套定理证明闭区间上连续函数的性质

西安工程学院学报

JOURNAL OF XI’AN ENGINEERING

UNIVERSITY

1998年　第20卷　第2期　Vol.20　No.2

用区间套定理证明闭区间上连续函数的性质

周　明

提　要　用数学分析中的区间套定理证明了闭区间上连续函数的四个定理。

关键词　区间序列；连续；一致连续

中图法分类号　O174.1

PROOF TO PROPERTIES OF CONTINUOUS FUNCTION

ON A CLOSED INTERVAL WITH AN

INTERVAL SEQUENCE THEOREM

Zhou　Ming

(Xi′an Engineering University,Xi′an 710054)

Abstract　Four theorems about continuous function on an closed interval are proved by a interval sequence theorem in mathematical analysis.

Key words　interval sequence, continuity, uniform continuity

在高等数学中所遇到的闭区间上连续函数的性质，通常都不加以证明，其实这些性质在数学分析中都给出了证明，可用数学分析中的一些定理来证明。实际上这些性质的证明也可用数学分析中的一个定理即区间套定理证得。下面就用区间套定理来证明这些性质。在证明这些性质之前，先叙述一下区间套定理。

区间套定理：设一无穷闭区间列｛〔a n,b n〕｝适合下面两个条件：

(1)后一区间在前一区间之内，即对任一正整数n，有a n≤a n+1＜b n+1≤b n。

(2)当n→∞时，区间列的长度｛(b n-a n)｝所成的数列收敛于零，即limn→∞(b n-a n) =0。

则区间的端点所成两数列｛a n｝及｛b n｝收敛于同一极限ξ，且ξ是所有区间的唯一公共点。

1　有界性定理

若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它在〔a,b〕上有界。

证明(反证法)：设f(x)在〔a,b〕上无界，将〔a,b〕二等分，则f(x)必在其一上无界，记其为〔a1,b1〕，再将〔a1,b1〕二等分，记f(x)在其上无界的区间为〔a2,b2〕，这样继

续下去，可得一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：

(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且f(x)在〔a n,b n〕(n=1,2，…)上无界。

于是由区间套定理，必有一点ξ∈〔a n,b n〕，使得f(x)在ξ点无界。因f(x)在ξ点连续，由局部有界性，存在某ξ的邻域Uδ(ξ)，使得f(x)在Uδ(ξ)上有界，所以只要n取得充分大，可使得〔a n,b n〕Uδ(ξ)，而f(x)在〔a n,b n〕上无界，那么f(x)在Uδ(ξ)上也无界，这与局部有界性矛盾，故f(x)在〔a,b〕上有界。

2　最大(小)值定理

若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则f(x)在〔a,b〕上有最大值和最小值。

证明：将区间〔a,b〕二等分为〔a,(a+b)/(2)〕、〔(a+b)/(2),b〕，如果对区间〔a, b〕中的任何点x′，都有〔a,(a+b)/(2)〕中的某一点x使得，f(x′)≤f(x)，则把〔a,(a +b)/(2)〕记为〔a1，b1〕，否则，即对〔a,b〕中的任何点x″有〔(a+b)/(2),b〕中的某点x，使得f(x″)≤f(x)，则把〔(a+b)/(2),b〕记为〔a1,b1〕，于是在这样得到的区间〔a1,b1〕上有f(x)≤f(ξ1)，x∈〔a,b〕,ξ1∈〔a1,b1〕。重复上面的推理。可得一区间序列｛〔a n,b n〕｝它满足：

(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且在〔a n,b n〕(n=1,2，…)上有点ξn∈〔a n,b n〕,使f(ξn)≥f(x),x∈〔a,b〕。

设μ是这区间套的唯一公共点，因为a n≤ξn≤b n，limn→∞a n=limn→∞b n=μ，所以limn→∞ξn=μ。又因为f(x)在〔a,b〕上连续，所以有limn→∞f(ξn)=f(μ),在f(ξn)≥f(x),x∈〔a,b〕中令n→∞，就得f(μ)≥f(x)，这就证明了f(μ)是f(x)在〔a,b〕上的最大值。

最小值可用类似的方法证之。

3　介值定理

若f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，对于f(a)和f(b)之间的任意一个值μ，在〔a,b〕上至少有一点ξ使得f(ξ)=μ。

证明：设f(a)＜f(b)，而f(a)＜c＜f(b)。把区间〔a,b〕二等分为两个区间〔a,(a+b)/ (2)〕、〔(a+b)/(2)，b〕，若f((a+b)/(2))=c则定理得证。若f((a+b)/(2))≠c或有f((a+b)/ (2))＜c或有f((a+b)/(2))＞c，当f((a+b)/(2))＜c时，把区间〔(a+b)/(2)，b〕记为〔a1,

b1〕，否则记〔a,(a+b)/(2)〕为〔a1,b1〕，所以无论哪种情形都有f(a1)＜c＜f(b1)，再将

〔a1,b1〕二等分，若f((a1+b1)/(2))=c定理得证，若不然，继续上述过程，这样得到一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：

(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且f(a n)＜c＜f(b n)。

由区间套定理必有唯一的一点ξ∈〔a n,b n〕,使得limn→∞a n=limn→∞b n=ξ,因f(x)在ξ点连续，所以有limn→∞f(a n)=limn→∞f(b n)=f(ξ)，因f(a n)＜c＜f(b n)，所以当

n→∞时，得f(ξ)=c。

对f(a)＞f(b)的情形，可用类似的方法证之。

4　一致连续性定理

若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它必在〔a,b〕上一致连续。

证明：按一致连续的定义，所要证明的事实是对任意的ε＞0，可找到一正数δ，把区间〔a,b〕分成有限多个小段，每一小段的长度都小于δ，使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差小于ε。

假设上述事实不成立，则对某一ε0＞0，区间不能按上述要求分成有限多个小段，把区间〔a,b〕二等分得两个区间〔a,c〕，〔c,b〕，则这两个区间中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，记其为〔a1,b1〕，再将区间〔a1,b1〕二等分，依上述手续继续下去，得一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：

(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且任一区间〔a n,b n〕都不能分为有限个小段，使f(x)在其上任两点的函数值之差小于ε。

由区间套定理，存在唯一的一点ξ∈〔a n,b n〕，而f(x)在点ξ连续，按连续的定义有δ＞0，使｜x-ξ｜＜δ时，有｜f(x)-f(ξ)｜＜(ε0)/(2)，而

limn→∞a n=limn→∞b n=ξ,于是可取充分大的k，使｜a k-ξ｜＜δ，｜b k-ξ｜＜δ，那么对〔a k,b k〕上的任意一点x都有｜x-ξ｜＜δ，因此对〔a k,b k〕上的任意两点x1，x2都有

｜f(x1)-f(x2)｜≤｜f(x1)-f(ξ)｜+｜f(ξ)-f(x2)｜＜(ε0)/(2)+(ε0)/(2)=ε0这表明〔a k,b k〕能分为有限多个小段，使f(x)在每一小段上任两点的函数值之差小于ε0，这与区间〔a k, b k〕的定义矛盾，故定理得证。

作者简介：周明，男，讲师，1956年生，现从事数学教学研究工作。

作者单位：西安工程学院基础部，西安 710054