数学人教版八年级下册直角三角形

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数学人教版八年级下册直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》教学设计广州市第四中学邓丽丽一、教学内容与内容分析1、教学内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质的形成和应用。

2、内容分析：来源于人教版八年级数学下册19.2.1矩形一节，由矩形的对角线性质“矩形的对角线相等”我们得到了直角三角形的一个重要性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。

本课主要内容是一、为什么说“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；二、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用（包括应用于生活实际问题、应用于几何计算与证明）。

利用倍长中线法，利用对称的性质构造全等三角形，以及构造中位线法证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，总结中点辅助线模型，为中考常见题型中的中点问题的解决提供了基础和方法。

二、教学目标与目标分析1、教学目标（1）知识与技能目标：能掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用，能利用添辅助线证明有关中点的几何问题；（2）过程与方法目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想；（3）情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。

三、教学重点与教学难点：教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。

教学难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。

3、突出重点、突破难点的方法与策略：☆突出重点的方法：通过设置情境问题，引导学生思考、探究和讨论，在学生的自主探究过程中突出重点☆突破难点的方法：通过教师的启发引导，充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、探讨交流、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点。

四、教学方法：根据本节课的教学内容、教学目标以及学生的认知特点和实际水平，教学上本节课采用“情景引入——探索新知——应用新知”的教学方法，并将学生分成几个小组，实行以个人自主探究、小组合作交流为主，教师适当引导为辅的教学模式。

八年级下册数学-直角三角形斜边上的中线

第11讲直角三角形斜边上的中线知识导航【基本图形】已知Rt△ABD和Rt△ABC中，∠ADB=∠ACB=900。

【基本结论】图1中，若OA=OB，则OA=OB=OD；若OA=OD，则OB=OD；若OB=OD，则OA=OD；图2中，若OA=OB，则OA=OD=OC=OB；图3中，若OA=OB，则OA=OD=OC=OB。

【板块一】构造直角三角形斜边上的中线题型一、遇直角三角形斜边中点，连斜边上中线【例1】如图，▱ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，求AE的长。

【例2】如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB=∠AEB=900，O为AB的中点，连接EF，OE。

（1）如图1，已知∠EAF=α，求∠OEF的大小；（2）如图2，已知∠EAF=α，求∠OEF的大小。

题型二、遇直角三角形，取斜边中点，连中线【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=12∠ABE，求证：DE=2AB。

【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥AB交BC于点E，求证：CD=12 BE。

题型三、遇两个共斜边的直角三角形，取斜边中点，分别连两中线【例5】如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=900，O为BC的中点，BD，CE交于点A，∠BAC=1200，求证：DE=OE。

【例6】如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点。

（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠A=600，求MNDE的值。

题型四、遇等腰三角形底边中点，构造直角三角形【例7】如图，∠ACB=1200，以AC，BC为边向外作等边△ACF和等边△BCE，点P，M，N分别为AB，CF，CE的中点。

（1）求证：PM=PN；（2）求证：∠MPN=600。

针对练习11、如图，矩形ABCD中，E为CB的延长线上一点，CE=CA，F是AE的中点，求证：BF⊥FD。

专题14 直角三角形斜边上的中线-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(解析版)

专题14直角三角形斜边上的中线★知识归纳●直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点梳理：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.★实操夯实一．选择题（共16小题）1．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）A．B．C．D．7【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.5【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝3．故选：A．3．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．不变B．变小C．变大D．无法判断【解答】解：不变．连接OP，在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，那么OP＝AB，由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．故选：A．4．如图，∠ABC＝∠ADC＝Rt∠，E是AC的中点，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2大小关系不能确定【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠1＝∠2．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．4【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB＝×10＝5，故选：C．6．已知直角三角形斜边上的中线长为3，则斜边长为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为3，∴斜边长是6．故选：B．7．直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm，故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝×6＝3cm．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：取BC的中点E，连接AE，∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝BC＝BE，∴∠B＝∠EAB，∵AD＝BC，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠D＝40°，∴∠B＝20°，故选：B．11．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10B．6C．8D．5【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝×10＝5，故选：D．12．如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝3，BC＝8，则△EFM的周长是（）A．21B．15C．13D．11【解答】解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝FM＝BC＝×8＝4，∴△EFM的周长＝8+8+3＝11．故选：D．13．如图，边长为2的等边三角形ABC，点A，B分别在y轴和x轴正半轴滑动，则原点O到C的最长距离（）A．B．C．D．【解答】解：取AB的中点D，连接OD，CD，在△OCD中，OC＜OD+CD，只有当O，D，C三点在一条线上时，OC＝OD+CD，此时OC最大，如图所示，OC⊥AB，∵△AOB为等腰直角三角形，AB＝2，∴OD＝AB＝1，在Rt△BCD中，BC＝2，BD＝1，根据勾股定理得：CD＝＝，∴OC＝+1．故选：D．14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．15．如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°．∵AD＝DB，∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝6．故选：D．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝3，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC＝2，又∵D是AB中点，∴BD＝AB＝，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝，∴△BDE的周长为BD+DE+BE＝++2＝5．故选：C．二．填空题（共7小题）17．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长是14．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝5，在Rt△BCF中，FM＝BC＝5，又∵EF＝4，∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝5+5+4＝14．故答案是：14．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AC的中点，若AB＝6，则DE的长为3．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝AC＝3．故答案为：3．19．如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC上一点，AD＝5，且AD⊥AB，点E是BD上的点，AE＝BD，AC＝6.5，则AB的长度为12．【解答】解：∵Rt△ABD中，AE＝BD，∴AE＝BE＝DE；∴∠B＝∠BAE，即∠AED＝2∠B；∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，即AE＝AC＝6.5；∴BD＝2AE＝13；由勾股定理，得：AB＝＝12．20．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60°，则∠AFG的度数是20°．【解答】解：∵四边形BEFG是长方形，∴FG∥BE，∴∠FBE＝∠BFG＝60°，∵AD＝BD＝BF，∴∠A＝∠ABD，∠BDF＝∠BFD，∵∠BDF＝∠DFB＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠EBF＝∠A+∠AFB＝3∠A＝60°，∴∠A＝20°，∵FG∥BE，∴∠AFG＝∠A＝20°，故答案为：20°．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．【解答】解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B 作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6．故答案为6．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝10°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴CD＝BD，CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD＝∠BCD＝50°，∴∠ACB′＝∠B′CD﹣∠DCA＝10°，故答案为：10°．三．解答题（共4小题）24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．【解答】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．25．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．（1）证明∠ABE＝∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；（3）求MN的长．【解答】解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACF；（2）MN垂直平分EF．证明：如图，连接EM、FM，∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，∴EM＝FM＝BC，∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；（3）∵EF＝6，BC＝24，∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，由勾股定理得，MN＝＝＝3．26．拓展：如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F．（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？（2）试证明你的猜想．【解答】解：（1）EF垂直平分BD，（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∴BE＝AE＝EC，ED＝AE＝EC，∴BE＝DE，∵EF平分∠BED交BD于点F，∴EF⊥BD，BF＝FD，即EF垂直平分BD．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，AM＝AN，∠N+∠CAN＝180°．求证：MN＝AC．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，∴CM＝AM，∴∠MCA＝∠MAC，∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∵∠N+∠CAN＝180°，∴AC∥MN，∴∠AMN＝∠MAC，∴∠AMC＝∠NAM，∴AN∥MC，又AC∥MN，∴四边形ACMN是平行四边形，∴MN＝AC．。

八年级下册数学直角三角形的性质1

直角三角形的性质教学目标：1、掌握直角三角形的两个性质定理，能运用直角三角形有关性质解决简单的数学问题。

2、进一步领会利用添加辅助线的方法来证明有关几何问题。

3、经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法。

4、通过图形的变换，引导学生进行类比联想，促进学生的四维想多层次方位发散。

5、在定理证明的过程中，体会交流的重要性，同时共同分享成功的喜悦。

教学要点：1、教学重点：让学生掌握直角三角形的两个性质定理。

DB本课的主要任务是让学生掌握直角三角形的性质定理，尤其是学生经历探索直角三角性质的过程，体会研究图形性质的方法。

新课标的基本理念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展，所以我积极倡导让学生亲身经历猜想、探究为主的学习活动，培养学生的好奇性和探究欲，使他们学会探究解决问题的策略。

教学设计上，引导学生动眼、动脑、动手、动嘴、主动探索、主动发现，主动获取新的知识，并在学生的自主活动中逐步培养和发展他们的创造能力和良好的个性品质。

直角三角形是人们日常生活中常见的一种几何图形，学生在前一节课已经学习了直角三角形的特殊判定定理，由此引起学生对性质的特殊性思考。

对于性质定理1没有耗费太多的时间，由学生通过算一算直接得到。

练习中的找一找让学生对于等腰直角三角形这一特殊情况引起大胆的猜想，借助几何画板去伪存真，得出直角三角形的中线性质。

在这一过程中，让学生逐步体会从特殊到一般的研究问题的策略。

接着就是命题的证明过程，对于证明思路的分析事先做好充分的准备，抓住中线的特点，运用几何画板演示旋转过程，引导学生得出辅助线的添加方法，再有学生独立完成证明过程。

例题的选择上也源于教材，旨在让学生抓住图形的特点学会运用性质解决几何图形。

整个课堂设计，通过“算一算”、“找一找”、“想一想”、“猜一猜”、“证一证”、“练一练”、“变一变”等一系列活动的参与，让学生去想，去说，去做，去表达，去体会成功的喜悦。

八年级下册数学直角三角形

八年级下册数学直角三角形一、直角三角形的定义与性质。

1. 定义。

- 有一个角为90°的三角形叫做直角三角形。

直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

2. 性质。

- 直角三角形的两个锐角互余。

即若ABC中，∠ C = 90^∘，则∠ A+∠ B = 90^∘。

- 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。

例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) + 4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。

- 在直角三角形中，30^∘角所对的直角边等于斜边的一半。

例如，在ABC 中，∠ C = 90^∘，∠ A=30^∘，设斜边AB = c，则BC=(1)/(2)c。

- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

如在ABC中，∠ C = 90^∘，D 为AB中点，则CD=(1)/(2)AB。

二、直角三角形的判定。

1. 定义判定。

- 直接看三角形中是否有一个角为90^∘，如果有，则这个三角形是直角三角形。

2. 勾股定理的逆定理。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

例如，三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144=169 = 13^2，所以这个三角形是直角三角形。

3. 一个三角形，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

- 例如，在ABC中，D为AB中点，CD=(1)/(2)AB，则∠ ACB = 90^∘。

三、直角三角形全等的判定（HL定理）1. HL定理内容。

- 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

2. 应用示例。

- 已知ABC和DEF都是直角三角形，∠ C=∠ F = 90^∘，AB = DE，AC = DF，根据HL定理，可以得出ABC≅ DEF。

四、解直角三角形。

1. 概念。

八年级数学下册《直角三角形的性质和判定》教案、教学设计

3.综合应用题：
-完成课本第47页的练习题6，结合勾股定理和逆定理，解决实际问题。
-设计一个直角三角形相关的数学小研究，可以是数学小论文、数学故事、数学游戏等，展示直角三角形在实际生活中的应用。
4.探索性问题：
-探索勾股定理的多种证明方法，了解数学史上的勾股定理证明过程。
-思考：直角三角形的性质和判定方法在解决其他类型几何问题中的应用。
2.强调勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用，提高学生的应用意识。
3.鼓励学生提出疑问，解答学生的疑问，帮助学生巩固所学知识。
4.总结学习方法，培养学生的自主学习能力，为后续学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本节课所学内容，确保学生对直角三角形的性质和判定方法有深入理解，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对直角三角形的性质和判定方法，设计不同难度的练习题，包括基础题、提高题和综合应用题。
2.练习过程：
a.学生独立完成练习题，教师巡回指导。
b.学生互相讨论，共同解决问题。
c.教师选取部分学生进行解答，及时给予反馈和指导。
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，引导学生总结直角三角形的性质和判定方法。
3.解决直角三角形相关问题的策略和方法。
（二）教学难点
1.勾股定理的推导和理解，以及在实际问题中的灵活运用。
2.逆定理的理解和应用，如何从给定的条件判断一个三角形是否为直角三角形。
3.学生在解决综合应用题时，往往难以将直角三角形的性质和判定方法与实际问题有效结合。
教学设想：
1.针对教学重点，采用以下策略：
-利用多媒体教学资源，如动画和实物模型，直观展示直角三角形的性质，帮助学生建立直观印象。

直角三角形斜边中线定理-教学设计

教学设计（1）回顾知识直角三角形的性质：在直角三角形中，两个锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）提出问题直角三角形的三条边之间还有什么关系吗？为什么？（3）新知探究a.动手操作实验：➢画一画：在已准备好的矩形卡片上画好两条对角线；➢剪一剪：沿着一条对角线裁剪卡片，得到一个直角三角形；➢量一量：测量斜边与斜边上中线的数量关系；➢想一想：从中你发现了什么规律？如何证明这个规律呢？采取方式：师生一起进行演示，发现规律。

设计意图：教师与学生一起以动手实践的方式进行探究学习得出结论，有利于培养学生的动手能力以及思维方式，能让激发学生的学习兴趣，使课堂氛围更加融洽，也让学生对知识点掌握得更加深刻。

b.几何画板演示：用几何画板演示改变直角三角形的大小，让学生观察直角三角形的斜边与斜边上中线的长度的变化，是否也存在直角三角形的斜边上的中线长度为斜边长度的一半。

设计意图：在上一个动手实验得出结论的基础上，用数学工具演示所得结论是否具有普遍性，让学生感受数学逻辑的严谨性，也给课堂增加一些小趣味，让课堂不枯燥。

（4）新知论证AB已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上中线。

求证:CD=12证明：延长CD至E点，使得DE=CD，连接AE、BE。

∵CD为斜边AB上的中线∴AD=BD∵DE=CD∴四边形ACBE为平行四边形又∵∠ACB=90°∴四边形ACBE为矩形AB∴CE=AB∴CD=12AB∴CD=12设计意图：通过对探索出来的知识的论证，给学生提供解决问题的一种思路，并且让学生对所学知识的产生有充分的理解，加深知识的记忆。

（5）新知概述直角三角形斜边中线定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

几何语言叙述：AB Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上中线，则CD=12设计意图：经过上一步的论证，得出更准确的知识点，让学生对定理有更清晰的认识。

八年级数学下册《直角三角形全等的判定》教案、教学设计

四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的直角三角形应用，如楼梯、桥梁等，引导学生观察和思考直角三角形的特征及其在全等判定中的应用。
2.提问：“同学们，我们已经学过全等三角形的判定方法，那么直角三角形有哪些特殊的地方呢？如何判断两个直角三角形全等？”通过问题引导学生回顾旧知，为新课的学习做好铺垫。
3.引入本节课的教学目标，让学生明确学习直角三角形全等判定的意义和作用。
（二）讲授新知
1.通过具体的直角三角形例子，讲解SAS、ASA、AAS和HL四种判定方法，让学生理解并掌握这四种方法的含义和应用。
- SAS：已知两个直角三角形的两边和夹角相等，可以判定这两个三角形全等。
- ASA：已知两个直角三角形的夹角和两边相等，可以判定这两个三角形全等。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：直角三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS和HL）的掌握和应用。
2.难点：
-理解并灵活运用不同的全等判定方法解决实际问题。
-在复杂几何图形中识别直角三角形全等的条件，并运用全等性质进行推理。
-将全等三角形的判定与几何图形的性质相结合，解决综合性的几何问题。
- AAS：已知两个直角三角形的两个角和一边相等，可以判定这两个三角形全等。
- HL：已知两个直角三角形的斜边和直角边相等，可以判定这两个三角形全等。
2.结合具体例题，逐一演示这四种判定方法的应用，让学生在实际操作中理解和掌握。
3.强调直角三角形全等判定中的关键步骤和注意事项，如正确识别对应边、对应角等。
4.小组合作题：布置一道需要小组合作完成的题目，要求学生在小组内部分工合作，共同探究解决问题的策略，提高学生的团队协作能力。

人教版-数学-八年级下册-判定直接三角形

判定直接三角形广西赵一龙“如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形”，这一定理就是勾股定理的逆定理，它是判断一个三角形是直角三角形的重要依据．下面介绍勾股定理的逆定理的广泛应用．一、已知线段的具体长度，判定直角三角形例1 下列各组长度的线段中，能组成直角三角形的是【】A ．1 cm ，2 cm ，3 cmB ．9 cm ，16 cm ，25 cmC ．11a cm ，12a cm ，13a cm （a ＞0）D ．2 cm ，3 cm ，5 cm分析：要判断所给的一组线段能否组成直角三角形，首先要判断其能否组成三角形，如果能的话，那么再判断两条较短线段长的平方和是否等于最长线段长的平方即可．解：选项A 中，因为1＋2＝3，所以不能构成三角形；选项B 中，因为9＋16＝25，所以不能构成三角形；选项C 中，三条线段可以构成三角形，但（11a ）2＋（12a ）2≠（13a ）2，所以不能构成直角三角形；选项D 中，三条线段可以构成三角形，且（2）2＋（3）2＝（5）2，所以能构成直角三角形，故选D ．跟踪训练1 判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=54 ，b=1，c=34；（2）a=14，b=13，c=15．二、已知三角形三边长之比，判定直角三角形例2 已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足a ∶b ∶c ＝8∶17∶15，试判断此三角形是否为直角三角形．分析：题中只给出了三角形的三边长之比，不易找出三边的关系，为此可考虑设参数来表示三角形的三边长，然后再观察其是否是直角三角形．解：设a=8k ，b=17k ，c=15k （k ＞0）．因为a 2+c 2=（8k ）2＋（15k ）2＝289k 2，b 2＝（17k ）2＝289k 2，所以a 2+c 2＝b 2，所以△ABC 是直角三角形．跟踪训练2 在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶1∶2，则△ABC 是【】A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形三、已知三角形三边长所满足的关系式，判定直角三角形例3 若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2＋c 2＋200＝12a ＋16b ＋20c ，试判断△ABC 的形状.分析：要判断以a 、b 、c 为三边长的三角形的形状，需要先根据已知的关系式求出a 、b 、c 的值，然后再判断三角形的形状．解：已知关系式可变形为（a 2－12a ＋36）＋（b 2－16b ＋64）＋（c 2－20c ＋100）＝0，即（a －6）2＋（b －8）2＋（c －10）2＝0，可得a ＝6，b ＝8，c ＝10.因为a 2+b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形.跟踪训练3 已知12x -+25x y +-+x 2-10z+25=0,则x 、y 、z 为三边长的三角形是直角三角形吗？并说明理由。

人教版八年级下册数学专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结

八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．B ．C ．4 D ． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

人教版数学八年级下册12.2 第4课时用“HL”判定直角三角形全等

第4课时用“HL 〞判定直角三角形全等01 根底题知识点1 用“HL 〞判定三角形全等1．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，那么△ABC ≌△DCB 的理由是(A )A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS2．以下判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的选项是(D )A ．两条直角边分别对应相等B ．斜边和一锐角分别对应相等C ．斜边和一条直角边分别对应相等D ．两个三角形的面积相等3．如下图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，再添加一个条件答案不唯一，如AB ＝AC ，或BD ＝CD 等，可使△ABD ≌△ACD.4．如图，小明和小芳以一样的速度分别同时从A ，B 出发，小明沿AC 行走，小芳沿BD 行走，并同时到达C 、D ，假设CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，那么CB 与DA 相等吗？为什么？解：CB ＝DA.理由：由题意易知AC ＝BD. ∵CB ⊥AB ，DA ⊥AB ， ∴∠DAB ＝∠CBA ＝90°. 在Rt △DAB 和Rt △CBA 中，⎩⎨⎧BD ＝AC ，AB ＝BA ， ∴Rt △DAB ≌Rt △CBA(HL )． ∴DA ＝CB.5．如图，AD ⊥BE ，垂足C 是BE 的中点，AB ＝DE ，求证：AB ∥DE.证明：∵C 是BE 的中点， ∴BC ＝CE.∵AD ⊥BE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. 在Rt △ACB 和Rt △DCE 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，BC ＝EC ，∴Rt △ACB ≌Rt △DCE(HL )． ∴∠B ＝∠E.∴AB ∥DE.6．如图，∠ACB ＝∠CFE ＝90°，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：AD ＝CF.证明：∵∠ACB ＝∠CFE ＝90°， ∴∠ACB ＝∠DFE ＝90°. 在Rt △ACB 和Rt △DFE 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，∴Rt △ACB ≌Rt △DFE(HL )． ∴AC ＝DF.∴AC －AF ＝DF －AF ，即AD ＝CF.知识点2 直角三角形全等判定方法的选用 7．如图，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C′＝90°，那么以下各条件中，不能使Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′的是(B )A ．AB ＝A′B′＝5，BC ＝B′C′＝3B ．AB ＝B′C′＝5，∠A ＝∠B′＝40°C ．AC ＝A′C′＝5，BC ＝B′C′＝3D ．AC ＝A′C′＝5，∠A ＝∠A′＝40°8．如下图，AB ＝AD ，那么添加以下一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是(C )A ．CB ＝CDB ．∠BAC ＝∠DAC C ．∠BCA ＝∠DCAD ．∠B ＝∠D ＝90°02 中档题9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，DE ⊥BC ，AC ＝6，EC ＝6，∠ACB ＝60°，那么∠ACD 的度数为(B )A ．45°B ．30°C ．20°D ．15°10．如图，MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，点A ，D 在直线MN 上，点B ，C 在直线PQ 上，点E 在AB 上，AD ＋BC ＝7，AD ＝EB ，DE ＝EC ，那么AB ＝7．11．(镇江中考)如图，AD 、BC 相交于点O ，AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°.(1)求证：△ACB ≌△BDA ；(2)假设∠ABC ＝35°，那么∠CAO ＝20°.证明：∵∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ACB 和△BDA 是直角三角形．在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，⎩⎨⎧BC ＝AD ，AB ＝BA ，∴Rt △ACB ≌Rt △BDA.12．如下图，AB ＝CD ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，且BF ＝DE ，求证：AB ∥CD.证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠AFB ＝∠CED ＝90°. 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL )． ∴∠BAF ＝∠DCE. ∴AB ∥CD.13．如图，AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE.求证：BC ＝BE.证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠ADB ＝∠AFB ＝90°. ∵AB ＝AB ，AD ＝AF ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ABF. ∴DB ＝FB.∵AC ＝AE ，AD ＝AF ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE. ∴DC ＝FE.∴DB －DC ＝FB －FE ，即BC ＝BE.03 综合题14．如图，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，AF ⊥CD.求证：F 是CD 的中点．证明：连接AC ，AD. 在△ABC 和△AED 中，⎩⎨⎧AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED(SAS )． ∴AC ＝AD.在Rt △ACF 和Rt △ADF 中，⎩⎨⎧AC ＝AD ，AF ＝AF ，∴Rt △ACF ≌Rt △ADF(HL )． ∴CF ＝DF ，即F 为CD 的中点．。

人教版八年级下册数学知识点总结

人教版八年级下册数学知识点总结(一)勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

(例：勾股定理与勾股定理逆定理) 第十九章四边形平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等。

平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形;3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。

矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形。

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形的定义：邻边相等的平行四边形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

人教版八年级下册数学知识点总结(二)数据的分析1.加权平均数：加权平均数的计算公式。

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

2.将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode)。

八年级数学《巧用设疑激思,探究直角三角形的斜边上中线的性质》教学案例人教版

设疑激思的教学案例《巧用设疑激思，探究直角三角形的斜边上中线的性质》内容提要：“学起于思，思源于疑。

”在课堂教学中，适时适度的设疑，巧妙的设疑，能充分调动学生的学习积极性，激发求知欲望，开拓学生思维，提高教学效果。

直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，在与勾股定理，等腰三角形的相关内容结合时，常常作为一个条件来应用。

关键词：案例设疑激思直角三角形斜边中线所谓设疑激思，就是根据学生的好奇心理和求知欲望，在教学中,教师运用一定的方式、方法、技巧设置问题，制造疑惑，然后引导学生带着问题探究学习，充分发挥学生的主体作用，进而完成教学任务的一种教学方法。

“学起于思，思源于疑。

”在课堂教学中，适时适度的设疑，巧妙的设疑，能充分调动学生的学习积极性，激发求知欲望，开拓学生思维，提高教学效果。

本文拟尝试用一节习题课，来体现设疑激思法在数学教学中的应用Array人教版八年级数学下册矩形一节，由矩形的对角线性质“矩形的对角线相等”我们得到了直角三角形的一个重要性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”1如图：△ABC中，∠ACB＝90o，点D是斜边AB的中点，则CD＝AB2对于这条性质，教材的要求较低，但在与其他相关的知识结合时，运用却相当广泛，并且这条性质常常作为一个重要的条件出现，为了使学生熟练地掌握和运用，我在习题课上分层次设置了一下几个设疑激思的环节，来提高学生“设疑——探究——释疑”的能力。

一、基本应用：1、如图Rt △ABC 中，ACB ＝90o ，AC ＝5，BC ＝12，求斜边上的中线CD 的长解（略）2、如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，如果CD ＝5，AC ＝6，你能求出BC 的长吗？设计理念：直接应用性质，可以使所有学生有愉悦的体验，进而提高兴趣，增强信心。

解：∵CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝5 ∴斜边AB ＝10 根据勾股定理，得 BC 2＝AB 2－AC 2＝64 ∴BC ＝8探究结论：这条性质说明了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系，只要给出了性质的题设，我们就可以利用结论进行计算。

八年级下册数学知识点归纳：第十七章勾股定理

人教版八年级下册数学知识点归纳第十七章勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a, b, c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°1AB可表示如下：∠C=90°⇒BC=2（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°1AB=BD=AD 可表示如下： D为AB的中点⇒CD=25、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°BD2=CD•AD⇒AB2=ADAC•CD⊥AB AB2=BC•BD6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB•CD=AC•BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系2c22a=+，那么这个三角形是直角三角形。

b8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

八年级下册数学直角三角形的性质

直角三角形判定的教学设计教学目标：1.掌握直角三角形的判别条件。

2.熟记一些勾股数。

能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。

教学重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。

教学难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题。

教学过程：一 .复习引入：1、复习直角三角形的性质：角的性质、边的性质。

2、我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？二、讲述新课：1、古代埃及人作直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。

其直角在第4个结处。

他们真的能够得到直角三角形吗？2、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。

（1）这三组数都满足a2+b2=c2 吗？（2）分别以这三组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3、从做一做中，你能猜想到什么结论？勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 13， 11， 9．解因为 252 = 242 + 72372 = 352+122132 ≠112+92所以根据的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形4、勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。

请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。

练习：在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单位、45个单位和75个单位的三段线段。

人教版数学八年级下册17.1《勾股定理(直角三角形三边的关系)》教案

三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-学会运用勾股定理计算直角三角形的边长。
-熟悉勾股定理的证明方法，如构造法、割补法等。
-能够识别和判断勾股数。
-掌握勾股定理在实际问题中的应用。
举例：在教学过程中，教师应通过多种例题和图形，反复强调勾股定理的表达式和应用方法，确保学生能够准确记忆并熟练运用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明方法这两个重点。对于难点部分，如证明过程的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如构造直角三角形模型，演示勾股定理的基本原理。
其次，在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论并不充分，部分学生参与度不高。为了提高学生的参与度，我打算在接下来的课程中，尝试采取一些激励措施，如设立小组竞赛，鼓励学生积极发言，提高他们的讨论热情。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生对于勾股定理在实际生活中的应用了解不够深入。这可能是因为他们在生活中观察不够仔细，或者是对数学知识的应用意识不够强烈。针对这个问题，我计划在今后的教学中，多引入一些生活中的实际案例，让学生感受到数学知识的实用价值，激发他们学习数学的兴趣。

数学人教版八年级下册直角三角形