代入已知数据可得；（Ⅲ）由y QP =可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得． 【详解】（Ⅰ）当020t <≤时，设11P k t b =+，则1112206b k b =⎧⎨+=⎩，解得11215b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，当2030t ≤≤时，设22P k t b =+，则2222206305k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得228110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．（Ⅱ）设Q kt b =+，由题意4361030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得140k b =-⎧⎨=⎩，所以40Q t =-+．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(2)(40),02051(8)(40),203010t t t y t t t ⎧+-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-+<≤⎪⎩即221680,0205112320,203010t t t y t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，当020t <≤时，2211680(15)12555y t t t =-++=--+，15t =时，max 125y =，当20t 30<≤时，221112320(60)401010y t t t =-+=--，它在(20,30]上是减函数， 所以21(2060)4012010y <⨯--=． 综上，第15天交易额最大，最大值为125万元． 【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得． 26．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。