2.4 随机过程通过线性系统解析
2.4-随机过程
242.4-随机过程随机过程是用于描述随机信号的数学模型，它包括了随机信号的全部可能实现，每一次实现都以某一概率出现。
离散时间随机信号用离散时间随机过程来描述，这类信号通常是在时间域对连续信号取样得到。
设给定概率空间，若对于每一整(,,)S F P =P 数，均有定义在上的一个随机变量与之对应，则称依赖于参数的一列()n n Z ∈(,,)S F P =P (,)() x n S ξξ∈n 随机变量为一离散时间随机过程。
它的一次实现为一个时间序列，记为。
(,)x n ξ()x n242.4-随机过程随机过程有下列几种不同的解释：1.它是一族函数或称为这些函数的总体。
此(,)x n ξ(,)x n ξ时，n和都是变量；ξ2.它仅是时间函数（给定过程的一个样本）。
在这种情况下，n是变量，而固定；ξ3.若固定n，而是变量，则是一个随机变量，对应于给定过程n时刻的状态；ξ(,)x n ξ)4.若n和都固定，则是一个数。
ξ(,x n ξ2412.4.1-随机过程的统计描述1.均值：随机过程的均值是时间的函数，也称为(){(,)}(;)x n E x n xp x n dxμξ∞−∞≡=∫均值函数，统计均值是对随机过程中所有样本函数(,)x n ξ在时间的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均，它反映了样本函数统计意义下的平均n 变化规律。
2.方差：222(){[(,)()]}[()](;)x x n E x n n x n x n dx σξμμ∞≡−=−x p −∞∫2412.4.1-随机过程的统计描述3.自相关函数：1212(,){(,)(,)}x r n n E x n x n ξξ≡12121212(,;,)x x p x x n n dx dx ∞∞−∞−∞=∫∫自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示随机变量和相关性越强。
如果，1(,)x n ξ2(,)x n ξ12(,)0x r n n =则称和是相互正交的。
第4章 随机历程通过线性系统分析
（3）时不变线性系统的传输函数
由 y(t) h(t) x(t) 有：
Y () H () X ()
X () 、Y () 、 H () 分别为 x(t) 、 y(t) 、 h(t) 的付里叶变换。
称 H () 为系统的传输函数。
4．2 随机过程通过线性系统
基本假设：系统输入 X (t) 是随机过程，系统输出Y (t) 也是随机过程。
性。
4．1 线性系统的基本理论
1．系统的物理表示 系统的物理示意图如图 1。 2．线性系统
x1 (t) 、 x2 (t) 是系统的两个输入，若：
L[1x1 (t) 2 x2 (t)] 1L[x1 (t)] 2 L[x2 (t)]
则称系统 L[] 为线性系统。
3．时不变系统
这一表达在形式上具有方便性，但在计算上较困难。 2、 输出均值
随机过程难以把握，应用的重点是随机过程的均值与相关。
定理： mY (t) h45
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
第4章 随机过程通过线性系统分析
上述积分可用极限形式表示：
、 固定时， 为确定的常用，上式是正态变量 的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。
2．高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ，利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。
等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例：设理想输出为 ，理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ？
依等效原则，理想系统的平均功率为 ，而
所以
称 为等效噪声带宽。
3．白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中，设
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，
图1：系统的物理示意图
是系统的输入， 是系统的输出， 是系统的冲激响应函数
其中 ，为冲激函数。
对于线性系统，系统的数学运算为：
相关时间为
4．白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为：
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为：
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机过程通过线性系统分析
RY (t1 , t 2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t 2 )] h(t1 ) RXY (t1 , t 2 )
若X(t)平稳：
h(t1 ) h(t 2 ) RX (t1 , t 2 )
RXY (t1 , t2 ) h(t2 ) RX (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 u)h(u)du
RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] h(t1 ) RX (t1 , t 2 )
RY (t1 , t2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t2 )] h(t1 ) RXY (t1 , t2 ) h(t1 ) h(t2 ) RX (t1 , t 2 )
随机过程通过线性系统分析 X(t) L Y(t)
问题：给定输入和线性系统的特性 求解：输出的统计特征 线性系统的描述方法：
微分方程 冲激响应 系统传递函数
微分方程法
冲激响应法
频谱法
随机过程通过线性系统分析
冲激响应法 频谱法 计算举例
1. 冲激响应法 X(t) xi(t,ei)
RXY () RX (t1 t2 u)h(u)du h() RX ()
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RXY ( ) h( ) h( ) RX ( )
X(t)
h(t)
Y(t) mY(t)
RX(t1,t2)
RX(t1,t2)
h(t2 )
h(t1)
RXY(t1,t2)
RYX(t1,t2)
h(t1)
RYt1,t2)
相关函数：
RXY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )] h(t 2 ) RX (t1 , t 2 ) RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] h(t1 ) RX (t1 , t 2 )
随机过程通过线性系统
▪ 频域： 若 h(t)dt 物理可实现，且x(t)有界，则有：
Y ( ) H ( )X ( ) 。 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
x(t)
X ()
h(t )
H ( )
e
H ( ) 2 d
0
H ( 0 ) 2
e
o
0
o
e 表示：系统对噪声功率谱的选择性。
线性系统的通频带宽与等效噪声带宽 e 的关系
线性系统通频带的一般定义：系统频率特性曲线半功
率点的通频带宽 （也称为三分贝带宽）。其表示系
统对有用信号的选择性。
因为 ，e 都取决于系统的传输函数H ( )，
E[Y (t )] m X h( )d m X H (0) ，其中 h( )d H (0)
➢ 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t )Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
3．输入X(t) 与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度
RXY ( ) RX 1Y1 ( ) RX 1Y2 ( ) RX 2Y1 ( ) RX2Y 2 ( )
G XY ( ) G X 1Y1 ( ) G X 1Y2 ( ) G X 2Y1 ( ) G X2Y 2 ( )
四、白噪声通过线性系统
RXY ( ) RX ( ) h( ) (N 0 / 2) ( ) h( ) (N 0 / 2)h( )
即有
h( )
2 N0
RXY ( )
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
通信原理-第三章 随机信号分析
第三章随机信号分析随机过程平稳随机过程噪声随机过程通过系统3.1 随机过程通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。
通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。
通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。
统计学上：随机过程。
一、基本概念二、统计特性一、基本概念随机变量定义分布函数概率密度函数二维随机变量随机变量的数字特征数学期望方差协方差矩基本概念（续）随机过程设E是随机试验，S={e}是其样本空间，如果对于每一个e∈S，有一个时间t的实函数ξ(e,t) t ∈T与之对应，于是对于所有的e∈S，得到时间t的函数族。
该族时间t的函数称为随机过程，族中每个函数称为这个随机过程的样本函数。
ξ(t)={x(t),x2(t),……,x n(t),……}1x1(t),x2(t),……为样本函数基本概念（续）随机过程的一个实现每一个实现都是一个确定的时间函数，即样本。
随机过程其随机性体现在出现哪一个样本是不确定的。
随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。
基本概念（续）二、统计特性概率分布数学期望方差协方差函数相关函数1.概率分布2.数学期望1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞−∞==∫物理意义：表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心（平均值）3. 方差D(ξ (t )] = E{ξ (t ) − E[ξ (t )]} = σ (t )2 2物理意义：表示随机过程在某时刻t的取 值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t) 的偏离程度4. 自相关函数R(t1 , t2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t2 )] = ∫∞ −∞ −∞ 1 2 2∫∞x x f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2物理意义：表示随机过程在两个时刻的 取值的关联程度， ξ(t)变化越平缓， 两个时刻取值的相关性越大，R值越大5.自协方差函数B(t1 , t2 ) = E{[ξ (t1 ) − a(t1 )][ξ (t2 ) − a(t2 )]} =∫ ∫−∞∞f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2 x1 − a ( t1 ) ⎤ x2 − a ( t2 ) ⎤ ⎡ ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞∞物理意义：表示随机过程在两个时刻间 的线性依从关系6.互协方差及互相关函数Bξη (t1 , t2 ) = E{[ξ (t1 ) − a (t1 )][η (t2 ) − a (t2 )]}Rξη (t1 , t2 ) = E[ξ (t1 )η (t2 )] = ∫∞−∞ −∞∫∞x1 y 2 f 2 ( x1 , y 2 ; t1 , t2 )dx1dy 23.2 平稳随机过程 定义 各态历经性 自相关函数 功率谱密度一、定义若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概 率密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随 机过程 严平稳过程，狭义平稳过程f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn ) = f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 + τ , t2 + τ ,..., tn + τ )定义（续）a (t)Æa; σ2(t)Æ σ2; R(t1,t2)ÆR(τ) 一维分布与t无关： 二维分布只与τ有关 统计特性与时间起点无关 依据数字特征定义宽平稳过程，广义平稳过程二、各态历经性设x (t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统计平均= x (t)的 1 T2 时间平均 a=a = x (t ) dtlim T ∫T →∞−T2σ =σ22=lim ∫T →∞T →∞1 TT2 2−T[ x (t ) − a ] 2 dtR (τ ) = R (τ ) = lim1 T∫2 −T 2Tx (t ) x (t + τ ) dt意义 ： 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能 状态。
21随机过程的基本概念和统计特性.
R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］
=
x1x2 f2 (x1, x2; )dx1dx2
R（）
仅是时间间隔τ=t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。 以上表明，平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的 均值与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔τ有关，即
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到 的随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
2.2.3
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要 的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征 等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随 机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平 稳随机过程自相关函数的性质。
2. 方差
D[ (t)] E (t) E[ (t)] 2
D[ (t)] E[ (t)]2 [E (t)]2
x2
f1(x, t)dx
[a(t)]2
（2.2—4）
D［ξ(t)］常记为σ2(t)。
方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在 时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
2.1.3随机过程的数字特征
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过 程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函 数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过 程的统计特性，更简单直观。
1. 数学期望
设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机变 量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则ξ(t1)的数学期望为
第三章随机过程通过系统分析
3.1 随机过程通过线性系统分析 线性变换
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
其中A1,A2为随机变量，X1(t),X2(t)为随机过程。 对于线性变换 Y (t ) = L[ X (t )] 若有 Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )] 则称线性变换L是线性时不变的。
N0 / 2 GX (ω ) = 0
ω < ωc
其它
RX (τ )
N 0ωc sin ωcτ RX (τ ) = ⋅ 2π ωcτ
N 0ω c R X (0) = 2π
−
π ωc
0
π ωc
τ
理想低通随机过程的自相关函数
13
3.1 随机过程通过线性系统分析 带通过程
N0 / 2 GX (ω ) = 0
mY (t ) = L[mX (t )] = h(t ) ⊗ mX (t ) = ∫ h(τ)mX (t − τ)d τ
−∞
5
∞
3.1 随机过程通过线性系统分析 若X(t)平稳 X(t)平稳
mY = ∫ m X h(τ )dτ = m X ∫ h(τ )dτ = m X H (0)
−∞ −∞
+∞
+∞
0 ∞
F (ω) Y
∆ωe
F (ω0 ) Y
0
ω0 图3.12 噪声等效通能带示意图
ω
16
3.1 随机过程通过线性系统分析 对带通系统
∆f e
∫ =
∞
0
FY (ω)d ω
2πFY (ω0 )
第4章 随机信号通过线性系统的分析
)
即： RXY (t1,t2 ) = RX (t1,t2 ) ∗ h (t2 )
同理可得 RYX (t1,t2 ) = RX (t1,t2 ) ∗ h (t1 )
比较 RX (t1, t2 ) , RY (t1,t2 ) , RXY (t1,t2 ) 和 RYX (t1, t2 ) ，则有
RY (t1,t2 ) = h (t1 ) ∗ RXY (t1,t2 ) = h (t2 ) ∗ RYX (t1,t2 )
4-3
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
第4页 共9页
RX (t1, t2 ) h (t1 ) RYX (t1, t2 ) h(t2) RY (t1,t2 )
RX (t1, t2 ) h (t2 ) RXY (t1, t2 ) h (t1 ) RY (t1,t2 )
若输入 X (t) 为平稳随机信号，则输出信号Y (t) 与输入信号 X (t) 之间的关系为：
即 GY (ω) =| H (ω) |2 ⋅GX (ω)
∫ ∫ 系统输出的平均功率
PY
=
1 2π
∞ −∞
GY
(ω
)
dω
=
1 2π
∞ −∞
H
(ω )
2
GX
(ω ) dω
有时 RY (τ ) 比较简单 PY = RY (0) = E ⎡⎣Y 2 (t )⎤⎦
4-4
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
《随机信号分析基础》第四章：随机信号通过线性系统的分析
第1页 共9页
第四章 随机信号通过线性系统的分析(4 课时)
研究的必要性：信息的载体=随机信号；信息系统=信息获取、变换、传输与处理 ⇒ 信息处
第三章 随机信号通过线性系统分析讲解
第三章 随机信号通过线性系统的分析本章主要内容：● 线性系统的基本理论● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程● 窄带随机过程基本概念● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。
分析方法：卷积积分法；频域法。
3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号)(t X 某个实验结果ζ的一个样本函数),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。
显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。
它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。
3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。
（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
那么由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。
所以，输出随机过程为宽平稳的。
可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
随机信号通过线性系统
两个共同特点。
上一页 下一页 返回
4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,
• 证明:
• 上式表明,线性系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统 的功率传输函数。通过傅里叶反变换可得到线性系统输出的自相关函 数
上一页 下一页 返回
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 于是系统输出的均方值或平均功率可表示为 • 将输出信号互相关函数的卷积公式两边取傅里叶变换,有
上一页 下一页 返回
• 如果X (t)为平稳随机过程,则 • 其中H (0)为系统的传递函数在ω=0时的值。 • 2)系统输出的互相关函数
上一页 下一页 返回
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 线性系统的输出必定以某种方式依赖于输入,即输入与输出必定是相 关的,其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。线性系统输入输 出之间的互相关函数为
• 线性系统既可以用冲激响应描述,也可以用系统传递函数描述,因此,随 机过程通过线性系统的常用分析方法也有两种:冲激响应法(时域分析 法)和频域分析法。
• 4.2.1 时域分析法
• 1. 系统的输出 • 假定随机信号X (t)输入某个(确知的)线性时不变系统h(t),由前面章节
可知X (t)是不确定的,它可以视为很多样本函数的集合,即x(t,ξi),其中ξi 表示它的某种可能结果,i=1,2,3,…,而每一个样本函数都是确知的,当 它输入系统h(t)时,可得出相应响应信号为
随机信号通过线性系统的分析.
（6-83）
由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过（6-83）式计算，即
my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
（6-84）
若 X (n) 为平稳随机序列，则 mx (n) mx (n k) mx 为
（一）时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列，则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和，即
Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的，则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义，有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )
E
X
(t)
h( 1 ) X (t
1
)d
1
h(
1
)EX
(t)
X
(t
1 )d 1
（6-86）
若X (n)为平稳随机序列，则有
Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
（6-87）
上式说明，输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系 统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随 机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的， 自相关函数只与时间差有关。
随机过程通过线性系统
平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t )
h(t )
Y(t )
X(t)：平稳随机过程 h(t)：线性时不变系统的冲击响应
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
h( )[
h(
)RX
(
)d
]d
h( )[h( ) RX ( )]d
h( ) h( ) RX ( )
输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时 间 起点 t 无关。
E[Y (t )] m X H (0)
(1 )
1
0
RY
(
)
N0 2
e1 e (1 )d1
0
1 0;1 0有物理意义 对 0时
RY ( )
N0 2
e
e21 d1
0
N0 e
4
对 0时
RY ( )
N0 2
e
输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2．系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
h( )h( )RX ( )dd
常数
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) 的函数
十. 随机信号通过线性系统的分析
时域 y(t ) x(t ) * h(t )
频域
x( )h(t )d
h( )x(t )d
F[ x(t )] X ( ), F[ y(t )] Y (), F[h(t )] H ()
Y ( ) X ( ) H ( )
系统的传输函数
2
系统输出自相关函数
1 2 N 0 j RY ( ) H ( ) e d 2 2 N0 2 j H ( ) e d 4
系统输出平均功率
N0 2 E[Y (t )] RY (0) H ( ) d 4
2
28 2014-10-21
S XY ( ) H ( ) S X ( )
22 2014-10-21
2.2 频域分析—系统输入为两个平稳随机信号
若输入是两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)之和，则有
RY ( ) RY1 ( ) RY2 ( ) RY1Y2 ( ) RY2Y1 ( )
输出功率谱密度
N0 SY ( ) H ( ) 2
2
输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由 系统的幅频特性 H ( ) 决定；系统只允许与其频率特性 一致的频率分量通过，具有一定的选择性。
27 2014-10-21
3 白噪声通过线性系统——输出自相关函数
系统输出功率谱密度
N0 SY ( ) H ( ) 2
17 2014-10-21
2.1 时域分析—系统输入为随机过程与加性噪声
X1(t) X2(t) X(t)
线性系统h(t)
Y(t)
若输入的两个平稳过程X1(t)和X2(t)是不相关的，则有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。
若线性系统是物理可实现的，则
（2.4-2）
或
v0 (t ) vi ( )h(t )d
t
（2.4-3）
v0 (t ) h( )vi (t )d
0
（2.4-4）
第2章
随机过程
如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则v0(t)可看 作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程ξi(t)的每个样 本与输出过程ξ0(t)的相应样本之间都满足式（2.4 - 4）的关系。 这样，就整个过程而言，便有
0 (t ) h( ) i (t )d
0
(2.4 - 5)
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 现在来分析系统的输出过 程ξ0(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相关
函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
第2章
随机过程
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
R0 (0) K n f H
2 0 0
第2章
随机过程
4. 输出过程ξ0(t)的概率分布
从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过式 （2.4 - 5），即
0 h( ) i (t )d
0
总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是： 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是 高斯型的。 因为从积分原理来看， 上式可表示为一个和式的极限，即
v0 (t ) vi (t ) h(t ) vi ( )h(t )d
（2.4-1）
第2章
随机过程
若
v 0 (t ) V0 ( ) ， v i (t ) Vi ( ) ， h (t) H ( ) ，则有
V0 ( ) H ( )Vi ( )
2. 输出过程ξo(t)的自相关函数
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
根据平稳性
0
0
0
h( ) i (t1 )d h( ) i (t1 )d
0
h( )h( ) E[ i (t1 ) i (t1 )]dd
第2章
随机过程
2.4 随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一 起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在 以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过 系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情 况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信 号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线 性系统的响应 vo(t) 等于输入信号 vi(t) 与系统的单位冲激响应 h(t)的卷积，即
【例2-2】带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声 通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和 噪声平均功率。理想低通的传输特性为
K 0 e j t H ( ) 0
H
其他
第2章 解 为
随机过程
由上式得|H(ω)|2=K20，|ω|≤ωH。输出功率谱密度
H ( ) h(t )e jω t dt
0
第2章 求得 所以
随机过程
H (0) h(t )dt
0
E[ 0 (t )] a H (0)
与直流传递函数H(0)的乘积，且E［ξo(t)］与t无关。
（2.4-6）
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望
第2章
随机过程
令
则有
P0 ( ) h( )e
0 j
d h( )e
0
j
d Ri ( )e
'
j '
d '
即
P0 ( ) H ( ) H ( ) Pi ( ) H ( ) Pi ( )
2
（2.4-8）
o t
第2章
随机过程
3. 输出过程ξ0(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
P0 ( ) R0 ( )e j d [ h( )h( ) Ri ( )dd ]e j d
0 0
2 0
n0 j 2 f K e df 2
K n f
2 0 0 H
sin H
H
第2章
随机过程
图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数
第2章
随机过程
式 中 ， ωH=2πfH 。 由 此 可 见 ， 带 限 白 噪 声 只 有 在
τ=k/2fH(k=1, 2, 3, …)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们， 如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相 关的随机变量。这是一个很重要的概念。 如图 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数 Ro(τ)在τ=0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:
第2章
随机过程
可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 Pi(ω) 与系 统功率传输函数|H(ω)|2的乘积。这是十分有用的一个重要公式。 当我们想得到输出过程的自相关函数Ro(τ)时，比较简单的方法
是先计算出功率谱密度 Po(ω) ，然后求其反变换，这比直接计
算Ro(τ)要简便得多。
第2章
随机过程
对式（2.4 - 5）两边取统计平均，有
E[ 0 (t )] E
0
0
h( ) i (t )d
0
h( ) E[ i (t )]d a h( )d
式中利用了平稳性假设 E ［ ξi(t-τ) ］ =E ［ ξi(t) ］ =a( 常数 ) 。 又因为
2 2 0
可见，输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的，在此范 围外则为零，如图2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带 限白噪声。其自相关函数为
n0 P0 ( ) H ( ) Pi ( ) K 2
H
1 R0 ( ) 2
fH fH
P0 ( )e j d
E[ i (t1 ) i (t1 )] Ri ( )
有
R0 (t1 , t1 )
00h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
（2.4-7）
第2章
随机过程
可见，o t 的自相关函数只依赖时间间隔 ， 而与时间起点t0 无关。 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明： 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程 也是平稳的。
0 (t ) lim 1 (t k )h( k ) k
rk 0 k 0
第2章
随机过程
由于 ξi(t) 已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项 ξi(t-τk)h(τk)Δτk 都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任
一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之