高等数学课后答案第六章习题详细解答

高等数学课后答案第

六章习题详细解答-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

习 题 6—1

1、在平行四边形ABCD 中

设−→

−AB

a −→

−AD

b 试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→

−MC 、

−→

−MD

其中M 是平行四边形对角线的交点

解： 由于平行四边形的对角线互相平分 所以

a

b −→

−−→

−==AM

AC 2 即 (a

b )−→

−=MA

2 于是 2

1-=−→

−MA (a

b )

因为−→

−−→

−-=MA

MC 所以

2

1=−→

−MC (a

b ) 又因a b −→

−−→

−==MD

BD 2 所以2

1=−→

−MD (b

a )

由于−→

−−→

−-=MD MB 所以2

1=−→

−MB (a

b )

2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形. 证： AM =,=，∴=+=+=

AD 与 BC 平行且相等,

结论得证.

3、 求起点为)1,2,1(A ，终点为)1,18,19(--B 的向量→

AB 与12

AB −−→-的坐标表达式.

解：→

AB =j i k j i 2020)11()218()119(--=-+--+--={20,20,0}--, 12

AB −−

→-={10,10,0}

4、 求平行于a ={1，1，1}的单位向量. 解：与a 平行的单位向量为{}1,1,13

1

±

=±a a .

5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),A - (1,1,1),B -(1,1,1),C -- (1,1,1).D -- 解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.

6、 求点),,(z y x M 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.

解：),,(z y x M 关于x 轴的对称点为),,(1z y x M --，关于xOy 平面的对称点为),,(2z y x M -，关于原点的对称点为),,(3z y x M ---.

7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）. 解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a .

8、过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？

解：平行于z 轴的直线上面的点的坐标：x a,y b,z R ==∈；平行于xOy 面的平面上的点的坐标为 z c,x,y R =∈.

9、求点P (2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.

解：到原点的距离为x y 轴的距离为到z

10、 求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：2

22212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,2

22223(57)(21)(32)6M M =-+-+-=

2

22213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立.

11、 在yoz 坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设yoz 坐标面所求点为),,0(z y M ，依题意有||||||MC MB MA ==，从而

222)2()1()30(-+-+-z y 222)2()2()40(++++-=z y

222)2()1()30(-+-+-z y

联立解得2,1-==z y ，故所求点的坐标为)2,1,0(-.

12、 z 轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点. 解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：

222)7()10()40(-+-++z 222)2()50()30(++-+-=z ，

两边平方得914=z ，故所求点为)9

14,0,0(.

13、 求λ使向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行. 解：由b a //得5051012

==

λ

得5

1

=λ.

14、 求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式.

解：a =j j 10)(10-=-⋅={0,10,0}-.

15、求与向量a ={1，5，6}平行，模为10的向量b 的坐标表达式. 解：}6,5,1{6210==a a a ,故 {}6,5,162

10

100±=±=a b .

16、 已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．

解：（1） 264102(349)1248i a b i j k i j k j k +=-+++-=+-; （2）323(6410)2(349)=122048a b =i j k i j k i j k --+-+--+.

17、已知两点A 和(3,0,4)B ，求向量AB 的模、方向余弦和方向角．

解： 因为(1,1)AB =-, 所以2AB =,11

cos ,cos 2

2

αβγ===-,从而 π3α=,3π4β=,2π3

γ=.

18、设向量的方向角为α、β、γ．若已知其中的两个角为π3α=

，2π

3

β=．求第三个角γ．

解： π3α=,2π3β=,由222cos cos cos 1αβγ++=得21cos 2γ=.故π4γ=或3π

4

.

19、 已知三点(1,0,0)=A ，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC 与CA 及其模； （2）BC 的方向余弦、方向角；（3）与BC 同向的单位向量.

解：（1）由题意知{}{}23,01,111,1,0,BC =---=--{}{}12,00,011,0,1,CA =---=-- 故 2,

2==BC CA .

（2）因为{}1,1,0,=--BC 所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：

cos 0

αβγ===，方向角为：3,42ππαβγ===.

（3）与BC 同向的单位向量为：o a =

⎧⎫=⎨⎬⎩⎭BC

BC .