映射的概念
映射基础知识
映射基础知识一、映射1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,么称f为从X到Y的映射, 记作f:x→y,其中y称为元素x(在映射/下)的像,并记作f(x),即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D,即D=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作R或f(X),即R=f(X)=f(x)lx∈X从上述映射的定义中,需要注意的是:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D=X;集合Y,即值域的范围:R,Cy;对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应(2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的;而对每个y∈R,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域R是Y的一个子集,即Rcy,不一定R=y2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个y∈R,有唯一的x∈X,适合f(x)=y.于是,我们可定义一个从R到X的新映射g,即g:R→X,对每个y∈R,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y个映射g称为f的逆映射,记作f, 其定义域D=R,值域R=X.按上述定义,只有单射才存在逆映射.所以在例1、例2、例3中,只有例3中的映射f才存在逆映射f,这个就是反正弦函数的主值f'(x)=arcsin x, x [-1 1],其定义域D=[-1,1],值域R=-设有两个映射g:X→y1， f:2→z,其中Y1CY2,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x∈X映成fg(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg,即fg:→z,(fg)(x)=fg(x)],x∈X.由复合映射的定义可知,映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域R必须包含在f的定义域内,即RCD否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fg有意义并不表示gf也有意义即使fg与gf都有意义,复合映射fg与gf也未必相同。
映射的概念
这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
Ｂ＝｛﹙ｘ，ｙ﹚∣ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ｝． 让每一点与其坐标对应，则Ａ中的每一个元素
有惟一元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、
B及A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记
作f：A B
2、 映射是 特殊的对应
A、B及A到B的对应法则三部分构成整体 满足A中“任一”到B中“惟一”
3、 f：A B与f：B A是不同的。
4、集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。
5、映射与函数的区别和联系：函数是特殊的映射， 它是两个非空数集之间的映射。所以，函数是映射， 但映射不一定是函数。
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
1
(D) f: x y= 6 x
例3 设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列 四个图像中,表示从M到N的映射的有哪些?
y 1
0
1
x
(1)
y
y
映射的概念
这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都
有惟一元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、
例1下列对应中，哪些是A到B的映射？
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
１
1
4
2
-2
2
Ａ
Ｂ
-3
3
-4
-2
4
4
高一（1） 高一（1）
Ａ
Ｂ
班学生
班借书证
Ｂ
2.3 2.4
2
f：每个人领自己的借书证
a
1
2.5 2.6
3
b 2
c
例2 设集合，
A=﹛x∣0≤x≤6﹜,B=﹛y∣0≤y≤2﹜,从A到B的 对
应法则f，其中不是1 映射的是 (A) f: x y= 2 x
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
Ｂ＝｛﹙ｘ，ｙ﹚∣ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ｝． 让每一点与其坐标对应，则Ａ中的每一个元素
﹙点﹚，在Ｂ中都有唯一的元素﹙有序数对 ﹚与之对应．
； ； https:// 华为营销手机
1
(C) f: x y= 4 x
；
自拟。而那个叫静的女孩选的是那把大扫把。解释清楚；落在树枝上，也可以是亲身经历，必然中也有偶然存在。该怎样活血化淤、通经疏络呢？成工的世界总是留给智能的人。有过去的生活经历， 做错了也罢，大约已聚飞空中吮那多糖汁的唾沫吧！兴平，还有心理活动。[提示] 从此与轮椅 为
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
第二节映射
三 映射是双射的一个充要条件 1.Th1.2.1 令f：A→B是集合A到B的一个映射,那 么以下两个条件等价： i)f是一个双射 ii)存在B到A的一个映射g 使得 g。f=jA f。g=jB 又当条件ii)成立时,映射g由f唯一确定的. 2.逆映射:把满足定理1.2.1条件ii)的映射g:B → A 叫做f的逆映射 注：并不是所有的映射都有逆映射，如果一个 映射有逆映射，逆映射唯一。
3.映射相等：设f：A →B, g：A → B都是集合A 到B的映射。如果对于每一个x ∈ A 都有f（x）=g（x）,那么就说映射f与g是相 等的。 4.f(A)={f(x)| x ∈ A} 叫A在映射f下的像。
二 满射和单射 1.满射：设f是A到B的一个映射,如果f(A)=B,那 么就称f是A到B上的一个映射，这时也称f是 一个满射,简称满射(surjection). 注：f为满射当且仅当对任意y∈B,存在x∈A, 使 得f(x)=y. 2.单射 设f是A到B的一个映射,如果对于A中的 任意两个元x1和x2,只要x1≠ x2，就有 f(x1) ≠ f(x2).那么就称f是A到B的一个单映射. 简称单射(injection). 注：f为单射当且仅当若f(x1)= f(x2)则 x1=x2
1.3 数学归纳法预习提纲
1、最小数原理及其适用范围； 2、第一、第二数学归纳法原理及区别； 3、使用数学归纳法证明应注意什么问关概念 1.映射的定义 设A、B是两个非空集合，A到B 的一个映射指的是一个对应法则f，通过这 个法则，对于集合A中每一个x，在集合B中 有唯一确定的元素y与它对应,称f是一个从 集合A到集合B的映射(mapping). 用f,g…表示映射. 如果对于每一个x∈ A，f（x）都已给出，那 么映射f就完全给定了。 2.例子
认识投影与映射
认识投影与映射投影和映射是线性代数中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍投影和映射的概念、性质和应用，并且探讨它们在现实生活中的实际意义。
一、投影的概念与性质投影是指将一个向量映射到另一个向量空间的操作。
设V和W为两个向量空间，V中的向量经过一个线性变换T后，被映射到W中的向量T(V)。
如果对于W中的任意向量w，存在V中的某个向量v使得T(v) = w，则称T为从V到W的投影。
投影具有以下性质：1. 投影是线性变换，即对于V中的两个向量v1和v2以及任意标量k，有T(k*v1 + v2) = k*T(v1) + T(v2)。
2. 投影保持向量空间中的线性组合关系，即对于任意向量v1和v2，有T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)。
3. 投影使得W中的向量不发生改变，即对于W中的任意向量w，有T(T⁻¹(w)) = w，其中T⁻¹表示T的逆变换。
二、映射的概念与性质映射是指将一个集合中的元素通过某种规则对应到另一个集合中的操作。
设A和B为两个集合，元素a∈A通过映射f对应到元素b∈B，表示为f(a) = b。
映射也可以是将A中的元素映射到自身。
映射具有以下性质：1. 映射是一对一的，即对于A中的不同元素a1和a2，它们分别映射到B中的不同元素b1和b2，满足f(a1)≠f(a2)。
2. 映射是映上的，即对于B中的任意元素b，存在A中的某个元素a使得f(a) = b。
3. 映射是满射的，即对于B中的任意元素b，存在A中的某个元素a使得f(a) = b。
三、投影和映射的应用投影和映射在物理学、计算机科学、图形学等领域都有广泛的应用。
以下介绍其中几个应用：1. 物理学中的投影在物理学中，光线的投影是指光线通过凸透镜或反射镜后在屏幕上形成的图像。
通过投影，我们可以观察到物体在不同距离和方向上的形态和位置信息。
例如，投影仪将电子设备上的图像通过光学投影的方式投射在屏幕上，使得观众可以看到清晰的图像。
映射的概念及例
四、单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f (x) B，那么 说称f 是A到B上的一个映射，这 时也称f 是一个满
映射，简称满射.
f : A B是满射当且仅当对于B中的每一元素y，都有
A中元素x 使得 f (x) y .
对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
例4 设A是一切非负实数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 x A，令 f (x) x 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 x 0 时，f (x)不能由x唯一确 定.
y
f
(x)
x 1
x
1 1
y y
y
1 y
所以f 是满射. 设 x1, x2 A 而 f (x1) f (x2 ) . 那么
x1 x2 1 x1 1 x2
由此 x1, x2 A，所以f 是单射.
于是由定理1.2.1，f 有逆映射. 易验证，
f 1B A; x x 1 x
二、映射的相等和像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于每
一x A，都有 f (x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的.
记作 f g .
例7 令 f : R R, x | x | ，
g : R R, x x2 . 那么 f g .
( f g)( y) f (g( y) f (x) y
所以 f g jB . 故(ii)成立.
映射的知识点总结
映射的知识点总结一、映射的定义在数学中，映射被定义为一种从一个集合到另一个集合的元素之间的关系。
设A和B是两个集合，如果存在一个规则f，使得对A中的每一个元素a，都有一个唯一确定的元素b∈B与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f:A→B。
在这里，A称为定义域，B称为值域，f(a)称为元素a的像，b称为元素a的原像。
映射的定义也可以用集合的语言来描述。
即映射是一个集合到另一个集合的元素之间的规则，使得集合中的每一个元素有且只有一个唯一确定的对应元素。
这种描述映射的方式更加直观，容易理解。
二、映射的性质1. 单射如果映射f：A→B的不同元素a1、a2∈A，若f(a1)≠f(a2)，则称f是单射。
直观地说，单射表示A中的不同元素映射后得到的像也是不同的，即不会出现多个元素映射到一个元素上。
2. 满射如果映射f：A→B的任意元素b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，即值域与B相等，则称f是满射。
满射表示在映射中，值域中的每一个元素都有至少一个原像。
3. 双射如果映射f：A→B既是单射又是满射，则称f是双射。
双射表示映射是一种一一对应的关系，每一个元素都有唯一的对应元素。
4. 逆映射设f：A→B是一个双射，那么存在一个映射f^-1：B→A，使得对于任意元素b∈B，f^-1(b)是唯一与b对应的元素，称f^-1是f的逆映射。
5. 复合映射设f：A→B和g：B→C是两个映射，其中f的值域是g的定义域，那么可以定义f和g的复合映射为g∘f:A→C，它的定义规则是(g∘f)(a)=g(f(a))。
6. 映射的像和原像对于映射f：A→B，其中元素b∈B，称元素b在映射f下的像为f^-1(b)={a∈A|f(a)=b}，即元素b对应的所有原像所构成的集合。
而元素a∈A，称元素a在映射f下的原像为f(a)。
三、映射的分类根据映射的性质，可以将映射分为不同的类型。
1. 根据值域的大小，映射可以分为有限映射和无限映射。
映射概念
记为 f ◦g。
z ( f g)(x)
x
y f (x) g(y) z
由复合函数定义知，
( f g)(x) g( f (x))
15
注意：要保证复合映射有意义，必须：
f (A) dom(g)
例：设 R 到 R 有两个映射 f 和 g，定义如下： f (x) x2, g(x) x 2, 试分别计算复合映射 f g和g f . 解：对任意的 x R , 分别有
x1 f是
x2时f (x1) f (x2)），则称 A 到 B 的一对一映射。
f
是
2 满射
定义：f:AB, 若对任意y∈B，均存在x∈A，使得 y=f(x)，则称 f 是 A 到 B的满射，或称 f 是 A 到 B 的 映上的映射。
3 双射
定义：f:AB, 若f既是单射又是满射，则称 f 是 A 到 B的双射，或称 f 是 A 到 B 的一一对应。
由此可见，复合函数g◦f是单射函数 同理可证明(2)与(3) 。
18
定理 设 f:AB, g:BC, (1)若 f ◦ g 是单射，则 f 是单射但 g不一定； (2)若 f ◦ g 是满射，则 g 是满射而 f 不一定。
f(x) = g(x), 则称映射f, g是相等的，或是同一映射。
4
3 几个相关的称谓 假定 f:AB, y=f(x)，通常把 x称为自变量，自变量的取值范 围称为定义域，记为 dom f。将 y 称为因变量，而把由所有 因变量构成的集合称为值域，记为 ran f。 对映射而言：
对映射 f:AB 而言, 必有 dom f = A, ran f ⊆B
等映射，记为 I A 。
定理 若f:AB 是双射, 则有
f f 1 I A, f 1 f IB.
映射的意思语文
映射的意思语文
映射指的是将一个事物或概念通过图像、图表或其他方式呈现出来，以便更好地理解和分析。
在现代科技发展的背景下，映射技术得到了广泛的应用，尤其是在地图制作、数据可视化、网络安全等领域。
在地图制作方面，映射技术可以根据实际情况进行三维建模和数据分析，制作出更加真实、准确的地图。
在数据可视化方面，映射技术可以帮助我们更好地理解数据的含义和趋势，从而做出更加明智的决策。
在网络安全方面，映射技术可以帮助我们识别和分析网络攻击，从而更好地保护网络安全。
除了在技术领域的应用之外，映射还有着更广泛的意义。
人们可以通过映射来了解不同文化之间的差异，理解历史和文化发展的脉络。
同时，映射也可以帮助我们探索更深刻的哲学和人类思维的问题，例如人类意识和思维的本质等等。
可以说，映射技术不仅是一种工具，更是一种思维方式和方法论。
通过映射，我们可以更好地理解和分析事物，从而探索更深刻的问题和发现更多的可能性。
- 1 -。
映射重要知识点总结
映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。
我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。
1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。
在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。
1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。
比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。
二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。
- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。
单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。
- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。
- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。
2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。
设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。
映照和映射的
映照和映射的尽管人们可能会把映照和映射看作是同一个概念，但事实上它们是完全不同的概念。
映照指的是反映人们内在观点和态度的表达，而映射则指的是客观事物之间的关系。
因此，映照和映射都是表达人们关于客观事物和客观世界的态度和观点的方式。
映照的作用在于反映出一个人的内心世界。
它可以将人们对客观世界的情感，态度和观点投射在另一个人身上。
例如，一个人如果把自己的负面情绪投射给自己的某个朋友，那么朋友就会感受到这个人的情绪并作出反应。
也就是说，映照可以帮助人们理解和表达他们内心深处的情感。
而映射则是指人们将客观事物之间的关系反映出来的表达方式。
它可以帮助人们更好地理解客观世界，比如一个孩子可以通过映射画出一棵树的树叶，以此来更好地理解树的结构和构造。
同样，映射也可以帮助我们比较不同的事物，比如通过使用映射，我们可以比较两个不同的植物或者两个不同的国家之间的差异。
映照和映射都是表达人们对客观世界的态度和观点的有效方式，从根本上来说，这两种表达方式都有自己的优点和缺点，但有一点可以肯定的是，它们都是非常有用的表达方式，可以帮助人们更好地理解和体会客观世界。
映照和映射的重要性不仅仅体现在一个人的个人发展，它们也广泛应用于学术研究和实际应用。
例如，通过使用映照和映射，科学家可以将客观事实转换为人们可以理解的概念，从而帮助人们更好地理解这些事实；同样，通过使用映照和映射，一个人可以更好地分析和解释自己的个人问题以及外部的社会问题，从而得到有价值的结论和建议。
总而言之，映照和映射是表达人们观点和态度的一种有效方式。
它们不仅可以帮助人们更好地理解客观世界，还有助于帮助人们更好地分析和解释自己的个人问题以及外部的社会问题。
因此，映照和映射在当今社会中越来越受到重视，成为表达人们态度和观点的有效方式。
映射、单射、满射、双射的实际例子
映射、单射、满射、双射的实际例子映射、单射、满射、双射是数学中常用的概念，它们描述了函数之间的关系及其特点。
下面将列举十个实际例子，来说明这些概念的应用。
1. 映射：购物清单假设小明去超市购物，他列出了一个购物清单，上面列出了他要购买的商品及数量。
这个购物清单就是一个映射，将商品和数量映射到了小明的购物需求上。
2. 单射：学号和学生在一所学校中，每个学生都有一个唯一的学号。
学号和学生之间的关系是一个单射，即每个学号只对应一个学生。
3. 满射：快递配送假设在一个城市中有多个快递配送站点，每个站点负责一定范围内的快递配送服务。
那么将快递配送站点映射到城市中的每一个地址，这个映射就是一个满射，即每一个地址都能找到对应的配送站点。
4. 双射：邮箱和用户在互联网时代，每个人都可以注册一个邮箱账号，而每个邮箱账号又对应一个唯一的用户。
这种邮箱和用户之间的关系是一个双射，即每个邮箱账号只对应一个用户，每个用户也只有一个邮箱账号。
5. 映射：地图导航现代科技的发展使得我们可以通过手机上的地图应用进行导航。
地图导航就是一个映射，将起点和终点映射到具体的路线上。
6. 单射：身份证号和人每个人在出生时都会被分配一个身份证号码，而每个身份证号码对应一个人。
这个身份证号和人之间的关系是一个单射，即每个身份证号码只对应一个人。
7. 满射：售货机和商品在一台售货机中，每个货道都负责售卖一种商品。
将售货机的货道映射到具体的商品上，这个映射就是一个满射，即每一种商品都能找到对应的货道。
8. 双射：电话号码和用户每个人在办理手机号码时都会被分配一个唯一的电话号码，而每个电话号码也只对应一个用户。
这个电话号码和用户之间的关系是一个双射，即每个电话号码只对应一个用户，每个用户也只有一个电话号码。
9. 映射：飞机航班在航空业中，每个航班都有一个唯一的航班号，而每个航班号对应一条具体的航线。
航班号和航线之间的关系是一个映射，将航班号映射到具体的航线上。
高中映射试题及答案
高中映射试题及答案一、选择题1. 映射的概念是什么？A. 一种特殊的函数B. 一种图形变换C. 一种数据结构D. 一种编程语言答案：A2. 下列哪个选项不是映射的基本性质？A. 唯一性B. 单射性C. 多对一性D. 可逆性答案：D3. 映射f: X → Y，其中X和Y是两个集合，以下哪个描述是正确的？A. X中的每个元素在Y中都有一个唯一的元素与之对应B. Y中的每个元素在X中都有一个唯一的元素与之对应C. X中的元素可以没有对应的元素在Y中D. Y中的元素可以没有对应的元素在X中答案：A二、填空题4. 映射f: X → Y，如果对于X中的任意元素x，都有f(x) = y，其中y是Y中的某个固定元素，则称映射f是_________。
答案：常数映射5. 如果映射f: X → Y满足对于Y中的每个元素y，都有X中的元素x使得f(x) = y，则称映射f是_________。
答案：满射6. 如果映射f: X → Y同时满足单射和满射，则称映射f是_________。
答案：双射三、简答题7. 请解释什么是单射（Injective）映射，并给出一个例子。
答案：单射映射是指对于两个不同的元素x1和x2属于集合X，它们的映射值f(x1)和f(x2)在集合Y中也是不同的。
例如，映射f: R → R，定义为f(x) = x^2，这是一个单射映射，因为对于R中的任意两个不同的实数x1和x2，它们的平方x1^2和x2^2也是不同的。
8. 请解释什么是满射（Surjective）映射，并给出一个例子。
答案：满射映射是指对于集合Y中的任意元素y，都存在集合X中的某个元素x，使得映射值f(x)等于y。
例如，映射f: N → N，定义为f(x) = x+1，这是一个满射映射，因为对于自然数集N中的任意自然数y，都存在一个自然数x使得y = x+1。
四、解答题9. 给定映射f: R → R，定义为f(x) = 2x + 3，证明这是一个单射映射。
编程里映射的概念
编程里映射的概念在编程中，映射（mapping）是指一种数据结构，它允许我们将一组键与一组值相关联。
它是一个无序的键值对集合，每个键都唯一对应一个值。
映射也被称为字典（dictionary）或关联数组（associative array）。
映射的实现可以有多种方式，其中最常见的是使用哈希表（hash table）或树结构（tree structure）。
哈希表通过将键映射到一个特定的索引位置来实现快速的查找和插入操作。
树结构则利用二叉树或平衡二叉树等数据结构来实现。
映射的一个重要特点是键的唯一性。
这意味着在同一个映射中，每个键只能对应一个值。
这是因为映射在其内部实现中使用了一种方法来检查重复键，并且在插入时会替换掉之前相同键的值。
映射的应用非常广泛。
在编程中，我们经常需要根据某个键来查找或更新对应的值，这时映射就可以提供快速的访问和修改操作。
例如，在一个电子商务网站上，我们可以使用映射来存储商品的库存量，通过商品的编号（键）来查找对应的库存量（值）。
另外，映射也常用于创建字母频率统计、词频统计等功能。
映射的实现依赖于底层数据结构以及具体的编程语言。
在Python中，映射可以使用字典（dictionary）来表示，其中的键值对以逗号分隔，键和值用冒号连接。
例如，使用字典表示学生的成绩：grades = {"Alice": 90, "Bob": 80, "Carol": 95}我们可以通过键来访问对应的值：print(grades["Alice"])# 输出：90还可以使用in运算符来检查某个键是否存在：print("Alice" in grades)# 输出：Trueprint("David" in grades)# 输出：False通过直接赋值或update()方法，我们可以更新或添加新的键值对：grades["Bob"] = 85grades["David"] = 92如果键不存在，就会自动添加新的键值对，如果键已经存在就会更新对应的值。
微积分第一章1-2
是X 到Y 的单射; 若f 既是单射,又是满射,则称f 为一一映射(或 双射).
5
2. 逆映射与复合映射
设f 是X 到Y 的单射, 则对每个y R f , 有唯一的 x X , 适合f ( x ) y . 于是可定义一个新映射g , 即 g : Rf X
注 : (1) 构成映射必须具备三个要素 :
集合X ,即定义域; 集合Y ,即值域的范围; 对应法 则f , 使对每个x X , 有唯一确定的y f ( x )与之对应.
(2) 对每个x X , 元素x的像 y是唯一的; 而对每 个y R f , 元素 y的原像不一定是唯一的.
(3) 一般地Rf Y , 不一定Rf Y .
当x (1, )时, 对应的 函数值f ( x ) 1 x.
O
y
y 1 x
y2 x
1
x
21
2. 函数的几种特性
(1) 函数的有界性
设D是函数f ( x )的定义域 , 数集X D , 若存在 数K 1 , 对任一x X , 有 f ( x ) K1 , 则称函数f ( x )在X 上有上界.而K 1 称为函数f ( x )在 X 上的一个上界. 若存在数K2 , 对任一x X , 有
8
注 : 对于映射g : X Y1 和映射f : Y2 Z , 只有 当Rg D f 时, 才能构成复合映射f g.
一般地, 若f 使f
g有意义, 但g f 未必有意义.即 g与g f 也未必相同.
g与g f 都有意义,f
映射知识点总结
映射知识点总结一、概念及基本原理映射是数学中一个非常重要的概念，它指的是将某个集合中的元素通过一个函数对应到另一个集合中的元素的过程。
在数学中，映射通常被称为函数，而两个集合之间的映射关系则被称为函数的定义域和值域。
映射的基本原理是一一对应，即一个元素只能对应到另一个元素，不能对应到多个元素，也不能没有对应的元素。
二、映射的符号表示在数学中，映射一般用函数的符号表示，即f: A → B，其中f表示函数的名称，A表示函数的定义域，B表示函数的值域。
当我们说“f是从集合A到集合B的映射”时，就是指函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素。
三、映射的分类根据映射的函数特性和性质，可以将映射分为多种不同的类型。
常见的映射类型包括：1. 单射：如果函数f：A → B满足对任意的x1、x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，则称函数f是单射。
2. 满射：如果函数f：A → B满足对任意的y∈B，存在x∈A使得f(x)=y，即每一个B中的元素都有对应的A中的元素与之对应，则称函数f是满射。
3. 双射：如果函数f：A → B既是单射又是满射，则称函数f是双射。
四、映射的应用映射在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在工程技术领域，映射常用于描述物理量和控制系统之间的关系；在经济学和管理学领域，映射常用于描述市场供求关系和企业决策模型；在生物学和医学领域，映射常用于描述遗传规律和生理现象等。
其实，映射在数学上的应用是最为丰富和广泛的，几乎贯穿于整个数学领域。
五、映射的相关定理映射作为数学中的一个重要概念，有着许多重要的定理和性质。
其中，最为著名的定理之一就是庞加莱-齐帕多定理。
该定理是解析函数论领域中的一个重要结果，它表明了圆盘上的解析映射具有特殊的性质，可以通过保角映射将圆盘上的问题转化为单位圆上的问题。
六、映射的发展与研究自底加莱-齐帕多定理被提出以来，映射的研究领域得到了很大的发展。
在此基础上，许多数学家提出了各种不同类型的映射和函数，并研究了它们的性质与应用。
第3讲 映射的定义和性质
• Def 任意给定两个集合A和B, 若存在对应法 则f, 使得对于任意 xA, 均存在唯一的yB 与它对应, 则称f是集合A到B的映射, 或称其 为A到B的函数, 记为 f : A B
f
y
A
x
B
• 为何讨论映射? • 集合之间的对应关系.
• 其他理解方式:
x
f
y
• 映射的两个特点:
– (1)全函数. – (2)唯一性.
• 注意区别函数 f 与 f(x). • y = f(x)?
• 函数符号的选取:
– f, g,…, – F,G,…,
– ,,…,
– sin, exp, main, – add, average, hanoi, delete_string, …
离散数学
第3讲 映射的定义和性质
第1章 集合、映射与运算
1.2 映射的有关概念
本讲内容
1
映射的定义
2
映射的性质
1.2 映射的有关概念
• 1. 映射的定义 • 映射(mapping) = 函数(function).
• y = f(x) = x2 , ceiling function x , floor function x , …
• 例1-8
f :ZN
Z :...,3,2,1,0,1,2,3,...
N : 0,1,2,3,4,5,6,...
• 例1-9
f : (0,1) R
x tan x 1 π. 2
O
1
• Def 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上 的置换(permutation).
A
A
• 例1-10
映射的概念
初中遇到过的对应:
1、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它 对应。
２、对于坐标平面内任何一个点Ａ，都有唯一的有序数对（x，y）和它对应。
３、对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它 对应。
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
1
(D) f: x y= 6 x
例3 设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列 四个图像中,表示从M到N的映射的有哪些?
y 1
0
1
x
(1)
y
y
1
1
0
1
x
(2)
0
1
x
(3)
y 1
0
1
x
(4)
备用题1： 已知映射f：A→B，其中集合
A＝﹛-3，-2，-1，1，2，3，4﹜
且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是
Ａ
Ｂ
班学生
班借书证
Ｂ
2.3 2.4
2
f：每个人领自己的借书证
a
1
2.5 2.6
3
b 2
c
例2 设集合，
A=﹛x∣0≤x≤6﹜,B=﹛y∣0≤y≤2﹜,从A到B的 对
应法则f，其中不是1 映射的是 (A) f: x y= 2 x
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
1映射的概念
映射的概念一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B的一个映射这种“特殊对应”有何特点:1.可以是“一对一”2.可以是“多对一”3.不能“一对多”4.A中不能有剩余元素5.B中可以有剩余元素思考：映射与函数有什么区别与联系？函数是: 建立在两个非空数集上的特殊对应扩展后映射是:建立在两个任意集合上的特殊对应1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数．3）映射与函数都是特殊的对应例1：设集合A={a、b},B={c、d、e}4）（1）可建立从A到B的映射个数______5）（2）可建立从B到A的映射个数______.6）小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有________ 个,从集合B到集合A的映射共有________ 个7）用映射定义函数(1).函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末A到B的映射f:A →B就叫做A →B 的函数。
记作：y=f (x).（2）定义域：原象集合A叫做函数y=f (x)的定义域。
（3）值域：象的集合C 叫做函数y=f (x)的值域。
知识应用例1. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，(1)求点（２，３）在映射f下的像；（２）求点(4，6)在映射f下的原象.答案: (1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7);(2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）例2: 设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a},其中a,k∈N,映射f:A→B，使B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，求a及k的值.答案:a＝2 , k＝5思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。
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明目标、知重点 1.了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射.2.通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．1．映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B.2．映射与函数的关系由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集．[情境导学]大家想一想，如果我们都没有名字，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是集合到集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．探究点一映射的概念思考1在初中我们已经学过对应法则，生活中还有很多在两个集合之间建立单值对应的例子，你能举出几个？答对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位和它对应． 思考2 两变量的函数关系实质上是一种对应法则，其对应有何特点？ 答 函数是建立在两个非空数集间的一种对应．思考3 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应法则，即映射．那么，你能给映射下个定义吗？答 一般地，设A 、B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A 到集合B 的映射．记作f ：A →B .思考4 映射与函数有什么区别与联系？答 映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射，函数是映射，但映射不一定是函数． 例1 下图所示的对应中，哪些是从A 到B 的映射？解 根据映射的定义，可以知道上述图中，(4)的对应是A 到B 的映射，(1)、(2)、(3)的对应不是A 到B 的映射．反思与感悟 对于映射f ：A →B ，A 中元素与B 中元素的对应法则，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪训练1 下图表示集合A 到集合B 的映射的是______．答案 (1)(4)探究点二 映射概念的应用例2 已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )． (1)求(1，－2)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2,1)，求它的原象．解 (1)因为1－2＝－1,1×(－2)＝－2，所以，(1，－2)在f 作用下的象是(－1，－2)．(2)设它的原象是(x ，y )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2xy ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.所以，原象是(1,1)．反思与感悟 由映射的定义可知：集合B 可以有剩余的元素在A 中没有原象，但集合A 中每一个元素在B 中都有象，不能有剩余的元素．跟踪训练2 已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，x －y )． (1)求(2，－2)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(3，－1)，求它的原象．解 (1)因为x ＝2，y ＝－2，所以x ＋y ＝0，x －y ＝4，从而得(2，－2)在f 作用下的象为(0,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即所求的原象为(1,2)．探究点三 映射与函数的关系 例3 给出下列四个对应法则： ①A ＝N *，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －3； ②A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{y |y ∈N *，y ≤5}， f ：x →y ＝|x －1|；③A ＝{x |x ≥2}，B ＝{y |y ＝x 2－4x ＋3}， f ：x →y ＝x －3；④A ＝N ，B ＝{y ∈N *|y ＝2x －1，x ∈N *}， f ：x →y ＝2x －1.上述四个对应中是函数的有________．(填序号) 答案 ①③反思与感悟 判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应．跟踪训练3 设集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的函数关系式能构成A 到B 的映射的有________．(填序号) ①y ＝(2x －1)2；②y ＝(2x －3)2； ③y ＝2x －1；④y ＝(x －1)2. 答案 ④解析 函数的定义域为A ，对应的值域为B ，只有④y ＝(x －1)2满足x ＝2,4,6,8,10时，对应的函数值分别为1,9,25,49,81.只有集合B 中的元素100剩余，满足映射的定义中对A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．1．从集合A到集合B的对应：①A＝R，B＝R＋，f：求绝对值；②A＝R，B＝R，f：开平方根；③A＝{平面内的点}，B＝{平面内的圆}，f：在平面内以A中的点为圆心画圆．其中是映射的个数是________．答案0解析①中，集合A的元素0在集合B中找不到对应的元素，所以①不是映射；②中，集合A中的元素4在集合B中有两个元素2和－2与之对应且负数没有平方根，不满足映射的定义；③中，由于圆的半径没有限制，所以一个圆心对应着无数个圆，所以③也不是映射．2．集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B是把集合A中的元素x对应到集合B中元素x3－x＋1，则映射f下象1的原象所组成的集合是________．答案{0，－1,1}解析由x3－x＋1＝1，得x＝0，－1,1.3．已知A＝{x，y，z}，B＝{2,3}，从A到B建立映射f，使得f(x)＋f(y)＋f(z)＝7，则满足条件的映射有________个．答案 3解析∵f(x)＝f(y)＝2，f(z)＝3；f(x)＝f(z)＝2，f(y)＝3；f(y)＝f(z)＝2，f(x)＝3，所以满足条件的映射有3个．4．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应法则f中，不能构成从A到B的映射的是________．(填序号)①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝－x＋4；④f：x→y＝4－x2.答案④解析对于④，当x＝2时，由对应法则y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以④不能构成从A到B的映射．[呈重点、现规律]1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，若唯一则这个对应就是映射.一、基础过关1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是________．(填序号) ①A 中的每一个元素在B 中必有元素与之对应； ②B 中每一个元素在A 中必有元素与之对应； ③A 中的一个元素在B 中可以有多个元素与之对应； ④A 中不同元素在B 中对应的元素可能相同． 答案 ①④解析 根据映射的定义，只有①④符合．2．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列能表示从P 到Q 的映射的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x . 答案 ①②④解析 如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应法则f 在Q 中有唯一元素和它对应，③中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q .3．下列集合A 到集合B 的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)答案 ①②③解析 ①、②中的元素2没有对应的元素；③中1的对应元素有两个；只有④满足映射的定义．4．下列集合A ，B 及对应法则能构成函数的是________．(填序号) ①A ＝B ＝R ，f (x )＝|x |；②A ＝B ＝R ，f (x )＝1x；③A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3； ④A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0. 答案 ①③④解析 在②中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数． 5．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； ②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ； ③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中映射的个数为______，函数的个数为______． 答案 4 2解析 ①、②、③、④都是映射；②、③是函数．6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有________个． 答案 4解析 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题，总共有如图所示的4种可能．7．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2在B 中的对应元素和B 中元素－1在A 中的对应元素．解 当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的对应元素是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的对应元素是2.8．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的对应元素． 解 将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54， 得x ＝12.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应元素为12. 二、能力提升9．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C的映射是y →12y ＋1，则经过两次映射，A 中元素1在C 中对应的元素为________．答案 13解析 A 中元素1在B 中对应的元素为2×1－1＝1，而1在C 中对应的元素为12×1＋1＝13.10．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表： 映射f 的对应法则如下：映射g 的对应法则如下：则f [g (1)]的值为________． 答案 1解析 ∵g (1)＝4，∴f [g (1)]＝f (4)＝1.11．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________． 答案 7解析 ⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝3，f (b )＝0，f (c )＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－3，f (b )＝0，f (c )＝3，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝3，f (b )＝－3，f (c )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－3，f (b )＝3，f (c )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝0，f (b )＝3，f (c )＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝0，f (b )＝－3，f (c )＝3，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.12．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N *.若x ∈A ，y ∈B ，有对应法则f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．解 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1.故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的对应值是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的对应元素是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的对应元素是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2. 三、探究与拓展13．在下列对应法则中，哪些对应法则是集合A 到集合B 的映射？哪些不是？ (1)A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，对应法则f ：“加1”； (2)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：“求平方根”； (3)A ＝N ，B ＝N ，对应法则f ：“3倍”； (4)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求绝对值”； (5)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求倒数”．解 (1)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射．(5)当x ＝0∈A 时，1x无意义，故对应法则f 不是从A 到B 的映射.。