2.4 随机过程通过线性系统解析
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第2章
随机过程
2.4 随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一 起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在 以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过 系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情 况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信 号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线 性系统的响应 vo(t) 等于输入信号 vi(t) 与系统的单位冲激响应 h(t)的卷积，即
E[ i (t1 ) i (t1 )] Ri ( )
有
R0 (t1 , t1 )
0
0
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
（2.4-7）
第2章
随机过程
可见，o t 的自相关函数只依赖时间间隔 ， 而与时间起点t0 无关。 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明： 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程 也是平稳的。
H ( ) h(t )e jω t dt
0
第2章 求得 所以
随机过程
H (0) h(t )dt
0
E[ 0 (t )] a H (0)
与直流传递函数H(0)的乘积，且E［ξo(t)］与t无关。
（2.4-6）
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望
第2章
随机过程
v0 (t ) vi (t ) h(t ) vi ( )h(t )d
（2.4-1）
第2章
随机过程
若
v 0 (t ) V0 ( ) ， v i (t ) Vi ( ) ， h (t) H ( ) ，则有
V0 ( ) H ( )Vi ( )
2. 输出过程ξo(t)的自相关函数
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
根据平稳性
0
0
0
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
0
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
0 (t ) lim 1 (t k )h( k ) k
rk 0 k 0
第2章
随机过程
由于 ξi(t) 已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项 ξi(t-τk)h(τk)Δτk 都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任
一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之
【例2-2】带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声 通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和 噪声平均功率。理想低通的传输特性为
K 0 e j t H ( ) 0
H
其他
第2章 解 为
随机过程
由上式得|H(ω)|2=K20，|ω|≤ωH。输出功率谱密度
和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变 量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程 仍 为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍 为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯
过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。
o t
第2章
随机过程
3. 输出过程ξ0(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
P0 ( ) R0 ( )e j d [ h( )h( ) Ri ( )dd ]e j d
0 0
2 0
n0 j 2 f K e df 2
K n f
2 0 0 H
sin H
H
第2章
随机过程
来自百度文库
图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数
第2章
随机过程
式 中 ， ωH=2πfH 。 由 此 可 见 ， 带 限 白 噪 声 只 有 在
τ=k/2fH(k=1, 2, 3, …)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们， 如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相 关的随机变量。这是一个很重要的概念。 如图 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数 Ro(τ)在τ=0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:
2 2 0
可见，输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的，在此范 围外则为零，如图2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带 限白噪声。其自相关函数为
n0 P0 ( ) H ( ) Pi ( ) K 2
H
1 R0 ( ) 2
fH fH
P0 ( )e j d
第2章
随机过程
可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 Pi(ω) 与系 统功率传输函数|H(ω)|2的乘积。这是十分有用的一个重要公式。 当我们想得到输出过程的自相关函数Ro(τ)时，比较简单的方法
是先计算出功率谱密度 Po(ω) ，然后求其反变换，这比直接计
算Ro(τ)要简便得多。
第2章
随机过程
R0 (0) K n f H
2 0 0
第2章
随机过程
4. 输出过程ξ0(t)的概率分布
从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过式 （2.4 - 5），即
0 h( ) i (t )d
0
总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是： 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是 高斯型的。 因为从积分原理来看， 上式可表示为一个和式的极限，即
令
则有
P0 ( ) h( )e
0 j
d h( )e
0
j
d Ri ( )e
'
j '
d '
即
P0 ( ) H ( ) H ( ) Pi ( ) H ( ) Pi ( )
2
（2.4-8）
0 (t ) h( ) i (t )d
0
(2.4 - 5)
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 现在来分析系统的输出过 程ξ0(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关
函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
第2章
随机过程
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
若线性系统是物理可实现的，则
（2.4-2）
或
v0 (t ) vi ( )h(t )d
t
（2.4-3）
v0 (t ) h( )vi (t )d
0
（2.4-4）
第2章
随机过程
如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则v0(t)可看 作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程ξi(t)的每个样 本与输出过程ξ0(t)的相应样本之间都满足式（2.4 - 4）的关系。 这样，就整个过程而言，便有
对式（2.4 - 5）两边取统计平均，有
E[ 0 (t )] E
0
0
h( ) i (t )d
0
h( ) E[ i (t )]d a h( )d
式中利用了平稳性假设 E ［ ξi(t-τ) ］ =E ［ ξi(t) ］ =a( 常数 ) 。 又因为
随机过程
2.4 随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一 起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在 以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过 系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情 况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信 号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线 性系统的响应 vo(t) 等于输入信号 vi(t) 与系统的单位冲激响应 h(t)的卷积，即
E[ i (t1 ) i (t1 )] Ri ( )
有
R0 (t1 , t1 )
0
0
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
（2.4-7）
第2章
随机过程
可见，o t 的自相关函数只依赖时间间隔 ， 而与时间起点t0 无关。 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明： 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程 也是平稳的。
H ( ) h(t )e jω t dt
0
第2章 求得 所以
随机过程
H (0) h(t )dt
0
E[ 0 (t )] a H (0)
与直流传递函数H(0)的乘积，且E［ξo(t)］与t无关。
（2.4-6）
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望
第2章
随机过程
v0 (t ) vi (t ) h(t ) vi ( )h(t )d
（2.4-1）
第2章
随机过程
若
v 0 (t ) V0 ( ) ， v i (t ) Vi ( ) ， h (t) H ( ) ，则有
V0 ( ) H ( )Vi ( )
2. 输出过程ξo(t)的自相关函数
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
根据平稳性
0
0
0
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
0
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
0 (t ) lim 1 (t k )h( k ) k
rk 0 k 0
第2章
随机过程
由于 ξi(t) 已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项 ξi(t-τk)h(τk)Δτk 都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任
一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之
【例2-2】带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声 通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和 噪声平均功率。理想低通的传输特性为
K 0 e j t H ( ) 0
H
其他
第2章 解 为
随机过程
由上式得|H(ω)|2=K20，|ω|≤ωH。输出功率谱密度
和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变 量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程 仍 为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍 为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯
过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。
o t
第2章
随机过程
3. 输出过程ξ0(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
P0 ( ) R0 ( )e j d [ h( )h( ) Ri ( )dd ]e j d
0 0
2 0
n0 j 2 f K e df 2
K n f
2 0 0 H
sin H
H
第2章
随机过程
来自百度文库
图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数
第2章
随机过程
式 中 ， ωH=2πfH 。 由 此 可 见 ， 带 限 白 噪 声 只 有 在
τ=k/2fH(k=1, 2, 3, …)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们， 如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相 关的随机变量。这是一个很重要的概念。 如图 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数 Ro(τ)在τ=0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:
2 2 0
可见，输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的，在此范 围外则为零，如图2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带 限白噪声。其自相关函数为
n0 P0 ( ) H ( ) Pi ( ) K 2
H
1 R0 ( ) 2
fH fH
P0 ( )e j d
第2章
随机过程
可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 Pi(ω) 与系 统功率传输函数|H(ω)|2的乘积。这是十分有用的一个重要公式。 当我们想得到输出过程的自相关函数Ro(τ)时，比较简单的方法
是先计算出功率谱密度 Po(ω) ，然后求其反变换，这比直接计
算Ro(τ)要简便得多。
第2章
随机过程
R0 (0) K n f H
2 0 0
第2章
随机过程
4. 输出过程ξ0(t)的概率分布
从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过式 （2.4 - 5），即
0 h( ) i (t )d
0
总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是： 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是 高斯型的。 因为从积分原理来看， 上式可表示为一个和式的极限，即
令
则有
P0 ( ) h( )e
0 j
d h( )e
0
j
d Ri ( )e
'
j '
d '
即
P0 ( ) H ( ) H ( ) Pi ( ) H ( ) Pi ( )
2
（2.4-8）
0 (t ) h( ) i (t )d
0
(2.4 - 5)
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 现在来分析系统的输出过 程ξ0(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关
函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
第2章
随机过程
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
若线性系统是物理可实现的，则
（2.4-2）
或
v0 (t ) vi ( )h(t )d
t
（2.4-3）
v0 (t ) h( )vi (t )d
0
（2.4-4）
第2章
随机过程
如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则v0(t)可看 作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程ξi(t)的每个样 本与输出过程ξ0(t)的相应样本之间都满足式（2.4 - 4）的关系。 这样，就整个过程而言，便有
对式（2.4 - 5）两边取统计平均，有
E[ 0 (t )] E
0
0
h( ) i (t )d
0
h( ) E[ i (t )]d a h( )d
式中利用了平稳性假设 E ［ ξi(t-τ) ］ =E ［ ξi(t) ］ =a( 常数 ) 。 又因为