(完整版)含参数的一元一次方程
一元一次方程含参问题课件2024-2025学年湘教版数学七年级上册
(1)直接代入
(2)换元代入;3a=3的解为x=4,则a的值是____.
(1)解为正数
3.解的性质（解方程）
解得:
根据条件求a的取值或范围
(2)解为负数
(3)解为整数
3.解的性质（解方程）
解得:
根据条件求a的取值或范围
(4)解为非正整数
练 已知关于x的方程kx=4-x有正整数解，则整数k的值为___________.
4.解的关系
已知
是方程1的解，
是方程2的解
(1)解相等 (2)解相反 (3)解互倒 (4)和为5 (5)解1是解2的2倍
例 如果方程 的解相同，求式子
的解与方程 的值.
练 当m为何值时，关于x的方程 的解的2倍？
的解是
(1)有唯一解
5.方程的解的个数
(3)无数解
(2)无解
（4）变式：解为定值
关于x的方程 ax=b
方程含参问题
参数：除未知数以外的其他字母 待定字母
（1）整式方程
1.一元一次方程的定义
（2）只有1个未知数 （3）未知数的次数为1
例 已知
是关于x的一元一次方程，则m=____
变1 已知
是关于x的一元一次方程，则m=____
变2 已知 则m=____
是关于x的一元一次方程，
2.方程的解的定义
关于x的方程 mx+4=3x-n 1.有唯一解 2.无解 3.无数解
例 若无论k取什么数，关于x的方程 的解总是x=1,求a+b的值.
初一数学上册苏科版07一元一次方程的含参及应用问题课件
利润问题
分段问题
P120 练习1
几何问题
行程问题
工程问题
利润问题
分段问题
几何问题
行程问题
工程问题
P121 例题2
利润问题
分段问题
P122 练习2
几何问题
行程问题
工程问题
利润问题
分段问题
P123 例题3
几何问题
行程问题
工程问题
利润问题
分段问题
几何问题
行程问题
工程问题
利润问题
分段问题
P124 例题1
P116 例题2
利润问题
分段问题
几何问题
行程问题
工程问题
思考1：本题等量关系是
；
利润问题
分段问题
P116 例题2
几何问题
行程问题
工程问题
利润问题
分段问题
P117 练习2
几何问题
行程问题
工程问题
思考1：如何在表格中表示甲、乙单价和数量；
思考2：本题等量关系是
；
利润问题
分段问题
几何问题
行程问题
工程问题
解法
含参问题
P109 例题1
同解问题
整数解问题 解的个数问 题
解法
含参问题
同解问题
整数解问题 解的个数问 题
两解之间有数关系的求参问题:
步骤:
(1)求出两个方程的解(用参数表示) (2)根据题中解的数量关系建立等量关系式 (3)求解参数
解法
含参问题
P109 例题1
同解问题
整数解问题 解的个数问 题
解法
含参问题
P108 例题1
一元一次方程含参问题ppt课件
4、整数解问题 例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
x 11 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
10
练习： （1）关于x的方程 (n 1)x2 (m 1)x 3 0 是一元一次方程
解：由题意知：(m-3)x=-n-4 (1)当m-3≠0时，即m≠3，n为任意数时，方 程有唯一解。
(2)当m-3=0且-n-4=0时，即m=3且n=-4时， 方程有无数个解。
(3)当m-3=0且-n-4≠0时，即m=3且n≠-4时，
方程无解
6
练习：
（1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无
程｜x-0.5 ｜=0，则m= 2 。
②若方程2(x+1)-3(x-1)=0的解为a+2，求方程：
2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解。 21
2 3
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
例2、关于x的方程4x-1=-5与
2 a x 3
0
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互
为相反数时，求a的值
练习：已知a，b为定值，关于x的方程
kx 3
a
1
2x
6
bk
，无论k为何值，它
的解总是1，求a+b的值。
解：把x=1代入方程得 k a 1 2 bk
3
6
化简得：(2+b)k=4-2a ∵ 无论k为何值，它的值总是1 ∴2+b=0且4-2a=0 解得b=-2，a=2 ∴a+b=0
含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程一.学习目标1．深刻理解一元一次方程的定义，会运用一元一次方程的定义求字母参数的值． 2．会利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值． 3.学会含绝对值的一元一次方程的解法．二.重难点分析1．利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值是重点． 2．一元一次方程与新定义是难点. 3．掌握含绝对值的一元一次方程的解法.三.要点集结四.精讲精练一元一次方程的定义当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．含参数的一元一次方程一元一次方程的定义一元一次方程的解同解方程一元一次方程与新定义含绝对值符号的一元一次方程只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x，且x的指数是1，（2）x的系数不等于0，（3）x的指数高于一次的项系数是0．例1.已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求：（1）m的值；（2）代数式的值．【答案】解：（1）由题意得，|m|﹣4＝1，m+5≠0，解得，m＝5；（2）当m＝5时，原方程化为10x+18＝0，解得，x＝﹣，∴＝＝﹣．练习1.已知关于x的方程（k﹣1）x|k|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为．【答案】-1【解析】根据一元一次方程定义可得：|k|＝1，且k﹣1≠0，再解即可．练习2.已知方程（a﹣1）x|a|+2＝﹣6是关于x的一元一次方程，则a＝【答案】﹣1【解析】根据一元一次方程的定义，得到|a|＝1和a﹣1≠0，结合绝对值的定义，解之即可．练习3.已知ax2+2x+14＝2x2﹣2x+3a是关于x的一元一次方程，则其解是（）．A、x＝﹣2B、x＝12C、x＝﹣12D、x＝2【答案】A【解析】根据一元一次方程的定义，2次方的项的系数必为零，才能满足题意要求，故解：方程整理得：(a－2）x＋4x+14－3 a＝0，由方程为一元一次方程，得到a－2＝0，即a＝2，方程为4x+14－6＝0，解得：x＝－2.小结根据定义判断含字母参数的一元一次方程，一般先将方程化为标准型，x的指数高于一次的项系数是0，x的指数为1的项的系数不等于0。
100道一元一次方程
1. 3x + 2 = 19解答：将方程中的常数项移至等号右边，得3x = 17，然后将方程两边同时除以3，得到x = 17/3。
2. 4x - 5 = 3解答：将方程中的常数项移至等号右边，得4x = 8，然后将方程两边同时除以4，得到x = 2。
3. 2(x + 3) = 10解答：将括号内的表达式乘以2，得2x + 6 = 10，然后将方程中的常数项移至等号右边，得2x = 4，最后将方程两边同时除以2，得到x = 2。
4. 5x - 8 = 3x + 2解答：将方程中的含x项移至等号左边，得5x - 3x = 2 + 8，化简得2x = 10，最后将方程两边同时除以2，得到x = 5。
5. 3(x - 2) = 2(x + 1)解答：将括号内的表达式乘以对应的系数，得3x - 6 = 2x + 2，将含x项移至等号左边，得3x - 2x = 2 + 6，化简得x = 8。
6. 2(x - 3) + 5 = 3x解答：将括号内的表达式乘以2，得2x - 6 + 5 = 3x，化简得2x - 1 = 3x，将含x项移至等号左边，得2x - 3x = 1，最后将方程两边同时除以-1，得到x = -1。
7. 4(x + 2) - 3 = 2x + 1解答：将括号内的表达式乘以4，得4x + 8 - 3 = 2x + 1，化简得4x + 5 = 2x+ 1，将含x项移至等号左边，得4x - 2x = 1 - 5，化简得2x = -4，最后将方程两边同时除以2，得到x = -2。
8. 5x - 3(2x + 1) = 4解答：将括号内的表达式乘以-3，得5x - 6x - 3 = 4，化简得-x - 3 = 4，将含x项移至等号右边，得-x = 4 + 3，化简得-x = 7，最后将方程两边同时乘以-1，得到x = -7。
9. 2(x - 4) + 3 = 5x - 1解答：将括号内的表达式乘以2，得2x - 8 + 3 = 5x - 1，化简得2x - 5 = 5x - 1，将含x项移至等号左边，得2x - 5x = -1 + 5，化简得-3x = 4，最后将方程两边同时除以-3，得到x = -4/3。
(完整版)一元一次方程及其解法
一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x＝3,3(x＋2)＝4－x等都是一元一次方程．解技巧正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根．②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，假设方程左、右两边的值相等，那么它是方程的解．如x＝3是方程2x－4＝2的解，而y＝3就不是方程2x－4＝2的解．(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】以下各式哪些是一元一次方程( )．11＝1；－1＝2；－5＝1；x2＋2x＋1A．S＝2ab；B.x－y＝0；＝0；D.2 x＋3＝0；＋2.解析：E中不含未知数，所以不是一元一次方程；G中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A与B中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C，F符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】x ＝－3是以下方程A ．－5(x －1)＝－4(x －2) ()的解．B ．4x ＋2＝11C ．3x ＋5＝5D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的根本性质 (1)等式的根本性质①性质1：等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c.②性质2：等式的两边都乘以 (或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为： 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a ＝b(c ≠0)．c c③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a.(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c.(传递性) 如：假设∠1＝60°，∠2＝∠1，那么∠2＝60°.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．谈重点 应用不等式的性质的考前须知(1)应用等式的根本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上 (或减去)同一个数或同一个 整式，才能保证所得结果仍是等式． 这里特别要注意： “同时〞和“同一个〞，否那么就会破坏相等关系．(2)等式的根本性质2 中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以 0，因为0 不能作除数或分母．【例2－1】以下运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的选项是()．5A ．假设4y ＋2＝3y －1，那么y ＝1B ．假设7a ＝5，那么a＝7C ．假设x＝0，那么x ＝2D ．假设x－1＝1，那么x －6＝12 6解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的， 确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的根本性质1，等式的两边都减去 3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是 1；C 根据等式的根本性质2，两边都乘以 2，右边应为 0，不是 2；D 根据等式的根本性质 2，左边乘以6，而右边漏乘 6，故不正确；只有B 根据等式的根本性质2，两边都除以7，得5 到a ＝7.答案：B【例2－2】利用等式的根本性质解方程：(1)5x－8＝12；(2)4x－2＝2x；(3)x＋1＝6；(4)3－x＝7.分析：利用等式的根本性质求解．先利用等式的根本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的根本性质2将未知数的系数化为 1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x＝20.方程的两边同时除以5，得x＝4.(2)方程的两边同时减去2x，得2x－2＝0.方程的两边同时加上2，得2x＝2.方程的两边同时除以2，得x＝1.(3)方程两边都同时减去1，得x＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的根本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－ 2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－〞，移到右边后需变成“＋〞，在移动的过程中同时变号，没有移动的项那么不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x－15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变〞：一变性质符号，即“＋〞号变为“－〞号，而“－〞号变为“＋〞号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据考前须知方程左右两边的每一项不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式去分母都乘以各分母的最小公等式的根本性质2倍数的去掉分母后，要加小括号不要漏乘括号内的去括号可由小到大，或由大到分配律；去括号的项；括号前是“－〞小去括号法那么号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项就是将方程中的某移项些项改变符号后，从方等式的根本性质1移项要变号程的一边移到另一边将方程化为ax＝b的最合并同类项的法那么只将系数相加，字母合并同类项及其指数不变简形式方程的左右两边同时除化系数为1以未知数系数或乘以未等式的根本性质2分子、分母不能颠倒知数系数的倒数解技巧巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了防止错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】以下各选项中的变形属于移项的是A．由2x＝4，得x＝2B．由7x＋3＝x＋5，得7x＋3＝5＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9解析：选项A是把x的系数化成1的变形；选项()．B中x＋5变成5＋x是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C是作的移项变形；选项D是应用等式的对称性“a＝b，那么b＝a〞所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】解方程2－x－5＝x－1 34.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x)－60＝3(x－1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12，得4(2－x)－60＝3(x－1)．去括号，得8－4x－60＝3x－3.移项，得－4x－3x＝－3－8＋60.合并同类项，得－7x＝49.两边同除以－7，得x＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的根底．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x＝a(a是一个数)．复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中假设含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中假设含有小数或百分数，就要根据分数的根本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】解方程－9x－5＝＋－.2－9＋分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的根本性质把－910，变为4x－90＋小数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以5，在式子的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得4x－90x－53＋2x5－2＝3.去分母，得6(4x－90)－15(x－5)＝10(3＋2x)．去括号，得24x－540－15x＋75＝30＋20x.移项，得24x－15x－20x＝540－75＋30.合并同类项，得11x＝495.两边同除以－11，得x ＝－45. 5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)方程的解求字母系数：假设方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，那么得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，那么 k ＝()． 4 4A ．－2B ．3C ．2D ．－ 35解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－.35将x ＝－3代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选 C.答案：C【例5－2】假设关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，那么m ＝__________.解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤， 去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为 1，可有些一元一次方程，假设能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，那么不但可以提高解题速度与准确性， 而且还可以使解题过程简捷明快， 下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，假设硬套解题的一般步骤，先去分母那么复杂繁琐，假设根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，那么使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣． 【例6－1】解方程 34 1 1 －4 ＝3x ＋1. x － 443 2 2 3 4 3 3 4 1 1 3分析：注意到4×3＝1，把4乘以中括号的每一项，那么可先去中括号，4×3 2x － 4－4×4＝3x ＋1，再去小括号为 1x － 1－3＝3x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了．2 2 4 2解：去括号，得1 1 32x －4－3＝2x ＋1.17移项，合并同类项，得－x ＝ 4.17两边同除以－1，得x ＝－4.【例6－2】解方程x ＋3－x ＋2＝x ＋1－x ＋47 5 6 4.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但此题假设直接去分母，那么两边乘以最小公倍420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5x ＋3－7x ＋22x ＋1－3x ＋4数 35＝12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．5x＋3－7x＋22x＋1－3x＋4.化简，得－2x＋1解：方程两边分别通分，得＝1235＝35－x－10.12去分母，得12(－2x＋1)＝35(－x－10)．去括号，得－24x＋12＝－35x－350.移项、合并同类项，得11x＝－362.362两边同除以11，得x＝－11.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可开掘隐含的条件，列一元一次方程解题，开掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学根底知识．【例7－1】(1)当a＝__________时，式子2a＋1与2－a互为相反数．(2)假设6的倒数等于x＋2，那么x的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a＋1＋(2－a)＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x＋2)＝1，解11得x＝－6.11答案：(1)－3(2)－6【例7－2】x＝－2是方程x－k＋3k＋2－x＝x＋k的解，求k的值．362分析：把x＝－2代入原方程，原方程就变成了以k为未知数的新方程，解含有未知数k的方程，可以求出k的值．解：把x＝－2代入原方程，得－2－k3k＋2－(－2)＝－2＋k3＋62.去分母，得2(－2－k)＋3k＋2－(－2)×6＝3(－2＋k)．去括号，得4－2k＋3k＋2＋12＝－6＋3k.移项、合并同类项，得2k＝－16.方程两边同除以－2，得k＝8.课后作业黑体小四【题01】以下变形中，不正确的选项是〔〕A．假设x25x，那么x5．B．假设7x7,那么x1．C．假设x1x，那么10x1x．D．假设xy，那么ax ay．2a a【题02】以下各式不是方程的是〔〕A．y2y 4B．m2nC．p22pq q2D．x0【题03】解为x2的方程是〔〕A．2x40B．5x362C．3(x2)(x3)5x D．x27x5462n23(n4)0是一元一次方程，求n的值．【题04】假设关于x的方程2x【题05】(2m3)x 2．(23m)x1是关于x的一元一次方程，那么m【题06】假设关于x的方程(2 |m|)x2(m 2)x (5 2m) 0是一元一次方程，求m的解．【题07】假设关于x的方程(k2)x k1．5k0是一元一次方程，那么k=【题08】假设关于x的方程(k2)x k15k0是一元一次方程，那么k=．假设关于x 的方程(k2)x24kx5k0是一元一次方程，那么方程的解x=．【题09】(3a8b)x25bx7a0是关于x的一元一次方程，且该方程有惟一解，那么x 〔〕A．21B．214040C．56D．561515【题10】解方程：1(33x) 52【题11】解方程：1 (4y) 3【题12】解方程：x x123(25x)3641(y3)42x233【题13】解方程：2x15x11 36【题14】解方程：1x 10.2x)1x31 (x4)【题15】解方程：35x19【题16】解方程：x 【题17】解方程：x14213【题18】解方程：2[x(x)]x3324【题19】解方程：1[1(1x1)6]20 343。
北师大数学七年级上册第五章_含参数的一次方程总结
第03讲_含参数的一次方程知识图谱含参数的一次方程知识精讲一．参数有的方程中除了未知数外，还会含有一些其他的字母，它们代表已经确定的数字，只是我们不知道它们具体是多少，这种字母称为“参数”，即“参与运算的数”．虽然都是字母，但未知数与参数各自的地位和含义是不相同的．比如方程ax b =，理论上来讲，如果题目没有说明，里面的每一个字母都可以当做未知数．但是一般情况下，当a b c 、、与x y z 、、同时出现在一个方程时，我们会约定俗成地认为，x y z 、、是未知数，a b c 、、是（已知数）参数．因此，我们通常会说关于x 的方程ax b =，这样比较严谨，就不会出现纠结谁是未知数的问题．对未知数系数不含参数，常数项含参数的方程，在运算中就把参数当成普通的数字来对待，带着参数完成解方程的过程．如解关于x 的一元一次方程()12x a b c -+=，则()2x c b a =-+． 小明在家做作业时,不小心吧墨水滴到了练习册一道解方程题上,题目上一个数字被墨水污染了.这个方程是： 2(115 23)x x +--⎝=⎛⎫⎪⎭- ▇ ,“▇”是被污染的数字,“▇”是哪个数呢?他很着急,想了一想,便翻看了书后答案,得知此方程的解是x=2.你能帮他补上被污染处“▇”的内容吗? 把解代回方程：11252 232()⎛⎫ ⎪+-⨯-=⎝-⎭▇，此时被污染的数字就是这个新的方程的未知数，解方程即可解系数含参问题对于未知数系数含参数的方程，其方程的解与参数的取值有很大关系，需要对参数进行分类讨论．讨论．①当0x ≥时，x x =，原方程化为25x x =+，解得5x =-．但是由于5x =-不满足0x ≥的前提要求，所以舍去；②当0x <时，x x =-，原方程化为25x x -=+，解得53x =-．检验53x =-满足0x <的前提要求，所以53x =-是原方程的解．三点剖析一．考点：解含参数的一元一次方程及绝对值方程．二．重难点：解含参数的一元一次方程及绝对值方程．三．易错点：1．在解系数含参数的一次方程的过程中，忘记对参数进行讨论； 2．解ax b cx d +=+这类绝对值方程时，直接去绝对值．参数的概念例题1、 已知关于x 的方程45365ax b x c ++-=，其中参数是__________，未知量是__________，常数项是__________．【答案】 a 、b 、c ；x ；5b 、5c 、6-． 【解析】 根据参数的概念即可判断常数项含参的一次方程例题1、 小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是：2y+12=12y ﹣．小明翻看了书后的答案，此方程的解是y=﹣53，则这个常数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】 B【解析】 设常数为a ，则2y+12=12y ﹣a ，把y=﹣53代入得：2y+12=﹣176，12×（﹣53）﹣a=﹣176，解得：a=2，例题2、 已知a 为正整数，关于x 的方程5814225x a x -=+的解为整数，求a 的最小值．【答案】 2a =【解析】 原方程的解为()101429a x +=，由题意知，()101429a +为整数，因此142a +为9的倍数，即a 的最小值为2例题3、 解下列关于x 的方程：（1）12x a -=（2）()362x x a +=- （3）()()12112x x a -=--+ 【答案】 （1）2x a =-；（2）26x a =--；（3）1655x a =+【解析】 直接把a 当成已知数计算即可．系数含参的一次方程例题1、 解关于x 的方程：（1）2421m x mx -=+ （2）x a x b bb a a---=，其中0a b -≠ （3）()()1234m x n x m -=+． 【答案】 （1）当12m ≠-时，方程的解为21x m =-；当12m =-时，方程的解为任意数．（2）2a x a b =-；（3）①当34m ≠时，方程的解为()22343m n x m +=-；②当34m =，32n =-时，方程的解为任意实数；③当34m =，32n ≠-时，方程无解；【解析】 （1）原方程整理为()22141m x m +=-；当12m ≠-时，方程的解为21x m =-；当12m =-时，方程的解为任意数．（2）去分母，得()()2a x a b x b b ---=，去括号，得222ax a bx b b --+=，移项，得222ax bx b a b -=+-，合并同类项，得()2a b x b -=，∵0a b -≠，系数化为1，得2b x a b=-．（3）原方程可整理为()()43223m x m n -=+，①当34m ≠时，方程的解为()22343m n x m +=-；②当34m =，32n =-时，方程的解为任意实数；③当34m =，32n ≠-时，方程无解．例题2、 已知方程2ax x b -=+，问a 、b 分别满足什么条件时： （1）方程有唯一解？ （2）方程无解？（3）方程有无穷多个解？ 【答案】 （1）1a ≠；（2）1a =且2b ≠-；（3）1a =，2b =-． 【解析】 方程整理为()12a x b -=+．当10a -≠时，方程有唯一解；当10a -=，20b +≠时，方程无解；当10a -=，20b +=时，方程有无穷多个解．例题3、 若k 为自然数，关于x 的方程kx －4＝x ＋3的解是整数，则k ＝________． 【答案】 0；2；8 【解析】 暂无解析随练1、 若关于x 的一元一次方程x ﹣m+2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A.m≥2B.m ＞2C.m ＜2D.m≤2【答案】 C【解析】 ∵程x ﹣m+2=0的解是负数， ∴x=m ﹣2＜0， 解得：m ＜2．随练2、 关于x 的方程3x －2＝kx ＋5的解是正整数，则整数k 的值为________． 【答案】 2或－4 【解析】 暂无解析随练3、 已知关于x 的方程()210a b x +-=无解，则ab 的值是（ ）A.负数B.正数C.非负数D.非正数【答案】 D【解析】 因为()210a b x +-=无解，所以20a b +=，于是0a b ==或2a b =-，即0ab ≤，故答案为D ． 随练4、 若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则整数k 的值为__________ 【答案】 8k =±【解析】 方程整理为()917k x -=，因为方程的解为正整数，所以90k -≠，所以179x k =-．要使得179k-为正整数，由于k 为整数，因此9k -只能取1或17．随练5、 解下列关于x 的方程：()112323x x a x b -+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 123x a b =--【解析】 去小括号，得11232312x x x b a --=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，去中括号，得23111366x b x x a =+--，移项，得23111366x b x x a =+--，合并同类项，得1126x a b -=+，系数化为1，得123x a b =--随练6、 解关于x 的方程：()2a x b a x ab +-=+．【答案】 当2b ≠时，2ax b =-；当2b =，0a ≠时，方程无解；当2b =，0a =时，x 为任意数． 【解析】 原方程可整理为()2b x a -=，当2b ≠时，2ax b =-；当2b =，0a ≠时，方程无解；当2b =，0a =时，x 为任意数．随练7、 解关于x 的方程1mx nx -=． 【答案】 移项、整理，得()1m n x -=．①当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-； ②当0m n -=，即m n =时，由于10≠，因此方程无解 【解析】 移项、整理，得()1m n x -=．①当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-； ②当0m n -=，即m n =时，由于10≠，因此方程无解随练8、 已知关于x 的方程()16326a x a x x +=--，问当a 取何值时：（1）方程无解？（2）方程有无穷多解？ 【答案】 （1）1a =-；（2）1a =【解析】 原方程可整理为()()121a x a -=-．当10a -=，()210a -≠时，方程无解；当10a -=，()210a -=时，方程有无穷多解．一元一次方程的同解问题例题1、 若方程2x+1=﹣1的解也是关于x 的方程1﹣2（x ﹣a ）=2的解，则a 的值为__．【答案】 ﹣12【解析】 方程2x+1=﹣1， 解得：x=﹣1，代入方程得：1+2+2a=2，解得：a=﹣12，例题2、 已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和方程3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值．【答案】 2711a =【解析】 关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解为37x a =，3151128x a x +--=的解为27221a x -=．由题意得，3272721a a -=，解得2711a =． 例题3、 如果方程42832x x -+-=-的解与关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解相同，求1a a-的值． 【答案】 1154a a -=-【解析】 方程42832x x -+-=-的解为10x =，关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解为52x a =-，因此5102a -=，所以4a =-，1154a a -=-． 随练1、 若关于x 的()40k m x ++=和()210k m x --=是关于x 的同解方程，则2km-的值是________【答案】 53-【解析】 由题意知，0k m +≠，20k m -≠．关于x 的()40k m x ++=的解为4x k m=-+，()210k m x --=的解为12x k m =-．由题意得，412k m k m -=+-，解得13k m =．含绝对值的一次方程例题1、 已知关于x 的方程()22mx m x +=-的解满足1102x --=，则m 的值是（ ） A.10或25B.10或25-C.10-或25D.10-或25-【答案】 A【解析】 本题考查的是含绝对值的方程．先由1102x --=， 得32x =或12x =-；再将32x =和12x =-分别代入()22mx m x +=-，求出10m =或25故选A ．例题2、 方程|2x+3|=1的解是_____． 【答案】 x=﹣1或x=﹣2【解析】 根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．解：当x ＜﹣32时，原方程化简为﹣2x ﹣3=1，解得x=﹣2，当x ≥﹣32时，原方程化简为2x+3=1，解得x=﹣1，综上所述：方程|2x+3|=1的解是x=﹣1或x=﹣2， 故答案为：x=﹣1或x=﹣2． 例题3、 解下列方程： （1）331x -= （2）120x +-= （3）6232x -+= （4）()311x x -=+（5）132132x --= （6）()121133x -+=【答案】 （1）43x =或23x =；（2）1x =或3x =-；（3）1x =-或5x =-；（4）2x =±；（5）2x =；（6）0x =或2x =．【解析】 （1）331x -=±，解得43x =或23x =；（2）12x +=±，解得1x =或3x =-； （3）32x +=±，解得1x =-或5x =-； （4）2x =，解得2x =±；（5）1102x -=，解得2x =；（6）11x -=±，解得0x =或2x =．随练1、 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则m 、n 、k的大小关系是（ ） A.m k n >> B.n k m >> C.k m n >> D.m n k >>【答案】 D【解析】 由题意知，0m >、0n =、0k < 随练2、 解下列方程：（1）214x x -+= （2）()1311232x x x ---=+ （3）421x x +--=【答案】 （1）53x =或3x =-；（2）1613x =或423x =-；（3）12x =- 【解析】 （1）当210x -≥，即12x ≥时，原方程等价于214x x -+=，解得53x =；当210x -<，即12x <时，原方程等价于()214x x --+=，解得3x =-．（2）553163x x -=+，当13x ≥时，553163x x -=+，解得1613x =；当13x <时，551363x x -=+，解得423x =-．（3）利用零点分段法．当4x <-时，方程等价于()()421x x -++-=，无解；当42x -≤≤时，方程等价于()421x x ++-=，解得12x =-；当2x >时，方程等价于()421x x +--=，无解．拓展1、 已知a 是有理数，在下面4个命题： （1）方程0ax =的解是0x =．（2）方程ax a =的解是1x =．（3）方程1ax =的解是1x a=．（4）方程a x a =的解是1x =±． 其中，结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A【解析】 系数含有参数时，一定要考虑参数是否为0，分类讨论．当0a =时，均不成立，故答案为A ．2、 某同学在解关于x 的方程21133x x a-+=-去分母时，方程右边的1-没有乘以3，因而求得方程的解为2x =，试求a 的值，并求出方程的正确解． 【答案】 2a =，方程的正确解为0x =【解析】 先按照错误的方法（方程右边的1-没有乘以3）求出a 的值（2a =），然后再将2a =代入原方程求出方程的解．3、 我们规定：若x 的一元一次方程ax b =的解为b a -，则称该方程为定解方程，例如：932x =的解为93322-=，则该方程932x =就是定解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）若x 的一元一次方程2x m =是定解方程，则m = ；（2）若x 的一元一次方程2x ab a =+是定解方程，它的解为a ，求a ，b 的值； （3）若x 的一元一次方程2x mn m =+和2x mn n -=+都是定解方程，求代数式()(){}()2212114322m n mn m m mn n n ⎡⎤⎡⎤-+---+--+-⎣⎦⎣⎦的值．【答案】 （1）4m =（2）2a =，1b =（3）149-【解析】 （1）由题意可知2x m =-，由一元一次方程可知2mx =，因此22mm -=，解得4m =．（2）由题意可知2x ab a =+-，由一元一次方程可知2ab ax +=，又因为方程的解为a ，因此2ab aa +=，2ab a a +-=解得2a =，1b =．（3）由题意可知4mn m +=，43mn n +=-，两式相减，得163m n -=．代入，求得原式149=-．4、 若方程3x －5＝1与方程2102a x--=有相同的解，则a 的值等于________．【答案】 2【解析】 暂无解析5、 已知关于x 的方程()()235231326kx x +++=有无数个解，求k 的值． 【答案】 52k =【解析】 原方程可整理为()4100k x -=，要使原方程有无数个解，则4100k -=，解得52k =．6、 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2136kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．【答案】 5-【解析】 将1x =代入原方程，整理可得()472b k a +=-．由题意知，无论k 为何值，上式恒成立，即上述方程的解为任意数．因此40b +=，720a -=，所以72a =，4b =- 7、 当k 取何值时，关于x 的方程()315x kx +=-有不大于1的解．【答案】 1k ≥-或3k <-【解析】 解方程()315x kx +=-得23x k =+，根据题意得213k≤+，当30k +>时，23k ≤+，得1k ≥-；当30k +<时，23k ≥+，解得1k ≤-，所以3k <-．综上可得1k ≥-或3k <-8、 当整数m 取何值时，关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的解是正整数？【答案】 2,3m =【解析】 原方程可化简为()12m x -=，由于原方程有解，因此解为21x m =-．由题意知，21m -为正整数，且m为整数．因此11,2m -=，所以2,3m =9、 已知关于x 的方程5241x m x +=+和方程5281x m x +=+的解相同， （1）求m 的值； （2）求代数式()201320127225m m ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值．【答案】 （1）12m =；（2）()20132012722255m m ⎛⎫+⋅-=- ⎪⎝⎭【解析】 关于x 的方程5241x m x +=+的解为12x m =-，5281x m x +=+的解为213m x -=．由题意得，21123m m --=，解得12m =． 10、 解下列关于x 的方程：（1）6232x -+= （2）225x x ++= （3）1132x x -=- （4）237x x ++-= 【答案】 （1）1x =-或5x =-；（2）1x =；（3）4x =；（4）4x = 【解析】 （1）32x +=±，解得1x =-或5x =-；（2）当20x +≥，即2x ≥-时，方程等价于225x x ++=，解得1x =．当20x +<，即2x <-时，方程等价于()225x x -++=，解得7x =．因为72>-，舍去． （3）当1102x -≥，即2x ≥时，方程等价于1132x x -=-，解得4x =；当1102x -<，即2x <时，方程等价于1132x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得83x =，舍去． （4）利用零点分段法．当2x <-时，方程等价于()()237x x -+--=，解得3x =-； 当23x -≤≤时，方程等价于()237x x +--=，无解； 当3x >时，方程等价于237x x ++-=，解得4x =． 11、 解绝对值方程：1238412x x x ++=+- 【答案】 14x ≤-【解析】 原方程整理为4114x x +=--．即41x +的绝度值等于它的相反数，因此410x +≤，因此方程的解为14x ≤-．12、 若关于x 的方程1202x x b --+=有2个不同的解，则b 的取值范围为_____________．【答案】 1b <【解析】 该题考查的是含参绝对值方程． 当2x ≥时，原方程化简为22xb =-，即42x b =-，方程要有解，则必有422b -≥，所以，1b ≤； 当2x <时，原方程化简为322x b =+，即2433x b =+，方程要有解，则必有24233b +<，所以，1b <， 从而b 的取值范围是1b <．。
新-24.含参数及绝对值的一元一次方程
16. 【中】（天津市南开区 2010-2011 学年度第一学期期中质量检测七年级数学试卷）当 m = ________时，关于 x 的方程 4x − 2m = 3x − 1的解是 x = 2x − 3m 的解的 2 倍． 【答案】由 4x − 2m = 3x − 1可知 x = 2m −1 ，由 x = 2x − 3m 可知 x = 3m ∵关于 x 的方程 4x − 2m = 3x − 1的解是 x = 2x − 3m 的解的 2 倍 ∴ 2m −1 = 2 × 3m
13. 【易】（2010-2011 学年湖北省武汉市武珞路中学七年级）方程 2x + 1 = 3 与
2 − a − x = 0 的解相同，则 a 的值是（ ） 2
A、7
B、0
C、3
D、5
【答案】D
14. 【易】（十一学校 2010-2011 学年度第一学期初一一区数学期中练习试卷）若关于 x
的方程：10
a − 2a + 3a − 4a + 5a − 6a + ... + 99a − 100a 的值．
【答案】方程 3a + x = ax + 3 的解为 x = 4 ，则有 3a + 4 = 4a + 3 ，求得 a = −1 ，
2
2
a − 2a + 3a − 4a + 5a − 6a + ... + 99a − 100a = −50a = 50 ．
【答案】由题意，该同学去分母后所得到的方程为 2x − 1 = x + a − 1
将 x = 2 代入该方程，得到 4 − 1 = 2 + a − 1 ，解得 a = 2
将 a = 2 代入原方程，得到 2x −1 = x + 2 −1，解得 x = 0
初中数学知识归纳解含有参数的方程
初中数学知识归纳解含有参数的方程参数在数学中是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种不确定的情况。
在代数学中，我们经常会遇到一类特殊的方程，即含有参数的方程。
下面我将对初中数学中关于含有参数的方程的解法进行归纳总结。
一、一次方程一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的参数。
我们可以通过移项，将参数项和常数项分开，然后根据x的系数求解x的值。
例题1：求方程2x + a = 0的解。
解：将参数项和常数项分开，得到2x = -a。
然后将方程两边都除以2，得到x = -a/2。
所以方程的解为x = -a/2。
例题2：求方程3x + 2a = 5的解。
解：将参数项和常数项分开，得到3x = 5 - 2a。
然后将方程两边都除以3，得到x = (5 - 2a)/3。
所以方程的解为x = (5 - 2a)/3。
二、二次方程二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的参数。
我们可以通过求解方程的根来求得方程的解。
例题3：求方程x² + a² = 0的解。
解：根据平方根的性质，方程的解可以表示为x = ±√(-a²)。
由于在实数范围内，-a²是负数，所以方程的解不存在实数解。
但在复数范围内，我们可以得到x = ±i√(a²)，其中i是虚数单位。
例题4：求方程x² + 2ax + a² = 0的解。
解：根据二次方程的求解公式，可以得到方程的根为x = (-2a ±√(4a² - 4a²))/2，即x = (-2a ± 0)/2，即x = -a。
所以方程的解为x = -a。
三、分式方程分式方程是含有参数的方程中经常遇到的一类。
我们可以通过整理方程，将参数项和常数项整理到一起，然后利用等式两边的性质求解。
例题5：求方程(3/a)x + (3/b) = 1的解。
含参一元一次方程组的讲解
含参一元一次方程组的讲解
含参一元一次方程是指方程中的系数或常数项由参数表示的一元一次方程。
解这类方程时，我们需要根据参数的不同取值，对方程的解进行分类讨论。
以下是一些基本的解法：
唯一解：当方程的系数不等于0时，方程有唯一解。
例如，对于方程 ax=b，当 a=0 时，方程有唯一解 x=ab
无数解：当方程的系数和常数项都等于0时，方程有无数解。
例如，对于方程 0x=0，x 可以取任意值。
无解：当方程的系数等于0，但常数项不等于0时，方程无解。
例如，对于方程 0x=4，x 无解
在解含参一元一次方程时，我们需要根据参数的取值，对以上三种情况进行分类讨论。
例如，对于方程 ax+b=0，我们需要分别讨论 a=0，a=0 且 b=0，以及 a=0 且 b=0 这三种情况
此外，还有一些特殊的题型，如同解方程、绝对值方程等，也需要我们掌握。
例如，对于同解方程，我们可以先求出一个方程的解，然后将这个解代入另一个方程，从而求出参数的值。
(完整)含参数一元一次方程、含绝对值一元一次方程
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一． 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题2. 两个一元一次方程同解问题3. 已知方程解的情况求参数4. 一元一次方程解的情况(分类讨论）二： 解含有绝对值的一元一次方程 一. 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题（常数分离法）例题1:⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -= 119x k=- ∵,x k 均为整数 ∴91,11k -=±± ∴2,8,10,20k =-⑵ 【中】 关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程(1)则,m n 应满足的条件为：___m ,____n ； (2)若此方程的根为整数,求整数=____m答案：(1)1,1≠=;(2）由(1）可知方程为(1)3m x -=, 则31x m =- ∵此方程的根为整数.∴31m -为整数又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=-- ∴2,0,2,4m =-测一测1: 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )A.2B.3C.1或2D.2或3 答案：D方程143+=+x ax 可化简为:()24-=-x a 解得42--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则k 的值为___________答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -= 即：179x k=-，x 为正整数,则88k =或- 测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m =2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________【答案】第二个方程的解为3x =,将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =⑵ 【中】若关于x 的方程：k(x+3)(2)10354k x x --=-与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求___k = 【答案】由方程k(x+3)(2)10354k x x --=-解得x=2, 代入方程1252(1)3xx --+=中解得k=4测一测1：【易】方程213x +=与202a x--=的解相同，则a 的值是（ ) A 、7 B 、0 C 、3 D 、5 【答案】D第一个方程的解为1x =，将1x =代入到第二个方程中得:12=02a --，解得5a = 例题3： 【中】 若关于x 的方程231x -=和32x kk x -=-解互为相反数，则k 的值为(） A. 143- B 。
第五讲 一元一次方程——含参方程2稿
第五章一元一次方程知识框图知识梳理一、等式的概念和性质1、等式的概念用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则。
2、等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
若a b=，则a m b m±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b=，则am bm=，a bm m=(0)m≠注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。
（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。
（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b=，那么b a=；②等式具有传递性，即：如果a b=，b c=，那么a c=；二、方程的相关概念1、方程含有未知数的等式叫作方程。
注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。
2、方程的次和元方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。
号3、方程的已知数和未知数已知数：一般是具体的数值，如50x+=中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）。
未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示。
4、方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
5、解方程求得方程的解的过程。
注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的6方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。
三、一元一次方程的定义1、一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。
含参一元一次方程
【引例】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入另一个方程．⑴已知：关于x 的方程42x k -=与()322x k +=的解相同，求k 的值及相同的解．⑵若关于x 的方程5342x x =-和12524a x ax x -=+有相同的解，求a 的值．⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2k m-的值．当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=．②当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数．③当0a =且0b ≠时，方程无解．【引例】当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解．【例1】⑴已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5ab a b x x a b a b+-=-++的解.⑵若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk +--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．【例2】解关于x 的方程()()134m x n x m -=-绝对值方程【引例】解绝对值方程：15x -=【例3】若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是（）A ．m n k <<B ．m n k ≤≤C ．m n k >>D ．m n k≥≥【例4】解绝对值方程：⑴4812x +=⑵4329x x +=+⑶方程125x x -++=的解是．难点：已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．。
《含参一元一次方程100题》
含参一元一次方程100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元一次方程这一部分的计算能力。
大致分了五个模块：①一元一次方程概念相关（10题）；②同解问题（51题）；③整数解问题（13题）④方程解的情况（21题）⑤错解问题（5题）；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一一元一次方程概念相关方法总结：一元一次方程：指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
“110”：1个未知数、未知数次数为1、未知数系数不为0一般步骤：①确定系数、次数；②使次数为1，系数不为0；③求解.易错总结：①不要忘记系数不为0；②计算要细心.例题解析：关于x的方程(a−1)x b−1−2=0是一元一次方程，则a,b的取值情况.解：∵(a−1)x b−1−2=0是关于x的一元一次方程∴a−1≠0且b−1=1……【次数为1，系数不为0】解得：a≠1，b=2巩固练习：1.x m−1−4=0是关于x的一元一次方程，那么m的值是多少？2.已知3x|n−1|+5=0为一元一次方程，则n的值是多少？3.关于x的方程(a−2)x|a|−1−2=0是一元一次方程，则a的值是多少？4.关于x的方程(a+2)x|a|−1−2=1是一元一次方程，则a的值是多少？5.若关于x的方程(m−1)x|m|−3=0是一元一次方程，则m的值是多少？6.若(m+3)x|m|−2+2=1是关于x的一元一次方程，则m的值为多少？7.已知方程(k−3)x|k|−2+5=k−4是关于x的一元一次方程，则k的值是多少？8.若方程(2a−1)x2−ax+5=0是关于x的一元一次方程，则a的值是多少？9.若方程(m2−1)x2+(m−1)x+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是多少？10.已知方程2+(k−2)x|k−1|+k−3=0是关于x的一元一次方程，求方程的解．模块二同解问题方法总结：若两个方程同解：①一个方程不含参数,另外一个方程含有参数：先求出一个方程的解，然后将该解代入另一方程；②两个方程都含有参数：分别求出两个方程的解，再令解相等求出参数的值。
含参数的一元一次方程
6 x m 1
∴m+1=1; 或m+1=2; 或m+1=3; 或m+1=6
∴m=0或1或2或5
练习:
1.若关于x的方程9x-17=kx的解为正整数， 则k的值为_______
2.已知关于x的方程4x-5=kx+4有整数解， 那么满足条件的所有整数k=_____
练习:
3.解关于x的方程 方程(1)
含参数的一元一次方程
讨论关于x的方程:
ax=b的解的情况．
试一试: 解关于x的方程:(1)ax=74, (2)ax=a
74 解:(1)当a≠0时,x= a
当a=0时,方程左边=0,右边+4=3x-n，分别求m， n为何值时，原方程： （1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解．
例2.若a、b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 2 程，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a、b的值．
请你说一说解含参数的一元一次方程 方法及注意事项
例3.已知m为整数，关于x的方程x=6-mx 的解为正整数，求m的值． 解:移项,得,x+mx=6 合并同类项,得 (m+1)x=6 系数化为1,得 ∵ m为整数且 x为正整数
课后巩固作业: 培优新观察第55,56页!
业精于勤, 荒于嬉; 行成于思, 毁于随.
3 x 2a 1 4( x a) 2
方程(2)
22( x 3) 3( x a) 3a
变式练习
方程(1)
方程(2)
22( x 3) 3( x a) 3a
3 x 2a 1 4( x a) 2
1.若两个关于x的方程的解相等、互为相反数, 请求出a的值; 2.若方程(1)的解是方程的解的2倍少1, 请求出a的值.
含参数的一元一次方程含绝对值的一元一次方程
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一. 含有参数的一兀一次方程1.整数解问题2.两个一元一次方程冋解问题3.已知方程解的情况求参数4. 一兀一次方程解的情况(分类讨论) 一：解含有绝对值的一兀一次方程一.含有参数的一兀一次方程1.整数解问题(常数分离法)⑴ 【中】已知关于x的方程9x 3 kx 14有整数解，求整数k例题1:答案：(9 k)x 11T x,k均为整数/.9 k 1, 11/.k 2,8,10,20⑵【中】关于x的方程(n 1)x2m 1 x 3 0是兀次方程(1)则m,n应满足的条件为：m ,n ；(2)右此方程的根为整数，求整数m=答案：(1) 1, 1；(2)由(1)可知方程为(m 1)x 3,则x —m 1T此方程的根为整数./ 3为整数m 1「•m 2,0, 2,4测一测1 :【中】 关于x 的方程ax 3 4x 1的解为正整数，则整数a 的值为（） A.2 B.3 C.1 或 2D.2 或 3答案： D方程ax 3 4x 1可化简为：a 4 x 2 解得x 2 解为正整数，a 4a 4 1或2 a 2或3测一测2 :【中】 关于x 的方程9x 17 kx 的解为正整数，则k 的值为____________________答案：9x 17 kx 可以转化为（9 k ）x 17即:x 也,X 为正整数，则k 8或-89 k测一测3：【中】m 为整数，关于x 的方程x 6 mx 的解为正整数，求m _________________答案：由原方程得：x 亠，x 是正整数，所以m 1只能为6的正约数，m 1m 1 1,2,3,6 所以 m 0,1,2,52. 两个一元一次方程同解问题例题2 :⑴ 【易】若方程ax 2x 9与方程2x 1 5的解相同，贝S a 的值为 _______________【答案】第二个方程的解为x 3，将x 3代入到第一个方程中，得到3a 6 9解得解相同，求k _【答案】由方程10 kx 旦3x 竺直解得x=2 ,5 4代入方程5 2（x 1）打2x 中解得k=4测一测1：【易】方程2x 1 3与2仝」0的解相同，贝S a 的值是（）2 A 、7 B 、0 C 、3 D 、5【答案】D第一个方程的解为x 1，将x 1代入到第二个方程中得：2』」=0，解得a 52例题3 : 【中】 若关于x 的方程2x 3 1和N 上k 3x 解互为相反数，则k 的值为2()【中】若关于x 的方程: a 510 k(x+3) 5 3x 咛与方程5 2（x 1）呼的测一测1：【易】 某书中有一道解方程的题:x , ?处在印刷时被墨盖住了, A.14 14 B.兰 C. k u 11 D. k3 33 3【答案】 A 首先解方程2x 3 1 得：x 2；把x 2代入方程x k2k 3x ，得到: 2 k 3x ； 得到：k 134测一测1 :【中】当m= _________ 时，关于X 的方程4x 2m 3x 1的解是x 2x 3m 的解的2倍由 4x 2m 3x 1 可知 x 2m 1，由 x 2x 3m 可知 x 3m【答案】13代入到方程中，得|1x 2| b ，解得b已知x 4是方程3kx 6 0的解，则k 1999 2 【答案】x 4代入到方程中，得3k 4 6 0,解得k 12⑵【易】 某同学在解方程5x 1 ?x 3，把？处的数字看错了，解得x该同学把？看成了 _________ 。
【精品】第04讲含参数的一元一次方程(学生版)A4
一个字母都可以当做未知数．但是一般情况下，当
a、 b、 c 与 x、y、z 同时出现在一个方程时，我
们会约定俗成地认为， x、y、z 是未知数， a、 b、 c 是（已知数）参数．因此，我们通常会说关于
x 的方程 ax b ，这样比较严谨，就不会出现纠结谁是未知数的问题．
二．常数项含参数的一次方程
对未知数系数不含参数，常数项含参数的方程，在运算中就把参数当成普通的数字来对待，带
0 和 2k m x 1 0 是关于 x 的同解方程，则
k 2 的值是 m
随练 1.12 若关于 x 的方程 2 x 3 m 0 无解， 3x 4 n 0 只有一个解， 4x 5 k 0 有两个
解，则 m、 n、 k 的大小关系是（ ）
A． m k n
B． n k m
C． k m n
D． m n k
3
3
方程的解为 x 2 ，试求 a 的值，并求出方程的正确解．
1没有乘以 3，因而求得
作业 4 我们规定：若 x 的一元一次方程 ax b 的解为 b a ，则称该方程为定解方程，例如：
9
9
3
3x 的解为 3 ，则该方程 3x
2
2
2
请根据上边规定解答下列问题：
9 就是定解方程．
2
（ 1）若 x 的一元一次方程 2x m 是定解方程，则 m
题模精讲
题模一：参数的概念
例 1.1.1 已知关于 x 的方程 4ax 5b 3x 6 5c ，其中参数是 __________，未知量是 __________ ， 常数项是 __________ ． 题模二：常数项含参的一次方程
例 1.2.1 某同学在解方程 5a－ x=13（x 为未知数）时，误将－
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初一部分知识点拓展◆含参数的一元一次方程 复习：解方程：（1）215123+=--x x （2）)4(x -40%+60%x =2 （3）14.01.05.06.01.02.0=+--x x （4）)1(3212121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x x ）（一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论）1、讨论关于x 的方程b ax =的解的情况.2、已知a 是有理数，有下面5个命题：（1）方程0=ax 的解是0=x ； （2）方程1==x a ax 的解是； （3）方程ax ax 11==的解是； （4）方程a x a =的解是1±=x （5）方程1)1(+=+a x a 的解是1=x中，结论正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3二、含参数的一元一次方程中参数的确定 ①根据方程解的具体数值来确定例：已知关于x 的方程323+=+axx a 的解为4=x变式训练： 1、已知方程)1(422-=+x ax 的解为3=x ，则=a ； 2、已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足方程021=-x ，则=m ； 3、如果方程20)1(3)1(2+=--+a x x 的解为，求方程：[]a a x x 3)(3)3(22=--+的解.②根据方程解的个数情况来确定例：关于x 的方程n x mx -=+34，分别求n m ，为何值时，原方程： （1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解.变式训练：1、已知关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多个解，那么=a ，=b .2、若关于x 的方程512)2(+=+x b x a 有无穷多个解，求b a ，值.3、已知关于x 的方程)12(6123--=+x x m x 有无数多个解，试求m 的值.4、已知关于x 的方程5)12()2(3+-=+x b x a 有无数多个解，求a 与b 的值.5、x b ax x b a 是关于0)23(2=+++的一元一次方程，且x 有唯一解，求x 的值.③根据方程定解的情况来确定例：若b a ，为定值，关于x 的一元一次方程2632=--bxx ka ，无论k 为何值时，它的解总是1=x ，求b a 和的值.变式训练:1、如果b a 、为定值，关于x 的方程6232bkx a kx -+=+，无论k 为何值，它的解总是1，求b a 和的值.④根据方程公共解的情况来确定 例：若方程325328)1(3xk x x x -=++=+-与方程的解相同，求k 的值.变式训练：1、若关于x 的方程03=+a x 的解与方程042=-x 的解相同，求a 的值.2、已知关于x 的方程18511234)2(23=--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x a x x a x x 和方程有相同的解，求出方程的解.⑤根据方程整数解的情况来确定例：m 为整数，关于x 的方程mx x -=6的解为正整数，求m 的值.变式训练：1、若关于x 的方程kx x =-179的解为正整数，则k 的值为 ；2、已知关于x 的方程1439+=-kx x 有整数解，那么满足条件的所有整数=k ；3、已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223+--=a a a ax 有整数解，则a 的值共有（ ） A.1个 B.6个 C.6个 D.9个◆含绝对值的方程：一、利用绝对值的非负性求解例题1：已知n m ，为整数，n m n m m +=++-，求02的值.练习：1、已知n m ，为整数，n m n m m +=-+-，求12的值.2、已知)421(410)124(2323124++-=-+--b b a a a b b a ，求.二、形如)0(≠=+a c b ax 型的绝对值方程解法： 1、当0<c 时，根据绝对值的非负性，可知此方程无解；2、当0=c 时，原方程变为0=+b ax ，即a bx b ax -==+，解得0；3、当0>c 时，原方程变为c b ax c b ax -=+=+或，解得abc x a b c x --=-=或 例题2：解方程532=+x .练习：（1）01263=-+x （2）0545=++x三、形如)0(≠+=+ac d cx b ax 型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的非负性可知，0≥+d cx 求出x 的取值范围；2、根据绝对值的定义将原方程化为两个方程)(d cx b ax d cx b ax +-=++=+和；3、分别解方程)(b cx b ax b cx b ax +-=++=+和；4、将求得的解代入0≥+d cx 检验，舍去不合条件的解. 例题3：解方程525-=--x x练习：（1）9234+=+x x （2）43234+=--x x例题4：如果044=-+-a a ，那么a 的取值范围是多少.变型题：已知022=-+-x x ，求（1）2+x 的最大值；（2）x -6的最小值.练习：1、解关于x 的方程02552=-+-x x .2、已知关于x 的方程06363=+++x x ，求25+x 的最大值.四、形如)(b a c b x a x <=-+-型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的几何意义可知b a b x a x -≥-+-；2、当b a c -<时，此时方程无解；当b a c -=时，此时方程的解为b x a ≤≤； 当b a c ->时，分两种情况：①当a x <时，原方程的解为2cb a x -+=； ②当b x >时，原方程的解为2cb a x ++=.例题5：解关于x 的方程213=-+-x x变型题：解关于x 的方程21443=-+-x x练习：解关于x 的方程（1）752=-++x x （2）75222=-++x x例题6：求方程421=++-x x 的解.练习：解关于x 的方程（1）723=++-x x （2）62152=+++x x例题7：求满足关系式413=+--x x 的x 的取值范围.练习：解关于x 的方程（1）321=+--x x （2）752=--+x x7升8数学金牌班课后练习1、已知012=--x x ，代数式200823++-x x 的值是 ；2、已知关于x 的方程323+=-xx a 的解是4，则=--a a 2)(2 ； 3、已知2+=x x ，那么2731999++x x 的值为 ； 4、321=-++x x ，则x 的取值范围是 ； 5、088=-+-x x ，则x 的取值范围是 .6、已知关于x 的一次方程07)23(=++x b a 无解，则ab 是（ ）； A 正数 B.非正数 C.负数 D.非负数7、方程011=-+-x x 的解有（ ）；A.1个B.2个C.3个D.无数个 8、使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是（ ）； A.-2 B.0 C.32D.不存在 9、若关于x 的方程只有一个解，无解，043032=+-=+-n x m x 054=+-k x 有两个解，则k n m 、、的大小关系是（ ）； A.k n m >> B.m k n >> C.n m k >> D.n k m >> 10、解下列关于x 的方程（1）01078=+-x （2）428-=--x x（3）963=--+x x （4）451=-+-x x（5）9234+=+x x （6）612=++-x x（7）43212=+--x x （8）75345=++-x x（9）2004112=--x11、若0)3(2=-+-y y x ，求y x 32+的值.※12、已知y y x x +---=-++15911，求y x +的最大值与最小值.◆含参的二元一次方程组类型一、基本含参的二元一次方程组例题1：已知方程组{ky x k y x =++=-321143的解y x ，满足方程35=-y x ，求k 的值。
总结：对于这一类含有参数的题目，并且求参数的问题，方法非常多，同学在学习时，可以经常练习多寻找一下各个系数之间的关系，这样能够锻炼同学们的观察能力！练习：1.已知方程组{327262=-=+y x ky x 的解满足方程1929-=+y x 的解，求k 的值。
2.已知方程组{ky kx y x 62382=+=+的解满足方程10=+y x ，求k 的值。
3.已知关于y x ，的方程组{my x m y x 329=+=-的解满足方程1723=+y x ，求m 的值。
类型二、含参的二元一次方程组解的情况探讨对于二元一次方程组{111222c y b x a c y b x a =+=+的解的情况有以下三种： ①⇔==212121c c b b a a 方程组有无数多解；（两个方程式等效的） ②⇔≠=212121c c b b a a 方程组无解；（两个方程式矛盾的） ③⇔≠2121b b a a 方程组有唯一的解。
例题2：当b a 、满足什么条件时使得方程组{752=+=+y x b y ax 满足：（1）有无数多解；（2）无解；（3）有唯一解。
练习：1.二元一次方程组{bay x y x =+=+324，当b a 、满足什么条件时，（1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无数解。
2.当b a 、满足什么条件时，方程3)182(2=-x b 与方程组{1523=--=-y ax b y x 都无解。
3.解关于y x ，的方程组{52752=+=-ax by x ；若当21=x 时，该方程的解y x ，互为相反数，求此时b a ，的值。
类型三、同解方程组问题例题3：已知关于y x ，的二元一次方程组{373=+-=-y x y x 和方程组{79=+-=-by ax by ax 的解相同，求b a 、的值。
例题4：已知关于y x ，的二元一次方程组{10329=+=+y x by ax 与方程组{8234=-=-ay bx y x 的解相等，试求b a 、的值。
练习：1.若关于y x ，的方程组{31=+=-y x y x 与{84=+=-ny mx ny mx 的解相同，求n m ，的值。
2.已知关于y x ，的二元一次方程组{3321=--=+y x by ax 和{1123332=+=+y x by ax 的解相同，求2012)3(b a +的值为多少？3.解方程组{432765=+=+y x y x ，并将其解与方程组{543876=+=+y x y x 的解进行比较，这两个方程的解有什么关系？4.若关于y x ，的两个方程组{b y x ay x =-=-2与{123853+=--=-b y x a x y 有相同的解，求b a ，的值。