北京大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷

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北京大学高等数学A 期末考试试卷

2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。

2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11

(1)n

p n n

∞

=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是

（ ）

A ．2x y Ce =

B ．22x y Ce =

C ．22y y e Cx =

D ．2y e Cxy = 2．求极限

(,)(0,0)lim x y →= （ ）

A ．

14 B ．12- C ．1

4

- D ．12

3

．直线:

327

x y z

L ==-和平面:327

80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上

C ．直线L 垂直于平面π

D ．直线L 与平面π斜交

4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，

则D

σ= （ ）

A ．33()2

b a π

- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-

5．下列级数收敛的是 （ ）

A ．11(1)(4)n n n ∞

=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D

．1

n ∞

=

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

2. 计算二重积分22

D

x y

dxdy x y

++⎰⎰

，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y

∂∂+∂∂。

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4.求曲线积分()()L

x y dx x y dy ++-⎰，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方

向。

5.

计算D

y ⎰⎰，其中D

是由y =1x =-及1y =所围成的区域。

6

．判断级数1(1)1

n n n n ∞

=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。

7．将函数1

(1)(2)

x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

2. 求幂级数1

(1)(1)!n n

n nx n ∞

=-+∑的和函数。

3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知

[()()]()L

D

xydx yf x g x dy yg x d σ++=⎰

⎰⎰，

求()f x 和()g x 。

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参考答案

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．3

3．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．C 2．C 3．C 4．B 5．A

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分

采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分

得21

()2

x h x e C =+………………5分

故通解为1

2

x x y e Ce -=+………………6分

将初始条件0x =，2y =带入得3

2

C =，故特解为1322x x y e e -=+…………7分

2. 计算二重积分22

D

x y

dxdy x y

++⎰⎰

，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分

则1

0,

12

sin cos r π

θθθ

≤≤

≤≤+………………3分

所以12

12220sin cos cos sin D

x y r r dxdy d rdr x y r π

θθθθθ+++=+⎰⎰⎰⎰………………5分 20

(sin cos 1)d π

θθθ=+-⎰………………6分

42

π

-=

………………7分

1.5CM