运筹学网络最优化问题
运筹学中的最优路径规划算法研究与优化
运筹学中的最优路径规划算法研究与优化运筹学是研究在特定的限制条件下如何做出最佳决策的学科。
在运筹学中，最优路径规划是一项重要的研究内容。
最优路径规划的目标是找到在给定条件下从起点到终点的最短路径或最优路径。
这项技术广泛应用于物流管理、交通规划、航空航天、电子商务和人工智能等领域，为提高效率、降低成本和优化资源利用提供了良好的支持。
运筹学中的最优路径规划算法有很多种，每种算法都有其独特的优势和适用场景。
下面将重点介绍几种常见的最优路径规划算法和其优化方法。
（一）迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）迪杰斯特拉算法是一种广泛应用的单源最短路径算法，用于解决带有非负权值的有向图或无向图的最短路径问题。
该算法通过不断更新起点到各个节点的最短距离来找到最短路径。
迪杰斯特拉算法的基本思想是从起点出发，选择当前距离起点最近的节点，并将该节点加入到已访问的节点集合中。
然后，更新与该节点相邻的节点的最短距离，并选择下一个最短距离的节点进行扩展。
直到扩展到终点或者所有节点都被访问过为止。
为了优化迪杰斯特拉算法的性能，可以使用优先队列（Priority Queue）来选择下一个节点。
优先队列可以根据节点的最短距离进行排序，使得选择下一个节点的过程更加高效。
（二）贝尔曼福特算法（Bellman-Ford Algorithm）贝尔曼福特算法是一种用于解决任意两节点之间的最短路径问题的算法，可以处理带有负权边的图。
该算法通过对图中所有边进行多次松弛操作来得到最短路径。
贝尔曼福特算法的基本思想是从起点到终点的最短路径包含的最多边数为n-1条（n为节点数），因此算法进行n-1次松弛操作。
每次松弛操作都会尝试更新所有边的最短距离，直到无法再进行松弛操作为止。
为了优化贝尔曼福特算法的性能，可以使用改进的贝尔曼福特算法。
改进的贝尔曼福特算法通过剪枝操作去除不必要的松弛操作，从而减少算法的时间复杂度。
（三）弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）弗洛伊德算法是一种解决带有负权边的图的任意两节点之间最短路径问题的算法。
运筹学优化问题和决策分析的方法
运筹学优化问题和决策分析的方法运筹学是一门应用数学学科，旨在通过建立数学模型来解决决策问题，并运用优化算法寻找最优解。
在现代社会中，运筹学的应用已经渗透到各个领域，包括供应链管理、物流规划、生产调度等。
本文将介绍运筹学中的优化问题和决策分析的方法。
一、优化问题的基本概念在运筹学中，优化问题是指在一定的约束条件下，寻找某个指标的最优解。
优化问题可以分为线性优化问题和非线性优化问题。
线性优化问题的目标函数和约束条件都是线性的，而非线性优化问题的目标函数和约束条件涉及非线性关系。
在解决优化问题时，通常会使用数学建模的方法。
首先，将实际问题抽象为数学模型，然后建立数学模型的目标函数和约束条件。
接下来，运用优化算法求解模型，得到最优解。
二、常用的优化算法1. 线性规划线性规划是指优化问题的目标函数和约束条件都是线性的情况。
线性规划常常可以用单纯形法来求解，该方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
2. 非线性规划非线性规划是指优化问题的目标函数和约束条件涉及非线性关系的情况。
在求解非线性规划问题时，可以使用梯度下降法、牛顿法等方法。
3. 整数规划整数规划是指优化问题的变量需要取整数值的情况。
整数规划问题通常更加复杂，可以使用分支定界法、割平面法等算法求解。
三、决策分析的方法决策分析是指运用数学建模和分析方法来帮助决策者做出最佳决策。
决策分析的方法包括多属性决策分析、决策树分析、动态规划等。
1. 多属性决策分析多属性决策分析是指在考虑多个决策指标的情况下，综合分析各个指标的权重和价值，从而做出最佳决策。
常用的多属性决策分析方法包括层次分析法、模糊综合评判法等。
2. 决策树分析决策树分析是一种通过构建决策树来辅助决策的方法。
决策树是一种具有树状结构的决策模型，通过分析各个决策路径上的概率和收益来进行决策。
3. 动态规划动态规划是一种递推和状态转移的方法，常用于求解多阶段决策问题。
动态规划将决策问题分解为一系列子问题，并通过逐步求解子问题来求解原问题的最优解。
（运筹学与控制论专业优秀论文）一类最优化问题的算法设计
知识水坝为您提供优质论文
承诺书
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。
本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允 许论文被查阅和借阅,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
1.3 本文的主要内容
本文主要研究一类具有特殊形式的最优化问题，求解这一类最优化问题的全 局最优解，并应用到求解互补问题上。虽然目前已经有很多算法，但是我们考虑 到本最优化问题的约束条件是特殊的，因此可以利用约束条件的特殊性构造更为 简单有效的算法。
本文提出了一类新的函数，将它定义为半正定函数。利用这类函数将原问题； 分别转化为无约束最优化和含等式约束的最优化问，并分别设计了算法，进行了 数值实验，验证了算法的有效性。为了给出问题的全局最优解，我们又研究了算 法子问题的全局最优化算法，利用填充函数法来求解子问题。这样就保证了前面 设计的算法可以求得问题的全局最优解。最后，针对约束最优化问题（P），提出 了拟填充函数的概念，构造了一类拟填充函数并设计了算法。具体内容如下：
In this article we propose a new type of function, which is called a semi-positive function. We use this function to make another function, then we can turn the original problem into another one. We give algorithms and numerical results. Then we investigate the sub-problem. Also we propose the definition of quasi-filled function. We propose a quasi-filled function and design algorithm. It mainly contains the following six chapters:
运筹学在计算机网络优化中的应用研究
运筹学在计算机网络优化中的应用研究随着计算机技术的不断发展和计算机网络的普及，网络运维已经成为各个企事业单位的重要部分。
而如何对网络进行优化以提高其性能和稳定性，就成为了当前亟待解决的问题。
在这个问题的解决过程中，运筹学展现出了不可替代的作用。
一、运筹学简介运筹学（Operations Research，OR）是一门研究各类决策问题的数学学科。
它可以帮助人们在面临不确定性的决策问题时，通过运用数学模型、统计分析、优化算法等工具和方法，获得全面的、科学的、合理的决策方案。
在现实生活中，它广泛应用于物流、生产、金融、管理、交通等领域。
二、运筹学在计算机网络优化中的应用在计算机网络中，路由算法、拥塞控制、分布式计算等问题都需要考虑网络节点之间的协作和数据传输的路由选择等方面的因素，这就需要对网络进行优化来提高网络性能。
而运筹学在网络优化中的应用研究则可以提供有效的工具和方法。
（一）网络路由优化网络路由优化是指通过合理的路由算法，将流量分配到不同的路由路径上，实现最优的性能和稳定性。
在这个问题上，运筹学可以提供一系列的优化算法，如线性规划、整数规划、网络流模型等，可以帮助网络管理员对网络进行优化管理。
例如，对于带宽有限的网络，运筹学可以提供合理的优化算法，将网络流量合理地分配到各条路径，达到最优状态。
（二）拥塞控制网络拥塞是指网络中的数据流量过大，导致网络达到了其容量极限，从而造成数据包的丢失和延迟。
为了避免网络拥塞，需要对网络进行拥塞控制。
运筹学可以提供不同的拥塞控制算法，如TCP-Vegas、SPEED、TCP-fair等，这些算法可以减少网络拥塞，保证网络数据传输的质量和稳定性。
（三）分布式计算随着云计算和大数据应用的不断普及，分布式计算成为了一种重要的计算模式。
分布式计算模式主要通过将计算任务分散到多个节点上执行，从而提高计算效率。
在分布式计算中，运筹学可以通过不同的算法，如贪心算法、遗传算法、模拟退火算法等，帮助实现任务分配和资源调度的最优化。
《运筹学》胡运权清华版-9-03网络计划的优化
44
20
18 19 2
15
0
10
9 5
5
1
0
(人数)
按时差将工作排序
(天数)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9
6
7
5
1
1
2
3
5
6
3
44
20
18
15
10
5 0
(人数)
19 工作2 (1,2) , 总时差0，编为1#
工作0 (1,49) , 总时差1，编为2# 工作(1,6) , 总时5 差7，编为1 3#
24
18 6 T=64(天)
18
③ 总直接费用 478＋10×1=488(百元)
间接费用 180 -33=147(百元)
总费用
488 ＋147=635(百元)
第二次调整
①，
1246 1346
同时缩短
(1,3), (1,2) 同时缩小 2.5+1=3.5 可选方案： (1,3), (2,4) 同时缩小 1+2=3
按时差将工作排序
(天数)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 119 Nhomakorabea6
7
5
1
1
2
3假设：已进行5中非关键工作 6
3
4 不4允许中断
工作(1,4) , 总时差1，编为1#
20
19 20
18
工作(2,3) , 总时差0，编为2#
15
10
9
工作(1,6) ,5总时差5，编为3#
5
1
0
第二次调整结果
总费用
634.4(百元)
网络优化图及网络(运筹学)
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
运筹学实验报告五最优化问题
2018-2019学年第一学期《运筹学》实验报告（五）班级：交通运输171学号： **********姓名： *****日期： 2018.12.6654321m in x x x x x x z +++++=..ts 6,...,2,1,0302050607060655443322116=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+i x x x x x x x x x x x x x x i i 均为整数，且实验一：一、问题重述某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段（每4个小时为一个时段）所需的值班人数如下表所示。
这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作8个小时（包括轮流用膳时间）。
问该公交系统至少需要多少名工作人员才能满足值班的需要？设该第i 班次开始上班的工作人员的人数为x i 人，则第i 班次上班的工作人员将在第（i+1）班次下班。
（i=1,2,3,4,5,6）三、数学模型四、模型求解及结果分析Global optimal solution found.Objective value: 150.0000Objective bound: 150.0000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 4Variable Value Reduced CostX1 60.00000 1.000000X2 10.00000 1.000000X3 50.000001.000000X4 0.000000 1.000000X5 30.00000 1.000000X6 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus DualPrice1 150.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 10.00000 0.0000007 0.000000 0.000000根据Lingo程序运行结果分析可知：当第i班次开始上班的工作人员排布如下时，所需人力最少，为150人。
运筹学及其应用9.1 多阶段决策过程最优化问题举例
6
t
使 S = ∑ ∑ f ( x i ) + 16 u j =
i =1
j =1
Байду номын сангаас
6
∑ f ( xi ) + 16(5x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 − 185)
i =1
为最小，其中
f
(xi )
=
110200xxii
,0 −
≤ xi ≤ 15 300,15 < xi
≤
30
6
例1
因此，我们的问题就变成：求y,y1,y2,…,yn-1，以使 g(y)+h(x-y)+g(y1)+h(x1-y1)+…+g(yn-1)+h(xn-1-yn-1) 达到最大，且满足条件
x1=ay+b(x-y) x2=ay1+b(x1-y1)
……… xn-1=ayn-2+b(xn-2-yn-2) yi与xi均非负,i=1,2, …,n-1
5
例1
若以y与x-y分别投入生产方式A与B，在第一 阶段生产后回收的总资源为x1=ay+b(x-y)，再将x1 投入生产方式A和B，则可得到收入g(y1)+h(x1-y1)， 继续回收资源x2=ay1+b(x1-y1)，……
若上面的过程进行n个阶段，我们希望选择n 个变量y,y1,y2,…,yn-1，使这n个阶段的总收入最大。
第二种方法即所谓“局部最优路径”法，是 说某人从k出发，他并不顾及全线是否最短，只是选 择当前最短途径，“逢近便走”，错误地以为局部 最优会致整体最优，在这种想法指导下，所取决策
必是v1→v2→v5→ v9→ v10 ，全程长度是30；显
系统工程与运筹学 第6章 图与网络最优化方法
连通图G (V, E)中，内边权值总和最小的部分树为最小部分树（ 最小支撑树）。
最大部分树？
6.2 最小部分树问题
6.1.1图的基本概念和术语
1. 最小部分树定理 树的任意一条外边Cij比所对应的链中最长的边还长；即最小部 分树是指内边权总和最小的那棵树 2. 最小部分树算法 【例6.1】 某市区准备在五个社区间架设光纤网络，各社区的位 置如图6.2.1(a)，如何架设光纤网络可使各社区间均能通网且光纤线 路最短。
欧拉回路也称一笔圈图，欧拉链也称一笔链图，二者均为一笔画图。
6.3.2 中国邮递员问题
由中国数学家管梅谷先生在1962年提出.
抽象成图的语言就是：给定一个无向的连通图，怎样 才能使每条边至少出现一次并使边长总和最小。这类问 题叫中国邮递员问题或一笔画问题。
中国邮递员问题可以描述为：在一个有奇点的连通图 中，增加一些重复边，使得该图成为一笔圈图，并且要 求重复边的总路长最小。
A
D C
B 图6.3.1 哥尼斯堡七桥问题
【定理1】 若图G的每个顶点所关联的边数是偶数条，则图G是欧拉回路，这
样的图能一笔画出；
【定理2】 若除链的端点以外其余每个顶点所关联的边数是偶数 条（即图中奇点数为2），则图是欧拉链，若想走过该图所有的边而不 走重复路，就只能从一个奇点出发到达另一个奇点。
1736年著名数学家欧拉（Euler）发表了图论方面第一篇论文，解 决了有名的哥尼斯堡七桥难题，欧拉被公认为图论的创始人。
图论以集合元素间某种二元关系生成的拓扑图形为研究对象，任 何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图论的方法来分析。
经过200多年的发展，图论已经发展成为一个理论与应用兼有的 数学领域，在自然科学和社会科学研究中有着广泛的应用。
运筹学涉及的数学知识
运筹学涉及的数学知识
摘要：
一、引言
二、运筹学简介
三、线性规划
四、整数规划
五、动态规划
六、网络优化
七、总结
正文：
运筹学是一门运用数学和统计学方法对实际问题进行建模、优化和求解的学科。
它广泛应用于生产调度、交通运输、资源分配等领域。
本文将简要介绍运筹学涉及的数学知识。
首先，线性规划是运筹学的基础知识。
线性规划研究在一定约束条件下线性目标函数的最优化问题。
它可以用矩阵表示，并使用单纯形法等数学方法求解。
其次，整数规划是线性规划的特殊情况，要求部分或全部变量取整数值。
整数规划在运输、调度和选址等问题中具有重要意义。
常用的求解方法有分枝定界法、割平面法等。
动态规划是另一种重要的优化方法。
它将问题分解成相互联系的子问题，通过求解子问题并将结果存储起来，以避免重复计算，从而提高效率。
动态规
划广泛应用于最短路径、背包问题等领域。
网络优化是运筹学的另一个重要分支，研究在网络结构中的最优化问题。
这类问题可以描述为带权的有向图，通过求解最短路径、最大流等问题，可以有效地改善网络的性能。
总之，运筹学涉及的数学知识包括线性规划、整数规划、动态规划和网络优化等。
运筹学-第7章-图与网络优化
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
（v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v)也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
27/139
第二节 树
本节主要内容： • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
运筹学中的优化问题与决策分析
运筹学中的优化问题与决策分析优化问题和决策分析是运筹学的核心内容之一。
通过运筹学的方法，可以在复杂的决策情境中找到最优解或最优策略，以达到最大利益或最小成本的目标。
本文将介绍运筹学中的优化问题和决策分析的基本概念、方法和应用。
一、优化问题的基本概念优化问题是指在给定的一组限制条件下，寻找使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
在运筹学中，通常将优化问题分为线性优化问题和非线性优化问题两种。
1. 线性优化问题线性优化问题的目标函数和约束条件都是线性的，即可以表示为一次函数的形式。
线性优化问题有着广泛的应用，如生产计划、资源分配等。
常见的线性优化问题包括线性规划、整数规划和网络流问题等。
2. 非线性优化问题非线性优化问题的目标函数和约束条件中存在非线性项，求解非线性优化问题通常比较复杂。
非线性优化问题的应用领域包括经济学、工程学、生物学等。
常见的非线性优化问题有最优化、最优控制等。
二、决策分析的基本概念决策分析是指通过对问题的分析和评估，选择出符合实际需要且最有利于实现目标的决策方案。
决策分析的核心在于确定决策变量、评估目标和制定约束条件。
1. 决策变量决策变量是指在决策分析中可以被调整的变量，通过调整决策变量可以影响决策方案的结果。
决策变量的选择对于决策分析的准确性和有效性至关重要。
2. 评估目标评估目标是对决策方案进行衡量和比较的标准。
在决策分析中，常常会涉及到多个评估目标，需要通过综合考虑来确定最终的决策方案。
3. 约束条件约束条件是指决策方案在实施过程中要满足的限制条件。
约束条件可以是资源的限制、技术的要求等，根据具体情况来确定。
三、优化问题与决策分析的关系优化问题和决策分析有着密切的联系。
优化问题可以作为决策分析的一种方法，通过求解优化问题来得到最优的决策方案。
1. 决策变量与优化变量在决策分析中，决策变量是决策方案中可以调整的变量。
而在优化问题中，优化变量即为优化问题中需要确定的变量。
决策变量可以作为优化变量，通过求解优化问题得到最优解，从而得到最优的决策方案。
运筹学最优化原理的例子
运筹学最优化原理的例子
运筹学中的最优化原理有很多应用，以下是其中一些例子：
1. 背包问题：这是一个经典的连续最优化问题。
给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，目标是选择一些物品放入背包中，使得背包内物品的总价值最大，同时不超过背包的重量限制。
2. 生产计划问题：在生产计划中，需要确定生产哪些产品、生产多少以及如何分配资源。
最优化原理可以用来制定最优的生产计划，使得某种目标函数（如总利润）达到最大或最小。
3. 路径规划问题：在物流和交通运输领域，最优化原理可以用来找到最优的路径规划方案，例如在给定一系列节点和边的情况下，找到一条从起点到终点的最短路径或最低成本路径。
4. 投资组合优化问题：在金融领域，投资者需要决定如何分配他们的资金以最大化收益或最小化风险。
最优化原理可以用来确定最优的投资组合，即在一组可能的投资组合中选择一个最优的组合，使得某个目标函数（如预期收益或风险）达到最优。
5. 调度问题：在生产或服务行业中，需要确定任务的顺序和时间安排以最小化成本或最大化效率。
最优化原理可以用来找到最优的调度方案，使得某个目标函数（如总完成时间或总成本）达到最小或最大。
以上例子只是运筹学中最优化原理的一些应用，实际上还有很多其他的应用领域，如医疗、农业、能源等。
运筹学：动态规划、图与网络优化习题与答案
一、判断题1.动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（）正确答案：×2.对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（）正确答案：×3.在用动态规划解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（）正确答案：√4.动态规划计算中的“维数障碍”主要是由问题中阶段数的急剧增加而引起的。
（）正确答案：×二、选择题1.关于图论中图的概念，以下叙述（）正确。
A.图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。
B.图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。
C.图中任意两点之间必有边。
D.图的边数必定等于点数减1。
正确答案：B2. 关于树的概念，以下叙述（）正确。
A.树中的点数等于边数减1B.连通无圈的图必定是树C.含n个点的树是唯一的D.任一树中，去掉一条边仍为树。
正确答案：B3. 一个连通图中的最小树（）。
A.是唯一确定的B.可能不唯一C.可能不存在D.一定有多个。
正确答案：B4.关于最大流量问题，以下叙述（）正确。
A.一个容量网络的最大流是唯一确定的B.达到最大流的方案是唯一的C.当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D.当最大流方案不唯一时，得到的最大流量应相同。
正确答案：D5. 图论中的图，以下叙述（）不正确。
A.图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B.图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C.图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D.图论中的图，可以改变点与点的相互位置。
只要不改变点与点的连接关系。
正确答案：C6. 关于最小树，以下叙述（）正确。
A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B.最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C.一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D.一个网络的最小树一般是不唯一的。
正确答案：B7.关于可行流，以下叙述（）不正确。
运筹学第7章图与网络优化
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
运筹学中的最优化算法研究
运筹学中的最优化算法研究随着信息技术的进步和应用的发展，我们的生活日益依赖于计算机和互联网的支持。
在各种信息技术应用场景下，我们往往需要优化某些目标，使得满足一定约束条件下达到最优的结果。
这就是最优化问题，它在许多领域都有广泛的应用，包括工程、管理、经济、物理、生物、医学等等。
运筹学就是致力于研究这类问题，并设计相应的求解算法，它是一个交叉学科，涉及数学、计算机科学、经济学、管理学等多个领域，它帮助我们优化决策和资源利用，提高效益，并节约成本。
在运筹学中，最优化算法是分析和解决最优化问题的重要工具，它们可以帮助我们在多种情况下，寻找最优的解决方案。
最优化算法，主要分为两种类型：确定性方法和随机性方法。
在这篇文章中，我们将重点探讨确定性方法，这种方法可以计算出问题的精确解，且求解速度较快，也更加容易运用于实际应用情境中。
确定性方法有很多，其中最常见的有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论、模拟退火、遗传算法等。
下面，我们将针对其中的几个常见算法进行详细讲解。
一、线性规划线性规划是最常用的最优化方法之一，它可以解决由一个或多个线性约束所定义的最优化问题，目标函数为线性函数。
其基本思想是：将目标函数在坐标系中表示出来，然后找到可以使目标函数取得最大值或最小值的点（通常称之为最优解），这个点一定是位于约束区域的边界上。
通过线性规划，我们可以求解生产计划、投资决策、财务管理、分配方案等问题。
二、整数规划整数规划是针对整数变量的最优化问题，是线性规划的一种扩展。
它的模型中，目标函数和约束条件都是由整数变量组成的，这些整数变量代表了实际问题中的决策变量，例如在配货时，需要用整数表示货物数量。
整数规划是求解诸如生产计划、最优化分配、物流调度、投资决策等实际问题的重要工具。
三、非线性规划与线性规划不同，非线性规划中，目标函数或约束条件可能涉及到非线性函数。
这种问题更加复杂，因此解决起来也更具挑战性。
然而非线性规划在经济、工程、生物等许多领域中都有广泛应用，例如在农业中，有时需要优化某农作物的产量，而它们的生长有时是受到一些非线性因素的影响，因此需要非线性规划来求解。
运筹学中excel网络优化
第六节网络优化问题许多网络最优化问题实质上是线性规划问题的特殊类型．比如运输问题和指派问题，都可以用网络规划来描述．而本节所讨论的典型的网络优化问题如：最小费用流问题、最大流问题以及最短路问题等也可以转化为特殊的线性规划问题．因此对于许多小型的网络优化问题，我们仍有可能利用Excel 的“规划求解”加以解决，而对于较大型的问题，可以利用其他线性规划的商业软件包中的网络单纯形法来处理.一、最小费用流问题我们首先从一个例子开始，例6-12中的图6-19给出了最小费用流所需的网络.在解决这个问题前，我们先来介绍一些有关最小费用流的术语.1．最小费用流问题的模型可以用带有通过其中的流的网络来表示，网络中的圆圈被称为节点，箭头称为弧.2．如果节点产生的净流量（流出减去流入）是一个确定的正数的话，这个节点称为供应点（本例中节点1是供应点，其净流量为7）.3．如果节点产生的净流量是一个确定的负数的话，那么这个节点就称为需求点（本例中节点6就是需求点，其净流量为-7）.4．如果节点产生的净流量恒为零，那么这个节点就称为转运点（本例中节点2至5均为转运点）.6．允许通过某一条弧的最大流量称为该弧的容量（本例中，每条弧旁括号中的前一个数字表示了该弧的容量）.7．通过某一条弧的单位流量均产生一定的费用，称为单位成本（本例中，每条弧旁括号中的后一个数字表示了该弧的单位成本）.一般来说，最小费用流问题具有如下特征：1．最小费用流问题都至少有一个供应点和一个需求点，其余所有节点均为转运点.2．通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动，通过弧的最大流量取决于该弧的容量.3．网络中有足够的弧提供足够的容量，使得所有在供应点中产生的流都能够到达需求点.4．在流的单位成本已知的前提下，通过每一条弧的流的成本和流量成正比.5．最小费用流问题的目标是在满足给定需求（即流量一定）的条件下，使得通过网络运输的总成本最小.解最小费用流问题，实际上是要确定每一条弧上的流量，这个流量不应超过该弧的容量，并使总的运输成本最小.此外，转运点的净流量应为零，而供应点的总流出量应等于需求点的总流入量.按照上述要求，我们来建立最小费用流问题的电子表格模型，并利用“规划求解”对其求解.图13-31的上半部分给出了该问题的电子表格模型.该模型由两张表构成，第一张表给出与网络中的弧有关的数据及限制.首先将以节点的序号表示的网络中的所有弧列在B 和C 两列，起始点的序号按由小到大的顺序列在B 列，终点的序号列于C 列；数据单元格（F4：F12）和（G4：G12）分别是对应于某一弧的容量限制和单位成本；可变单元格（D4：D12）给出了通过弧的流量，是需要通过求解模型来确定的量，其初始值可设为0，显然，某一条弧的流量不应超过其容量，E 列的“ ”显示了这种关系.模型的第二张表则给出了关于网络中节点的限制.将网络中所有的节点序号列于单元格（I4：I9）；数据单元格（L4：L9）给出了对应节点的净流量限制，供应点和需求点的净流量分别为7和-7，转运点的净流量为0；图13-31输出单元格（J4：J9）是各节点的实际净流量，某一节点的净流量等于该节点的流出量减流入量，如节点2的净流量就等于弧（2，3）和（2，4）的流量减去弧（1，2）的流量，即J5=D6+D7-D4；其他各节点的实际净流量公式如图13-30的左下部分所示，K 列显示它们应等于净流量的限制值.该问题是求使总运费最小的各弧流量，目标单元格D 14给出了总费用的计算公式，它等于各弧实际流量与对应的单位成本乘积的和，公式如图13-30左下角所示.图13-31的右下部分显示了“规划求解”对话框的内容以及选项对话框的内容.约束包括两类，即弧的容量限制约束和节点的净流量限制.最小费用流问题仍属于线性规划问题，而弧中的流量不应小于零，所以选项对话框中仍选择采用线性模型和假定非负.点击求解键后得到该问题的最优解，如图13-31：流量：.5,2,5,0,5,2,5,0,7564645353424231312=========f f f f f f f f f 最小费用：91*)(=f b二、网络最大流问题最大流问题的特征与最小费用流问题的特征是非常相似的，但它们之间也有一些细微的差异.我们以例6-10为例进行讨论.图13-32给出了以图13-31的形式描述的该问题的电子表格中模型.这个模型与图13-31模型基本构成是相同的，其主要区别是它的目标发生了变化，由于目标不再是使得网络中流的总成本最小，因此我们删除了图13-31中的G 列.目标单元格D14中的数据是由节点s v流出的流图13-32量.由于流量的是不确定的，所以除了转运点的净流量必须为0，节点s v 和t v 的流量不需要限制.从“规划求解”对话框中可以看出可变单元格为D4：D12，即弧的流量；约束为容量及节点的流量限制；目标为求流量的最大值.由于最大流仍属于线性规划问题，故在选项中仍选择使用线性模型和假定非负.对该模型求解的结果是：流量：.2,3,0,0,2,3,0,2,343434124131221=========t t s s f f f f f f f f f 最大流量：.5*=f网络最大流问题有如下的假设.1．网络中所有流起源于一个节点，这个节点叫做源，所有的流终止于另一个点，这个节点叫做汇.（本例中s v 为源，t v 为汇）2．其余所有的节点叫做转运点，转运点的流入量等于流出量.（如节点1v 、2v 、3v 、4v 都是转运点.）3．通过每一个弧的流只允许沿着弧的箭头所指方向流动，由源发出的所有的弧背向源，而所有终结于汇的弧都指向汇.4．最大流问题的目标是使得从源到汇的总流量最大.这个流量的大小可以用两种等价的方法来衡量，分别叫做从源出发的流量和进入汇的流量（图13-31中的单元格D 4=I 4使用的是从源点出发的方法）.三、最小费用最大流问题如果同时考虑网络的流量以及费用问题就是最小费用最大流问题．所谓最小费用最大流问题就是：给了一个带收发点的网络，对每一条弧ij v ，除了给出了容量ij c 外，还给出了这条弧的单位成本ij b ，要求一个最大流f ，并使得相应的总运输费用最小.最小费用问题要求网络的流量是确定的，因此，最小费用最大流问题的解法是先不考虑费用，将其作为最大流问题处理；求出问题的最大流后，再利用最小费用问题的解法，求出该最大流对应的最小费用.图13-33是对图13-31的网络流问题求其相应的最小费用最大流．从图中的电子表格模型可以看出，其求解的过程是分两部分进行的：1．先按照求网络最大流的方法，求出该网络的最大流量；2．以求得的最大流量为确定流量，按照求最小费用流的方法求其对应的最小费用流及相应的最小费用.从图上可以看出，最小费用最大流问题在电子表格中建立了两个模型，即最大流模型及最小费用模型，通过求解第一个模型得到该网络的最大流量为17；再以17为流量利用第二个模型求出其相应的最小费用为311．比较两个模型的求解结果发现，两个最优解对应的各弧的流量是相同的（由于即使在有多重最优解的情况下，电子表格也只能找到一个最优解，所以这种情况下不能确定最大流问题有几个最优解），但有时两个模型的最优解是不同的，这意味着最大流问题有多重最优解，而通过求解第二个模型得到了相应的费用最小的那个最优解.图13-33四、最短路径问题最短路径问题的最普遍的应用是在网络中的两个点之间寻找最短路．因此，最短路径问题都有如下假设：1．在网络中选择一条路，这条路始于某一节点，这节点叫做起点，它终于另一个节点，这个节点叫做终点.2．连接两个节点的连线通常叫做边（允许双方向行进）或弧（只允许沿着箭头所指方向行进）.3．和每条边（弧）相关的一个非负数，叫做该边（弧）的长度.4．目标是为了寻找从起点到终点的最短路（总长度最小的路）.首先来分析例6-7，我们希望找到从v到7v的最短路线．图中给出了从1v到1v途经的所有中间节点以及连接节点之间弧及其长度.7观察最短路问题的特点，我们发现它实际上可以被认为是最小费用流问题的一种特殊类型.在最短路问题中，起点相当于供应量为1的供应点，终点相当于需求量为1需求点，所有其余的节点都是转运点，所以每一个所产生的净流量为0；弧的长度可以看作是网络中流的单位成本；如果我们选择的路经过某一特定的弧，则认为该弧的流量为1，否则流量为0.这样一来，使某条路的总长度最短就等价于网络流的总费用最小，因此，我们可以用处理最小费用流的方法处理最短路问题.图13-34是按照上述解释给出的例6-7最短路问题的电子表格模型及其求解过程.该模型与图13-31模型的主要区别在于各弧的容量没有了限制，但弧的流图13-34量变成了0-1变量，因此约束条件中包含了H 4：H15二进制的限制；另外，图13-31中G 列的单位成本被本模型E 列中各弧的距离取代了.除此之外，图13-34最短路模型的形式基本与图13-31的最小费用流问题的模型一致.可变单元格（D 4：D 15）给出流量为1，表示对应的弧被选为从1v 到7v 的路，为0则没被选中.目标单元格D 17给出了该路线的总长度.B 列和C 列给出了所有的弧，J 列显示了每个节点需要产生的净流量，使用该图左下角的公式后，将H 列每一个单元格都加上流出量并减去流入量，得到通过该节点的实际净流量.对应的限制条件，即H 4：H10=J4：J10，在“规划求解”对话框中作定义.在“选项”对话框中仍选择“采用线性模型”和“假定非负”.通过求解在模型中的D 列显示了那些流量为1的弧就是最短路径中的弧，即最短路径为，1v →2v →3v →5v →6v →7v ，长度为13.用Excel 求解网络规划问题1 最大流问题设有一网络，如图1所示，每条线旁的数字表示容量，如何安排使s 到t 的流量最大？用Excel 解决的步骤如下：表1 求解最大流原始数据sv 1t v 244 图1 求解最大流3.图与网络分析。
运筹学和最优化的关系
运筹学和最优化的关系运筹学和最优化是两个紧密相关的概念，它们在管理科学和工程领域中扮演着重要的角色。
运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，而最优化则是一种方法论，旨在找到最佳解决方案。
运筹学是一门综合性学科，涵盖了数学、统计学、经济学、工程学等多个学科的知识。
它通过建立数学模型和运用优化方法，帮助决策者在面对复杂问题时做出最佳决策。
运筹学的研究对象包括资源分配、生产调度、物流管理、项目管理等各个方面。
通过对问题进行建模、求解和分析，运筹学可以帮助决策者降低成本、提高效率、优化资源利用率等。
最优化是运筹学的重要方法之一，它旨在寻找问题的最佳解决方案。
最优化的核心思想是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的变量取值。
最优化问题可以是线性的，也可以是非线性的。
线性规划是最常见的最优化问题之一，它涉及到线性目标函数和线性约束条件。
非线性规划则涉及到非线性目标函数和/或非线性约束条件。
通过运用数学方法和算法，最优化可以帮助求解各种复杂的决策问题。
运筹学和最优化之间存在着密切的联系和相互依赖。
运筹学提供了最优化问题的实际背景和应用场景，而最优化则为运筹学提供了解决问题的方法和工具。
运筹学的研究需要依靠最优化方法来求解模型，而最优化方法的发展和应用也离不开对运筹学问题的实践需求和挑战。
在实际应用中，运筹学和最优化常常相互结合，形成一个完整的分析和决策框架。
首先，运筹学通过对问题进行建模和分析，确定问题的关键要素和影响因素。
然后，最优化方法被应用于求解模型，得到最佳的决策方案。
最后，运筹学通过对结果进行评估和优化，进一步改进决策方案的质量和效果。
运筹学和最优化的关系也体现在它们共同面对的挑战和问题上。
在现实生活中，决策问题往往具有复杂性、多目标性和不确定性。
运筹学和最优化需要面对这些挑战，寻找有效的方法和技术来解决问题。
例如，在资源分配问题中，运筹学需要考虑如何在有限的资源下实现最大化的效益，最优化则需要找到合适的算法来求解这个复杂的优化问题。
运筹学和最优化解析
运筹学和最优化解析运筹学是一门关注在有限资源下进行最优决策的学科。
它结合了数学、统计学和计算机科学的方法，通过建立数学模型来描述问题，并利用数学方法进行优化求解。
运筹学广泛应用于商业、工业和公共管理等领域，它的目标是通过最大化效益或最小化成本来优化系统的性能。
最优化是一种数学方法，用于在给定的约束条件下寻找最优解。
最优化问题通常涉及一个目标函数和一组约束条件，目标是找到使目标函数最大或最小的变量组合。
最优化问题可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等不同类型。
对于线性规划问题，目标函数和约束条件都是线性的，可以通过线性规划算法进行求解。
对于非线性规划问题，目标函数或约束条件中存在非线性项，需要使用非线性规划算法进行求解。
整数规划则是在变量取值上加上整数限制。
运筹学和最优化在实践中有很多应用。
其中一个重要的应用是生产计划和资源分配问题。
通过建立数学模型，可以帮助企业有效地安排生产计划，使生产过程最大化效益或最小化成本。
同时，通过优化资源分配，可以最大限度地满足各部门的需求，提高资源利用率。
另一个重要的应用是物流和运输优化。
通过运筹学和最优化方法，可以确定最佳输送路径和运输计划，从而最大化物流效率并降低运输成本。
这在供应链管理和交通运输等领域具有重要意义。
此外，运筹学和最优化也广泛应用于风险管理和金融决策。
通过建立数学模型和利用最优化方法，可以在面临不确定性和风险的情况下，制定最佳的投资组合和风险管理策略。
运筹学和最优化解析方法有许多，其中一种常用的方法是线性规划。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，求解线性规划问题可以使用单纯形法等方法。
另一种常用的方法是整数规划，它在线性规划的基础上加上了变量取值为整数的限制。
整数规划问题可以使用分支定界法等方法进行求解。
除了传统的解析方法，运筹学和最优化也可以利用启发式算法和元启发式算法进行求解。
启发式算法通过寻找近似最优解的策略进行求解，而不需要考虑全局最优解。
运筹学课后习题答案第六版
运筹学课后习题答案第六版运筹学是一门应用数学学科，旨在研究如何在有限资源和约束条件下做出最佳决策。
它涉及到决策分析、优化理论、线性规划、整数规划、动态规划等多个领域。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为大家提供《运筹学课后习题答案第六版》的相关内容。
第一章：决策分析决策分析是运筹学的基础，它主要涉及到决策的目标、决策的环境、决策的准则等方面。
在第一章的习题中，我们需要运用决策树、决策表、决策矩阵等方法来解决实际问题。
比如，一个公司需要决策是否要进军某个新市场，我们可以通过绘制决策树来分析各种可能的结果和概率，从而选择最佳的决策。
第二章：线性规划线性规划是运筹学中的重要工具，它主要涉及到线性目标函数和线性约束条件的最优化问题。
在第二章的习题中，我们需要运用单纯形法、对偶理论等方法来求解线性规划问题。
比如，一个工厂需要决策如何分配有限的资源以最大化利润，我们可以建立一个线性规划模型，然后通过单纯形法来求解最优解。
第三章：整数规划整数规划是线性规划的扩展，它主要涉及到目标函数和约束条件都是整数的最优化问题。
在第三章的习题中，我们需要运用分支定界法、割平面法等方法来求解整数规划问题。
比如，一个物流公司需要决策如何安排货物的配送路线以最小化成本，我们可以建立一个整数规划模型，然后通过分支定界法来求解最优解。
第四章：动态规划动态规划是一种用来解决多阶段决策问题的方法，它主要涉及到状态转移方程和最优子结构的求解。
在第四章的习题中，我们需要运用贝尔曼方程、最短路径算法等方法来求解动态规划问题。
比如，一个投资者需要决策在不同时间点买入和卖出股票以最大化收益，我们可以建立一个动态规划模型，然后通过贝尔曼方程来求解最优解。
第五章：网络优化网络优化是一种用来解决网络流问题的方法，它主要涉及到网络的建模和最大流最小割定理的求解。
在第五章的习题中，我们需要运用最大流算法、最小割算法等方法来求解网络优化问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
3、最小费用流问题的解的特征
（1）具有可行解的特征：在以上的假设下，当 且仅当供应点所提供的流量总和等于需求点 所需要的流量总和时（即平衡条件），最小 费用流问题有可行解；
（2）具有整数解的特征：只要其所有的供应、 需求和弧的容量都是整数值，那么任何最小 费用流问题的可行解就一定有所有流量都是 整数的最优解（与运输问题和指派问题的解 一样）。因此，没有必要加上所有决策变量 都是整数的约束条件。
(5) 售货员从某个点vi出发走过其他所有点后回 到原点vi，如何安排路线使总路程最短。这属 于货郎担问题或旅行售货员问题。
（6）邮递员从邮局vi出发要经过每一条边将邮件 送到用户手中，最后回到邮局vi，如何安排路 线使总路程最短。这属于中国邮递员问题。
天津财经大学 珠江学院
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
5.1 网络最优化问题基本概念 5.2 最小费用流问题 5.3 最大流问题 5.4 最短路问题 5.5 最小支撑树问题 5.6 货郎担问题和中国邮路问题
天津财经大学 珠江学院
本章主要内容框架图
第5章 网络 最优化问题
点
基本概念
连线（边或弧） 权（赋权图） 网络图
网络最优化问题
第5章 网络 最优化问题
▪ 许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究 的目的归结为图的极值问题。
▪ 运筹学中研究的图具有下列特征：
(1) 用点表示研究对象，用连线（不带箭头的边 或带箭头的弧）表示对象之间某种关系；
(2) 强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比 例大小与形状；
(3) 每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。 实际中权可以代表两点之间的距离、费用、利 润、时间、容量等不同的含义；
量取决于该弧的容量； （5）网络中有足够的弧提供足够容量，使得所有在供应点中
产生的流都能够到达需求点；（有解） （6）在流的单位成本已知前提下，通过每一条弧的流的成本
和流量成正比；（目标是线性的） （7）最小费用流问题的目标在满足给定需求条件下，使得通
过网络供应的总成本最小（或总利润最大）。
天津财经大学 珠江学院
第5章 网络 最优化问题
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第5章 网络最优化问题
天津财经大学 珠江学院
第5章 网络 最优化问题
本章内容要点
网络最优化问题的基本概念 网络最优化问题的四种主要类 型：最小费用流、最大流、最 短路、最小支撑树 各种网络最优化问题的建模与 应用
天津财经大学 珠江学院
本章节内容
▪ 最小费用流问题的特殊类型包括运输问题 和指派问题，以及在下面将要提到的两种 重要类型：最大流问题和最短路问题。
天津财经大学 珠江学院
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
例5.1 某公司有两个工厂生产产品，这些产品需要运 送到两个仓库中。其配送网络图如图5－2所示。 目标是确定一个运输方案（即每条路线运送多少单 位的产品），使通过配送网络的运输成本最小。
主要类型
最小费用流问题 最 最大 短流 路问 问题 题
最小支撑树问题
货郎担问题和中国邮路问题
节点（供应点、转运点、需求点）
建模和求解
净流量 数学模型
电子表格模型
天津财经大学 珠江学院
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
▪ 网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式 存在。交通、电子和通讯网络遍及我们日常生 活的各个方面，网络规划也广泛用于解决不同 领域中的各种问题，如生产、分配、项目计划 、厂址选择、资源管理和财务策划等等。
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
天津财经大学 珠江学院
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
▪ 最小费用流问题的模型在网络最优化中扮 演着重要的角色，因为它的适用性很广， 并且求解方法容易。通常最小费用流问题 用于最优化货物从供应点到需求点的网络 。目标是在通过网络配送货物时，以最小 的成本满足需求，一种典型的应用就是使 得配送网络的运营最优。
（2）弧：可行的运输线路（节点i->节 点j），经常有最大流量（容量）的限 制。
天津财经大学 珠江学院
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
2、最小费用流问题的假设 （1）至少一个供应点； （2）至少一个需求点； （3）剩下都是转运点； （4）通过弧的流只允许沿着箭头方向流动，通过弧的最大流
80
F1
（无限制，700）
W1
60
（50，300） （50，400）
（50，200） DC
（50，400）
70
F2
（无限制，900）
天津财经大学 珠江学院
W2
90
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题的三个基本概念：
1、最小费用流问题的构成（网络表示）
（1）节点：包括供应点、需求点和转运 点；
(4) 建立一个网络模型，求最大值或最小值。
天津财经大学 珠江学院
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
v1 5
v2
8
v3
7
v5
5
4
8
1
2
v4
v6
3
6
对于该网络图，可以提出许多极值问题
天津财经大学 珠江学院
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
（1）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点vj，使得运送成本最小。这属于 最小费用流问题。
（2）将某个点vi的物资或信息送到另一 个点vj，使得流量最大。这属于最大 流问题。
（3）从某个点vi出发到达另一个点vj， 怎样安排路线使得总距离最短或总费 用最小。这属于最短路问题。
天财经大学 珠江学院
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
（4）点vi表示自来水厂及用户，vi与vj之间的边 表示两点间可以铺设管道，权为vi与vj间铺设 管道的距离或费用，极值问题是如何铺设管道 ，将自来水送到其他5个用户并且使总的费用 最小。这属于最小支撑树问题。
▪ 网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提 供了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛应 用于科学、社会和经济活动的各个领域中。
▪ 近些年来，运筹学（管理科学）中一个振奋人 心的发展是它的网络最优化问题的方法论和应 用方面都取得了不同寻常的飞速发展。
天津财经大学 珠江学院
5.1 网络最优化问题基本概念