2020届嘉兴9月基础测试

2020届嘉兴9月基础测试
一、选择题：每小题4分，共40分
1. 已知集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则=A B I （ ） A ．{}1-
B ．{}1
C ．{}1,1-
D ．∅
2. “22a b =”是“ln ln a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3. 如图，函数()f x （(]1,2x ∈-）的图象折线为ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集为（ ）
A ．{}10x x -<≤
B ．{}01x x <≤
C ．{}11x x -<≤
D ．{}2x x x -<≤
4. 已知x ，y 满足条件020x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5. 袋中有形状、大小相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（ ） A ．35
B ．34
C ．710
D ．45
6. 已知向量a 与b 不共线，且0⋅≠a b ，若2
⋅=-⋅a b
c a a b
，则向量a 与c 的夹角为（ ）
A ．2π
B ．6π
C ．3
π D ．0
7. 如图，已知抛物线21:4C y x =和圆()2
22:11C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和
2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅u u u r u u u r
的值为（ ） A ．14 B ．12
C ．1
D ．2
8. 若,,22ππαβ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ）
A ．αβ>
B ．0αβ+>
C ．αβ<
D ．22αβ>
9. 已知各棱长均为1的四面体A BCD -中，E 是AD 的中点，P 为直线CE 上的动点，则BP DP +的最
小值为（ ） A
．1 B
C
D
10. 已知a ，b ∈R ，关于x 的不等式3211x ax bx +++≤在[]0,2x ∈时恒成立，则当b 取得最大值时，a 的取值范围为（ ） A
．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．32,4⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
C
．34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．5,22⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分）
11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则俯视图的面积为 2cm ，该几何体的体积为
3cm ．
12. 已知{}n a 是公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，若21a +，51a +，71a +成等比数列，则
1a = ，当n = 时，n S 取得最大值．
13. 已知函数()()()21cos 2sin f x x x x =+∈R ，则()f x 的最小正周期为 ；当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()
f x 的最小值为 ．
14.
二项式6
的展开式中，所有有理项．．．（系数为有理数，x 的次数为整数的项）的系数之和为 ；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有 种．（用数字作答）
15. ABC △中，5AB =
，AC =BC 上的高4AD =，且垂足D 在线段BC 上，H 为ABC △的垂心且
AH xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r （x ，y R ∈），则x
y = ．
侧视图
俯视图
正视图
16. 已知P 是椭圆()2211221110x y a b a b +=>>和双曲线22
2222
1x y a b -=（20a >，20b >）的一个交点，1F ，2F 是
椭圆和双曲线的公共焦点，1e ，2e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123
F PF π
∠=，则12e e ⋅的最小值
为 ．
17. 已知λ∈R ，函数()24,,
42,x x f x x x x λλλ-≥⎧=⎨-+<⎩．
若函数()f x 恰有2个不同的零点，则λ的取值范围
为 ．
三、解答题（5小题，共74分）
18. 已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C +⋅-=-⋅． （1）求角A 的大小；
（2）当2a =时，求ABC △面积的最大值．
19. 如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，22BC CD AB ===，PAD △是等边三角形，M ，
N 分别为BC ，PD 的中点． （1）求证：MN ∥平面P AB ； （2）若二面角P AD C --的大小为
3
π
，求直线MN 与平面P AD 所成角的正切值．
M
N
D
C
B
A
P
20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2=31n n S a -（*n ∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设32
log n n n a b a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：154n T <．
21. 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>
的焦距为()2,0A ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点()0,1B ，设P 为椭圆C 上位于第三象限内一动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x
轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值，并求出该定值．
22. 已知函数()2x f x e ax b =-+（,a b ∈R ，其中e 为自然对数的底数）． （1）若0a >，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ．
（i ）当a b =时，求实数a 的取值范围；
（ii ）设()f x 的导函数为()f x '，求证：1
202x x f +⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
．。