数学建模竞赛中的论文写作

数学建模竞赛中的论文写作

在数学建模竞赛中,每个参赛队要提交一篇论文,内容是利用数学方法解决一个实际问题。完成这篇论文有三个“工序”：第一,建立数学模型,即把实际问题转化为数学问题:第二,利用计算机及其他工具解决所得的实际问题:第三,将所得的结果写成论文,这篇论文不仅要使专家能看懂,而且要使数学知识相对少的管理者以及公众也能了解建模的基本思想和解决问题的方案。

论文写作是竞赛的关键环节。许多参赛队所得的结果,从数学上看并不差,然而没有清楚地说明建模思想,问题分析不深入,也未能阐明结果的实际意义,成绩自然不理想。

论文的评阅标准是四句话:假设的合理性,建模的创造性,结果的正确性和文字清晰性。每个参赛队员都要牢记这四句话。

论文的语言应该准确、简洁,使评阅人能很快地找到论文最精彩的部分,迅速地领会到你的建模思想,了解解决问题的方案。论文的主体一般不应超过一万字(大约10页),次要的内容,详尽的推导可以作为附录。一般来说,只有最好的论文,评阅人才会花较长的时间去读,所以如果你的论文过于冗长,是很难得到好成绩的。语言要鲜明生动。科学论文最重要的当然是准确性,不允许夸张或虚假。但在准确的基础上要尽量鲜明生动,这将会给评阅入一个良好的印象。有些参赛论文写得象某些数学教科书:定理...证明...定理...证明(这样的教科书不一定很受欢迎),使人看了打瞌睡,而且没有说清楚建模思想,读起来很费力,自然难以得到好成绩。

根据竞赛的要求,整篇文章应包含以下部分:摘要(约300~500字),问题的重述,假设,模型建立与模型分析,模型的稳定性,模型评价等部分。摘要在整篇文章中起着“画龙点睛”的作用。应以最简洁的语言,将全文中最精彩的部分展示在评阅人的面前。要有“广告”的意识,摘要就是你的论文的“广告”。如果你的论文摘要能够吸引评阅人的注意力,你就成功了一半。

摘要的内容可用三个词概括:问题、方法、结果。首先用一两句话概括所解决的问题,其次简要说明建模的主要思路和方法，最后列举得到的主要结果。一定要鲜明地指出文章的特色。语言要简洁,避免难以理解的名词。必要时,可用1~2个简洁的公式来说明主要思想或结果。如果结果比较复杂,也可用图表说明。摘要一定要精心推敲,删去所有废话,做到“字字珠矶”。

问题重述最好不要照抄原题。可适当介绍建模思想(类似小说中的“引子”)特别是对于提法过泛的问题(美国赛题有很多这种类型),可适当将问题具体化。

假设是论文中的重要一环。记住评阅标准的第一条:假设的合理性。假设的主要目的是将常识判断、其他科学的语言等等转化为精确的数学语言。这是数学建模的基础。因此一定要使用规范化的数学语言、准确的数学概念。

例如MCM95B题:快速评卷的方案设计,要求设计评阅数学建模竞赛卷的方案。一般的参赛队都会提出这样的假设:每位评阅人都是公平的。这句话当然没

有错,然而“公平”不是一个数学概念。如何把“公平”用数学语言精确地表达出来?假设第i 位评阅人给第j 份答卷的评分为c ij 日果我们认为c ij 是确定型变量,那么下面是“公平”的两种可能的解释:

(l) c ij 与评阅人无关,即每个评阅人给同一份卷同样的分数;

(2) 每个评阅人给所有答卷的排序相同,即若a 、b 是两位评阅人,j 、k 是两份答卷,则当ak aj c c ≥时必有bk bj c c ≥。

可以看出,假设(1)虽然看来与实际情况差别较大,但它是“公平"一词的原始解释,所有关于“公平”的假设都是以它为基础的,假设(2)比较复杂,但比较符合实际情况。

如果我们假设c ij 是随机变量,那么会与实际情况符合得更好。注意,随机变量在数学上完全由其分布函数(或密度函数)决定,所以我们在假设中只能涉及其分布。因此,一个可能的假设是:

(3) c ij 的分布与i 无关, c ij ~),(2σj c N ,这里c j 是答卷j 的“真实分数”。

可以看出,假设(3)是假设(l)和假设(2)的进一步发展。我们可以根据假设(1)建立一个模型,根据假设(2)建立一个改进的模型。

又如CMCM99A 题:自动化车床管理。题中说:“一道工序用自动化车床连续加工某种零件,由于刀具损坏等原因该工序会出现故障,其中刀具损坏故障占95%,其它故障仅占5%”。这句话如何理解?有不少参赛队作出如下假设:

(1)刀具损坏故障与其他故障是相互独立的；

(2)刀具损坏故障次数与其他故障损坏次数的比例是19:1.

仔细分析就可以知道,首先,假设(1)与假设(2)是相互矛盾的。既然两种故障的发生是相互独立的,怎么由刀具损坏故障次数知道其他故障损坏次数呢?其次,我们不可能知道故障发生的具体时间,只能知道故障的发生的分布。通过这样的分析就知道,假设(1)与假设(2)从数学上是不准确的,应如下表达:

用N 总,N 刀,N 其他表示在一定时间内(例如加工106个零件)总故障、刀具故障与

其他故障的次数,则

(1’)随机变量N 刀和N 其他相互独立:

(2’)用总N ,刀N ,其他N 表示相应的均值,则刀N =0.95总N ,其他N =0.05总N 。

注意假设(2)与假设(2’)的差别。我们不可能预知刀具损坏的次数,但可从过去的故障记录知道它的分布,从而知道它的均值。

假设要写得简洁,只写出最重要的假设,通常以3~5条较为合适。要使得评阅人一看就能记住。如果假设过多,评阅人经常要回过头来看,就影响他对你的思路的理解。最好把你使用的各种符号,结合假设列出来。符号的设计也是很重要的,简单明了的符号有助于评阅人理解你的思路。

模型建立是整篇论文的核心,要简要说明建模的思路,准确地表达出所建立模型的数学形式。说明问题是如何简化的,考虑了哪些主要因数,舍弃了哪些次要因数,注意说清楚自己的想法。如引用现成的模型,指出参考文献就行了,切忌大段抄书。

模型分析这一部分主要说明解决数学问题的思路和方法,以及解释所得结果的实际意义。这一段和课堂上所做的数学题比较类似。但要注意避免大量的推导和公式。主要说明解题思路,严格的推导、证明可放在附录中。公式必须精选,只写出最关键的几步。要说明结果的实际意义。例如MCM2002B题是研究航空公司超订机票问题。研究顾客不满意度与公司损失的关系。有些参赛队仅是简单地假设这两者之间存在二个函数关系,有的参赛队进一步说明这一函数表明了市场的竞争程度:当市场处于垄断状态时,顾客即使不满意也无法选择其他航空公司,公司的损失就小:当市场处于完全竞争状态,则顾客不满意度增加时,就会大量流失,引起公司巨大损失。这样的解释就使结果更容易理解。结果尽量用表格、图表等形式,总之要简明易懂,美国赛题往往包含给公司管理者、政府或公众的一份报告。这份报告要尽量少用数学术语,尽可能通俗地解释你的结果。即使没有这一要求,也应通俗地解释你的结果。一定要把你的特色鲜明地显示给评阅人。其他部分则应简略,有些参赛队总想把所想到的全写出来。舍不得删去次要内容。这样会使文章显得十分杂乱。鲁迅先生曾对年轻作家提出忠告,宁可把写长篇小说的材料写成短篇小说,也不要把短篇小说的材料拉成长篇。这一忠告也适合于写科学论文。

模型稳定性的讨论是很重要的。因为初始数据不可避免有误差,若模型不稳定,则所得结果可能毫无意义,但也有相反的情况。例如CMCM93B题,足球队排名次问题。现在我们看到每年甲A联赛,经常提前几轮就“尘埃落定”,冠军与降级队一早就知道了,球赛没有悬念,没人看,而且也造成球队之间作交易打假球的风气。如果设计一种排名次的方案,每场比赛的结果都会对名次排序造成很大影响。这样就逼使各队不得不全力以赴,假球就会少了,球市也会火爆。所以对这种问题,不稳定反而是模型的优点。

最后,模型优缺点这部分是文章的结尾部分,千万不要“虎头蛇尾”,随便应付两句。首先要把你的方案的优点说够。你肯定希望你的方案被政府(或公司)采纳,而不是被“枪毙”吧!当然,任何方案都不是十全十美的,因此也要实事求是地说明模型的缺点。另外,短短三天的竞赛,你肯定有许多很好的想法未能实现,可简要地在这里说明。例如在模型中忽略哪些次要因素,这些因素可能起什么作用,提出一些更精细的模型。这样能使评阅人了解你的思路是很广的,如果给你充分的时间,你将会做出更好的结果。

姜伯驹院士说过,在这数学技术的时代,在无论哪个行业的激烈竞争中,数学都已成为强者的翅膀。祝同学们在数学建模竞赛中取得好成绩!祝同学们在人生的征途中,插上数学的翅膀,永远成为强者!

我们建议对每个问题建立两个模型。一个较简单的模型,可能略嫌粗糙,但一定要反映出问题的最主要本质。在此基础上建立较为精细、实用的模型。两个模型对比,就会使你的论文更为生动,也更能说明问题。诗要讲对仗,文章要讲对比,数学建模论文也是一样。一般不要超过三个模型,模型太多了,文章就显得缺乏中心,而且往往哪个模型也没讲明白。