(完整版)初等数学研究资料
初等数学研究第三讲
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定理必须能够以某种方式清晰地表达出来。
定理的证明方法和技巧
01
02
03
04
演绎法
从一般到特殊的推理方法,即 从普遍性的前提推出特殊性的
结论。
归纳法
从特殊到一般的推理方法,即 从一系列特殊事例中推出一般
性的结论。
反证法
假设某一命题不成立,然后通 过推理导出矛盾,从而证明原
命题成立。
构造法
直接提供证明所需的证据或实 例。
数学建模和计算 技术的应用
数学建模和计算技术已经成 为解决复杂问题的重要手段 。未来,初等数学将更加注 重培养学生的数学建模和计 算技术能力,以适应数字化 时代的需求。
培养学生对数学 的热爱
通过丰富多样的教学方法和 活动,培养学生学习数学的 热情和兴趣,让他们感受到 数学的魅力和应用价值。这 将有助于培养更多的数学人 才,推动数学的发展和创新 。
代数式的化简和变形
80%
代数式的化简
掌握代数式的化简方法,如合并 同类项、提取公因式等,能够将 复杂的代数式化简为简单的形式 。
100%
代数式的变形
理解代数式的变形技巧,如因式 分解、配方等,能够根据需要将 代数式进行适当的变形。
80%
代数式的应用
了解代数式在实际问题中的应用 ,如几何图形、物理量之间的关 系等,能够运用代数式解决一些 实际问题。
统计的基本概念和数据处理方法
总体和样本
总体是研究对象的全体数 据,样本是从总体中抽取 的一部分数据。
描述性统计
描述性统计是对数据进行 整理、分类、概括和可视 化,以揭示数据的分布特 征和规律。
推断性统计
推断性统计是根据样本数 据对总体参数进行估计和 预测,常用的方法有回归 分析、方差分析等。
初等数学研究完整ppt课件
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26
定理2 设Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}} Z- ={[(0,a)]|a∈N-{0}}
则Z= Z+∪[(0,0)]∪Z-, 且Z+, [(0,0)], Z-两两不相交. 定义3 称Z+为正整数集,称Z-为负整数集。
✓(1)对于任意a, b∈ N, 都有
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(a·b)=f(a)·f(b)
✓(2)对于任意a, b∈ N, 若a≤b, 则f(a)≤f(b).
证明:构造f: N→Z如下
f(a)=[(a,0)] 即可满足定理要求。
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36
因此,以后我们可以对a与[(a,0)]不加区别地使用, 从而有Z+=N-{0}.
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31
减法
加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算— —减法。
定义6 设a,b∈Z,若存在x∈Z,使x+b=a,则 称x=a-b.
整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。
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32
除法
乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运
算——除法。
定义7 设a,b∈Z, b≠[(0,0)], 若存在x∈Z,使
根据定义,有
✓ (a)b a
✓
b
a
b
a
1
b
除单位元之外其他自然数都没有逆元,这说明在
自然数集上除法不具有封闭性。
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(完整版)初等数学研究答案
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2。
对自然数证明乘法单调性:设a,b,c∈N则(1)若a=b,则ac=bc(2)若a<b,则ac<bc(3)若a>b,则ac>bc证明:(1)设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= (bc)′﹤=﹥ac + 1 = bc + 1重复以上过程a次,可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1)∴c∈M由归纳公理知M = N。
所以命题对任意自然数c成立(2)若a 〈 b,则有k∈N,使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤=﹥ac < bc(3)依据(2)由对逆性可得。
7.设=(3+13) / 2 ,=( 3-13) / 2 , An= (n-n)/ 13(n=1,2,…。
.).(1)以为根作一元二次方程(2) 证明A n+2=3A n+1+A n;(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数;解:(1)∴由韦达定理得以为根作一元二次方程为:X2—3X-1=0(2)证:3A n+1+A n=3(n+1—n+1)/13 +(n-n)/13=()(n+1—n+1) /13+(n-n)/13=n+2 —n+2 —n+1 +n+1 +n—n)/13 =n+2 -n+2)/13=A n+2(3) 证:①当n=1时,有A3 =10,则 10| A3.②假设当n=k时,有10| A3k则当n=k+1时,A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 , 10| 3A3.∴10|10 A 3k+3由①②得,对∀n∈N*,有10| A3n。
9.证明整数集具有离散性.证明:要证明整数集具有离散性,即要证明在任意两个相邻的整数a与a′之间不存在整数b,使a<b< a′。
初等代数研究(_绪言_第一章_数_)完整
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8
§1 数系的扩展
四、复数集及其性质 集及其性质
• 性质 性质1:复数集是一个数域。 • 性质2:复数集不是有序域。 性质 • 性质 性质3:复数集内,开n次方运算总是可实施的, 任何非零复数有n个不相等的n次方根。 • 性质 性质4:复数集具有稠密性。复平面上任一区域 里,都有无限多个复数。 • 性质 性质5: 复数在复平面上的分布是连续的。
12
A
B'
B
A
A'
B
A ~B ′⊂ B 则 a<b
A ⊃ A ′~ B 则 a>b
13
作 业
习题一、 3.(1)、(2) 4.(1)
14
§2 整数的整除性
整数的整除性的概念、 一.整数的整除性的概念、性质
1. 整除的定义:对于两个整数a、b(b≠0), 整除的定义: 若存在一个整数q,使得 a=bq ① 成立,则称b整除a,或a被b整除,记作b|a。a叫 做b的倍数,b叫做a的约数(因数)。 若满足①的整数q不存在,就称a不能被b整除, 或b不能整除a,记作b ∤a, 如2|6,4 ∤ 6。
6
§1 数系的扩展
三、有理数集及其性质 集及其性质
• 性质 性质4(阿基米德性质):对于两个正有理数a, b,存在一个正整数n,使得 na>b。 • 性质 性质5(有理数的稠密性):在任意两个相异的 有理数之间,总存在无限多个有理数。 • 性质 性质6: 有理数集是一个可数集. • 可数集——可与正整数列“1,2,3,…”建立 一一对应的集合。
22
§2 整数的整除性
六、同余
今天是星期四, 天后是星期几? 例.今天是星期四,则101000天后是星期几? 今天是星期四 习题 :P73 44. 求证:5353-3333能被 整除。 求证: 能被10整除 整除。
初等代数研究(绪言第一章数)完整
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(1)集合等价
如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应的关系,
就称集合A和B等价,记作A~B.
集合的等价具有性质:
① A~A(反身性)
(小学如何教:认识“2”)
② A~B,则B~A(对称性)
③ A~B,B~C,A~C(传递性)
19
§1 数系的扩展
1、正整数的基数理论
幼儿园的小朋友如何认 识“1”和“2”?老师其 实就是这样教的.
1、数的形成和发展 以下是按时间顺序列举的世界上几种古 老文明的早期记数系统:
11
世界上几种古老文明的早期记数系统:
12
世界上几种古老文明的早期记数系统:
13
§1 数系的扩展
一、数的发展简史
2、数的扩展方法与扩展原则
数系(number system)——通常是指对加法和 乘法运算封闭的数集。主要有自然数系、整数系、 有理数系、实数系和复数系。
5
绪言
§1 关于代数学发展的几个历史观点 二、代数学是研究方程理论的科学
(18世纪后期~19世纪后期)
代数学以研究方程理论为中心,包括矩阵、行列式、 二次型在内的高等代数内容。
三、代数学是研究各种代数结构的科学
(19世纪~ )
19世纪,在伽罗瓦群以后,代数的研究内容从原来 以研究代数方程的理论为中心,转变到研究定义在 任意性质的元素集上的代数运算规律和性质。
不同于历史上人们认识数的过程中数集扩充的顺 序,“数系”的逻辑扩展应该如下所示的顺序:
N* 1, 2,3,L
Z
Q
R
C
14
§1 数系的扩展
一、数的发展简史
1、数的形成和发展
• 数系(集)扩充一般有两种方法:
《初等数学研究》复习资料
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《初等数学研究》复习资料一、简答题1. 不定方程13x y z w +++=的正整数解的解数.2. 把多项式3222x x x -++表示成(+2)x 的幂的多项式的形式. 3. 不定方程1231023x x x x ++++=的非负整数解的解数.4. 6本不同的书放在书架上.现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置.有多少种摆法5. 函数2sin cos 37xy x =+的最小正周期. 6. 求函数2y =.二、计算和证明题1. 已知梯形ABCD 的上、下底的长分别为,a b ,点E 、F 分别在腰AB 和CD 上,EF ∥AD ,且EF将梯形ABCD 分成上下面积相等的梯形,试证明EF =. 2.证明托勒密(Ptolomy )不等式 凸四边形两组对边乘积之和不小于它的两条对角线乘积.3.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ,则该三角形的面积为S =,其中2a b cp ++=. 4. 已知圆内接凸四边形ABCD 的边长依次为,,,a b c d ,设2a b c dp +++=,求证该四边形的面积为S =.5. 已知(0)204(1)(2)(3)222f f f f ====,,求三次多项式()f x 的解析式.6. 解方程:432625122560x x x x -+++=.三、探究题1.已知点P 为正方形ABCD 内一点,P A =1,PB =2,PD ,试探求正方形ABCD 的面积.2.设32()3620f x x x x =+++=的三个根为α,β,γ,试求以2αβγα+-,2βγαβ+-,2γαβγ+-为根的三次方程.3.已知ABC ∆内任意一点P 在BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F ,试问P 于何处时,BC CA ABPD PE PF++取得最小值. 4.已知ABC ∆所在平面上的任意一点P ,试问P 位于何位置时,它到三边距离的积(即PD PE PF ⋅⋅)取得最小值,其中D 、E 、F 分别为相应垂足.参考答案一、简答题1. 不定方程13x y z w +++=的正整数解的解数.2. 把多项式3222x x x -++表示成(+2)x 的幂的多项式的形式.3. 不定方程1231023x x x x ++++=的非负整数解的解数.4. 6本不同的书放在书架上.现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置.有多少种摆法5.函数2sin cos37xy x=+的最小正周期.6.求函数22261xyx+=+的最小值.二、计算和证明题1.已知梯形ABCD的上、下底的长分别为,a b,点E、F分别在腰AB和CD上,EF∥AD,且EF将梯形ABCD分成上下面积相等的梯形,试证明EF=222a b+.2.证明托勒密(Ptolomy)不等式凸四边形两组对边乘积之和不小于它的两条对角线乘积.3.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ,则该三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---,其中2a b cp ++=.4.已知圆内接凸四边形ABCD 的边长依次为,,,a b c d ,设2a b c dp +++=,求证该四边形的面积为()()()()S p a p b p c p d =----.2. 解方程:432625122560x x x x -+++=.三、探究题1.已知点P 为正方形ABCD 内一点,P A =1,PB =2,PD =6,试探求正方形ABCD 的面积.6 21CP3. 已知(0)204(1)(2)(3)222f f f f ====,,求三次多项式()f x 的解析式.2. 设32()3620f x x x x =+++=的三个根为α,β,γ,试求以2αβγα+-,2βγαβ+-,2γαβγ+-为根的三次方程.3. 已知ABC ∆内任意一点P 在BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F ,试问P 于何处时,BC CA ABPD PE PF++取得最小值.4. 已知ABC ∆所在平面上的任意一点P ,试问P 位于何位置时,它到三边距离的积(即PD PE PF ⋅⋅)取得最小值,其中D 、E 、F 分别为相应垂足.。
(完整版)初等数学研究(补充版)
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初等数学研究1.(P383例4)在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE,正△ACD,如图,连接DE 交AB 于F.求证:EF=FD 。
证明:作EH ⊥AB 交AB 于H 点。
∵∠CAD=60°,∠BAC=30° ∴∠EHF=∠DAF=90° 设BC=a ,则AC=EH=3a又∵∠EFH=∠DFA (对顶角) ∴△EFH ≌△DFA (AAS) ∴EF=FD2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心,O 是外心。
OD ⊥BC 于D 。
如图,求证:AH=2OD 。
证明:取AB 、H 的中点M 、N ,连接OM ,MN,DN则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM ∴四边形MNDO 是平行四边形。
∴OD=MN=12AH即AH=2OD 3。
(P423例21)在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ,使MK ∥AC ,ML ∥BC;设BL 、MK 交于P ,AK 、ML 交于Q 。
如图,求证:PQ ∥AB 。
证明:∵ML ∥BC MK ∥AC ∴KP BP PMPL= BM KQ MAQA= BP BM PL MA=∴KP BP BM KQPM PL MA QA===因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB4。
(P430例26)设A 、B 为平面上的二定点,C 为平面位于直线AB 同侧的一动点,各以AC 、AB 为边,在△ABC 之外作正方形CADI 、CBEJ,如图。
求证:无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置,DE 的中点M 的位置不变。
证明:自D 、E 、C 和M 分别作AB 的垂线,设其垂足依次为G 、H 、K 和N.∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90° ∴△ADG ≌△CAK (AAS ) ∴AG=CK DG=AK同理: CK=BH EH=BK ∴AG=BH∵N 平方HG (MN 是梯形中位线) ∴N 平分AB∵EH+DG=BK+AK=AB∴MN=12(EH+DG )=12AB又∵MN ⊥AB ∴DE 的中点M 是定点.5.(P437例28)在任一三角形中,外心、垂心和重心共线. 证明:∵G 为三角形重心 ∴AG=2DG又由P395例6知AH=2DO 又∵OD ∥AH∴∠1=∠2∴△DOG ∽△AHG ∴∠OGD=∠HGA∴H 、G 、O 三点共线 6。
初等数学研究复习资料
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1、△ABC 是一个等腰三角形,AB=AC,M 是 BC 的中点;O 是 AM 的延长线上的一点,使
得 OB⊥AB;Q 是线段 BC 上不同于 B 和 C 的任意一点,E 在直线 AB 上,F 在直线 AC 上,
使得 E,Q,F 是不同的和共线的.求证:(Ⅰ)若 OQ⊥EF,则 QE=QF;(Ⅱ)若 QE=QF,
51、用 1、2、3、4、5 可以构成多少个各相邻数字恰好相差 1 的 n 位数?
52、对任意给定的正整数 n(n
≥
2) ,数列{bk } 满足 b1
= 1,且
bk +1 bk
=
k −n k +1
(k
= 1,2,⋯, n −1) .
(1
)求
b1 + b2 + … + bn
;(
2)记
an
1 = b1 + b2 + ⋯ + bn
+ a1
+⋯+
a1
+ a2
amn +⋯ + am−1
≥
(
m
−
1 )
n−3
m
p n−1 .
44、 设a,b,c ∈ R+,且abc = 1,n ∈ N + ,证明:
(a n
−1+
1 bn
)(b n
−1+
1 cn
)(c n
−1+
1 an
)
≤ 1(当n
=
1时为第41届IMO试题)
45、设正数数列 a0 , a1, a2 ,⋯ 满足 a0 = a1 = 1, 且 an • an−2 − an−1 • an−2 = 2an−1, n = 2,3,⋯.
初等数学研究第三章
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方程是函数变化过程中的一个特殊状态, 即方程的解是函数的零点。
eg : 求f (x) 0的解,就是求函数 y f (x)的零点。
方程思想、函数思想解决问题
一、方程
讲授的内容 1、方程与方程组的有关概念 2、方程与方程组的同解变形 3、各类方程与方程组的解法 重点:方程(组)的同解性判定;
节 整
设两个根为 x1、x2 ,则x1
x2
b a
,
x1
x2
c. a
式
方 法国数学家——系统地引入了代 程 数符号,推进了方程的发展——
现代数学之父
第 韦达定理(复数范围)
三 定理1方程 节 f (x) a0 x n a1 x n1 ... an1 x an 0(a0 0)
整 的n个根是x1 , x2 ,...,xn1 , xn , 那么
方程组也可以类似的分类
二、方程与方程组的同解性
F1 (x1, x2 ,...,xn ) 1 (x1, x2 ,...,xn ) A1 F2 (x1, x2 ,...,xn ) 2 (x1, x2 ,...,xn ) A2
如果A1 A2 ,则
F1 (x1, x2 ,...,xn ) 1 (x1, x2 ,...,xn )与 F2 (x1, x2 ,...,xn ) 2 (x1, x2 ,...,xn )为同解方程。 注:没有特别说明方程的同解不考虑重数
互为结果方程的两个方程同解。
每一个方程是无解方程的结果方程。
定理1 如果
等价转换
F1 (x1 , x2 ,...,xn ) 1 (x1 , x2 ,...,xn ), F2 (x1 , x2 ,...,xn ) 2 (x1 , x2 ,...,xn ),
初中数学教研资料(3篇)
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第1篇一、知识点梳理1. 数与代数(1)实数(2)代数式(3)方程(一元一次方程、一元二次方程)(4)不等式(一元一次不等式、一元二次不等式)(5)函数(一次函数、反比例函数)2. 几何与图形(1)图形的认识与性质(2)图形的平移、旋转、对称(3)三角形、四边形、圆(4)相似三角形、相似多边形(5)勾股定理、勾股定理的逆定理3. 统计与概率(1)统计调查与图表(2)平均数、中位数、众数(3)概率初步二、教学方法1. 启发式教学:通过引导学生自主探索、发现规律,提高学生的思维能力和创新能力。
2. 案例教学:通过具体案例,帮助学生理解抽象的数学概念和原理。
3. 任务驱动教学:设计一系列与生活实际相关的任务,让学生在完成任务的过程中学习数学知识。
4. 合作学习:鼓励学生之间互相交流、讨论,共同解决问题。
5. 技术辅助教学:利用多媒体、网络等现代技术手段,丰富教学形式,提高教学效果。
6. 评价与反馈:关注学生的学习过程,及时给予评价和反馈,帮助学生改进学习方法。
三、教学资源1. 教材:人教版、苏教版、北师大版等初中数学教材。
2. 教学参考书:如《初中数学教学参考》、《初中数学教学设计》等。
3. 在线资源:如中国教育在线、教育云等平台提供的初中数学教学资源。
4. 学术期刊:关注《数学教育研究》、《中学数学教学参考》等学术期刊,了解最新的数学教育研究成果。
5. 教学论坛:参与初中数学教学论坛,与其他教师交流教学经验。
四、教研活动1. 开展课题研究:针对初中数学教学中的难点、热点问题,开展课题研究。
2. 举行教学观摩课:邀请优秀教师展示优秀教学案例,提高教师的教学水平。
3. 组织教研活动:定期开展教研活动,探讨教学中的问题,分享教学经验。
4. 参加学术会议:参加国内外的数学教育学术会议,了解最新的教育动态。
通过以上教研资料和方法,有助于提高初中数学教学质量,促进学生全面发展。
第2篇1. 教学大纲- 《义务教育数学课程标准(2011年版)》- 各地义务教育数学教学大纲2. 教材分析- 人教版《数学》教材分析- 苏教版《数学》教材分析- 其他版本教材分析3. 教学设计- 初中数学教学设计案例- 课堂教学设计技巧- 教学设计案例库4. 教学方法- 初中数学教学方法研究- 新课程背景下的初中数学教学方法 - 教学方法创新与实践5. 教学评价- 初中数学教学评价策略- 教学评价方法与技巧- 教学评价案例分析6. 教育教学研究- 初中数学教育教学研究论文- 教育教学研究方法- 教育教学研究案例分析7. 教师培训- 初中数学教师培训课程- 教师培训资料库- 教师培训心得体会8. 教学资源- 初中数学教学课件- 教学视频- 教学素材库9. 教学研究平台- 教育部基础教育课程教材发展中心- 中国教育技术协会- 各地教育科学研究院10. 教学交流论坛- 教育论坛- 数学教学论坛- 教师之家通过以上资料,您可以全面了解初中数学教研的相关内容,为您的教学工作提供参考。
2018-2019-初等数学研究李长明-推荐word版 (9页)
![2018-2019-初等数学研究李长明-推荐word版 (9页)](https://img.taocdn.com/s3/m/4b977642f242336c1eb95ef5.png)
本文部分内容来自网络整理,本司不为其真实性负责,如有异议或侵权请及时联系,本司将立即删除!== 本文为word格式,下载后可方便编辑和修改! ==初等数学研究李长明篇一:初等数学研究(李长明周焕山编) p494第7题,p497第3题,p498第9题答案初等数学研究(李长明周焕山编) p494第7题,p497第3题,p498第9题答案7.在直角梯形ABCD中,AB是垂直二底的腰,另一腰切以AB为直径之圆于E,过E作底的平行线交AB于F,求证:AC平分EF.证明: ∠DAB=∠ABC=90°, 圆O以AB为直径, ∴AD,BC均与圆O相切; 又圆O与CD相切于E, ∴AD=ED;EC=BC;又AD∥EF∥BC,∴FG/BC=AF/AB=DE/DC=AD/DC=EG/EC=EG/BC.∴EG=FG .即AC平分EF.3.凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积.求证:ABCD是平行四边形证明:作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,BM⊥AC于M,DN⊥AC于N.BD平分凸四边形ABCD的面积,∴12BD?AE=12BD?CF?AE=CF.又∠AEO=∠CFO=90?,∠AOE=COF(对顶角相等).??AEO??CFO∴AO=CO,同理易证得:BO=DO.?凸四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分)9.在?ABC中,∠B≠90,BC边的垂直平分线交求证:DE//BC.?AB于D,?ABC的外接圆在A,C两点之切线交于E.证明:连结OA,OC,CD. AE,CE是圆O的切线,∴∠OAE=∠OCE=90?.∴BD=CD.∴∠DBC=∠DCB.2倍),∠BDC=180?-∠DCB-∠DBC.=∠ACE.(同弧弦切角等于圆周角∴∠AOC+∠AEC=180?. DM是BC的垂直平分线又∠AOC=2∠ABC.(同弧圆心角是圆周角的∴∠ACE=∠ADE.(同弧圆周角相等∴∠ADE=∠ABC.∴DE//BC∴∠BDC=180?-2∠DBC=180?-∠AOC=∠AEC.∴A,D,C,E四点共圆.),∠ABC)篇二:初等几何研究试题答案(1)(李长明版)初等几何研究试题答案(I)一、线段与角的相等1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: (1)若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.证明:(1)连接AC、AE、AF、AD在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4所以△ACE≌△AFD∴DF=CE(2)由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4∵DF=CE∴△ACE≌△AFD∴AD=AE在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O ,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=BD, 求证:BD平分∠ABC.12证明:延长AE,BC交于点F∠AED=∠BCA=90? ∠ADE=∠BDC∴∠CBD=∠CAF又∠ACF=∠BCA=90? AC=BC∴?ACF??BCD∴AF=BD11BD∴AE=AF22又ABEE⊥BE又AE=∴BE平分∠ABF即BD平分∠ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o-2α,求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形且底角是∠CDB=[180o-(180o-2α)]÷2=α. ∴∠BDE=(180°-2α)-α=180o -3α ∴A、B、D、E共圆同理A、C、D、E共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60o证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、ADC ∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC∴BD∥AH, AD∥BH∴四边形ADBH是□ ∴AH=BD又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R ∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o又∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60o5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图∵∠1=∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,∵ FG∥AB,∴AF/CF=BG/CG=GO/CG, 又∵△FCO∽△COG,∴CO/CF=GO/CG=AF /CF, ∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.证:如图所示设AC、ED的交点为F∵AD是∠A的平分线∴∠1=∠2 ∵DE∥AB ∴∠1=∠3∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5 则△FAD和△FCE是等腰三角形∴AF=DF,EF=CF ∴AC=DE同理可证BC=DE ∴AC=BC∴△ABC是等腰三角形篇三:初等数学研究课后习题答案初等代数研究课后习题201X1115033数学院07(1)杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性,即(1)对任何a,b∈N,当且仅当a<b时,b>a.(2))对任何a,b∈N,在a<b,a=b,a>b中有且只有一个成立.证明:对任何a,b∈N,设A=a,B=b,,,(1)“?” a<b,则?B?B,使A~B,∴B?B~A,∴b>a ==,,,“?” b>a,则?B?B,使B~A,∴A~B?B,∴a<b综上对任何a,b∈N,a<b?b>a(2)由(1)a<b?b>a ∴a<b与a>b不可能同时成立,,,假设∴a<b与a=b同时成立,则?B?B,使A~B且A~B,∴B~B,与B为有限集矛盾,∴a<b与a=b不可能同时成立,综上,对任何a,b∈N,在a<b,a=b,a>b中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明:对任何a,b∈N设M为使等式a+b=b+a成立的所有b组成的集合先证 a+1=1+a,设满足此式的a组成集合k,显然有1+1=1+1成立∴1∈k≠φ,设a∈k,a+1=1+a,则a++1=(a+)+=(a+1)+=(1+a)+=1+a++∴a∈k,∴k=N,取定a,则1∈M≠φ,设b∈M,a+b=b+a,则a+b=(a+b)+++ =(b+a)=b+ + a∴b+∈M,∴M=N∴ 对任何a,b∈N,a+b=b+a3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明:唯一性:取定a,反证:假设至少有两个对应关系f,g,对?b∈N,有∈) f(b),g(bN,设M是由使f(b)=g(b)成立的所有的b组成的集合,f(b)=g(b)=a?1 ∴1∈M≠φ设b∈N则f(b)=g(b)∴f(b)+a=g(b)+a∴f(b+)=g(b+),∴b+∈M,∴M=N 即?b∈N,f(b)=g(b)乘法是唯一的存在性:设乘法存在的所有a组成集合K 当a=1时,?b∈N,1?1=1,1?b+=b+=b+1=1?b+1∴1∈k≠φ,设a∈K,?b∈N,有a,b与它对应,且1?a=a,ab=ab+a,对?b∈N,令ab=ab+b ++a+?1=a?1+1=a+1=a+a+b+=ab++b+=ab+a+b+1=(ab+b)+(a+1)=a+b+a+∴a+∈K ∴K=N 即乘法存在p24—5、解:满足条件的A有A1,2},A2={1,2,3},A3={1,2,4},A4={1,2,5}1={A5={1,2,3,,4A}6={1,2,3,5},A7={1,2,4,5},A8={1,2,3,4,5}∴A1=2,A2=A3=A4=3,A5=A6=A7=4,A8=5基数和为2+3?3+4?3+5=28 p24—6、证明:A=a,B=b,A中的x与B中的y对应 ========∴A?B=ab,∴B?A=ba=abA?B=ab ∴A?B=A?B=B? Ap24—8、证明:1)3+4=7+++ 3+1=3=43+2=3+1=(3+1)=4=++++ 3+3=3+2=(3+2)=5=63+4=3+3=(3+3)=6=72)3?4=12 +++3?1=33?2=3?+1=3?1+3= 63?3=3?2+=3?2+3=93?4=3?3+=3?3+3=12p24—12、证明:1)(m+n)=m+n(m+n)=m+n+1=(m+1)+n=m+n++++++++++2)(mn+)+=nm+m+(mn+)+=mn++1=mn+(m+1)=nm+m+p26—36、已知f(m,n)对任何m,n∈N满足f(1,n)=n+1??f(m+1,1)=f(m,2)??f(m+1,n+1)=f(m,f(m+1,n))?求证:1)f(2,n)=n+22)f(3,n)=2n+23)f(4,n)=2n+1-2证明:1)当n=1时,f(2,1)=f(1+1,1)=f(1,2)=2+1=1+2结论成立,假设n=k时,结论成立,即f(2,k)=k+2,当n=k+1时,f(2,k+1)=f(1+1,k+1)=f(1,f(2,k)) =f(1,k+2)=(k+2)+1=(k+1)+2 所以对一切自然数结论都成立2)当n=1时,f(3,n)=f(2+1,n)=f(2,2)=2+2=2?1+2结论成立假设n=k时,结论成立,即f(3,k)=2k+2当n=k+1时,f(3,k+1)=f(2+1,k+1)=f(2,f(3,k)) =f(2,2k+2)=2k+2+2=2(k+1)+2所以对一切自然数结论都成立3)当n=1时,f(4,1)=f(3+1,1)=f(3,2)=2?2-2=2假设n=k时,结论成立,即f(4,k)=2当n=k+1时,k+11+1-2结论成立 -2 f(4,k+1)=f(3,f(4,k))=f(3,2k+1-2)=2(2k+1-2)+2=2k+2-2所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明:?[a,b],[c,d]∈Z,[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]因为自然数加法满足交换律∴[a+c,b+d]=[c+a,d+b]而[c,d]+[a,b]=[c+a,d+b]∴[a,b]+[c,d]=[c,d]+[a,b]?[a,b],[c,d],[e,f]∈Z,[a,b]+[c,d]+[e,f]=[a+c,b+d]+[e,f]=[(a+c)+e,(b+d)+f]以为自然数满足加法结合律∴([a,b]+[c,d])+[e,f]=[a,b]+([c,d]+[e,f]) 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[a,b],[c,d]∈Z,求证[a,b]=[c,d]的充要条件是[a,b]-[c,d]=[1,1]证明:“?” 已知[a,b]=[c,d]则a+d=b+c∴[a,b]-[c,d]=[a+d,b+c]=[1,1]“?” 已知[a,b]-[c,d]=[1,1]则[a+d,b+c]=[1,1],a+d=b+c=[c,d ] ∴[a,b]p62—4、已知a,b∈N,求证-(-[a,b])=[a,b]a,b])=-b[a,=]a[ b,证明:-[a,b]=[b,a]-(-[p62—5、已知[a,b],[c,d]∈Z,求证-([a,b]-[c,d])=-[a,b]+[c,d]证明:左边-([a,b]-[c,d])=-[a+d,b+c]=[b+c,a+d]右边-[a,b]+[c,d]=[b,a]+[c,d]=[b+c,a+d]所以左边等于右边∴-([a,b]-[c,d])=-[a,b]+[c,d]p62—7、已知a,b,c∈N,求证当且仅当a+d<b+c时[a,b]<[c,d]证明:“?” 已知a+d<b+c,[a,b]-[c,d]=[a+d,b+c]] 因为a+d<b+c ∴[a+d,b+c是负数,∴[a,b]<[c,d]“?” 已知[a,b]<[c,d]则[a,b]-[c,d]=[a+d,b+c]因为[a+d,b+c]是负数,∴a+d<b+cp62—9、已知α,β∈Z,求证:1)α+β≤α+证明:设α=[a,b],β=[c,d] β,2)αβ=β1)α+β=[a+c,b+d] ∴α+β=(a+c)-(b +)而α=a-b,β=c-d(a+c)-(b+)(a-b)+(cd≤b+c -d∴α+β≤α+β2)αβ=[ac+bd,ad+bc]∴αβ=ac+bd-(ad+bc)而α=a-b,β=c-dac+bd-(ad+bc)=a(c-d)+b(d-c)=(a-b)(c-d)=a-bc-d ∴αβ=αβp63—12、n名棋手每两个比赛一次,没有平局,若第k名胜负的次数各为ak,bk,2222k=1,2,........,n,求证:a12+a2 +...+an=b12+b2+...+bn证明:对于ak(k=1,2,...,n),必存在一个bj(j=1,2,...,n)使得ak=bj2222 ?ak=bj(k,j=1,2,...,n)∴a1+a2+...+an2=b1+b+...+bn 222p63—16、已知pa-b,pc-d,求证pad-bc证明:由已知:?s,t∈Z使10a-b=ps,10c-d=pt? b=10a-ps,d=10c-pt∴ad-bc=10ac-apt-(10ac-cps)=p(cs-at)∴pad-bc2p63—17、设2不整除a,求证8a+1证明:因为2不整除a,所以存在唯一一对q,r∈Z,使a=2q+r,其中0<r<2 2222 ?r=1,∴a=4q+4q+1?a-1=4q(q+1)∴8a-1。
初等数学研究(第一讲)
![初等数学研究(第一讲)](https://img.taocdn.com/s3/m/1ca8de88ba4cf7ec4afe04a1b0717fd5360cb2b9.png)
性质
小数具有连续性和传递性,即 任何两个小数相加或相减的结 果仍然是有限小数或无限循环 小数。
运算规则
小数的加法、减法、乘法和除 法满足交换律、结合律和分配 律。
分数
80%
定义
分数是一种有理数,表示为两个 整数的商,如1/2、2/3和3/4等 。
100%
性质
分数具有加法、减法、乘法和除 法的封闭性,即任何两个分数的 和、差、积和商仍然是分数。
对初等数学研究的展望
初等数学与高等数学的 衔接
初等数学的跨学科研究
信息技术在初等数学教 学中的应用
随着数学教育的不断发展,初等数学 与高等数学的衔接问题越来越受到关 注。未来研究可以探讨如何更好地将 初等数学与高等数学进行衔接,促进 数学教育的连贯性和系统性。
随着跨学科研究的兴起,初等数学可 以与其他学科进行交叉融合,开展跨 学科的研究。例如,将初等数学与物 理学、工程学、经济学等领域相结合 ,可以产生新的研究领域和研究方向 。
生物学
生物学中的遗传学、生态 学等领域也需要用到数学 知识,如概率统计、微积 分等。
数学在工程中的应用
建筑学
电子工程
建筑设计中需要用到几何学、线性代 数等数学知识,以确定建筑物的形状、 尺寸等。
电子工程中需要用到电路分析、信号 处理等数学知识,以设计电子设备和 系统。
机械工程
机械工程中需要用到力学、微积分等 数学知识,以分析机械的运动、受力 等情况。
80%
运算规则
分数的加法、减法、乘法和除法 满足交换律、结合律和分配律。
代数式
定义
代数式是由数字、字母通过有限 次的四则运算得到的数学表达式, 如2x+3y、x^2+y^2和xy+z等。
[理学]初等数学研究1自然数基数理论
![[理学]初等数学研究1自然数基数理论](https://img.taocdn.com/s3/m/b5bf04d10508763231121222.png)
中小学数的教学安排
• 第一学段(1-3年级):认识万以 内的数、小数、 简单的 分数和常见的量
• 第二学段(4-6年级):认识亿以内的数,了解 分数、百分 数、负数的意义、字母表示数 • 第三学段(7-9年级):认识有理数、实数 • 高中文、理选修:数系扩充与复数
数系的扩展
• 数的历史发展(添加法)
自然数大小关系的性质
• 定理:自然数的相等关系具有反身
性、对称性、传递性; • 自然数的顺序关系具有全序性、对
逆性、传递性
证明
等价关系、集合的性质
2)对任何a,b,c N,若a<b,b<c, 则 a< c
定义自然数的加法和乘法
不交的集合的并 并集的基数
a + b=c
非空有限集的基数 b个两两不交的等价集合的并 a × b=c
“5”是什么?五只羊的集合、{a,b,c,d,e}等 都是等价的集合,这类集合的基数就是5
பைடு நூலகம்
定义自然数的大小关系
集合间的包含关系
两个自然数:
a < b
非空有限集的基数
大小关系的定义
• 如果非空有限集A、B的基数分 别是a、b,A’、B’分别是A、 B的真子集,那么
– 当A~B时,就说 a=b B时,就说 a<b – 当 A ~ B’ – 当A A’~B时,就说 a>b
证明自然数的全序性
• 对任何a,b N,在a<b, a=b, a>b中有且 只有一个成立 • 有:
– 取定a,设使它们总有一个成立的一切b组 成的集合为M,说明
紧扣归纳公理 • 1 M • 假定b M,则b+ M (分三种情况都有b+ M )
• 只有一个转化为至多有一个:
(完整版)初等数学研究课后习题答案
![(完整版)初等数学研究课后习题答案](https://img.taocdn.com/s3/m/7649b05e240c844769eaeebf.png)
初等代数研究课后习题20071115033 数学院 07(1) 杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性,即(1)对任何N b a ∈,,当且仅当b a <时,a b >.(2))对任何N b a ∈,,在b a <,b a =,b a >中有且只有一个成立.证明:对任何N b a ∈,,设a A ==,b B ==(1)“⇒” b a <,则B B ⊂∃,,使,~B A ,A B B ~,⊃∴,a b >∴“⇐” a b >,则B B ⊂∃,,使A B ~,,B B A ⊂∴,~,b a <∴综上 对任何N b a ∈,,b a <⇔a b >(2)由(1)b a <⇔a b > b a <∴与b a >不可能同时成立,假设b a <∴与b a =同时成立,则B B ⊂∃,,使,~B A 且B A ~, ,~B B ∴与B 为有限集矛盾,b a <∴与b a =不可能同时成立,综上,对任何N b a ∈,,在b a <,b a =,b a >中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明:对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合先证 a a +=+11,设满足此式的a 组成集合k ,显然有1+1=1+1成立φ≠∈∴k 1,设k a ∈,a a +=+11,则+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1k a ∈∴+,N k =∴, 取定a ,则1M φ∈≠,设,b M a b b a ∈+=+,则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,,a b b a +=+3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明:唯一性:取定a ,反证:假设至少有两个对应关系,f g ,对b N ∀∈,有 (),()f b g b N ∈,设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合,()()1f b g b a ==⋅ 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=,b M +∴∈,M N ∴= 即b N ∀∈,()()f b g b =乘法是唯一的存在性:设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时,b N ∀∈,111,1111b b b b ++⋅=⋅==+=⋅+ φ≠∈∴k 1,设a K ∈,b N ∀∈,有,a b 与它对应,且1a a ⋅=,ab ab a +=+,对b N ∀∈,令a b ab b +=+ 1111a a a a ++⋅=⋅+=+=1()(1)a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++=+=+++=+++=+a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在p24—5、解:满足条件的A 有1{1,2}A =,2{1,2,3}A =,3{1,2,4}A =,4{1,2,5}A = 5{1,2,3,4}A =,6{1,2,3,5}A =,7{1,2,4,5}A =,8{1,2,3,4,5}A =123456782,3,4,5A A A A A A A A ========∴========基数和为23343528+⨯+⨯+= p24—6、证明:,A a B b ==,A 中的x 与B 中的y 对应 A B ab ∴⨯=,B A ba ab ∴⨯==A B ab ⨯= A B A B B A ∴⨯=⋅=⨯p24—8、证明:1)3+4=73134++== 3231(31)45++++=+=+== 3332(32)56++++=+=+==3433(33)67++++=+=+==2)3412⋅= 313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+=33323239+⋅=⋅=⋅+=343333312+⋅=⋅=⋅+=p24—12、证明:1)()m n m n +++++=+()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+2)()mn nm m +++=+ ()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+⎧⎪+=⎨⎪++=+⎩求证:1)(2,)2f n n =+2)(3,)22f n n =+3)1(4,)22n f n +=-证明:1)当1n =时,(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立,假设n k =时,结论成立,即(2,)2f k k =+,当1n k =+时,(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立2)当1n =时,(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=⋅+结论成立假设n k =时,结论成立,即(3,)22f k k =+当1n k =+时,(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立3)当1n =时,11(4,1)(31,1)(3,2)22222f f f +=+==⨯-=-结论成立 假设n k =时,结论成立,即1(4,)22k f k +=- 当1n k =+时,112(4,1)(3,(4,))(3,22)2(22)222k k k f k f f k f ++++==-=-+=-所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明:[,],[,]a b c d Z ∀∈,[,][,][,]a b c d a c b d +=++因为自然数加法满足交换律[,][,]a c b d c a d b ∴++=++而[,][,][,]c d a b c a d b +=++[,][,][,][,]a b c d c d a b ∴+=+[,],[,],[,]a b c d e f Z ∀∈,[,][,][,][,][,][(),()]a b c d e f a c b d e f a c e b d f ++=+++=++++以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])a b c d e f a b c d e f ∴++=++ 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[,],[,]a b c d Z ∈,求证[,][,]a b c d =的充要条件是[,][,][1,1]a b c d -= 证明:“⇒” 已知[,][,]a b c d =则a d b c +=+[,][,][,][1,1]a b c d a d b c ∴-=++=“⇐” 已知[,][,][1,1]a b c d -=则[,][1,1]a d b c ++=,a d b c +=+[,][,]a b c d ∴=p62—4、已知N b a ∈,,求证([,])[,]a b a b --=证明:[,][,]a b b a -= ([,])[,][,]a b b a a b --=-=p62—5、已知[,],[,]a b c d Z ∈,求证([,][,])[,][,]a b c d a b c d --=-+证明:左边([,][,])[,][,]a b c d a d b c b c a d --=-++=++右边[,][,][,][,][,]a b c d b a c d b c a d -+=+=++所以左边等于右边([,][,])[,][,]a b c d a b c d ∴--=-+p62—7、已知,,a b c N ∈,求证当且仅当a d b c +<+时[,][,]a b c d <证明:“⇒” 已知a d b c +<+,[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为 a d b c +<+ [,]a d b c ∴++是负数,[,][,]a b c d ∴<“⇐” 已知[,][,]a b c d <则[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为[,]a d b c ++是负数,a d b c ∴+<+p62—9、已知,Z αβ∈,求证:1)αβαβ+≤+ ,2) αβαβ=证明:设[,],[,]a b c d αβ== 1)[,]a c b d αβ+=++ ()()a c b d αβ∴+=+-+而,a b c d αβ=-=-()()()()a c b d a b c d a b c d +-+=-+-≤-+-αβαβ∴+≤+2)[,]ac bd ad bc αβ=++ ()ac bd ad bc αβ∴=+-+而,a b c d αβ=-=-()()()()()ac bd ad bc a c d b d c a b c d a b c d +-+=-+-=--=-- αβαβ∴=p63—12、n 名棋手每两个比赛一次,没有平局,若第k 名胜负的次数各为,k k a b ,1,2,........,k n =,求证:2222221212......n n a a a b b b +++=+++ 证明:对于(1,2,...,)k a k n =,必存在一个(1,2,...,)j b j n =使得k j a b =⇒22(,1,2,...,)k j a b k j n == 2222221212......n n a a a b b b ∴+++=+++p63—16、已知10p a b -,10p c d -,求证p ad bc -证明:由已知:,s t Z ∃∈使10a b ps -=,10c d pt -=⇒ 10,10b a ps d c pt =-=-10(10)()ad bc ac apt ac cps p cs at ∴-=---=-p ad bc ∴-p63—17、设2不整除a ,求证281a +证明:因为2不整除a ,所以存在唯一一对,q r Z ∈,使2a q r =+,其中02r <<⇒1r =,22441a q q ∴=++⇒214(1)a q q -=+ 281a ∴-p63—20、设a Z ∈,求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方证明:22222(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+++++=+-+++++=++-+++=++- 1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数(1)(2)1a a ∴++-肯定为奇数p63—22、证明:前n 个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明:前n 个自然数的和为(1)2n n + 因为:n 个自然数的和仍为自然数∴ 1+n 与n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n 与n 的个位数码只能是1,4或4,1而(1+n )- n=1 ∴个位数码不能为2若个位数码为4则1+n 与n 的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n 与n 的个位数码有2种可能,则2,7或1,14也不可能成立,若个位数码为9则1+n 与n 的个位数码有2种可能,即2,9或1,18也不可能成立,综上,前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1(12,,......,n a a a )=(12,,......n a a a )证明:因为:(12,,......,n a a a )是12,,......n a a a 的公因数中的最大数所以R 需考虑非负整数 ∴(12,,......,n a a a )=(12,,......n a a a ) p63—29、证明2.3定理4的推论(,)1a b =的充要条件是有,x y Z ∈使得1ax by += 证明:因为(,)1a b = ,a b ∴不全为0“⇒” 由定理4 ,x y Z ∃∈使(,)1ax by a b +==“⇐” 设(,)a b d =则,d a d b ,d ax by ∴+ 1d ∴ (,)1d a b ∴== p63—30、证明2.3定理6及其推论。
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简答题1、谈谈你对数学教学的看法答:数学教学应当以学生的发展为本。
教师不应是数学教学活动的“管理者”,而应成为学生数学学习的活动的组织者、引导者,参与者。
老师的主要职责是向学生提供从事“观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动的机会,为学生的数学学习活动创设一个宽松的氛围,激发学生的求知欲,最大限度在发挥他们数学学习的潜能,让学生在活动中通过“动手实践、自主探索、合作交流、模仿与记忆”等学习方式学习数学,获得对数学的理解,发展自我。
2、简述“引导-发现”教学模式。
“引导—发现”模式是数学新课程中应用较为广泛的教学模式。
在教学活动中,教师不是将现成的知识灌输给学生,而是将以“定论”形式陈述的材料,转化为精心设置的一个个问题链,变被动吸收式学习为主动探究式学习,激发学生的求知欲,使学生在老师的启发引导下,通过自主探索、合作交流,发现问题并解决问题,从而掌握知识与技能,自主地构建知识,发展能力的学习过程。
基本结构为:创设情境——提出问题——探究猜测——推理验证——得出结论。
“引导—发现”模式的实质是以学生自主探索、合作交流为主,充分发挥学生的主体性,激发学生的学习兴趣,产生自觉学习的内在动机,有利于学生的智能和创造性思维能力的发展,有利于培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,有利于培养良好的团队合作精神。
3、你对“人人学有价值的数学”中有“价值的数学”是怎样理解的?“有价值”的数学应该与学生的现实生活和以往的知识体验有密切的联系,是对他们有吸引力、能使他们产生兴趣的内容。
“有价值”的数学应当是对学生终身学习有帮助的,适合学生在有限的学习时间里接触、了解和掌握的数学内容。
包括构建知识、掌握方法、培养情感和提高能力等。
而那些对学生来说有如“天外来客”般难以琢磨的内容,那些必须通过高强度训练才有可能被学生掌握的内容,就可以是“价值不大”甚至是“没有价值”的数学内容。
就内容来讲,“有价值的数学”包括基本的数的概念与运算,空间与图形的初步知识,与信息处理、数据处理有关的统计与概率知识等,还包括理解与掌握这些内容的过程中形成和发展起来的数学观念与能力,如数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力和应用意识。
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初等数学研究复习资料一、整式与分式整式是由各种代数式通过加、减、乘运算得到的一种式子。
整式的基本运算包括加法、减法和乘法。
在整式中,含有未知数的项被称为代数项,不含有未知数的项被称为常数项。
整式的次数等于代数项中所有未知数的指数之和。
分式是由两个整式表示的一种式子,它由两条横线分隔成上下两部分,上部是分子,下部是分母。
分式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
在分式中,我们可以约去分子与分母的公因式,以简化分式的表达形式。
二、方程与不等式方程是含有未知数的等式,一般形式为A(x) = B(x),其中A(x)和B(x)是整式。
解方程就是要求找出未知数的值,使得等式成立。
根据方程的次数,可以分为一次方程、二次方程、三次方程等。
不等式是含有不等号的等式,一般形式为A(x) > B(x)或A(x) < B(x),其中A(x)和B(x)是整式。
解不等式就是要求找出满足不等式的数值范围。
三、函数与图像函数是一种特殊的关系,它将一个集合的元素(自变量)映射到另一个集合的元素(因变量)。
函数可以用符号表示为y = f(x),其中x为自变量,y为因变量,f为函数名称。
函数图像是在坐标系中表示函数关系的曲线或直线。
常见的函数包括线性函数、二次函数、反比例函数等。
线性函数的图像为一条直线,二次函数的图像为一条抛物线,反比例函数的图像为两条相交的直线。
四、数列与级数数列是按照一定顺序排列的一系列数,其中每个数被称为数列的项。
数列的通项公式是用一个公式表示数列的每一项与项数之间的关系。
数列的求和叫做级数,级数的和被称为数列的部分和。
常见的数列包括等差数列和等比数列。
等差数列的每一项与前一项之间的差值相等,等比数列的每一项与前一项之间的比值相等。
五、概率与统计概率是描述事件发生可能性大小的数值,它的取值范围是0到1之间。
事件是指一个结果或一组结果。
概率可以通过实验和统计方法来计算,常见的概率计算方法包括频率法和古典概率法。
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什么事说课?说课的概念有狭义和广义两种。
狭义概念上的说课是指的是教教师以讲述的方式,面向听的对象(如领导、同事、评委等),就某一个具体的教学内容,说自己对这一教学内容的分析及教学设计和理论根据的过程。
广义上的说课,指的是以上述说课为中心展开的,有多种内容组成的系列研究活动。
二、说课的具体要求所谓说课,就是让教师(或准教师)以语言为主要表述工具,在备课的基础上,面对同行、专家,系统而概括地解说自己对具体课程的理解,阐述自己的教学观点,表述自己具体执教某课题的教学设想、方法、策略以及组织教学的理论依据等。
然后由大家进行评说。
1.说课标:要求精确精要地阐述课标对本课的教学内容、教学原则、教学方法和学生能力培养等方面的具体要求,明确各项教学内容所应达到的深度和广度。
2.说教材:即,分析本课内容在教材中的地位及其与前后教材的联系、阐明本课的教学目标、教学重点、难点等。
目标的确定要以素质教育为指针,难点的确定要符合学生的实际。
3.说学情:简单的说就是学情分析。
即,分析学生的知识层次、能力水平和学习习惯等方面的现状,对将要学习的知识的可接受程度,教学中可能出现的问题以及如何解决这些问题等。
在教学需要中,主要从两方面入手,一是学习者起点分析,另一便是学习者的终点认识。
学生起点分析,即关注学生进入教学前的学习状态,即原来具有的知识、技能、态度等。
学习目标分析,教学目标的确立有助于教师明确学生“学什么”和教师事后检验学生“学”的怎么样,有助于教师明确学生“怎么学”教师“怎么教”问题。
4.说教法:即,说出本节课使用的教学方法,是说课的主要内容。
(1)教学策略制定。
从宏观上,教学策略中首先要求创设适合于学生认知差异的教学组织形式和使用适合认知差异的教学手段,通过教师提供的良好的教学环境和措施来完成个体的认知建构。
从微观上,教学策略必须针对不同的知识类型和认识过程进行选择。
(2)教学策略实施。
即教材、教法、学法的解说与教学过程的叙述统一起来。
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2.对自然数证明乘法单调性:设a,b,c∈N则(1)若a=b,则ac=bc(2)若a<b,则ac<bc(3)若a>b,则ac>bc证明:(1)设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= (bc) ′﹤=﹥ac + 1 = bc + 1 重复以上过程a次,可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1)∴c∈M由归纳公理知M = N.所以命题对任意自然数c成立(2)若a < b,则有k∈N,使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤=﹥ac < bc(3)依据(2)由对逆性可得。
7.设α=(3+13) / 2 , β=( 3-13) / 2 , An= (αn-βn)/ 13(n=1,2,…..).(1) 以α,β为根作一元二次方程;(2) 证明A n+2=3A n+1+A n;(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数;解:(1) α+ β=3, α β=-1,∴由韦达定理得以α,β为根作一元二次方程为:X2-3X-1=0(2) 证:3A n+1+A n=3(αn+1-βn+1)/13+(αn-βn)/13=( α+ β) (αn+1-βn+1) /13+(αn-βn)/13= (αn+2 -βn+2 - α βn+1 + β αn+1 + αn- βn)/13= (αn+2 -βn+2)/13=A n+2(3) 证:①当n=1时,有A3 =10,则10| A3。
②假设当n=k时,有10| A3k则当n=k+1时,A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 , 10| 3A3。
∴ 10|10 A 3k+3由①②得,对∀n∈N*,有10| A3n。
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初等数学研究知识点复习资料
1.自然数的两种理论:康托的基数理论、皮亚诺的序数理论
2.数学归纳法的理论依据
3.数系扩充的方式与原则
4.复数集是有序集,但复数域不是有序域
5.复数计算,如1 1
i
i -+
6.三次多项式求法及对称式、轮换式、交代式的分解因式
7.方程的三种变换与4种类型倒数方程解法
8.三次方程x3+px+q=0的判别式
9.函数的周期性
10.不等式放缩法几个常用公式
11.均值不等式、柯西不等式与琴生不等式的应用
12.朱世杰恒等式及其应用
13.不定方程正整数解的解数
14.不尽相异元素全排列公式及其应用
15.全错排列数公式及其应用
16.梅氏准则与塞瓦准则及其在应用
17.欧拉线、西摩松线的证明
18.托勒密定理证明及其逆定理的证明
19.蝴蝶定理证明
20.斯特瓦尔特定理
21.三角形面积海伦公式
22.圆内接四边形面积公式
23.平移、旋转、反射变换的意义、不变量和不变性及在証题中的应用
24.合同变换与相似变换的分解定理
25.位似变换的意义、不变量和不变性及在証题中的应用
26.托勒密不等式证明
27.4个著名轨迹(阿氏圆、定和幂圆、定差幂线、定比双交线)
28.等幂轴
29.三大尺规作图不能问题
30.凸多面体欧拉公式。
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什么事说课?说课的概念有狭义和广义两种。
狭义概念上的说课是指的是教教师以讲述的方式,面向听的对象(如领导、同事、评委等),就某一个具体的教学内容,说自己对这一教学内容的分析及教学设计和理论根据的过程。
广义上的说课,指的是以上述说课为中心展开的,有多种内容组成的系列研究活动。
二、说课的具体要求所谓说课,就是让教师(或准教师)以语言为主要表述工具,在备课的基础上,面对同行、专家,系统而概括地解说自己对具体课程的理解,阐述自己的教学观点,表述自己具体执教某课题的教学设想、方法、策略以及组织教学的理论依据等。
然后由大家进行评说。
1.说课标:要求精确精要地阐述课标对本课的教学内容、教学原则、教学方法和学生能力培养等方面的具体要求,明确各项教学内容所应达到的深度和广度。
2.说教材:即,分析本课内容在教材中的地位及其与前后教材的联系、阐明本课的教学目标、教学重点、难点等。
目标的确定要以素质教育为指针,难点的确定要符合学生的实际。
3.说学情:简单的说就是学情分析。
即,分析学生的知识层次、能力水平和学习习惯等方面的现状,对将要学习的知识的可接受程度,教学中可能出现的问题以及如何解决这些问题等。
在教学需要中,主要从两方面入手,一是学习者起点分析,另一便是学习者的终点认识。
学生起点分析,即关注学生进入教学前的学习状态,即原来具有的知识、技能、态度等。
学习目标分析,教学目标的确立有助于教师明确学生“学什么”和教师事后检验学生“学”的怎么样,有助于教师明确学生“怎么学”教师“怎么教”问题。
4.说教法:即,说出本节课使用的教学方法,是说课的主要内容。
(1)教学策略制定。
从宏观上,教学策略中首先要求创设适合于学生认知差异的教学组织形式和使用适合认知差异的教学手段,通过教师提供的良好的教学环境和措施来完成个体的认知建构。
从微观上,教学策略必须针对不同的知识类型和认识过程进行选择。
(2)教学策略实施。
即教材、教法、学法的解说与教学过程的叙述统一起来。
(3)教学设计和教学结果评价。
说明:以上四个部分各有侧重,又互相联系,互相渗透。
可以概括为:对照课程标准说教材,针对学生说教法,结合内容说学情,模拟课堂说方案。
三、《新课程标准》对说课的基本要求1.说清本课内容在本学科教学中所处的地位以及作用。
2.说清本课内容的重点、难点和要求。
3.说清本课时的教学目标。
4.说清实施课堂教学目标的方法和手段。
5.教学过程的调节与信息的有效传递。
6.教学效果的评估。
六、说课的形式和分类根据实施时间分:1.课前说课:阐述教师对教育内容的理解、把握、教学构思;2.课后说课:总结反馈教学的实施过程。
根据组织意图分:1.示范型:有理论功底扎实,教学经验丰富的教师主讲。
目的在于培养青年教师,主体在“说”。
2.练功型:是基层学校开展的主要类型,强调全员参与、平等探讨、集思广益,主体在“议”。
3.考核型:用于考核评估教师的教学基本功,如有的学校招聘教师就采用这种方式。
4.竞赛型:就是把说课作为一种竞赛项目,按照一定的规则组织实施,评出优胜者。
七、说课的方法和艺术1.准备要充分:研究课程标准、熟悉教材、把我重难点、写好说课稿。
说课稿包括:1.教材分析2.教法运用3.学法指导4.教学过程设计(重点)等;2.语言要精当:10-5分钟,详略得当,不生硬,要经过反复锤炼,使人听起来轻松自然。
3.语音要准确:要使用普通话,有亲切感,如播音员罗京,在国际上都有一定影响。
语感好,有感召力,在教学中能体现出一个教师的人格魅力(亲其师方能信其道,就是这个道理)。
4.立意要新颖:教材相同,无新意很难取胜,要能体现发展智力、提高能力,体现教学改革的意识,教学顺序安排不一定和教材一致。
5.构思要精巧:让评委听过开头、结尾,能理解你的用意,安排几次高潮、高潮放在什么地方、各个环节如何衔接、现代教学手段如何运用、板书如何安排等等都要仔细斟酌,以达到最佳的配置效果。
6.信息量要大:说课的信息量大小能体现教师的知识结构和能力,体现出向45分钟要效益的思想,为了说明一个问题,往往要优选多个例证,这些要求教师平时要注意学习积累,注重知识摄取、更新,不然会落在学生的后面。
第二节说课的意义一、说课能有效地促进教学研究活动的开展说课作为集体教学研究活动的一个重要组成部分,即是教学改革的产物,反过来肯定能推动教育教学改革的深入发展。
二、说课能有效地促进教师素质的提高说课能够全方位地提高教师的素质水平。
具体来说,通过说课能促使教师得到以下几方面的提高1.说课促使教师自觉学习教育教学理论,努力提高理论水平2.说课促使教师努力提高专业知识水平3.说课促进教师深入研究学生特点4.说课促进教师苦练教学基本功5.有利于教师培训6.有利于教研员素质的提高7.有利于综合评价三、说课能有效地提高教学质量尽管说课仅是整个教学工作中的一个相对独立的环节或阶段,但由于它具有整体性和综合性,因此它能整合教学过程的各环节,促进整体教学质量的提高。
1.说课具有克服备课的盲目性,增强备课自觉性的价值2.说课具有克服讲课中的随意性,保证课堂教学的时效性的价值3.说课具有促进课堂教学改革,提高课堂教学效率的价值说课作为一种提高教学质量的途径和手段,有效地激发了教师刻苦学习,发奋进取,求实创新,大胆尝试的改革精神,积极引进和移植现代教育教学理论和新的教学方法。
第三节说课的特点说课的基本特点是:一、理论性理论性,是说课的第一个显著特点。
也是有别于其它教研活动最突出的一个特征。
说课的理论性主要体现在说课过程中,不但要求教师说出“教什么”和“怎样教”,更要求说清楚“为什么这样教”。
因为要对“为什么这样教”做出解释,教师就必须综合运用教育学、心理学和教学法等教育教学理论知识去阐明内中的道理。
1.说课与哲学。
在教学与研究的实践中要做到“五个统一”。
即务实与求活的统一,联系与发展的统一,数量与质量的统一,结果与过程的统一,内因与外因的统一。
2.说课与“三论”。
所谓“三论”是指信息论,系统论与控制论。
3.说课与教育学。
说课中制定的教学目标,设计的教学思路,选用的教学方法、教学手段乃至理论依据的表述,都要符合教育学提出的教学原则和规律,教育学的理论知识是说课的最基本也是最重要的理论依据。
4.说课与心理学。
教师在说课时,应考虑如何综合运用认知论,是学生获得知识住处不仅能够快捷,而且尽最大可能缩短认知通道,接近学生的“最近发展区”。
二、合理性何谓合理?合理就是符合常理,符合客观现实和事物的客观规律。
就说课来说,大到教学目标的确定,教学程序的安排,教法、学法的选择,小到一个问题的设计,一道练习的安排,都不能随心所欲,而必须讲究一个“理”字,即必须讲究符合教学的“理”,学生学习的“理”和选定说课内容自身的“理”。
三、综合性说课的综合性,体现在三个方面:一是说课的内容具有综合性。
第二,说课中教师所反映出来的素质也是综合性的。
第三,说课的评价也是综合性的。
四、灵活性说课与教学的其它一些教研形式相比显得十分灵活。
五、激励性六、高层次性由于说课的对象是懂教材,熟业务并具有一定教研水平的领导和教师。
所以,我们要学习先进的教改经验和教学方法,学习有关教育理论,充实说课理论依据,特别是对教材的处理,教法的选择,板书的设计,语言的推敲,比以往备课更为精心,教学结构更趋合理。
七、预见性说课要求教师不仅讲出怎样教,还要说出学生怎样学。
所以,说课者要对所教学生的知识技能、智力水平、学习态度、思想状况、心理特点、非智力因素等方面的差异,进行分析。
第四节说课的原则一、科学性原则1.教材分析正确、透彻。
2.学情分析客观、准确,符合实际。
3.教学目的的确定符合课程标准要求、教材内容和学生实际。
4.教法设计紧扣教学目的,符合课型特点和学科特点,有利于发展学生智能,可行性强、二、理论联系实际的原则1.说课要有理论指导。
在说课中对教材的分型应以学科基础理论为指导,对学情的分析一教育学、心理学理论为指导,对较发达设计应以教学论和学科教法为指导,力求所说内容言之有理、言之有据。
2.教法设计应上升到理论高度。
教师在教学实践中,往往注意到对教法本身的探索、积累与运用,而忽略了将其上升到理论高度并使之系统化、规律化,因而淡化、浅化了教学实践的功能。
说课中,教师应尽量把自己的每一个教法上升到教育、教学的理论高度并接受其检验。
3.理论与实际要有机统一。
在说课中,既要避免空谈理论,脱离实际,“放之四海而皆准”;又要避免只谈做法不谈依据;还要避免为增加理论色彩而张冠李戴,理论与实际不一致、不吻合。
要做到理论切合实际,实践是在理论指导下的实践,理论与实践高度的统一。
三、实效性原则1.目的明确2.针对性强3.准备充分4.评说准确四、创新性原则第五节说课的表达方式一、报告式报告式,类似于会议报告,按教学内容、教学对象、教学方法、教学过程、教学主要环节等条款,逐项说明二、解说式解说式,类似于展览中的解说。
运用多媒体,通过大屏幕展现教学的基本程序和主要内容,在展示的过程中,说课者作同步解说,概述主要做法,阐述设计理由。
三、问题式问题式,也就是自问自答的宣讲。
即把一节课的设计归结为几个问题,然后回答这些问题。
第二章说课的要素分析第一节教学目标确定二、教学目标的确定教学目标包括三个方面:《课标》提出的总目标、年级教学的分目标、单元及课时的小目标。
说目标,要紧扣总目标,掌握分目标,说课时教学的小目标,如知识目标、情感目标、学法目标等。
如说《直线、线段》的目标。
1、知识目标使学生初步认识直线和线段,知道线段有两个端点,并能区别直线和线段。
2、技能目标使学生学会用刻度尺量和画整厘米数的线段。
3、情感目标培养学生观察比和动手操作能力,注意学生良好的学习习惯的养成,本课的教学重点是直线与线段的认识和区别,教学难点是正确度量一段长度和画线段。
说好教学目标,一是要科学地制定教学目标,使目标体现《课标》的要求,反映教材的特点,符合学生的学情;二是要阐述清楚制定目标的依据,做到言之有理。
4、教学重点与难点突破重点与突破难点的阐述,教师高超的教学技艺体现在突出重点、突破难点上。
这是教师在教学活动中投入的精力最大、付出的劳动最多的方面,也是教师的教学深度和教学水平的标志。
因此,教师在说课时必须有重点地说明突出教学重点、突破教学难点的基本策略。
教师的说课,要从知识结构、教学要素的优化,习题的选择和思维训练,教学方法和教学媒体的选用,反馈信息的处理和强化等方面去说明突出重点、突破难点的步骤、方法和形式。
三、教学目标确定注意的问题学目标是教师专业活动的灵魂,也是每堂课的方向,是判断教学是否有效的直接依据。
规范的教学目标应该包含四个要素:(目标的主体必须是学生而不是教师,因为判断教学有没有效益的直接依据是学生有没有获得具体的进步,而不是教师有没有完成任务。