第六章 狭义相对论

在 ε ′ 系有：
r r r r r r r ∂B ∂B ∂x′ ∂E ′ ∂E ′ ∂x′ ⋅ , ∇ × B ′ = µ 0 J ′ + µ 0ε 0 + ∇′ × E = − + ∂t ′ ∂x′ ∂t ′ ∂t ′ ∂x′ ∂t ′ r ρ′ r ∇ ⋅ E ′ = , ∇ ⋅ B′ = 0 ε0 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 2.设有两根互相平行的尺， 在各自静止的参考系中的长度
l′ 1−
①
从 Σ′ 到 Σ ′′ 有
l ′′ =
②
2
υ′
c2
由速度变换公式有
υ′ =
u −υ uυ 1− 2 c
③
由① ② 得
-4-
l′ =
l 1−
υ ′2
c2 u2 1− 2 c
将 ③ 代入得：
l 1− l′ = 1 u −υ 2 ( ) c 2 1 − uυ c2 u2 1− 2 c uυ 2 ( u − υ ) − c2 c2 u2 uυ 1 − 2 (1 − 2 ) c c
ω 0 ，与水平成 θ 0 夹角的平面光波自右向左入射到镜面
上，求反射光波的频率 ω 及反射角 θ 。垂直入射情况如 何？ 解：坐标系建立如图： 因为
r i kµ = (k , ω ) c
且
′ = aµν kν kµ
所以
′+ k x = γ (k x ′ ky = ky ′ kz = kz
υ
c2
ω)
c
cosθ1
cosθ 2 c ω′ k1′x = 1 cosθ1′ c ′ ω2 ′x = ′ k2 cosθ 2 c 将其代入 可得 cos θ1′ = cosθ1 −
υ
c
1 − cosθ1 c cosθ 2 −
υ
υ
c ，
′= cosθ 2
1 − cosθ 2 c
υ
υ ω1′ = ω1γ (1 − cosθ1 ) υ ω2′ = ω2γ (1 − cosθ 2 )
-6-
t = γ (t ′ +
υ
当飞船速度为 υ ′ = 0.9999c ，
u′ x = 0，
∴ a = a′
又因为
γ3
dt =
所以
dυ a
υ
dυ c υ c t=∫ = tgθ = 3 g γ g 1 − υ 2 c2 0
v
= 47.5year
0
同理
t ′ = 2.52 year
10.一平面镜以速度 υ 自左向右运动，一束频率为
υ2
c2
u2 c2
r 7.一把直尺相对于 ∑ 坐标系静止，直尺与 x 轴交角 θ 。今有一观察者以速度 υ 沿 x
轴运动，他看到直尺与 x 轴交角 θ ′ 有何变化？
解：
Σ系 ∆y ∆x
Σ′ 系
① ②
∆y ′ = ∆y
∆x = ∆x′ 1−
④
⑤
υ2
c2
tgθ =
∆y ∆x
③
∆y ∆x 1 − =
tgθ ′ =
第六章 狭义相对论
1.证明牛顿定律在伽利略变换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变 的。 解：伽利略变换为 x' = x − vt , y ' = y z ' = z , t ' = t. 牛顿定律
r r F = ma
在 ε 系：
v v &. F = m& x
在 ε ′ 系有
v v v &′ = m& &， F = m& x x
3px′z ′
2 2 2 4πε 0 x′ + y ′ + z ′ 5 2
，
Ey =
3γ pz ′x′ 4πε 0 x′ + y ′ + z ′
2 2 2 5 2
，
Ez =
γ p ( 2 z ′2 − x ′ 2 − y ′ 2 )
2 2 2 4 πε 0 x′ + y ′ + z ′ 5 2
进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都是 l0 。 解：
Σ系 ∆t = 0 ∆x = 2l 0
Σ′系
υ
2 ∆t ′ = c
∆x
=
2l0υ c2 1 −
1−
υ2
c2
υ2
c2
5.光源 S 与接收器 R 相对静止，距离为 l0 ， S − R 装置浸在均匀无限的液体介质(静 5. 止折射率 n )中，诚对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器到讯号所经历时间， (1).液体介质相对于 S − R 装置静止。 (2).液体沿着 S − R 连线方向以速度 υ 流动。 (3). 液体垂直于 S − R 连线方向以速度 υ 流动。 解： （1）由于介质的存在，所以光速为 c u′ x = n 所以
c −υ 2 n2
6.在坐标系 Σ 中，有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动，在 Σ 系看来，它们一直保持 r 距离 l 不变，今有一观察者以速度 υ 沿 x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 解：
Σ
Σ′
Σ ′′
l
l′ ∆t ′ = 0
l ′′
从 Σ 到 Σ ′′ 有：
l ′′ =
l u2 1− 2 c
c2 −υ 2 2 n
将光线在 S-R 连线方向上的传播速度 u ′ x 变换到实验室参考系 Σ 上，有：
u′ x 1− 1+ c
υ2
u x=
c2 = υ u′ y
2
c2 −υ 2 n2 ， 1−
υ2
c2
由此得到 Σ 系中光从 S 到 R 的时间：
∆t = l0 = ux l0 1 −
2
υ2
c2 。
c
再联立
c
2 − (1 + 2 )cosθ1 cosθ 2 = c 2 c υ υ 1 + 2 − 2 cosθ1 c c
υ
υ
sin 2θ 2 = 1 − [
2β − (1 + β 2 )cosθ 2 ] 1 + β 2 − 2β cosθ
1− β 2 ⇒ sinθ 2 = sinθ1 1 + β 2 − 2 β cosθ1
thy =
thy ′ + thy ′′ = th (y ′ + y ′′) 1 + thy ′thy ′′
y = y ′ + y ′′
r r r r 12.电偶极子 p 0 以速度 υ 做匀速运动，求它产生的电磁势和场 ϕ ， A ， E ， B 。
解：在电偶极子静止坐标系 ∑ ′ 系中，设其沿 x 轴运动，
r r p⋅R pz ′ ϕ′ = = ， 3 4πε 0 R 4πε 0 R′
r E ′ = −∇′ϕ ′ =
r r r r 1 3( p ⋅ R) R′ p − 3 4πε 0 R5 R
r r B′ = 0 ， A′ = 0
在 ∑ 系中， t 时刻电磁场用（5.23）
Ex =
tgθ 1−
∆y ′ ∆x ′
⑥
′ ∴ tgθ ′ = ∆y = ∆x′
υ2
c2
υ2
c2
8.两个惯性系 ∑ 和 ∑ ′ 中 各放置若干时钟，统一惯性系中的诸时钟同步， ∑ ′ 相对于
′ = 0 ，问处于 ∑ 系中某点 ∑ 以速度 υ 沿 x 轴方向运动，设两点系统圆点相遇时， t0 = t0
（x,y,z）处的时钟与 ∑ ′ 系中何处的时钟相遇时，指示的时刻相同？读数是多少？ 解：两时钟相遇时，
∴牛顿定律在伽利略变换下是协变的。 由伽利略变换有 ∇ = ∇′ . ∂ ∂ ∂ ∂x ′ = + ∂t ′ ∂t ∂x ′ ∂t ′ 在 ε 系有： r r r r r ∂B ∂J ∇ × B = µ0 J + µ0ε 0 , ∇ × E = − , ∂t ∂t r ρ r ∇⋅E = , ∇ ⋅ B = 0. ε0
′) ω = γ (ω ′ + υ k x
r r ′ ，入射角 θ 0′ ， 在 ∑ ′ 系中，入射波矢 k1′ ，反射波矢 k2
由静止系中反射定律：
′ = π − θ 0′ ， ω2 ′ = ω1′ 反射角 θ 2
-7-
′ = cosθ 0′ ∴ cosθ 2
在两系中，
k1x = k 2x =
ω1 ω2
若垂直入射
θ1 = 0 cosθ1 = 1 cosθ 2 = 1 c −υ ω2 = ω1 c +υ
11.在洛仑兹变换中，若定义快速度 y 为 tanhy= β ， （1）证明洛仑兹变换矩阵可写为：
aµν
chy 0 = 0 −ichy
0 0 ichy 1 0 0 0 1 0 0 0 chy
均为 l 0 ， 它们以相同速度 υ 相对于某一参考系运动， 但运动方 向相反，且平行于尺子，求站在一根尺子上测量另一根尺的 长度。 解：
-1-
Σ系 ∆x = l , ∆t = 0,
Σ ′系 ∆x′ = l0 1− − ,
① ②
υ2
c2 c l
③
υ
∆t′ =
1−
υ2
c2
④
Σ′′系 ∆x′′ = ∆x′ − υ∆x′ 1−
(∆t )1 =
（2）由速度变换公式
nl 0 c
ux =
得：
u′ x +υ u ′υ 1 + x2 c
c +υ n ux = υ 1+ nc
( ∆t ) 2 =
∴ =
l0 ux (1 +
υ
nc
)l0
c +υ n
-3-
（3）光的传播速度为 因为
c n
u′ y = −υ , u t′ = 0,
因此
u x′ =
′= ∴ ux
dx′ dt dυ ′ a′ = dt ′
x = γ ( x′ + υ t ′ )
x′) c2 +υ dx u ′ ux = = x dt 1 + u ′ xυ c2 υu′ dt = γ (1 + 2x )dt ′ c du du ′ dt ′ a′ a= x = x = ′υ 3 dt dt ′ dt γ 3 (1 + u x ) c2
Σ系 l ∆t ′ = 0 u0
Σ′系 ∆t = ∆t ′ +
①
υ
c2
∆t ′u0
= ∆t ′
1+Biblioteka Baidu
υ u0
c2
②
1−
υ
2
1−
υ2
c2
c2
① 代入 ② 得
l0 (1 + u0υ ) c2
∆t =
u0 1 −
υ2
c2
-2-
4.一辆以速度 v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针 上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，随后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观 察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差，设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前
∴ tgθ 2 =
又
sinθ1 γ [(β + cosθ1 ) + β (1 + βcosθ1 )]
2
′ = ω1′ Q ω2 1 + β 2 − 2 βcosθ 1 ∴ω 2 = ω1 1− β 2
-8-
若 v 远小于 c，则
β ≈0
cosθ 2 ≈ −cosθ1 tgθ 2 ≈ tgθ1
ω 2 ≈ ω1 ，
，
Bx = 0 By = −γυ p ( 2 z ′2 − x′2 − y′2 ) 4πε 0 c x′ + y ′ + z ′ 3γυ pz ′x′
2 2 2 2 5 2
，
Bz =
4πε 0 c x′ + y ′ + z ′
l =
(1 −
)
2
=
l 1−
2uυ u 2υ 2 u 2 2uυ υ 2 υ2 u2 + 4 − 2 + 2 − 2 l (1 − 2 )(1 − 2 ) 2 c c c c c = c c 2 2 u u uυ u2 (1 − 2 ) 1 − 2 (1 − 2 ) 1 − 2 c c c c
=
l 1− 1−
（2）对应速度合成公式
β=
可快速表为
β ′ + β ′′ 1 + β ′β ′′
y = y ′ + y ′′
解： （1）由 tany= β ， 可得
γ =
1 1− β 2
= chy ，
iβγ = itanhychy = ishy
（2）由
β=
β ′ + β ′′ ， 1 + β ′β ′′
-9-
可得
υ2
c2
⑤
将 ③ ④ 代入 ⑤ 得
l (1 + 1−
υ2
∆x′′ =
υ
) c2 = l 0 2
c2
∴l = l
1− 1+
υ2 υ2
c2 c2 .
0
3.静止长度为 l0 的车厢，以速度 υ 相对于地面 S 运行，车厢的后壁以速度 u0 向前推
出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解：
在 ∑ 系中看 ∑ ′ 中原点 O′ 走过的距离：
1 ′ = x(1 + ) L0 r ′ L0 t= = t′ t
⋅ v 9.火箭由静止状态加速到 υ ′ = 0.9999c ，设瞬时惯性系得加速度为 υ = 20m ⋅ s 2 ，问按照
静止系的时钟和火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间？ 解：设 ∑ ′ 系是相对静止系以 υ ′ = 0.9999c 运动的坐标系
-5-
x′ = γ ( x − υ t ) y′ = y z′ = z t ′ = γ (t − υ x) c2
逆变换为
①
t ′ = γ (t +
①②可得
υ
c2
x)
②
t = t ′ ， x = − x′
由②得：
x′ = −
2 c2 t 1 − 1 − υ 2 c υ