(完整版)二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案)

【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物

21

6

y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．

⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

⑵ 点()8Q m ，在抛物线21

6

y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求

PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，

AB 是C ⊙的切线．

动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．

⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；

⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．

提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．

（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．

（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P′的坐标，连接P′Q ，那么P′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．

【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线

l 过()01-，点．

⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；

⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；

⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 轴交于M N ，两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F M N ，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

【例3】如图1,⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为()50，，顶点D 在⊙O 上运动． ⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切；

⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；

⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．

图1x

y

O

D

A

B C

15

【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限内，

且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求：

⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；

⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．

P

C B

O

A

y x

1

【例4】

已知：如图，抛物线2

1

3

y x m

=+与x轴交于A B

，两点，与y轴交于C点，90

ACB

∠=︒

⑴求m的值及抛物线顶点坐标；

⑵过A B C

，，的三点的M

⊙交y轴于另一点D，连结DM并延长交M

⊙于点E，过E点的M

⊙的切线分别交x轴、y轴于点F G

，，求直线FG的解析式；

⑶在条件⑵下，设P为CBD上的动点(P不与C D

，重合)，连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH AP k

⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．

【巩固】如图，已知点A 的坐标是()10-，，点B 的坐标是()90，，以AB 为直径作O '，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．

⑴ 求抛物线的解析式；

⑵ 点E 是AC 延长线上一点，BCE ∠的平分线CD 交O '于点D ，连结BD ，求

直线BD 的解析式；

⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得PDB CBD ∠=∠？如果存在，请

求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

D C

E

A y

x

B

O O'

课后作业：

1.如图，直角坐标系中，已知两点()00O ，，()20A ，，点B 在第一象限且OAB ∆为正三角形，OAB ∆的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． ⑴ 求B C ，两点的坐标；

⑵ 求直线CD 的函数解析式；

⑶ 设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF ∆的最大面积？

x

y C

D

O

A

B

参考答案

例1