全等的代数几何综合题
代数几何综合(含答案)
23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23． （1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．∴ CD BC OD AO=． ∴ 535322CD =⨯=．∴ 53422CO =+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FENE BE=, ∴1135t t -=，解得558t =．……………… 3分 若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．∵ cos ∠BEF=OE FEGE BE=， ∴ 835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，∴ME FENE BE =． ∴ 1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分 而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ． （1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）解：（1）据题意，有0164202a b a b =+-⎧⎨=+-⎩， ． 解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ． ∴抛物线的解析式为：215222y x x =-+-．点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215222x x -+-），使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，∴①当OC OBMP MA =时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP=时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =，∴215222241x x x -+=-． 解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②OC MA OB MP =，∴221154222x x x -=-+． 解得：x 3=5，x 4=1（舍）．综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。
【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
几何全等150题(1)
初三------几何全等经典150题一、选择题（共40小题；共200分）1.如果两个图形是全等图形，那么下列判断不正确的是A.形状相同B.大小相同C.面积相等D.周长不一定相等2.下列命题中正确的个数是①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两个三角形全等；④有两边对应相等的两个三角形全等．A.个B.个C.个D.个3.如图，于点，于点，且，则与全等的理由是A. B. C. D.4.如图，图中有两个三角形全等，且，与是对应边，则下列书写最规范的是A. B.C. D.5.如图，已知，下列结论正确的是A. B. C. D.6.如果两个三角形全等，则不正确的是A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等7.如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端，的距离，如果，则只需测出其长度的线段是A. B. C. D.8.如图，在和中，点在边上，边交边于点．若，，，则等于A. B. C. D.9.如图，，若，，则的长度为A. B. C. D.10.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有，，，的四块），你认为将其中的哪一小块带去，就能配一块与原来一样的三角形?应该带A.第块B.第块C.第块D.第块11.如图，在中，点在边上，，，的延长线交于点，且，则等于A. B. C. D.12.如图所示，若，，则下列结论中，不正确的是A. B.C. D.13.如图所示，，，，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数是A. B. C. D.14.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，若点的坐标为，则点的坐标为A. B. C. D.15.如果，的周长为，，则的长是A. B. C. D.16.在中，，与全等的三角形有一个角是，那么在中与这角对应相等的角是A. B. C. D.或17.如图，在中，，点，分别是边，的中点，点在边上，连接，，，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断与全等A. B. C. D.18.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④19.已知，，，若的周长为偶数，则的取值为A. B. C. D.或或20.如图，点，在上，，，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定A. B. C. D.21.如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使点，，在同一条直线上（如图所示），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角22.如图所示，，，，是上的两点，且，，那么图中的全等三角形有A.对B.对C.对D.对23.如图，在和中，若，，则不正确的结论是A.和全等B.C.是的中点D.24.如图，已知图中有个正方形，和，若把图中全等的三角形看成一类，则图中三角形的种类数量为A. B. C. D.25.如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为A. B. C. D.不能确定26.如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是A.是等边三角形B.是直角三角形C. D.27.如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点，，分别在，，上，，交于点，已知与的距离为，与的距离为，则的值为A. B. C. D.28.如图，，是的角平分线，，相交于点，已知，则下列说法中正确的个数是①；②；③；④．A. B. C. D.29.如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，连接，，.有下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤.其中正确的结论是A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤30.如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为A. B. C. D.31.四边形中，和交于点，若平，且，，有以下四个命题：①；②；③；④．其中命题一定成立的是A.①②B.②③C.①③D.②④32.如图，正方形中，，分别为，上的点，，交于点，交于点，为的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有A.只有①②B.只有①②④C.只有①④D.①②③④33.如图，内有一定点，过点的一条直线分别交射线于，射线于．当满足下列哪个条件时，的面积一定最小A. B.为的角平分线C.为的高D.为的中线34.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，是的中点，平分，，则的度数是A. B. C. D.35.如图，四边形，都是正方形，点在线段上，连接，，和相交于点，设，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是A.个B.个C.个D.个36.如图，正方形的边长是，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是A. B. C. D.37.如图，在中，，角平分线、交于点，交于，于．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为A.个B.个C.个D.个38.如图，在菱形中，，点，分别在，上，且，连接，交于点，延长到使，连接，，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的个数是A. B. C. D.39.如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下六个结论：①；②；③；④；⑤；平分．其中不正确的有个．A. B. C. D.40.如图，在中，，点是内一点，若，，连接，则的度数为A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共202分）41.全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等．42.如图，，，交于点，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是．43.能够完全重合的两个图形叫做．全等形的特征是和都相同．一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但和都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形．44.如图，，和是对应角，和是对应边，那么还有对应角是，，对应边是，．45.图中有个条形方格图，图上由实线组成的图形是全等图形的有．46.如图，，，，图中全等三角形共有对．47.如图，与相交于点，且，，则与的数量关系是，位置关系是．48.如图，平面直角坐标系中，，若点的坐标为，，两点的纵坐标均为，，两点在轴上，则点到轴的距离为．49.如图所示，若该图案是由个全等的等腰梯形拼成的，则图中的．50.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则51.如图所示，已知三个内角的平分线交于点，点在的延长线上，且，，若，则的度数为．52.如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中与全等的图形是．53.如图，若，且，，则，．54.如图，已知．（），，则；（）若，，则的值为．55.如图所示的方格中，度．56.已知，，于点，，则的度数为．57.如图，中，在边上，，在边上，，过点作，交于．若，，则的长为．58.如图，在四边形中，，，于．若四边形的面积是，则的长是．59.如图，中，，，，分别是其角平分线和中线，过点作交于，交于，连接，则线段的长为．60.已知是边长为的等边三角形，以为边作等腰三角形，使得，且，点是边上的一个动点，作交边于点，且满足，则的周长为．61.如图，在中，，是的中点，点，分别在，上运动（点不与点，重合）且保持，连接，，．则．62.如图，已知的面积为，为的平分线，垂直于点，则的面积为．63.如图，已知和为等腰三角形，，，，，点在上，，点在射线上，则长为．64.如图，已知，为的平分线上一点．连接，；如图．已知，，为的平分线上两点．连接，，，；如图．已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是．65.如图，中，，于点，，，过点作且，于点，则．66.如图，等边的边长为，边上有一点，为延长线上的一点，且，过点作于点，过作交边于点，连接交边于点，则的长为．67.如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点为边的中点，，垂足为，若，，则的长为．68.如图，是的中线，是上的一点，交于，已知，，，则．69.如图，是等腰直角外一点，把绕直角顶点顺时针旋转到，已知，，则的值为．70.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为，则点的坐标为．71.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，且，点，，将点向上平移个单位长度后得到点．若，且，则．72.把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，若，，则的面积为．73.如图，中，，在上截取，在上，，，，是的中点，点在上，，则的长为．于点，连接，已知，，则另一直角边的长为．75.已知，均是边长为的等边三角形，点是边，的中点．（Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为；（Ⅱ）如图②，直线，相交于点，当绕点旋转时，线段长的最小值是．76.现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图所示的形状，为的中点，分别交，于点，，易得．（）若取四个直角三角形拼成如图所示的形状，为的中点，分别交，，于点，，，则；（）若取五个直角三角形拼成如图所示的形状，为的中点，分别交，，，于点，，，，则．，．则．78.如图，在边长为的菱形中，，现有的三角板，，所在直线分别交线段于点，，若点关于直线的对称点为，当时，的长为．等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是．且，若，，则的长为．三、解答题81.已知：如图，点为的中点，，．求证：．82.如图，太阳光线与是平行的，同一时刻两根高度一样的垂直木杆在阳光的照射下的影子也是一样长的，请说明这是为什么?83.如图，在方格纸中，的三个顶点及，，，，五个点都在小方格的顶点上，现以，，，，中的三个点为顶点画三角形．（1）在图①中画一个三角形与全等；（2）在图②中画一个三角形与面积相等但不全等．84.如图，在和中，，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．①，②，③，④．解：我写的真命题是：在和中，如果，那么．（不能只填序号）证明如下：85.如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．求证：．86.如图，已知，求证：．87.如图，，，，在同一直线上，，，，求证：．88.如图，，，，．求证：．89.如图，，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得，并说明理由．90.如图，已知与交于点，且．求证．．角形，并给出证明．93.如图，在四边形中，，是的平分线．（1）求证；（2）若，求证：．94.如图，中，，是的平分线，于，点在上，，求证：．以，，，，中的三个点为顶点画三角形．（1）在图1中画出一个三角形与全等；（2）在图2中画出一个三角形与面积相等但不全等．96.分别画一笔，将下图各个“十字形”分成两个全等的图形（至少画出三种不同的全等形）．，，求的周长．98.如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作，垂足为．线段与图中现有的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．结论：．99.如图所示，，且，试判断线段与的关系，并说明理由．100.如图，，．（1）求的度数．（2）可以看做是由绕着点，按（填顺时针或逆时针）方向，旋转度角形成的．101.如图，点在上，点在上，，，求证：．102.0如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，且点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动．设点的运动时间为秒．（1）求，的长．（2）连接，用含的代数式表示的面积．（3）过点作直线的垂线，垂足为，直线交轴于点．在点运动的过程中，当为何值时，，请求出此时的值．103.如图，在平行四边形中，为中点，过点作于，连接，延长，交的延长线于点．已知，，．求的长．104.在平面直角坐标系中，有点，，，点在第二象限，且．（1）请在图中画出，并直接写出点的坐标；（2）点在直线上，且是等腰直角三角形，求点的坐标．105.已知图中的四边形，，都是正方形．求证．（提示：通过图形的构造得出结论．）106.在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图中，若是的平分线上一点，点在上，此时，在上截取，连接，根据三角形全等判定（），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题：如图，在非等边中，，，分别是，的平分线，且，交于点，求证．路和，这两条路等长吗?它们有什么位置关系?请证明你的猜想．108.已知，点，分别是正方形的边，的延长线上的点，连接，，，．（友情提醒：正方形的四条边都相等，即；四个内角都是，即）（1）如图①，若，求证：．成立，请说明理由．在的斜边上．（1）求证：；（2）如图，若，，点是的中点，直接写出的长是．110.如图：在中，点是的中点，点，分别在，边上，且．（1）猜想：（填上“”、“”或“”）；（2）证明你的猜想．111.将两个全等的直角三角形和按图①方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点．（1）连接，求证：；（2）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图②．求证：．（3）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图③．你认为（）中的结论还成立吗?若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的关系．112.如图，线段与相交于点，，垂足为，，垂足为．（1）如图，若，，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，若，，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论．113.如图，在等腰三角形中，两腰上的中线，相交于点．求证：．114.如图，在中，，，请你在图中，分别用两种不同方法，将分割成四个小三角形，使得其中两个是全等的不等边三角形（不等边三角形指除等腰三角形以外），而另外两个是不全等的等腰三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数，在每个等腰三角形中标出相等两底角度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法，但要保留作图痕迹，若经过图形变换后两个图形重合，则视为同一种方法）．115.如图，在中，，为三角形外一点，且为等边三角形．（1）求证：直线垂直平分；（2）以为一边作等边（如图），连接，，试判断是否构成直角三角形?请说明理由．不写画法．不动，将绕点旋转，连接，，为的中点，连接．（2）当时，（）的结论是否成立?请结合图②说明理由．连接，为中点，连接，．（1）求证；（2）将图①中绕点逆时针旋转，如图②所示，取中点，连接，．问（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．119.如图所示，在中，为的中点，，交的平分线于点，于点，交延长线于点．求证：．120.已知：四边形中，，对角线平分．（1）如图所示，当时．求证：；（2）如图所示，当时，线段，，有怎样的数量关系?并证明．121.阅读材料，解答问题数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．小惠说：如图，我用相同的两块含角的直角三角板可以画角的平分线．画法如下：（）在的两边分别取点，，使；（）把直角三角板按如图所示的位置放置，两斜边交于点．射线是的平分线．小旭说：我只用刻度尺就可以画角平分线．请你也参与探讨，解决以下问题：（1）小惠的作法正确吗?若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图中的平分线，并简述画图的过程．122.已知：矩形内一点，为等腰直角三角形，连接，并延长分别交于点，，在上截取，连接．（1）求证：四边形为正方形；（2）求证：；（3）若，求的值．123.如图，在矩形中，是对角线，是的中点，过作交于，交于．（1）求证：；（2）若，，，求的长．124.如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在第二象限，且．（1）请在图中画出，并直接写出点的坐标；（2）点在直线上，且是等腰直角三角形．求点的坐标．125.已知为等边三角形，为边所在的直线上的动点，连接，以为边在两侧作等边三角形和等边三角形（点在的右侧或上侧，点在左侧或下侧），连接，．（1）如图，若点在边上，请你通过观察，测量，猜想线段，和有怎样的数量关系?并证明你的结论；（2）如图，若点在的延长线上，其他条件不变，线段，和有怎样的数量关系?请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点在的反向延长线上，其他条件不变，请在图中画出图形，探究线段，和有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）．126.已知，如图：是的中线，，，，，连接．试猜想线段与的关系，并证明．127.如图，直线与轴交于点，与轴交于点．（1）求直线的表达式；（2）点是直线上的点，且，过动点且垂直于轴的直线与直线交于点，若点不在线段上，写出的取值范围．128.如图，，点在边上，，连接．求证：（1）；（2）四边形是菱形．129.如图，分别以的直角边及斜边向外作等边三角形及等边三角形．已知，于点，连接．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形．130.如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形内部，再延长交于点．（1）求证：，，三点在以点为圆心，的长为半径的圆上；（2）若，求的值；（3）若，求的值．131.（1）发现如图1，点为线段外一动点，且，．填空：当点位于时，线段的长取得最大值，且最大值为（用含，的式子表示）．（2）应用点为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，．①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出线段长的最大值．（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点的坐标．点为上的一点，连接，，，．（1）若，，求的长；（2）求证：．133.（1）拓展：如图①，在中，，点是上一点，点是延长线上一点，且．过点作交于点，连接交于点．求证：，．，垂足为点．若，则的长为．134.如图，已知为等腰三角形，，，为边的中上由点向点运动．（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，请你判断：经过秒后，与是否全等?请说明理由．（2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，请你求出当点的运动速度为多少时，能够使与全等?（3）若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三角形的三边运动，求经过多长时间点与点第一次在哪条边上相遇?请说明理由．135.如图，在中，，于点，于点，，与交于点，连接．求证：（1）；（2）；（3）．136.有这样一个问题：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整；已知：如图，在筝形中，，．求证：．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．从边、角、对角线或性质的逆命题等角度可以进一步探究筝形的判定方法，请你写出筝形的一个判定方法（定义除外），并说明你的结论．137.已知，平分，平分．（1）求的度数．（2）如图，过点的直线交射线于点，交射线于点，求证：；（3）如图，过点的直线交射线的反向延长线于点，交射线于点，，，，求的面积．138.如图，已知点是线段上一动点（不与，重合），，在线段的同侧作等边和等边，连接和，它们相交于点，与交于点．（1）求证：，；（2）若和不是等边三角形，如图，只满足，，（，为实数），是中点，是中点，是中点，连接，，求的值（用含的式子表示）；（3）请直接写出在图中，经过，，三点的圆的半径的最小值．139.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，的平分线与直线相交于点．（1）如图1，用含的代数式表示点的坐标；（2）如图2，点在线段上，点在的延长线上，过作直线轴分别于直线、轴、射线相交于点、点、点，过作轴交直线于点．设点的横坐标为，线段的长为，当时，求的长；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，当，时，求的值．140.图和图中的四边形和四边形都是正方形．（1）如图，连接，，为线段的中点，连接，探究与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）在图的基础上，将正方形绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，为线段的中点，连接，探究与的数量关系和位置关系，并证明你的结论．141.已知抛物线的解析式为．（1）若抛物线与轴有交点，求的取值范围；（2）设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，．若，求的值．（3）若，是抛物线上位于第一象限的不同两点，，都垂直于轴，垂足分别为，，且与全等．求证：．142.如图，已知，中，，，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在延长线上，且．（1）连接，线段与线段的大小关系是．（2）证明（）中的结论；（3）求证：．143.已知：在平面直角坐标系中，等腰的顶点，在坐标轴上运动，且，．（1）如图，当，，点在第四象限时，则点的坐标为；（2）如图，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作于点，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少?请证明你的结论．点，连接，求证：．144.（1）如图，中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的周长为；（2）是正方形的中心，为边上一点，为边上一点，且的周长等于的长．①在图中作出，有适当的文字说明，并求出的度数；②若，求的值．145.在图、图、图、图中，点在线段上移动（不与，重合），在的延长线上．（1）如图，和均为正三角形，连接．①求证：．②的度数为（2）①如图，若四边形和四边形均为正方形，连接．则的度数为②如图，若五边形和五边形均为正五边形，连接．则的度数为．（3）如图，边形和边形均为正边形，连接，请你探索并猜想的度数与正多边形边数的数量关系（用含的式子表示的度数），并利用图（放大后的局部图形）证明你的结论．146.如图，在中，，，，垂足是，平分，交于点，在外有一点，使，．（1）求证：．（2）在上取一点，使，连接，交于点，连接．求证：①，②．147.如图，点是等边内一点，，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）当，时，试判断的形状，并说明理由；（2）请写出是等边三角形时、的度数．度；度；（3）探究：若，则为多少度时，是等腰三角形?（只要写出探究结果）．148.为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，．（1）如图1，作于，求证：；（2）在图1中，连接交于，求的值；（3）如图2，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接．当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗?若不变，求出该值；若变化请说明理由．149.已知中，，，，分别为，上一点，连接，．（1）如图，若，，求证：；（3）如图，过作于，若．求证：．150.在中，，点是上的动点（不与，两点重合），点是延长线上的动点（不与点重合），且，，连接与交于点．（1）在图中依题意补全图形；（2）小伟通过观察、实验，提出猜想：在点，运动的过程中，始终有．小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的一种思路：要想解决这个问题，首先应想办法移动部分线段构造全等三角形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明等腰直角三角形，出现的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证明．他们的一种作法是：过点在下方作于点，并且使．通过证明，得到，再连接，证明四边形是平行四边形，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到．又由四边形是平行四边形，推得．使问题得以解决．请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明．答案第一部分1.D2.C3.D4.B5.A6.C7.B【解析】利用全等三角形对应边相等，可知要想求得的长，只需求得其对应边的长，据此可以得到答案．8.C【解析】在和中，，．是的外角，，．9.D10.B11.C12.D【解析】在和中，，，，，，，，．即，故A，B，C正确．13.B14.C15.D16.A17.A18.A19.B20.A21.B22.B【解析】，，，共对.23.C24.C25.B26.D27.A【解析】如图，作，，交于点．，，，，在和中，，，，与的距离为，与的距离为，，，，，，，，．28.B29.D【解析】过点作，交的延长线于点，易得点到直线的距离为，故②错误；易得，故④错误．30.C【解析】如图，连接．，，，．．．．．在中，，，，．．．31.B32.B33.D【解析】当点是的中点时最小；如图，过点的另一条直线交，于点，，设，过点作交于，在和中，，．，，当点是的中点时最小．34.D【解析】过点作，垂足为，如图，，，，平分，，，，，，，平分，，，，是的中点，，在和中，，，．35.B36.C37.D【解析】，角平分线、交于点，，．，．①正确；延长交于．在和中．．，，，易证，．，．②正确；过点作于，连接、．。
初中数学几何全等100题
第一部分 全等100题1．如图1.1所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ． （1）如图（a ）所示，连接EC ，求证：△EBC 为正三角形．（2）如图（a ）所示，点M 是线段CD 上一点（与点C 、D 不重合），以为BM 一边，在BM 的下方作∠BMG ＝60°，MG 交DE 的延长线于点G ，求证：AD ＝DM ＋DG ． （3）如图（c ）所示，点M 是线段AD 上的一点（与点A 、D 不重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG ＝60°，MG 交DE 的延长线于点G ，求证：探究DM 、DG 和AD 之间的数量关系，并说明理由．图1.1（c ）（b ）（a ）AAAB BB2．如图1.2所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于点D ，点E 为线段AD 上一点，点F 为线段BD 上一点，满足CE ＝BF ，且BE 平分∠ABD ． 求证：∠EBC ＝∠BEF ＝45°．图1.23．如图1.3所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，M 为对角线AC 上异于A 、C 的一点，以AM 为边，作等边△AMN ，线段MN 与AD 交于点G ，连接NC 、DM ，Q 为线段NC 的中点，连接DQ 、MQ ．求证：（1）DM ＝2DQ ；（2）DQ ⊥MQ ．图1.3BN4．如图1.4所示，凸四边形ABCD 中，AB ＞AD ，AC 平分∠BAD ，过点C 作DE ⊥AB 于点E ，并且AE＝（AB ＋AD ）.求证：∠ABC 与∠ADC 互补．图1.45．如图1.5所示，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 是AC 上一点，连接BE ，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD 、CF . 当AF ＝DF 时，求证：DC ＝BC ．图1.5B6．如图1.6所示，在等腰Rt△ABC中，AD为斜边上的中线，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于点E、F，连接EF与AD相交于点G．求证：∠AED＝∠AGF．7．如图1.7所示，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF．8．如图1.8所示，已知正方形ABCD，点E为边AB上异于点A、B的一动点，EF∥AC，交BC于点F，点G为DA延长线上一定点，满足AG＝AD，GE的延长线与DF交于点H，连接BH．探究：∠EHB是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由．9．如图1.9所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AC上一点，BC＝CD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E．（1）如图（a）所示，若BC＝3，AEAB．（2）如图（b）所示，点F是AB的中点，连接FC、FE，探究CF、EF的位置关系与数量关系．（3）如图（c）所示，EF与AC交于点H，若AD＝BD（a）（b）（c）10．如图1.10所示，已知矩形ABCD 中，点E 为AB 上一点，连接CE ，在CE 上找一点F ，连接AF ，使得∠FA C ＝∠ECB ，且∠DCA ＝∠DAF ．求证：CF ＝2EB ．11.如图1.11所示，点E 是正方形ABCD 边CD 上一动点，BE 的垂直平分线交对角线AC 于点G ，垂足为点H ，连接BG ，并延长交AD 于点F ，连接EF ；若AC =√2a ，探究：△DFE 的周长L 是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由图1.11FBADE12.如图1.12所示，AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于点A ，点E 为MN 上一动点，且不与A 重合，若△AB C 的周长记为P A ，△EBC 的周长记为P B ，探究P A 、P B 的大小关系13.如图1.13所示，在△ABC 中，∠BAC =120°，AD 为中线，将AD 绕点A 顺时针旋转120°得到AE ，点F 为AC 上一点，连接BF ，∠ABE =∠AFB ，若AF =6，BE =7；求CF图1.12BN图1.13CB14.如图1.14所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG 垂直平分BC 于点G ，DE ⊥AB 于点E ，连接DC ，若AB =A ，AC =B （A ＞B ），求BE （用含A 、B 的代数式表示）15.如图1.15所示，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 、E 是斜边AB （不包括点A 、B ）上的两点，且∠DCE =45°；求证：DE 2=AD 2+BE 2图1.14D BA图1.15B16.如图1.16所示，在△ABD中，∠ABD＝60°，点C为△ABD外部一点，满足AB＝AC，连接DC、BC，DE⊥AD交BC于点E，且DE平分∠BDCn(n＞1)17.如图1.17所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在Rt△ABC外部，连接BE，以BE为直角边作等腰Rt△BED，连接AD、AE，点H是AE的中点，过点C作CF∥AD，过点D作DF∥AC，两线交于点F，连接AF ，点G是AF的四等分点.求证:HG⊥AF.18.如图1.18所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC＝∠DCA＝15°.若BD.S△ABC19.如图1.19所示，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，CD＝DE，连接BE并延长交AC于点F，延长FD到点G，连接BG.若FG＝BG，求证:BG⊥FG.20.如图1.20所示，在矩形ABCD中，点O为AC的中点，AO＝AE＝CF.若OE＝OF＝6，求AE.21．如图1.21所示，在△ABC中，点P为BC上一动点，且不与点B、C重合，AP⊥BE于点E，AP⊥CD 于点D，点F为BC的中点．求证：EF=DF．22．如图1.22所示，菱形ABCD是由两个正三角形拼成的，点P是△ABD内任意一点，现把△BPD绕点B旋转到△BQ C的位置．（1）若四边形BPDQ是平行四边形，求∠BPD．（2）若△PQD是等腰直角三角形，求∠BPD．（3）若∠APB=1000，且△PQD是等腰三角形，求∠BPD．23．如图1.23所示，AB=AC，∠ABC=β，EC=ED，∠CED=2β，点P为BD的中点，连接AE、PE．当060=β时，求PEAE．24．如图1.24所示，在等边△ABC中，点F在AC的延长线上，点D在BC上，延长BF与射线DA交于点E ，连接EC，且AF+CD=AD，DE=15，AF=4．求：（1）∠BEC；（2）AEBAECSS∆∆；（3）BECS∆．25．如图1.25所示，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，BE平分∠CBD交AC于点E，在BC上取一点G ，连接EG，且EG=2DE，点F是△ABC外一点，连接AF、BF、EF，满足∠FBE=∠FAB=600，连接GF交B E于点H，求证：GF⊥BE．26．如图1．26所示，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，分别以AB、AC为边作正方形ABED、ACGF，连接BD ，点H、I分别是BD、BC的中点，连接HI．若HI＝c，求△ABC的面积．27．如图1所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，在等腰Rt△EFC中，∠FEC＝90°，连接AE、BF，点M为AE的中点，点N为BF的中点．探究AE与MN的位置关系和数量关系．28．如图1所示，点P为正方形ABCDDH⊥AP，点E为AP上一点，AH＝EH，∠CDE的平分线交AP的延长线于点F，连接BF29．如图1所示，在等边△ABC内，点P为任意一点，连接AP、BP、CP．（1）求证：以AP、BP、CP为边，一定能构成一个三角形．（2）若∠APB＝110°，∠BPC＝135°，求以边AP、BP、CP所构成的三角形的三个内角的值．（3）若∠APB＝110°，问∠BPC为何值时，以边AP、BP、CP所构成的三角形为直角三角形？30．如图1所示，在四边形ABDE中，点C是BD的中点，BD＝DE＝8，AB＝2，∠ACE＝135°，求AE的最大值．31.如图1.31所示，△ABF 、△ADE 都是等边三角形，BE 与DF 交于点C ，连接AC 。
代数几何综合题含答案
争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015届初三数学培优资料专题三 代数几何综合题1、（2014•广东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析： （1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H 为AD 的中点，如答图1所示．答： 又∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE=DE ，AF=DF ．∵AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，∴AD ⊥BC ，∠B=∠C ． ∴EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ，∠AFE=∠C ， ∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，∴AE=AF=DE=DF ，即四边形AEDF 为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴，即，解得：EF=10﹣t ．S △PEF =EF •DH=（10﹣t ）•2t=﹣t 2+10t=﹣（t ﹣2）2+10 ∴当t=2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E 为直角顶点，如答图3①所示， 此时PE ∥AD ，PE=DH=2t ，BP=3t ． ∵PE ∥AD ，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F 为直角顶点，如答图3②所示，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F 作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t ．在Rt △EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t ）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t ，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN 2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF 2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．25．（9分）（2013•汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I ）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示．解答：解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）如题图3所示，当EF经过点C时，FC====；（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB 为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△BDG﹣S△BFM=BD•DG﹣BF•MN=（x+4）2﹣x •x=x2+4x+8；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S △ABC﹣S △BFM=AB•AC﹣BF•MN=×62﹣x•x=x 2+18；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：由BF=x，则AF=AB ﹣BF=6﹣x，设AC与EF 交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．y=S△AFM =AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．综上所述，y与x的函数解析式为：y=．点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．25．（2014年广东汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M 的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P 1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP 2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x 轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC ，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP 2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x ﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．22．(2014年广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC 并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP ﹣AP|最大．考点：圆的综合题．分析：（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径；（2）根据A，B 两点求出直线AB表达式为：y=﹣x+3，根据B，D 两点求出BD 表达式为y=x+3，进而得出BD⊥AB，求出BD为⊙M的切线；（3）根据D，O两点求出直线DO表达式为y=x 又在直线DO 上的点P的横坐标为2，所以p（2，），此时|DP﹣AP|=DO=．解答：（1）解：∵由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5，∴圆的半径为；（2）证明：由题意可得出：M（2，）又∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且MC=，故C（2，﹣1）过D 作DH⊥x 轴于H，设MC 与x 轴交于K，则△ACK∽△ADH，又∵DC=4AC，故DH=5KC=5，HA=5KA=10，∴D（﹣6，﹣5）设直线AB表达式为：y=ax+b，，解得：故直线AB表达式为：y=﹣x+3，同理可得：根据B，D两点求出BD的表达式为y=x+3，∵K AB×K BD=﹣1，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴BD⊥AB ，BD为⊙M的切线；（3）解：取点A 关于直线MC 的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值；设直线DO表达式为y=kx，∴﹣5=﹣6k，解得：k=，∴直线DO表达式为y=x又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，y=，∴P（2，），此时|DP﹣AP|=DO==．点评：此题主要考查了勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式以及两直线垂直系数的关系等知识，得出直线DO，AB，BD的解析式是解题关键．23．(2014年广东深圳)如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．解答：解：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴A（﹣2，0）、B（0，4）．∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2．（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，∴F（0，﹣m2+2m+4）．①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，∴△BAO∽△BFE ，∴，即，可得：BE=2EF．如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|﹣m2|=|2m|．若﹣4m2=2m，解得m=﹣或m=0（与点B重合，舍去）；若﹣4m2=﹣2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．∴m=﹣，∴E（﹣，3）．②假设存在．联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），∴S△ACD=×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m ﹣2，2m）．∴点E与点M横坐标相差2，即：|x G|﹣|x E|=2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料如答图2﹣2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=BF•|xG|﹣BF|xE|=BF•（|x G|﹣|x E|）=BF．∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大．第（2）①问中，解题关键是确定点E为直角顶点，且BE=2EF；第（2）②问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用．22．（9分）（2014•珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．考点：二次函数综合题分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料三角形为两三角形的差．得关系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．解答：解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO==，IO=cos30°•GO==3，JO=cos30°•OE==，JE=sin30°•OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF 的中位线，∴x D=x N=•x G=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q 在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x 2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P），S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）+•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P ）﹣•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x H）=•（y K ﹣y Q）•（x H ﹣x P）=﹣x 2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x ＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．24．（本小题满分14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标．（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;(2)存在性问题,相似三角形;(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
高中数学几何全等练习题及讲解
高中数学几何全等练习题及讲解### 高中数学几何全等练习题及讲解#### 练习题一：三角形全等的判定题目：如图，已知三角形ABC和三角形DEF，其中AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，求证：△ABC≌△DEF。
解答：根据已知条件，我们有AB=DE，BC=EF，∠A=∠D。
根据三角形全等的SAS（边-角-边）判定法则，如果两个三角形有两边及其夹角相等，则这两个三角形全等。
因此，我们可以得出结论：△ABC≌△DEF。
#### 练习题二：平行线与全等三角形题目：如图，已知直线l平行于直线m，且直线n与l和m相交于点A和B，与l相交于点C，与m相交于点D。
已知AC=BD，求证：△ACD≌△BCD。
解答：由于直线l平行于直线m，根据平行线的性质，我们知道∠CAD=∠CBD。
又因为AC=BD，AD=BC（公共边），根据SAS判定法则，我们可以得出△ACD≌△BCD。
#### 练习题三：等腰三角形的全等题目：如图，已知等腰三角形ABC和等腰三角形DEF，其中AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，求证：△ABC≌△DEF。
解答：由于△ABC和△D EF都是等腰三角形，且AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF。
根据SAS判定法则，我们可以得出结论：△ABC≌△DEF。
#### 练习题四：直角三角形的全等题目：如图，已知直角三角形ABC和直角三角形DEF，其中∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF。
解答：由于∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，根据HL（斜边-直角边）判定法则，我们可以得出结论：△ABC≌△DEF。
#### 练习题五：全等三角形的性质题目：如图，已知△ABC≌△DEF，求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
解答：由于△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质，我们知道对应角相等。
因此，我们可以得出结论：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2020中考数学 几何难点突破：全等和相似综合练习(含详解版)
2020中考数学 几何难点突破：全等和相似综合练习（含答案）1. 已知点E 在ABC △内，ABC EBD α∠=∠=，60ACB EDB ∠=∠=︒，150AEB ∠=︒，90BEC ∠=︒．（1）当60a =︒时（如图1-1），①判断ABC △的形状，并说明理由；②求证：BD ；（2）当90a =︒时（如图1-2），求BDAE的值．图1-1 图1-2【解析】（1）①判断：ABC △是等边三角形．理由：∵60ABC ACB ∠=∠=︒， ∴60BAC ∠=︒ ∴△ABC 是等边三角形②证明：同理EBD △也是等边三角形连接DC ， 则AB BC =，BE BD =，60ABE EBC CBD ∠=︒∠=∠-， ∴ABE CBD △≌△，∴AE CD =，150AEB CDB ∠=∠=︒， ∴15090EDC BDE -∠=︒∠=︒，906030CED BEC BED ∠=∠-∠=︒-︒=︒，在Rt EDC △中tan 30CD ED =︒=∴AE BD =BD =． EDB EDCBAED BA（2）连接DC ，∵90ABC EBD ∠=∠=︒，60ACB EDB ∠=∠=︒， ∴ABC EBD △∽△， ∴AB BC EB BD =， 即AB EB BC BD=． 又∵90ABE EBC CBD ∠=︒∠=∠-， ∴ABE CBD △∽△，150AEB CDB ∠=∠=︒，AE BECD BD=. ∴15090EDC BDE ∠=︒-∠=︒， 9090)6(0CED BEC BED BDE ∠=∠-∠=︒-︒-∠=︒，设BD x =在Rt EBD △中2DE x =，BE =，在Rt EDC △中tan 60CD DE =⋅︒=，∴66CD BE AE x BD BD ⋅====， 即16BD AE =．2.如图2-1，在四边形ABCD 中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且AGD BGC∠=∠．（1）求证：AD BC=；（2）求证：AGD EGF△△∽；（3）如图2-2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值．图2-1 图2-2【解析】（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，∴GA GB=，同理：GD GC=，在AGD△和BGC△中，GA GBAGD BGCGD GC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AGD BGC△≌△，∴AD BC=；（2）证明：∵AGD BGC∠=∠，∴AGB DGC∠=∠，在AGB△和DGC△中，GA GBGD GC=，∴△AGB∽△DGC，∴EG GAFG GD=，又∵AGE DGF∠=∠，∴AGD EGF∠=∠，∴AGD EGF△∽△；（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则AH BH⊥，∵AGD BGC△≌△，∴GAD GBC∠=∠，在GAM△和HBM△中，GAD GBC∠=∠，GMA HMB∠=∠，∴90AGB AHB∠=∠=︒，∴1452AGE AGB∠=∠=︒，∴2ABEG=，又∵AGD EGF△∽△，∴2AD AGEF EG==．3.（1）如图3-1，正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出::HD GC EB 的结果（不必写计算过程）；（2）将图3-1中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图3-2，求::HD GC EB 的值； （3）把图3-2中的正方形都换成矩形，如图3-3，且已知:::DA AB HA AE m n ==，此时::HD GC EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．图3-1 图3-2 图3-3【解析】（1）::HD GC EB =.（2）连接AC ，AG ，则DAH CAG △∽△，DAH △≌BAE △， 可得::HD GC EB =．（3）连AC ，AG ，通过两次相似可得::HD GC EB m n =．4. 如图4-1，ABC △中，45ABC ∠=︒，AH BC ⊥于点 H ，点 D 在AH 上，且DH CH =，连接BD .（1）求证：BD AC =； （2）将BHD △ 绕点 H 旋转，得到EHF △（点 B ，D 分别与点 E ，F 对应），连接AE ． i ）如图4-2，当点 F 落在AC 上时（ F 不与 C 重合），若4BC =， tan 3C =，求AE 的长； ii ）如图4-3，当EHF △是由BHD △ 绕点 H 逆时针旋转30︒得到时，设射线 C F 与AE 相交于点 G ，连接 G H ．试探究线段 G H 与 E F 之间满足的等量关系，并说明理由.图4-1 图4-2 图4-3【解析】（1）∵DH CH =，AH BC ⊥，=45ABC ∠︒，AHC BHD ∴≅△△；（2）i ）AHE CHF Q △△∽，==3AH AE CH CF ∴， tan 3C =Q ，3AH BH BC HC HC HC HC -∴===， 3BH ∴=，1HC =， 法1：过F 作FG HC ⊥于G ，tan 3C =Q3FG x ∴=设，CG x =，1HC x ∴=-，在Rt HFG △中， 221(3)(1)x x =+-解得15x =在Rt CFG △中CF ， G F E A B H D C F E A B H D C CDH BAG F EAB H DCFEABHDC GFEABH DCGAE ∴． 法2：过H 作HK AC ⊥于K ， tan 3C =Q ，1HC =，CK ∴=， ∵CHF 为等腰三角形，∴2CF KC =AE ∴． ii ）法1： AHE CHF Q △△∽， EAH FCH ∴∠=∠，∴C ，H ，G ，A 四点共圆， ∴CG AE ⊥，∵旋转30︒，CHF △为等腰三角形， ∴30GAH HCG ∠=∠=︒， 设CG 与AH 交于点Q ， GQH AQC ∴△△∽， 1===sin30=2HG HG GQ EF AC AQ ∴︒， 法2：∵G 、F 、H 、E 四点共圆，由正弦定理得，sin sin 2AEH FHER GH EF∠∠==，12HG EF ∴=．K5. 已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在ABC △内，90CAE CBE ∠+∠=︒.（1）如图5-1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF . i ）求证：CAE CBF △△∽；ii ）若1BE =，2AE =，求CE 的长；（2）如图5-2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EFk BC FC==时，若1BE ＝，2AE =，3CE =，求k 的值； （3）如图5-3，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且45DAB GEF ∠=∠=︒时，设BE m =，AE n =，CE p =，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系.（直接写出结果，不必写出解答过程）【解析】（1）i ）ABCD Q ，EFCG 为正方形，AC CE BC CF∴== 45ACB ECF ∠=∠=︒Q ，ACE BCF ∴∠=∠， CAE CBF ∴△△∽．ii ）90CAE CBE ∠+∠=︒Q ， 又CAE Q △∽CBF △，CAE CBF ∴∠=∠， 90CBF CBE ∴∠+∠=︒， Rt EBF ∴=△△，又AE AC BF BC ==Q2BF∴ BF ，222EF BE BF ∴=+， EF ∴=，2226EC EF ==Q ，EC ∴（2）连结BF ． AB EF k BC FC==Q ， ∴设AB ka =，BC a =，EF kb =，FC b =，图5-1 图5-2 图5-3D CDCD CG G GAAA B B B F F F E EEp n mAC ∴=EC =AC EC BC FC∴= ACE BCF ∠=∠，ACE BCF ∴△△∽，AF BF ∴=，2BFBF =， CAE CBF ∠=∠Q ， 90CBE CBF ∴∠+∠=︒，2222411EF BE BF k ∴=+=++，CE EF ∴=，=258k =，k ∴=（3）222(2m n p +=．6. 已知等腰直角ABC △中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，动点P 在直线BC 上运动（不与点B 、C 重合）．（1）如图6-1，点P 在线段BC 上，作∠APQ =45°，PQ 交AC 于点Q ． ①求证：ABP PCQ △∽△；②当APQ △是等腰三角形时，求AQ 的长．（2）①如图6-2，点P 在BC 的延长线上，作∠APQ =45°，PQ 的反向延长线与AC 的延长线相交于点D ，是否存在点P ，使APD △是等腰三角形？若存在，写出点P 的位置；若不存在，请简要说明理由；②如图6-3，点P 在CB 的延长线上，作∠APQ =45°，PQ 的延长线与AC 的延长线相交于点Q ，是否存在点P ，使APQ △是等腰三角形？若存在，写出点P 的位置；若不存在，请简要说明理由．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）①∵90BAC ∠=︒，2AB AC ==，∴45B C ∠=∠=︒，∵135BAP APB ∠+∠=︒，135APB QPC ∠+∠=︒， ∴BAP QPC ∠=∠，∴ABP PCQ △∽△；②当AP AQ =时，45APQ AQP ∠=∠=︒，∴90PAQ ∠=︒， ∴点P 与点B 、点Q 与点C 重合，不合题意；当AP PQ =时，∵ABP PCQ △∽△，∴ABP PCQ △≌△，∴2AB PC ==， ∴2BP CQ ==，∴4AQ AC CQ =-=-当AQ PQ =时，45PAQ APQ ∠=∠=︒，∴90APC AQP ∠=∠=︒， ∴1AQ PQ QC ===；（2）存在，∵90ACB ∠=︒，∴45CAP APC ∠+∠=︒，∵45APQ ∠=︒，∴45CAP D ∠+∠=︒，∴APC D ∠=∠，∴CAP PAD △∽△， ∴AC PC AP PD=，又AP PD =，∴2PC AC ==； （3）不存在，∵P 和B 不重合，∴90PAQ ∠>︒， ∴45APQ ∠=︒，45AQP ∠<︒，∴AP AQ ≠．7.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图7-1，若四边形ABCD是正方形，且DE CF⊥，求证DE CF=；（2）如图7-2，若四边形ABCD是矩形，且DE CF⊥，求证DE ADCF CD=；图7-1 图7-2（3）如图7-3，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE ADCF CD=成立？并证明你的结论；（4）如图7-4，若6BA BC==，8DA DC==，90BAD∠︒＝，DE CF⊥，直接写出DECF的值．图7-3 图7-4【解析】（1）证明AED DFC△△∽；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴90A ADC∠=∠=︒，∵DE CF⊥，∴ADE DCF∠=∠，∴ADE DCF△△∽，∴DE ADCF DC=，（3）当180B EGC∠+∠=︒时，DE ADCF DC=成立，证明如下：在AD的延长线上取点M，使CM CF=，则CMF CFM∠=∠．∵AB//CD，∴A CDM∠=∠，∵180B EGC∠+∠=︒，∴AED FCB∠=∠，∴CMF AED∠=∠，∴ADE DCM△△∽，DCFGBEA∴DE AD CM DC =，即DE ADCF DC=； （4）连接BD 、AC ，则有AFC BED △△∽，2524DE CF =． 8. 在OAB △和OCD △中，OA OB =，OC OD =，AOB COD ∠=∠，AC 、BD 交于点P ． （1）如图1-1，60AOB COD ∠=∠=°，则APD ∠=__________，AC 与BD 的数量关系是__________； （2）如图1-2，AOB COD α∠=∠=，则APD ∠的度数为__________（用含α的式子表示），AC 与BD 之间的数量关系是__________；填写你的结论，并给出你的证明； （3）请你继续完成下面探索：如图1-3，在OAB △和OCD △中，OA kOB =，OC kOD =，AOB COD α∠=∠=，则APD ∠的度数为__________（用含α的式子表示），AC 与BD 之间的数量关系是__________；填写你的结论，并给予证明．图1-1 图1-2 图1-3【解析】（1）120︒，相等；（2）180α︒-，相等；∵AOB COD ∠=∠，∴AOC BOD ∠=∠，∴(SAS)AOC BOD ∠≌△， ∴AC BD =，OAC OBD ∠=∠，∵12∠=∠，∴AOB APB ∠=∠ ∵AOB α∠=，∴APB α∠=，∴180APD α∠=-°． （3）180α︒-，AC kBD =.易证AOC BOD △∽△，∴AC kBD =，ODB OCA ∠=∠ ∵12∠=∠，∴DOC DPC α∠==∠， ∴180APD α∠=-°，∴AC kBD =．图1P ODCB Aα图2DP CAB O2121ααP BO DC图3A9.在锐角ABC△中，4AB=，5BC=，45ACB∠=︒，将ABC△绕点B按逆时针方向旋转，得到111A B C△．（1）如图2-1，当点1C在线段CA的延长线上时，求11CC A∠的度数；（2）如图2-2，连接1AA，1CC．若1ABA△的面积为4，求1CBC△的面积；（3）如图2-3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC△绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点1P，求线段1EP长度的最大值与最小值．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）由旋转的性质可得：1145AC B ACB∠=∠=︒，1BC BC=，∴1145CC B C CB∠=∠=︒，∴11111454590CC A CC B AC B∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）∵11ABC A BC△≌△，∴1BA BA=，1BC BC=，11ABC A BC∠=∠，∴11BABABC BC=，1111ABC ABC A BC ABC∠+∠=∠+∠，∴11ABA CBC∠=∠，∴11ABA CBC△∽△．∴1122416525ABACBCS ABS BC⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∵14ABAS=△，∴1254CBCS=△；（3）①如图1，过点B作BD AC⊥，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt BCD△中，5sin4522BD BC=⨯︒=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，ABC△绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：115222EP BP BE BD BE=-=-=-；②当P在AC上运动至点C，ABC△绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB 的延长线上时，EP1最大，最大值为：1257EP BC BE=+=+=．10. 在矩形ABCD 和矩形CEFG 中，已知AD CGk AB CE==，连接DE 与AF 交于点P ，连结CP ．（1）如图3-1，当1k =时，点B 、C 、E 三点在同一条直线上，求AFDE的值． （2）如图3-2，当1k =，将图①中的矩形CEFG 绕点C 顺时针旋转一个角度．①求AF DE的值；②求证：CP AF ⊥.（3）如图3-3，当1k ≠时，请直接写出用含k 的式子表示的AFDE值．图3-1 图3-2 图3-3【解析】（1）连AC 、CF ，可证明ACF DCE △△∽，得AFDE= （2）①AFDE②证明ADH CPH △△∽，90CPH ADH ∠=∠=︒，故CP AF ⊥．（3）AF DE=11. 已知：在ABC △中，DBC ACB ∠=∠，2BC AC =，BD BC =，CD 交线段AB 于点E . （1）如图4-1，当90ACB ∠=︒时，求证：2DE CE =； （2）当120ACB ∠=︒时，①如图4-2，猜想线段DE 、CE 之间的数量关系并证明你的猜想；②如图4-3，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于点G ，求DGGF的值.图4-1 图4-2 图4-3【解析】（1）由:2DE DBDBE CAE EC AC==△∽△，2DE CE ∴=． （2）①过B 作BF CD ⊥于F ，设AC a =，则2BC DB a ==． 120ACB ∠=︒Q ，30D ∴∠=︒．∴在Rt BDF △中：DF CF BF a =⋅=，BEF ACF ∴△△≌，12CE BF ∴==．3DE CE ∴==，3DE CE ∴=． ②过D 作DH BC ⊥于H ．AC a =，则2BC BD a ==． 易证：DBF △≌BCA △．AB DF ∴=，BFD A ∠=∠． 在Rt DBH △中：DH =，BH a =．∴在Rt DHF △中：DF =.AB ∴．又BFD A ∠=∠Q ，CBA CBA ∠=∠．BFG BAC ∴△∽△，FG BF AC AB∴=，即：AC BF FG AB ⋅=，DG ∴=．6DGFG∴=．。
全等三角形的代数几何综合题
（八年级数学）综合题复习 日期 星期 姓名1、 如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。
点N 为OA 上一点，OM ⊥BN 于M ，且∠ONB=45°+∠MON 。
（1）求证：BN 平分∠OBA ； （2）求BNMNOM +的值；（3）若点P 为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP 与BP 是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。
2、函数32+=x y 的自变量的取值范围是：3、函数31+=x y 的自变量的取值范围是： 4、函数xy -=2的自变量的取值范围是：5、下列函数中是正比例函数的有 ，是一次函数的有 。
① 32+=x y ② 3-=x y ③3x y =④xy 1= ⑤12+=x y ⑥312+=x y ⑦r S π2=（八年级数学）综合题复习 日期 星期 姓名1、 如图，已知直线y=-x+8交y 轴于A ，交x 轴于B ，过B 作BD ⊥AB 交y 轴于D 。
（1）求直线BD 的解析式；（2）若点C 是x 轴负半轴上一点，过C 作AC 的垂线与BD 交于点E ，请你判断线段AC 与CE 的大小关系？并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G 为第二象限内任一点，连EG ，过A 作AF ⊥FG 于F ，连CF ，当点C 在x 轴的负半轴上运动时，∠CFE 的度数是否发生变化？若不变，请求其度数；若变化，说明理由。
2、 直线33-=x y 与直线72+-=x y 的交点坐标是3、直线b x y +=与直线3+=kx y 相交于点（1，2），则b = ，k =4、 直线32-=x y 与直线6+=kx y 的交点的横坐标为1，则k =5、若直线4y kx =+与()41y x =-交点的纵坐标为0，则k 的值是 。
（八年级数学）综合题复习 日期 星期 姓名1、如图，一次函数y=ax-b 与正比例函数y=kx 的图象交于第三象限内的点A ，与y 轴交于B （0，-4）且OA=AB ，△OAB 的面积为6. （1）求两函数的解析式； （2）若M （2，0），直线BM 与AO 交于P ，求P 点的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使S △ABE =5，若存在，求E 点的坐标；若不存在，请说明理由。
数学综合算式专项练习题关于几何形的相似与全等的运算
数学综合算式专项练习题关于几何形的相似与全等的运算相似与全等是数学中讨论几何形质量的重要概念，通过运算和判断几何形的相似性和全等性，可以帮助我们解决许多与几何形有关的问题。
本文将针对数学综合算式专项练习题，讨论几何形的相似与全等的运算。
Ⅰ. 相似与全等的定义相似：两个几何形在形状上相似，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
全等：两个几何形全等，当且仅当它们的所有对应边和对应角度都完全相等。
Ⅱ. 相似与全等的运算（一）相似的运算1. 数字比例设有两个相似的三角形，已知两个对应边长的比例是a:b，求第三个对应边的长度。
解决方法：根据相似三角形的性质，可以得到两个对应边比例等于第三个对应边的比例。
即：a/b = 第三个对应边的长度/已知的对应边的长度。
通过解这个比例，可以求得第三个对应边的长度。
2. 面积比例设有两个相似的三角形，已知两个对应边长的比例是a:b，求两个三角形的面积比例。
解决方法：根据相似三角形的性质，可以得到两个对应边的长度比例的平方等于两个三角形的面积比例。
即：(a/b)² = 第一个三角形的面积/第二个三角形的面积。
通过解这个比例，可以求得两个三角形的面积比例。
（二）全等的运算1. SSS判定法当两个三角形的三个对应边长相等时，可以判断这两个三角形是全等的。
解决方法：将两个三角形的对应边进行比较，如果三条边的长度完全相等，则可以得出这两个三角形是全等的。
2. SAS判定法当两个三角形的一个对应角相等，且两个对应边的比例相等时，可以判断这两个三角形是全等的。
解决方法：先通过对应角的相等性判断两个三角形，再通过对应边的比例相等判断两个三角形是全等的。
3. ASA判定法当两个三角形的两个对应角和一个对应边相等时，可以判断这两个三角形是全等的。
解决方法：先通过对应边的相等性判断两个三角形，再通过对应角的相等判断两个三角形是全等的。
4. RHS判定法当两个直角三角形的一个锐角和两个直角边分别相等时，可以判断这两个直角三角形是全等的。
初二几何全等练习题
初二几何全等练习题题目一：在平面直角坐标系中，点A（0，0）、B（2，0）、C（2，3）、D（0，3）连成一个四边形ABCD。
求证：四边形ABCD是一个矩形。
解析：首先，我们可以通过计算四条边的长度来验证四边形ABCD是否是一个矩形。
AB = √[(2-0)²+(0-0)²] = √4 = 2，BC = √[(2-2)²+(3-0)²] = √9 = 3，CD = √[(0-2)²+(3-3)²] = √4 = 2，AD = √[(0-0)²+(3-0)²] = √9 = 3。
由此可知，AB = CD = 2，BC = AD = 3，即四边形ABCD的对边长度相等。
接下来，我们需要验证四边形的对角线相等。
AC = √[(2-0)²+(3-0)²] = √13，BD = √[(2-0)²+(0-3)²] = √13。
通过计算可知，AC = BD = √13，即四边形ABCD的对角线相等。
因此，根据矩形的定义，我们可以证明四边形ABCD是一个矩形。
题目二：在平面直角坐标系中，点A（0，0）、B（3，0）、C（3，4）连成一个三角形ABC。
若将三角形ABC绕原点顺时针旋转90°，求旋转后三角形的坐标。
解析：我们可通过旋转矩阵来求得旋转后三角形的坐标。
顺时针旋转90°的旋转矩阵为：旋转矩阵 R =（cos90°, sin90°）（-sin90°, cos90°）我们可以将点A（0，0）、B（3，0）、C（3，4）表示为矩阵的形式：A =（0, 0）B =（3, 0）C =（3, 4）将旋转矩阵与点A、B、C相乘，即可得到旋转后的三角形的坐标：R * A = （cos90°, sin90°）*（0, 0）=（0, 0）R * B = （cos90°, sin90°）*（3, 0） = （0, 3）R * C = （cos90°, sin90°）*（3, 4） =（-4, 3）因此，旋转后的三角形的坐标为：A'（0，0）、B'（0，3）、C'（-4，3）。
几何全等综合19题
1． 如图，等边△ABC ，AD=BE ，AG ⊥CD ，求∠FAG 的度数。
2.在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，说明BD=2CE 。
3.已知，如图AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，说明：∠B 与∠C 的关系。
4.正方形ABCD,作∠EAF=45°,E 在CD 上,F 在BC 上,说明EF,BF,DE 的数量关系.BB5.如图,等边△ABC,点D 在△ABC 外,BD=CD, ∠BDC=120 °,以D 为顶点作60 °的角,交AB 于M,AC 于N,说明MN,BM,CN 之间的数量关系.6. △ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 延长线上,且BD=CE,DE 与BC 交于点O,说明:DO=OE7.正方形ABCD,F 为AB 中点,EF ⊥FG ,BG 平分∠CBE,说明DF=GF8.如图,等边△ABC,等边△BDE;A,E,D 共线.说明:BD+CD=AD9.如图,等边△ABC,等边△BDE;A,C,D 共线,已知BC=a,AD=b.求AE 的长.10.如图,等边△ABC,等边△BDE;B,C,E 在一条直线上,AB=2DB.说明:△ABD 为直角三角形.11.如图,等边△ABC,等边△BDE;F 为CE 的中点,G 为AD 中点.说明: △BFG 为等边三角形.12.如图,等边△ABC,等边△BDE;F 为AD 与CE 的交点.说明FB 平分∠AFE.13.如图,等边△ABC,等边△MGE;E,F,D 为△ABC 三边的中点,点M 在BC 上.说明FM=DG .14.等边△ABC,点D 在CA 的延长线上,点E 在AB 的延长线上,AD=BE.说明: ∠BPC=60°15. △ABC 中,AD 平分∠BAC,AD 的垂直平分线交BC 的延长线于E,F 为垂足.说明: ∠EAC= ∠B.16.如图, △ABC 中,CE 平分∠ACB,交AB 于点E,AD ⊥说明:∠CAD= ∠EAD+ ∠B17.在△ABC 中,CD 平分∠ACB,交AB 于点D,点E 为AB 的中点,EF//CD,EF 与BC 交于点H,与AC 的延长线交于点F.说明:AF=BH18.在△ABC 中,CE 是中线,AD 交BC 于点D,与CE 交于点F,且CD=DF.说明:AF=BC19.等边△ABC,点D 在BA 的延长线上,点E 在BC 延长线上,且AD=BE,DC=10,求DE 的长.。
【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案完整版
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．?F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．?【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=AP?OG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴?∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，?∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，?∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当?时，，?，．∵?，，∴，即?（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵?，∴，．即?，．?，?．?，∴．即?（）．由?，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则?，解得?，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。
中考数学模拟题《代数几何综合问题》专项检测题(附答案)
中考数学模拟题《代数几何综合问题》专项检测题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________两圆一中垂模型讲解【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.【结论】分类讨论：若AB=AC,，则点 C 在以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径的圆上若BA=BC,，则点 C 在以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径的圆上若CA=CB 则点 C在线段AB 的垂直平分线PQ 上.以上简称“两圆一中垂”.“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB 中点E(共除去5个点)，需要注意细节.典例秒杀典例1如图平面直角坐标系中已知A(2 2) B(4 0) 若在x轴上取点 C 使. △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C 有( ).A.1个B.2 个C.3个D.4个【答案】D【解析】∵点 A B的坐标分别为(2 2) B(4 0) ∴AB=2√2.①若AC=AB 以 A为圆心 AB长为半径画弧与x 轴有2个交点(含 B点) 即(0 0) (4 0)(舍去)∴满足△ABC是等腰三角形的点C 有1个②若 BC=AB 以B为圆心 BA长为半径画弧与x 轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C 有2个③若CA=CB，作线段AB的垂直平分线与x轴有 1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C有1个.综上所述，满足条件的点C共有 4个.故选 D.典例2图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，P 是x 如图，已知点 A(1，2)是反比例函数y=kx轴上一动点.若△PAB是等腰三角形，则点 P的坐标是 .【答案】(-3 0)或(5 0)或(3 0)或(-5 0)的图象关于原点对称【解析】∵反比例函数y=kx∴A，B两点关于点O对称∴O为AB 的中点且 B(-1 -2)∴当△PAB为等腰三角形时，只有. PA=AB或PB=AB两种情况.设点 P 的坐标为(x 0)∵A(1 2) B(-1 -2)∴AB=√[1−(−1)]2+[2−(−2)]2=2√5,PA=√(x−1)2+22,PB=√(x+1)2+(−2)2故当 PA=AB时√(x−1)2+22=2√5,解得x=--3 或x=5 此时 P点坐标为(-3 0)或(5 0);当 PB=AB 时√(x+1)2+(−2)2=2√5,解得 x=3 或x=-5 此时P点坐标为(3 0)或(-5 0).综上可知点 P的坐标为(-3 0)或(5 0)或(3 0)或(-5 0).典例3如图，抛物线y=x²−2x−3与y轴交于点C，点 D的坐标为(0，-1)，抛物线在第四象限内有一点 P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点 P 的横坐标为( ).A.1+√2B.1−√2C.√2−1D.1−√2或1+√2【答案】A【解析】令x=0 则y=-3∴点C的坐标为( (0,−3).∵点 D的坐标为(0 -1)×(−1−3)=−2.∴线段CD的中点的纵坐标为12∵△PCD是以CD 为底边的等腰三角形∴点 P 只能在线段CD 的垂直平分线上∴点 P 的纵坐标为-2∴x²−2x−3=−2,解得x1=1−√2,x2=1+√2.∵点 P 在第四象限∴点 P 的横坐标为1+√2.故选 A.小试牛刀1.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中AB=2OB,在坐标轴上取一点 P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点 P共有( ).A.4个B.5 个C.6个D.7个2.(★★☆☆☆)如图点 A的坐标是(2 2) 若点 P 在x 轴上且△APO是等腰三角形，则点 P的坐标不可能是( ).A.(4 0)B.(1 0)C.(−2√2,0)D.(2 0)(x−√3)2+4上则能3.(★★☆☆☆)已知直线y=−√3x+3与坐标轴分别交于点A B 点 P 在抛物线y=−13使△ABP为等腰三角形的点 P 有( ).A.3个B.4个C.5个D.6 个直击中考的图象交于A(3 4) B(n -1)两点.1.如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(1)求反比例函数和一次函数的解析式.(2)在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标.(3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.2.已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点 A 在点B 的左边)，与y轴交于点C(0,−3),顶点 D 的坐标为( (1,−4).(1)求抛物线的解析式.(2)在y轴上找一点E，使得. △EAC为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标.两垂一圆模型讲解【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得△ABC为直角三角形.【结论】分类讨论：若∠A=90°,则点 C在过点 A 且垂直于 AB 的直线上(除点 A 外);若∠B=90°,则点 C 在过点 B 且垂直于 AB 的直线上(除点 B 外);若∠C=90°,则点 C在以 AB为直径的圆上(除点 A B外).以上简称“两垂一圆”.“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.典例秒杀典例1如图已知点A(-8 0) B(2 0) 点 C在直线y=−3x+4上，则使△ABC是直角三角形的点C 的个数为( ).4A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】如图所示，有三个点满足条件.典例2的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足已知抛物线y=x²−9与x轴交于A，B两点，点 P 在函数y=√3x条件的点 P 的个数为( ).A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】令x²−9=0,解得x₁=3,x₂=−3,不妨设A(-3 0) B(3 0)若AB为斜边，则以 O为圆心，OA长为半径作圆，如图1.的图象的交点即为满足条件的点，这样的点有4个，分别是P₁,P₂,P₃,P₄;圆O与y=√3x的图象于点P₆，P₅，交点即为满足条件的点，若以AB为一直角边，则分别过A，B作x轴的垂线，交y=√3x如图2，这样的点有2个.综上所述，满足条件的点 P 有 6 个.故选 D.典例3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象的对称轴为经过点(1，0)的直线，其图象与x轴交于点A，B，且过点 C(0，−3),，其顶点为 D，在 y轴上有一点 P(点 P 与点 C 不重合)，使得△APD是以点 P 为直角顶点的直角三角形，则点 P 的坐标为( ).A.(0 3)B.(0,−3)C.(0 -1)D.(0,−1)或(0,−3)【答案】C【解析】由题意得二次函数图象的对称轴为直线. x=1,则−b=1,b=-22又二次函数的图象过点 C(0，-3)∴--3=c 即c=-3∴二次函数的解析式为y=x²−2x−3.由y=x²−2x−3=(x−1)²−4,得顶点 D的坐标为(1 -4).令x²−2x−3=0,得x₁=3,x₂=−1,则 A(3 0).设 P(0 m)(m≠-3) 由题意得PA=√9+m2,PD=√1+(m+4)2,AD=2√5.∵∠APD=90°∴PA²+PD²=AD²,即(√9+m2)2+(√1+(m+4)2)2=(2√5)2.解得m₁=−1,m₂=−3(不合题意，舍去).∴P(0 -1).故选 C.1.(★★★☆☆)如图所示已知 A(2 6) B(8 -2) C为坐标轴上一点且△ABC是直角三角形，则满足条件的点 C 有( ).A.6 个B.7 个C.8个D.9 个2.(★★★☆☆)已知点 P 为二次函数y=x²−2x−3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A 在B 的右侧)，与y轴交于C 点，若△APC为直角三角形且 AC 为直角边，则点 P 的横坐标的值为 .直击中考1.如图 1，抛物线y=ax²+bx+6与 x轴交于点A(-2 0) B(6 0) 与y轴交于点C 顶点为 D 直线AD交y轴于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)如图2 将△AOE沿直线AD 平移得到△NMP.①当点 M落在抛物线上时，求点 M的坐标②在△NMP 移动过程中，存在点 M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 M的坐标.胡不归模型讲解从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路.由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A-B(如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠近目的地的一侧全是沙砾地带)，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻居劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际不断喃喃地念叨着“胡不归? 胡不归? ……”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢?倘若有可能，他应该选择怎样的路线呢?这就是风靡千年的“胡不归问题”.【模型】由于在驿道和沙砾地带的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总用时更短呢?如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时?【解析】设在沙砾地带的行驶速度为v₁，在驿道上的行驶速度为v₂显然v₁<v₂.不妨假设从 C处进入沙砾地带.设总用时为t，则t=BCv1+ACv2=1v1(BC+v1v2AC).因为 v₁，v₂是确定的，所以只要BC+v1v2AC的值最小，用时就最少.问题就转化为求BC+v1v2AC的最小值.我们可以作一条以C为端点的线段，使其等于v1v2AC,并且与线段CB位于AM 两侧，然后根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢?由三角函数的定义，过A点，在 AM的另一侧以A 为顶点，以AM为一边作∠MAN=α,sinα=v1v2,然后作CE⊥AN 则CE=v1v2AC.故当点 B，C，E在一条直线上时，BC+CE的值最小即BC+v1v2AC的值最小，即总用时最少.【问题解决】求形如“PA+kPB”的最值问题，构造射线 AD，使得sin∠DAN=k,即CHAC=k,CH=kAC.将问题转化为求BC+CH 的最小值过 B 点作BH⊥AD交MN于点C 交 AD 于点H 此时BC+CH 取到最小值即BC+kAC的值最小.典例秒杀典例1如图菱形 ABCD中∠ABC=60° 边长为3 P是对角线BD 上的一个动点，则12BP+PC的最小值是( ).A. √3B.32√3 C.3 D.√3+32【答案】B【解析】如图作 PM⊥AB于点M CH⊥AB 于点H.∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30∘,∴PM=12PB,∴12PB+PC=PC+PM,根据垂线段最短可知CP+PM的最小值为CH 的长在 Rt△CBH中CH=BC⋅sin60∘=3√32,∴12PB+PC的最小值为3√32,故选 B.典例2如图，△ABC在平面直角坐标系内，点A(0，3 √3) C(2 0).点 B为y 轴上的动点，则12AB+BC的最小值为( ).A.2√3B.52√3C.3√3D.72√3【答案】B【解析】如图，取. D(−3,0),连接AD 作. BE⊥AD,CE′⊥AD交AD于点E′,交 y轴于点B′.∵A(0,3√3),C(2,0),D(−3,0),∴OD=3,OA=3√3,OC=2,CD=5,∴tan∠DAO=ODOA =√33,∴∠DAO=30°,∴EB=12AB,∠ADO=60∘,∴12AB+BC=EB+CB,∴当 E 与E′重合，B与B′重合时，EB+BC的值最小，即最小值为CE'的长.在 Rt△CDE'中 ( CE′=CD⋅sin60∘=5√32,∴12AB+BC的最小值为5√32.故选 B.典例3如图，△ABC中AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点 E D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是( ).A.2√5B.4√5C.5√3D.10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于点H ( CM⊥AB于点M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°.∵tanA=BEAE=2,∴设AE=a BE=2a则100=a²+4a²,∴a²=20,解得a=2√5或a=−2√5(舍去)∴BE=2a=4√5.∵AB=AC BE⊥AC CM⊥AB∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等).∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55,∴DH=√55BD,∴CD+√55BD=CD+DH,∴CD+DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4√5.故选 B.小试牛刀1.(★★★☆☆)如图 △ABC 在平面直角坐标系中 AB=AC A(0 2 √2) C(1 0) D 为射线AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，运动路径为A→D→C ，点 P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标为( ).A.(0 √2 )B.(0,√22)C.(0,√23)D.(0,√24)2.(★★★☆☆)如图 在△ABC 中 ∠A=90° ∠B=60° AB=2 若 D 是BC 边上的动点 则2AD+CD 的最小值为 .直击中考1.已知抛物线 y =ax²+bx +c 与 x 轴交于A(-1 0) B(5 0)两点 C 为抛物线的顶点 抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，连接 BC ，且 tan∠CBD =43,如图所示.(1)求抛物线的解析式.(2)设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点.①过点 P 作x 轴的平行线交线段BC 于点 E 过点 E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB ，FC ，求△BCF 的面积的最大值 ②连接PB 求 35PC +PB 的最小值.阿氏圆问题模型讲解“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如图，已知A，B两点，点P 满足PA : PB=k(k≠1) 则点 P 的轨迹为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型】如图所示⊙O的半径为R 点A B都在⊙O外 P为⊙O上一动点，已知K=25OB,连接PA PB 则当102:25/4B的值最小时，P点的位置如何确定?【解析】如图，在线段OB上截取OC 使OC=25R,连接PO PC 则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC.故本题求PA+25PB的最小值可以转化为求PA+PC的最小值，其中A与C 为定点，P 为动点，故当A，P，C 三点共线时，PA+PC的值最小.典例秒杀典例1如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P 为⊙B上的动点，则PD+12PC的最小值等于( ).A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】如图，在 BC上截取BE=1,连接BP PE DE.∵正方形ABCD的边长为4 ⊙B的半径为2∴BC=CD=4,BP=2,∴EC=3,∴BPBC =BEBP=12,又∠PBE=∠PBE,∴PBECBP,∴PEPC =BEBP=12,∴PE=12PC,∴PD+12PC=PD+PE,∴当D P E三点共线时 PD+PE取得最小值即PD+12PC取得最小值∴PD+12PC的最小值为DE=√DC2+CE2=5.故选 C.典例2问题提出:如图1 在 Rt△ABC中∠ACB=90° CB=4 CA=6 ⊙C的半径为2 P 为圆上一动点连接AP BP 求AP+12BP的最小值.(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2 连接CP 在CB 上取点D 使CD=1 连接 PD 则有CDCP =CPCB=12.又∵∠PCD=∠BCP ∴△PCD∽△BCP.∴PDBP =PCBC=12,∴PD=12BP,∴AP +12BP =AP +PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案： AP +12BP 的最小值为(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 13AP +BP 的最小值为 .(3)拓展延伸:如图3 已知扇形 COD 中 ∠COD =90°,OC =6, OA =3,OB =5,点 P 是 ⌢CD 上一点，求2 2PA +PB 的最小值.【解析】(1)如图 连接AD. ∵AP +12BP =AP +PD,∴要使 AP +12BP 最小，即AP+PD 最小 则点A P D 在同一条直线上 ∴AP +12BP 的最小值为AD 的长，在 Rt △ACD 中 CD=1 AC=6 ∴AD =√AC 2+CD 2=√37, ∴AP +12BP 的最小值为 √37.(2)如图 在 CA 上取点 D 连接 BD 使 CD =23, ∴CD CP=CP CA=13.∵∠PCD=∠ACP ∴△PCD ∽△ACP ∴PD AP =CP CA=13,∴PD =13AP,∴13AP +BP =PD +BP,同(1)的方法得 13AP +BP 的最小值为 BD =√BC 2+CD 2= 23√37.(3)如图 延长OC 到点E 使CE=6 则OE=OC+CE=12 连接 PE OP∵OA =3,∴OAOP =OPOE =12. ∵∠AOP =∠EOP,∴△OAPO △OPE, ∴APEP =OAOP =12,∴EP =2PA,∴2PA +PB =EP +PB,∴当E P B 三点共线时 2PA +PB 取得最小值，为 BE = √OB 2+OE 2=13.小试牛刀1.(★★☆☆☆)如图在Rt△ABC中∠ACB=90°,CB=7,AC=9,，以C为圆心 3为半径作⊙C，P 为⊙C上一动点，连接AP BP 则1AP+BP的最小值为( ).3A.7B.5√2C.4+√10D.2√132.(★★☆☆☆)如图所示已知正方形 ABCD 的边长为4 ⊙B的半径为2，点 P是⊙B上的一个动点，则PD−1PC的最大值为( ).2A.3B.4C.5D.6PA+PB的3.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中点A(4 0) B(4 4) 点 P 在半径为 2 的圆 O 上运动，则12最小值是 .直击中考1.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴 y轴分别交于A C两点抛物线y=x²+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA，MB，BC，当点 M运动到某一位置时，四边形AMBC的面积最大，求此时点 M的坐标及四边形AMBC的面积PA的值最小，(3)如图2 若 P点是半径为2的⊙B上一动点连接PC PA 当点 P 运动到某一位置时，PC+12请求出这个最小值，并说明理由.等分面积模型讲解【模型】三角形中的中线等分面积很常见，如图，在△ABC中，取BC的中点D，连接AD，由于左右两个三角形等底同高，故它们的面积相等，即S ABD=AGD,如果在AC边上取一点P，那么如何作线平分面积呢?¯【作法】因为 D 是 BC 的中点S ABD=S ACD,所以要想平分三角形的面积，可作. AE‖PD,连接PE 如图.比较S ABD=S ACD,AED可等量替换为△AEP,因此，得S=S EPC,即完成了面积平分.四边形ABEP典例秒杀典例1已知平面上点O(0 0) A(3 2) B(4 0) 直线. y=mx−3m+2将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为( ).A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】y=mx--3m+2=m(x-3)+2当x=3时 y=2则直线y=mx--3m+2一定过点A(3 2)因为直线 y=mx--3m+2 将△OAB分成面积相等的两部分所以直线y=mx-3m+2一定过OB的中点(2 0)把x=2 y=0代入y=mx-3m+2得0=2m--3m+2解得m=2.故选 B.典例2如图 AB∥DC ED∥BC AE∥BD 那么图中与△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( ).A.1个B.2个C.3 个D.4 个【答案】B【解析】∵AB∥DC∴△ABC与△ABD的面积相等.∵AE∥BD∴△BED 与△ABD的面积相等.∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形∴与△ABD面积相等的三角形有△ABC △BED 共2个.故选 B.典例3(1)如图1 梯形 ABCD的对角线交于点O AB∥CD 请写出图中面积相等的三角形(2)如图 2，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A(—2，3) B(2 1).①求点 C的坐标及三角形 AOC 和三角形BOC 的面积②请利用(1)的结论解决如下问题：D 是边OA 上一点，过点 D 作直线DE 平分三角形ABO的面积，并交AB 于点E(要有适当的作图说明).【解析】(1)∵AB∥DC∴S ABD=S ABC,S ADC=S BDC,∴S AOD=S BOC.(2)①∵点 A(-2 3) B(2 1)∴直线AB的解析式为y=−12x+2,∴C(0 2)∴S AOC=12×2×2=2,S Bx=12×2×2=2.②由①可知点 C是线段AB 的中点，则S CA=S OBC.连接CD 过点O作( OE‖CD交AB 于点E 连接DE 则直线DE就是所求作的直线.小试牛刀1.(★★★☆☆)操作体验.(1)如图 1 已知△ABC,请画出△ABC的中线AD，并判断△ABD与△ACD面积的大小关系.(2)如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的边 BC 在 x 轴上已知点A(2 4) B(-1 0) C(3 0) 试确定过点 A 的一条直线l 平分△ABC的面积，请写出直线l的表达式.(3)如图3 在平面直角坐标系中若A(1 4) B(3 2) 则在直线y=−4x+20上是否存在一点C，使直线OC 恰好平分四边形OACB 的面积?若存在，请计算点 C的坐标若不存在，请说明理由.2.(★★★☆☆)已知在梯形ABCD中AB‖CD.(1)如图1 若点 E 为AD 的中点 BE 的延长线交 CD 的延长线于点F，求证：(2)如图2，请过点 B画一条直线将梯形ABCD 的面积平分，并简单说出画法.x+m的图象与x 轴交于点A(−6,0),交 y轴于点 B.3.(★★★☆☆)如图已知一次函数y=43(1)求m的值与点 B 的坐标.(2)在x轴上是否存在点C，使得. △ABC的面积为 16?若存在，求出点C的坐标若不存在，说明理由.(3)一条经过点 D(0，2)和直线AB上一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式.直击中考1.在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分.进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形分为面积相等的两部分?他画出了如下示意图(如图1)，得到了符合要求的直线AF.小明的作图步骤如下：第一步，连接AC第二步过点 B作BE∥AC交DC 的延长线于点E;第三步，取ED的中点F，作直线AF则直线 AF即为所求.请参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2 五边形 ABOCD各顶点坐标为A(3 4) B(0 2) O(0 0) C(4 0) D(4 2).请你构造一条经过顶点 A 的直线将五边形 ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式.第 21 页共 21 页。
7代数几何综合题(含答案)
代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是 BD C 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且 BF AD =，EM 切⊙O 于M 。
⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE；⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。
解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵ BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE，∴△CAD∽△AEB⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)∵A 是 BD C 中点，∴HC＝HB ＝12BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12BC·CE⑶∵A 是 BD C 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AE AC ＝132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。
过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长；（2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。
初中数学专题训练《代数与几何》综合练习题及解析
专题71 代数与几何综合（1）【典例分析】例1、如图，四边形OABC为长方形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B 点的坐标是(4,6)，将长方形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是(52,6)．(1)求F点的坐标；(2)如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；(3)若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．【答案】解：(1)∵点D坐标是(52,6)，B点的坐标是(4,6)，四边形OABC为矩形，∴BC=AO=4，OC=AB=6，CD=52，BD=BC−CD=32，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF=CD=52，∴BF=√DF2−DB2=√254−94=2，∴AF=6−2=4，∴点F(4,4)；(2)如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C(0,6)，F(4,4)，∴直线CF的解析式为y=−12x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y=2x+1，∴E(0,1)，D(52,6)，∵DJ=JE，∴J(54,72 )，∵PJ=JF，∴P(−32,3)；(3)如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N(m,2m+1)，则K(m+42,2m+52)，M(7−m2,3m+12)，M′(3m+12,m+92)，当点M落在x轴上时，3m+12=0，解得m=−13，当点M′落在X轴上时，m+92=0，解得m=−9，∴满足条件的点N的坐标为(−13,13)或(−9,−17)．【解析】【试题解析】(1)由折叠的性质可得DF=CD=5，由勾股定理可求BF的长，即可求解；2(2)如图2中，连接PF交DE于J.当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，构建一次函数求出点E，点D坐标，求出点J的坐标即可解决问题．(3)如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K.用m的代数式表示出点M，M′的坐标，根据点M，M′在x轴上时，纵坐标为0构建方程求解即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．【好题演练】一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，B(a,0)，C(m,n)，其中m>a，a<1，n>0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，则m的取值范围是A. 0<m<2B. 2<m<3C. m<3D. m>3【答案】B【解析】【分析】本题考查了坐标于图形的性质，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，不等式(组)的解集等有关知识，关键是知识的综合，利用数形结合思想解决问题．先由已知条件判定ΔAOB≌ΔBDC，故得OB=CD，OA=BD，再结合已知和点的坐标，得到不等式m−2<1和m−2>0，最后解不等式(组)即可求解．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠BDC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，∵∠AOB=∠BDC=90°，AB=BC，∴ΔAOB≌ΔBDC(AAS)，∴OB=CD，OA=BD，即a=n，m−a=2，∴a=n=m−2，∵a<1，∴m−2<1，即m<3;∵n>0，∴m−2>0，即m>2;∴m的取值范围是2<m<3．故答案为B．二、填空题2.如图A,E为反比例函数y=2x (x>0)上的两点，B、D为反比例函数y=kx(x>0)上的两点，AB//DE//y轴，连结DA并延长交y轴于点C且CD轴，若SΔABC−SΔADE=19，则k=__________．【答案】94【解析】【分析】本题主要考查的是反比例函数与几何综合，解题的关键是根据题意写出各点坐标．设点A(a,2a)，根据反比例函数及其图象的特点依次表示出B、C、D的坐标，再根据SΔABC−SΔADE=19即可得出结果．【解答】解：∵点A在反比例函数y=2x(x>0)上，设点A(a,2a)，∵AB//DE//y轴，∴B点的横坐标为a，C、D点纵坐标为2a，∴B(a,ka )，C(0,2a)，D(ak2,2a)，∴E点的横坐标为ak2，∵点E在反比例函数y=2x(x>0)上，∴E(ak2,4ak)，∵SΔABC−SΔADE=19，∴12⋅AC⋅AB−12AD⋅DE=19，∴12×a×(ka−2a)−12×(ak2−a)×(2kak−4ak)=19，∴k=94．故答案为：94．3.如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴上滑动，顶点B在x轴的正半轴上滑动，点E为AB的中点，AB=24，BC=5.当OD最大时，直线OD的表达式为________．【答案】y=5x【解析】【分析】本题主要考查代数与几何的综合.待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识．求直线OD解析式.需要先求出D点坐标，用到相似三角形的判定与性质求D点的横坐标，纵坐标，代入计算即可．【解答】解：如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∵AD =BC =5，AE =12AB =12， ∴DE =√AD 2+AE 2=√52+122=13， ∴OD =DE +OE =13+12=25， 设DF =x ，∴OF =√OD 2−DF 2=√252−x 2， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB =90∘， ∵∠DFA =∠AOB =90°，∴∠DAF +∠ADF =∠DAF +∠OAB ， ∴ADF =∠OAB ，又Rt △OAB 中，E 为AB 中点， ∴EO =EA =EB ，∴∠OAE =∠AOE ， ∴∠ADF =FOD ， 又∠AFD =∠OFD ， ∴△FOD∽△FDA ， ∴OD AD =OFDF ， 即255=√252−x 2x，解得x =25√2626，或x =−25√2626(舍去)， ∴OF =125√2626，∴D(25√2626,125√2626).令直线OD的表达式：y=kx，把点D坐标代入得k=5，∴y=5x．故答案为：y=5x．三、解答题4.如图，直线l：y=x−2分别交x，y轴于A、B两点，C、D是直线l上的两个动点，点C在第一象限，点D在第三象限．且始终有∠COD=135∘．(1)求证：ΔOAC∽△DBO；(2)若点C、D都在反比例函数y=kx的图象上，求k的值；(3)记▵OBD的面积为S1，▵AOC的面积为S2，且S1S2=12，二次函数y=ax2+bx+c满足以下两个条件：①图象过C、D两点；②当S1≤x≤S2时，y有最大值2，求a的值．【答案】解：(1)证明：∵∠DOC=135°，∴∠BOD+∠AOC=45°，∵A，B分别是直线y=x−2与x轴，y轴的交点，∴OA=OB=2，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠AOC +∠ACO =45°， ∴∠BOD =∠ACO ， ∵∠OBD =∠OAC ， ∴▵OAC ∽▵DBO ；(2)由(1)得▵OAC ∽▵DBO ， ∴ACBO =AOBD ， ∴AC ·BD =4， 设C(x C ,y C )，D(x D ,y D )，过点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，则BD =√2DF =−√2x D ，AC =√2CE =√2y C ． ∴−√2x D ·√2y C =4， ∴x D ·y C =−2， 即k·x D x C=−2，联立{y =x −2y =k x，消去y 得x 2−2x −k =0，∴x D ·x C =−k ，∴x D 2=2，∴x D =−√2， ∴y D =2−√2， ∴k =2√2+2；(3)由(1)知▵OAC ∽▵DBO ，∴S 1S 2=(OB AC )2=(BD OA )2=12，∴AC =2√2，BD =√2， ∴C(4,2)，D(−1,−3)， ∴S 1=1,S 2=2，把C ，D 代入二次函数解析式得： {16a +4b +c =2a −b +c =−3, 解得{b =1−3ac =−2−4a, ∴y =ax 2+(1−3a)x +(−2−4a)， 对称轴为x =−1−3a 2a=32−12a，①当a >0时， ∵x =32−12a <32，∴2到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，∴当x =2时，二次函数取最大值为4a +2−6a −2−4a =2． ∴a =−13(舍去)，这种情况，不存在a 的值使二次函数的最大值为2； ②当−1≤a <0时，x =32−12a ≥2，∴二次函数y =ax 2+(1−3a)x +(−2−4a)在1≤x ≤2上是随着x 的增大而增大的， ∴当x =2时，二次函数取最大值为4a +2−6a −2−4a =2， 解得：a =−13； ③当a <−1时，32<x =32−12a <2，∴当x =32−12a 时，二次函数取最大值为−(3a−1)24a−2−4a =2，解得a =−15(舍去)， 综上可得a 的值为−13．【解析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，一次函数的图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，二次函数的应用的有关知识．(1)根据∠DOC=135°，得到∠BOD+∠AOC=45°，根据A，B分别是直线y=x−2与x轴，y轴的交点，得到OA=OB=2，进而得到∠OAB=∠OBA=45°，从而有∠BOD=∠ACO，根据∠OBD=∠OAC，得到▵OAC∽▵DBO；(2)由相似三角形的性质得到AC·BD=4，设C(x C,y C)，D(x D,y D)，过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则BD=√2DF=−√2x D，AC=√2CE=√2y C.进而求出k·x Dx C=−2，联立{y=x−2y=kx，消去y得x2−2x−k=0，求出x D=−√2，y D=2−√2，进而求出k；(3)利用相似三角形的性质得到S1S2=(OBAC)2=(BDOA)2=12，求出点C，D的坐标，再代入二次函数的解析式求出y=ax2+(1−3a)x+(−2−4a)，求出对称轴为x=−1−3a2a =32−12a，再分①当a>0时，②当−1≤a<0时，③当a<−1时，讨论求解即可．5.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，点D的坐标为(4,3)．(1)求k的值．(2)设点M在反比例函数图像上，连接AM，DM，若△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，求点M的坐标．【答案】解：(1)延长AD交x轴于E，∵点D的坐标为(4,3)，∴OE=4，DE=3，由勾股定理得，OD=5，则AE=8，∴点A的坐标为(4,8)，∴k=4×8=32，答：k的值为32;(2)菱形ABCD的面积为5×4=20，∵△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，∴点M到AD的距离为20×25=8，∴点M的横坐标为4+8=12，y=3212=83，点M的坐标为(12,83).【解析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、求反比例函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的图象上点的坐标特征的有关知识，菱形的性质，掌握菱形的性质、反比例函数系数k=xy是解题的关键．(1)延长AD交的轴于E，根据勾股定理求出菱形的边长，确定A的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值;(2)根据题意求出菱形的面积，根据题意求出点M到AD的距离，求出点M的横坐标，代入求值即可．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx+1与双曲y=kx(k>0)相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点D(1,−2)，连结OA、OD、DC、AC，四边形AODC为菱形．(1)求k和m的值；(2)根据图象写出反比例函数的值小于2时x的取值范围；(3)设点P是y轴上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．【答案】解：(1)∵四边形AODC是菱形，O、C在x轴上，∴A、D关于x轴对称，∵D(1,−2)，∴A(1,2)，将A(1,2)代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，将A(1,2)代入反比例函数y=kx，可求得k=2．(2)∵当x=1时，反比例函数的值为2，∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，此时x的取值范围为：x<0或x>1；(3)连接AD交x轴于E，∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，∴S菱形OACD =12OC⋅AD=4，S△OAP=S菱形OACD，∴S△OAP=4，设P点坐标为(0,y)，则OP=|y|，∴12×|y|×1=4，即|y|=8，解得y=8或y=−8，∴P点坐标为(0,8)或(0,−8)【解析】本题考查的是反比例函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积有关知识．(1)由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数函数解析式可求得k和m值；(2)由(1)可知A点坐标为(1,2)，结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；(3)根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为(0,y)，根据条件可得到关于y的方程，可求得P点坐标．7.抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，交y轴负半轴于点C且OC=OA．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在第四象限内的抛物线上是否存在一点P，连接AP，直线AP将四边形ACPB的面积分为1：2的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以AB为直径向x轴上方画半圆，交y轴正半轴于点D，点Q是弧BD上的动点，M是弧DQ的中点，连接AQ、DQ，AM，设∠CDQ的角平分线交AM于点N，当点Q沿半圆从点D运动至点B时，求N点的运动路径长．【答案】解：(1)∵抛物线图象经过点A(−1,0)、点B(3,0)且OC=OA∴点C(0,−1)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，把点C(0,−1)代入，得a =13，∴设抛物线解析式为y =13(x +1)(x −3)， 即y =13x 2−23x −1；(2)连接BC 交AP 于点E ，过点C 作CG ⊥AP 垂足为点G 、过点B 作BH ⊥AP 交AP 的延长线于点H ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ， 如图 ①若S △APC ：S △APB =1:2，则CG:BH =1:2，∵△CGE∽△BHE ， ∴CE:BE =CG:BH =1:2， 易证△BEF∽△BOC ， ∴BF BO=BE BC=EF OC =23， ∴E(1,−23)，∴AE 的解析式为y =−13(x +1)，令，解得{x 1=−1y 1=0(舍);{x 2=2y 2=−1，∴点P(2,−1) ；②如图若S △APC ：S △APB =2:1，则CG:BH =2:1，∵△CGE∽△BHE ∴CE:BE =CG:BH =2:1， 易证△BEF∽△BCO ， ∴，∴E(2,−13)，∴AE 的解析式为y =−19(x +1)， 令{y =−19(x +1),y =13(x +1)(x −3).解得∴点P(83,−1127)，综上所述点P(2,−1)或(83,−1127).(3)如图连接AD ，易知AB =4，OD =√3，∠AQD =∠ABD =30°，∴∠DAO =60°，∠ADO =30°，不妨设∠QAO=x，∴∠DAQ=60°−x，∵点M是弧DQ的中点，∴∠DAM=∠MAQ=12(60°−x)，∵∠QAO+∠DOA=∠ODQ+∠AQD，∴∠ODQ=x+90°−30°=60°+x，∵DN平分∠ODQ，∴∠ODN=12∠ODQ=12(60°+x)，∴∠ADN=∠ADO+∠ODN=30°+12(60°+x)=60°+12x，∴∠AND=180°−(∠DAN+∠ADN)=90°，如图∴点N在以AD为直径的圆上运动，起点为点D，终点为N′，取AD的中点S，连接SN′，当点Q运动到点B时，即∠QAO=x=0°，∴∠DAN=30°，则∠DSN=60°，∵AD=2∴SD=1，∴点N运动的路径长为60⋅π⋅12180=π3．【解析】本题考查二次函数与相似三角形和圆的有关知识的综合，并要具备分类讨论的思想、数形结合思想，需要很强的逻辑推理能力；要有很强的计算能力，熟记计算公式是关键；本道题是一道比较困难的综合题。
全等几何模型综合题
全等几何模型综合题1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论个数为（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①∠FCD：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确结论的＝45°；②AE＝EC；③S△ABF序号是．3．已知如图：△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AN＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤MN∥BD；⑥PC平分∠BPD，其中，正确的是（填写序号）4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD与CE相交于点N，连接MN，PC，则下列五个结论：①∠BMC＝∠BMA；②∠APB＝60°；③AN＝BM；④△CMN是等边三角形；⑤PC平分∠BPD．其中，正确的是（只填写序号）5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，①找出图中一对全等三角形；②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角三角形ADF．（1）如图1，若当点D在线段BC上时（不与点B、C重合），证明：△ACF≌△ABD；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．7．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD ＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF①请说明DF与EF的数量关系和位置关系，并说明理由；②在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由③连接CF交DE于点G，试比较∠CGD与∠CEF的大小，并说明理由．9．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、点E分别在直线BC的异侧，其他条件不变，直接写出BC、DC、CE之间存在的数量关系．10．（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，并连接CN．求证：①△BAM≌△CAN，②AB＝CN+CM．（2）【类比探究】如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．11．如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．12．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求∠APM的度数；（3）连接MN，求证：△CMN是等边三角形．13．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H．（1）求证：AG＝AD；（2）求证：DF＝EF；＝2，求△DGF的面积．（3）若CF＝CE，S△ADG14．点E是BC的中点，DE平分∠ADC．（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．15．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥AB且E为AB中点，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．16．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．17．观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．18．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．19．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．（1）在图1中，请你写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系并说明理由；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．20．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，①求证：AF＝AE+AD；②求证：AD∥BC．（2）如图2，若AD＝AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系．21．（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．①∠AEC的度数为；②线段AE、BD之间的数量关系为；（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．22．数学模型（“一线三等角”模型）（1）如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）；（3）如图3，D，E是直线l上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由．23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α，点D是等边△ABC外一点，∠OCD＝60°，OC＝OD，连接OD、AD．（1）求∠AOD的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：△BOC≌△ADC；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？24．佳佳同学遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）为什么△BED≌△CAD？写出推理过程；（2）求出AD的取值范围；（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，若AE＝EF，求证：BF ＝AC．25．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形．（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状（按角分类），并说明理由．（3）求∠OAD的度数．（4）探究：当α＝时，△AOD是等腰三角形．（不必说明理由）26．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．27．以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD与BE相交于O，连结AO，如图①所示．（1）求证：BE＝CD；（2）判断∠AOD与∠AOE的大小，并说明理由．（3）在EB上取点F，使EF＝OC，如图②，请直接写出∠AFO与α的数量关系．28．△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．29．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C 为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？30．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为，数量关系为②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．31．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①请你直接写出∠AEB的度数为多少度？②探索线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系，并说明理由．32．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（依据一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二）∴AB+AC＞2AD．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．33．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．34．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN ＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．。
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（八年级数学）综合题复习 日期 星期 姓名
1、 如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。
点N 为OA 上一点，OM ⊥BN 于M ，
且∠ONB=45°+∠MON 。
（1）求证：BN 平分∠OBA ； （2）求BN
MN
OM 的值；
（3）若点P 为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP 与BP 是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。
（八年级数学）综合题复习 日期 星期 姓名
1、 如图，已知直线y=-x+8交y 轴于A ，交x 轴于B ，过B 作BD ⊥AB 交y 轴于D 。
（1）求直线BD 的解析式；
（2）若点C 是x 轴负半轴上一点，过C 作AC 的垂线与BD 交于点E ，请你判断线段AC 与CE 的大小关系？并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点G 为第二象限内任一点，连EG ，过A 作AF ⊥FG 于F ，连CF ，当点C 在x 轴的负半轴上运动时，∠CFE 的度数是否发生变化？若不变，请求其度数；若变化，说明理由。
（八年级数学）综合题复习 日期 星期 姓名
1、如图，一次函数y=ax-b 与正比例函数y=kx 的图象交于第三象限内的点A ，与y 轴交于B （0，-4）且OA=AB ，△OAB 的面积为6. （1）求两函数的解析式； （2）若M （2，0），直线BM 与AO 交于P ，求P 点的坐标；
（3）在x 轴上是否存在一点E ，使S △ABE =5，若存在，求E 点的坐标；若不存在，请说明理由。
（八年级数学）综合题复习 日期 星期 姓名
1、直线y=x+2与x 、y 轴交于A 、B 两点，C 为AB 的中点. （1）求C 的坐标；
（2）如图，M 为x 轴正半轴上一点，N 为OB 上一点，若BN+OM=MN ，求∠NCM 的度数；
（3）P 为过B 点的直线上一点，PD ⊥x 轴于D ，PD=PB ，E 为直线BP 上一点，F 为y 轴负半轴上一点，且DE=DF ，试探究BF －BE 的值的情况.。