高考数学考点题型专题训练13---球的内切、外接问题

设球心到平面 ABC 的距离为 h,则 h2 + 3 = R2 = ( 3 × 2 3 − h)2
2
∴h=1，R=2，
∴球
O
体积为
4 3
⋅
π
⋅
23
=
32 3
π
故选：D
2 答案及解析： 答案：D 解析：∵三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且三条侧棱长分别为 3, 2,1， ∴可将其补充为一个长宽高分别为 3, 2,1的长方体， ∴其外接球的直径 2R = 1+ 2 + 3 = 6 ， ∴三棱锥的外接球的表面积 S = 4πR2 = 6π ， 故选：D.
3,r =
3
，所求外接球的体积
2
V = 4 πr3 = 4π × ( 3 )3 = 4π × 3 3 = 3π
3
3 2 38 2
11 答案及解析： 答案：C 解析：由题意画出几何体，如图所示观察图形可知三棱锥 D − ABC 的外接球即为所对应
直三棱柱的外接球，
把 A,B,C,D 扩展为三棱柱，上、下底面所对应外接圆的圆心分别为 F,E ，
DO1
=
13 2
+
6
=
25 2
，故四面体
ABCD
体积的
最大值为 1 × 1 × 3× 4 × 25 = 25 .
32
2
9 / 11
14 答案及解析：
答案：A
解析：如图，三棱锥 P − ABC 的外接球即长方体的 外 接 球 ， 球 心 为 O , 球 的 半
径 R = 12 + 22 + 32 = 3 , 取 MN 的中点为 E,连接 OE,OM , 则 OE ⊥ MN,OM = 1, ME = 2 , 得
4，体积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B． 20π
C． 24π
D． 32π
9、已知长方体 ABCD − A1B1G1D1 ，内接于半球 O，且底面 ABCD 落在半球的底面上，底面 A1B1C1D1 的四个顶点落在半球面上.若半球的半径为 3， AB = BC ，则该长方体体积的最 大值为( )
9 答案及解析：
答案：A
， 解析：如图，设 AB = BC = a CC1 = h ，长方体的体积为 V，由长方体内接于半球得
（ ）
2 2
2 a
Baidu Nhomakorabea
+ h2
= 9 ，则 h2
=9−
a2 2
，令 t
=
a2 2
.则 a2
=
2t
0<t
<9
，所以
（ ） （ ） （ ） V 2 = a2h 2 = a4h2 = 4t2 (9 − t ) = −4t3 + 36t2 .令 f t = −4t3 + 36t2 0 < t < 9 ，则
（ ） （ ，） （ ） （ ） （ ，） f (t) = −12t2 + 72t = −12t t − 6 ，所以当 t ∈ 0 6 时， f ' t > 0 ， f t 单调递增，当 t ∈ 6 9 时，
（ ） （ ） （ ） f ' t < 0 ， f t 单调递减，所以当 t = 6 时， f t 最大，即长方体的体积最大，此时
， a = 2 3 V = 12 3 ，故选 A.
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10 答案及解析：
答案：C
解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，记作 S − ABCD ，其中 SA ⊥ 平面 ABCD ,且 SA = 1,
底面 ABCD 为正方形，边长为 1.将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线为外接
球的直径,设外接球的半径为 r,则 2r =
OA = R 。
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由勾股定理得 R2 = OE2 + AE2 = 36 +12 = 48 ，所以 R = 4 3 ，所求球的表面积为
( )2
4π 4 3 = 192π .故选 C.
12 答案及解析：
答案：C
解析：由题意可得 PB ⊥ PE ;， PC ⊥ PE , PB = PC = 1, BC = 2 ,则 PB ⊥ PC ，所以三棱锥
四面体 A'− BCD ,使平面 A' BD ⊥ 平面 BCD ,若四面体 A'− BCD 顶点在同一个球面上,可知
A' B ⊥ A'C ,所以 BC 是外接球的直径,所以 BC = 3 ,球的半径为: 3 ,所以球的体积
2
为:
4π 3
3 2
3
=
3 π ,选 A.
2
7 答案及解析：
答案：B
△ △ 解析：设球心为 O,由 ABC 的三边长 分别为 3,4,5 得， ABC 为直角三角形.设
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为( )
A. 3 π
2
B. 3π
C. 2 π
3
D. 2π
△ 7、设 A, B,C, D 是半径为 6.5 的球面上的四点, ABC 的三边长依次为 3,4,5,则四面体
ABCD 的体积的最大值为( )
A.26
B.25
C.18
D.13
8、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为
A．
3 2
B．3
C． 3
D．2
5、将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． 4π
3
B． 2π
3
C． 3π
2
D． π
6
6、平面四边形 ABCD 中, AB = AD = CD = 1, BD = 2, BD ⊥ CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体
A'− BCD ,使平面 A' BD ⊥ 平面 BCD ,若四面体 A'− BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积
高考数学考点题型专题训练
球的内切、外接问题
△ △ 1、已知三棱锥 D − ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上, ABC 和 DBC 所在平面互相垂
直， AC = 3 , AB = 3, BC = CD = 2 3 ,则球 O 的体积为（
A．
4π 3
B． 4 3π
C． 36π
）
D．
32π 3
2、三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 3, 2,1,则该三棱锥的外接球的表面积( )
DO1
=
13 2
+
6
=
25 2
，故四面体
ABCD
体积的最大值为
1 × 1 × 3× 4 × 25 = 25 。
32
2
6 / 11
8 答案及解析： 答案：C 解析：由题意知正四棱柱的底面积为 4，所以正四棱柱的底面边长为 2，正四棱柱的底 面对角线长为 2 2 ,正四棱柱的对角线为 2 6 而球的直径等于正四棱柱的对角线，即 2R = 2 6 所以 R = 6 ,所以 S球 = 4πR2 = 24π .
P − BCE 可补成以 PB, PC, PE ，为边的长方体，故其外接球的直径 2R =
12 + 12 +
2 2
2
=
5 2
则其外接球的表面积为 4πR2 = 5π
2
13 答案及解析：
答案：B
△ △ 解析：设球心为 O,由 ABC 的三边长 分别为 3,4,5 得 ABC 为直角三角形.不妨设
A. 24π
B. 18π
C. 10π
D. 6π
3、一正三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为( )
A. 21
B. 6
C. 7
D. 3
2
4、如图所示，已知四棱锥 P − ABCD 的高为 3，底面 ABCD 为正方形， PA = PB = PC = PD
且 AB = 6 ，则四棱锥 P − ABCD 外接球的半径为( )
同时易知点 O 在过 SD 的中点与直线 SD 垂直的平面上，
则 OO1
=
SD 2
, 连接
△ DO1,OD, 此时在 Rt OO1D 中，由勾股定理可得 OD2 = DO12 + OO12 ,
△ AB = 3, BC = 4, AC = 5 ,如图， ABC 的截面圆的圆心 O1 在 AC 的中点，连接 OO1 ,又 OO1 ⊥
平面 ABC ,则 OO1 =
AO2 − AO12 =
(13)2 2
− (5)2 2
=
6 ,当点
D
在 OO1 的延长线与球面的交点处
时，四面体
ABCD
的体积最大，此时
3
则 AD2 + BD2 = AB2 , 所以 ∠ADB = π .
2
又因为四边形 ABCD 是等腰梯形，
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所以四边形 ABCD 外接圆的直径为 AB. 设 AB 的 中 点 为 O1, 球 的 半 径 为 R , 则 球 O 的 球 心 在 过 点 O1, 与平面 ABCD 垂直的直线上， 如图所示.
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3 答案及解析：
答案：A
解析：解:正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心,球心与顶点的连线长
( ) 就是半径,所以, r =
3 2
2
+
2
3=
21 .故选 A.
2
4 答案及解析：
答案：D 解析：由已知，四棱锥 P − ABCD 为正四棱锥，设外接球半径 R，连接 AC , BD 交于点 O′ ， 连接 PO′ ,外接球的球心 O 在高 PO′ 上，连接 OA ,则 OA = OP = R ,∵四棱锥 P − ABCD 的高
A. 64 3π
B. 96π
C.192π
D. 48π
△ △ 12、已知矩形. ABCD, AB = 1, AD = 2, E 为 AD 的中点.现分别沿 BE,CE 将 ABE, DCE 翻
折，使点 A, D 重合，记为点 P 则几何体 P − BCE 外接球的表面积为( )
A.10π
B. 5π
C. 5π
将棱长为 2 的正方体木块切削成一个体积最大的球时，
球的直径等于正方体的棱长 2，
则球的半径 R=1，
则球的体积V = 4 ⋅ π ⋅ R3 = 4π
3
3
故选 A.
6 答案及解析：
答案:A
解析:由题意平面四边形 ABCD , AB = AD = CD = 1, BD = 2, BD ⊥ CD 将其沿对角线 BD 折成
3
（）
A. 5π
B. 4π
C. 3π
D. 2π
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答案以及解析
1 答案及解析：
答案：D
解析： ∵AB=3, AC = 3, BC = 2 3 ∴ AB2 + AC2 = BC2 ,
∴AC⊥AB，
∴△ABC 的外接圆的半径为 3
∵△ABC 和△DBC 所在平面相互垂直，
∴球心在 BC 边的高上，
2
D. 5 5π
12
△ 13、设 A, B,C, D 是半径为 6.5 的球面上的四点, ABC 的三边长依次为 3,4,5,则四面体
ABCD 体积的最大值为( )
A.26
B.25
C.18
D.13
14、已知三棱锥 P − ABC 中, ∠PAB = ∠PAC = ∠BAC = 90°, PA = 1, AB = AC = 2, M , N 分别为
△ B = 3, BC = 4, AC = 5 ,如图
ABC
的截面圆的圆心
O1
是
AC
的中点，
AO1
=
1 2
AC
=
5 2
,
又 OO1 ⊥ 平面 ABC ,所以 OO1 =
AO2 − AO12 =
(13)2 2
− (5)2 2
=
6 ,当点
D
在 O1O
的延长线与球
面的交点处时四面体
ABCD
的体积最大，此时
则 EF 的中点为外接球的球心 O，球心 O 与 A 的距离为球的半径 AD = 2AB = 12 ，AB = 6 ，
△ABC 是正三角形，
△ △ 设
ABC 的外接圆的半径为 r，则
ABC
2r
的外接圆直径为
=
6 sin π
=
4
3.
3
△ 在直角
OAE
中， OE
=
AD 2
=
6，
AE
=
r
=
2
3 ，设三棱锥 D − ABC 外接球的半径为 R，则
PB, PC 的中点,则直线 MN 被三棱锥 P − ABC 外接球截得的线段长为（ ）
A. 7
B. 2
C. 3 3
2
D. 2 2
15、已知四棱锥 S − ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上, SD ⊥ 平面 ABCD, 底面 ABCD 是 等腰梯形, AD//CD 且满足 AB = 2AD = 2DC = 2, 且 ∠DAB = π , SC = 2, 则球 O 的表面积是
△ 为 3， AB = 6 即 PO′ = 3 ,∴ O′A = 6 = 3,OO′ = 3 − R 又∵ OO′A 为直角三角形 2
( ) ∴ OA2 = O′A2 + OO′2 ,即 R2 = 3 2 + (3 − R)2 ,解得 R = 2 故选：D
5 答案及解析： 答案：A 解析：
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2
2
2
OE = 2 , 所以直线 MN 被球 O 截得的线段长为 2 R2 − OE2 = 2 1 − 1 = 7. 故选 A.
2
92
15 答案及解析：
答案：A 解析：因为 AB = 2AD = 2,∠DAB = π ,
3
所以由余弦定理得 BD = AB2 + AD2 − 2AB ⋅ AD cos π = 3,
A.12 3
B. 6 6
C.48
D.72
10、某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为( )
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A. 3π
8
B. 3π
2
C. 3π
2
D. 3 3π
2
△ 11、已知 A,B,C,D 是同一球面上的四个点，其中 ABC 是正三角形， AD ⊥ 平面 ABC ，
AD = 2AB = 12 ，则该球的表面积为（ ）