第2讲 正态分布

将上述结论推广到一般的正态分布,
概率论
X : N (, 2 ) 时，
P(| X | ) 0.6827 P(| X | 2 ) 0.9545 P(| X | 3 ) 0.9973
可以认为，X的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内.
这在统计学上称作“3 准则” .
概率论
概率论
标准正态分布函数
1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
X
Z
~ N (0,1)
2. 标准正态分布的概率密度函数
(x)
1
x2
e2
,
x
2
3. 标准正态分布的分布函数
x
x
(x) (x)dt
1
t2 -
e 2 dt
2
概率论
标准正态分布表的使用
1. 将一个一般的正态分布转换为标准正态分布
8
69.5-79.5
79.5-89.5
6
89.5-99.5
4
2
0
概率论
连接直方图顶端中点，可得如下密度曲线
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
0
49.5-59.5
59.5-69.5
69.5-79.5
下面进行曲线性质和状态分析
• 单峰 • 一条对称轴 • 一条渐近线 • 众值、均值、中位值三线合一
49.559.5 59.569.5 69.579.5 79.589.5 89.599.5
• = 总体均值 •可以看出，概率密度函数是关于与的函数
概率论
正态分布函数的性质
1. 概率密度函数在x 的上方，即f (x)>0
2. 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数 3. 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值和
标准差来区分。 决定曲线的左右位置，决定曲线的
胖瘦
4. 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，
概率论
概率论
例1. 已知ξ服从标准正态分布N（0，1），求 P（ ξ ≤1.3） P（ ξ ≥1.3） P（ ξ ≤－1.3） P（ 1.3≤ ξ ≤2.3） P（ -1.3≤ ξ ≤2.3） P（ -2.3≤ ξ ≤-1.3）
概率论
例2. P（ ξ ≤λ）＝0.975 P（ ξ ≥λ）＝0.05
概率论
第二讲 正态分布
概率论
导言：正态分布的重要性
• 1. 描述连续型随机变量的最重要、最常见的分布 • 2. 可用于近似离散型随机变量的分布 • 3. 统计推断的基础（概率即面积） • 根据下图想一想正态分布图形有哪些特点？
f (x)
x
概率论
一、从实例进入概念
如以下为某班42名同学的统计学成绩表
x ab
概率论
三、标准正态分布（P145）
一般正态分布
Z X
标准正态分布
1
x
Z
概率论
标准正态分布的重要性
1. 一般的正态分布取决于均值和标准差；
2. 计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的 正态概率分布表，这种表格是无穷多的；
3. 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表。
例3. 设ξ∽N（1，1） 求 P(ξ≤2.3)
概率论
5o 3 准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
P(|X| 1)=2(1)-1=0.6827
P(|X| 2)=2(2)-1=0.9545
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9973
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
且理论上永远不会与横轴相交(多么极端的情况都存在） 5. 正态曲线下的总面积等于1 6. 随机变量的概率由曲线下的面积给出
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置和高度， 决定了图
形中峰的陡峭程度和宽窄.
概率论
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!（值在其间的几率有多少） f(x)
0.6827
0.9545
-σ σ
x
-2σ -σ x
0.9973
x
概率论
结 束, 谢谢
成绩
49.5-59.5 59.5-69.5 69.5-79.5 79.5-89.5 89.5-99.5
人数
4
8
18
8
4
18
16
14
12
49.5-59.5
10
59.5-69.5
8
69.5-79.5
79.5-89.5
6
89.5-99.5
4
2
0
概率论
18
16
14
12
49.5-59.5
10
59.5-69.5
2. 计算概率时 ，查标准正态概率分布表
3. 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到 4. 对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有
P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1
5. 对于一般正态分布，即X~N( , )，有
P(a
X
b)
b
a
标准正态分布函数：P(ξ ≤Z)＝Φ(Z)
79.5-89.5
89.5-99.5
概率论
类似于此种曲线的分布，就是正态分布， 如：
一片森林中各树木的高度 学生成绩 产品规格 人的智商 人的体重
概率论
二、概率密度函数
f (x)
1
1 x 2
e 2 2
,
x
2
•f(x) = 随机变量 X 的频数 • = 总体方差 • =3.14159; e = 2.71828 •x = 随机变量的取值 (- < x < )