高考数学复习专题分段函数的性质与应用

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分段函数知识点总结

分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。

它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。

一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。

例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。

二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。

因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。

以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。

当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。

对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。

三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。

首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。

在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。

高考数学一轮总复习课件：专题研究-函数模型及应用

思考题1 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别求A，B两种产品的利润与投资之间的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元投资资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
【解析】 (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋ 1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋ 1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.
≈
13.1，
又x∈N*，所以至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱
到原来的14以下．故选C.
(2)(2021·沧州七校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排
放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中
的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函
数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤的时间是
专题研究二函数模型及应用
题型一分段函数模型
例2 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总

高考数学微专题4 分段函数(含有绝对值的函数)的图象与性质课件

实数 m 的最小值为( )
27 A. 8
29 B. 8
13 C. 4
15 D. 4
【思路分析】根据已知计算出 f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，画出
图象，计算 f(x)＝332，解得 x＝289，从而求出实数 m 的最小值．
内容索引
【解析】由题意，得当 x∈[1,2)时，f(x)＝12×f(x－1)＝12(1－|2x－3|)；当 x∈[2,3)时，f(x)＝12f(x－1)＝14(1－|2x－5|)；…，可得在区间[n，n＋1)(n ∈Z)上，f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，所以当 n≥4 时，f(x)≤332.作出函数 y＝f(x)的图象，如图所示，当 x∈72，4时，由 f(x)＝18(1－|2x－7|)＝332，解得 x＝289，则 m≥289，所以实数 m 的最小值为289.
【答案】 ABD
1234
内容索引
－x2＋2， x≤1， 3. (2022 浙江卷)已知函数 f(x)＝x＋1x－1， x>1，
则 ff12＝
________；若当 x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则 b－a 的最大值是________.
1234
内容索引
【解析】 f12＝－122＋2＝74，f74＝74＋47－1＝3278，所以 ff12＝3278.当 x≤1 时，由 1≤f(x)≤3，得 1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当 x>1 时，由 1≤f(x)≤3 可得 1≤x＋1x－1≤3，所以 1<x≤2＋ 3.综上，由 1≤f(x)≤3，得－1≤x≤2＋ 3，所以[a，b]⊆[－1,2＋ 3]，所以 b－a 的最大值为 3＋
内容索引

高三分段函数知识点总结

高三分段函数知识点总结在高中数学中，分段函数是一个非常重要的知识点。

它不仅在数学课堂上出现频率较高，而且在现实生活中也有很多实际应用。

掌握分段函数的相关知识，对于提高数学水平和解决实际问题都有着重要的意义。

一、分段函数的概念和定义所谓分段函数，就是将一个定义域分为若干子区间，并且每个子区间上都有一个特定的函数表达式。

在每个子区间上，函数的表达式都是简单的一次或多次函数。

具体来说，一个分段函数可以写成以下形式：\[ f(x) = \begin{cases}f_1(x), & a \leq x < b \\f_2(x), & b \leq x < c \\\cdots \\f_n(x), & y_m \leq x < y_{m+1} \\\end{cases} \]其中，f1(x), f2(x), ..., fn(x)是定义在子区间[a, b), [b, c), ..., [ym, ym+1)上的函数。

每个子区间的两个端点都是开区间，即不包含边界。

二、分段函数的图像特点绘制分段函数的图像是理解和运用分段函数的重要手段。

根据分段函数的定义，我们可以得出以下图像特点：1. 在子区间[a, b)上，函数的图像是一条直线或曲线；2. 在子区间[b, c)上，函数的图像是另一条直线或曲线；3. 不同子区间之间的连接点通常是开口；通过观察一个分段函数的图像，我们可以分别对每个子区间上的函数进行分析，从而确定函数的性质和变化趋势。

三、分段函数的应用举例分段函数的应用非常广泛，几乎涉及到了数学的各个领域。

以下是一些具体的应用示例：1. 路程和时间的关系。

设一辆汽车以常速行驶，行驶时间t与行驶路程d之间的关系可以用分段函数表示。

在不同的行驶时间段内，汽车的行驶速度可能不同，因此在不同的时间段内可能存在多个定义子区间和函数表达式。

2. 升学率与学生积极性的关系。

假设一个学校的升学率与学生积极性之间存在一定的关系，可以用一个分段函数进行表示。

高考数学专题02 分段函数及其应用(第二季)压轴题必刷题理-人教版高三全册数学试题

专题02分段函数及其应用第二季1．已知函数，若函数在定义域内有且只有三个零点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数在定义域内有且只有三个零点，等价于有且有三个根，当时，，不是方程的根，当时，，令，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，图象如图所示：其中可得时与图象有三个交点，方程有且有三个根，函数在定义域内有且只有三个零点，所以实数的取值X围是，故选A..2．设f(x)＝．若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值X围是A．(0，) B．(，) C．(0，) D．(，)【答案】B3．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.4．已知函数，则函数的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处有极小值，绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.本题选择B选项.5．已知，若恰有两个根，，则的取值X围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出f（x）的函数图象如图所示：由[f（x）]2=a可得f（x）=，∴＞1，即a＞1．不妨设x1＜x2，则x12=e=，令=t（t＞1），则x1=﹣，x2=lnt，∴x1+x2=lnt﹣，令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣ =，∴当1＜t＜4时，g′（t）＞0，当t＞4时，g′（t）＜0，∴当t=4时，g（t）取得最大值g（4）=ln4﹣2=2ln2﹣2．∴x1+x2≤2ln2﹣2．故选：C．6．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值X围是( )．A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－2]∪C．∪D．∪【答案】B表示为区间形式即.本题选择B选项.7．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值X围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，有，所以在的图像与上的图像一致，故的图像如下图所示：因为直线与有两个不同的交点，故，选A．8．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max，H2(x)＝min (max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B ＝( )A．16 B．－16C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16【答案】B【解析】令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．9．若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因为，所以函数是周期为2的函数，作出时，的图象，并根据周期扩展到上，再作出函数的图象，如图所示：从图中易看出有8个交点，故选B.10．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（）个①的定义域为；②设，，则；③；④若集合，则中至少含有个元素．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②；；，因此；③因为，即，因此④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C．11．已知函数，若，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，即；当时0，即；当时，由图可知；综上的取值X围是，选D．12．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设，则，得，结合图象可知，则，故选C．13．已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】14．已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数的图像与轴有个不同的交点，则方程有三个根，故函数与的图象有三个交点．由于函数，则其图象如图所示，从图象可知，当直线位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从中选，故只要看看选项区间的右端点是选还是选，设图中切点的坐标为，则斜率，又满足：，解得，∴斜率，故选B．15．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.16．定义函数，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值X围是（）A． B． C．D．【答案】C【解析】存在实数使得方程无实数根，等价于值域不为，当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域不为，合题意，排除，故选C. 17．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出的解析式如图所示：根据二次函数的对称性知，且，，，因为所以当时，函数等号成立，又因为在递减，在递增，所以，所以的取值X围是，故选D.18．著名的狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.现有如下四个命题：①；②函数为奇函数；③，恒有；④，恒有. 其中真命题的个数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，时，，，故①错误；对于②，时，，时，，不是奇函数，故②错误；对③，时，，，时，，，故③正确.对④，时，，，④错误，故真命题个数为，故选A.19．设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B20．设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值X围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值X围为. 故选D.。

2025年高考数学必修课-第二章-2.2.2-分段函数【课件】

第2课时
分段函数
分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同
的对应关系,则称其为分段函数.
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐
标系中,根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象,要
注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合
x 的值并验证.
1
2
;
解:(1)f -
1
2
1
1
3
=- +2= ,
2
2
∴f - 2 =f
1
∴f - 2
3
2
=
=f
3 2
2
9
4
9
= ,
4
1
9
9
= × = .
2
4
8
(2)当 f(x)=x+2=2 时,x=0,不符合 x<0.
当 f(x)=x2=2 时,x=± 2,其中 x= 2符合 0≤x<2.
1
当 f(x)= x=2 时,x=4,符合 x≥2.
2
综上,x 的值是 2或 4.
延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
解:∵f(x)>0,∴
或 2
或 1
> 0.
+2 > 0
>0
2
∴-2<x<0或0<x<2或x≥2.
∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
-1,x < 0,

分段函数知识点总结整理

分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。

本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。

1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。

通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。

在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。

2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。

在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。

需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。

3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。

需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。

4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。

当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。

例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。

5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。

全国高考数学复习微专题：分段函数的性质与应用

分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

高考分段函数知识点

高考分段函数知识点高考是每个学生都将经历的一次重要考试，它对于一个人的人生道路具有至关重要的影响。

其中，数学科目一直被认为是让人头疼的科目之一。

而在数学中，分段函数是一个重要的知识点。

本文将向大家介绍高考分段函数的相关知识点。

一、分段函数的定义分段函数是指由两个或多个函数组成的函数，其定义域上按照不同的条件来确定函数表达式。

通常情况下，每个函数表达式只在特定的子区间上有效。

二、分段函数的表示方式在数学中，对于分段函数的表示方式有两种常见的形式，分别是符号函数和条件函数。

1. 符号函数：符号函数是一种用数系的符号表示函数。

一般来说，符号函数的定义可以写成 f(x) = {±1, x＞0或x＜0}，表示在不同的区间上函数取不同的值。

2. 条件函数：条件函数是一种用条件表达式表示函数的形式。

它的定义可以写成 f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁；f₂(x), x ∈ D₂；f₃(x), x ∈D₃……}，其中D₁、D₂、D₃……表示不同的区间，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)……表示不同的函数表达式。

三、分段函数的性质1. 连续性：一段函数在其定义域上是否连续是其性质之一。

对于分段函数而言，每个子区间内的函数表达式都是连续的，即在各个子区间的边界处函数值存在且相等。

2. 求导性质：在求导过程中，需要根据不同的子区间分别对函数进行求导。

首先，找到函数在定义域内的各个子区间，然后对每个子区间内的函数进行求导，最后将求导结果合并。

3. 极值问题：对于分段函数来说，极值问题也是一个值得关注的问题。

因为分段函数在定义域的不同子区间内可能存在多个极值点，所以需要根据实际题目的条件来确定具体的极值点。

四、解题技巧1. 确定分段函数的子区间：在解答分段函数的题目时，首先需要确定函数的定义域和区间。

这一步是解题的基础，也是问题的关键。

2. 绘制函数图像：根据所给的函数表达式和子区间，可以尝试绘制出函数的图像。

考前三个月复习(数学理)专题练：第7练抓重点——函数性质与分段函数

第7练抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力.常考题型精析题型一函数单调性、奇偶性的应用1.常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上递增.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减.2.若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断.3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数.例1 (1)(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A.[－16，16]B.[－66，66]C.[－13，13]D.[－33，33] (2)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x ).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.变式训练1 (1)(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x -m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.a ＜c ＜bD.c ＜b ＜a(2)(2015·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x |D.y ＝2-x题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论：1.若对于定义域内的任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则f (x )关于x ＝a 对称. 2.若对于任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )的周期为T .例2 (1)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－x ，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x ).当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＝________.点评利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.变式训练2 已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________. 题型三分段函数例3 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.(2)在求分段函数f (x )解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.变式训练3 (2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0. 若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.高考题型精练1.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝ln x B.y ＝x 2＋1 C.y ＝sin xD.y ＝cos x2.(2015·陕西)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14 C.12D.323.(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 4.(2014·江西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2-x ，x <0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a 等于( ) A.14 B.12 C.1D.25.下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝1x －xB.f (x )＝x 3C.f (x )＝ln xD.f (x )＝2x6.函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(log 1214)·f (log 1214)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.a >c >b7.设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎨⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.[－94，0]∪(1，＋∞)B.[0，＋∞)C.[－94，＋∞)D.[－94，0]∪(2，＋∞)8.(2015·青岛模拟)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A.(－∞，－2]∪(－1，32)B.(－∞，－2]∪(－1，－34)C.(－1，14)∪(14，＋∞)D.(－1，－34)∪[14，＋∞)9.(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 10.对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________.11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________. 12.已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称. 其中正确命题的序号为________.答案精析第7练抓重点——函数性质与分段函数常考题型精析例1 (1)B (2)(－1,3)解析 (1)因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. (2)∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称.又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. 变式训练1 (1)B (2)B解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.(2)由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数. 例2 (1)1 (2)336解析 (1)由f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，知f (x )的周期为4， f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝1， f (2 016)＝f (4)＝f (0)＝0. ∴f (2 015)＋f (2 016)＝1＋0＝1.(2)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的一个周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]×336＝336. 变式训练2 ①②④解析令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确.故正确命题的序号为①②④.例3 解 (1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x ). 当x >0时，－x <0，有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )，即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，如图.当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， ∴当x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减；当x ∈(0,1]时，f (x )单调递增.当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减；当x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增. 综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增. 又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3]. 变式训练3 a ≤ 2解析 f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤2.高考题型精练1.D [对数函数y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1为偶函数但没有零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝cos x 是偶函数且有零点，故选D.]2.C [∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C.] 3.C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12.故选C.]4.A [由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.]5.A [“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于在(0，＋∞)上f (x )为减函数，易判断f (x )＝1x－x 符合.]6.B [因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称. 所以函数y ＝xf (x )为奇函数. 因为[x f (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ∈(－∞，0)时，[x f (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减. 因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log 1214＝2，从而0<ln 2<20.2<log 1214，所以b >a >c .]7.D [由x <g (x )得x <x 2－2， ∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞). 当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0].综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞).]8.B [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)>1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32，f (x )的图象如图所示，由图象可知B 正确.]9.516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316. ∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ， ∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12.11 ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝－316＋12＝516. 10.1解析依题意，得h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.11.⎣⎡⎭⎫14，13解析根据[x ]表示的意义可知，当0≤x <1时，f (x )＝x ，当1≤x <2时，f (x )＝x －1，当2≤x <3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x <k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.12.①②④解析 1＋2x ＋1－2x 2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，由f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确.。

专题05分段函数(解析版)

专题05分段函数(解析版)分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义,函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用.分段函数情形复杂,综合性强,即能有效考查复杂函数的图象和性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法.因此,分段函数倍受高考命题人的青睐,是历年高考中的热点题型之一.分段函数易错点易错点1：定义域与相应的解析式分不清,用错解析式来解决问题；易错点2：忽略分段点的特殊性,要明确分段点的性质；易错点3：混淆分段函数单调性与其他函数单调性判断的不同点；易错点4：不能正确做出分段函数的图像；在分段函数性质的考查中,若能画出其大致图像,定义域,值域,最值,单调性,奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程,不等式等可用数形结合思想,等价转化思想,分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.题组一1．(2015新课标Ⅱ)设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥,则2(2)(log 12)f f -+= A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】由于2(2)1log 43f -=+=,22log 121log 62(log 12)226f -===, 所以2(2)(log 12)f f -+=9．2.设2,0.()log ,0.x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________. 【解析】1211()log 1,(1),22g g e -==--=所以11(())2g g e=题组二3.若函数则不等式的解集为____________. 【解析】∵,∴等价于001111333x x x x ≥⎧<⎧⎪⎪⎨⎨⎛⎫≥≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩或解得3001x x -≤<≤≤或,综上[]-31x 的取值范围为，4．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是______．【解析】当1x <时,由12x e-≤得1ln 2x +≤,∴1x <；当1x ≥时, 由132x ≤得8x ≤,∴18x ≤≤,综上8x ≤．5.(2017新课标Ⅱ)设函数1,0,()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】当12x >时,不等式为12221x x -+>恒成立；当102x <≤,不等式12112x x +-+>恒成立；当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即104x -<≤； 1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩1|()|3f x ≥1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩1|()|3f x ≥综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞．题组三 ★6.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若则实数的取值范围是( ) A. B.C. D.【解析】由题意知()f x 在R 上为增函数,所以22,a a -> 21a -<<解得,故选C7．(2013新课标Ⅱ)已知函数=,若||≥,则的取值范围是( ) A ． B ． C ．[－2,1] D ．[－2,0]【解析】∵||=,∴由||≥得,且,由可得,则≥-2,排除A,B, 当=1时,易证对恒成立,故=1不适合,排除C,故选D ．题组四8．(2010新课标)已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ,若a ,b ,c 均不相等,且()f a = ()f b =()f c ,则abc 的取值范围是2(2)(),f a f a ->a (,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-(2,1)-(,2)(1,)-∞-⋃+∞2(2)(),f a f a ->()f x 22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩()f x ax a (,0]-∞(,1]-∞()f x 22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩()f x ax 202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩202x x x ax≤⎧⎨-≥⎩2a x ≥-a a ln(1)x x +<0x >aA ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【解析】画出函数的图象, 如图所示,不妨设a b c << ,因为()()()f a f b f c == ,所以1ab = ,c 的取值范围是(10,12) ,所以abc 的取值范围是(10,12)．()()()2,,-3+2=0f x f x f x π⎧-≤≤⎪⎨⎪=-⎩2xcos 1x 12x 1x 19.已知函数的实根的个数是___.，则关于x 的方程＞，【解析】()()()()2-3+2=0=1=2f x f x f x f x 方等价于程或()()[]()1,1,>110,,f x f x x f π⎧-≤≤⎪-≤≤⎨-⎪-⎩=∈>2xcos 1x 121x 1x 1x 1函，当，时＞数,， ()2=1cos 111,022f x x x x x 时，或所以或π=-===± ()2=212,3f x x x 时，所以-==±()()2-3+2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程x yO 11012。

高考数学压轴必刷题专题06 分段函数及其应用C卷(第二篇)(解析版)

高考数学压轴必刷题专题06分段函数及其应用C 卷1．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D =_______；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是_______．【答案】3[1,4]【解析】①由()21f =得：[]()()0,3max 21D f x =-，[]0,3x ∈()()2111f x x -=-- ∴当[]0,3x ∈时，()min 11f x -=-⎡⎤⎣⎦，()max 13f x -=⎡⎤⎣⎦()max 13f x ∴-=，即[]()0,323D =②由题意得：()1121f -=-+=[]()(),2max 11a a D f x +∴-=-，[],2x a a ∈+又()()22211,0121111,0x x x x f x x x x ⎧---=+≤⎪-=⎨---=-->⎪⎩，可得()1f x -图象如下图所示：[]1,2a a -∈+ ∴区间长度为2当1a =-时，[]()[]()()(),21,1max 111111a a D D f x f +--=-=-=--=当21a +=-时，[]()[]()()(),23,1max 111314a a D D f x f +---=-=-=--=[](),21a a D +∴-的取值范围为：[]1,4本题正确结果：①3；②[]1,42．已知()3,0,0x x x f x x π⎧≥=⎨<⎩，若对任意[]1,1x a a ∈---，不等式)()2f a f x -≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】40,7⎛ ⎝⎦【解析】由题设知，()3,0,0x x x f x x π⎧≥=⎨<⎩，则()()22f x f x =⎡⎤⎣⎦，因此，原不等式等价于)()2f a f x -≥，根据指数函数性质()f x 在()[),0,0,-∞+∞上均为是增函数，且()0,1x f x <<，()0,1x f x ≥≥，()f x在R 2a x -≥，即(2a x ≤-，又[]1,1x a a ∈---，∴当1x a =-时，(2x -取得最小值(()21a --，因此(()21a a ≤--，解得47a -≤=，又11a a ->--，∴0a >，故420,7a ⎛∈ ⎝⎦.故答案为：40,7⎛- ⎝⎦3．设()f x x x a x =--,对任意的实数()1,2a ∈-,关于x 的方程()()f x tf a =共有三个不相等的实数根,则实数t 的取值范围是______.【答案】[]0,1【解析】()()()()221,,1,x a x x a f x x x a x tf a ta x a x x a⎧-+≥⎪=--==-⎨-+-<⎪⎩,(1)当1122a a a -+<≤时,即12a ≤<，则()f x 在1,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在(),a +∞上单调递增,且()221121,224a a a a f f a a ---+⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,关于x 的方程()()f x tf a =总有三个不相等的实数根,只要2214a a a ta -+-<-<对12a ≤<恒成立,解得01t <<；(2)当1122a a a -+<<时,即11a -<<,则()f x 在1,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,22a a -+⎛⎫ ⎝⎭上单调递减,在1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,且222211211121,224224a a a a a a a a f f ---+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,关于x 的方程()()f x tf a =总有三个不相等的实数根,只要22212144a a a a ta ++-+-<-<对11a -<<恒成立,①当0a =时,11044-<<成立,此时t R ∈②当01a <<时,112244a a a a t ++-+-<-<恒成立,此时01t ≤≤③当10a -<<时,112244a a a a t ++-+<<-恒成立,此时01t ≤≤综合①②③得01t ≤≤由(1)(2)可知01t ≤≤故答案为：01t ≤≤4．已知函数()()()2433,0log 1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨+≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且函数()2212g x x x ax =-+-在()0,∞+内有两个零点，则实数a 的取值范围是______.【答案】1324⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】()()()2433,0log 1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨+≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减所以满足43020130a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪>⎪⎩,解得304a <≤()2212g x x x ax =-+-在()0,∞+内有两个零点即22120x x ax -+-=有两个解即221x x a -+=.令()221x x h x -+=当01x <≤时,()221122x x h x x x-+==当1x <时,()2221211222x x x h x x x x x-+-===-画出函数()h x 的图像如下图所示:由函数图像可知,当()221x x a h x -+==有两个交点时,12a >综上可知,13,24a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为:13,24⎛⎤ ⎥⎝⎦5．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时,()12log (1),[0,1)13,[1,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为_____．【答案】12x-【解析】∵当x ≥0时，f （x ）＝12log (1),[0,1)13,[1,)x x x x +∈⎧⎪⎨⎪--∈+∞⎩即x ∈[0，1）时，f （x ）＝12log （x +1）∈（﹣1，0]；x ∈[1，3]时，f （x ）＝x ﹣2∈[﹣1，1]；x ∈（3，+∞）时，f （x ）＝4﹣x ∈（﹣∞，﹣1）；画出x ≥0时f （x ）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x ＜0时f （x）的图象，如图所示；则直线y ＝a ，与y ＝f （x ）的图象有5个交点，则方程f （x ）﹣a ＝0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x ∈（﹣1，0）时，﹣x ∈（0，1），∴f （﹣x ）＝12log （﹣x +1），又f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴f （x ）＝﹣12log （﹣x +1）＝12log （1﹣x ）﹣1＝log 2（1﹣x ），∴中间的一个根满足log 2（1﹣x ）＝a ，即1﹣x ＝2a ，解得x ＝1﹣2a ，∴所有根的和为1﹣2a ．故答案为：1﹣2a ．6．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x ≥时，()()()2502161122x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦，,a b ∈R 有且仅有5个不同实数根，则实数+a b 的取值范围是_____．【答案】5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】令()f x t =，则原方程为20t at b ++=，当0x ≥时，()()()2502161122x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，且()f x 为偶函数，做出()f x 图像，如下图所示：当0t =时，()f x t =有一个解；当01t <≤或54t =，()f x t =有两个解；当514t <<时，()f x t =有四个解；当0t <或54t >时，()f x t =无解.()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦，,a b ∈R 有且仅有5个不同实数根，关于t 的方程20t at b ++=有一个解为0，0b =，另一个解为a -，a -在区间5(1,)4上，所以551,144a a <-<-<<-，实数+ab 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为:5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.7．已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上的一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记为(,)d P l ，设(3,1)A -，(0,1)B ，(3,1)C --，(2,1)D -，1l AB =，2l CD =，若(,)P x y 满足12(,)(,)d P l d P l =，则y 关于x 的函数解析式为________【答案】20(0)1(02)41(2)x y x x x x ⎧⎪⎪=<⎨⎪->⎪⎩ 【解析】根据题意画出线段AB 与线段CD ，(,)P x y 满足(d P ，1)(L d P =，2)L ，∴点P 满足到线段AB 的距离等于到线段CD 的距离，当0x 时，x 轴上的点到线段AB 的距离等于到线段CD 的距离，故0(0)y x = ，当02x < 时，点P 到线段AB 的距离即为到点B 的距离，到点B 的距离等于到直线CD 的距离相等的点的轨迹为抛物线，根据抛物线的定义可知点B 是抛物线的焦点，CD 是准线，则12p =，24x y ∴=，即214y x =，(02)x < ，当2x >时，满足到线段AB 的距离等于到线段CD 的距离即为到点B 与到点D 的距离相等点，在平面内到两定点距离相等的点即为线段BD 的垂直平分线，∴点P 的轨迹为1(2)y x x =->，y ∴关于x 的函数解析式为：20(0)1(02)41(2)x y x x x x ⎧⎪⎪=<⎨⎪->⎪⎩ ．故答案为：20(0)1(02)41(2)x y x x x x ⎧⎪⎪=<⎨⎪->⎪⎩．8．已知函数()()22,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩，若对于正数()n k n N *∈，直线n y k x =与函数()f x 的图象恰有21n +个不同交点，则()22212lim n n k k k →∞++⋅⋅⋅+=______．【答案】14【解析】当02x< 时，()f x =，当24x < 时，022x -<，(2)f x ∴-==当46x < 时，046x -<，(4)f x ∴-==，以此类推⋯，∴函数()f x 的图象如图所示：当1n =时，1y k x =与函数()y f x =的图象恰有3个不同交点，此时，1y k x =与第一个半圆相交与第二个半圆相切，当2n =时，2y k x =与函数()y f x =的图象恰有5个不同交点，此时，2y k x =与前两个半圆相交与第三个半圆相切，⋯，当n n =时，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n +个不同交点，此时，n y k x =与前n 个半圆相交与第1n +个半圆相切，于是有；2222(1)2(21)(21)101(21)n n y k x k x n x n y x n =⎧⎪⇒+-+++-=⎨=---⎪⎩⇒△222[2(21)]4(1)[(21)1]0n n k n =+-++-=，解得：21111()4(1)41n k n n n n ==-++，∴222212311111111(1)4223341n k k k k n n +++⋯+=-+-+-+⋯+-+11(1)41n =-+，则22212111lim()lim (1)414n n n k k k n →∞→∞++⋯+=-=+．故答案为：149．已知A ，B 是函数2,()()(2),()x a e x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB ⋅ 的最小值为0，则函数()f x 的最大值为__________．【答案】1e-【解析】解：A ，B 是函数f （x ）()22x a e x a f a x x a-⎧-≥⎪=⎨-⎪⎩，，＜（其中a ＞0）图象上的两个动点，当x ＜a 时，f （x ）＝f （2a ﹣x ）＝﹣e （2a ﹣x ）﹣2a ＝﹣e ﹣x ，∴函数f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称．当点A ，B 分别位于分段函数的两支上，且直线PA ，PB 分别与函数图象相切时，PA •PB的最小值为0，设PA 与f （x ）＝﹣e ﹣x 相切于点A （x 0，y 0），∴f ′（x ）＝e ﹣x ，∴k AP ＝f ′（x 0）＝e 000x x e x a---=-，解得x 0＝a ﹣1，∵PA •PB 的最小值为0，∴PA ⊥PB ，∴k P A ＝tan45°＝1，∴e 0x -=1，∴x 0＝0，∴a ＝1，∴f （x ）max 1e=-．故答案为1e -10．函数21,()7,8tx x x tf x x x t ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，()f x 在定义域上是单调函数，则t 的取值范围为___.【答案】1(,]2-∞-【解析】函数2y 1tx x =++图象的对称轴为12x t =-．由题意得函数()f x 在定义域上是单调递增函数．当0t >时，函数2y 1tx x =++在区间1(,)2t -∞-上单调递减，不合题意．当0t =时，函数()1,07,08x x f x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩在定义域上不单调．当0t <时，函数2y 1tx x =++在区间1(,2t-∞-上单调递增，要使函数()f x 在定义域上单调递增，则需3718t t t +≥++，即318t ≤-，解得12t ≤-．故实数t 的取值范围为1(,2-∞-．答案：1(,]2-∞-11．已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋1，g(x)＝225,0468,0x x x x x x ⎧-+>⎪⎨⎪---≤⎩，若方程g[f(x)]－a ＝0（a ＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a 的取值范围是______．【答案】514（，【解析】作出函数f （x ）和g （x ）的图象如图：，，由g[f （x ）]-a=0（a ＞0）得g[f （x ）]=a ，（a ＞0）设t=f （x ），则g （t ）=a ，（a ＞0）由y=g （t ）的图象知，①当0＜a ＜1时，方程g （t ）=a 有两个根-4＜t 1＜-3，或-4＜t 2＜-2，由t=f （x ）的图象知，当-4＜t 1＜-3时，t=f （x ）有0个根，当-4＜t 2＜-2时，t=f （x ）有0个根，此时方程g[f （x ）]-a=0（a ＞0）有0个根，②当a=1时，方程g （t ）=a 有两个根t 1=-3，或t 2=12，由t=f （x ）的图象知，当t 1=-3时，t=f （x ）有0个根，当t 2=12时，t=f （x ）有3个根，此时方程g[f （x ）]-a=0（a ＞0）有3个根，③当1＜a ＜54时，方程g （t ）=a 有两个根0＜t 1＜12，或12＜t 2＜1，由t=f （x ）的图象知，当0＜t 1＜12时，t=f （x ）有3个根，当12＜t 2＜1时，t=f （x ）有3个根，此时方程g[f （x ）]-a=0（a ＞0）有3+3=6个根，当a=54由图可得同理只有5解，综合的故若方程g[f(x)]－a ＝0（a ＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a 的取值范围是514（，）12．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--，若集合()(){}10,x f x f x x R +-≤∈=∅，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】若集合()(){}10,x f x f x x R +-≤∈=∅，则关于x 的不等式()()1f x f x +>在R 上恒成立，当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--.若0a ≤，则当0x ≥时，()()1232f x x a x a a x =-+-+=，函数()y f x =为奇函数，若0x <，则0x ->，()()()f x f x x x ∴=--=--=.综上，()()f x x x R =∈，此时函数()y f x =为增函数，则不等式()()1f x f x +>恒成立；若0a >，当0x a ≤≤时，()()1232f x a x a x a x =-+--=-；当2a x a <≤时，()()1232f x x a a x a a =-+--=-；当2x a >时，()()12332f x x a x a a x a =-+--=-.如下图所示：由图象可知，若不等式()()1f x f x +>恒成立，则313a a -<-，解得16a <，此时106a <<.综上所述，实数a 的取值范围是1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.13．已知函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在1x ，2x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则122()()x f x f x -的取值范围为_______．【答案】91[,)162--【解析】解：作出函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩的图象，因为存在1x ，2x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =1102x ∴≤<11,[0,)22x x +∈ 的最小值为12，112,[,2)2x x -∈的最小值为21122x ∴+≥即11122x -≤<111()2f x x =+ ，12()()f x f x =21221111111()()()()22x f x f x x f x f x x x ∴-=-=--11122x ⎛⎫≤< ⎪ ⎪⎝⎭令21122y x x =--21122x ⎛⎫-≤< ⎪ ⎪⎝⎭函数开口向上，对称轴为14x =的抛物线，函数在区间11,24⎤-⎥⎣⎦上单调递减，11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当14x =时min 916y =-当12x =时12y =-所以91,162y ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭故答案为：91,162⎡⎫--⎪⎢⎣⎭14．已知函数()2(43)3,0log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++⎩ （0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_____．【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【解析】函数()2(43)3,0log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++⎩ （0a >且1α≠），在R 上单调递减，则：()23402010(43)03log 011a a a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪+-⋅+≥++⎪⎩；解得，1334a ．由图象可知，在[0,)+∞上,()2f x x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上,()2f x x =-同样有且仅有一个解，当32a >即23a >时,联立()24332x a x a x +-+=-,则()()2424320a a ∆=---=,解得34a =或1（舍去），当132a ≤≤时,由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.故答案为：123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．15．已知函数()11f x x =-+-，当[],2x t t ∈+时，记()f x 最大值与最小值的差为函数()g t ，若对于任意的实数0x ，总有()()00g x f x λ+≥，则实数λ的最小值为_______【答案】3-【解析】∵()2,111,1x x f x x x x --≥-⎧=-+-=⎨<-⎩，其图象如图所示，①当1t ≥-时，函数()f x 在[],2t t +内单调递减，()()max 2f x f t t ==--，()()min 24f x f t t =+=--，此时()2g t =；②当21t +≤-即3t £-时，函数()f x 在[],2t t +内单调递增，()()max 22f x f t t =+=+，()()min f x f t t ==，此时()2g t =；③当32t -<<-时，函数()f x 在[],1t -内单调递增，在[]1,2t -+内单调递减，()()max 11f x f =-=-且()()min f x f t t ==，此时()1g t t =--；④当21t -≤<-时，函数()f x 在[],1t -内单调递增，在[]1,2t -+内单调递减，()()max 11f x f =-=-且()()min 24f x f t t =+=--，此时()3g t t =+；综上可得：()2,131,323,21t t g t t t t t ≥-≤-⎧⎪=---<<-⎨⎪+-≤<-⎩或，若对于任意的实数0x ，总有()()00g x f x λ+≥，即()()00f x g x λ≥-，令()()()00000000004,121,323,212,3x x x x h x f x g x x x x --≥-⎧⎪--<<-⎪=-=⎨--≤<-⎪⎪-≤-⎩当01x ≥-时，()03h x ≤-，当032x -<<-时，()075h x -<<-，当021x -≤<-时，()03h x =，当03x ≤-时，()05h x ≤-，即()0h x 的最大值为3-，故3λ≥-，即实数λ的最小值为3-，故答案为：3-.16．已知函数3log 03()cos()393x x f x x x π⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1x 、2x 、3x 、4x 满足134()()()()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是_______【答案】135(27,4【解析】绘制函数()f x的图像如图所示，设,,,A B C D 点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，由对数函数的性质可知：3132log log x x =-，则：121=x x ，由三角函数的性质可知：3412x x +=，故4312x x =-，注意到9cos 032π⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，故393,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故()12343312x x x x x x ⋅⋅⋅=-，则原问题等价于求解函数()91232y x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域，结合二次函数的性质可知函数()12y x x =-在定义域内单调递增，当3x =时，27y =；当92x =时，1354y =；据此可得1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是13527,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为13527,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.17．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()sin ,02432,24x x x f x x π-⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()()()255440f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦()a R ∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围为______.【答案】0＜a ≤34或a 1=．【解析】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，作出函数f （x ）的图象如图：关于x 的方程5[f （x ）]2﹣（5a +4）f （x ）+4a ＝0，解得f （x ）＝a 或f （x ）45=，当0≤x ≤2时，f （x ）∈[0，1]，x ＞2时，f （x ）∈（34，1）．由34145＜＜，则f （x ）45=有4个实根，由题意，只要f （x ）＝a 有2个实根，则由图象可得当0＜a ≤34时，f （x ）＝a 有2个实根，当a 1=时，f （x ）＝a 有2个实根．综上可得：0＜a ≤34或a 1=．故答案为0＜a ≤34或a 1=．．18．已知函数()22212,204821,2,0x x x f x x x x x x x ⎧++-<<⎪=+⎨⎪+-≤-≥⎩，若函数()()1g x a f x =+有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】当10x -<<时，函数()22t x x x =+在区间()1,0-上单调递增，很明显()()1,0t x ∈-，且存在唯一的实数1x 满足()112t x =-，当10t -≤<时，由对勾函数的性质可知函数14y t t =+在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，结合复合函数的单调性可知函数221248y x x x x =+++在区间()11,x -上单调递减，在区间()1,0x 上单调递增，且当1x x =时，2212148y x x x x =++=+，考查函数221y x x =+-在区间()0,∞+上的性质，由二次函数的性质可知函数221y x x =+-在区间()21-上单调递减，在区间)21,-+∞上单调递增，函数()()1g x a f x =+有6个零点，即方程()10a f x +=有6个根，也就是1|()|f x a =-有6个根，即|()|y f x =与1=-y a 有6个不同交点，注意到函数22y x x =+关于直线1x =-对称，则函数|()|y f x =关于直线1x =-对称，绘制函数|()|y f x =的图像如图所示，观察可得：1514a ≤-<，即415a -≤<-.综上可得，实数a 的取值范围是41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.故答案为41,5⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．已知函数22017141,01,()2log , 1.x x f x x x ⎧⎛⎫--+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩ 若()()()f a f b f c ==且,,a b c 互不相等，则a b c ++的取值范围是____．【答案】(2,2018)【解析】解：作出函数22017141,01,()2log , 1.x x f x x x ⎧⎛⎫--+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩ 的图像，当01x 时，函数221()44412f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，函数的对称轴为12x =，当()1f x =时，由2017log 1x =，计算出2017x =，若,,a b c 互不相等，不妨设a b c <<.因为()()()f a f b f c ==，所以由图象可以知道，102a <<，112b <<，12017c <<，且122a b +=即1a b +=.所以1a b c c ++=+，因为12017c <<，所以212018c <+<，即22018a b c <++<，所以a b c ++的取值范围是(2,2018)．20．已知函数()2-,24161,22x a x x x f x x ⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，若对任意的)12,x ⎡∈+∞⎣，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()12f x f x =，则实数a 的取值范围为______________.【答案】[)2,6-【解析】当)12,x ⎡∈+∞⎣时，12111110,16164164x x x x ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦+，当()2,2x ∈-∞时，若2a 时，||11()22x a a x f x --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,2)-∞上是单调递增函数，所以()221(0,2)a f x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()()12f x f x =则2110,](0),162a -⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭（，所以241112162a -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，24,6a a ∴-<<，又2a ，所以[2,6)a ∈.若2a <时，则1,21()21,22a x x a x a x a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩ ，()f x 在(,)a -∞上是单调递增函数，此时()(0,1)f x ∈，()f x 在[,2)a 上是单调递减函数，此时21()(,1]2a f x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足()()12f x f x =则211162a-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2,a ∴- 又2a <，所以[2,2)a ∈-，综上，[2,6)a ∈-，故答案为[)2,6-.21．已知函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，(]0,2m Î；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．【答案】（2）【解析】解：当1x >时，10x ->，213()2323x x f x -+-=-=-，单调递减，当11x -<<时，211()2323x x f x +-+=-=-，单调递增，2|1|()23x f x --∴=-在(1,1)-单调递增，在(1,)+∞单调递减，∴当1x =时，取最大值为1，∴绘出()f x的图象，如图：①当0n =时，1221(1)10()230x log x x f x x m ----⎧⎪=⎨⎪-<⎩ ，由函数图象可知：要使()f x 的值域是[1-，1]，则(1m ∈，2]；故（1）错误；②当12n =时，12()(1)f x log x =-，()f x 在[1-，1]2单调递增，()f x 的最大值为1，最小值为1-，∴1(,2]2m ∈；故（2）正确；③当1[0,)2n ∈时，[1m ∈，2]；故（3）错误，故答案为：（2）22．已知函数()24,041020,4x x f x x x x x ⎧+<<⎪=⎨⎪-+-≥⎩，若有且仅有不相等的三个正数123,,x x x ，使得()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的值为_________，若存在12340x x x x <<<<，使得()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围是_________.【答案】12()96,100【解析】()24,041020,4x x f x x x x x ⎧+<<⎪=⎨⎪-+-≥⎩所画出函数的图象有且仅有不相等的三个正数123,,x x x 使()()()123f x f x f x ==由图分析可得()()()1234f x f x f x ===令123x x x <<则12x =，24x =，36x =12312x x x ∴++=若存在12340x x x x <<<<，使得()()()()1234f x f x f x f x ===，令()()()()1234f x f x f x f x k ====，则45k <<12,x x ∴为4x k x+=的两根，34,x x 为21020x x k -+-=的两根124x x ∴=，3410x x +=且123402456x x x x <<<<<<<<1234344x x x x x x ∴=()33410x x =-()2345100x =--+345x << 123496100x x x x ∴<<1234x x x x ∴的范围是()96,100故答案为：12；()96,10023．已知函数212,()222,x x m f x x x x m⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，当2m =时，不等式()4f x ≤的解集为_____；若函数()()g x f x x =-有三个不同的零点，则m 的取值范围是_____．【答案】{}|14x x ≤≤，[)2,4【解析】当2m =时，()4f x ≤等价于124()22x f x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩或22242x x x ⎧-+≤⎨≤⎩，解得24x <≤或12x -≤≤，14x ∴-≤≤,即{}|14x x ≤≤；212,()()232,x x m g x f x x x x x m⎧-+>⎪=-=⎨⎪-+≤⎩，画出()y g x =图象，如图，由图可知，24m ≤<时，232,y x x x m =-+≤有2个零点，12,2y x x m =-+>有1个零点，则()y g x =有3个的零点；同理可得，4m ≥或12m ≤<时，()y g x =有2个的零点；1m <时，()y g x =有1个的零点，综上，若函数()()g x f x x =-有3个不同的零点，m 的取值范围是[)2,4，故答案为{}|14x x ≤≤，[)2,4.24．已知函数,0()(1),0x x e x f x a x e x -⎧<=⎨--≥⎩()a R ∈，若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得312123()()()f x f x f x e x x x ===-成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(,1]e --【解析】若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立，等价为方程()f x ex =-存在三个不相等的实根，当0x <时，()x f x e -=，x e ex -∴=-，解得1x =-，∴当0x <时，()x f x e -=，只有一个根.∴当0x ≥时，方程()f x ex =-存在两个不相等的实根，即()1xa x e ex =--.设()()1,0xg x x e ex x =--≥，()()1x x x g x e x e e xe e ∴=+--=-'，令()'0g x =，解得1x =，当()'0g x >，解得1x >，()g x 在()1,+∞上单调递增；当()'0g x <，解得01x <<，()g x 在()0,1上单调递减；又()01g =-，()1g e =-，存在两个不相等的实根，1e a ∴-<≤-.故答案为(],1e --.25．已知函数13(10]()13(01]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，，，，，，且函数()()g x f x mx m =--在(11]，-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.【答案】93,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【解析】函数()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，即函数()f x 与函数()1y m x =+在(]1,1-内有且仅有两个不同的交点，()1y m x =+表示过点()1,0-，斜率为m 的直线，绘制函数()f x的图像如图所示，考查临界情况：首先考查经过点()1,0-且与131y x =-+相切的直线方程的斜率：由131y x =-+可得21(1)y x '=-+，故切点坐标为001,31x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，切线的斜率()2011k x =-+，切线方程为：()02001131(1)y x x x x ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭,切线过点()1,0-，故()020*******(1)x x x ⎛⎫--=--- ⎪++⎝⎭，解得：013x =-，故切线的斜率2194113k =-=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由(1,0),(0,2)K B --可得2020(1)KB k --==---，由(1,0),(1,3)K C -可得3031(1)2KC k -==--，结合图形可得实数m 取值范围是93,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.26．已知函数()()ln ,02,2x x e f x f e x e x e⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，函数()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是____________.【答案】10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设2e x e <<，则02e x e <-<，故()()ln 2f x e x =-，即()()ln ,0ln 2,2x x e f x e x e x e ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，绘制函数图像如图所示，函数()()F x f x ax =-有4个零点则函数()f x 与函数y ax =有4个交点，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为()00,x ax ，由题意可得：0001ln a x x ax ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩.则直线与函数相切时斜率为1e，数形结合可知实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.27．已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.【答案】01m ≤<【解析】当0x ≥时,2'()121212(1)f x x x x x =-=-，在区间()0,1上，()()'0,f x f x <单调递减，在区间()1,+∞上，()()'0,f x f x >单调递增，故函数在1x =处取得极小值()11f =-，据此绘制函数()f x 的图像如图所示，结合函数图像和题意可知原问题等价于函数232y x x =-与函数y m =有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间(]1,0-和区间()0,1内，观察二次函数的图像可得m 的范围是01m ≤<.28．已知函数若函数有四个零点，则实数的取值范围是____【答案】【解析】因为，当时，，所以，令，得，并且当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，且且仅当，且，因为当时，则有或，即或，由图象得，要使函数有四个零点，则得，或，无解，综上所述，实数的取值范围是，故答案是：.29．已知函数()222ln ,1,11x x x a f x e e x x x a e e >⎧⎪=⎛⎫⎨-++-≤ ⎪⎪--⎝⎭⎩在R 上为增函数，则a 的取值范围为______【答案】1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令y ln x x =,则ln 1y x '=+因为()f x 在R 上为增函数，所以222222220,ln 101+11+1122ln (1+)ln (1+)1111a a e e e a e a e e e a a a a e e a a a a e e e e >+≥⎧⎧⎪⎪⎪-≤≤⎪⎪-≥∴⎨⎨⎪⎪⎪⎪≥-+-≥-+---⎩⎪--⎩，令222()ln (1+11e e g a a a a a e e =+-+--，则22()ln +12(1+)ln +211e e g a a a a a e e '=+-=---因为1()+20g a a''=>，所以()g a '在(0,)+∞上单调递增，因为222(1)20,()10,11e e e g g e e e -''=-<=+>--所以存在唯一11(1,),()0a e g a '∈=，因此当(0,1)a ∈时，()0,()(1)0g a g a g '<>=，当1(1,)a a ∈时，()0,()(1)0g a g a g '<<=，当1(,)a a ∈+∞时，1()0,()()g a g a g a '>>，因此当(0,1]a ∈时，()0g a ≥恒成立，即222ln (1+)11e e a a a a e e ≥-+---因为221+1+111122e e e e a e --≤≤>，，所以11a e ≤≤30．已知ln ,02()(4),24x x ef x f e x e x e <≤⎧=⎨-<<⎩，若方程()0f x mx -=有2个不同的实根，则实数m 的取值范围是_____（结果用区间表示）．【答案】1(,e-∞【解析】解：由()(),024,24lnx x e f x f e x e x e <≤⎧=⎨-<<⎩，可得：()y f x =在()0,4e 的图象关于直线2x e =对称，()0f x mx -=有2个不同的实根等价于()y f x =的图象与直线y mx =的交点个数为2，()y f x =的图象与直线y mx =的位置关系如图所示，设过原点的直线与()y f x =相切与点()00,P x y ，由()1'f x x=，则此切线方程为：()0001ln y x x x x -=-，又此直线过原点()0,0，则求得0x e =，即切线方程为：1y x e=，由图可知：当()y f x =的图象与直线y mx =的交点个数为2时，实数m 的取值范围是1m e <，故答案为1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．31．已知函数()()[]()2,,0,62013,0,2,6,2,,ln x x f x x x x x x ⎧⎪-∈-∞⎪=-+-∈⎨⎪⎪∈+∞⎩()()2g x ax a R =-∈满足：①当0x <时，方程()()f x g x =无解；②当0x >时，至少存在一个整数0x 使()()00f x g x ≥.则实数a 的取值范围为___．【答案】33e a -<≤【解析】绘制函数()f x 的图像如图所示，函数()g x 恒过点()0,2-，（1）当0x <时，方程()()f x g x =无解，考查临界情况，当0x <时，()()ln f x x =--，()()111f x x x=-⋅-=--'，设切点坐标为()()00,ln x x --，切线斜率为01k x =-，故切线方程为()()0001ln y x x x x +-=--，切线过点()0,2-，则：()()00012ln 1x x x -+-=-⋅-=，解得：30x e =-，故切线的斜率331k e e -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，据此可得3a e ->，（2）当x≥0时1x =时2620131x x -+-=，点()()0,2,1,1-两点连线的斜率21301k --==-，2x =时2620133x x -+-=，62x =，点()()0,2,2,2-两点连线的斜率325202k +==-，据此可得3a ≤，综上可得，实数a 的取值范围为33e a -<≤.32．已知函数22,0,()ln ,0,x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩，函数()()()g x f x a a R =+∈有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，则123x x x 的取值范围是_______．【答案】[0,)e 【解析】则当20x -≤≤时，抛物线的对称轴为1x =-，若函数()()g x f x a =+有三个不同的零点123,,x x x ，不妨设123x x x <<，即()()()0,g x f x a f x a =+==-有三个不同的根，(),y f x y a ==-的图象有三个交点，作出(),y f x y a ==-的图象，由图可知，01a ≤-<,即10a -<≤,当0x ≤时，220x x a --+=，即220x x a +-=，则12x x a =-，当0x >时，由3ln 0x a +=,得3ln x a =-,即3a x e -=，则123a x x x ae-⋅⋅=-，设(),10a g a ae a -=--<≤，则导数()()'1a a a g a e ae e a ---=-+=-,则当10a -<≤时,()'0g a <恒成立，即此时函数()g a 为减函数，则()00g =，()1g e -=，即()0g a e ≤<，即1230x x x e ≤⋅⋅<，即123x x x ⋅⋅的取值范围是[)0,e ，故答案为[)0,e .33．已知函数()[]()()11,2,02,0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若函数()()13g x x f x b =-+在区间[]2,6-内有3个零点，则实数b 的取值范围是______．【答案】42,33⎛⎤-⎥⎝⎦【解析】若02x ≤≤，则220x -≤-≤，()()212111f x f x x x ∴=-=--+=--，02x ≤≤．若24x ≤≤，则022x ≤-≤，()()212113f x f x x x ∴=-=---=--，24x ≤≤．若46x ≤≤，则224x ≤-≤，()()212315f x f x x x ∴=-=---=--，46x ≤≤．()11f ∴=，()20f =，()31f =，()51f =，设()y f x =和13y x b =+，则方程()13f x x b =+在区间[]2,6-内有3个不等实根，等价为函数()y f x =和13y x b =+在区间[]2,6-内有3个不同的零点．作出函数()f x 和13y x b =+的图象，如图，当直线经过点()4,0F 时，两个图象有2个交点，此时直线13y x b =+为1433y x =-，当直线经过点()5,1D ，()2,0E 时，两个图象有3个交点；当直线经过点()0,0O 和()3,1C 时，两个图象有3个交点，此时直线13y x b =+为13y x =，当直线经过点()1,1B 和()2,0A -时，两个图象有3个交点，此时直线13y x b =+为1233y x =+，∴要使方程()13f x x b =+，两个图象有3个交点，在区间[]2,6-内有3个不等实根，则42,33b ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故答案为42,.33⎛⎤- ⎥⎝⎦34．已知函数()23236,034,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，设()(){|0A x Z x f x a =∈-≥，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为()A ．31B ．32C ．33D ．34【答案】D【解析】因为0x A =∈，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可，画出()f x 的函数图象如图所示，当0x >时，()f x a ≥；当0x <时，()a f x ≥，即y 轴左侧()f x 的图象在y a =下面，y 轴右侧()f x 的图象在y a =上面，()339189f =-⨯+=- ，()43162424f =-⨯+=-，()()()32333344f -=---⨯-+=，()()()324434420f -=---⨯-+=，平移y a =，由图可知，当249a -<≤-时，A ={}1,2,3,符合题意；0a =时，A ={}11,2-，,符合题意；23a ≤≤时，A ={}1,1,2--,符合题意；420a ≤<时，A ={}1,2,3---,符合题意∴整数a 的值为23,22,...,9---及0,2,34,5,...,19，共34个，故选D.35．已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.在①12-；②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）【答案】(Ⅰ)0a <或2a >(Ⅱ)②③【解析】(Ⅰ)函数()12,22,.x x a f x x a x a -<⎧⎪=-+≥⎨⎪⎩，由x a <时，()120x f x -=>，无零点；若x a ≥时，()22f x a x =-，当0a <时，()0f x <，无零点；当0a ≥时，由220a x -=，即22a x =，由x a ≥时，2y x =递增，可得2y a ≥，由22a a <，可得2a >，()f x 无零点；综上可得0a <或2a >；(Ⅱ)由题意可得()1f x 的值域为()2f x 的值域的子集，当12a =-时，由12x <-时，()31220,2x f x --⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；由12x ≥-时，()(]21,1f x x =--∈-∞-，]，(]320,2,1-⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭Ø，不满足题意；当12a =时，由12x <时，()11220,2x f x --⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；由12x ≥时，()231,4f x x ⎛⎤=-∈-∞ ⎥⎝⎦，1230,2,4-⎛⎫⎛⎤⊆-∞ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，满足题意；当1a =时，由1x <时，()()120,1x f x -=∈；由1x ≥时，()(]22,1f x x =-∈-∞，()(]0,1,1⊆-∞，满足题意；当a =时，由x <时，()()112x f x -=∈；由x ≥时，()(]21,1f x x =-∈-∞-，()(]1,1-∞-Ø，不满足题意；当32a =时，由32x <时，()11220,2x f x -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；由32x ≥时，()251,4f x x ⎛⎤=-∈-∞- ⎥⎝⎦，1250,2,4⎛⎫⎛⎤-∞- ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭Ø，不满足题意．综上可得函数()f x 的包容数是②③．故答案为0a <或2a >；②③．。

高三数学分段函数知识点

高三数学分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域的实际问题中。

在高三数学学习中，理解和掌握分段函数的知识点对于解题和理论应用都具有重要意义。

本文将为您介绍高三数学中与分段函数相关的知识点。

一、分段函数的定义与表达方式分段函数是由不同的函数规则在不同的定义域上确定的一种函数。

分段函数通常由若干段或多个函数规则组合而成，对于不同的自变量取值，函数的表达方式也不相同。

通常，分段函数可以用以下的形式表示：y = f(x)，x ∈ D，其中D为定义域。

在定义域D的不同区间上，函数f(x)可以用不同的函数表达式来表示。

二、分段函数的性质1. 定义域和值域：分段函数的定义域由各个函数规则的定义域的并集构成，值域则由各个子区间的值域的并集构成。

2. 连续性和间断点：分段函数在定义域上可能存在间断点。

常见的间断点有可去间断点（函数值可以通过修复后定义），跳跃间断点（函数在间断点处的左右极限存在，但不相等）和无穷间断点（函数在间断点处的左右极限至少有一个为无穷大）。

3. 单调性：针对不同函数规则的子区间，分段函数可以是递增的、递减的或不变的。

4. 极值点：分段函数在每个子区间内寻找最大值和最小值，可以通过求导或者构建不等式来确定。

三、分段函数的图像分段函数的图像通常是一个由多段连接而成的曲线，并且在不同的子区间上可能有不同的形态。

对于每一个子区间，我们可以先画出对应函数规则的图像，然后将这些图像进行连接。

在画图时，需要注意各个子区间的连接点和间断点的特殊处理，以及函数图像的平滑与连续性。

四、分段函数的应用分段函数广泛应用于各个领域的实际问题中，下面举几个例子：1. 费用函数：在一些商业模型中，根据不同的销售数量区间，利用分段函数可以比较准确地计算成本、利润等。

2. 税务计算：税务计算常常需要根据收入或利润的不同区间采用不同的税率，这也可以通过分段函数进行模拟计算。

3. 温度转换：将摄氏度和华氏度进行相互转换时，由于两种温度间存在不同的线性关系，可以使用分段函数表示。

分段函数的性质、图象以及应用 (1)

热点分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量 X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题．例 1【2018 届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍ft 一中、东北育才学校高三上学期期末】设e x , x ≤ 0⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ f (x ) = { lnx , x > 0，则 f ⎢ f e ⎪⎥ = ． 1 【答案】e⎡⎛ 1 ⎫⎤⎣ ⎝ ⎭⎦ ⎛1 ⎫-11 【解析】 f ⎢ f e⎪⎥ = f ln e ⎪ = f (-1)= e = e⎣ ⎝ ⎭⎦⎝ ⎭2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2【2017 届湖南省长沙市第一中学高考模拟卷一】已知函数 f (x ）={e x, x ≤ elnx , x > e，则函数 y =f (e - x )的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B3分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.1-x, x < 0例3【2018 届北京市东城区高三上学期期中】已知函数f (x)= { xlnx , x > 0，则关于x的方程⎡⎣f(x)⎤⎦2+f(x)+a=0(a∈R)的实根个数不可能为（）．A.2 B.3 C.4 D. 5【答案】A【解析】当x < 0时， f '(x)=-1x2∴ f (x)在(-∞, 0)上是减函数，-1 < 0，当x > 0时， f (x)= ln x = {-lnx, 0 <x < 1，lnx, x ≥ 1∴ f (x)在(0,1)上是减函数，在[1, +∞)上是增函数，作出f (x)的大致图像如图所示：2 ⎭⎝ ⎭⎝设 f (x ) = t ，则当t < 0时，方程 f (x ) = t 有一解，当t = 0时，方程 f (x ) = t 有两解，当t > 0时，方程 f (x ) = t 有三解，有 ⎡ f (x )⎤2- f (x ) + a = 0，得t 2 - t + a = 0，若方程t 2 - t + a = 0，有两解t ， t ，则t + t= 1，⎣ ⎦∴方程t 2- t + a = 0不可能有两个实数根，∴方程 ⎡⎣ f (x )⎤⎦2- f (x ) + a = 0不可能有2个解．故选A ．4 分段函数与不等式1 2 12将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例 4【2018 届福建省厦门市高三上学期期末】已知函数 f (x ) = {log 2 x , 0 < x ≤ 2,log 2 (4 - x ), 2 < x < 4,f (a ) ≥ f ⎛a + 1 ⎫，则a 的取值范围是（）2 ⎪ ⎝ ⎭A. ⎛ 0, 1 ⎤ ⋃ ⎡2, 7 ⎫B. ⎛ 0, 1 ⎤ ⋃ ⎡ 7 , 7 ⎫2 ⎥⎦ ⎢⎣⎪ 2 ⎥⎦ ⎢⎣4 2 ⎪⎛ 17 -1⎤ ⎡ 7 ⎫ ⎛ 17 -1⎤ ⎡ 7 7 ⎫C. 0, 4 ⎥ ⋃ ⎢2, 2 ⎪D. 0, 4⎥ ⋃ ⎢ , ⎪ ⎝ ⎦ ⎣ ⎭ ⎝⎦ ⎣ 4 2 ⎭【答案】D【解析】画出函数 y =f (x )的图象（图中黑色部分），则函数 y =f (x )的图象向左平移 1个长度单位，得 2到函数 y = ⎛ + 1 ⎫的图象（图中红色部分），设两图象交于点 A , B ，且横坐标分别为 a , a ．由图象可得f x 2 ⎪ 1 2⎝ ⎭若-1+ 17 满足 f (a ) ≥ f ⎛a +1 ⎫的实数a 的取值范围为⎛0, a ]⋃[a ,7 ⎫．2 ⎪ 1 22 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭对于 a ，由-log a = log ⎛a + 1 ⎫，解得 1= a + 1，所以2a 2 - a - 2 = 0，解得 a = 或1 2 1 2 1 2 ⎪ a 1 2 1 1 14 a 1 =⎝ ⎭ 1（舍去）． 4⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ 7对于a 2，由log 2a 2 = log 2 ⎢4 - a 2 + 2 ⎪⎥，解得 a 2 = 4．⎣ ⎝ ⎭⎦综上可得实数a 的取值范围为⎛ 0, -1+ 17 ]⋃[ 7 , 7 ⎫．选 D ． 4 4 2 ⎪⎝ ⎭ 5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．x + 2, x > a 例 5【2018 届四川省成都实验中学高三上学期 1 月月考】已知函数 f(x)＝{x 2 + 5x + 2, x ≤ a函数 g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )A. [－1，1)B. [0，2]C. [－2，2)D. [－1，2) 【答案】D-1- 176 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018 届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数.当 x > 0时，f (x ) = x 2 - x ，则不等式 f (x ) > 0的解集用区间表示为（）A. (-1,1)B. (-∞, -1)⋃ (1, +∞)C. (-∞, -1)⋃ (0,1)D. (-1, 0)⋃ (1, +∞) 【答案】D7分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018 届ft 西省太原十二中高三 1 月月考】已知-8 < m < n ，函数 f (x ) = {3log 8 (-x ), -8 ≤ x < m ,x 2- 2x , m ≤ x ≤ n ,若 f (x )的值域为[-1, 3]，则 n - m 的最大值与最小值之积为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B【解析】 f (x )= {log 2 (-x ), -8 ≤ x < m x 2 - 2x , m ≤ x ≤ n，分别作出 y = log 2 (-x )和 y = x 2 - 2x 的图像， f (x )在[-8, m )是减函数且log 2 (-m ) < f (x ) ≤ 3 ，因 f (x )的值域是[-1, 3]，故 f (x )只能在[m , n ]上取最小值-1，所以1 ≤ n ≤ 3. 又-1 ≤ m ≤ -1，否则 m < -1时， f (x ) > 3， - 1< m < 0时， f (x ) < -1，22m ≥ 0时， log 2 B.(-x )在0 ≤ x ≤ m 上无意义. 故 n - m 的最小值为3，最大值为4，它们的乘积为6，选2点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[-8, m )有最大值3，但无最小值，故函数的最小值-1 只能在[m , n ]取得，但是 y = x 2 - 2x = (x -1)2-1 ≥ -1，因此1∈[m , n ]且 m ≤ - 1，再根据 f (x )的最大2值为 3，得到 m ≥ -1, n ≥ 3，所以 n - m 的最小值为 3，最大值为4，它们的乘积为 6.2例 8【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三 12 月月考】已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，满足f (x +1) = - f (x )，当 x ∈ ⎡0, 1 ⎤时， f (x ) = 4x -1，则函数 h (x ) = (x -1) f (x )-1在区间 ⎡- 3 , 3⎤上⎣⎢ 2 ⎥⎦⎣⎢2 ⎥⎦所有零点之和为（）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，所以 f (-x ) = - f (x )，又 f (x +1) = - f (x )，所以 f (x )的周期是 2，且 f (x +1) = f (-x )得 x = 1是其中一条对称轴，又当 x ∈ ⎡0,1 ⎤时， f (x ) = 4x-1，于是2f (x )图象如图所示，⎣⎢ 2 ⎥⎦又函数h (x)=(x -1)f (x)-1零点即为y =f (x)图象与y =1x -1的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于(1, 0)对称，所以x1 +x4 = 2, x2 +x3 = 2，所以零点之和为x1 +x2 +x3 +x4 = 4.故选 A．8 分段函数的单调性例9 已知函数f (x)= {a x , x < 0, 满足对任意x ≠x,都有 f (x1 )- f (x2 )< 0成立,则a的范(a -3)x+ 4a, x ≥ 0 1 2 x1- x2围是( )A.⎛0,1 ⎤B. (0,1)C. ⎡1 ,1⎫D. (0, 3)4 ⎥⎢4 ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】A点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.【反思提升】综合上面的八种类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.。

高中数学数学干货｜经典分段函数专题

高中数学数学干货｜经典分段函数专题在高中数学中，分段函数是一个非常重要且常见的概念。

它由多个线性函数组成，每个函数在不同的区间上定义。

在本文中，我们将深入探讨分段函数的相关知识，并介绍一些经典的分段函数题目和解法。

1. 什么是分段函数？分段函数是由若干段不同的线性函数组成的函数。

它通常采用以下的形式表示：\[f(x) = \begin{cases}f_1(x), & x \in D_1\\f_2(x), & x \in D_2\\\cdots\\f_n(x), & x \in D_n\end{cases}\]其中，$f_i(x)$表示第$i$段线性函数，$D_i$表示第$i$段函数的定义域。

2. 分段函数的分类根据不同的特性和形式，分段函数可以分为以下几种类型：2.1 分段常值函数分段常值函数是由多个常值函数组成的函数。

在不同的区间内，函数的取值是不同的常数。

例如，考虑以下分段函数：\[f(x) = \begin{cases}1, & x < 0\\ 2, & x \geq 0\end{cases}\]在$x < 0$的区间内，函数的取值为1；在$x \geq 0$的区间内，函数的取值为2。

2.2 分段线性函数分段线性函数是由多个线性函数组成的函数。

在不同的区间内，函数的斜率和截距可能是不同的。

例如，考虑以下分段函数：\[f(x) = \begin{cases}2x, & x < 0\\ x^2, & x \geq 0\end{cases}\]在$x < 0$的区间内，函数的斜率为2；在$x \geq 0$的区间内，函数的斜率为$x$。

3. 经典分段函数题目与解法接下来，我们将介绍一些经典的分段函数题目，并给出相应的解法。

3.1 题目一已知函数$f(x)$满足以下条件：\[f(x) = \begin{cases}x+1, & x < 1\\ 2x, & x \geq 1\end{cases}\]求解方程$f(x) = 3$的解。

高中高一分段函数知识点

高中高一分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、经济学和物理学等领域都有广泛的应用。

本文将从定义、性质、图像以及实际应用等方面介绍高中高一阶段分段函数的知识点。

一、定义分段函数是由两个或多个函数段组成的函数，不同的自变量区间对应着不同的函数段。

通常，每个函数段的定义域和值域可以是不相交的。

二、性质1. 定义域和值域的确定：分段函数的定义域由各个函数段的定义域交集确定，而值域则根据各个函数段的值域并集确定。

2. 连续性：分段函数在函数段之间可能存在不连续点，即转折点或者分界点。

在这些点上，左右侧的函数值可以不相等。

3. 奇偶性：当分段函数的各个函数段都具有相同的奇偶性时，整个函数可以被归类为奇函数或偶函数。

4. 单调性：分段函数在每个函数段上可能具有不同的单调性，需要分别进行讨论。

5. 极值点：分段函数的极值点可以出现在函数段的内部转折点或者边界点上，需要分别计算。

三、图像绘制分段函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的定义域、值域以及函数段之间的关系。

例如，考虑分段函数f(x) = \begin{cases} x^2, & x\geq 0\\ -x^2, & x<0 \end{cases}首先我们可以绘制函数y=x^2和y=-x^2的图像，然后根据x的正负值来确定在哪个函数段上取值。

四、实际应用分段函数在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的实际应用场景：1. 电费计算：电费的计算往往是分段线性函数，不同的用电量对应着不同的电费标准。

2. 温度调节：空调的温度调节可以看作是一个分段函数，不同的温度区间对应着不同的制冷或者制热模式。

3. 运输成本：货物的运输成本往往是根据距离分段计算的，不同的距离区间对应着不同的运费标准。

4. 奖励机制：某些奖励机制可以设计为分段函数形式，根据不同的目标达成程度给予不同的奖励。

5. 税收计算：个人所得税或者企业利润税往往是分段函数，不同的收入水平对应着不同的税率。

高考数学(理)-分段函数的性质、图像以及应用(练)-专题练习(含答案与解析)

2017年高考数学（文）-分段函数的性质、图像以及应用（练）-专题练习1．练高考1．【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x R ≥∈（）A ．若()f a b ≤，则a b ≤B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥2．【2016高考上海】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、g()()x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、g()()x h x +均是以为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题3．【2016高考山东理数】已知函数(x)f 的定义域为R.当x 0<时，3()x 1f x =-；当11x -≤≤时，(-)-()f x f x =；当12x >时，11(+)(-)22f x f x =.则(6)f =（）（A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）24．【2016高考天津理数】已知(x)f 是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是__________.5．【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0x 1＜＜时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=__________.6．【2016高考天津文数】已知函数2(4a 3)3,0()(a 0a 1)log(x 1)1,0x x a x f x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是__________. 2．练模拟1．【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】已知函数'()0f x >，则'()0f x <的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．Ta2．【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】函数222x y x =--||的图象可能是（）3．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研】已知函数1,10()10lg(2),10xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若2(8)(2)f m f m -<，则实数m 的取值范围是（） A ．(4,2)-B ．(4,1)-C ．(2,4)-D (,4)(2,)-∞-⋃+∞4．【河南省天一大联考2016~2017学年高中毕业班阶段性测试（二）】设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x 的方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（） A．(B．)+∞ C．)+∞ D．5．【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）】设函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________，方程()()1f f x =的解集__________.6．【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】已知函数cos ===B A A ()sin sin 210210205C A B =+=-==，则sin sin ===b B c C __________. 3．练原创1．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()=f x f x ，且()()1213=--≤≤f x x x ，则使得()()2014=f x f 的最小的正实数x 的值为( )A ．173B ．416C ．556D ．5892．已知函数2l o g ,02()sin(),2104⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩x x f x x x π，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ． (15,25)3．已知奇函数()f x 和偶函数()g x 分别满足21(01)()1(1)x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，2()44(0)g x x x x =-+-≥，若存在实数a ，使得()()f a g b <成立，则实数b 的取值范围是（） A ．(-1,1)B ．11(,)33-C ．(3,1)(1,3)--⋃D ．(,3)(3,)-∞-+∞4．已知函数()y f x =是定义域为的偶函数当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关于的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．59(,)24--B ．9(,1)4--C ．599(,)(,1)244----D ．5(,1)2--5．已知两条直线1l :y =m 和2l :y =821+m (m )0＞，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ,B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C ,D ．记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a,b ，当m 变化时，ba的最小值为( )A.B.C.D.R x。

高考数学压轴必刷题专题04 分段函数及其应用A卷(第二篇)(原卷版)

f
x 的零点个数为
log3 x 4, x 5
A． 6
B． 7
C． 9
D．10
14．已知函数
f
(x)
x2 2x, | log2 x ,
x x
0 0
，若
x1<
x2
<
x3
<
x4
，且
f
(x1)
f
(x2 )
f (x3 )
f
(x4 ) ，则下列结论：
①
x1
x2
1 ，②
x3x4
1，③ 0
x1
x2
存在
x1
，
x2
，当
x1
x2 时，
f
x1
f
x2 ，则实数 m 的取值范围
是（）.
A． , 2 [0, )
B． , 2 0,
C． 0,
D． , 2
19)
x2
x 2mx
4m
(x m) (x m) ，若存在实数 b ，使得函数
y
f
(x) 与 y b的
6．设函数
f
(x)
|
x 1,x log4 x , x
0,
若关于
0,
x
的方程
f
(x)
a
有四个不同的解
x1,
x2 ,
x3 ,
x4 , 且
x1
x2
x3
x4 , 则 x3 (x1
x2 )
1 x32 x4
的取值范围是
A． (1, 7 ] 2
B． (1, 7 ) 2
C． (1, )
D． (, 7] 2
7．已知函数

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第7炼分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

二、典型例题例1：已知函数2211()1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则实数a =_____思路：从里向外一层层求值，()00212f =+= ()()()0242ff f a ∴==+所以4242a a a +=⇒=答案：2a =例2：设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 思路：由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。

由此可得：107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 221cos 332f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭10932f⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭答案：92-小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：()()0,11x f x f x <=+-可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1+直至取到正数。

理解到这两点，问题自然迎刃而解。

例3：函数()34,22,21x x f x x x -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，则不等式()1f x ≥的解集是( )A. ()5,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U B. []5,1,33⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UC. 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦思路：首先要把()1f x ≥转变为具体的不等式，由于()f x 是分段函数，所以要对x 的范围分类讨论以代入不同的解析式：当2x ≤时，()1341f x x ≥⇒-≥，可解得：1x ≤-或53x ≥。

所以1x ≤-或523x ≤≤；当2x >时，()211211f x x x ≥⇒≥⇒≥--解得3x ≤，所以23x <≤，综上所述：[]5,1,33x ⎡⎤∈-∞⎢⎥⎣⎦U 答案：B例4：已知函数10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则不等式()1(1)1x x f x +++≤的解集是________ 思路：要想解不等式，首先要把()1f x +转变为具体的表达式，观察已知分段函数，10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，x 占据()f 整个括号的位置，说明对于函数()f x 而言，括号里的式子小于0时，代入上段解析式，当括号里的式子大于0时，代入下段解析式。

故要对1x +的符号进行分类讨论。

（1）当101x x +<⇒<-时，()()111f x x x +=-++=-，不等式变为：()2111x x x x x -+≤⇒-<⇒∈∅（2）当101x x +≥⇒≥-时，()111f x x x +=+-=，不等式变为：()21121011x x x x x x ++≤⇒+-≤⇒-≤≤-1,1x ⎡∴∈--+⎣答案：1,1x ⎡∈--+⎣例5：已知函数()2123,021,0x x x x f x x +⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，则不等式()()283f x f x x +<+的解集为___________思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及28,3x x x ++的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。

所以考虑先搁置代数方法，去分析()f x 的图像性质，发现()f x 的两段解析式均可作图，所以考虑作出()f x 的图像，从而发现()f x 是增函数，从而无论28,3x x x ++在哪个范围，()()228383f x f x x x x x +<+⇒+<+，从而解得：4x <-或2x >答案：()(),42,-∞-+∞U小炼有话说：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3，例4）。

另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。

例6：已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若()()()21f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[)1,0-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2- 思路：本题可以对a 进行分类讨论，以将()()()21f a f a f -+≤变成具体不等式求解，但也可从,a a -的特点出发，考虑判断()f x 的奇偶性，通过作图可发现()f x 为偶函数，所以()()f a f a -=，所解不等式变为()()1f a f ≤，再由图像可得只需1a ≤，即11a -≤≤答案：C小炼有话说：（1）本题判断函数()f x 的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中,a a -的特点。

由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示（2）由于()f x 两段图像均易作出，所以在判断()f x 奇偶性时用的是图像法。

对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到()(),f x f x - ，只是在代入过程中要注意,x x -的范围：设()0,x ∈+∞，则(),0x -∈-∞，()()()()2222,22f x x x f x x x x x ∴=+-=--⋅-=+，所以()()f x f x =-，即()f x 为偶函数例7：已知函数22()12,()2f x x g x x x =-=-，若(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则()F x 的值域是_______________解析：()F x 是一个分段函数，其分段标准以()(),f x g x 的大小为界，所以第一步先确定好x 的取值，解不等式：()()22122f x g x x x x ≥⇒-≥-，解得：113x -≤≤，故()2212,13112,13x x x F x x x or x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<->⎪⎩，分别求出每段最值，再取并集即可答案：7,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例8：已知函数(2)1(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩，若()f x 在(),-∞+∞单调递增，则实数a 的取值范围是_________思路：若()f x 在(),-∞+∞单调增，则在R 上任取12x x <，均有()()12f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：201a a ->⎧⎨>⎩ ，但仅仅满足这个条件是不够的。

还有一种取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有()()12f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。

代入1x =，有左段≤右端，即21log 103a a a --≤=⇒≤综上所述可得：(]2,3a ∈ 答案：(]2,3例9：已知()[)[]2 1.1,01,0,1x x f x x x +∈-⎧⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列选项错误的是（）A. ①是()1f x -的图像 B. ②是()f x -的图像 C. ③是()fx 的图像 D. ④是()f x 的图像思路：考虑先作出()f x 的图像（如右图所示），再按照选项进行验证即可：A. ()1f x -为()f x 向右平移一个单位，①正确；B. ()f x -为()f x 关于y 轴对称的图像，②正确；C. ()fx 为()f x 正半轴图像不变，负半轴作与()f x 正半轴关于y 轴对称的图像，③正确；D. ()f x 的图像为()f x 在x 轴上方的图像不变，下方图像沿x 轴对称翻折。

而()f x 图像均在x 轴上方，所以()f x 应与()f x 图像相同。

④错误答案：D例10：函数()31,12sin ,12x x f x x x π⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是（） A. 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 B. 函数()f x 的最小正周期为4 C. 函数()f x 是奇函数 D. 函数()f x 无最小值思路：可观察到()f x 的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示可得：BC 选项错误，D 选项()f x 存在最小值()12f -=-，所以D 错误，A 选项是正确的答案：A小炼有话说：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为()f x 本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。