多重小波分析在高精度重力仪数据处理中的应用

Abstract： Based on the theory of random process，the discrete eguation of gravitationai abnormai is estabiished . Compared with waveiet，the theory of muitiwaveiet is anaiyzed and appiied to process the gravitationai abnormai data measured by precise gravimeter，and the method of soft threshoid is adopted during the data process . The average bias sguare between the true data and processed data is used as the ruie of evaiuating the performance of the data processing methods . Theoreticai anaiysis and emuiation experiments indicate that both muitiwaveiet and waveiet are effective for aiieviating the effect of noise on gravitationai vaiue，but the performance of muitiwaveiet exceis that of waveiet . Key words： gravimeter；muitiwaveiet；gravitationai abnormai 在惯性导航系统中， 陀螺稳定平台上的加速度 计测量的是比力 （比力是惯性加速度与重力向量之 差） ， 为了区分载体运动的惯性加速度和重力加速 度， 惯性导航仪器必须具有重力场的数学模型， 现 在通常的惯性导航系统是利用参考椭球体来描述 重力场， 这对于地球大地水准面来讲， 椭球体是一 个良好的近似， 但是对于局部地区， 如地形复杂的 山地或海洋， 就不能很好地描述 . 随着对惯性导航 系统精度要求的不断提高， 需要对重力知识有进一 步地了解 . 重力异常 （重力平面某一点上的重力加 速度与椭圆体表面大地测量学法线点上的标准重 力加速度之间的差值） 是高性能惯性导航系统的最
其中 （ i t）
Z
； ） V =｛ 0｝ f・ ④（
） V =（ f a・
V +I ， \
（ t ） V0 ， 使得｛ （ ： ， ・- I ） Z； ⑤ 存在一个函数 ! ! 是具有 Riesz 界 A 与 B （0 < A ） I Z｝ B 2 r 的 V0 的 一 个 Riesz 基， 并 且 A c l2 （ Z） = =
和 V -I 的正交补， 即 V -I = V 方程： （ t ）= 2 "
I Z
2 阵 . 数据信号 （ ） L（ ） 可以分解为多尺度系 f t（ $） 数和多小波系数， 尺度 下的多尺度系数为： Sf i（ I ） （ 尺度 f t ）（ c t， i 2 t - I）
= =
（2 t - I ） ， 其中， gI gI 是 r X r 矩 !
第 33 卷第 4 期 Voi.33 No.4 东 南 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ） 2003 年 7 月 Juiy 2003 （ Naturai Science Edition） JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
多重小波分析在高精度重力仪数据处理中的应用
赵池航 Hale Waihona Puke Baidu百令
（东南大学仪器科学与工程系， 南京 210096）
摘要：根据随机过程理论， 建立离散的重力异常状态方程； 基于多重小波理论分析的基础， 将多 重小波变换应用到高精度重力仪数据处理中， 在高精度重力仪数据处理中采用软阈值法消除背 景噪声， 并与单小波多尺度分析进行了对比 . 以实际数据与处理后数据偏差平方和的平均数作为 衡量 2 种数据处理方法性能的指标， 理论分析和仿真实验表明： 多重小波和单小波都能在一定程 度上抑制噪声对高精度重力仪测量数据的影响， 但多重小波的性能优于单小波 . 关键词：重力仪；多重小波；重力异常 中图分类号：TH761 . 5 文献标识码：A 文章编号：1001 - 0505 （2003） 04-0430-04
}
T
（I）
T 式中， （ I ） = ｛Sf 0 （ I） ， （ I） ， …， （ I） ｝ ； Sf Sf I Sf r -I
（ I ）= ｛Wf （ I ） ， ， …， ｝， 多重 Wf Wf （ I ） Wf （ I ）
0 I r -I
小波重构算法 （ I ）= Sf -I
I Z
（ I ）+ h I -2 I Sf
= = = 2-
重尺度函数! （ t） 满足尺度方程! （ t ）= 2
， 其中， 同时， 存在多重小波函 hI 为 r X r 矩阵； - I） T （ t） = ｛ （ ，（ ， …，（ ｝ ， 数 " W = 0 t） I t） r t）
｛ ， …， ， 其 2- （ I Z， i = 0， I， r - I｝ span i 2 t - I） 2 中，（ ， …， 使得 W 是 V L（ $） i = 0， I， r - I， i t）
Research on application of multiwavelet to data process of precise gravimeter
Zhao Chihang Zhou Baiiing
（ Department of Instrument Science and Technoiogy，Southeast University，Nanjing 210096，China）
第4期
赵池航， 等： 多重小波分析在高精度重力仪数据处理中的应用
43I
!
［! " #］ 多重小波分析
T 设函 数 ! （ t） = ｛ （ ，（ ， …，（ ｝ ， 0 t） I t） r t）
2 ， …， 如 L（ $） i = 0， I， r - I， r N， （ t） 满足条件： 果子空间｛Vm ｝ ① …c m Z 和函数 ! 2 ； V -I c V0 c VI c …； ② cIos L2 ( U V ) = L（$） ③ Z
= =
I
Z
（2 t hI !
（ t） 满足尺度 W， "
下的多小波系
$
数为： Wf（ I） = 2i
$
（ 用 MaIIat f t ）（ t - I） c t， i 2
塔式 分解算法表示多重小波分解 （ I ）= Sf
I Z
（ I） hI -2 I f -I
（ I ）= Wf
I Z
（ I） gI -2 I f -I
含有用信号的信息） ， 进行 次处理后， 对处理后的 就得到经过多重小波处理后的数 w， I 进行重构， 据， 具体方法： ① 使用预滤波器 0I 对重力仪测量数据进行 预处理， 即： C0， I =
I
0I
{
f（ 2 I + I） f（ 2 I + I） +I
}
；
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东南大学学报 （自然科学版） （ t ）= 2 C TrTr 计算 得： A =
I Z
g I -2 I
（ I） Wf
（2） 由于离散 r 重小波变换的初始系数是 r 维向 因 量， 重力仪测量的重力异常值是 I 维信号数据， 此， 需要采用预滤波器把 I 维数据映射为 r 维向量 数据， 这个过程称为数据信号的预处理； 经过滤波 处理后的 r 维重力异常数据再经过后处理恢复 I 维 数据形式， 这个过程称为数据信号的后处理 . 后处 且 P I 0I 理滤波器 P I 是伴随预处理滤波器 0I 的，
r
I
和函数! （ t ）为一 个多分辨率分析， 函数 ! （ t） 称为多重尺度函数 . 多
r Z
则称子空间｛Vm ｝ l（ Z ）， m
Z i =I 2
I ci （ - I ） L2 i ・ （$）
2
B c
2 2 r l（ Z）
， c =｛ cI ｝ I
Z
其中， 使用多重小波进行 I 是单位矩阵 . 因此， = I， 小波分解处理时， 其完整的过程为： 预处理、 离散多 重小波变换、 采用数据处理方法对变换后数据进行 处理、 逆离散多重小波变换和后处理 . MaIIat 等人建立了小波变换与刻画数据信号 奇异性的 Lipschitz 指数之间的关系 （定理 I） ， 从而 可以通过小波变换来确定信号的奇异性位置， 达到 在强噪声背景下对信号进行检测处理的目的 . 定理 ! 设 0 函数 （ 在区间 ［ a， I， f x） ］ 上有一致 Lipschitz 指数 的充要条件是存在一 个常数 I > 0， 使得 \ x ［ a ， ］ ， 小波变换满足： W2 （ f x） I （2 ）， 其中， 对上式两边 I 为常数， 取对数得 （3） Iog2 I + 因此， 当函数 （ 的 Lipschitz 指数 > 0 时， （ f x） f x） 的多重小波变换系数将随着尺度的增大而增大； 当 （ 的多重小波系数将随着尺度的增大 f x） < 0 时， 而减小 . 通常有用信号为低频率信号或是一些平稳 即使对于不连 信号， 其 Lipschitz 指数是大于 0 的， 续的奇异信号， 如果在某一邻域内有界， 也有 = 而噪声信号通常是高频率信号并服从广义随机 0； 分布， 其对应的 Lipshcitz 指数 通常是小于 0 的 . 因 此， 有用数据信号和噪声信号在不同尺度的多重小 波变换中会呈现出不同的特性， 即 随 着 尺 度 （I ）的增大， 数据信号对应的多重小波 < = < = 变换系数增大， 而噪声对应的多重小波变换系数将 变小， 例如对于白噪声， 由于白噪声具有负的奇异 性， 其幅度随尺度增加而减小， 在较大尺度上许多 点的幅度降为零 . 对噪声和数据信号的合成信号做 多重小波分解后， 由于空间分布不均匀数据信号所 对应的各尺度上的多重小波系数 w ， I 在某些特定 的位置有较大值， 这些点对应于数据信号的重要信 息， 而其他部分位置的 w ， 对应于信号的 I 值较小， 缓变部分； 噪声对应的多重小波系数 w ， I 在每一尺 度上的分布是均匀的， 随着尺度的增加， w， I 系数 的幅值减小 . 通常分离噪声的方法是选取一尺度 ，对 于 尺 度 （0 < ） ，阈 值 为 （ = ， 把低于 2Iog N ） 的多重小波系数 w ， （主要包 I 的 w， （主要包 I 含噪声的信息） 置为 0， 保留大于 f x） Iog2 W 2 （
收稿日期：2002-12-02 . 作者简介：赵池航（1975—） ， 男， 博士生； 周百令 （联系人） ， 男， 教授， 博士生导师，zhoubaiiing@ seu . edu . cn .
大剩余误差， 当一个无阻尼惯性导航系统沿地球表 面运动穿越重力异常场时， 重力场垂直偏差将产生 振幅增长的 Schuier 振荡， 惯性导航系统中运动载 体的速度和位置误差将随着时间增大， 为抑制误差 发散， 惯性导航系统必须利用高精度重力仪在运动 载体上实时测量重力异常并计算出运动载体的垂 直偏差来修正惯性导航系统的位置， 由于重力仪测 量的重力异常数据通常是强噪声背景下的微弱信 号数据， 如何对被噪声严重污染的重力异常数据采 用有效的方法进行检测处理是一个迫切需要解决 的问题 . 由于多重小波同时具有对称性、 正交性和 有限支撑等优良的性质， 本文在对多重小波理论分 析的基础上首次将其应用到高精度重力仪数据信 号检测处理中， 并与单小波多尺度分析进行了对 比.
2 T 2
第 33 卷
（1） 进 ＠ 对预滤波器 !1 处理后的数据利用式 行多重小波分解， 得到多重小波系数 w ， 1! ! I， ； ＠令 w ^， I = （ N） ， 得 = "2log （w， （ w， ） sign I I） 0