换底公式
以e为底的换底公式
以e为底的换底公式
换底公式是数学中常用的一种计算方法，它与指数的底数有关。
在数学中，经常会遇到需要计算不同底数的指数的情况。
这时，我们可以利用换底公式来简化计算过程。
以e为底的换底公式是指，将以e为底的指数转化为以其他底数为底的指数的公式。
其中，e是一个特殊的数学常数，被称为自然对数的底，约等于2.71828。
换底公式的具体形式为：如果有以e为底的指数a^x，我们可以将它转化为以任意底数b为底的指数，使用下面的换底公式：
logb(a) = ln(a)/ln(b)
其中，logb(a)表示以底为b的对数，ln(a)表示以e为底的对数。
通过换底公式，我们可以将复杂的指数运算转化为对数运算，从而简化计算过程。
这在数学和科学领域中经常被应用到，尤其是在解决指数方程和指数函数的问题时。
需要注意的是，换底公式只适用于以e为底的指数，如果底数不是e，我们需要使用其他的换底公式来进行计算。
此外，在具体应用时，还要注意选择合适的底数和指数，以避免计算错误和数值精度损失。
总之，以e为底的换底公式是一种常用的数学工具，在解决指数问题时具有重要的作用。
通过运用换底公式，我们可以简化复杂的指数运算，提高计算的精确度和效率。
指数运算换底公式
指数运算换底公式好的，以下是为您生成的文章：咱们来聊聊指数运算里那个挺有意思的换底公式。
还记得我读高中那会，数学老师在讲台上激情飞扬地讲着这个知识点，我一开始也是听得云里雾里。
当时班里有个学霸，老师刚讲完他就刷刷刷地做起题来，那速度，真让人羡慕。
咱先来说说啥是指数运算。
指数运算简单来说，就是几个相同的数相乘的一种简便写法。
比如说 2 的 3 次方，就是 2×2×2 = 8 。
这很好理解对吧。
那换底公式是啥呢？它就是logₐb = logₑb / logₑa 。
这看起来有点复杂，不过别怕，咱们慢慢捋捋。
比如说，要计算 log₂8 ，如果直接算可能有点头疼。
但咱们用换底公式，把它变成以 10 为底，那就是 log₁₀8 / log₁₀2 。
然后通过查对数表或者用计算器，就能轻松得出结果啦。
再举个例子，假设要计算 log₃5 ，咱们同样可以用换底公式，把它变成 log₁₀5 / log₁₀3 。
这样是不是感觉思路一下子清晰了很多？在实际解题中，换底公式的用处可大了。
有一次考试，有一道题是让求 log₄6 的值。
我一开始就蒙了，不知道从哪儿下手。
后来突然想到了换底公式，一下子就有了思路，顺利算出了答案，那感觉，就像是在黑暗中突然找到了明灯。
其实啊，数学里的很多公式定理，就像是我们生活中的工具，用对了就能事半功倍。
就像我们组装家具，有了合适的螺丝刀、扳手，就能把那些零散的零件变成一个漂亮实用的家具。
换底公式也是这样，它能让一些看似复杂的指数运算变得简单明了。
只要我们多做几道题，多练练手，就能熟练掌握这个神奇的公式，让数学学习变得更轻松、更有趣。
总之，指数运算的换底公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解、去运用，就一定能在数学的海洋里畅游，攻克一个又一个难题！。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是指以常数为底的对数函数。
对数函数运算公式如下：1. 对数函数定义：对数函数的定义为 y = logₐ(x)，其中 a 为底数，x 为实数。
2.换底公式：- logₐ(x) = logₑ(x) / logₑ(a)，其中 logₑ表示以自然对数为底的对数。
- logₐ(x) = 1 / logₐ(a)。
- logₐ(b) = logₐ(c) / logₐ(b)，其中 b、c 为任意正数。
3.对数函数的性质：- logₐ(1) = 0，对于任意正数 a。
- logₐ(a) = 1，对于任意正数 a。
- logₐ(a^m) = m，对于任意正数 a 和整数 m。
- logₐ(m * n) = logₐ(m) + logₐ(n)，对于任意正数 a、m 和 n。
- logₐ(m / n) = logₐ(m) - logₐ(n)，对于任意正数 a、m 和 n。
- logₐ(m^n) = n * logₐ(m)，对于任意正数 a、m，并且 n 为任意实数。
- a^logₐ(x) = x，对于任意正数 a 和实数 x。
4.常用对数函数：- 以底数 10 的对数函数称为常用对数函数，记为 log(x) 或 lg(x)。
- log(x) 的运算规则与对数函数相同。
5.自然对数函数：- 以底数 e(自然常数) 的对数函数称为自然对数函数，记为 ln(x)。
- ln(x) 的运算规则与对数函数相同。
6.对数函数的图像及性质：-对数函数的图像是一个以点(1,0)为对称轴的增函数，即随着x的增大，y也增大。
- 当 x > 1 时，logₐ(x) > 0；当 0 < x < 1 时，logₐ(x) < 0；当 x = 1 时，logₐ(x) = 0。
-当a>1时，对数函数呈现上凸形状；当0<a<1时，对数函数呈现下凸形状。
以上是对数函数运算公式的大致内容，其中包含了对数函数的定义、换底公式、性质以及常用对数函数和自然对数函数的特点。
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
换底公式的推导过程
换底公式的推导过程换底公式是数学中一种重要的公式，它能将一个底数为非自然数的对数转换为另一个底数的对数，从而方便进行计算。
换底公式在数学、物理、化学等学科的计算中有着广泛的应用。
下面我们将详细介绍换底公式的推导过程、应用实例以及其在实际问题中的意义和价值。
首先，我们来了解换底公式的定义及意义。
换底公式是指将一个底数为非自然数的对数转换为另一个底数的对数的过程。
例如，将底数为2的对数转换为底数为10的对数。
换底公式有助于简化计算，使我们能够更容易地处理不同底数的对数。
接下来，我们来推导换底公式。
换底公式的推导过程主要分为三个步骤：1.指数与对数的互化：根据对数的定义，我们知道loga(b) = c 等价于b = a^c。
当我们将底数从a变为b时，指数c需要相应地进行变化。
我们可以得到如下关系式：logab = loga(a^c) = c。
2.自然对数与常用对数的转换：自然对数的底数为e（自然常数），常用对数的底数为10。
我们可以通过换底公式将自然对数转换为常用对数，或将常用对数转换为自然对数。
转换公式如下：log_a(b) = log_e(b) / log_e(a) （将自然对数转换为常用对数）log_a(b) = log_a(b) * log_e(a) / log_e(b) （将常用对数转换为自然对数）3.换底公式的推导总结：通过以上两个步骤，我们可以得到换底公式：logab = loga(a^c) = c * loga(b)。
这个公式将一个底数为非自然数的对数转换为另一个底数的对数，从而简化了计算。
了解了换底公式的推导过程，我们来看一些实际应用。
换底公式在数学、物理、化学等学科的计算中有着广泛的应用。
例如，在化学中，换底公式可以用于计算反应的热力学概率；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、动量等物理量的对数；在数学中，换底公式可以用于证明一些数学定理。
总之，换底公式作为一种重要的数学工具，在实际问题的解决中具有重要意义。
log之间的转换公式
log之间的转换公式
log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)。
这个公式被称为对数的换底公式。
它允许我们将一个对数表达
式转换为另一个底数的对数表达式。
这个公式的推导涉及到对数的
性质和换底公式的证明，但在使用时我们只需要记住这个公式即可。
举个例子来说明，假设我们有log_2(8)，我们想将其转换为以
底数为10的对数形式。
根据换底公式，我们可以使用以下步骤进行
转换：
log_2(8) = log_10(8) / log_10(2)。
然后我们可以利用常用对数的值（如log_10(2)和log_10(8)）
来计算得到最终结果。
需要注意的是，换底公式适用于任意正数a、b和c，只要这些
对数是有意义的。
另外，当我们在实际计算中使用换底公式时，要
注意对计算精度和结果的有效性进行检验，以避免错误的结果。
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
换底公式的证明
换底公式的证明
GPT: 换底公式是数学中常用的一个公式，用于计算不同底数的对数之间的关系。
以下是换底公式的证明过程：
假设我们要计算以底数a的对数b和以底数c的对数d之间的关系，即求logₐb和logₐd之间的关系。
根据对数的定义，我们有以下等式：
logₐb = y ---- (1)
logₐd = x ---- (2)
我们的目标是找到x和y之间的关系。
假设存在一个常数k，使得a^k = c，即a的k次幂等于c。
我们可以对等式(2)两边同时乘以k，得到：
k * logₐd = x
现在我们需要将logₐb表示为logₐd的形式。
由等式(1)可知：
a^y = b
将上述等式两边同时取k次幂，得到：
(a^y)^k = b^k
a^(k * y) = b^k
由于a^k = c，将其代入上述等式，得到：
c^y = b^k
再次应用对数的定义，将上述等式转换为对数的形式：
logₐb = y = logₐc^y = y * logₐc
将上述结果代入等式(2)，得到：
k * y * logₐc = x
综合以上推导，我们得到换底公式：
logₐb = logₐd / logₐc
这就是换底公式的证明过程。
通过这个公式，我们可以方便地计算不同底数之间的对数关系。
请注意，换底公式中的底数a、b、c应该是正数且不等于1，同时logₐc也应该不等于0。
和你一起学习对数的换底公式
ʏ刘长柏对数的换底公式可以实现不同底数的对数式之间的转化,它可正用㊁逆用,还可以变形应用㊂灵活应用对数的换底公式,有利于提高解题能力和应变能力㊂一㊁换底公式的正用例1 若l o g 142=a ,14b=5,用a ,b 表示l o g 3528=㊂解:因为14b=5,所以b =l o g 145,所以l o g 3528=l o g 1428l o g 1435=l o g 1414+l o g 142l o g 1414+l o g 145-l o g 142=1+a1+b -a㊂对数的换底公式中的底,可由题中的条件决定,也可换为常用对数的底㊂用已知对数的值表示所求对数的值的关键是灵活 换底 ㊂练习1:已知l g 2=a ,l g 3=b ,则l o g 475=( )㊂A .a -b +22a B .b -2a +22aC .b -a +22aD .2a -b +22a提示:因为l o g 475=l g 75l g 4=l g 3ˑ522l g2=l g 3+2l g 52l g 2=l g 3+2(1-l g 2)2l g2,又l g 2=a ,l g 3=b ,所以l o g 475=b +2-2a2a㊂应选B ㊂二㊁换底公式的逆用例2 若2x=5,l o g 35=y ,则x -y x +y=㊂解:因为2x=5,所以x =l o g 25,所以x -y x +y =1y -1x1y +1x =l o g 53-l o g 52l o g 53+l o g 52=l o g 523l o g 56=l o g 623㊂逆向应用对数的换底公式是解答本题的关键㊂练习2:已知2x=3,l o g 289=y ,则yx=㊂提示:由2x=3,可得x =l o g 23㊂因为y =l o g 289,所以y x =l o g 289l o g 23=l o g 389=3l o g 32-2㊂三㊁换底公式的变形应用例3 若12a =3b=m ,且1a -1b=2,则m =㊂解:因为12a =3b=m ,且1a -1b=2,所以m >0且m ʂ1,所以a =l o g 12m ,b =l o g 3m ,所以1a =l o g m 12,1b =l o g m 3,所以1a -1b=l o g m12-l o g m 3=l o g m4=2,所以m =2㊂换底公式的变形式l o g ab =1l o g ba ,体现了底数㊁真数交换后,两个对数的关系㊂本题将指数式转化为对数式,求出1a ,1b ,代入1a -1b=2,再利用对数的运算性质得到m 的值㊂练习3:已知3a =5b=A ,且1a +2b=2,则A 等于㊂提示:由3a =5b=A ,可得a =l o g 3A ,b =l o g 5A ,且A >0,所以1a =l o g A 3,1b=l o g A5㊂因为1a +2b=2,所以l o g A 3+2l o g A5=2,可得l o g A 3+l o g A 25=2,即l o g A75=2,所以A 2=75㊂因为A >0,所以A =53㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑 郭正华)6知识结构与拓展 高一数学 2023年11月。
对数 换底公式
对数换底公式摘要：1.对数的定义和性质2.换底公式的推导3.换底公式在实际问题中的应用4.总结与展望正文：1.对数的定义和性质对数是一种数学运算，用于表示一个数以某个基数为底，经过多少次方等于另一个数。
对数有自然对数、常用对数等多种表示形式，每种对数都有其适用范围和特殊性质。
例如，自然对数的底为自然常数e，常用对数的底为10。
对数具有以下基本性质：（1）对数的运算法则：loga(MN) = logaM + logaN，loga(M/N) = logaM - logaN（2）对数的换底公式：logab = logcb / logca（3）对数的性质：loga1 = 0，loga0 不存在，loga(a^b) = b2.换底公式换底公式是将对数从一种底数转换为另一种底数的工具。
设logab = x，那么可以得到换底公式：logcb = x * logca。
换底公式的推导过程如下：设y = logcb，那么有cb = e^y，同时有ab = e^x。
将cb 带入ab 中，得到ab = e^(x + y)。
根据对数的性质，有loga(ab) = x + y，而又因为loga(ab) = loga(e^(x + y)) = x + y，所以x = logcb / logca。
3.换底公式在实际问题中的应用换底公式在实际问题中有很多应用，例如在计算机科学中，换底公式可以用于计算以不同进制表示的数值之间的转换；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、速率等物理量在不同单位制之间的转换。
4.总结与展望对数换底公式是数学中一个重要的工具，它可以帮助我们将对数从一种底数转换为另一种底数。
通过掌握对数的性质和换底公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
换底公式
还可以变形,得
② log x y log y z log x z
公式的运用： 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同” 是解决有关对数问题的基本思想方法；
log 8 9 log 27 32
log c b log a b log c a
n
(a, c (0,1) (1,), b 0) a, b (0,1) (1,)
n log am b log a b m log a b log b a 1
例三、设 求证：
3x 4 y 6 z t 1
2 10 lg
9 5
2+ ຫໍສະໝຸດ g 2 lg10 2+ lg 2
= ( 1 －lg 2 ) 2 + lg 2 ( 1 －lg 2 ) + lg 2 = 1 －2lg 2 + lg 2 2 + lg 2 －lg 2 2 + lg 2 =1
2、已知 lg x + lg y = 2lg ( x －2y )，求 log
3)x 2 3
3或( 2
∴ x = 1 或 x = －1 故方程的解为 x = 1 或 x = －1.
，一定要求
log 18 2 1 a
log18 45 log18 9 log18 5 a b log 36 45 log18 36 1 log18 2 2a
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问 题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起 了重要作用，在解题过程中应注意： （1）针对具体问题，选择好底数； （2）注意换底公式与对数运算法则结合使用； （3）换底公式的正用与逆用；
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论（最新版）目录1.换底公式的概念和基本形式2.推论 1：对数函数的性质3.推论 2：指数函数的性质4.推论 3：三角函数的性质5.推论 4：反三角函数的性质6.推论 5：复合函数的性质7.推论 6：初等函数的性质正文换底公式是数学中一种重要的公式，它用于将一个数的底数从一个数改为另一个数。
换底公式的基本形式为：如果 a 的 b 次方等于 c，那么 a 的 c 次方等于 b。
这个公式在数学中有着广泛的应用，下面我们来看看换底公式的 6 个推论。
首先，我们来看推论 1：对数函数的性质。
对数函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 loga(x)=y，其中 a 是底数，x 是真数，y 是对数。
通过对数函数的性质，我们可以知道，对数函数是一个单调函数，也就是说，当 x1<x2 时，loga(x1)<loga(x2)。
其次，我们来看推论 2：指数函数的性质。
指数函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 a^x=y，其中 a 是底数，x 是指数，y 是幂。
通过指数函数的性质，我们可以知道，指数函数是一个单调函数，也就是说，当 x1<x2 时，a^x1<a^x2。
接下来，我们来看推论 3：三角函数的性质。
三角函数是一种重要的数学函数，它的基本形式为 sinx=y，cosx=y，tanx=y，其中 x 是角度，y 是函数值。
通过三角函数的性质，我们可以知道，三角函数是一个周期函数，也就是说，当 x 增加 2π时，sinx 的值不变，cosx 的值不变，tanx 的值不变。
然后，我们来看推论 4：反三角函数的性质。
反三角函数是三角函数的逆函数，它的基本形式为 arcsin(y)=x，arccos(y)=x，arctan(y)=x，其中 y 是函数值，x 是角度。
通过反三角函数的性质，我们可以知道，反三角函数是一个单调函数，也就是说，当 y1<y2 时，arcsin(y1)<arcsin(y2)，arccos(y1)<arccos(y2)，arctan(y1)<arctan(y2)。
换底公式
教材： 换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
过程：一、复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log =两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ b m n b a n am log log =（ a , b > 0且均不为1）证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅ba ab a b b a2︒ b m n a m b n ab b a m n nam log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1︒ 3log 12.05- 2︒ 421432log 3log ⋅解：1︒ 原式 =15315555531log 3log 52.0===2︒ 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b∴ a b a -+=++==22l o g 15l o g 9l o g 36log 45log 45log 181818181836 例三、设 1643>===t z y x 求证：yx z 2111=-证：∵1643>===t z y x ∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，∴ y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq 3135lg +=以下例题备用：例五、计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=45)2l o g 212)(l o g 3l o g 313l o g 21(3322+++=254545452l o g 233l o g 6532=+=+⋅= 例六、若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m解：由题意：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m ∴3=m 四、小结：换底公式及其推论 五、作业：1． 求下列各式的值：1︒ 65353log 9--+ )(41-2︒ 7log 15log 1864925+ (10)3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(414︒ )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(12252． 已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222l o g x 的值。
高中数学同步学案 换底公式
2．2.2 换底公式换底公式1．换底公式log a N ＝log c Nlog c a (a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)2．几个常见结论： (1)log a b·log b a ＝1； (2)log a n b n＝log a b ； (3)log a m b n＝n mlog a b ；(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．换底公式如何证明？ [提示] 设x ＝log a b,则a x＝b, 两边取以c 为底的对数得 log c a x＝log c b 即xlog c a ＝log c b, 所以x ＝log c b log c a ,即log a b ＝log c blog c a .2．写出下面几个式子的值．(1)log 28；(2)log 416；(3)log 24；(4)log 322；(5)log 6416. [提示] (1)3 (2)2 (3)4 (4)110 (5)23对数式的求值[例1] 求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．[思路点拨] 先利用换底公式化同底,再运用运算性质． [解] (1)因为log 23＝lg3lg2,log 35＝lg5lg3,log 516＝lg16lg5.所以log 23·log 35·log 516＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.借题发挥 换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而化简、计算与证明,在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简和求值.1．计算： (1)log 927； (2)log 89·log 2732； (3)log 21125·log 3132·log 513.解：(1)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32. (2)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109. (3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.条件等式的求值与证明[例2] 设a,b,c 都是正数,且3a ＝4b ＝6c,证明：a ＋b ＝c.[思路点拨] 解答本题可以先令3a ＝4b ＝6c＝k,两边取对数后,表示出a,b,c,再用换底公式代入证明． 证明：法一：设3a＝4b＝6c＝k(a,b,c 均为正数,k>0), 则a ＝log 3k,b ＝log 4k,c ＝log 6k. ∴1a ＝log k 3,1b ＝log k 4,1c ＝log k 6, ∴2log k 3＋log k 4＝2log k 6, 即2a ＋1b ＝2c. 法二：对3a＝4b＝6c 同时取以10为底的对数, 得lg3a＝lg4b＝lg6c, ∴alg3＝blg4＝clg6,∴c a ＝lg3lg6＝log 63,c b ＝lg4lg6＝log 64, ∵2log 63＋log 64＝log 636＝2, 即2c a ＋c b ＝2,∴2a ＋1b ＝2c. 借题发挥 换底公式的主要作用就是化不同底为同底,只有化同底后方可使用对数的运算性质,在条件求值中,常常是把所求靠拢已知,根据已知的条件,逐步消除已知与未知之间的差异,使问题顺利解决.2．已知2x＝3,log 483＝y,求x ＋2y 的值．解：因为2x＝3,所以x ＝log 23.所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋log 283＝log 23＋log 28－log 23＝log 223＝3.1.log 89log 23的值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D.23答案：D2．已知lg2＝a,lg3＝b,则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋bbC.a a ＋b D.b a ＋b解析：选B log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b.3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416,则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27解析：选B 由题知lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lg16lg4,∴lgm lg3＝lg16lg4＝2,∴lgm ＝lg32＝lg9,m ＝9. 4．若log a b·log 3a ＝4,则b 的值为________． 解析：log a b·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4,所以lg b ＝4lg 3＝lg 34,所以b ＝34＝81. 答案：815．已知log a x ＝1,log b x ＝2,log c x ＝4,则log abc x ＝________. 解析：由已知得log x a ＝1,log x b ＝12,log x c ＝14.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝11＋12＋14＝47. 答案：476．求(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)的值． 解：原式＝(log 23＋log 2332)(log 322＋log 3223＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫92log 32＝152.已知log 189＝a,18b＝5,求log 3645,你能用不同的方法解决这个问题吗？让我来试试吧！ ∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.看我的！∵18b＝5,∴log 185＝b,于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189 ＝a ＋b2－a.我也能解． ∵log 189＝a,18b＝5, ∴lg9＝alg18,lg5＝blg18. ∴log 3645＝lg45lg36＝lg9×5lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9 ＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a ＋b2－a.一、选择题1．下列各式中正确的是( ) A ．log 23·log 8116＝1 B.log 24log 28＝－1 C ．lg4·lg9＝lg36D ．(log 515)3＝－3解析：选A log 23·log 8116＝lg3lg2·lg16lg81＝lg3lg2·4lg24lg3＝1.2．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412,则a 的值等于( )A.14B.22C. 2D ．4解析：选B 原方程可化为log 37·2log 23·12log 7a ＝－12,即log 2a ＝－12,∴a ＝212-＝22.3．设lg2＝a,lg3＝b,那么lg 1.8等于( ) A.12(a ＋2b －1) B ．a ＋b －1 C.12(2a ＋b －1) D ．a ＋b解析：选A lg 1.8＝12lg(0.1×9×2)＝12(lg2＋lg9＋lg0.1)＝12(a ＋2b －1)． 4．已知lga 、lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根,则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C lga ＋lgb ＝2,lga·lgb＝12,⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×12＝2.二、填空题5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，3x，x≤0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2,f(－2)＝3－2＝19.答案：196．已知2x ＝72y＝A,且1x ＋1y ＝1,则A 得值是________．解析：∵2x＝72y＝A,∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A ∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7 ＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1. ∴A ＝98. 答案：98 三、解答题7．(1)计算log 53·log 27125； (2)计算log 2125·log 318·log 519.解：(1)log 53·log 27125＝lg3lg5·lg125lg27＝lg3lg5·3lg53lg3＝1.(2)log 2125·log 318· log 519＝－log 225·log 38·log 59＝－2lg5lg2·3lg2lg3·2lg3lg5＝－12.8．若a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根,求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值． 解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x,则方程化为2t 2－4t ＋1＝0, ∴t 1＋t 2＝2,t 1·t 2＝12.又∵a,b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根, ∴t 1＝lg a,t 2＝lg b,即lg a ＋lg b ＝2,lg a·lg b＝12.∴lg(ab)·(log a b ＋log b a) ＝(lg a ＋lg b)·⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝(lg a ＋lg b)·lg b 2＋lg a2lg a·lg b＝(lg a ＋lg b)·lg a ＋lg b 2－2lg a·lg blg a·lg b＝2×22－2×1212＝12,即lg(ab)·(log a b ＋log b a )＝12.。
指数函数换底公式推导
指数函数换底公式推导
指数函数换底公式是用来将一个指数函数的底数换成另一个底数的公式。
假设我们有一个指数函数 y = a^x，我们想要将其底数a 换成 b，我们可以利用换底公式来表示为 y = b^x =
(a^x)/(a^(log_a(b)))。
下面我将从多个角度解释换底公式的推导过程。
首先，我们知道对数的定义是，如果 a^x = y，那么 log_a(y) = x。
利用这个定义，我们可以推导换底公式。
假设我们有一个指数函数 y = a^x，我们想要将其底数 a 换成 b，我们可以表示为 y = b^x。
现在我们来推导这个过程。
首先，我们知道 log_a(y) = x，根据对数的性质，我们可以将其转化为指数形式，即 a^x = y。
现在我们想要将底数 a 换成 b，我们可以将上述等式两边取对数，得到 log_b(a^x) = log_b(y)。
根据对数的性质，我们知道 log_b(a^x) = x log_b(a)。
将这个等式代入前面的等式，我们得到 x log_b(a) = log_b(y)。
进一步变换得到 x = (log_b(y))/(log_b(a))，这就是指数函数换底公式。
换底公式的推导过程就是利用对数的性质和定义，将原指数函
数的底数换成另一个底数的过程。
通过这个推导过程，我们可以清晰地理解换底公式的原理和推导方法。
总结一下，指数函数换底公式是通过对数的性质和定义推导得到的，可以帮助我们将一个指数函数的底数换成另一个底数。
这个公式在数学和科学领域中有着重要的应用，能够帮助我们简化计算和分析复杂的指数函数问题。
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§4.2换底公式
一．教学目标：
1．知识与技能
①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算，
求值、化简，并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题.
③培养学生分析、综合解决问题的能力.
培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2. 过程与方法
①让学生经历并推理出对数的换底公式.
②让学生归纳整理本节所学的知识.
3. 情感、态度、和价值观
让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.
二．教学重点、难点
重点：对数运算的性质与换底公式的应用
难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。
三．学法和教学用具
学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪
四．教学过程
复习引入：对数的运算法则
如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：
)
()()
(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=
新授内容：
已知对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48. 问题1：对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 264＝6，log 28＝3, log 864＝log 264log 28. 问题2：对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 464＝3, log 48＝32， log 864＝log 464log 48. 问题3：经过问题1,2你能得出什么结论？ 提示：log a b ＝log M b log M a (a ，M >0，a ，M ≠1，b >0)．
1.对数换底公式：
a
N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ a
N N m m a log log log = 2.两个常用的推论:
①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b m
n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①1lg lg lg lg log log =⋅=⋅b
a a
b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n
a m log lg lg lg lg log === 例题分析
例1、计算：
（1）㏒927； （2）㏒89㏒2732 注：由例1可以猜想并证明 b n m nb a m a log log = 处理优化设计题目
练习：p86 2，3，4。
作业：习题3-4A 组6 B 组 4。