三角形角平分线的结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用

摘要：

一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习

一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，

1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋

2

解：∵BD、CD为角平分线

1∠ＡＢＣ，（图1）

∴∠ＣＢＤ＝

2

1∠ＡＣＢ。

∠ＢＣＤ＝

2

在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）

1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）

＝１８０°－

2

1（１８０°－∠Ａ）

＝１８０°－

2

1∠Ａ

＝９０°＋

2

变式练习的题目有

（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

1∠Ａ。则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋

2

容易得出∠Ａ=20°（图2）

（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°

∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

解：∵∠ A+∠ＡＢＣ+∠ＡＣＢ+∠D=360°

又∵∠D=120°，∠A=100°

∴∠ＡＢＣ+∠ＡＣＢ=140°

∵ BE、CE分别是ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线

∴∠EBC+∠ECB=70°. （图3）

∴∠BEC=110°.

结论二、如图4，△ABC中，Ｄ为△ＡＢＣ的两条外角平分线的交点，试探究：

1∠A

∠D＝９０°－

2

解：∵ＢＤ、ＣＤ为角平分线

1∠ＣＢＥ

∴∠CBD=

2

1∠ＢＣＦ（图4）

∠ＢＣＤ＝

2

在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）

＝１８０°－（21∠ＣＢＥ＋21∠ＢＣＦ）

＝１８０°－2

1

（∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ） ＝１８０°－2

1（∠Ａ＋１８０） ＝９０°－2

1∠A 变式练习的题目：

（1）如图5，△ABC 中，∠A=60°，Ｄ为△ＡＢＣ的两外角∠CBE 与∠BCE 的

三等分线的交点，则∠D 的度数是 。

解：∵ＢＤ、ＣＤ为∠CBE 与∠BCE 三等分线

∴∠CBD=31∠ＣＢＥ ∠ＢＣＤ＝31∠ＢＣＦ

在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ） （图5） ＝１８０°－（31∠ＣＢＥ＋31∠ＢＣＦ）

＝１８０°－3

1（∠ＣＢＥ＋∠ＢＣＦ） ＝１８０°－31

（∠Ａ＋１８０）

＝12０°－3

1∠A ＝100°. （图6）

（2）如图6，在△ＡＢＣ中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 △DEF ，试判断△DEF 的形状。

解:由结论二容易得出∠D ＝90°－21∠ACB, ∠E ＝90°－21∠BCA 、 ∠F ＝90°－21∠ABC ， 由于∠D 、∠E 、∠F 都小于90°，

所以△DEF 是锐角三角形

结论三、 如图7，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ与△ＡＢＣ的外角∠ＡＣＥ的平分线交与点D ，试探究：∠Ｄ＝21∠Ａ。

解：∵ＢＤ为角平分线， ∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＢＣ，

又∵ＣＤ为∠ＡＣＥ的平分线.

∴∠ＤＣＥ=21∠ＡＣE ， （图7）

∴∠Ｄ＝21∠ＡＣE －21∠ＡＢＣ

＝21（∠ＡＣE －∠ＡＢＣ） ＝2

1∠Ａ。

变式练习的题目有;

（1）如图8，如图，在△ABC 中，延长BC 到D,∠ABC 与∠ACD 的角平分线相较于Ａ１点，∠Ａ１BC 与∠C Ａ１D 的平分线交与Ａ１点，以此类推，…，若∠

A=96°，则∠Ａ５= 度．

解：由命题③的结论不难发现规律∠Ａｎ＝n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21∠A ． 可以直接得：∠Ａ５=32

1×96°=3°． （图8）

结论四、如图9，在△ABC 中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D ，△ＡＢＣ的两条外角平分线交与点E ，试探究：∠D+∠E=180°

证明：由结论一可知;∠D=９０°＋2

1∠Ａ

则∠Ａ=2∠D －180° ①

由结论二可知：∠E ＝９０°－21∠A

∠Ａ=180°－ 2∠E ②

由①②可知2∠D －180°= 180°－ 2∠E （图9）