映射的概念

明目标、知重点 1.了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射.2.通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．

1．映射的概念

一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B.

2．映射与函数的关系

由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集．

[情境导学]

大家想一想，如果我们都没有名字，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是集合到集合的一种确定的对应．

在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．

探究点一映射的概念

思考1在初中我们已经学过对应法则，生活中还有很多在两个集合之间建立单值对应的例子，你能举出几个？

答对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位和它对应． 思考2 两变量的函数关系实质上是一种对应法则，其对应有何特点？ 答 函数是建立在两个非空数集间的一种对应．

思考3 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应法则，即映射．那么，你能给映射下个定义吗？

答 一般地，设A 、B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A 到集合B 的映射．记作f ：A →B .

思考4 映射与函数有什么区别与联系？

答 映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射，函数是映射，但映射不一定是函数． 例1 下图所示的对应中，哪些是从A 到B 的映射？

解 根据映射的定义，可以知道上述图中，(4)的对应是A 到B 的映射，(1)、(2)、(3)的对应不是A 到B 的映射．

反思与感悟 对于映射f ：A →B ，A 中元素与B 中元素的对应法则，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．

跟踪训练1 下图表示集合A 到集合B 的映射的是______．

答案 (1)(4)

探究点二 映射概念的应用

例2 已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )． (1)求(1，－2)在f 作用下的象；

(2)若在f 作用下的象是(2,1)，求它的原象．

解 (1)因为1－2＝－1,1×(－2)＝－2，所以，(1，－2)在f 作用下的象是(－1，－2)．

(2)设它的原象是(x ，y )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2xy ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1y ＝1

.

所以，原象是(1,1)．

反思与感悟 由映射的定义可知：集合B 可以有剩余的元素在A 中没有原象，但集合A 中每一个元素在B 中都有象，不能有剩余的元素．

跟踪训练2 已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，x －y )． (1)求(2，－2)在f 作用下的象；

(2)若在f 作用下的象是(3，－1)，求它的原象．

解 (1)因为x ＝2，y ＝－2，所以x ＋y ＝0，x －y ＝4，从而得(2，－2)在f 作用下的象为(0,4)．

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝2.

即所求的原象为(1,2)．

探究点三 映射与函数的关系 例3 给出下列四个对应法则： ①A ＝N *，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －3； ②A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{y |y ∈N *，y ≤5}， f ：x →y ＝|x －1|；

③A ＝{x |x ≥2}，B ＝{y |y ＝x 2－4x ＋3}， f ：x →y ＝x －3；

④A ＝N ，B ＝{y ∈N *|y ＝2x －1，x ∈N *}， f ：x →y ＝2x －1.

上述四个对应中是函数的有________．(填序号) 答案 ①③

反思与感悟 判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应．

跟踪训练3 设集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的函数关系式能构成A 到B 的映射的有________．(填序号) ①y ＝(2x －1)2；②y ＝(2x －3)2； ③y ＝2x －1；④y ＝(x －1)2. 答案 ④

解析 函数的定义域为A ，对应的值域为B ，只有④y ＝(x －1)2满足x ＝2,4,6,8,10时，对应的函数值分别为1,9,25,49,81.只有集合B 中的元素100剩余，满足映射的定义中对A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．

1．从集合A到集合B的对应：

①A＝R，B＝R＋，f：求绝对值；②A＝R，B＝R，f：开平方根；③A＝{平面内的点}，B＝{平面内的圆}，f：在平面内以A中的点为圆心画圆．其中是映射的个数是________．

答案0

解析①中，集合A的元素0在集合B中找不到对应的元素，所以①不是映射；②中，集合A中的元素4在集合B中有两个元素2和－2与之对应且负数没有平方根，不满足映射的定义；③中，由于圆的半径没有限制，所以一个圆心对应着无数个圆，所以③也不是映射．2．集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B是把集合A中的元素x对应到集合B中元素x3－x＋1，则映射f下象1的原象所组成的集合是________．

答案{0，－1,1}

解析由x3－x＋1＝1，得x＝0，－1,1.

3．已知A＝{x，y，z}，B＝{2,3}，从A到B建立映射f，使得f(x)＋f(y)＋f(z)＝7，则满足条件的映射有________个．

答案 3

解析∵f(x)＝f(y)＝2，f(z)＝3；f(x)＝f(z)＝2，

f(y)＝3；f(y)＝f(z)＝2，f(x)＝3，

所以满足条件的映射有3个．

4．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应法则f中，不能构成从A到B的映射的是________．(填序号)

①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝－x＋4；④f：x→y＝4－x2.

答案④

解析对于④，当x＝2时，由对应法则y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以④不能构成从A到B的映射．

[呈重点、现规律]

1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．

2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．

3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有