《平面向量共线的坐标表示》教学设计

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高中数学必修四教案-平面向量共线的坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示整体设计教学分析1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.三维目标1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.重点难点教学重点:平面向量的坐标运算.教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: ||=||=221221)()(y y x x -+-.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能. ②=-=(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0). 3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ 应用示例思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式. 变式训练1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A图2例2 如图2,已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y). ∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ∴⎩⎨⎧==.2,2y x∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知BC BA AD BA BD +=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而OD =OB +BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明.∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴∥,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知OP =21 (OP 1+OP 2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么图5=1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP )=321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)若AC 的中点在y 轴上,则BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5).(2)若AC 的中点在x 轴上,则BC 的中点在y 轴上,则同理可得C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,OP =OA +t AB .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB =(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2). 若点P 在第二象限,则3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值范围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围.变式训练已知OA =(cos θ,sin θ),OB =(1+sin θ,1+cos θ),其中0≤θ≤π,求|AB |的取值范围.解:∵=-=(1+sin θ,1+cos θ)-(cos θ,sin θ)=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ). ∴||2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2=［1+(sin θ-cos θ)］2+［1-(sin θ-cos θ)］2=2+2(sin θ-cos θ)2=2+2(1-2sin θcos θ)=4-4sin θcos θ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范围是［2,6］.知能训练课本本节练习.解答:1.(1)a +b =(3,6),a -b =(-7,2);(2)a +b =(1,11),a -b =(7,-5);(3)a +b =(0,0),a -b =(4,6);(4)a +b =(3,4),a -b =(3,-4).2.-2a +4b =(-6,-8),4a +3b =(12,5).3.(1)AB =(3,4),BA =(-3,-4);(2)AB =(9,-1),BA =(-9,1); (3)AB =(0,2),BA =(0,-2);(4)AB =(5,0),BA =(-5,0).4.∥.证明:AB =(1,-1),=(1,-1),所以AB =.所以AB ∥CD.点评:本题有两个要求:一是判断,二是证明.通过作图发现规律,提出猜想,然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程.5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6.(310,1)或(314,-1). 7.解:设P(x,y),由点P 在线段AB 的延长线上,且||=23||,得 (x-2,y-3)=23(x-4,y+3), 即⎩⎨⎧+=--=-.9362.12342y y x x 解之,得⎩⎨⎧-==.15,8y x所以点P 的坐标为(8,-15).点评:本题希望通过向量方法求解,培养学生应用向量的意识.课堂小结1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.作业课本习题2.3 A组5、6.设计感想1.本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.2.平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等.3.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式.它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.。

教学设计1：5.2 平面向量的基本定理及向量的坐标表示

5．2平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. [试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 解析：由a ∥b 得2×(－6)＝3x ，解得x ＝－4. 答案：－42．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13考点一平面向量的坐标运算1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________．解析：BC ＝AC －AB ＝(1,4)．答案：(1,4)2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如下图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[备课札记] [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．平面向量基本定理及其应用[典例] 如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[解析] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . [备课札记] [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． [针对训练](2014·济南调研)如下图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k （14AC －AB ）＝(1－k ) AB ＋k4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 答案：311考点三平面向量共线的坐标表示[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.[备课札记]在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. 2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值． [针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．[课堂练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.解析：设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(2＋x ，y －1)，由条件知2＋x ＝0，|y －1|＝1，解得x ＝－2，y ＝0或x ＝－2，y ＝2，故b ＝(－2,0)或(－2,2)．答案：(－2,2)或(－2,0)2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于________．解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )a －2b ＝(4，－1)，由于(m a ＋n b )∥(a －2b )，可得－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，可得m n ＝－12.答案：－123．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.解析：由题意，得－4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－34，所以tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247.答案：－2474．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA . 其中正确结论的个数是________．解析：∵由题意得k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12，∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误； ∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确．答案：35．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：126．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．解析：∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC .∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.答案：12。

高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 3篇

高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿1各位老师好：我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。

一、学情分析本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。

而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。

二、高考的考点分析：在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。

这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。

考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。

三、复习目标1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的`平面向量共线的条件.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.教学重难点的确定与突破：根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。

难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。

我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。

四、说教法根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。

五、说学法根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。

平面向量共线的坐标表示教学设计

平面向量共线的坐标表示教学设计【知识梳理】平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质向量的加法平行四边形法则三角形法则1212(,)a b x x y y +=++ a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++AB BC AC +=向量的减法三角形法则 1212(,)a b x x y y -=-- )(b a b a-+=-AB BA =-OB OA AB -=向量的乘法 aλ是一个向量, 满足:λ>0时,a λ与a同向;λ<0时,a λ与a异向;),(y x a λλλ=a a)()(λμμλ=a a aμλμλ+=+)( b a b aλλλ+=+)(a ∥b a bλ=⇔1221//0a b x y x y ⇔-=λ=0时, a λ=【疑难探究】平面向量共线的坐标表示公式的推导[问题情境] 设a=(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ¹a ，则a ∥b (b ¹0)的充要条件是什么？[问题探究]设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ¹a ，由a ∥b (b ¹0)得：a =λb ，即 (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，得x 1y 2-x 2y 1=0；[问题情境1]消去λ时为什么不能用两式相除？[问题探究1]∵y 1， y 2有可能为0，故消去λ时不能两式相除；[问题情境2]为什么规定b¹？[问题探究2]因零向量与任意向量平行，故规定b ¹0；∵b¹0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0，从而保证b¹0；[问题情境3] 为什么a ∥b (b ¹)的充要条件不能写成2211x y x y=？ [问题探究3] a ∥b (b ¹)的充要条件不能写成2211x y x y=， ∵x 1， x 2有可能为0。

平面向量共线的坐标表示导学案

2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件【学习目标】1、理解用坐标表示两个向量共线的条件；2、会根据向量的坐标，判断两个向量是否共线；3、了解分点坐标公式的向量证法。

【自学指导】1、独立完成学案所设计的问题，并在不会或有疑问的地方用红笔标出，规范书写；2、课上小组合作探究，并及时用红笔纠错，补充。

问题 1、你还记得上节课所学的平面向量的坐标运算吗？(1)若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB的坐标为 .(2)若()()1122,,,a x y b x y == ，则a b += ，a b -=，a λ= ____问题2、我们知道，假设()()1122,,,a x y b x y == ，其中0b ≠，若,a b 共线，当且仅当存在实数λ，使a b λ=，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？请你先写出你的推导过程，再回答下列问题。

(1)消去λ时能否两式相除？ (2)两向量共线能否写成2211x y x y =？ (3)由以上推导，请你写出向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b≠0)【自学检测】1、1、已知=-=-(,),(,)a b x 131，且//a b，则x=（）A ．3B ．-3C ．13 D ．13- 2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==- ，且////a b c，求,x y 的值.3，已知)1,1(--A ，)3,1(B ，)5,2(C ，求证A 、B 、C 三点共线【合作探究】探究一根据向量的坐标判断两个向量是否共线例1、已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5) ，D(2，7) ， (1) 试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系？ (2) 向量AB 与CD 平行吗?(3) 直线AB 与直线CD 平行吗？拓展：已知,,,A B C D 四点坐标分别为()()1,0,4,3A B ，()()2,4,0,2C D ，试证明：四边形ABCD 是梯形.探究二用向量推导定比分点坐标公式例2、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y . （1）当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.拓展1：在例2中，当→→=21PP P P λ时，点P 的坐标是什么？拓展2：已知点()1,4A --、()5,2B ，线段AB 靠近B 点的三等分点的坐标为多少？【课堂小结】1、向量共线常常用来解决交点坐标的问题和三点共线的问题，向量共线的条件用坐标表示为01221=-b a b a ；2、若),(),,(2211y x B y x A ，则AB 的中点坐标是)2,2(2121y y x x ++；⊿ABC 中，若A(11,y x ),B(22,y x ),C(33,y x )，则⊿ABC 的重心坐标为G(3,3321321y y y x x x ++++) 【当堂检测】1、已知=-=-(,),(,)a b x 131，且//a b，则x=（）A ．3B ．-3C ．13 D ．13- 2、已知(2,1),(3,1)A B -与AB平行且方向相反的向量a 的是（）A ．1(1,)2a = B ．(6,3)a =-- C ．(1,2)a =- D ．(4,8)a =--3．△ABC 的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C 点坐标为 .4、已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B C D ----，判断AB 与CD 是否共线？【课后作业】2、已知=-=-(,),(,)a y b 621且a 与b共线，则y=( )A ．-6B ．6C ．3D ．-34、已知A, B, C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若点C 横坐标为6,则C 点的纵坐标为 ( ) A ．-13 B ．9 C ．－9 D ．13 6、下列各组向量相互平行的是（）A ．(1,2),(3,5)a b =-=B ．(1,2),(2,1)a b ==C ．(2,1),(3,4)a b =-=D ．(2,1),(4,2)a b =-=-7、设a=(23,sin α)，b=(cos α,31)，且a// b ，则锐角α为( ) A ．30oB ．60oC ．45oD ．75o8、已知向量)cos ,(sin ),4,3(αα==且//，则=αtan （） A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 9、已知△ABC 的两个顶点A(3,7)和B(-2,5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是( )A ．(2,－7)B ．(－7,2)C ．(－3,－5)D ．(5,3)11．若向量=（2，m ）与=（m ，8）的方向相反，则m 的值是．12．△ABC 的三条边的中点分别为(2,1)和(-3,4),(-1,-1)，则△ABC 的重心坐标为13．若，b =(－1,3)，且a//b ，则a =________．14．设点M 1(2,－2), M 2(－2,6)，点M 在M 2M 1的延长线上，且| M 1M|=15|M M 2|，则点M 的坐标是________．15、已知()1,2a = ，(),1b x = ，若2a b + 与2a b -平行，则x 的值为 .16、已知点),3,2(-A ),5,3(B 分别求B A ，关于)1,1(M 的中心对称点B A '',的坐标 17、已知A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b)，若AB AC 2=，求点C 的坐标 18、已知)1,1(--A ，)3,1(B ，)5,2(C ，求证A 、B 、C 三点共线19、已知点()()1,1,4,5A B --，点C 在直线AB 上，且3AC AB =，求OC 的坐标.21．设向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC=(10,k)，当k 为何值时，A,B,C 三点共线？。

教案平面向量的坐标表示

平面向量的坐标表示教案内容：一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握平面向量的坐标表示方法。

2. 能够运用坐标表示法解决一些简单的向量问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点1. 重点：平面向量的概念，坐标表示方法的推导及应用。

2. 难点：平面向量坐标的运算规律，空间想象能力的培养。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念及坐标表示方法。

2. 利用图形演示，帮助学生直观理解向量的坐标表示。

3. 运用例题解析，引导学生掌握向量坐标的运算规律。

4. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。

四、教学准备1. 教学课件：平面向量坐标表示的相关图片和动画。

2. 教学素材：多媒体设备，黑板，粉笔。

3. 练习题：针对本节课内容的练习题。

五、教学过程1. 导入：回顾标量与向量的概念，引出平面向量的定义。

2. 讲解：向量的概念，向量的坐标表示方法，向量坐标的运算规律。

3. 演示：利用图形演示向量的坐标表示，让学生直观理解。

4. 例题：解析平面向量坐标的运算规律，引导学生运用坐标表示法解决问题。

5. 练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

6. 总结：本节课的主要内容，强调平面向量坐标表示的重要性。

7. 作业：布置相关作业，巩固所学知识。

教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解平面向量的概念，并通过图形演示，让学生直观地理解向量的坐标表示。

在讲解向量坐标的运算规律时，要结合实例进行分析，让学生更好地掌握。

要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。

六、教学拓展1. 引导学生思考：坐标表示法在实际问题中的应用，如物理学中的力的分解、几何中的位移等。

2. 讲解向量坐标的转换：如何将空间直角坐标系中的向量转换为平面坐标系中的向量。

七、课堂互动1. 提问：请同学们举例说明平面向量的坐标表示在实际问题中的应用。

2. 小组讨论：如何利用向量坐标表示法解决几何问题。

《平面向量共线的坐标表示》教案

《平面向量共线的坐标表示》教案一、教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.二、教学重点：平面向量的坐标运算三、教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性四、教具：多媒体、实物投影仪五、教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD。

平面向量的基本定理及坐标表示(教学设计)

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示[教学目标]一、知识与能力：1．了解平面向量基本定理。

2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点：平面向量基本定理．一、复习回顾：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？.在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.1．平面向量基本定理（1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2.把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（2）向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB=θ(0︒≤θ≤180︒)叫做向量a 与b 的夹角，当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向.如果a 与b 的夹角是90︒，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .例1 （课本P94例1）已知向量e 1、e 2，求作向量-2.5e 1+3e 2。

向量共线条件的坐标表示教案

向量共线条件的坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解向量共线的概念。

2. 让学生掌握向量共线的坐标表示方法。

3. 培养学生运用向量共线条件解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 向量共线的定义2. 向量共线的坐标表示方法3. 向量共线条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：向量共线的概念，向量共线的坐标表示方法。

2. 教学难点：向量共线条件的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量共线的概念和坐标表示方法。

2. 采用案例分析法，让学生通过具体例子掌握向量共线条件的应用。

3. 采用互动提问法，激发学生的思考，提高课堂参与度。

五、教学过程1. 导入：简要介绍向量共线的概念，引导学生思考如何用坐标表示向量共线。

2. 新课讲解：a) 讲解向量共线的定义，让学生理解什么是向量共线。

b) 引入向量共线的坐标表示方法，引导学生掌握如何用坐标判断向量共线。

3. 案例分析：a) 给出具体例子，让学生运用向量共线条件解决问题。

b) 分析例子，引导学生总结向量共线条件的应用。

4. 课堂练习：a) 布置练习题，让学生巩固向量共线条件的坐标表示方法。

b) 引导学生互相讨论，共同解决问题。

5. 总结与拓展：a) 总结本节课的主要内容和知识点。

b) 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固向量共线条件的坐标表示方法。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对向量共线条件的理解和掌握程度。

2. 练习题解答：检查学生对向量共线条件坐标表示方法的掌握情况。

3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

2. 反思教学内容：根据学生的掌握程度，调整教学内容，确保学生扎实掌握向量共线条件。

八、教学拓展1. 向量共线与线性方程组：引导学生探讨向量共线与线性方程组之间的关系。

2. 向量共线在几何中的应用：讲解向量共线在几何领域中的应用，如线段平分、角度平分等。

新课标下《平面向量共线的坐标表示》教案设计

新课标下《平面向量共线的坐标表示》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 引导学生掌握平面向量共线的坐标表示，能够运用这一概念解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 平面向量的概念及其坐标表示。

2. 平面向量共线的坐标表示。

3. 运用平面向量共线的坐标表示解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的概念，向量的坐标表示方法，平面向量共线的坐标表示。

2. 教学难点：平面向量共线的坐标表示的运用。

四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平面向量共线的坐标表示。

2. 利用多媒体课件，直观展示平面向量的坐标表示和共线向量的坐标表示。

3. 通过例题分析和练习，巩固学生对平面向量共线坐标表示的掌握。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面向量的概念和坐标表示方法，引出平面向量共线的概念。

2. 讲解平面向量共线的坐标表示：讲解向量共线的定义，引导学生理解共线向量的坐标表示方法。

3. 运用平面向量共线的坐标表示解决实际问题：通过例题分析，让学生学会运用共线向量的坐标表示解决几何问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固平面向量共线的坐标表示的运用。

5. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，提出课后思考题，引导学生进行课后拓展学习。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对平面向量共线坐标表示的理解程度。

2. 练习题解答：检查学生运用平面向量共线坐标表示解决实际问题的能力。

3. 课后作业：布置相关作业，巩固学生对平面向量共线坐标表示的掌握。

七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和进度。

2. 针对学生的反馈，及时补充和讲解共线向量坐标表示的难点和易错点。

3. 改进教学手段，提高教学质量。

八、课后拓展：1. 研究平面向量共线坐标表示在实际问题中的应用。

2. 探索平面向量共线坐标表示与其他数学知识之间的联系。

高中数学必修四《平面向量共线坐标表示》优秀教学设计

课题：平面向量共线坐标表示学习目标 1.知识与技能：1.知识与技能：掌握两个向量平行（共线）的基本定理，能根据定理判断两个向量是否平行（共线）2.过程与方法：体会转化思想。

3.情感态度价值观：培养学生分析问题，解决问题的能力。

学习重点两向量共线的条件学习难点两向量共线的条件课前预习案学习疑问1、向量平行（共线）：（1）定义：如果向量的基线相互平行或重合，则称这些向量规定：零向量与任何向量共线（平行）（2）向量共线的条件（平行向量基本定理）如果a b λ=，则。

反之，如果,a b 且0b ≠，则一定存在唯一一个实数，使课中探究案总结提升 1、给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量如果向量a 的单位向量记作0a ，则0aa a =，注意与向量a 共线的单位向量为0aa a =±2、平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2、y2），其中b ≠0，当且仅当时，a ∥b 。

课后训练案练习:1、把下列向量a 表示为数乘向量b 的形式（1）3a e =，6b e =- （2）23a e =，13b e =- （3）8a e =，16b e =2、已知：在ABC 中，11,33AM AB AN AC == 求证：MNBC ,并且BC MN 31=4、已知四边形ABCD 中，2,4,53,AB a b BC a b CD a b =+=--=--其中,a b 不共线，试判断三角形的形状5、数轴上两点A,B,的坐标分别是12,x x ，根据下列各题中的条件，求点A 的坐标1x（1）23,5x AB == (2) 24,3x BA ==-（3）25,2x BA =-=学习反思教师寄语：让过程更加完美，让结局不留遗憾!!。

新课标下《平面向量共线的坐标表示》教案设计

新课标下《平面向量共线的坐标表示》教案设计新课标下《平面向量共线的坐标表示》教案设计【教材分析】（一）地位和作用本节内容在教材中启着向量坐标运算延伸的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，平面向量共线的坐标表示则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量共线的坐标表示，对立体几何教材也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。

（二）学情分析学生已经掌握了平面几何的基本知识，而且学习了平面向量共线的相关概念和坐标表示的简单运算，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础。

他们已经具备了初步归纳的能力但是要加强他们全面深入探究问题能力，通过本节课的学习使学生在自主探索和合作交流的过程中将感性认识升华到理性认识，充分锻炼他们的思维能力。

（三）教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.(四)教学重点和难点(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；.,)(//λλ=⇔≠使存在唯一实数(2)难点：定比分点的理解和应用。

【教法分析】教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。

针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“问题教学法和引探式教学法”的教学方法。

教学手段：应用多媒体课件、实物投影仪。

【学法指导】本节课主要调动学生积极思考主动探索，增加学生参与教学活动的时间，我采用了以下学法指导：1.探究式指导法：应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入“λ”从而减少了未知数的个数，而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征;2.归纳式指导法:三点共线问题的实质是向量共线问题．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．3.迁移式指导法：引导学生推导平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式。

平面向量共线的坐标表示学案

必修42．3．4 平面向量共线的坐标表示【学习目标】1.能自己推导出平面向量共线的坐标表示，能对该结论熟练运用、解决实际问题；2.知道利用向量推导定比分点公式的推导方法，并运用此方法求解一些问题；3.培养同学们在解决问题过程中见“数”思“形”、以“形”助“数”的思维习惯.【学习重点】平面向量共线的坐标表示及运用【难点提示】定比分点公式的推导与理解.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材98102P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.平面向量的坐标运算公式，若),(11y x a =，),(22y x b = ，则________a b +=；_________a b -=；______()a R λλ=∈；2.向量共线定理：向量）（0≠a a 与b 共线有一个实数λ，使_______；３.若点),(11y x A ，),(22y x B ，则________________________=AB４.令),(11y x a = ，),(22y x b = ,则⇔=⇔=),(),(2211y x y x b a___________二、学习探究 1.向量共线的坐标表示在“学习准备中”我们已经回顾了向量共线定理和平面向量坐标表示及运算，那么，我们自然要想这两者有怎样的联系呢？向量共线定理能否用坐标来表示呢？请同学们运用前面所学知识，亲自动手推导一下看！自己独立思考后，请阅读教材，在归纳总结.归纳概括向量共线的坐标表示：设),(11y x a =，),(22y x b = ，且）（0 ≠b ，则由向量共线定理可知，a//⇔≠)0( b b _________________________.快乐体验（1）若向量a=(4，2)、b =(6，y)且a b ，求实数y 的值．解：（2）教材P100页练习第4题，可以作在书上. 解：同学们通过探究、归纳、体验，对向量共线的坐标表示有哪些感悟，能对此进行挖掘拓展吗？挖掘拓展（1）（2 （3）向量共线有几种表现形式与判定方法？（链接1） 2.定比分点公式联想思考现有这样一个问题：如图2.3.4-1已知点 111222(,)(,)P x y P x y 、，有一个人在直线12PP 上从1P 点开始走，当走到P 点时，他测得 12PP PP λ= (其中λ为给定的常数),现在他想知道所在P 点的坐标，你能帮助他完成这个心愿吗？温馨提示（1）这时点P 的坐标能确定吗？若能确定，现在那些是已知，需要求什么？（2）如何利用三个条件12PP PP λ=、111222(,)(,)Px y P x y 、，是否需要设点P 的坐标 (,)x y ，在看运用那些知识可将三个点的坐标与已知式联系起来，从而用12P P 、的坐标及λ表示出,x y .推导过程归纳结论若111222(,)(,)P x y P x y 、、(,)P x y ，当12PP PP λ=(其中λ为常数)，则： _________,__________,x y ==这时我们把点P 叫做有向线段12PP 的定比分点，常数λ叫做点P 分有向线段12PP 的定比分值.快乐体验教材P101页练习的5、6、7. 解：同学们通过探究、推导、归纳、体验，对定比分点坐标公式及相关内容有哪些感悟，你能对此进行挖掘拓展吗？挖掘拓展（1）在关系式12PP PP λ=中，λ可以取那些实数？λ的取值与点P 的位置有何关系？（链接2）（2）该公式有何特征？有几个量？如何记忆？如何使用？使用范围是什么？（3）当1λ=时，点P 是线段12PP 的点，此时，_____,_____,x y ==（链接3）（4）若点G 是ABC ∆的重心，),(11y x A 、),(22y x B 、33(,)C x y 、(,)G x y ，请用A 、B 、C 三点的坐标表示x y 、，有_________,__________x y ==（链接4）.三、典例赏析例1.教材P98页例7，请同学们先独立完成后在对比教材的解答. 解:解后反思（1）该题的题型怎样？你的求解与教材一致吗？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？还有方法吗？（2）向量平行、向量共线、三点共线、直线平行有什么区别与联系？变式练习已知a =(1,0),b =(2,1),当实数k 为何值时，向量k a －b 与a +3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向.解：例２.设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．解：解后反思该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？若点P 为线段P 1P 2的一个四分点，如何求解呢？变式练习如图2.3.4-2，已知ABC ∆中，A(0,5)，O （0,0），B （4,3），14OC O A =,12OD OB =，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量共线的坐标表示、有向线段定比分点公式等都理解与掌握了吗？并能灵活运用了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价１. 若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x 的值为（）Ａ－３Ｂ－１Ｃ１Ｄ３２. 若j i 2+=, j y i x )4(3-+-=）（ (其中j i,的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量) AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（）Ａ１，２Ｂ２，２Ｃ３，２Ｄ２，４３. 已知(x,1)b ,)1,2(==a ,若b a b a -+22与平行,则ｘ的值为４. 已知，平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A （2，1），B （－1，3），C （3，4），则第四个顶点D 的坐标是_____________５. 已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD 是梯形证：6.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，,31=31=, 求证：EF ∥证：7.已知三点A (0，8)，B (－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ点内分AB 的比为１∶３，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标. 解：8.教材P101习题2.3B 组第3、4题.◆承前启后现在我们学习了向量的线性运算与坐标运算等知识，那么我们自然是否应想到向量还有其它的运算方式呢？如：向量有乘法与除法吗？【学习链接】链接1.向量共线从“形”上有平行与在同一直线上，从“式”上有线性关系与坐标表示. 判定方法三种：几何法、线性法、坐标法.链接2. P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有四种情况：0λ=时，点P 与1P 重合；λ>0(内分) (外分) (λ<-1) ( 外分) (-1<λ<0)链接3. 当1λ=时，P 为线段12PP 的中点，121222x x y y x ++==、y 叫中点坐标公式；链接4.若G 是ABC ∆的重心，),(11y x A 、),(22y x B 、33(,)C x y 、(,)G x y ，则： 1233x x x x ++=，1233y y y y ++=叫三角形的重心坐标公式.。

【精】《向量线性运算的坐标表示》原创教案

《向量线性运算的坐标表示》教案情境导入：上节课我们学习了用坐标表示向量，那向量的和、差、数乘等线性运算又如何用坐标来表示呢？新知探究（一）：向量线性运算的坐标表示OP+OQ=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1i+x2i)+(y1j+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j所以OP+OQ的坐标为(x1+x2,y1+y2).OP-OQ=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1i−x2i)+(y1j−y2j)=(x1−x2)i+(y1−y2)j所以OP-OQ的坐标为(x1−x2,y1−y2)又λOP=λ(x1,y1)=λ(x1i+y1j)=(λx1)i+(λy1)j故λOP的坐标为(λx1,λy1).由上可知，OP+OQ=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)；OP-OQ=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1−x2,y1−y2)；λOP=λ(x1,y1)=(λx1,λy1).两个向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即a±b=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2, y1±y2).一个实数λ与向量a=(x, y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即λa=λ(x, y)=(λx,λy).由于PQ=OQ-OP=(x2−x1)i+(y2−y1)j因此PQ的坐标为(x2−x1,y2−y1).在平面直角坐标系中，向量PQ的坐标等于终点Q的坐标(x2,y2)减去起点P的坐标(x1,y1)，即PQ=(x2−x1,y2−y1).练一练：如图，已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P是直线P1P2上一点，且P1P=λP P2(λ∈R,且λ≠1)，求点P的坐标。

解：由题意可知，OP=O P1+P1P, ①OP=O P2-P P2. ②①+λ×②得(1+λ)OP=O P1+P1P+λO P2-λP P2.又已知P1P=λP P2所以(1+λ)OP=O P1+λO P2,从而OP=OP1+λOP21+λ=(x1,y1)+λ(x2,y2)1+λ=(x1,λx21+λ, y1+λy21+λ)因此，点P的坐标为(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ).特别地，当λ=1时得到线段P1P2的中点坐标公式(x1+x22, y1+y22).向量AB=(x1,y1)，CD=(x2,y2)平行(也就是共线)，可以直接用(x1,y1)//(x2,y2)来表示.这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，因此x1y2=x2y1成立。

平面向量共线的坐标表示教案

平面向量共线的坐标表示教案教案标题：平面向量共线的坐标表示一、教学目标：1. 理解平面向量共线的概念；2. 掌握平面向量共线的判定方法；3. 能够利用坐标表示判断平面向量是否共线；4. 能够应用平面向量共线的知识解决相关问题。

二、教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算机、教学PPT；2. 学生准备：教材、练习册、作业本。

三、教学过程：步骤一：导入与激发1. 引入平面向量的概念和基本性质，回顾向量的表示方法；2. 提问：你知道什么是共线向量吗？共线向量有什么特点？步骤二：概念讲解1. 通过示意图和实际生活中的例子，引入平面向量共线的概念；2. 解释平面向量共线的定义：若两个非零向量的方向相同或相反，它们就是共线向量；3. 引导学生理解共线向量的几何意义，以及共线向量的坐标表示的重要性。

步骤三：判定方法讲解1. 介绍平面向量共线的判定方法：若向量AB和向量CD的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)，则向量AB与向量CD共线的充要条件是(Ax/Cx = Ay/Cy)或(Ax/Cx =-Ay/Cy)；2. 通过实例演示，让学生掌握判定方法的具体应用。

步骤四：练习与巩固1. 给学生提供一些简单的练习题，让他们运用判定方法判断平面向量是否共线；2. 强调解题的步骤和注意事项，鼓励学生积极思考和解答问题；3. 列举一些实际问题，让学生运用平面向量共线的知识解决问题。

步骤五：拓展与应用1. 引导学生思考平面向量共线的应用场景，如几何图形的性质证明等；2. 提供一些拓展题目，让学生进一步应用平面向量共线的知识解决复杂问题；3. 鼓励学生自主思考和探索，提高解决问题的能力。

四、教学总结：1. 对本节课的重点内容进行总结，强调平面向量共线的坐标表示方法；2. 提醒学生复习和巩固所学知识，完成相关作业。

五、课后作业：1. 完成课堂练习题和课后作业题；2. 思考并总结平面向量共线的判定方法。

六、教学反思：1. 对本节课的教学效果进行评估，总结教学中存在的问题；2. 收集学生的反馈意见，为下一节课的教学改进提供参考。

高中数学_平面向量的坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量的坐标运算教学设计：Ⅰ.复习回顾:上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x ，y )来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x ，y )来表示.在平面直角坐标系中，i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使→→→+=j y i x a 成立.2.探索新知:知识点1：平面向量的坐标加减法运算问题一：已知)3,1(=→a ，)1,5(=→b ，如何求→→+b a ，→→-b a 的坐标呢？猜想：若),(),,(2211y x b y x a ==→→则),(2121y y x x b a ++=+→→，),(2121y y x x b a --=-→→ 平面向量的坐标运算法则证明若→→→→→→+==+==j y i x y x b j y i x y x a 22221111),(,),( 则),()()(21212121y y x x j y y i x x b a ++=+++=+→→→→ ),()()(21212121y y x x j y y i x x b a --=-+-=-→→→→结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

问题二：探究：若已知点A 、B 的坐标分别为 (1,3)，(4,2)，如何求 AB 的坐标呢？ O xyBA→AB =→OB -→OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=→一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考：坐标为()1212,y y x x --的点P 在哪里？设计目的：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。

平面向量共线的坐标表示_课件4

02
掌握平面向量的坐标表示法，能够熟练地进行向量的坐标运算。
03
理解共线向量的定义和性质，掌握判断两个向量是否共线的方法。
04
掌握共线向量坐标表示的推导过程，能够运用所学知识解决相关问题。
02
平面向量的基本概念
向量的定义与性质
向量定义
向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
平面向量共线的坐标表示_课件4
汇报人：XX
目录
• 引言 • 平面向量的基本概念 • 平面向量共线的条件 • 平面向量共线的坐标表示 • 典型例题解析 • 课堂小结与作业布置
01
引言
课件背景与目的
课件背景
平面向量是数学中的重要概念，共线是平面向量的一种特殊关系。本课件旨在通过坐标表示法，探究平面向量共线的性质和应用。
，即a·b=|a||b|cos<a,b>。
03
平面向量共线的条件
共线向量的定义
定义
若两个向量$vec{a}$和$vec{b}$满足$vec{a} = kvec{b}$（ $k$为实数），则称$vec{a}$和$vec{b}$共线。
说明
共线向量也称为平行向量，它们所在的直线平行或重合。
共线向量的性质
如果两个向量a、b满足a = λb (λ为实数)，则称向量a与向量b共线。
共线向量的坐标运算
设向量a = (x1, y1)，向量b = (x2, y2)且a与b共线，则存在实数λ使得x1 = λx2，y1 = λy2。特别地，当x2 ≠ 0且y2 ≠ 0时，有λ = x1/x2 = y1/y2 。
共线向量的判定定理

《平面向量的坐标运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】

《平面向量的坐标运算》教学设计本节内容包括“平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、平面向量共线的坐标表示”，这些内容是上一节所讨论问题的深入，为平面向量的坐标表示奠定理论基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算．（1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；会用坐标表示平面向量的线性运算；能用坐标表示向量共线的条件．（2）体会平面向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解；引入向量的坐标表示可使向量运算代数化；不仅向量的线性运算可以通过坐标来实现，向量的位置关系也可以通过坐标研究．（3）建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题；理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.【问题1】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F ．问重力G 与力1F 和2F 有什么关系？【设计意图】通过学生熟悉的力的分解问题，引出本节的主题，由此可以使学生感受到向量的正交分解与现实的联系．任意一个向量可以分解为两个不共线的向量，实际上是平面向量基本定理的一个应用．【师生活动】（1）学生：12G F F =+．（2）老师：由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+.（3）老师：在不共线的向量中，垂直是一种重要的特殊情形.把一个向量分解为两个互相垂◆ 教学过程◆ 教学目标◆ 教材分析 G F 1 F 2直的向量，叫做向量正交分解.正交分解是向量分解中常见的一种情形.【问题2】在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？【设计意图】通过类比平面直角坐标系中点用有序数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法．【师生活动】（1）老师：结合平面向量基本定理，如何在平面直角坐标系中选两个向量作为基底？（2）学生：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.（3）教师：对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a xi y j =+.所以a 就由,x y 唯一确定.有序数对(,)x y 叫做向量的坐标，记作 (,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，(,)a x y =叫做向量的坐标表示.【问题3】设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标与点A 的坐标有什么关系？【设计意图】使学生知道向量的的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．【师生活动】（1）老师：O（2）学生：向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标.（3）老师：在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 例1.如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.【设计意图】平面向量正交分解的应用，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．【问题4】已知1122(,),(,)a x y b x y ==，你能得出,,a b a b a λ+-的坐标吗？【设计意图】运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和、差、以及数乘运算的坐标运算．（1）学生1：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++1212(,)a b x x y y ∴+=++.（2）学生2：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j -=+-+=-+-1212(,)a b x x y y ∴-=--.（3）学生3：1111()a x i y j x i y j λλλλ=+=+11(,)a x y λλλ∴=.（4）教师：以上推导过程体现了向量的坐标形式与向量形式的相互转化.练习1：已知1122(,),(,)A x y B x y ，求AB 的坐标.（5）学生：22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--.（6）教师：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（7）教师：如何在平面直角坐标系中标出坐标为2121(,)x x y y --的点P ？有什么发现？（8）学生：向量AB 的坐标与以原点为起点、点P 为终点的向量的坐标是相同的.（9）教师：试求向量AB 的模长.（10）学生：222121()()AB OP x x y y ==-+-.例2. 如图，已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别是(2,1)(1,3)(3,4--、、），试求顶点D 的坐标.（1）学生：利用AB DC =，求出点D 的坐标.（2）学生：利用OD OB BD OB BA BC =+=++，求出点D 的坐标.（3）学生：利用11()()22OM OB OD OA OC =+=+，求出点D 的坐标. 【设计意图】让学生熟悉向量的坐标运算．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系），数形结合，将顶点的坐标表示为已知点的坐标.【问题5】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.若a 与b 共线，这两个向量的坐标会有什么关系？【设计意图】向量的线性运算可以通过坐标运算实现，引导学生思考向量的共线、垂直的坐标表示.【师生活动】（1）学生：若a 与b 共线，则当且仅当存在实数λ，使得a b λ=，从而1122(,)(,)x y x y λ=，所以1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩ 消去λ得到12210x y x y -=. 例3.已知(11)(13),(25A B C --，，，，），试判断A B C ，，三点的位置关系.【设计意图】引导学生三点共线的实质是从同一点出发的两个向量共线.（1）学生：口述解题思路，书写解题过程.（2）老师：引导学生总结思想方法.例4.设点P 是线段12P P 上的一点，12P P 、的坐标分别是1122(,)(,)x y x y 、. （1）当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.【设计意图】本例实际上是给出了线段的中点坐标公式，线段的三等分点坐标公式.引导学生推导线段的定比分点公式.利用向量共线的坐标表示求线段的定比分点坐标公式，只要通过简单的向量线性运算就可实现，这是向量的坐标运算带来的优越性.【师生活动】（1）学生：利用121()2OP OP OP =+，求得点P 的坐标. （2）学生：利用121233OP OP OP =+（或122133OP OP OP =+），求得点P 的坐标. （3）老师：三等分点有两种可能的位置，如果学生没有回答全面，要引导学生讨论补充.（4）老师：当12PP PP λ=时，点P 的坐标是什么？（5）学生：由学生类比求得中点坐标及三等分点坐标的过程，给出一般定比分点的坐标公式，进一步熟练向量的坐标运算，体会其中的数学思想方法.【问题6】你能够总结一下本节课我们学习的内容吗？【设计意图】课堂小结，由学生完成，概括本节课所学习的基本概念和运算法则，由教师提炼和总结本节课获得基本原理的数学研究方法.【习题检测】1.课中检测:（完成练习，拍照上传）练习1.已知点(0,0)O ，向量(2,3),(6,3),OA OB ==-点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.练习2.已知(2,3),(4,3)A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =,求点P 的坐标.2.课后检测请完成课后练习，检测学习效果．。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案

2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案课时目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(1，－1) D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋kb ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．137．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________． 8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________． 10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.2．3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)x1y2－x2y1＝0 (2)x1x2＝y1y22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．C2．C [∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．]3．A [∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]4．D [由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，∴k－λ＝0，且λ＋1＝0.∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d. 故c与d反向，选D.] 5．B [∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－12.故选B.]6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.]7.12解析由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12.8．(－4，－8)解析由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 9．3解析 PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴PA →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3. 10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2.11．解由已知得ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵ka ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时ka ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行，并且反向．12．解方法一由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )， ∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34，∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0. 又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝0，6x －4＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ②①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.] 14．(2,3)解析设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ.把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．。