常用的些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

1.三重标量积

如a ，b 和c 是三个矢量，组合

()a b c

⨯•叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三

个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为

(),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1

2

3

1

2

3

,,,,,a a a a b b b b 及()1

2

3

,,c c c c 则有

(

)()

123123123123

123123

c c c i jk

a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ⨯•=•++=

因此，三重标量积必有如下关系式：

()()()a b c b c a c a b ⨯•=⨯•=⨯•即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。2.三重矢量积

如a ，b 和c 是三个矢量，组合

(

)

a b c

⨯⨯叫做他们的三重标量积，因有

()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯

故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:

()

()()a b c a b c a c b

⨯⨯=-•+• （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()

a b c b a c b a c

•=⨯⨯+• （1-210）

3.算子（

a ∇

）

∇

是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（

a ∇

）则是一个标量算子，将它作用于标量φ

，即

()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量

d r

代替以上矢量a

，则()dr φ

∇是φ在位移方向

d r

的变化率的

d r

倍，即

d φ

。

()

()d dr dr φφφ=∇=∇

若将

()

dr ∇作用于矢量v

，则

()dr v

∇就是v 再位移方向

d r

变化率的

d r

倍，既为速度矢量

的全微分

()

dv dr v

=∇

应用三重矢量积公式（1-209

）

()()()

00()()()()

a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=•∇-•∇-∇•+∇•

应用三重矢量积公式（1-210）又有

()()()

00()()()()a b a b a b a b a b b a b a

∇•=∇•+∇•=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇•

将以上两式结合（相减）后可得

()

{()}

1

()()()()()

2

a b a b a b b a a b b a a b ∇=

∇•-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇•+∇• 一个重要的特例，令a b v ==，因()

0v v ∇⨯⨯=则有21

()()

2

v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇

的应用 令φ是标量，a 是矢量，

;a b

为并矢量，则有

00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a a

a b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇•+•∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇•-∇∇=∇+∇=∇•+•∇

在直角坐标中，令

2222

222

()x y z y x z

x y z

x y z

a ia ja ka i

j k x y z a a a

a x y z i jk

a x y z a a a x y z

a a a a x y z

φφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇•=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=

∂∂∂∂∂∂∇=∇•∇=++∂∂∂∂∂∂

∇=++∂∂∂

对一组正交曲线坐标系

123(,,)

εεε，其单位矢量123(,,)

e e e ，将任意位置矢量

R

变分写为

111222333

R h d e h d e h d e δεεε=++

其中

123

,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，

R dxi dx j dxk

δ=++，所以

1231h h h ===。在柱坐标

(,,)

r z ϕ中，因

r z

R dre rd e dze ϕδφ=++，所以1321,h h h r

===。在球坐标

(,,)

r θϕ中，因

sin r R dre rd e r e θθ

δθθ=++，所以

1231,,sin h h r h r θ

===。

在任意正交曲线坐标系中，令φ

是标量，矢量

112233

a a e a e a e =++，则有

312112233

231312231123133112233

123123

112233

()()()11e e e h h h h h a h h a h h a a h h h h e h e h e a h h h h a h a h a φφφ

φξξξξξξξξξ∂∂∂∇=

++

∂∂∂⎫

⎧∂∂∂∇•=

++⎨⎬

∂∂∂⎩⎭

∂∂∂∇⨯=

∂∂∂

单位矢量的旋度和散度为

321

11133122

2311231

2

233112123111222333(1,2,3)

()

1(1,2,3)

1()()()e e h h e h h h h h h e h h h h h h h h h h h h h h h ξξξφφφφξξξξξξ∂∂∇⨯=-∂∂∂∇•=

∂⎫

⎧∂∂∂∂∂∂∇=++⎨

⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭轮换轮换

123(,,)

n n n n 方向梯度

n ∇

作用于矢量a

为

{

{

{

332121111213122131313332221223212332311233112233313231132323()()()()()()a h a h h h

n a e n a n n n n h h h h a a h h h h

e n a n n n n h h h h h h a h a h e n a n n n n h h h h ξξξξξξξξξξξξ⎫∂∂∂∂∇=∇+---⎬∂∂∂∂⎭

⎫∂∂∂∂+∇+-+-⎬∂∂∂∂⎭⎫

∂∂∂∂+∇+

-+-⎬∂∂∂∂⎭