第7章 矩阵特征值和特征向量的数值解法1

7.1 幂法
幂法基本原理是：任取非零实向量 u
(0)
，做迭代
u ( k ) = Au ( k −1) = Ak u ( 0 ) (k = 1,2,...)
则
( 7 .1 . 2 )
λ1 = lim
这里 u j 表示向量 u
(k ) (k )
u (jk +1) u (jk )
k →∞
(7.1.3)
的第 j 个分量。
(k )
的常用方法是迭代每一步对向量 u
规范化。引入函数 max（ u
(k )
） ，它表示取
向 量 u (k ) 中 按模 最大 的分 量，例 如， u (k ) =(2,-5,4)T,则 max( u (k ) )=-5,这 样
u (k ) 的最大分量为 1，即完成了规范化。 (k ) max (u )
(k )
会发生上溢或下溢，因此不实用。克服这一缺点
(k )
的常用方法是迭代每一步对向量 u 向量 u
(k )
规范化。引入函数 max（ u
(k )
(k )
） ，它表示取
(k )
中 按模 最大 的分 量，例 如， u
=(2,-5,4)T,则 max( u
)=-5,这 样
u (k ) 的最大分量为 1，即完成了规范化。 (k ) max (u )
k i=2
n
λi k ) xi ] λ1
(7.1.4)
主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵 A 的 n 个特征值 λi (i = 1,2,..., n) 满足：
| λ1 |>| λ2 |≥| λ3 |≥ ... ≥| λn | （7.1.1）
由于
λi < 1(i = 2,3,..., n ), 当 α 1 ≠ 0, ( x1 ) j ≠ 0 时有 λ1
7.1 幂法
由于 v
(k )
中最大分量为 1，即 max（ v
(k )
(k )
）=1，故
v
由式（7.1.4）有
=
Ak u ( 0 ) max ( Ak u ( 0) )
(7.1.6)
lim v ( k )
k →∞
λi k ) x] x1 λ1 i i =2 = lim = n k →∞ λ max( x1 ) k λ1 max(α1 x1 + ∑ ( i ) k xi ) i = 2 λ1 λ [α1 x1 + ∑ (
1≤i ≤n
(3) vi = ui m0 (i = 1,2, ⋯ , n); (4) ui =
∑ a v (i = 1,2,⋯, n);
j =1 ij j
n
5) mk = max (ui );
1≤i ≤ n
(6) if mk − m0 < ε 或 mk − m0 (1 + mk ) < ε then 输 出 mk , vi (i = 1,2, ⋯ , n), 停止计算； (7) m0 = mk ; k = k + 1; 返回第 3 步。
例 7.1.2 试用幂法求矩阵
4 -1 1 A = 16 - 2 - 2 16 - 3 - 1
按模最大的特征值和相应的特征向量。 解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.2 所示。
表 7.1.2 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.4 2.833 335 1.604 652 2.689 319 1.595 686 2.680 956 1.595 133 2.680 956 1.595 102 2.680 395 1.595 099 6.380 396 u(k) 0.5 7.000 06 2.372 096 6.737 850 2.379 870 6.772 616 2.380 356 6.721 644 2.380 396 6.721 574 2.380 401 15.999 98
k +2 1 k+2 n
k +2
即
λ1 = lim
k →∞
u (jk + 2 ) u (jk )
由式（7.1.7）可以看出 u 时，有
(k )
随着 k 增大，呈现有规律摆动，于是当 k 充分大
u ( k +1) ≈ λ1k +1 (α1 x1 + ( −1) k +1α 2 x2 ) (k ) k u ≈ λ1 (α1 x1 + (−1) k α 2 x2 )
k →∞
k →∞
lim v ( k ) =
x1 max( x1 )
事实上，由式（7.1.5）知
v
(k )
=
Ak u ( 0 )
∏m
i =0
k
i
算法 7.1.1 实用幂法 (1) 输入： aij (i, j = 1,2, ⋯ n), ui (i = 1,2, ⋯), ε ; (2) k = 1; m0 = max(ui );
7.1 幂法
由式（7.1.4）还可知，当 k 充分大时有
k u ( k ) ≈ λ1 α1 x1
这表明 u
(k )
是特征向量 x1 的一常数倍，即 u
(k )
近似于特征向量 x1 。
基于式（7.1.2）和式（7.1.3）幂法的主要缺点是：当 | λ1 |> 1 或 | λ1 |< 1 时，由式（7.1.4）可知， u
7.1 幂法
7.1.1 幂法原理及实用幂法 幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵 A 的
n 个特征值 λi (i = 1,2,..., n) 满足：
| λ1 |>| λ 2 |≥| λ3 |≥ ... ≥| λ n | （7.1.1）
相应的 n 个特征向量 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关。上述假设表明， λ1 为非零单 实根， x1 为实特征向量。
k u ( k ) ≈ λ1 α1 x1
这表明 u
(k )
是特征向量 x1 的一常数倍，即 u
(k )
近似于特征向量 x1 。
基于式（7.1.2）和式（7.1.3）幂法的主要缺点是：当 | λ1 |> 1 或 | λ1 |< 1 时，由式（7.1.4）可知， u
(k )
会发生上溢或下溢，因此不实用。克服这一缺点
n
事实上，由于 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关，故可构成 R 中一组基，于是 有u
( 0)
= ∑ α i xi ，由式（7.1.2）可得
i =1
n
7.1 幂法
u
(k )
=A
k
∑α x = ∑α A x = ∑α λ
k i =1 i i i =1 i i i =1 i
n
n
n
k
i
xi =λ1 [α1 x1 + ∑ α i (
k 1 n
7.1 幂法
由式（7.1.5）和式（7.1.6）有
mk = max(u ) = max( Au
(k )
( k −1)
max( Ak u ( 0) ) )= max( Ak +!u ( 0 ) )
于是
λi k ) x] λ1 i i=2 lim mk = lim = λ1 n k →∞ k →∞ λ k λ1 −1 max(α1 x1 + ∑ ( i ) k −1 xi ) i = 2 λ1 λ [α1 x1 + ∑ (
例 7.1.1 试用幂法求矩阵
7 3 - 2 A = 3 4 -1 - 2 - 1 3
按模最大的特征值和相应的特征向量 (ε = 10 ) 。
−5
解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.1 所示。
表 7.1.1 例 7.1.1 计算结果 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 u(k) 1.000 000,1.000 000, 1.000 000 8.000 000,6.000 000, 0.000 000 9.250 000,6.000 000,-2.750 000 9.540 541,5.891 892,-3.540 541 9.594 901,5.841 360,-3.730 878 9.604 074,5.824 033,-3.775 317 9.605 429,5.818 746,-3.785 699 9.605 572,5.817 228,-3.778 139 9.605 567,5.816 808,-3.788 717 v(k) 1.000 000， 1.000 000， 1.000 000 1.000 000， 0.750 000， 0.000 000 1.000 000， 0.648 649， -0.297 297 1.000 000， 0.617 564， -0.371 105 1.000 000， 0.608 798， -0.388 840 1.000 000， 0.606 413， -0.393 095 1.000 000， 0.605 777， -0.394 121 1.000 000， 0.605 777， -0.394 369 1.000 000， 0.605 566， -0.394 429 mk 1.000 000 8.000 000 9.250 000 9.540 541 9.594 901 9.604 074 9.605 429 9.605 572 9.605 567
由表 7.1.1 知， m8 − m8 < 10 ，故取 λ1 ≈ m8 = 9.605567 ，
−5
相应特征向量为 x1 ≈ v
(8)
= (1.000000,0.605566,−0.374429)T 。
本题精确值 λ1 = 9.60555127 ⋯ 。
对于矩阵 A 按模最大的特征值还可能有多种情况，这是对幂法做适当 修正，仍可求出结果。 设矩阵 A 的按模最大特征值是互为相反的实根，即 λ1 > 0, λ2 = −λ1 ，且
| λ1 |=| λ2 |>| λ3 |≥ ... ≥| λn | ，由式（7.1.4）知
u
于是
(k )
= λ1 [α1 x1 + (−1) α 2 x2 + ∑ α i (
k k i =3
n
λi k ) xi ] λ1
(7.1.7)
lim
k →∞
u (jk + 2 ) u (jk )
λ λ [α1 x1 + (−1) α 2 x2 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 2 i =3 = lim = λ1 k n k →∞ λi k λ1 [α1 x1 + ( −1) k α 2 x2 + ∑ α i ( ) xi ] j λ1 i =3
即
k +1 u ( k +1) + λ1u ( k ) ≈ 2λ1 α1 x1 ( k +1) k +1 u − λ1u ( k ) ≈ ( −1) k +1 2λ1 α 2 x2 )
除去一个常因子，我们得到特征向量
x1 ≈ u ( k +1) + λ1u ( k ) ( k +1) − λ1u ( k ) x2 ≈ u
u (jk +1) u (jk )
k →∞
lim
λ λ [α1 x1 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 i=2 = lim = λ1 k n k →∞ λ k λ1 [α1 x1 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 i=2
k +1 1 n
k +1
7.1 幂法
由式（7.1.4）还可知，当 k 充分大时有
例 7.1.2 计算结果 v(k) 0.6 7.166 673 2.395 352 6.747 559 2.381 309 6.723 220 2.380 446 6.721 682 2.380 402 6.721 577 2.380 401 15.999 98 0.666 667 0.395 349 0.669 902 0.398 562 0.670 088 0.398 761 0.670 098 0.398 774 0.670 098 0.398 775 0.833 33 0.976 744 0.990 291 0.998 561 0.999 396 0.999 910 0.999 962 0.999 994 0.999 997 0.999 999 1.000 00 1.000 00 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000
第 7 章 矩阵特征值和特征向量的数值解法
设矩阵 A ∈ R
n× n
，如果存在数 λ ∈ C 及非零向量 x ∈ C n 满足方程
征值 λ 的特征向量。为简单起见，下称 λ ，x 为矩阵 A 的一特征对。
Ax ∈ λx ，则称 λ 为矩阵 A 的一个特征值，x 称为矩阵 A 的相应于特
特征值的计算，直接从特征方程 ϕ (λ ) = det(λI − A) = 0 出发会遇到很 大困难，当 n 稍大一些，行列式展开本身就很不容易，随后是高次代数 方程求解。因此，矩阵特征值的求解，主要是数值解法。
k 1 n
7.1 幂法
实用幂法迭代格式如下： 任取初始向量 u
(0)
≠ຫໍສະໝຸດ Baidu0 ,作迭代
mk = max(u ( k ) ) (k ) u (k ) ( k = 0,1,2,...) v = mk u ( k +1) = Av ( k )
则
(7.1.5)
lim mk = λ1