平面向量知识点

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)

单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

交换律：a ＋b ＝b ＋a ；

结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )

减法

求a 与b 的相反向量－b 的和的运算

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a 的积的运算

|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a

的方向相同；当λ<0时，λa 与

a 的方向相反；当λ＝0时，λa

＝0

λ(μa )＝(λμ)a ；

(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；

λ(a ＋b )＝λa ＋λb

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． [做一做]

1．判断下列四个命题：

①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案：A

2．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2 AC →＋CB →＝0，则OC →

等于( )

A ．2 OA →－O

B → B ．－OA →＋2 OB →

C .23OA →－13OB →

D ．－13OA →＋23OB → 答案：A

1．辨明两个易误点

(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．

(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．三点共线的等价关系

A ，P ，

B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t)·OA →＋tOB →

(O 为平面内异于A ，P ，B

的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →

(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．

[做一做]

3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →

|＝________.

解析：|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →

|＝2. 答案：2 4．已知a 与－b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为________． 解析：∵a ＋λb 与－(b －3a )共线， ∴存在实数μ，使a ＋λb ＝μ(3a －b )，

即⎩

⎪⎨⎪⎧1＝3μ，

λ＝－μ，∴⎩

⎨⎧

μ＝13，λ＝－13

.

答案：－1

3

考点一__平面向量的有关概念__________________

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；

③向量AB →与向量CD →

共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 以上命题中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0

[解析] ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行． [答案] D

[规律方法] 对于向量的概念应注意以下几条：

(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；

(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；

(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．

1.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与

a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

考点二__平面向量的线性运算(高频考点)_______

平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．

高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求已知向量的和；

(2)用已知向量表示未知向量； (3)求参数的值．

(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中