1-12.极限的计算---无穷小等价替换
等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用
＝ １.
通过定理 ２ꎬ很大程度上给极限运算中的代数和带来了
方便.
例 ３ 求 ｌｘｉ→ｍ０ ｔａｎａｒｘｃ－ｔａｎｓｉｘｎｘ.
错误解法 当 ｘ→０ 时ꎬｔａｎｘ ~ ｘꎬｓｉｎｘ ~ ｘꎬ
∴
原式
＝
ｌｉｍｘ
ｘ→０
－ ｘ
ｘ
＝
０.
正确解法
当 ｘ→０
时ꎬｔａｎｘ ~ ｘꎬ１ － ｃｏｓｘ ~
１ ２
ｘ２ ꎬ
高等数学的研究对象是变量ꎬ研究方法是无穷小分析
法ꎬ也就是极限方法ꎬ掌握好极限概念与极限运算是从初等
数学迈入高等数学的一个重要阶梯. 求解极限的方法有很
多ꎬ但选择适当的 方 法 直 接 关 系 到 运 算 过 程 的 简 便 程 度 和
运算结果的正确性. 利用等价代换求解极限是指将一些无
穷小量用与其等价的无穷小量来替代ꎬ从而简化运算[１ －３] ꎬ
ｘ３ ２
＋
ｏ( ｘ３ ) .
根据上例ꎬ我们得到一个有用的定理.
定理
αꎬβꎬ
α~
ꎬ
~
β
为 同 一 变 化 过 程 中 的 无 穷 小 量ꎬ 且
αꎬβ 为同阶无穷小ꎬ又 α ~ α~ ꎬβ ~ β~ .
(１) 当 ｌｉｍ
β α
≠
－
１
时ꎬ则α
＋ γ
β
~
α~
＋ γ
~
βꎻ
(２) 当 ｌｉｍ
β α
≠１
时ꎬ则α
高教视野
ＧＡＯＪＩＡＯ ＳＨＩＹＥ
７
等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用
◎李 珊 栗巧玲 余旭洪 ( 上海理工大学理学院ꎬ上海 ２０００９３)
求极限的五种方法
【中图分类号】O171
【文献标识码】B
【文章编号】2095-3089（2015）19-0246-02
⭞䙲ࡏ
一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项，然后求左右两
边数列的极。当然，要保证这两个极限的值相同。
例1 求
lim
nof
§ ¨©
n2
1 n
1
n2
2 n
2
L
n· n2 n n ¸¹
2015年第19期 新教师教学 247
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个
i n
(n
o
f
,i=1,2,3…)所构成的式子，否则此法不能使用。
例5
求
lim
nof
n(
n2
1 12
n2
1
22
L
1 n2 n2 )
解：
lim
nof
n(
n2
1
12
n2
1
22
L
n2
1
n2
)
lim( 1 1
nof
1
(
1 n
)2
1
(
2 n
)2
L
1
1 n (n
键。 三、习惯影响终身发展，重视学生的学习习惯养成 一个人的学习习惯关乎到他一生的成就。没有一个人因为不
好的学习习惯而成为一个杰出的人，具有良好的学习习惯才可以 提高学习效率。对学生的书写习惯、读书习惯、作文观察习惯、 记读书笔记的习惯等，都应该认真打好基础，这些良好的习惯可 以让学生受益一生。不动笔墨不读书，学会在读书的时候圈圈点 点，做好标注，这些阅读理解的前提和基础。另外一点是学生的 写作能力的培养，写作能力是语文工具性的表现，而写作能力既 是技巧的体现也是观察能力的体现。培养学生观察生活的能力， 是积累写作素材的关键。生活中的一切都可以作为写作的素材， 关键是如何撷取、如何提炼，将生活中的真善美体现出来，提高 学生的写作水平。经常给学生推荐阅读书目，经常举办读书活动， 激发学生的阅读兴趣和阅读能力。阅读是语文学习的核心，读书 有益，不管是文化积淀还是文学积累，都依靠阅读来实现。重视 学生的阅读能力培养，重视学生阅读习惯的培养，重视学生阅读 量的保证，是做好新课改下小学语文教学的关键问题。
十二个等价无穷小公式
十二个等价无穷小公式【实用版】目录1.引言：介绍无穷小量的概念2.等价无穷小公式的定义与性质3.十二个等价无穷小公式的具体内容4.实例解析：如何应用等价无穷小公式5.结论：总结等价无穷小公式的重要性和应用场景正文1.引言在微积分中，无穷小量是一个重要的概念。
无穷小量是指当自变量趋近某个值时，因变量趋近于零的量。
无穷小量的研究有助于我们理解函数在某一点的性质，以及函数的变化趋势。
等价无穷小公式是一种将复杂的无穷小量简化的方法，它有助于我们更容易地分析和计算无穷小量。
2.等价无穷小公式的定义与性质等价无穷小公式是指当自变量趋近某个值时，两个无穷小量的比值趋近于 1。
等价无穷小公式具有以下性质：（1）若函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内可导，且f"(x0)=g"(x0)，则 f(x) 与 g(x) 在 x0 处为等价无穷小。
（2）若函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内为无穷小，且它们的比值在 x0 的某邻域内为常数，则 f(x) 与 g(x) 在 x0 处为等价无穷小。
3.十二个等价无穷小公式的具体内容等价无穷小公式有很多，这里列举十二个常用的等价无穷小公式：（1）当 x 趋近 0 时，sinx 与 x 是等价无穷小。
（2）当 x 趋近 0 时，x^2 与 x^3 是等价无穷小。
（3）当 x 趋近 0 时，x^n 与 x^(n+1) 是等价无穷小（其中 n 为正整数）。
（4）当 x 趋近 0 时，e^x 与 x 是等价无穷小。
（5）当 x 趋近 0 时，e^x 与 x^2 是等价无穷小。
（6）当 x 趋近 0 时，ln(x) 与 1/x 是等价无穷小。
（7）当 x 趋近 0 时，1/x 与 1/x^2 是等价无穷小。
（8）当 x 趋近 0 时，x^(-1) 与 x^(-2) 是等价无穷小。
（9）当 x 趋近 0 时，x^(-n) 与 x^(-n-1) 是等价无穷小（其中 n 为正整数）。
求极限的方法和例题总结
求极限的⽅法和例题总结8.⽤初等⽅法变形后，再利⽤极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以⽤洛⽐达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分⼦分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。
3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运⽤这两个重要极限本⾝，还应能够熟练运⽤它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利⽤两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim 220220=?=→→x xx x x x 。
注：本题也可以⽤洛⽐达法则。
例6xx x 2)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-?-→=-=-e x x xx xx xxx x例7nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+e n n n n n n n nn n 。
4．等价⽆穷⼩定理2 ⽆穷⼩与有界函数的乘积仍然是⽆穷⼩（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是⽆穷⼩（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
等价无穷小替换应用的总结
等价无穷小替换应用的总结作者：周宏辉来源：《现代企业文化·理论版》2009年第10期摘要：文章就多种类型的未定型极限，求极限时可用无穷小等价替换，所求的极限值不变，回答了在有加减的情况下有条件地使用等价无穷小替换来求极限。
关键词：等价无穷小；未定型极限；等价替换；泰勒公式中图分类号：G649文献标识码：A文章编号：1674-1145（2009）15-0168-02等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
一、等价无穷小的概念及性质定义：极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。
如果，就称为当时的无穷小。
当，则称与是等价无穷小，记作∽。
无穷小的性质有：定理1：若∽，∽，且，则证：定理告诉我们，在求未定型“ ”、“”的极限时，式中的无穷小可用等价的无穷小来替换，其极限值不变。
定理可作如下推广：推论1：设是任意函数，∽，且存在，则解：此极限是“0、”型，由推论1，可得在求其他类型的未定型“”、“ ”、“ ”、“ ”的极限时，也可直接利用等价无穷小进行替换，其求的极限值不变。
推论2：设∽，∽，且存在，则有例2：求解：由推论2及、∽x、∽x可得定理2：若，则∽例3：求解：由泰勒公式例4：求解：由泰勒公式在应用定理3与定理4时一定要注意它们的条件。
二、等价无穷小替换的应用常用的等价无穷小有：当x∽∽∽∽∽∽∽∽例5：求解1：该极限为未定型（）型，可用洛比达法则求解，也可用等价无穷小的性质求解。
（洛比达法则）此处运用∽例6：解1：该极限为未定型，用洛比达法则原式解2：运用等价无穷小的性质原式此处运用了∽∽例7：解1：此极限为未定型，用洛比达法则此处不能运用，∽，因解3：由泰勒公式解1：原式（洛比达法则）出现循环，用洛比达法则求不出结果，用等价无穷小替换。
， x∽∽原式由此可看到洛比达法则并不是万能，它有它的局限性，只要充分地掌握好等价无穷小的性质，这些原本复杂的问题就会变得非常简单。
高等数学-第八节-无穷小的比较精选全文
可编辑修改精选全文完整版第八节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12★ 等价无穷小的充要条件 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x xx三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''= 定理2 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.（1）;233+-x x （2）;lg x （3）.11sin )1(--x x 例4 （讲义例3）证明.~1x e x -例5 （讲义例4）求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例5）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例6）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8 求 .1cos 1)1(lim3/120--+→x x x 例9（讲义例7）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 .)1ln(lim2cos 0x x e e xx x x +-→ 例11 计算 .sin cos 12lim20xxx +-→例12 求 .cos sec )1ln()1ln(lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例8）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→.课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?。
等价无穷小公式大全
当x→0时,sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（e^x）-1~xln(1+x)~x(1+Bx)^a-1~aBx[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*xloga(1+x)~x/lna（1+x)^a-1~ax(a≠0)值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）等价无穷小的定义：设当时，和均为无穷小量。
若，则称和是等价无穷小量，记作。
例如：由于，故有。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件1.被代换的量，在取极限的时候极限值为0；2.被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
定理无穷小等价替换定理设函数，，，在内有定义，且有(1)若，则；(2)若，则。
证明：(1)。
(2)。
例如：利用等价无穷小量代换求极限解：由于，而，，，故有。
注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。
如在上例中：若因有，，而推出,则得到的是错误的结果。
注：可直接等价替换的类型（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）需要满足一定条件才能替换的类型若，则（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。
公式编辑常见等价无穷小当时，注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
极限数学分析的基础概念。
它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。
极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
极限的计算---无穷小等价替换
பைடு நூலகம்解:
所以原式
例3.
解:
原式= = = .
（选讲）（三）其它情形进行替换求极限： （三级）
例4. 求 .
解：
则 ，
用等价无穷小替换得 = =1.
例5. 求 .
解：因为 ， ，
所以
.
三、能力反馈部分
1、（考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况）
直接用等价替换：
（1） （2）
四则运算变换后进行替换
注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小.
引例 =
3、等价无穷小的替换定理
定理
证：
4、等价无穷小替换求极限的求解案例
（一）直接替换求极限： （一级）
例1.（1） ； （2） .
解:（1）原式= = ;
（2） 故原式 = 2.
【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能用在加、减法运算中.
（二）四则运算变形后进行替换求极限： （二级）
（3） （4）
其它情况等价替换（选做）
（5） （6）
3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其应用；
能力目标
培养学生灵活运用知识的能力
时间分配
30分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订
熊文婷
二审
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得顺序讲题例题和习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握 型极限的求解方法。
特点：通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。
模块基本信息
一级模块名称
函数与极限
二级模块名称
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
无穷小等价替换公式使用条件
无穷小等价替换公式使用条件
无穷小等价替换公式是数学中常用的一种方法，其可以简化复杂的计算过程，但是在使用时需要满足一定的条件才能保证结果的准确性。
具体来说，使用无穷小等价替换公式需要满足以下条件： 1.极限存在：在使用无穷小等价替换公式时，需要保证所使用的无穷小量和等价量的极限存在，即两者的极限均为有限数或是无穷大。
2.同阶无穷小：使用无穷小等价替换公式时，所使用的无穷小量和等价量应该是同阶无穷小，即在相对误差无限趋近于零的情况下，两者之比趋近于常数1。
3.可比性：在使用无穷小等价替换公式时，需要保证所使用的无穷小量和等价量之间有可比性，即在相对误差趋近于零的情况下，两者之间的差距趋近于常数0。
需要注意的是，在使用无穷小等价替换公式时，以上条件均是必要条件而非充分条件，因此在实际使用时需要进行严格的推导和验证，以保证所得结果的准确性。
- 1 -。
函数的极限的求解方法
函数的极限的求解方法函数的极限的求解方法摘要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限．关键词：零因子：初等法：两个重要极限：等价无穷小：等价无穷小替换：函数的连续性：Hospital L '法。
引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.函数的极限主要表现在两个方面：一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况.二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 相关知识点（一）“0x x →”形：定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为 A x f n =∞→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时）注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些.2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.3：几何解释：对0>?ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,.由定义，对此0,>?δε.当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(.即函数)(x f y =的图形夹在直线εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）.换言之：当),(0δ∧∈x U x 时，),()(εA U x f ∈.可见δ不唯一！例1证明32121lim 221=---→x x x x . 证明：对0>?ε，因为,1≠a 所以)12(313212132121.0122+-=-++=----?≠-x xx x x x x x [此处1→x ，即考虑10=x 附近的情况，故不妨限制x 为110<-<="">即20<<="" bdsfid="92" p="" ，1≠x="">因为31)12(31,112-<+-?>+x x xx ，要使ε<----3212122x x x ,只须ε<-31x ，即ε31<-x .取}3,1min{εδ=（利用图形可解释），当δ<-<10x 时，有ε<----3212122x x x .定理1：（保号性）设Ax f xx =→)(lim 0，（i ）若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0δ∧∈x U x 时，0)(>x f )0)((<="" a="" bdsfid="107" f="" p=""x="" 若)0)((0)(≤≥x="" （ii="" ）="" ，必有)0(0≤≥a="">注：在(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”. 在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A . 定义2：对0>?ε，0>?δ，当00x x x <<-δ时，[当δ+<<00x x x 时]，有ε<-A x f )(.这时就称A 为)(x f 当0x x →时的左[右]极限，记为Ax f x x =-→)(lim 00或A x f =-)0(.[Ax f x x =+→)(lim 00或A x f =+)0(0].定理2：（充要条件）Ax f x f A x f x x x x x x ==?=+→-→→)(lim )(lim )(lim 00000.（二）“∞→x ”形：定义3：设)(x f 当)0(>>a a x 时是有定义的，若对)(,0a X >?>?ε，当X x >时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为Ax f x =∞→)(lim 或A x f →)(（当∞→x 时）.注1：设)(x f 在]),((),,[b a -∞+∞上有定义，若对0,0>?>?X ε，当)(X x X x -<>时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当)(-∞→+∞→x x 时的极限，记为A x f x =+∞→)(lim ，或A x f →)(（当+∞→x ）（Ax f x =-∞→)(lim ，或A x f →)(（当-∞→x ））. 2：（充要条件）Ax f x f A x f x x x ==?=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim .3：若Ax f x =∞→)(lim ，就称A y =为)(x f y =的图形的水平渐近线（若Ax f x =+∞→)(lim 或Ax f x =-∞→)(lim ，有类似的渐近线）.例2 证明0sin lim=∞→x xx .证明：对0>?ε，因为x x x x x 1sin 0sin ≤=-，所以要使得ε<-0sin x x ，只须εε11>?时，有ε<-0sin x x ，所以0sin lim=∞→x xx .（三）无穷小与无穷大一、无穷小定义1：对,0>?ε若)0(0>>?X δ，使得当)(00X x x x <<-<δ时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当)(0+∞→→x x x 时的无穷小，记为)0)(lim (0)(lim 0==+∞→→x f x f x x x .注 1：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形.2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数.定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中时：（i ）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：A 为)(x f 的极限A x f -?)(为无穷小.（ii ）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限.二、无穷大定义2：若对)0(0,0>>?>?X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时，有M x f >)(，就称)(x f 当)(0∞→→x x x 时的无穷大，记作:))(lim ()(lim 0∞=∞=∞→→x f x f x x x .注1：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义.2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆.3：若∞=→)(lim 0x f x x 或∞=∞→)(lim x f x ，按通常意义将，)(x f 的极限不存在.定理2：当自变量在同一变化过程中时，（i ）若)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小.（ii ）若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大.（四）函数极限运算法则由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来求极限.定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设0)lim(0lim ,0lim =+?==βαβα注1：u 与α都表示函数)(x u 与)(x α，而不是常数.2：“lim ”下放没标自变量的变化过程，这说明对0x x →及∞→x 均成立，但须同一过程.定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u 有界，0lim 0lim =?=ααu .推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，0lim 0lim =?=ααk .推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设0)lim (0lim lim lim 2121=?====n n αααααα .定理3：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±.注：本定理可推广到有限个函数的情形.定理4：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ?存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ?==.推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）.推论2：nn x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）.定理5：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(limx g x f B A x g x f ==.定理6：如果)()(x x ψ?≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψ?，则b a ≥. 推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当)()(lim 00111000x f a x a x a x a x f n n n nx x =++++=--→ .推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，由定理5，)()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 例3 221lim(510)15113x x x →-+=-?+=-.（利用定理3）例4 33009070397lim 53530-=+--?+=+--+→x x x x x （因为03005≠+-）.注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段. 例5 求322lim 221-+-+→x x x x x .（消去零因子法）解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，所以 53322lim 322lim 1221=++=-+-+→→x x x x x x x x . 例6 求)1311(lim 31+-+-→x x x .解：当13,11,13++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时，12)1)(1()2)(1(1311223+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以11)1()1(2112lim )1311(lim 22131-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x .例8 证明[][]x x x x ,1lim=∞→为x 的整数部分.证明：先考虑[][]xx x xx -=-1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x ，所以由定理2[][][]1lim0)1(lim 0lim =?=-?=-?∞→∞→∞→x x x x x x x x x x .（五）极限存在准则、两个重要极限收敛准则：如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤. （ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(. 那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A . 两个重要极限：()()()()()()()()()00100sin sin lim lim 1(0)1lim 1lim 1lim 1(0)x x xx x x x x x xx xx x x e x x →→→∞→→==≠??+=+=+=≠?? ?????例9 1sin lim )sin(lim sin lim0-=-=--=-→-=→→t tx x x x t x t x x ππππππ.（做替换）例10 21)22sin(lim 21)2(sin 2lim cos 1lim 2022020=?==-→→→x xx x x x x x x .（先三角变换）22222])211(lim [])211[(lim )21(lim e x x xxx xx x x =+=+=+∞→∞→∞→（六）无穷小的比较定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，(i) 若0lim=αβ，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =；(ii) 若∞=αβlim ，，就说β是比α低阶的无穷小；(iii) 若0lim ≠=C αβ，，就说β是比α同阶的无穷小；(iv) 若1lim =αβ，就说β与α是等价无穷小，记为βα~.注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为21sin lim x xx x →不存在；5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理1：（等价替换法则）若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及limk βα'='，那么lim lim k ββαα'=='.例12 求x xx 20sin cos 1lim-→.解：因为当0→x 时，x x ~sin所以21cos 1lim sin cos 1lim 2020=-=-→→x x x x x x . 例13 求x x x x 22arcsin lim 20+→解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，所以原式12222lim 22lim020==+=+=→→x x x x x x .注7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ，()21ln 1,1,1cos 2x x x e x xx +--；8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！（七）连续性与罗必达法则定理1：设)(x u ?=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0?，又设)(u f y =在a u =处连续，那么，当0x x →时，复合函数))((x f y ?=的极限存在，且等于)(a f ，即)())((lim 0a f x f x x =→?.注：可类似讨论∞→x 时的情形.定理2：设函数)(x u ?=在点0x x =连续，且00)(u x =?，函数) (u f y =在0u 点连续，那么，复合函数))((x f y ?=在点0x x =处连续.例14求x xx sin 2lim 0-→（利用函数的连续性来求极限）解：因为1sin lim 0=→x x x ，及u -2在1=u 点连续，故由上述定理，0sin sin 22lim 211x x x x x x →→-=-=-=.Hospital L '法则：在求)()(limx F x f ax →或)()(limx F x f x ∞→时，若发现)(),(x F x f 同趋于0，或同趋于∞，则此时上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函数来进一步确定，如n m x x x 0lim →，nm x x x ∞→lim ，我们通常把这种极限称为00或∞∞型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来计算的. 定理3：（Hospital L '法则）若)(),(x F x f 满足：(i)0)(lim )(lim ==→→x F x f a x a x ；(ii) )(),(x F x f 在a 的某去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；(iii)Ax F x f a x =''→)()(lim（A 可为有限数，也可为∞+或∞-）；则：A x F x f a x =→)()(lim .注 1：“a x→”可改为“+∞→x ”或“-∞→x ”，只不过对(ii)作相应的修改，结论仍成立.2：若)()(limx F x f a x ''→仍为00型未定式，则可再次使用法则，这时，=''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x 直到极限不是未定式为止.3：Hospital L '法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未定式，则不能使用，否则会导致错误；(b)若(iii)不成立，也不能用，否则也会导致错误；4：∞∞型未定式的Hospital L '法则：可将上定理的(ii)(iii)不变，(i)改为：(i)′：+∞==→→)(lim )(lim x F x f ax ax 即可，结论仍成立.5：其它还有00,0,1,,0∞∞-∞∞?∞等型的不定式，但它们经过简单的变形都可化为00型或∞∞型的未定型，然后HospitalL '法则.例15 求x xx 2tan cos 1lim+→π.解：21)2cos (lim cos 1tan 2sin lim tan cos 1lim 322=-=-=+→→→x x x x x x x x x πππ.注：在应用Hospital L '法则时，要注意法则的条件是否满足，不可乱用.例16 x x xx x sin sin lim-++∞→能否用Hospital L '法则？解：若用Hospital L '法则，则有x xx x x x x x cos 1cos 1limsin sin lim-+=-++∞→+∞→不存在，（分子，分母的极限不存在）10101sin 1sin 1lim sin sin lim =-+=-+=-++∞→+∞→x x x x x x x x x x .【求函数极限的方法总结与例题】在“知识点”部分结合相关知识点，给出一些例题，但有必要将函数极限的求法进行归纳并给出例题.例题的解法突出一题多解或诸方法结合使用.现归纳如下七点：⑴：消去零因子法，既把式子中的0因子消去。
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引例 =？
3、等价无穷小的替换定理
定理
证：
4、等价无穷小替换求极限的求解案例
（一）直接替换求极限：（一级）
例1.（1） ；（2） .
解:（1）原式= = ;
（2） 故原式 = 2.
【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能用在加、减法运算中.
（二）四则运算变形后进行替换求极限：（二级）
例2.
解:
所以原式
例3.
解:
原式= = = .
（选讲）（三）其它情形进行替换求极限：（三级）
例4. 求 .
解：
则 ，
用等价无穷小替换得 = =1.
例5. 求 .
解：因为 ， ，
所以
.
三、能力反馈部分
1、（考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况）
直接用等价替换：
（1） （2）
四则运算变换后进行替换
（3） （4）
其它情况等价替换（选做）
（5） （6）
模块基本信息
一级模块名称
函数与极限
二级模块名称
计算模块
三级模块名称
极限的计算---无穷小等价替换
模块编号
1-12
先行知识
1、无穷小量
模块编号
1-10
2、等价无穷小的定义
模块编号
1-11
知识内容
教学要求
掌握程度
1、常用等价无穷小；
1、熟记几个常用的等价无穷小；
一般掌握
2、无穷小替换求极限的方法；
2、理解等价替换原理；
3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其应用；
能力目标
培养学生灵活运用知识的能力
时间分配
30分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订
熊文婷Βιβλιοθήκη 二审危子青一、正文编写思路及特点：
思路：在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得顺序讲题例题和习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握 型极限的求解方法。
特点：通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。
二、授课部分
1、预备知识
（1）无穷小的定义：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数 称为无穷小量，简称无穷小.
（2）等价无穷小的定义：若 是无穷小量且 则称 是等价无穷小量，记作： .
2、常用等价无穷小:
（1） ～ ； （2） ～ ； （3） ～ ；
（4） ～ ； （5） ～ ； （6） ～
（7） ～ （8） ～ （9） ～