统计学0716双因素方差分析
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
双因素试验的方差分析
2
j 1
误差平方和： S
E
i 1
( x ijk X
ij
)
j 1 k 1
③计算自由度
SA的自由度：r－1 SB的自由度：s－1 SA×B的自由度： (r－1)(s－1) Se的自由度：rs(t －1)
ST的自由度：rst－1
(4) F检验
FA
S A /( r 1) S E /( rs ( t 1))
r
j 1 k 1
因素A的效应平方和： 因素B的效应平方和： A，B交互效应平方和：
S A B t
i 1 r
S A st ( X
S B rt ( X
j 1
i
X)
2
i 1 s
j
X )
2
r
s
(X
s
ij
X
t
i
X j X )
X 2 1 1 , X 2 1 2 , ..., X 2 1 t
A2 … Ar
x 221 , x 222 , ..., x 22 t
… … …
…
…
…
X rs 1 , X rs 2 , ..., X rst
X r 11 , X r 12 , ..., X r 1 t X r 2 1 , X r 2 2 , ..., X r 2 t
总和
ST
rs－1
（3）双因素无重复试验方差分析表 双因素无重复试验方差分析表 方差 来源 因素A
平方 和
SA
自由度
r－ 1
均方
SA SA r 1
第二节 双因素方差分析 PPT课件
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
行因素的均方，记为MSR，计算公式为
MSR SSR k 1
列因素的均方，记为MSC ，计算公式为
MSC SSC r 1
误差项的均方，记为MSE ，计算公式为
MSE SSE (k 1)(r 1)
分析步骤
(构造检验的统计量)
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
总体的简单随机样本
2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽
取的
3. 观察值是独立的
无交互作用的双因素方差分析 (无重复双因0
343
340
品牌2
345
368
363
330
品牌3
358
323
353
343
品牌4
288
280
298
260
地区5 323 333 308 298
数据结构
分析步骤
(提出假设)
• 提出假设
– 对行因素提出的假设为
• H0：m1 = m2 = … = mi = …= mk (mi为第i个水平的
平方和 自由度 误差来源
均方
(SS) (df) (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 SSR
MSR k-1 MSR
MSE
列因素 SSC
MSC r-1 MSC
MSE
误差
SSE (k-1)(r-1) MSE
总和 SST kr-1
双因素方差分析
(例题分析)
统计学-双因素
r-1
MSC=SSC/(r-1)
FC ＝ MSC/MSE
FRC ＝ MSRC/MSE
4
交互作用
SSRC
(k-1)(r-1)
MSRC=SSRC/ (k-1)(r-1)
5
误差
SSE
kr(m-1)
MSE=SSE/ kr(m-1)
6
总和
SST
n-1
设:
xijl为对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个 水平的第l行的观测值 ；
(3)统 计 决 策（一）
计算出F统计量后再根据给定的显著性水平和两个自由度，查F分 布表得到相应的临界值F。 若FR>F ，拒绝原假设H0 ，则表明均值之间的差异是显著的抑 或检验的行因素对观察值有显著影响。 若FC > F ，拒绝原假设H0 ，则表明均值之间的差异是显著的抑 或检验的列因素对观察值有显著影响。 （二） (行)P-value﹤α则拒绝原假设H0.反之则不拒绝。
SST xij x
x
的误差平方
2
行因素误差平方和 ：
SSR xi. x
i 1 j 1
k r i 1 j 1
i 1 j 1 k r
2
列因素误差平方和 ：
SSC x. j x
k r
2
随机误差项平方和：
SSE xij xi. x. j x
10.3
双因素方差分析
A
当方差分析中涉及两 个分类型自变量时。
B
方 什么是“双”因素 差
分析 ？
10.3.2无交互作用的双因素方差
A
B
无交互作用：独立
无交互作用双因素数据结构
Xij：是由行因素的K个水平（i=1，2，……，k）和列因素的R个水 平（ i=1，2，……，r）所组和成的k×r个总体中抽取的样本量为1 的独立随机样本。而k×r个总体中的每一个总体都服从正态分布且 有相同的方差。
双因素方差分析结果解读
双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。
它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。
本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。
首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。
因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。
例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。
其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。
双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。
最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。
通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。
只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。
综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。
双因素试验方差分析课件
未来将结合其他统计方法，如回归 分析、聚类分析等，以更全面地揭 示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试 验，提高试验的可靠性和 准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试 验因素的影响，突出试验 因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验 结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验 结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个 因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素 对观测值的影响程度和显著性，得 出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据 是否符合正态分布和同方差性，以确 保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和 降低误差，对方差分析的结果产生积 极影响。
方差分析的步 骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设 条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进 行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提 出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个 因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验 设计，确保每个因素的每个水平都 被充分考虑。
数据收集
双因素方差分析
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
双因素方差分析课件
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
双因素方差分析法
1 b 水平A α i = ∑ µij − µ = µi i − µ 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ µij − µ = µi j − µ 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij − µij
特性： 特性：
∑ α i = 0;
i =1
Fα ( ( a − 1 ) ,
df E
df T
SS E MSE = df E
SS T
注意
df E = dfT − df A − f B , SS E = SST − SS A − SS B
各因素离差平方和的自由度为水平数减一， 各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。 和的自由度为试验总次数减一。
dfT = n −1 = 11 df A = a −1 = 3 df B = b −1 = 2
SSE = SST − SSA − SSB = 32.83 df E = df A ⋅ dfb = 6
MSA = SSA df A = 38.223
F0.01 ( 3,6) = 9.78 F0.05 ( 3,6) = 4.76
双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标） 在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素 或元素 或元素B时 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素 时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和 时 性能变化不大，但当同时加入元素 和B时，合金性 能的变化就特别显著。 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 把它当成一个新因素来处理。 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析， 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。 问题，用正交试验法比较方便。
《双因素方差分析》课件
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
双因素方差分析法非常好的具体实例课件
数据预处理与筛选
02
01
03
对原始数据进行清理和筛选，处理缺失值和异常值， 确保数据质量。
对分类变量进行适当的编码和转换，使其符合分析要求。
对连续变量进行适当的变换，如对数转换或标准化处 理，以满足正态分布和方差齐性的假设。
结果解读与报告撰写
仔细解读双因素方差分析的结 果，包括F值、P值、效应大小 和方向等。
混合类型数据
对于同时包含分类和数值型变 量的数据，如何进行有效的双 因素方差分析是一个值得研究 的问题。
THANK YOU
感谢聆听
结合实际问题和专业知识，对 结果进行解释和讨论，并给出 合理的结论和建议。
按照学术规范撰写报告，注意 逻辑性和条理性，并适当使用 图表和表格来呈现结果。
04
双因素方差分析法的未来发展与展望
技术创新与改进
算法优化
随着计算能力的提升，双因素方差分析算法将进一 步优化，提高分析的准确性和效率。
自动化程度提高
特点
能够同时考虑两个因素对连续变量的影响，并比较各组之间的差异。
适用范 围
当有两个分类变量，且需要探讨它们 对一个连续变量的影响时。
适用于探索两个因素对连续变量的交 互作用和主效应。
优势与局限性
优势
能够全面分析两个因素对连续变量的 影响，并提供交互作用和主效应的估 计。
局限性
当样本量较小或数据不满足方差分析 的前提假设时，分析结果可能不准确。
未来分析过程可能更加自动化，减少人工干预，降 低错误率。
可视化呈现
数据分析结果将以更直观的方式呈现，方便用户理 解和解释。
应用领域的拓展
80%
跨学科应用
双因素方差分析法将应用于更多 学科领域，促进不同学科之间的 交叉融合。
双因素方差分析
双因素方差分析标题：双因素方差分析的应用与解读摘要：本文通过介绍双因素方差分析的基本原理和方法，以及其在实际研究中的应用，帮助读者了解和理解该统计方法的概念和分析原理。
文章中还将详细探讨如何正确解读双因素方差分析结果，以及常见的误解和注意事项。
最后，本文将探讨该方法的局限性和发展前景，为读者提供一个全面的视角来评估该统计方法的实用性和适用性。
第一部分：引言双因素方差分析是一种常用的统计方法，用于研究两个或更多因素对某个变量的影响。
在实际研究中，我们常常需要探究不同因素对某一现象的综合影响，例如产品价格和广告投入对销售额的影响。
双因素方差分析能够帮助我们进行出色的统计分析，确保数据结果的准确性和可信度。
第二部分：双因素方差分析的基本原理和方法双因素方差分析是一种通过计算因素之间的差异来确定不同因素对某一现象的影响程度的方法。
它通过将数据分为不同的组别，并计算组间差异和组内差异，来判断不同因素是否对现象产生显著影响。
这种方法将数据集划分为两个或更多的因素组，然后通过计算组别间的方差和组内的方差来确定每个因素的影响程度。
第三部分：双因素方差分析的应用双因素方差分析在许多领域中得到了广泛应用。
例如，在医学研究中，我们可以使用双因素方差分析来确定一个新药物对不同性别和不同年龄组的病人的治疗效果。
在市场营销领域，我们可以使用双因素方差分析来探究不同价格和不同广告投入对产品销售额的影响。
在教育领域，我们可以使用双因素方差分析来研究不同教学方法和不同学生能力水平对学生成绩的影响。
这些例子仅仅是说明双因素方差分析的应用领域的一部分，该方法在实际研究中的应用潜力巨大。
第四部分：正确解读双因素方差分析结果正确解读双因素方差分析结果是使用该方法的关键。
首先，我们需要了解P值和显著性水平的概念。
P值表示观测到的差异出现在无关因素组中的概率。
显著性水平则是在假设检验中用来判断观测到的差异是否真实存在的标准。
其次，我们需要关注效应大小。
双因素方差分析
1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明： 构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水 平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),
双因素方差分析法 (3)
双因素方差分析法引言双因素方差分析法是一种经典的统计分析方法，用于研究两个或更多因素对于观测变量产生的影响。
它可以帮助研究者理解因素之间的相互作用以及它们对观测变量的影响程度。
在本文中，我们将介绍双因素方差分析法的基本原理、假设条件、计算方法以及结果解读。
基本原理双因素方差分析法基于线性模型的思想，假设观测变量的总体均值可以划分为不同因素的影响以及随机误差的贡献。
通过分析各个因素的变化对总体均值的影响，我们可以确定它们是否显著。
在双因素方差分析法中，我们关注的是两个因素对观测变量的影响，分别称为因素A和因素B。
它们都被假设为固定效应因素，即我们关注的是这两个特定的因素对观测变量的影响，而不是从更广泛的总体中随机选择因素。
我们还假设各个因素的影响是相互独立的，即因素A和因素B之间没有相互作用。
假设条件在进行双因素方差分析法之前，我们需要满足一些假设条件。
首先，观测变量需要满足正态性假设，即在每个组别中，它们的分布应该是正态分布的。
其次，观测变量的方差应该相等，即方差齐性假设。
最后，观测值之间应该相互独立。
计算方法总平方和我们首先计算总平方和（SST），它表示观测变量的总体变异程度。
总平方和可以通过以下公式计算：SST = SSA + SSB + SSAB + SSE其中，SSA、SSB、SSAB和SSE分别表示因素A、因素B、因素A和因素B的交互作用以及误差的平方和。
自由度自由度用于衡量观测数据中可以自由变动的数量，它可以用于计算各个方差分量。
在双因素方差分析法中，自由度的计算方法如下：•自由度(A) = 组数(A) - 1•自由度(B) = 组数(B) - 1•自由度(AB) = (组数(A) - 1) * (组数(B) - 1)•自由度(E) = 总样本数 - 组数(A) * 组数(B)均方和均方和是指在给定自由度下的平方和除以对应的自由度得到的值。
在双因素方差分析法中，我们可以计算因素A、因素B、因素A和因素B的交互作用以及误差的均方和。
16双因素方差分析
一、 模型条件
正态性：各样本来自正态分布
方差齐性：各样处理组总体方差齐；各区组总体 方差齐。
12
处理组间正态性检验结果
13
区组间正态性检验结果
14
处理组的残差诊断——方差齐性
15
区组的残差诊断——方差齐性
16
二、 基本思想
SS组内
SS总
变异之间的关系：
SS组间
SS配伍
• SS总= SS组内+ SS组间+ SS配伍间
方差分析结果
SS
12.6147 3.0527 5.5280 4.0340
29 2 9 18
MS
1.5264 0.6142 0.2241
F
6.8112 2.7407
P
0.0063 0.0328
3 确定 P值，作出推断结论 查 F界值表得：不同处理组的 P<0.05，所以认为A、B、C三种方 案的处理效果不全相同。不同区组 P<0.05，认为10个区组的总体均数 不全相同。
33
34
总=
组内+ 组间+配伍间
17
三、基本步骤
配伍组设计资料的方差分析的
无效假设有二个，其一是关于处理
因素的，另一个是关于配伍因素的。 相应的统计量也有二个。
1
建立检验假设，确定检验水准 对于处理组 H0：三个总体均数全相等 H1：三个总体均数不全相等 对于区组 H0 ：十个总体均数全相等 H1 ：十个总体均数不全相等 a=0.05
生物蛋白 4.3 4.1 3.5 4.8 5.1 3.3 3.1 4.2 3.8 4.8 4.1
X i
3.60 3.87 3.17 4.43 4.27 3.50 3.03 3.83 3.70 4.13 3.75( X )
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MSA
S
2 A
r 1
MSB
S
2 B
s 1
MSE
S
2 E
(r 1)(s 1)
，影响试验指标的因素往往不只一 到多因素方差分析。本部分讨论双 。 显著，还要考察这两个因素联合起 用。交互作用只存在于等重复试验 重复试验时，才能分析出两因素之
只做一次试验。所得结果如下表：
Bs X1s X2s … Xrs
根据随机变量F分布的定义，若随机变量X～X2(m),Y～X2(n)，则：
F X / m ~ F(m, n) Y /n
综合定理4，则当H01成立时，有：
当H02成立时，有：
FA
S
2 A
2/r1源自S2 E/(r -1)(s
- 1)
MSA MSE
~
F (r 1, (r 1)(s -1))
2
FB
S
2 B
/ s 1
二、双因素无重复试验的方差分析
所谓双因素无重复问题，就是对因素A，B的每一对组合（Ai，Bj）只做一次试验。所得结果如下表
B1
B2
...
Bs
A1
X11
X12
…
X1s
A2
X21
X22
…
X2s
…
…
…
…
…
Ar
Xr1
Xr2
…
Xrs
（一）确定数学模型
由于无重复试验中不存在交互作用，此时γij=0（i=1,2,…,r;j=1,2,…,s），故其数学模型如下：
（六）双因素等重复试验方差分析计算表
双因素无重复方差分析计算表
方差来源 因素A 因素B 误差E 总和T
平方和 自由度
SA2
r-1
SB2
s-1
SE2
(r-1)(s-1)
ST2
rs-1
均方
MSA MSB MSE
F值 临界值
MSA/MSE F1 ( r 1, ( r 1)( s 1))
MSB/MAE F1 (s 1, (r 1)(s 1))
s），故其数学模型如下：
要检验因素B对试验指标的影响是
s
x ) 2 r ( x . j x ) 2 j 1 SB2
1, (r 1)( s 1))
1, (r 1)(s 1))
i1 j 1
i 1
j 1
SE2
SA2
即：ST2=SE2+SA2+SB2
（四）检验统计量及其分布 定理4 在双因素无重复方差分析数学模型中： （1）SE2/σ2～X2((r-1)(s-1)); （2）当H01成立时，SA2/σ2～X2(r-1)； （3）当H02成立时，SB2/σ2～X2(s-1); （4）SE2,SA2,SB2相互独立.
x ij i j ij
ij ~ N (0, 2 )
各 ij 独立
r
s
i 0, j 0
i1
j1
i=1,2,…,r;j=1,2,…,s
（二）确定假设
对于上述模型需要检验以下两个假设：
H01：α1=α2=…=αr=0 H02：β1=β2=…=βs=0
要检验因素A对试验指标的影响是否显著，就要对H01作显著性检验；要检验因素B对试验指标的影响 否显著，就要对H02作显著性检验。
（三）平方和的分解
引入总离差平方和ST2：
rs
S
2 T
( x ij x ) 2
i1 j 1
将总离差平方和ST2进行分解，得：
rs
S
2 T
( x ij x ) 2
i1 j 1
rs
r
s
( x ij x i. x . j x ) 2 s ( x i. x ) 2 r ( x . j x ) 2
双因素方差分析
单因素方差分析涉及到的可变因素只有一个，但在许多实际问题中，影响试验指标的因素往往不只 个，需要考虑多因素中每一个因素对试验的影响是否显著，这就需要用到多因素方差分析。本部分讨论 因素方差分析，其基本方法可以推广到涉及两个以上因素的多因素分析。
双因素方差分析，不但要考虑因素A、B单独对试验指标的影响是否显著，还要考察这两个因素联合 来对试验指标的影响是否显著。这种作用叫做A、B这两个因素的交互作用。交互作用只存在于等重复试 中，因为在双因素方差分析中，只有当在每个因素的不同水平上进行等重复试验时，才能分析出两因素 间是否存在交互作用。
2
S
2 E
/(r
-1)(s -1)
MSB MSE
~
F(s 1, (r -1)(s -1))
2
（五）假设检验问题的拒绝域 对于给定的显著性水平，原假设H01的拒绝域为：
FA F1 (r 1,(r 1)(s 1))
对于给定的显著性水平，原假设H02的拒绝域为：
FB F1 (s 1,(r 1)(s 1))