第一章离散时间信号与离散时间系统(2)-数字信号处理介绍
精品课程《数字信号处理》PPT课件第1章 离散时间信号与系统
n
(a) (a)
(b) (b)
第1章 离散时间信号与系统 3. 序列的和 z(n) x(n) y(n)
4. 序列的乘积
f (n) x(n) y(n)
5. 序列的标乘
f (n) cx(n)
两序列的和是指同序号 n 的序列值
逐项对应相加而构成的一个新序列
两序列相乘是指同序号 n
的序列值逐项对应相乘
k必为整数
第1章 离散时间信号与系统
分三种情况讨论正弦序列周期
N 2k = 2 k 0 0
2 1. 0
为正整数，只要 k =1，
N
2 0
为最小正整数，即序列周期；
第1章 离散时间信号与系统
1.
2 0
为正整数，只要
k
=1， N
2 0
为最小正整数，即周期
sinnω0
1
o1
5
10 n
1
第1章 离散时间信号与系统
x(n) sin(n0 )
sin(n0T
)
0
0T
数字域角频率 0：反映序列变化的速率 ，单位 ( rad/间隔 ) 模拟域角频率 0：反映信号变化的速率 ，单位 ( rad/s )
0 0T
0
0
fS
数字域角频率是模拟域角频率对采样频率的归一化
第1章 离散时间信号与系统 6. 复指数序列
x(n) Ae j0 n
x n
2 不是整数， 0
N k
（N，k为互素整数）N
k
2 0
已知：x n sin 4π n ，求其周期。
11
ω0
4π ， 则有：2π
11
ω0
2π
11 4π
数字信号处理答案(第三版)清华大学
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
数字信号处理第1章_离散时间信号与系统__01
第1章 离散时间信号与系统
1
第1章 离散时间信号与系统
• 离散时间信号 • 采样 • 离散时间信号的傅氏变换与Z变换 • 离散时间系统 • 系统的频率响应及其系统函数
任何序列均可以分解成: 偶对称序列和奇对称序列的和的形式。
x(n) xe (n) xo(n)
xe
(
n)
1 [x(n) 2
x(n)]
xo
(n)
1 [x(n) 2
x(n)]
25
6、任意序列的单位脉冲序列表示
---典型序列与一般序列之间的关系
任意一个序列x(n)均可以表示成单位脉冲序列
2 0
k
N k N为最小正整数，
k
2 N
0 k
（3）2π/ω0为无理数时，正弦序列为非周期序列。
17
【例】试判断以下正弦序列的周期性，若为周期序列，
求出该周期序列。
①
sin(
n
)
② sin(4 n)
4
5
③ sin(n)
4
解：
①
由于 0
4,N
2 0
k
8k
因此该序列为周期序列，且周期N=8。
x(n/2)
2 1 1/2
-1 0 1
2
1
1/2
n
n
-1。 0 1。
-2 -1 0 1 2
n
31
10、序列的翻褶
数字信号处理第一章离散时间信号和离散时间
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折 叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左 移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的 对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加 起来，即得y(n)。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 –序列的表示法和基本类型 –用卷积和表示的线性非移变系统 –讨论系统的稳定性和因果性问题 –线性常系数差分方程 –介绍描述系统的几个重要方式
离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化
–讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字 序列)的频谱之间的关系
根据线性系统的叠加性质 y(n) x(m)T[ (n m)] m
根据时不变性质:T[ (n m)] h(n m)
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m=-
(1.3.7)
通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符 号“*”表示，即：
y(n n0 ) T[kx(n n0 )], 是移不变系统 (2) y(n) nx(n), 即y(n n0 ) (n n0 )x(n n0 ) 而T[x(n n0 )] nx(n n0 ) y(n n0 ),不是移不变系统
1.3.3 线性时不变系统及输入与输出的关系 既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性 非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输 出序列之间存在着线性卷积关系。
§1. 2 时域离散信号
数字信号处理第三版习题答案
数字信号处理第三版习题答案数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一门研究如何对数字信号进行处理和分析的学科。
它在现代通信、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数字信号处理的知识，许多人选择了《数字信号处理（第三版）》这本经典教材。
本文将为大家提供一些《数字信号处理（第三版）》习题的答案，以帮助读者更好地学习和巩固所学知识。
第一章：离散时间信号和系统1.1 习题答案：a) 离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而连续时间信号是在连续时间上取值的信号。
b) 离散时间系统是对离散时间信号进行处理的系统，而连续时间系统是对连续时间信号进行处理的系统。
c) 离散时间信号可以通过采样连续时间信号得到。
1.2 习题答案：a) 线性系统满足叠加性和齐次性。
b) 时不变系统的输出只与输入的时间延迟有关，与输入信号的具体形式无关。
c) 因果系统的输出只与当前和过去的输入有关，与未来的输入无关。
第二章：离散时间信号的时域分析2.1 习题答案：a) 离散时间信号的能量是信号幅值的平方和，而功率是信号幅值的平方的平均值。
b) 离散时间信号的能量和功率可以通过计算信号的幅值序列的平方和和平方的平均值得到。
2.2 习题答案：a) 离散时间信号的自相关函数是信号与其自身经过不同时间延迟的乘积的和。
b) 离散时间信号的自相关函数可以用于确定信号的周期性和频率成分。
第三章：离散时间信号的频域分析3.1 习题答案：a) 离散时间信号的频谱是信号在频率域上的表示，可以通过对信号进行傅里叶变换得到。
b) 离散时间信号的频谱可以用于分析信号的频率成分和频谱特性。
3.2 习题答案：a) 离散时间信号的频谱具有周期性，其周期等于采样频率。
b) 离散时间信号的频谱可以通过对信号进行离散傅里叶变换得到。
第四章：离散时间系统的频域分析4.1 习题答案：a) 离散时间系统的频率响应是系统在不同频率下的输出与输入之比。
《数字信号处理教学课件》第一章 离散时间信号与系统
y( n)
k
x( k )
n
它表示y(n)在某一个n0上的值等于这一个n0上的x(n0) 以及n0从前的所有n值上的x(n)值之和。
例如：
1 n 1 2 (2) x ( n) 0
n 1 n 1
n 1 1 k 2 (2) y (n) k 1 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
n
思考：x(-n+1)和x(-n-1)与x(-n)的移位关系？ x(n) x(0)=1 3 2 x(1)=2 1 1 x(2)=3 n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 3
y(n) x(n) x(n R)
| | 1
为了生成间隔为R个周期的多重回声，可将上式改为：
y(n) x(n) x(n R) 2 x(n 2R) N 1 x(n ( N 1)R) | | 1
原声： 混响1：
=0.3, R=5000
n
…… x(0) = 2 x(1) = 1 x(2) = 2 x(3) = 3 ……
图中横坐标n表示离散的时间坐标，仅在n为整数时才有意 义，纵坐标代表信号点的值。 4、用单位抽样序列表示.
x(n) (n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 3 (n 3) (n 4) 2 (n 5) ...
figure(2); plot(x2); grid on;
figure(3); plot(y); grid on;
wavwrite(y,‘w3.wav’); %结果保存为声音文件
DSP-2(2012新)
2012-3-28
7
离散时间信号1.1 离散时间信号-序列
(1) 公式表示： 公式表示 表示： n x ( n) = a –如 (2)图形表示：直观 图形表示 图形表示：
0 < a <1
(3)集合符号表示，例如： 集合符号表示 例如： 集合符号表示， x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
2012-3-28 6
1.1 离散时间信号 序列 离散时间信号-序列
序列
不是序列
强调：序列x(n)中n取整数 非整数时无定义，在数值上(序列 取整数， 强调：序列x(n)中n取整数，非整数时无定义，在数值上(序列 等于信号的采样值， 值)等于信号的采样值，即： 等于信号的采样值
序列的表示：用公式表示、用图形表示、用集合符号表示。 序列的表示：用公式表示、用图形表示、用集合符号表示。
进行等间隔采样 采样间隔为T， 等间隔采样， 对模拟信号 xa (t ) 进行等间隔采样，采样间隔为 ， 得到离散时间信号(序列 序列)： 得到离散时间信号 序列 ： x ( n) = xa (nT ) = xa (t ) t =nT , −∞ < n < ∞
注意：n为整数；在非整数位置处无定义
有序的数据序列
δ(n)与u(n)之间的关系： 与 之间的关系： 之间的关系
δ ( n ) = u ( n ) − u ( n − 1) u ( n ) = ∑ δ ( n − k )
k =0
2012-3-28 11
∞
1.1 离散时间信号 序列 离散时间信号-序列
3、矩形序列 N(n) 、矩形序列R
1 0 ≤ n ≤ N − 1 RN ( n ) = 0 其它 n
数字信号处理知识点
《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩ 2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n = 当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+- 1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式： 1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解 B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑ （6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a 、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
数字信号处理第一章离散时间信号与系统 课件
R5 ( n)
1 n
0 1 2 3 4
4. 实指数序列
x(n) a nu(n)
5. 正弦序列
x(n) A sin(0 n )
6. 复指数序列
x(n) Ae( j0n) Ae (cos0n j sin 0n)
x(n) h(n)
结论：任何离散时间线性时不变系统， 都可以通过单位取样响应h(n)来表征。
x ( n)
y(n) x(n) h(n)
h( n)
二、稳定系统
1. 定义
对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。
2. 线性时不变系统稳定的充要条件为系统的单位取样响
应绝对可和。即：
m
x(m)h(n m)
包含运算：翻褶、移位、相乘、相加 ************************************************* 例：
3 n 0 n 2 x(n) 其他n 0
*************
*************
1 0 n 3 h(n) 0 其他n
x ( n)
T[ . ]
y ( n)
y(n) T [ x(n)]
对T[· ]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散 时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系 统”。
2. 线性系统 齐次性： 若 y(n) T [ x(n)] ， 则
T [ax(n)] aT[ x(n)] ay(n), a为常数
2 （1） T[ax1 (n) bx2 (n)] [ax1 (n) bx2 (n)]sin( n ) 5 3
数字信号处理(第二版) 第1章-离散时间信号与系统2
n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k) h(1-k)
n=1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n
y(n)
对 h（-k）移位得 h（n-k）
2.5 2 1.5 1 0.5
012 3 4 567 8 9
n
x(k) h(2-k)
x(n) 1
01 23 4 n 对 h(n)绕纵轴折叠，得h(-n)
h(n) 1/2
0 1 2 3 4 5n
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n
对 h(-k)移位得 h(n-k)
y(n)
2.5 2 1.5 1 0.5Βιβλιοθήκη 012 3 4 567 8 9
n
h(0-k)
x(k)
n=0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1.3 离散时间系统
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输 出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个 运算。
y(n)= T[x(n)]
对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系 统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。
1.3.1 线性系统（满足迭加原理的系统）
若 系 统 的 输 入 为 x1(n) 和 x2(n) 时 ， 输 出 分 别 为 y1(n)和y2(n)， 即 y1(n)=T[x1(n)]， y2(n)=T[x2(n)]
如果系统输入为ax1(n)+bx2(n)时， 输出为ay1(n)+by2(n)，
数字信号处理第一章离散时间信号与系统课件
x(n)
y(n) x(n n0 )
n
0
当 n0>0 时，序列右移 ——延迟
x(n-2)
当 n0<0 时，序列左移
0
n
——超前
1.1 离散时间信号——序列
4. 序列的翻转
❖ x(-n)是x(n)的翻转序列。x(-n)是以纵 轴（n=0）为对称轴将序列x(n)加以翻转。
x(n)
n 0
x(-n) n
同序号的序列值逐项对应相加
x1(n)
n 0
x2(n)
n 0
x1(n) +x2(n)
n 0
1.1 离散时间信号——序列
2. 序列的乘法
x1(n)
n
x(n) x1(n) x2 (n) 0
x2(n)
同序号的序列值逐项对应相乘
n 0
x1(n) ·x2(n)
n 0
1.1 离散时间信号——序列
3. 序列的移位
1 a1n 1 a
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m
4
y(n) x(m)h(n m) m0
04 h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
y(n) T[x(n)]
1.2.1 线性系统
若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散 时间线性系统。
设 y1(n) T[x1(n)], y2(n) T[x2(n)]
T[ax1(n) bx2 (n)] aT[x1(n)] bT[x2 (n)] ay1(n) by2 (n)
其中a、b为任意常数。
数字信号处理 课件 第1章 离散时间信号与系统
解：①反褶:现在坐标上做出x(m)和h(m)，并将h(m)反 褶形成h(-m)。 ②移位、相乘和累加。 情况1：n<-4, y(n)=0; 情况2：-4≤n≤7。
2
y(1) x(m)h(n m) 3111 2 7 (5) 5
….
m3
y(n)={6,31,47,6,-51,-5,41,18,-22,-3,8,2};
连续时间信号 xa (和t) 离散时间信号 x的(nT关) 系： x(n) x(nT ) xa (t) tnT
说明：离散时间信号 x(n只) 有在为整数 时n 才有意义。
1.1.2 序列的运算
1. 序列移位 当m为正时， x(n 表m示) 序列 右x(移n) m位。 x(n 表m)示序列 左x(移n) m位。
1.2 离散时间系统
系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间 系统就表示对输入序列的运算，即 y(n) T[x(n)]
x(n)
-6 -4 -2 0
24
x(n)
-6 -4 -2 0
24
6.序列的卷积和
两序列的卷积和是指两序列作如下运算时，称序列y(n)为 序列x(n)与h(n) 的卷积和。
y(n) x(m)h(n m) m
通常表示为：y(n) x(n) h(n) 符号“*”表示卷积和运算
y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
x(1) 0, x(2) 1, x(3) 0.5, x(4) 1.5}, y(n) {y(2) 1, y(1) 1, y(0) 1
y(1) 0.5, y(2) 1, y(3) 0.5, y(4) 0, y(5) 0.5}，求两个序列和。
解：
z(2) x(2) y(2) 0 1 1
《数字信号处理题解及电子课件》第1章_离散时间信号与离散时间系统_2
(控制系统)
Communication （通信）
System Identification （系统辨识）
Statistics
（统计）
Neural Network
(神经网络)
例：
z=peaks; surf(z)；
与本章内容有关的MATLAM文件
1. rand.m 用来产生均值为0.5、幅度在 0~1之间均匀分布的伪白噪声: u=rand(N)
sin c(t) 0
t k
sin c(t) t为其它
对离散信号，相应的sinc函数定义为:
sin c() sin(N) sin()
4. conv.m 用来实现两个离散序列的线 性卷积。其调用格式是：y=conv(x,h)
5． xcorr: 其互相关和自相关。格式是： (1)rxy=xcorr(x,y) ： 求 x,y 的 互 相 关 ； (2)rx=xcorr(x,M,’flag’）：求x的自相关，M： rx的单边长度，总长度为2M+1；‘flag’是定 标标志，若 flag=biased， 则表示是“有偏” 估计，需将rx(m)都除以N，若flag=unbiased, 则表示是“无偏”估计，需将rx(m)都除以 （N－abs(m)）；若’flag’缺省，则rx不定标。 M和‘flag’同样适用于求互相关。
而： y(n k) (n k)x(n k)
所以： y(n k) T[x(n k)]
本系统不具备移不变性！
另外，系统 是因果的，但不是稳定的
例2： y(n) ay(n 1) x(n)
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果 a 1
则该系统是稳定的。
例3： y(n) Ax(n) B
数字信号处理-程佩青-PPT第一章
7）任意序列
x(n)能够表达成单位取样序列旳移位加权和，也可表达 成与单位取样序列旳卷积和。
x(n) x(m) (n m) x(n) (n)
m
例：x(n) 2 (n 1) (n) 1.5 (n 1) (n 2) 0.5 (n 3)
3、序列旳周期性
若对全部n存在一种最小旳正整数N，满足 x(n) x(n N ) n
m
x(m)T[ (n m)]，线性性
T[ ai xi (n)] i
m
x(m)h(n m)，
移不变性
aiT[xi (n)] i
m
x(n) h(n)
h(n) T[ (n)] h(n m) T[ (n m)]
x(n)
LSI y(n)
h(n)
y(n) x(n) h(n)
一种LSI系统能够用单位抽样响应h(n)来表征，任意输 入旳系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)旳 卷积和。
结论： 若有限长序列x(n)旳长度为N，h(n)旳长度为M， 则其卷积和旳长度L为：
L=N+M-1
互换律
4、LSI系统旳性质
x(n)
y(n)
h(n)
h(n)
y(n)
x(n)
y(n) x(n) h(n) h(n) x(n)
结合律
x(n) h1(n)
y(n) h2(n)
x(n) h2(n)
例：
x(n)=0.9
ne
j 3
n
6）正弦序列
x(n) Asin(0n )
模拟正弦信号：
xa (t) Asin(t )
x(n) xa (t) tnT Asin(nT )
0 T / fs 0：数字域频率
数字信号处理辅导第一章
1.2 离散时间信号
离散时间信号的产生 设连续时间信号为x ， 设连续时间信号为 a(t)，对它进行等间隔采 采样周期为T， 样，采样周期为 ，则 样本值： xa (nT ) = xa (t ) t =nT n 为整数 样本值： 记为： 记为： x ( n) = xa ( nT ) 序列的三种表示方法： 序列的三种表示方法： 1、数学表示式表示法 、 2、图形表示法 、 3、样本集合符号表示法 、
y (n) = T [x(n)]
y (n − N ) = T [x(n − N )]
1.3 离散时间系统
3、因果性 、 响应信号总是在激励信号作用于系统之后才产 生。或者说，激励信号是响应信号产生的原 或者说， 这种系统称为因果系统。 因，这种系统称为因果系统。物理上能够实 现的系统都是因果系统。 现的系统都是因果系统。 我们在分析系统的特性时， 我们在分析系统的特性时，有时要分析一些 具有理想特性的系统， 具有理想特性的系统，比如理想低通滤波器 这类系统就不具有因果性。 等。这类系统就不具有因果性。因而是不可 以实现的系统。 以实现的系统。
∞
1.2.2 序列的基本运算 1、两序列之间的乘法运算： 、两序列之间的乘法运算： y (n) = x1 (n) ⋅ x2 (n) 指对应序号的两个样本值之间的乘法运算
1.2 离散时间信号
2、两序列的加法 、 指的是两个序列的对应序号的样本值相加运算： 指的是两个序列的对应序号的样本值相加运算：
y (n) = x1 (n) + x2 (n)
1.2 离散时间信号
5、正弦序列 、
xa (t ) = sin(Ωt ) xa (nT ) = sin( nΩT )
x(n) = sin(ωn)
数字信号处理习题及解答
数字信号处理习题及解答
第三章 信号的傅里叶变换 4 已知长度为N=10的两个有限长序列：
1 x1(n) 0
0≤ n≤ 4 5≤ n≤ 9
1 x2 (n) 1
0≤ n ≤ 4 5≤ n ≤ 9
做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。
数字信号处理习题及解答
故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n)
因此系统是非线性系统。
数字信号处理习题及解答
第一章 离散时间信号与离散时间系统
2 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。
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第二章 Z变换及离散时间系统分析
3 解答 (2) 收敛域0.5<|z|<2:
F(z) (5z 7)z n (z 0.5)(z 2)
n≥0时， c内有极点0.5，
x(n) Res[F(z), 0.5] 3 (1)n 2
n<0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c 外极点留数， c外极点只有一个， 即2，
x( n)
3
1
n
2
2n u(n)
2
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第三章 信号的傅里叶变换 1 设题图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成 下列运算或工作：
X (e j0 )
π X (e j )d π
X (e jπ )
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为线性移不变（linear shift invariant, LSI）离 散时间系统，简称LSI系统。
因果性：
一个 LSI 系统，如果它在任意时刻的输出只 决定与现在时刻和过去的输入，x(n)，x(n-1)， x(n-2)… 而和将来的输入无关，那么我们说系 统是因果（cousal）系统。
1.5 离散时间系统的基本概念
移不变性：
设一个离散系统对x(n)的响应是y (n)，如果 将x(n)延迟了k个抽样周期，输出y(n)也相应的 延迟了k个抽样周期，那么我们说该系统具有 移不变性，即 y (n) =T[x(n)] y (n-k)=T[x(n-k)] 该性质的含义还可以直观地解释为：对给 定的输入，系统的输出和输入的施加时间无关， 即不论何时加上输入，只要输入信号一样，输 出信号的形态就保持不变。
b(1) b(0)
∑
y(n)
1.5 离散时间系统的基本概念
若令输入信号 x(n)=δ(n) ，那么，这时的输出 y(n)是由单位抽样信号δ(n)激励该系统所产生的 响应。因此，我们称这时的y (n) 为系统的单位 抽样响应，并记为h(n)，h(n)反映了系统的固有 特性，它是离散系统的一个重要参数。 如若将上例中的x(n)换成δ(n)，有: h(n) =b(n)δ(n)+ b(1)δ(n-1)+b(2)δ(n-2) 所以， h(0)=b(0)，h(1)=b(1)，h(2)=b(2) 且当n＜2和n＞2时h(n)≡0
1.5 离散时间系统的基本概念
由以上两例可以看出，三点平均器的单位抽 样响应仅在n=0，1，2时有值，即为有限长。这 一类系统称为“有限冲激响应”系统，简称为 FIR系统。 对于这样一个系统，y(n)=ay(n-1)+x(n)，由于 包含了有输出到输入的反馈，因此其抽样响应 为无限长，我们称这一类系统为“无限冲击响 应”（infinite impulse response,IIR）系统，简称 为IIR系统。
h(k) h(-k) x(k) 4 3 2 1 -1 0 1 2 k -1 0 1 2 k
-1 0 1 2 3
k
1.6
k
LSI系统的输入输出关系
y(n)= x(k)h(n k) y(0)= x (k )h (k ) =1
k
k
y(1)= x(k)h(1 k)=2+1=3
1.5 离散时间系统的基本概念
一个离散系统，可以抽象为一种变换，或是 一种映射，即把输入序列 x(n) 变换为输出序列 y(n)： y(n) =T[x(n)] 式中T代表变换，这样，一个离散时间系统， 既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表 达式。
x(n)
T[x(n)]
y(n)
1.5 离散时间系统的基本概念
1.5 离散时间系统的基本概念
δ(n)
n δ(n-3) 3 n h(n-3) n
h(n)
n
3
由前述单位抽样响应的定义， h(n)=T[δ(n)] ， 对移不变系统，则必有 h(n-k)=T[δ(n-k)] 。因此， 从 h(n) 的行为即可判断所研究的系统是否具有 移不变性。
1.5 离散时间系统的基本概念
1.5 离散时间系统的基本概念
稳定性：
一个信号x(n) ，如果存在一个实数 R，使的 对所有的n都满足∣x(n)∣≤R，那么我们称x(n) 是有界的，对一个LSI系统，若输入x(n)是有界 的，输出y(n)也有界，那么该系统是稳定的。
1.6
LSI系统的输入输出关系
线性卷积 y(n)= x(k)h(n k) k y(n)=x (n)*h(n)= x(k)h(n k) = h(k)x(n k) k 例：令h(n)={h(0)，h(1)}={1 ，1}， k x(n)={x(0)，x(1)，x(2)，x(3)}={1，2，3，4} 试求x(n)和h(n)的线性卷积。
图1
1
0
0
图2
1.7 确定性信号的相关函数
1.7.1 相关函数的定义
rxy(m)=为信号 x(n) 和y(n) 的互相关函数，该式 表示 rxy(m) 在时刻 m 时的值，等于将 x(n) 保持不 动而y(n)左移m个抽样周期后两个序列对应相乘 再相加的结果。 上式中的 rxy(m)=不能写成 ryx(m)，这是因为
b( k ) x ( n k ) 例：已知系统y(n)= ，式中b(0)， k 0 b(1)，b(2)为常数，这是一个三点加权平均器， 若 b(0)=b(1)=b(2)=1/3 ，那么该系统是一个三点 平均器，它的信号流图为：
2
x(n)
单位 x(n-1) 单位 延迟 延迟
x(n-2)
b(2)
k
k
y(2)= x (k )h (2 k )=2+3=5 y(3)= x (k )h (3 k ) =7 y(4)= x (k )h (4 k ) =4
k
当n>5时,y(n)≡0 ， 共有L+M-1个值。
1.6
LSI系统的输入输出关系
简单方法： x(n)={1, 2, 3, 4 } h(n)={ 1, 1, 0, 0 } L=4 2L-1=7 ，把每个向量补齐7个值。 x(n)={ 1, 2, 3, 4 , 0, 0, 0 } h(n)={ 1, 1, 0, 0 , 0, 0 ,0 } x(n)逆时针排列，h(n)顺时针排列如下图1。对 应位置两数相乘，然后相加，即可求出y(0)=1。
1.6
0
LSI系统的输入输出关系
0 3 0 外环数据逆 时 针旋转一格 0 4 3 1
0
4
2 1 1
2 1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
0
0 0
0
0
0 0
0
然后，将外环数据逆时针旋转一格，得图 2 ， 求出y(1)=1*1+2*1=3。 依 次 将 7 结 果 都 求 出 ， 得 y(2)=5 ， y(3)=7 ， y(4)=4，y(5)=0， y(6)=0，y(7)=0
1.5 离散时间系统的基本概念
下面是有关离散系统的几个定义：
线性：
设一个离散系统对x1(n)的响应是y1(n)，对x2(n) 的响应是y2(n)即 y1(n)=T[x1(n)] y2(n)=T[x2(n)] 若 该 系 统 对 αx1(n)+βx2(n) 的 响 应 是 αy1(n)+βy2(n)，那么我们说该系统是线性的。