2017年江苏省南京市高考数学三模试卷及答案

2017年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）=．2．（5分）甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．3．（5分）若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．5．（5分）如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6．（5分）在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是．7．（5分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．9．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最小值为．10．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．11．（5分）函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a 的最大值为．12．（5分）在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD的面积为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a 的取值范围为．14．（5分）已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．16．（14分）已知向量为实数．（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值．17．（14分）在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设∠BAC=θ．（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且．．（1）求椭圆的离心率；（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．19．（16分）已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1=|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1=﹣1，p=1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．20．（16分）已知λ∈R，函数f（x）=e x﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的导数为g（x）．（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．2017年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）={2} ．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={3，4}，∴A∪B={1，3，4}，又∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={2}，故答案为：{2}2．（5分）甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．【解答】解：分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，可能出现以下情况：（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、共8种情况，其中编号之和大于6的有：1+6=7，2+5=7，2+6=8，共3种情况，∴取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为，故答案为：．3．（5分）若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，由z+2=3+2i，得3a﹣bi=3+2i，∴a=1，b=﹣2，∴|z|==，故答案为：4．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．5．（5分）如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．【解答】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为=×（7+7+9+14+18）=11，乙的平均数为=×（8+9+10+13+15）=11；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），计算乙成绩的方差为：s2=×[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]=．故答案为：．6．（5分）在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是2．【解答】解：令y=sin（x+）=，解得x+=+2kπ，或x+=+2kπ，k∈Z；即x=﹣+2kπ，或x=+2kπ，k∈Z；∴同一直角坐标系中，函数y的图象和直线y=在x∈[0，2π）内的交点为（，）和（，），共2个．故答案为：2．7．（5分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是{} ．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则有，解可得m＞0，则有c=，又由该双曲线的焦距为6，则有c=3，即=3，解可得：m=﹣3或，又由m＞0，则m=；即所有满足条件的实数m构成的集合是{}；故答案为：{}．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．9．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最小值为8．【解答】解：∵a n＞0，且a3﹣a1=2，∴，则（q＞0），∴=．令（t＞0），则，又，∴a5∈[8，+∞）．∴a5的最小值为8．故答案为：8．10．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．【解答】解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，∴当AD+DC 1最小时，BD=1，此时三棱锥D﹣ABC1的体积：=====．故答案为：．11．（5分）函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．【解答】解：f（x）=e x（﹣x2+2x+a），f′（x）=e x（﹣x2+a+2），若f（x）在[a，a+1]上单调递增，则﹣x2+a+2≥0在[a，a+1]恒成立，即a+2≥x2在[a，a+1]恒成立，①a+1＜0即a＜﹣1时，y=x2在[a，a+1]递减，y=x2的最大值是y=a2，故a+2≥a2，解得：a2﹣a﹣2≤0，解得：﹣1＜a＜2，不合题意，舍；②﹣1≤a≤0时，y=x2在[a，0）递减，在（0，a+1]递增，故y=x2的最大值是a2或（a+1）2，③a＞0时，y=x2在[a，a+1]递增，y的最大值是（a+1）2，故a+2≥（a+1）2，解得：0＜a≤，则实数a的最大值为：，综上，a的最大值是，故答案为：．12．（5分）在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD的面积为3．【解答】解：∵，∴AC⊥BD，∵，∴（）•（）=（）•（）=﹣=5，∴2=+5=9，∴AC=3．∴四边形ABCD的面积S===3．故答案为：3．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a 的取值范围为﹣≤a≤0．【解答】解：由题意，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2=1（a为实数），圆心为M（﹣a﹣3，2a）圆M上任意一点Q向圆O作切线，切点为P，∠PQO=30°，所以x2+y2=4与圆M有交点1≤≤3，解得∴﹣≤a≤0，故答案为：﹣≤a≤0，14．（5分）已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为[27，30] ．【解答】解：∵，∴，设x=，y=，则有，∴，作出平面区域如图所示：令z==3x+8y，则y=﹣+，由图象可知当直线y=﹣+经过点A时，截距最大，即z最大；当直线y=﹣+与曲线y=相切时，截距最小，即z最小．解方程组得A（2，3），∴z的最大值为3×2+8×3=30，设直线y=﹣+与曲线y=的切点为（x0，y0），则（）′|=﹣，即=﹣，解得x 0=3，∴切点坐标为（3，），∴z的最小值为3×3+8×=27．∴27≤z≤30，故答案为：[27，30]．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．16．（14分）已知向量为实数．（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值．【解答】解：（1）向量为实数，若，则（2cosα﹣2sinα，sin2α﹣t）=（，0），可得cosα﹣s inα=，平方可得sin2α+cos2α﹣2cosαsinα=，即为2cosαsinα=1﹣=，（cosα＞0，sinα＞0），由sin2α+cos2α=1，解得cosα+sinα===，即有sinα=，cosα=．则t=sin2α=；（2）若t=1，且，即有4cosαsinα+sin2α=1，即有4cosαsinα=1﹣sin2α=cos2α，由α为锐角，可得cosα∈（0，1），即有tanα==，则tan2α===，===．17．（14分）在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设∠BAC=θ．（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．【解答】解：（1）∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，∴（）2=3×（）2，∴AB=AC，∵S==AC2sinθ=400，△ABC∴AC2=，∴AB2=，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosθ=，∴BC=40．（2）设表演台的造价为y万元，则y=120，设f（θ）=（0＜θ＜π），则f′（θ）=，∴当0时，f′（θ）＜0，当时，f′（θ）＞0，∴f（θ）在（0，）上单调递减，在（，π）上单调递增，∴当θ=时，f（θ）取得最小值f（）=1，∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且．．（1）求椭圆的离心率；（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【解答】（1）解：A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M．=（﹣a，b），=．∵．∴+=﹣b2，化为：a=2b．∴椭圆的离心率e===．（2）证明：由a=2，可得b=1，∴椭圆的标准方程为：+y2=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k2x+1，联立，化为：（1+）x2+8k2x=0，解得x C=，∴y C=．即C（，）．直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），联立，化为：x2﹣16x+﹣4=0，∴2x D=，解得x D=，y D=，可得D（，）∴k CD==﹣，化为：1﹣16+2k1﹣2k2+8﹣8=0．∴（4k1k2﹣2k1+2k2+1）=0，∴k1k2=．19．（16分）已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1=|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1=﹣1，p=1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．=|p﹣a n|+2a n+p，【解答】解：（1）①∵a n+1∴a2=|1﹣a1|+2a1+1=2﹣2+1=1，a3=|1﹣a2|+2a2+1=0+2+1=3，a4=|1﹣a3|+2a3+1=2+6+1=9，②∵a2=1，a n+1=|1﹣a n|+2a n+1，∴当n≥2时，a n≥1，=﹣1+a n+2a n+1=3a n，即从第二项起，数列{a n}是以1为首项，以当n≥2时，a n+13为公比的等比数列，∴数列{a n}的前n项和S n=a1+a2+a3+a4+…+a n=﹣1+=﹣，（n≥2），显然当n=1时，上式也成立，∴S n=﹣；﹣a n=|p﹣a n|+a n+p≥p﹣a n+a n+p=2p＞0，（2）∵a n+1＞a n，即{a n}单调递增．∴a n+1（i）当≥1时，有a1≥p，于是a n≥a1≥p，∴a n=|p﹣a n|+2a n+p=a n﹣p+2a n+p=3a n，∴．+1若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s=a r+a t，即2×3s﹣1=3r﹣1+3t﹣1．（*）∵s≤t﹣1，∴2×3s﹣1=＜3t﹣1＜3r﹣1+3t﹣1．因此（*）不成立．因此此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（ii）当时，有﹣p＜a1＜p．此时a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p ＞p．于是当n≥2时，a n≥a2＞p．从而a n=|p﹣a n|+2a n+p=a n﹣p+2a n+p=3a n．∴a n=3n+1﹣2a2=3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s=a r+a t，同（i）可知：r=1．于是有2×3s﹣2（a1+2p）=a1+3t﹣2（a1+2p），∵2≤S≤t﹣1，∴=2×3s﹣2﹣3t﹣2=﹣＜0．∵2×3s﹣2﹣3t﹣2是整数，∴≤﹣1．于是a1≤﹣a1﹣2p，即a1≤﹣p．与﹣p＜a1＜p矛盾．故此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（iii）当≤﹣1时，有a1≤﹣p＜p．a1+p≤0．于是a2=|P﹣a1|+2a1+p=p﹣a1+2a1+p=a1+2p．a3=|p﹣a2|+2a2+p=|a1+p|+2a1+5p．=﹣a1﹣p+2a1+5p=a1+4p．此时数列{a n}中存在三项a1，a2，a3依次成等差数列．综上可得：≤﹣1．20．（16分）已知λ∈R，函数f（x）=e x﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的导数为g（x）．（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．【解答】解：（1）f（x）=e x﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=e x﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0．曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0．（2）∵g（x）=f′（x）=e x﹣e﹣λlnx，（x＞0），g′（x）=函数g（x）存在极值，即方程有正实数根，⇒λ=xe x，（x＞0），令G（x）=xe x，G′（x）=x（e x+1）＞0在（0，+∞）恒成立．x∈（0，+∞）时，G（x）＞0，即λ＞0，经验证λ＞0时，符合极值点存在的条件．∴函数g（x）存在极值，λ的取值范围为（0，+∞）．（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0结合（2）x≥1时，g′（x）=≥0，可得λ≤xe x，（x≥1），G（x）=xe x，在（1，+∞）恒成立．∴λ≤e时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0故f（x）在[1，+∞）递增，∴f（x）≥f（1）=0．当λ＞e时，存在x0＞1，使g′（x）=0，∴x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，即x∈（1，x0）时，g（x）递减，而g（1）=0，∴x∈（1，x0）时，g（x）＜0，此时f（x）递减，而f（1）=0，∴在（1，x0），f（x）＜0，故当λ＞e时，f（x）≥0不恒成立；综上x≥1时，f（x）≥0恒成立，λ的最大值为e。