材料力学第四章平面弯曲讲解

100mm
D t max

M
D

yD t max
Iz
21.7MPa
B c max

MB

yD c max
Iz
12.1MPa
B t max

MB

yB t max
Iz
21.4MPa
B c max

MB

yB c max
Iz
38.6MPa
D t max

M
D

yD t max
1.作图示梁的FQ和M图
q
ql
A
B C ql2
2l
l
2.绘出梁的剪力图和弯矩图
ql2
2ql
l
2l
3.纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲：如图CD段。
aF
A C
Fa
B D
F
剪切弯曲（横力弯曲）：
+
FQ
如图AC段和BD段。
-
F M
+
Fa
§4-2 梁横截面上的正应力
梁的横截面上一般同时存在正应力和切应力。
FQ由切向微内力τdA合成；M由法向微内力σdA合成。
变形特点：杆的轴线在纵向对 称平面内弯成曲线。
Me q(x) F
若梁不具有纵向对称面， 或虽有纵向对称面但外力不 作用在该面内，这种弯曲统 称为非对称弯曲。
二、弯曲杆件内力回顾
1.剪力和弯矩 计算方法：截面法
F1 a
m
A
m
x
F2 B
y a F1 FQ
m
A
c
x
xm M
FRA
2.剪力图和弯矩图
FQ=FQ(x) 剪力方程 M=M(x) 弯矩方程
Iz
21.7MPa
B c max

MB

yD c max
Iz
12.1MPa
D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面
60
yc=180
220
c
z
280
60
D截面
y
§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关 一、矩形截面梁
两个假设
1.切应力与横截面的侧边平行， 与剪力方向一致；
280
60
y
B、D截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
B截面 上部受拉、下部受压
Iz 186.6106 m4
yB t max
100mm
yB c max
180mm
B t max

MB

yB t max
Iz
21.4MPa
B c max

MB

yB c max
EIz —— 梁的弯曲刚度
σ=Eε
y =E ρ
1 ρ
=
Mz E Iz
Mzy ——正应力公式
Iz
正应力性质（正负号））确定：
σ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。
最大正应力： max
Mymax Iz
令
Wz =
Iz ymax
弯曲截面系数
得
M
max Wz
① z轴为对称时：
Iz
38.6MPa
q=20kN/m
220
A D
B
C
60
4m
2m
c
z
40
1.5m
-
+
22.5 M/kN·m
yc=180 x
280
60
y
B、D截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
D截面 上部受压、下部受拉
Iz 186.6106 m4
yD t max
180mm
yD c max
这时

M(x)y
Iz
1
M(x) =
ρ(x) E Iz
max
Mmax Wz
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的 最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。
F=20kN
A
B
C
3m 3m
解： 1. 求最大弯矩Mmax
max

FQ
S
* z max
Izd
S* z max
180 6090 972103 mm 3
Iz

1 12
220 603
702
220 60 1 12
60 2203

702
60 220
186.56106 mm 3
max

FQ
S
* z max
Izd
第四章 平面弯曲
§4-1 概 述
一、平面弯曲的概念
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此 面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生 平面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。
外力特点：作用在纵向对称面 内、垂直于杆轴线的集中力或 分布力，或作用在纵向对称面 内的力偶。

3 2
FQ bh

3ql 4bh
ql
单元体2:
FQ 2 +
ql
4
2
σ σ ＝
9ql 2 max 16bh2
ql2
32
-
3ql2
+
32
l/4
ql 4
- ql
2 ql2 32
-
z
b
单元体3: 3
单元体4:
4
σ My 3ql2 I z 32bh3
τ
FQ
S
* z

9ql
I zb 16bh
1 l/4

FQ
S
* z max
Izd

FQ
d3 12
d 4 d

4 3
FQ A
64
四、薄壁圆环截面梁
中性轴处：
max 2 FQ
A
d/2
z
max
r0
z
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
解：1.腹板的最大切应力

50103 186.56 106
972103 109 1012 60103
Pa
4.34MPa
2.腹板上切应力分布


FQ
S
* z
Izd
抛物线分布
腹板和翼缘交界处：
S
* z1

70
60

220

924
103
mm
3
1

FQ
S
* z1
Izd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
◈切应力的产生
二、工字型截面梁
1.腹板切应力τ
b

dz
ab

y
对于T形、槽形和箱形截 面，其腹板上的切应力计 算同样可采用该公式。
τmax
τ = FQ Sz* Iz d
τ
FQ
h2 [b(

h2 1
)

d
(
h2 1

y 2 )]
2I z d
24
4
y0
max

FQ
S
* z max
Izd
中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。 中性轴：中性层与横截面的交线。
中性层
横截面绕中性轴转动
找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变
化规律：
dq
取微段梁dx
1
2
1
2
dx
O1
y
O2
O1'
O2'
a
b
1
2
a'
b'
dx
1
2
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
变形前 变形后
dx= ab=O1O2 O 1O'2=ρdθ =O1O2
FN=∫
AσdA =
E ρ
∫
A
ydA
=0
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴
M
z
M y
zdA
A
的面积矩为零，
中性轴过形心。
dA y z σdA

E

A
yzdA
0
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
Mz=∫ AσdA·y
=
E∫ ρ
A
y2dA
=
E ρ
Iz
1 ρ
=
Mz E Iz
中性层曲率公式
q=20kN/m
220
A D
B
C
60
4m
2m
c
z
40
1.5m
-
+
22.5 M/kN·m
yc=180 x
280
60
y
解： 1. 作弯矩图 B、D截面为危险截面
MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
q=20kN/m
220
A D
B
C
60
4m
2m
c
z
40
1.5m
-
+
22.5 M/kN·m
yc=180 x
一、纯弯曲梁的正应力公式
1.变形几何关系
试件变形后
横线：保持为一条直线,与变形后 的纵线正交，相对原来位置转过 一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短， 下部纵线伸长。 横截面：上部略有扩展，下部略有收缩。
假设：
平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。
单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。
dA M dM
A*
Iz
A*
ydA

M
dM Iz
S
* z
δ
u
h
δ
z
bu
（a）
dx
τ'1 A
τ1
FN2
FN1
u dx
（b）
τ1
τ1
（c）



1
1

FQ
S
* z
I z
其中
S
* z
——面积δ×u
对中性轴的面积矩。
S* z


u

1 2
(h

)
三、圆形截面梁
中性轴处：
max
q
2 h/4 4 3
l
l/4
ql
FQ 2 +
ql 4
ql 4
- ql
2
ql2
ql2
32
32
-
-
3ql2
+
32
z
b
例 将直径d=1mm的钢丝绕在直径D=2m的卷筒上，试求 钢丝中产生的最大正应力。已知钢丝的弹性模量E=200GPa。
D d
§4-4 梁的强度计算
一、梁的强度计算
对等直梁，最大弯矩截面和最大剪力截面均为危险截面。
M Iz
∫
A*
y'dA
M FN1= Iz Sz*
M FN1= Iz Sz*
FN2=∫ A*σ"dA=
∫
A*
(M +dM)y' Iz dA
(M +dM)
=
Iz
∫ y'dA
A*
(M +dM)
FN2=
Iz
Sz*
y'τ′
FN2 -FN1 = τ bdx
σ'
σ"
dM FN2 -FN1= Iz Sz* = τ bdx
t max
c max

M Wz
② z轴为非对称时:

t max

My
max
Iz
c max

My
max
Iz
二、正应力公式的推广
My Iz
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验 和理论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该 正应力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。
2.切应力沿截面宽度均匀分布。
(一)切应力τ的大小
F
q
A
B
dx
b
h h
M FQ
M+dM FQ
b dx
dM=FQ dx
σ'
dx
z y σ"
y'τ′ σ'
FN1
σ'
dA dx
σ"
FN2
FN2 -FN1
=τ'bdx =τ bdx
FN1=∫ A*σ'dA=
∫
A*
M y' dA
Iz
= Sz* =∫ A* y'dA
a b'2=(ρ+y)dθ
1
2
ab的纵向线应变
ε=
a'b'-ab ab
=
(ρ+y)dθ dx
-dx
O1
a
O2
b
(ρ+y)dθ - ρd θ = ρd θ
1
2
dx
y
=ρ
y
dq
1
2
O1'
O2'
a'
b'
1
2
dx
2.物理关系
胡克定律
σ=Eε
y =E ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
3.静力学关系

FQ d
/
Iz S*
z max
2.翼缘部分切应力 有铅直切应力（很小），也有水平切应力
δ
u
h
δ
z
bu
（a）
dx
τ'1 A
τ1
FN2
FN1
u dx
（b）
dF FN2 FN1
dF 1dx
式中：FN1
dA M
A*
Iz
A*
ydA

M Iz
S
* z
FN2
1
l/4
q
2 h/4 4
3
l
l/4
z b
解：
(1)求支座反力:
FRA

3 4
ql
FRB

3 ql 4
(2)画FQ图和M图
1 l/4
q
2 h/4 4 3
l
l/4
ql
FQ 2 +
ql 4
ql 4
- ql
2
ql2
ql2
32
32
-
-
3ql2
+
32
z
b
单元体1:
q
1
1
2 h/4 4 3
l/4
l
τ τ
max
4
Wz

1 d 3
32

23.36104 mm 3
max

M max Wz
128.4MPa
4.工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz 2080cm3
max

M max Wz
14.42MPa
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉 应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
M max

1 Fl 4

1 20kN 6m 30kN m 4
F=20kN
A
B
C
3m 3m
Mmax 30kN m
2.矩形截面
Wz
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1 6
bh2

32.67 104 mm 3
max

M max Wz
91.8MPa
3.圆形截面
由 1 d 2 bh 得 d 133.5mm
z y σ"
（二）沿梁高的切应力分布
S
* z

b( h 2

y) [( h 2

y) /
2
y]
b 2
h2 (
4

y2)


3FQ 2bh
(1 4
y2 h2
)
二次抛物线分布
yh 2
y0
0
max

3 2
FQ bh
τ = FQ Sz* Iz b
剪切弯曲时，横截面上有切应变，横截面不再为平面。 纵向层间发生错动。
描述剪力和弯矩沿粱轴线变化规律的图象称为剪力图和弯矩图。 以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位置；以垂
直于梁轴线的坐标轴为FQ轴或M轴,FQ以向上为正，M以向下 为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。
作剪力图和弯矩图的方法： （1）根据内力方程作图 （2）根据分布荷载集度与剪力、弯矩之间的微分关系作图 （3）用叠加法作图
FN1
σ'
dA dx
FN2
dM=FQ dx
FQdx Iz
Sz*
= τ bdx
从而 τ = FQ Sz* Iz b
τ = FQ Sz* Iz b
FQ ——横截面上剪力。
S z* ——横截面上距中性轴y处横线一 侧 的部分截面对中性轴的面积矩。
Iz ——整个横截面对中性轴z的惯性矩。 σ'
b ——横截面宽度。 dx
最大弯矩截面的危险点在距离中性轴最远处；最大剪力 截面的危险点在中性轴处。
等直梁的正应力强度条件为