第7章 矩阵特征值和特征向量的数值解法1
矩阵特征值及特征向量教学
矩阵特征值及特征向量教学介绍在线性代数中，矩阵特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们不仅在数学领域有广泛的应用，也在物理、工程、计算机科学等领域中发挥着重要作用。
本文将深入探讨特征值和特征向量的概念、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1.1 特征值的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x使得Ax = λx，那么λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
1.2 特征向量的定义特征向量是与特征值相关联的非零向量，通过矩阵与特征向量的乘法可以得到特征值的倍数。
二、特征值与特征向量的计算2.1 计算特征值的方法计算矩阵的特征值可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的方程，形式为|A-λI|=0，其中A是给定的矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。
步骤： 1. 把矩阵A减去λI，得到一个新的矩阵B。
2. 计算矩阵B的行列式，即|B|。
3. 解方程|B|=0，得到特征值λ的值。
4. 验证特征值的正确性，将得到的λ代入方程(A-λI)x=0，求解x的解。
2.2 计算特征向量的方法计算矩阵的特征向量可以通过将特征值代入方程(A-λI)x=0，并解出x的解。
步骤： 1. 将特征值λ代入方程(A-λI)x=0，得到一个线性方程组。
2. 解线性方程组，求解出x的解。
3. 验证特征向量的正确性，将得到的x代入方程(A-λI)x=0，验证等式是否成立。
三、特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有许多重要的性质，下面介绍其中的一些。
3.1 特征值的性质•矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值。
•对于实矩阵，特征值可以是复数，但是它们总是成对出现，共轭复数。
•矩阵的特征值之和等于它的迹（主对角元素之和）。
•矩阵的特征值之积等于它的行列式。
3.2 特征向量的性质•特征向量与对应的特征值共线，即它们是线性相关的。
•特征向量可以通过标量乘法来缩放，缩放因子为特征值的值。
计算方法第七章(特征值与特征向量)
( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq
数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2
n
2
定理7.1.3 ARnn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见，当k充分大时， ( k ) 近似于主特征值， ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时，x (k ) 趋于零， 当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。 从而计算时会出现下溢 或上溢。
特征值的范围. 解 我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z：|z – 1|£0.6}；D2 = {z：|z – 3|£0.8} D3 = {z：|z + 1|£1.8}；D4 = {z：|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为 弧立圆盘分别 包含A的两个实 特征值.
第七章矩阵特征值和特征向量的数值解法
第七章 矩阵特征值和特征向量的数值解法7.2典型例题精解例7.2.1 用幂法计算矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1634310232A的主特征值和相应的特征向量。
解：取初值向量u (0)=(0,0,1)T ,由式（7.1.1）得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======T T T u v m Av u v m )25.0,0.1,5.0(414)1,4,2()1,0,0(1)1()1(1)0()1()0(0 对k=1,2,…n,计算结果如表7.2.1所示。
表7.2.1从表7.2.1看出，当k=8时，即可达到精度，所以矩阵A 的主特征值λ1=11，对应的特征向量x 1=(0.5,1.0,0.7500)T。
例 7.2.2 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110121013A 试取平移量134.1)]32(2[21≈-+=p ,用幂法求出矩阵A 的主特征值及对应的特征向量。
如果对平移法的结果做一次Rayleigh 商加速，求A 之特征值和对应的特征向量。
解： 取134.1)]32(2[21≈-+=p ，则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=134.0101866.0101866.1pI A B取u (0)=v (0)=(1,1,1)T,迭代结果如表7.2.2所示。
从表7.2.2知 ⎩⎨⎧==+≈Tx p m )2695381.0,732204995.0,1(732083614.3181λ 若对上述结果做一次Rayleigh 商加速，则有 732050783.3),(),(11111=≈x x x Ax λ与真值732050808.332*1=+=λ相比，误差61*11021-⨯≤-=λλε 例 7.2.3 试用逆幂法求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=611142121A 矩阵近似于—6.42的特征值和特征向量。
解：分解A+6.42I=LR ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=137********.01845018450.013690036900.01L⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=960012189021.063099631.068199262.11242.5R取y (0)=(1,1,1)T 做半迭代，计算结果如表7.2.3所示。
矩阵特征值与特征向量的计算-Rung-Kutta方法
每步须算Ki 的个数 2 3
4
5
6
可达到的最高精度 O(h2 ) O(h3 ) O(h4 ) O(h4 ) O(h5 )
7
O(h6 )
n8
O(hn−2 )
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受
解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好 采用低阶算法而将步长h 取小。
R − K方法的主要优缺点
二级R-K方法
二级R-K方法的形式为
其局部截断误差为 将 中的各项作Taylor展开
Taylor展开有 可得 令
二级R-K能达到的 最高阶数是二阶
常用的二级二阶R-K方法
取
，得
该方法称为改进的Euler公式（梯形公式的预估校正格式）
取
，得
该方法称为中点公式
取
，得
该方法称为Heun(休恩)方法
当 为实数时，得Euler法的绝对稳定区间是
二级R-K方法的绝对稳定区间
二阶二级R-K方法的计算公式为
由此可知，二阶二级R-K方法的绝对稳定区间是 当 为实数时，得绝对稳定区间是
一些常用方法的绝对稳定区间
R-K法的绝对稳定区域
k = 4 • 3. k =3
• 2. k=2 k = 1 • 1.
题相容的充分必要条件是该单步法至少是一阶方
法。
我们本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容的！
收敛性
定义：对任意固定的 步法产生的解 ，均有
, 若初值问题的单
则称该方法是收敛的。
我们本章讨论的数值方法都是收敛的！
收敛性判别
定理7.3：设增量函数
在区域
上连续，并对变量y和h满足Lipschitz条件。如果单步 法与微分方程初值问题相容，则单步法收敛。
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法矩阵在数学与物理等领域中起着重要的作用，而矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义与性质，并探讨了计算矩阵特征值与特征向量的方法。
一、矩阵的特征值与特征向量的定义在介绍矩阵的特征值与特征向量之前，我们先来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由若干个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示成一个二维数组，其中的元素用于表示矩阵中的各个数值。
矩阵的特征值与特征向量是对矩阵进行分析与求解时非常有用的工具。
特征值可以理解为矩阵在某个方向上的缩放因子，而特征向量则表示在特征值对应的方向上的向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的定义虽然比较抽象，但是通过对矩阵进行相应的计算可以得到具体的数值结果。
二、计算特征值与特征向量的方法1. 特征值的计算方法计算特征值的方法之一是通过求解矩阵特征方程来完成。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程可以表示为det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征方程可以得到矩阵的特征值。
由于特征方程是一个n次多项式方程，所以一般情况下可以得到n个特征值。
特征值的个数与矩阵的阶数相等。
2. 特征向量的计算方法计算特征值后，我们可以通过特征值来求解特征向量。
对于特征值λ，我们需要求解矩阵(A-λI)X=0的非零解，其中X是特征向量。
解特征向量的过程可以通过高斯消元法或者矩阵的初等变换来完成，得到的非零解即为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有一些重要的性质，这些性质在矩阵理论与应用过程中都具有重要作用。
1. 特征值和特征向量的对应关系对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值与n个相应的特征向量。
特征值与特征向量是一一对应的关系，即每个特征值对应一个特征向量。
矩阵特征值的数值解法
矩阵特征值的数值解法矩阵的特征值是在矩阵与其特征向量之间的关系中的数值解。
特征值在各个领域中都有广泛应用，包括物理、工程、金融等。
在解决实际问题时，我们经常需要计算矩阵的特征值，因此研究如何求解矩阵特征值的数值方法是非常重要的。
1. 幂迭代法（Power Iteration）幂迭代法是求解矩阵特征值的一种简单而常用的数值方法。
它的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量趋近于该矩阵的一个特征向量。
具体步骤如下：（1）初始化一个非零的初始向量x。
（2）进行迭代计算，即$x^{(k+1)}=Ax^{(k)}/，Ax^{(k)}，$。
（3）当向量x的相对误差小于一些预设的精度要求时，停止迭代，此时的x即为矩阵A的一个特征向量。
（4）将x带入特征值的定义式$\frac{Ax}{x}$，计算出特征值。
幂迭代法的优点是简单易实现，计算速度较快，缺点是只能求解特征值模最大的特征向量，而且对于存在特征值模相近的情况，容易收敛到错误的特征值上。
2. QR迭代法（QR Iteration）QR迭代法是一种较为稳定的求解矩阵特征值的数值方法。
它的基本思想是通过不断进行QR分解，使得矩阵的特征值逐渐收敛。
具体步骤如下：（1）将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，令$A_1=RQ$。
（2）将$A_1$再次进行QR分解，得到新的矩阵$A_2=R_1Q_1$。
（3）重复步骤（2），直到得到收敛的矩阵$A_k$，此时$A_k$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
QR迭代法的优点是对于特征值模相近的情况仍然能够收敛到正确的特征值上。
缺点是每次QR分解都需要消耗大量的计算量，迭代次数较多时计算速度较慢。
3. Jacobi迭代法（Jacobi's Method）Jacobi迭代法是一种通过对称矩阵的对角线元素进行迭代操作，逐步将非对角元素变为零的求解特征值的方法。
具体步骤如下：（1）初始化一个对称矩阵A。
矩阵特征值和特征向量的数值解法
的常用方法是迭代每一步对向量 u
规范化。引入函数 max（ u
(k )
） ，它表示取
向 量 u (k ) 中 按模 最大 的分 量，例 如， u (k ) =(2,-5,4)T,则 max( u (k ) )=-5,这 样
u (k ) 的最大分量为 1，即完成了规范化。 (k ) max (u )
7.1 幂法
7.1.1 幂法原理及实用幂法 幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵,2,..., n) 满足：
| λ1 |>| λ 2 |≥| λ3 |≥ ... ≥| λ n | （7.1.1）
相应的 n 个特征向量 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关。上述假设表明， λ1 为非零单 实根， x1 为实特征向量。
k →∞
k →∞
lim v ( k ) =
x1 max( x1 )
事实上，由式（7.1.5）知
v
(k )
=
Ak u ( 0 )
∏m
i =0
k
i
算法 7.1.1 实用幂法 (1) 输入： aij (i, j = 1,2, L n), ui (i = 1,2, L), ε ; (2) k = 1; m0 = max(ui );
7.1 幂法
幂法基本原理是：任取非零实向量 u
(0)
，做迭代
u ( k ) = Au ( k −1) = Ak u ( 0 ) (k = 1,2,...)
则
( 7 .1 . 2 )
λ1 = lim
这里 u j 表示向量 u
(k ) (k )
u (jk +1) u (jk )
k →∞
第七章 矩阵特征值与特征向量计算讲解
u0 1 1 1
T
,按(9)迭代5次得到数据如下
T vk
u
1
T k (规范化向量)
1
1
1
1
1
1 0.2143 0.4821 1
2 0.1875 0.4483 3 0.1860 0.4463 4 0.1895 0.4460 5 0.1859 0.4460 1 1 1 1
12.00 27.00 56.00
8.357 19.98 44.57 8.168 19.60 43.92 8.157 19.57 43.88 8.156 19.57 43.88
故按模特征值为:
1 43.88
对应的特征向量为:
T
u1 0.1859 0.4460 1.0000
应用幂法计算A的主特征值的收敛速度主要由比值
r
v u 0 0 0 vk Auk 1 vk uk max vk
k
1,2,......
(9)
lim max v
k k
1
.
解： 取初始向量v0 表: k 0
例1：用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。 4 6 2 A 3 9 15 4 16 36
nn
则A的每一个特征值，必
aii
i 1 j i
n
aij ,
i
1......n
且如果一个特征向量的第i个分量绝对值最大,则对应的特征值一定属
x, x 定义1:设A为n阶实对称矩阵，对于任一非零向量x称 R x x, x
为对应于向量x的Rayleigh商.
设实矩阵
为1 , 2 ,..., n ， 相应的特征向量为 x1 , x2 ,..., xn 已知A的主特征值是实数,且满足: 幂法的基本思想是：任取一个初始向量 v0 0 量序列（称之为迭代向量序列。） :
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算 小结
1．本章介绍了乘幂法和反幂法。乘幂法用来求按模最大特征 值和对应的特征向量，反幂法用来求按模最小特征值和对应 的特征向量。 2．乘幂法和反幂法特点是算法简单，易于在计算机上实现。
第7章 矩阵特征值与特征 向量的计算
引言 乘幂法 反幂法
7.1 引言
定义：对于n阶方阵A，数λ0，若存在非零列向量x，使得Ax=λ0x，则称λ0 为A的特征值（特征根），x为A的属于λ0的特征向量。 定义： 以λ为未知量的方程|A-λE|=0称为方阵A的特征方程，λ的多项式|Aλ0E|称为方阵A的特征多项式，记为f(λ)。 λ0是为方阵A的特征值，x为A的属于λ0的特征向量的充要条件是：λ0是A的特 征方程|A-λE|=0的根，x是齐次线性方程组(A-λ0E)X=0的非零解向量。 因此，可以按以下步骤求方阵A的特征值和特征向量： ⒈ 计算A的特征多项式|A-λE|； ⒉ 求出A的特征方程|A-λE|=0的全部根，这是A的全部特征值； ⒊ 对A的每一个特征值λi，求出(A-λiE)X=0的一个基础解系x1,x2,……,xs，并 写成列向量的形式，这就是A的属于λi的一组线性无关的特征向量。那么 的 属于λi的全部特征向量为： k1x1＋k2x2＋……＋ksxs 其中k1,k2,……,ks是不全为零的常数。 对于高阶方阵用上述方法求特征值，运算量大，需要求解高阶代数方程，并 且在计算机上实现也较为困难。本章介绍几种便于在计算机上实现的方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 7.3 反幂法
一、反幂法的基本思想（续）
上述方法在求u(k)时需要先求出A-1，求A的逆矩阵常常比较麻烦。为了避 免求A-1，可以把u(k)=A-1v(k-1)变形为Au(k)=v(k-1)，求解这个线性方程组得 到u(k)，解线性方程组的方法可以参考第3章和第4章。一般在计算过程一 开始，首先对A进行三角分解，这样每轮迭代求解Au(k)=v(k-1)时只需要2 次回代就可以了。下面以LU分解法为例，重新给出反幂法的求解步骤： 对方阵A进行LU分解A=LU，然后任取n维非零向量v(0)作为初始向量，按 以下迭代公式反复计算： ①回代，求解单位下三角线性方程组Ly(k)=v(k-1)，得到向量y(k)。②回代， 求解上三角线性方程组Uu(k)=y(k)，得到向量u(k)。③若u(k)各分量中绝对 值最大的分量为j第个分量uj(k)，则令m(k)=uj(k)，④令v(k)=u(k)/m(k)， k=1,2,3,……。 当k足够大时，近似地认为1/m(k)≈λn，向量v(k)是A的属于λn的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。
在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。
特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。
特征值则是衡量该变换强度的标量。
二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。
解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。
2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。
2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。
这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。
3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。
对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。
2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。
相似矩阵具有相同的特征值。
3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。
例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。
五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。
特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。
求矩阵的特征值和特征向量技巧
求矩阵的特征值和特征向量技巧求矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要课题，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
特征值和特征向量可以帮助我们揭示矩阵的性质，解决许多实际问题。
在本文中，我们将一步一步了解如何计算矩阵的特征值和特征向量以及相关的技巧和应用。
什么是特征值和特征向量？在介绍如何计算特征值和特征向量之前，我们先来了解一下它们的定义。
给定一个n×n的方阵A，如果存在一个非零向量v，使得满足下面的等式: AV = λV其中，λ为常数，称为矩阵A的特征值，有时也用符号λ表示。
而V称为A 对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量反映了矩阵A在某个方向上的变换结果不变，即只会进行伸缩。
特征向量是伸缩方向，特征值是伸缩的比例。
计算特征值和特征向量的步骤下面我们将一步一步来计算矩阵的特征值和特征向量，具体步骤如下：Step 1: 计算特征值对于给定的矩阵A，我们首先需要求解它的特征值。
特征值是通过求解矩阵的特征值方程来获得的。
特征值方程可以表示为：det(A - λI) = 0其中，det表示矩阵的行列式，I为单位矩阵，λ为特征值。
根据上述方程，我们需要计算矩阵A减去λ乘以单位矩阵I的行列式，并使其等于0。
这将得到一个关于λ的多项式方程，解该方程即可得到矩阵A 的特征值。
Step 2: 计算特征向量在得到特征值λ后，我们需要计算对应于每个特征值的特征向量。
对于每个特征值λ，我们将其代入特征值方程，并求解该方程得到特征向量。
特征向量是通过将λ带入齐次线性方程组(A - λI)v = 0来获得的。
在这里，齐次线性方程组的解空间是一个向量空间，我们需要找到一个非零向量v，使得(A - λI)v = 0成立。
这样的向量v就是对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的计算可以使用高斯消元法或矩阵求逆来完成。
我们需要求解一个线性方程组，将(A - λI)表示为增广矩阵形式并进行行变换，最终得到矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
第七章—矩阵特征值计算
定义4 设A是n阶实对称阵, 对于任一非零向量x R n , 称 ( Ax, x ) R( x ) ( x, x ) 为关于向量x的瑞雷( Rayleigh)商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则 （ 1 ） （2） ( Ax, x ) 1 n , 对于任何非零向量x R n , ( x, x ) ( Ax, x ) 1 max , xR n ( x, x )
为了避免“溢出”下面做改进. 记 max(v )为向量v的绝对 v 值最大的分量，规范化得 u (v 0). 就有 max(v ) 定理13 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
对任何非零初始向量v0 (a1 0)， 计算 u0 v0 , v Au , k k 1 (k 1,2, ) k max(vk ), uk vk / k . x1 lim uk , lim k 1. k max(x1 ) k
定理2 若i (i 1,, n)是矩阵A的特征值, 则 n n (1) i aii tr ( A), i 1 i 1 (2) det( A) 1 n .
定理3 设A R nn , 则
( A ) ( A).
T
定理4 设A为分块上三角阵, A11 A A12 A22 A1m A2 m Amm
对任何非零初始向量u0 v0，计算 vk ( A pI ) 1 uk 1, (k 1,2, ). u vk , k max(vk ) 如果p是A的特征值 j的近似，并且满足 (2.12)
0 j p i p , ( j i )
矩阵特征值的计算.ppt
19
Householder 变换
3 0 0 1 7 7 1 3 3 15 15 T 7 118 101 A2 H1 A1 H 1 0 15 75 75 1 101 7 0 15 75 75 7 7 1 7 1 k 2, xT (3, , , ) x3 , y 3 15 15 15 15 7 2 1 1 12 7 s [( ) ( )( )] 0.4713 v3 s 0.9310 15 15 15 15
0 0 0 1 0 0 . 8944 0 . 4772 0 G (2,3, ) 0 0.4772 0.8944 0 0 0 0 1
1 2.2361 A2 G (2,3, ) A1G T (2,3, ) 0 2 2.2361 1 1 1.3416 0 1 2 0.4472 2 1.3416 0.4472 1
1 2
对应的各阶主子式：
p1 ( ) 2
p3 ( ) ( 2)3 2( 2)
构成一个Sterm序列。
p2 ( ) ( 2)2 1
p4 ( ) ( 2)4 3( 2)2 1
24
Sturm序列与二分法
考察当 ,2,0, 时，多项式序列的変号数
25
ห้องสมุดไป่ตู้
一般矩阵特征值的计算
对任意非奇异矩阵，用QR算法迭代， 它将收敛于一个上三角阵，主对角线上的 元素近似为矩阵的特征值。
26
QR算法
27
QR算法
定理：设 矩阵A是n 阶 非奇异实矩阵，则存在正交分解
A = QR
其中 Q 是正交矩阵 ，R 是非奇异上三角矩阵 。
矩阵特征值和特征向量的数值解
风险管理
在风险管理模型中，可以使用风 险矩阵的特征值和特征向量来分 析风险的分布和相关性，从而制 定有效的风险管理策略。
感谢您的观看
THANKS
稳定性分析通常通过比较不同数值解法的计算结果，观察其误差随舍入精 度的变化情况来进行。
稳定性好的算法能够在不同舍入精度下保持一致的计算结果，而稳定性差 的算法则可能导致计算结果的较大偏差。
数值解法的收敛性分析
01
收敛性分析是评估数值解法求解特征值和特征向量问题的有效 性的关键步骤。
02
收敛性分析主要关注算法是否能够收敛到正确的解，以及收敛
通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以找到线性变换下的不变量，从而更好地理解和分析线性变换的 性质和行为。
特征值和特征向量在矩阵的奇异值分解和QR分解等矩阵分解方法中也有着重要的应用，这些分解方法在 许多科学计算和工程领域中都有广泛的应用。
在微分方程中的应用
01
矩阵特征值和特征向量在解决微分方程问题中也有着重要 的应用。
速度的快慢。
收敛速度的快慢通常用收敛阶数来衡量，收敛阶数越高，收敛
03
速度越快。
数值解法的误差估计
01
误差估计是对数值解法计算结果的精度进行量化的 重要手段。
02
误差估计通常通过比较数值解法的计算结果与精确 解之间的差异来进行。
03
误差估计可以帮助我们了解算法的精度，从而在实 际应用中选择合适的算法和舍入精度。
在研究热传导问题时，热传导矩阵的特征值和特 征向量可以用来确定温度场的分布和变化。
在工程问题中的应用实例
结构分析
在结构分析中，结构的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量可 以用来确定结构的固有频率和振型，从而评估结构的稳定性和安全 性。
特征值和特征向量的数值算法
对于任何矩阵 A Rnn , 存在正交矩阵 Q，使得
R11 R12 R1m R22 R2 m T Q AQ R mm ,, m)为一阶或二阶方阵，每 其中的对角块 Rii (i 1,2 一个一阶对
角块即为A的实特征值，每一个二 阶对角块的两个特征值 是A的 一对共轭复特征值。
如此类推，最后得到的正交矩阵Q，是平面旋转矩阵的乘积。
7.4.2
QR算法及其收敛性
QR算法可以用来求任意的非奇异矩阵的全部特征值，是目前计算这类问 题最有效的方法之一。它基于对任何实的非奇异矩阵都可以分解为正交阵Q和 上三角矩阵R的乘积。
第七章 特征值与特征向量的数值求法
定理7.2
(QR分定理)
设A R nn为非奇异矩阵，则存在 正交阵与
2( x y )T x xT x 2 xT y y T y ( x y )T ( x y ) x y 2。
由此可得
2
Hx x 2 wwT x x
定理得证。
2( x y )( x y )T x x y
2 2
x ( x y ) y。
记S为与w垂直的平面,则几何上x与y=Hx关于平面S对称。事实上,由
y Hx ( I 2wwT ) x得知
x y 2(wT x)w。
上式表明向量x-y与w平行，注意到y与x的长度相等，于是x经变换后的象y=Hx 是x关于s对称的向量，如图7-1所示。
第七章 特征值与特征向量的数值求法 w x
定理7.14
设矩阵 A R
nn
, 的特征值满足
第七章 特征值与特征向量的数值求法
1 2 n 0,
矩阵的特征值与特征向量算法
矩阵的特征值与特征向量算法矩阵特征值和特征向量定义A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且，λE-A，叫做A 的特征多项式。
当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。
依据普通线性代数中的概念，特征值和特征向量能够用传统的方法求得，可是实际项目中一般都是用数值分析的方法来计算。
这里介绍一下雅可比(Jacobi)迭代法求解特征值和特征向量。
雅可比(Jacobi)迭代法雅克比方法用于求实对称阵的所有特征值、特征向量。
Jacobi算法计算简单、稳定性好、精度高、求得的特征向量正交性好。
但当A为稀疏阵时，Givens旋转变换将破坏其稀疏性，且只能适用于实对称矩阵。
相关知识•矩阵A与相似矩阵 B = P A P-1的特征值相同。
•若矩阵Q满足QT Q = I,则称Q为正交矩阵。
显然Q-1 = QT,且正交阵的乘积仍为正交阵。
•若A为实对称矩阵，则存在正交阵Q，使Q A QT = diag(λ1,λ2,...,λn)，且QT 的列是相应的特征向量。
•实对称矩阵的特征值均为实数，且存在标准正交的特征向量系。
•Givens 旋转矩阵R(p,q,θ)是正交阵，其中Givens 旋转矩阵R原理：•Jacobi 方法用平面旋转对实对称矩阵 A 做一系列旋转相似变换，从而将A 约化为对角阵，进而求出特征值与特征向量。
•R A RT 与A元素之间的关系：为使R A RT 为对角矩阵，可选择θ为：当A为n阶实对称矩阵时，设A有非对角元，apq ≠ 0 ，设Givens 旋转矩阵R(p,q,θ)为：令C = R A RT,则有：若令C的非对角元素cpq = cqp = 0,则：C与A的元素满足下列关系：说明经旋转变换C = R A RT后，C的对角线元素平方和比A的对角线元素平方和增加了2apq2、而C的非对角元素平方和比A的非对角元素平方和减少了2apq2、如果不断的变换下去，则最后非对角元素可趋于0，即可通过一系列旋转变换，使A与一对角阵相似。
求矩阵特征值和特征向量
求矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在各种应用领域都有广泛的应用，比如物理、工程、计算机科学和金融等领域。
本文将介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
矩阵特征值和特征向量是矩阵的两个特殊属性，它们对于描述矩阵的性质和解决实际问题都有重要的作用。
矩阵特征值指的是一个矩阵在一个数域内的某个数λ，使得矩阵与该数的乘积可以表示成该矩阵与某个向量v的乘积，用符号表示为：Av = λv其中，A表示矩阵，v表示非零向量，λ表示矩阵A的特征值。
当v存在时，称v是矩阵A关于特征值λ的一个特征向量。
矩阵特征值和特征向量的定义表明，矩阵的特征值和特征向量是矩阵变换的重要性质。
矩阵的特征值和特征向量不仅描述了矩阵的本质特点，还可以用于解决实际问题，如图像处理、信号处理、统计学和机器学习等。
1. 对于一个n阶矩阵，它有n个特征值和n个特征向量。
2. 一个矩阵的特征向量组成的向量空间称为矩阵的特征向量空间，特征向量空间的维度不超过矩阵的阶数。
3. 如果矩阵A的一个特征值λ的代数重数为k，其对应的特征向量的个数最多为k 个。
4. 如果矩阵A的两个特征值λ1和λ2不同，它们对应的特征向量一定线性无关。
5. 如果矩阵A是实对称矩阵，它的特征值一定是实数，对应的特征向量可以选取为正交向量。
6. 如果矩阵A是正定矩阵，所有特征值都是正实数。
计算矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的一个基本问题。
下面将介绍几种常用的计算方法。
1. 利用矩阵的行列式求特征值特征值λ是矩阵A满足如下方程的根：|A - λI|=0其中，I表示n阶单位矩阵。
解出方程得到的根即为矩阵的特征值。
矩阵A的特征值之和等于矩阵A的迹，即：λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)其中，tr(A)表示矩阵A的迹，即主对角线上元素的和。
3. 利用特征向量递推求特征值和特征向量如果矩阵A有n个不同的特征值λ1、λ2、…、λn，则每个特征值都对应一个线性无关的特征向量。
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| λ1 |=| λ2 |>| λ3 |≥ ... ≥| λn | ，由式（7.1.4）知
u
于是
(k )
= λ1 [α1 x1 + (−1) α 2 x2 + ∑ α i (
k k i =3
n
λi k ) xi ] λ1
(7.1.7)
lim
k →∞
u (jk + 2 ) u (jk )
λ λ [α1 x1 + (−1) α 2 x2 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 2 i =3 = lim = λ1 k n k →∞ λi k λ1 [α1 x1 + ( −1) k α 2 x2 + ∑ α i ( ) xi ] j λ1 i =3
k 1 n
7.1 幂法
实用幂法迭代格式如下： 任取初始向量 u
(0)
≠ 0 ,作迭代
mk = max(u ( k ) ) (k ) u (k ) ( k = 0,1,2,...) v = mk u ( k +1) = Av ( k )
则
(7.1.5)
lim mk = λ1
(k )
的常用方法是迭代每一步对向量 u
规范化。引入函数 max（ u
(k )
） ，它表示取
向 量 u (k ) 中 按模 最大 的分 量，例 如， u (k ) =(2,-5,4)T,则 max( u (k ) )=-5,这 样
u (k ) 的最大分量为 1，即完成了规范化。 (k ) max (u )
第 7 章 矩阵特征值和特征向量的数值解法
设矩阵 A ∈ R
n× n
，如果存在数 λ ∈ C 及非零向量 x ∈ C n 满足方程
征值 λ 的特征向量。为简单起见，下称 λ ，x 为矩阵 A 的一特征对。
Ax ∈ λx ，则称 λ 为矩阵 A 的一个特征值，x 称为矩阵 A 的相应于特
特征值的计算，直接从特征方程 ϕ (λ ) = det(λI − A) = 0 出发会遇到很 大困难，当 n 稍大一些，行列式展开本身就很不容易，随后是高次代数 方程求解。因此，矩阵特征值的求解，主要是数值解法。
例 7.1.2 计算结果 v(k) 0.6 7.166 673 2.395 352 6.747 559 2.381 309 6.723 220 2.380 446 6.721 682 2.380 402 6.721 577 2.380 401 15.999 98 0.666 667 0.395 349 0.669 902 0.398 562 0.670 088 0.398 761 0.670 098 0.398 774 0.670 098 0.398 775 0.833 33 0.976 744 0.990 291 0.998 561 0.999 396 0.999 910 0.999 962 0.999 994 0.999 997 0.999 999 1.000 00 1.000 00 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000
即
k +1 u ( k +1) + λ1u ( k ) ≈ 2λ1 α1 x1 ( k +1) k +1 u − λ1u ( k ) ≈ ( −1) k +1 2λ1 α 2 x2 )
除去一个常因子，我们得到特征向量
x1 ≈ u ( k +1) + λ1u ( k ) ( k +1) − λ1u ( k ) x2 ≈ u
k u ( k ) ≈ λ1 α1 x1
这表明 u
(k )
是特征向量 x1 的一常数倍，即 u
(k )
近似）和式（7.1.3）幂法的主要缺点是：当 | λ1 |> 1 或 | λ1 |< 1 时，由式（7.1.4）可知， u
(k )
会发生上溢或下溢，因此不实用。克服这一缺点
u (jk +1) u (jk )
k →∞
lim
λ λ [α1 x1 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 i=2 = lim = λ1 k n k →∞ λ k λ1 [α1 x1 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 i=2
k +1 1 n
k +1
7.1 幂法
由式（7.1.4）还可知，当 k 充分大时有
k 1 n
7.1 幂法
由式（7.1.5）和式（7.1.6）有
mk = max(u ) = max( Au
(k )
( k −1)
max( Ak u ( 0) ) )= max( Ak +!u ( 0 ) )
于是
λi k ) x] λ1 i i=2 lim mk = lim = λ1 n k →∞ k →∞ λ k λ1 −1 max(α1 x1 + ∑ ( i ) k −1 xi ) i = 2 λ1 λ [α1 x1 + ∑ (
1≤i ≤n
(3) vi = ui m0 (i = 1,2, ⋯ , n); (4) ui =
∑ a v (i = 1,2,⋯, n);
j =1 ij j
n
5) mk = max (ui );
1≤i ≤ n
(6) if mk − m0 < ε 或 mk − m0 (1 + mk ) < ε then 输 出 mk , vi (i = 1,2, ⋯ , n), 停止计算； (7) m0 = mk ; k = k + 1; 返回第 3 步。
n
事实上，由于 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关，故可构成 R 中一组基，于是 有u
( 0)
= ∑ α i xi ，由式（7.1.2）可得
i =1
n
7.1 幂法
u
(k )
=A
k
∑α x = ∑α A x = ∑α λ
k i =1 i i i =1 i i i =1 i
n
n
n
k
i
xi =λ1 [α1 x1 + ∑ α i (
例 7.1.1 试用幂法求矩阵
7 3 - 2 A = 3 4 -1 - 2 - 1 3
按模最大的特征值和相应的特征向量 (ε = 10 ) 。
−5
解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.1 所示。
表 7.1.1 例 7.1.1 计算结果 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 u(k) 1.000 000,1.000 000, 1.000 000 8.000 000,6.000 000, 0.000 000 9.250 000,6.000 000,-2.750 000 9.540 541,5.891 892,-3.540 541 9.594 901,5.841 360,-3.730 878 9.604 074,5.824 033,-3.775 317 9.605 429,5.818 746,-3.785 699 9.605 572,5.817 228,-3.778 139 9.605 567,5.816 808,-3.788 717 v(k) 1.000 000， 1.000 000， 1.000 000 1.000 000， 0.750 000， 0.000 000 1.000 000， 0.648 649， -0.297 297 1.000 000， 0.617 564， -0.371 105 1.000 000， 0.608 798， -0.388 840 1.000 000， 0.606 413， -0.393 095 1.000 000， 0.605 777， -0.394 121 1.000 000， 0.605 777， -0.394 369 1.000 000， 0.605 566， -0.394 429 mk 1.000 000 8.000 000 9.250 000 9.540 541 9.594 901 9.604 074 9.605 429 9.605 572 9.605 567
7.1 幂法
幂法基本原理是：任取非零实向量 u
(0)
，做迭代
u ( k ) = Au ( k −1) = Ak u ( 0 ) (k = 1,2,...)
则
( 7 .1 . 2 )
λ1 = lim
这里 u j 表示向量 u
(k ) (k )
u (jk +1) u (jk )
k →∞
(7.1.3)
的第 j 个分量。
k +2 1 k+2 n
k +2
即
λ1 = lim
k →∞
u (jk + 2 ) u (jk )
由式（7.1.7）可以看出 u 时，有
(k )
随着 k 增大，呈现有规律摆动，于是当 k 充分大
u ( k +1) ≈ λ1k +1 (α1 x1 + ( −1) k +1α 2 x2 ) (k ) k u ≈ λ1 (α1 x1 + (−1) k α 2 x2 )
7.1 幂法
7.1.1 幂法原理及实用幂法 幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵 A 的
n 个特征值 λi (i = 1,2,..., n) 满足：
| λ1 |>| λ 2 |≥| λ3 |≥ ... ≥| λ n | （7.1.1）
相应的 n 个特征向量 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关。上述假设表明， λ1 为非零单 实根， x1 为实特征向量。
由表 7.1.1 知， m8 − m8 < 10 ，故取 λ1 ≈ m8 = 9.605567 ，