线性时间序列分析及其应用

条件的独立同分布序列的假定下，Q m 渐近地服从自由度为m的
2分布。当Q
m
2时拒绝H
。
0
2.3白噪声和线性时间序列
时间序列rt 称为一个白噪声序列，如果rt 是一个具有有限均
值和有限方差的独立同分布随机变量序列。特别地，若rt还服从
均值为0、方差为 2的正态分布，则称这个序列为高斯白噪声。
对白噪声序列，所有自相关函数为零。
对任意固定的正整数l，ˆl渐近地服从均值为0、方差为1 T 的正
态分布。
检验单个ACF：检验统计量通常是t比,H0 : l =0; H1 : l 0;
t tatio
ˆl
1 2
ˆ l1 2
i1 i
，如果rt 是一个平稳高斯序列并且
T
满足当j l时 j =0，则该t-比渐近地服从标准正态分布。决策规
用这样的预测公用的一个简单模型是：rt =0 +1rt-1+at，at 是均值
为0、方差为
2的白噪声序列。
a
2.4.1AR 1 模型
假定序列是弱平稳的，则可得
=0
+1或E
rt
=
=
0 1-1
，这个
结果有两个含义：1、若1 1则rt的均值存在；2、rt的均值为0当且
仅当0 =0，因此，对平稳AR 1过程，常数项0与rt的均值有关，
给定F h
rh , rh1, rh2 L
，rh1的点预测为条件期望:
p
rˆh
1
E
rh1
|
F h
0
irh1i ,
i 1
对应的误差为e h
1
rh1
rˆh
1
ah
1
可以证明：对平稳AR（p）序列，具有均值回转的性质，
即当 l +时，rˆh l收敛于E rt 。
2.5简单滑动平均模型
引进MA模型有几种方式:一种是把它当做白噪声序列的简单推 广,另一种方式是把它当成参数受限制的无穷阶的自回归模型.
rt
称为弱平稳的，如果rt的均值与rt
和rt
的协方差不随时间而改
-l
变。更具体的说，rt
是弱平稳的，若
a
Ert
=； b
cov
rt，rt
-l
=
，
l
l只依赖于l。在实际中，假定我们有T个数据观测点rt |t=1,...,T，
弱平稳性意味着数据的时间图显示出T个值在一个常数水平上下
以相同幅度波动。在应用中,弱平稳性可以对未来观测进行预测。
第一个式子中的估计量ˆ1,1 称为 rt 间隔为1的样本偏自相 关自函相数关，函第数二，个以式此子类中推的，估它计表示ˆ2,2在称A为R（rt 1的）间模隔型为基2础的上偏 添加的 rt-2 对 rt 的贡献，以此类推。
因此，对一个AR（p）模型，间隔为p的样本偏自相关函
数不应为零，而对所有j>p, ˆ2,2 应接近于零。利用这一性
=
Pt Pt-1
-1=
Pt -Pt-1 Pt-1
。
多期简单收益率：若从第t-k天到第t天这k个周期内持续持有某
种资产，则k-期简单毛收益率为：1+Rt
k
= Pt = Pt Pt-1 ... Pt-k Pt-1 Pt-2
Pt-k+1 = Pt-k
1+R t
k-1
1+R t-1 ... 1+R t-k+1 = 1+R t-j .这样k-期简单毛收
线性时间序列：时间序列rt 称为线性序列，如果它能写成：
rt = + iati ,at 是白噪声序列，at表示时间序列在t时刻出现 i0
了新的信息，因此将at称为时刻t的新息或扰动。 i据定了rt的动
态结构，称为rt的 -权重。若rt是弱平稳的，利用at的独立性可
得rt的均值和方差E
rt
,Var
序列的ACF满足二阶差分方程 1-1B 2B2 l =0，B是向后推移
算子，即Bl
=l
。
1
2.4.2在实际中怎样识别AR模型：在实际应用中，一个AR序列 的阶p是未知的，必须根据实际数据来决定，求解阶p的问题叫 做AR模型的定阶。一般有两种决定p的方法：1、利用偏相关
函数 PACF 2、用某个信息准则函数
2.1平稳性
平稳性是时间序列分析的基础。时间序列rt 称为严平稳的，如
果对所有的t任意正整数k和任意k个正整数t1,...tk , rt1 ,..., rtk 的联
合分布与 rt1+t ,..., rtk t 的联合分布是相同的，换言之，严平稳性要
求 rt1 ,..., rtk 的联合分布在时间的平移变换下保持不变。时间序列
收益率或对数收益率，rt
ln 1+Rt
ln
Pt Pt-1
pt
pt
。
1
连续复合多期收益率是它所包含的连续复合单期收益率之和：
rt k ln 1+R t k ln 1+R t 1+R t-1 ...1+R t-k+1 rt rt1 ... rtk1
N
资产组合收益率：R p,t
rt
2 a
2 i
,
其中
a2是at的方差。
i0
因Var
rt
+，所有
2 i
必须是收敛序列,即i
,
2 i
0.
相应地，随着i的增大，远处的扰动at -i 对rt的影响会逐渐消失。
2.4简单的自回归模型
CRSP价值加权指数的月收益率rt具有统计显著的间隔为1的自相关
系数，这个事实说明延迟的收益率rt -1在预测rt时可能会有用。利
j= 0
益率就是其所包含的这k个单期简单毛收益率的乘积，称为复合
收益率。k-期简单净收益率是R t k= Pt -Pt-k Pt-k
连续复合：连续复合年利率为r，则资产的现值与其未来价值的
关系为：A=C exp r n,C Aexp r n。
连续复合收益率：资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合
wi Rit , wi为权重，Rit是i的简单收益率。
i 1
分红支付：设Dt是一个资产在第t-1天和第t天之间的分红,Pt是第t个
周期末的价格.这样分红并没有包含在Pt中,因此t时刻连续复合收
益率和简单净收益率分别变为:rt
ln Pt +Dt
-ln
Pt-1，wenku.baidu.com t =
Pt +Dt Pt-1
-1.
的随机变量，即P X
1
,P
X
0
1,且0
1，
2较
1
小而
22相对较大。
2的较大值使混合把更多的“质量”放在其
2
分布的尾部，来自于N
,
2 2
的收益率的百分比较低，表明大
多数收益率服从一个简单的正态分布。正态分布有限混合的优
点包括：保持了正态分布的易处理性、具有有限高阶矩和能刻
画超额峰度。然而，我们很难估计混合参数。
则是：当|t-比|>Z
2时拒绝H 0，其中Z
是标准正态分布的
2
1001- 2分位点。
混成检验：金融应用中常需要检验rt的几个自相关系数是否同时
m
为零。Ljung Box统计量为：Q m T T 2
ˆl2 。
l1 T 1
H0 : 1 ... m =0; Ha : 对某i 1,...m, i 0.在rt为满足一定矩
下,简单收益率是独立同分布的对数正态分布的随机变量,均值
和方差分别为:E
Rt
=
exp
2
2
1,
Var rt exp 2 2 exp 2 1
稳定分布：是正态分布的自然推广它们在加法运算下是稳定的，
这一点符合连续复合收益率rt的要求。稳定分布能刻画股票的历 史收益率所显示出来的超额峰度，然而非正态分布没有有限方
质来决定阶p。
信息准则：常用Akaike信息准则 AIC
选择规则：使AIC达到最小值
参数估计：普通二乘法
模型的检验：1、残差序列是白噪声 2、Ljung-Box统计量（混成检验）
2.4.3 拟合优度
衡量平稳模型拟合优度的一个常用的统计量是 R2统计量，
其定义为：
R2
1
残差平方和 总的平方和
对于平稳AR（p）模型,假设有t个观测：
故有l 1l。这个性质表明弱平稳AR 1序列的自相关函数从
0 1开始以比率为1的指数速度衰减。对正的1，AR 1 模型
的自相关函数图像呈现指数衰减，对负的1，AR 1 模型的ACF
有上下两个都以12比率指数衰减的图像组成。
AR 2 模型：rt 0 1rt1 2rt2 t
rt的ACF的性质：l 1l1 2l2 , l 0, 此式说明：平稳AR 2
rt | t 1,L ,T ,则R2变为R2 1
aˆ T
2
t p1 t
T t
p 1
(rt
r
)2
R2 越大，表示模型对数据拟合得越好。
2.4.4 预测
预测是时间序列分析中一个重要应用，假定我们在时间指
标为h的点上，要预测rhl , l 1 ，则时间指标h为预测原点， l为预测步长。
由AR模型有rh1 0 1rh L prh1 p ah1, 在均方损失函数下,
我们有：0 =1，l =-l和-1 l 1.另外，一个弱平稳序列是序列
不相关的当且仅当对所有l 0都有l =0.
rt的间隔为l的样本自相关系数定义为：ˆl =
T
tl1
rt -t
rtl -r
T
t1
rt -t
2
,
0 l T -1，若rt是一个独立同分布序列，满足E rt2 ，则
我们考虑无穷阶的AR模型:rt 0 1rt1 2rt2 L at , 这样一 个模型是没有实际意义的,但我们可以假定系数i满足某种限制: rt 0 1rt1 12rt2 13rt3 L at , 其中系数只依赖单个参数1， i =-1i，i 1。要使上式中的模型是平稳的，必须|1|<1，从而
2、用某个信息准则函数
偏相关函数 PACF ：平稳时间序列的PACF是它的ACF的一个函数：
rt =0,1 +1,1rt-1 +e1t , rt =0,2 +1,2rt-1 +2,2rt-2 e2t , rt =0,3 +1,3rt-1 +2,3rt-2 r 3,3 t-3 e3t，
....................
Tsay 第一章 金融时间序列及其特征
1.1资产收益率 1.2收益率的分布性质
1.3其他过程 略
1.1资产收益率 Pt是资产在t时刻的价格 单期简单收益率：若从第t-1填到第t天 一个周期 持有某种资产，
则简单毛收益率为：1+R
t
=
Pt Pt-1
或Pt
=Pt-1
1+R
t
对应的单期简单
净收益率或称简单收益率为：R t
超额收益率:简单超额收益率Z t
Rt -R0t ,对数超额收益率zt
rt
r0t
1.2收益率的分布性质
K x -3叫做超额峰度，因为正态分布的峰度K x =3.若一个分布
有正的超额峰度，则称此分布具有厚尾性。
对数正态分布:一个常用的假定是:资产的对数收益率是独立同
分布的且都服从均值为、方差为 2的正态分布.那么在此假定
收益率的似然函数：若条件分布f rt | rt1,..., r1, 是均值为t、方
差为
t2的正态分布，则由参数t
和
2组成，数据的似然函数为：
t
T
f rt ,..., rT ; =f r1;
t2
1
2 t
exp
rt t
2
2 t
2
, 其中f
r1;
是第
一个观测r1的边际密度函数，其对数似然函数为：
协方差 l = cov rt，rt-l 称为rt的间隔为l的自协方差，它又两个重要 性质：a 0 =Var rt ；b -l = l
2.2相关系数和自相关函数
自相关函数 ACF ：
rt与rt-l的相关系数称为rt的间隔为l的自相关系数,记为l ,在弱平稳
性的假定下它只是l的函数:l =
cov rt，rt-l = cov rt，rt-l = l 。 Var rt Var rt-l Var rt 0
差。这一点与大部分金融理论相矛盾。柯西分布是其一个例子。
正态分布的尺度混合：在正态分布尺度混合的假定下，对数收
益率rt服从均值为、方差为 2的正态分布。但是 2是一个随机
变量，它服从一个正的分布。正态分布的有限混合的一个例子
是：rt ~ 1 X N
,
2 1
XN
,
2 2
，其中X 是服从伯努利分布
0 =0意味着E rt =0。
Var
rt
=
2 a
1-12
，在12
1时成立，因为方差是非负有限的。
AR 1 模型的自相关函数： l 111l-1，a2,当当ll=00时时，，对2.8式定义
的弱平稳AR
1
模型，有Var(rt
)=
1
2
2 1
且： l
1l l1, l
0
由后一方程rt的自相关函数满足：l 1l1,l 0，因为0 1，
ln
f
rt ,..., rT
;
=lnf
r1;
1 2
T t2
ln 2
ln
2 t
rt
t
2 t
2
。
书中图标表明简单收益率和对数收益率的基本模式相似。
Tsay 第二章 线性时间序列分析及其特征
2.1平稳性 2.2相关系数和自相关函数 2.3白噪声和线性时间序列 2.4简单的自回归模型 2.5简单滑动平均模型 2.6简单的ARMA模型 2.7单位根非平稳性 2.8季节模型 2.9带时间序列误差的回归模型 2.10协方差矩阵的相合估计 2.11长记忆模型