高二数学下册双曲线单元训练题及答案
高二数学椭圆双曲线专项练习含答案
高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：1、双曲线 x2－ay2＝ 1 的焦点坐标是（）A ．( 1 a , 0) , ( －1 a , 0)B． ( 1 a , 0), (－1 a , 0)C．（－a1a1D． (－a1,0),(a 1a, 0）,（a, 0）a, 0)a2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y 1）x ,则该双曲线的离心率为（2A ．5B ．5/2C．5D．5/43．椭圆x2y21的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为P，则| PF2|= 4（）A． 3 /2B．3C． 4了D． 7/24．过椭圆左焦点 F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B 两点，若FA 2 FB ，则椭圆的离心率等于（）A 2B2C1D2 3223 x2y2x 2y 25．已知椭圆3m25n2 和双曲线2m23n2＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A ． x＝±15 y B． y＝±15 x C． x＝± 3 y D． y＝± 3 x22446．设 F1和 F2为双曲线x2y2＝ 1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且知足∠F1PF2＝90°，则△ F1PF2的面积4是（） A．1 B ．5C． 2D．5 27．已知 F1、 F2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，而且PF1⊥PF2，e1和e 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（）2A ．e1e22B ．e12e224C．e1e2 2 2D．112 e12e228．已知方程x 2+y 2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）| m | 2 m1A ． m<2B ．1<m<2C． m< － 1 或 1<m<2 D ． m< － 1 或 1<m<32x 2y 2 x 2 y 29．已知双曲线 a 2－b 2=1和椭圆m 2 + b 2 =1( a>0,m> b>0) 的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形x 2 y 2 1 上有 n 个不一样的点 :P 1 2 n n1 的10．椭圆3 , P , , P , 椭圆的右焦点为 F. 数列｛ |P F|｝是公差大于1004等差数列 , 则 n 的最大值是（） A ． 198 B ．199C ． 200D ．201一、填空题：11．对于曲线 C ∶x 2 y 2 C 不行能表示椭圆；②4 k=1 ，给出下边四个命题：①由线k 1当 1＜k ＜ 4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则 k ＜ 1 或 k ＞ 4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜ k ＜5此中全部正确命题的序号为_______ ______212．设圆过双曲线x 2 y 2 =1 的一个极点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__916x 2 y 2 1 21 213．双曲线＝ 1 的两焦点为、，点 P 在双曲线上，若 PF ⊥ PF，则点 P 到 x 轴的距离 ____9 1614．若 A （ 1， 1），又 F 1 是 5x 2＋ 9y 2=45 椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则 |PA|＋|P F 1|的最小值 _______15、已知 B(-5 ， 0) ， C(5 ， 0) 是△ ABC 的两个极点，且 sinB-sinC= 3sinA, 则极点 A 的轨迹方程是5二、解答题：16、设椭圆方程为x 2 y 2 =1，求点 M （0，1）的直线l 交椭圆于点 A 、 B ， O 为坐标原点，点P 知足41 OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 .OP(OA217、已知 F1、 F2为双曲线x 2y21（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直a 2b2于 x 轴的直线交双曲线于点P，且∠ PF1F2＝ 30°．求双曲线的渐近线方程．图18、已知椭圆x2y21( a b 0) 的长、短轴端点分别为A、B，此后椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰巧a2b2经过椭圆的左焦点F1，向量 AB 与 OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q 是椭圆上随意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右极点为( 3,0)。
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
高二数学双曲线试题(有答案)
高二数学双曲线试题一：选择题1．双曲线()2210x y mn m n -=≠的离心率为2，有一个焦点与椭圆2211625x y +=的焦点重合，那么m 的值为〔 〕 A ． B ．C ．D ．【答案】A2．以112422-=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为〔 〕 A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 【答案】A3．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，那么12PF F ∆的面积等于〔 〕 〔A 〕45〔B 〕315〔C 〕53 〔D 〕210【答案】B4.双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F 1〔﹣，0〕，F 2〔，0〕，点P 是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是〔 〕A ．B ．C ．D ．解：设双曲线的方程为：﹣=1， ∵两焦点F 1〔﹣，0〕，F 2〔，0〕，且•=0，∴⊥，∴△F 1PF 2为直角三角形，∠P 为直角； ∴+===28；①又点P 是此双曲线上的一点，∴||PF1|﹣|PF2||=2a，∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，∴+﹣8=4a2，②由①②得：a2=5，又c2==7，∴b2=c2﹣a2=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，应选C．5.双曲线E的中心为原点，P〔3，0〕是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N〔﹣12，﹣15〕，那么E的方程式为〔〕A．B．C．D．解：由条件易得直线l的斜率为k=k FN=1，设双曲线方程为，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，应选B．6.椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是〔〕A．x=±B．y=C．x=D．y=解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x应选D7.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，那么此双曲线的方程为〔〕A．﹣y2=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣y2=1解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1应选A．8.抛物线y 2=8x 的准线与双曲线相交于A ，B 两点，点F 是抛物线的焦点，假设双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB 是直角三角形，那么双曲线的标准方程是〔 〕 A ．B ．C ．D ．解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得 y=±．双曲线的一条渐近线方程是，∴那么不妨设A 〔﹣2，〕，F 〔2，0〕∵△FAB 是等腰直角三角形， ∴=4，解得：a=，b=4∴c 2=a 2+b 2=2+16=20，∴双曲线的标准方程是应选C9..椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，那么椭圆C 的方程为〔A 〕22182x y += 〔B 〕221126x y += 〔C 〕221164x y += 〔D 〕221205x y += 【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==a c e ，2243a c =，222243b a a c -==，所以2241a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 52±=，那么第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 10.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，那么双曲线离心率为〔 〕 A ．B ．C ．D ．解：设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|， 设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中2a=|AF 1|﹣|AF 2|=2，，∴离心率，应选B ．11.设双曲线的﹣个焦点为F ；虚轴的﹣个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为〔 〕 A ． B ． C ． D ．解：设双曲线方程为，那么F 〔c ，0〕，B 〔0，b 〕 直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0， 所以或〔舍去〕12．双曲线221124x y -=的右焦点为F ，假设过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此直线斜率的取值围是( C )A.33()B.(3,3)-C.33[D.[3,3]-【答案】C13.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=〔a,b ＞0〕的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，假设|MF 2|=|F 1F 2|,那么C 的离心率是A.233 B 。
高二数学双曲线练习题及答案
高二数学双曲线练习题及答案下面是一份高二数学双曲线练习题及答案的文章，请你仔细阅读：高二数学双曲线练习题及答案双曲线是数学中重要的曲线之一，在高二数学学习中也占有重要地位。
为了帮助同学们更好地掌握双曲线知识，我们提供一些练习题以及答案，供同学们进行巩固和练习。
题目一：已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点F在y轴上，顶点坐标为(0, a)，离心率为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，求双曲线C的方程。
答案一：由双曲线的性质可知，焦点到顶点的距离与焦点到曲线上一点的距离之比等于离心率。
设F的坐标为（0, c），则离心率为：$\frac{CF}{Ca}=\frac{1}{\sqrt{2}}$由焦点的坐标可得c=a(1/√2)由离心率的定义可得：$\sqrt{a^2-c^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$解得a^2=4c^2。
将焦点的坐标带入，得到方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4c^2}=1$题目二：已知双曲线C的一支渐近线方程为y=3x-2，焦点的坐标为（1,0），求双曲线C的方程。
答案二：由双曲线的性质可得，双曲线的渐近线的斜率为圆心到焦点连线的斜率。
设焦点坐标为(F, 0)，则斜率为：k = tanα，其中α为双曲线的倾斜角又由渐近线y=3x-2可得，圆心到焦点连线的斜率为3因此，k=3=tanα，则α为60度，倾斜角为60度。
由焦点坐标可知，焦点在(x1, y1)上，即（1,0）由双曲线的方程性质可得，双曲线的公式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$根据双曲线标准方程，我们可以将双曲线方程改写为：$\frac{(y-y1)^2}{a^2}-\frac{(x-x1)^2}{b^2}=1$代入焦点坐标（1,0）得到：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}=1$将双曲线的倾斜角代入，可得：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}-\frac{(y-x)^2}{a^2}=1$化简得：$\frac{2x^2+2xy+2x+2y^2-4y}{a^2}=0$这样得到了双曲线C的方程。
高二数学双曲线几何性质同步练习(含答案)
高二数学双曲线几何性质同步练习(含答案 )双曲线方程的观察是圆锥曲线的要点知识点，以下是双曲线几何性质同步练习，请大家认真练习。
1.动点与点与点知足，则点的轨迹方程为______________2.假如双曲线的渐近线方程为，则离心率为____________3.过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为 _____________4.已知双曲线的离心率为，则的范围为____________________5.已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为 _____6.已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为 1，则双曲线的方程为__________________7.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为.8.双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为.9.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为.10.若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为 .11.若椭圆和双曲线有同样的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为.12.是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为 .13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线- =1 的通径的长是 _______________ 14.双曲线 16x2-9y2=144 上一点 P(x0,y0)(x00 ) 到左焦点距离为 4，则 x0= .15.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程.16.如图，某农场在处有一堆肥料沿道路或送到大田中去，已知，，且，，可否在大田中确立一条界限，使位于界限一侧沿送肥料较近 ?若能，请成立适合坐标系求出这条界限方程 .17.试求以椭圆+ =1 的右焦点为圆心，且与双曲线- =1 的渐近线相切的圆方程.参照答案1.2. 或 3.4.5. 6. 7. 8. 9. 7 10.11. 12. 13. 14.15。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线的渐近线方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线的方程为，令，所以渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程.2.双曲线的虚轴长等于( )A．B．-2t C．D．4【答案】C【解析】由于双曲线，所以其虚轴长,故选C．【考点】双曲线的标准方程．3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B是锐【解析】根据题意，易得，由题设条件可知为等腰三角形，2角三角形，只要为锐角，即即可；所以有，即解出故选B【考点】双曲线的简单性质5.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（）A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】整理准线方程得，∴，a=4，∴=2a=8或=2a=8，∴=2或18，故选C．.【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．6.双曲线的渐近线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令,解得【考点】双曲线渐近线的求法.7.如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
【答案】（1）（2）【解析】（1）求动点轨迹方程，一般有四步.第一步，设所求动点的坐标，第二步，将条件转化为坐标表示，本题，两边取正切，转化为斜率关系，第三步，化简关系式为常见方程形式，第四步，根据方程表示图像，去掉不满足的部分.（2）研究取值范围，首先将表示为函数关系式.因为等于,所以先求出，从而有，利用直线与双曲线有两个交点这一限制条件，得到m>1,且m2，这作为所求函数定义域，求出值域即为的取值范围是试题解析：解（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）综上可知，轨迹C 的方程为3x2-y2-3=0（x>1） 5分 (2)由方程消去y ，可得。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同（），那么可知，则可知双曲线的渐近线方程是，故选C.【考点】双曲线的性质，抛物线点评：解决的关键是对于双曲线和抛物线性质的熟练表示，属于基础题。
2.若双曲线（b＞0）的离心率为2，则实数b等于（）A．1B．2C．D．3【答案】C【解析】由双曲线方程可知【考点】双曲线的性质离心率点评：本题涉及到的性质：3.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】画图。
抛物线的焦点，准线。
连接和EO，则，即有，所以点P到准线的距离等于2a，所以点P的横坐标为，由点P在抛物线上，得点。
又OP=OF=c，所以，解得。
故选D。
【考点】抛物线的性质；两点距离公式；双曲线的性质。
点评：本题几何问题，画图是关键。
一向以来，圆锥曲线是个难点，这需要我们平时多做一些题目提高认识、掌握知识。
4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设该双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），可得它的渐近线方程为y=±x，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点∴直线FB的斜率为k=FB∵直线FB与直线y=x互相垂直，∴-×=-1，得b2=ac∵b2=c2-a2，∴c2-a2=ac，两边都除以a2，整理得e2-e-1=0解此方程，得e=，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=，故选D。
【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质等知识。
点评：本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．5.函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定双曲线的渐近线方程，求出倾斜角，即可得到结论．双曲线的渐近线方程为y=±x，其倾斜角为30°或150°。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB 过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选D.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，2.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足，且，则该双曲线离心率为．【答案】.【解析】，在中，设，则，.【考点】双曲线的离心率.3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.5.已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( )．A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵抛物线的焦点F（，0），∴由题意知双曲线的一个焦点为F（c，0），>a,（1）即p>2a．∴双曲线方程为，∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若,∴p点横坐标x=，代入抛物线y2=8x得P，把P代入双曲线P，得，解得或因为p>2a．所以舍去，故（2）联立（1）（2）两式得c=2a,即e=2．故选A．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的离心率的求法．6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率的值是．【答案】【解析】根据渐近线方程有,可知其渐近线的斜率的绝对值小于1,所以两条渐近线的倾斜角分别是与,则根据,得,根据双曲线中有则离心率为.【考点】双曲线渐近线,离心率.7.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可得，所以，所以该双曲线的离心率，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.8.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以三角形为等腰三角形，因此到直线的距离等于底边上的高线长，从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线11.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．12.若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为．【答案】.【解析】由双曲线的渐近线方程为及性质可知，两边平方得，即.【考点】双曲线的几何性质.13.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 .【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为，∴；双曲线的焦点到其渐近线的距离.【考点】双曲线的定义、抛物线的定义.14.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题中唯一的条件是，为了充分利用此条件，我们设，且不妨设，则根据双曲线定义有，对利用余弦定理有，即，因此可求得，下面最简单的方法是利用面积法求得到轴的距离，，可得。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.已知抛物线（）的焦点为双曲线（）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线（）的焦点，它也是双曲线（）的一个焦点，所以有①，由两曲线交点的直线恰过点，可知它们在第一象限的交点为，此点也在双曲线上，故有②，由①②消去，得，即，即，因为，所以，选择B，求离心率的值关键是寻找到关于的等式，然后转化到的方程，从而解出.【考点】圆锥曲线的性质2.双曲线的渐近线方程为．【答案】【解析】由题意得：双曲线的渐近线方程为即.【考点】双曲线的渐近线方程3.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．3D．2【答案】D.【解析】如图，根据对称性，，∴为等边三角形，∴，∴.【考点】双曲线离心率的计算.4.若双曲线的离心率为2,则等于（）A．B．C．D．1【答案】D.【解析】由，又∵.【考点】双曲线的标准方程.5.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.6.直线与曲线的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B.【解析】根据曲线的方程可分两种情况讨论：（1）当时，联立曲线方程与直线得：，应舍去；（2）当时，联立曲线方程与直线得：.【考点】直线与曲线的综合应用.7.已知双曲线，点为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为__________．【答案】．【解析】根据双曲线方程为，可得焦距，因为，所以．再结合双曲线的定义，得到，最后联解、配方，可得，从而得到．故答案为：.【考点】双曲线的简单性质．8.与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．【考点】双曲线的性质和应用．9.如图,设有双曲线,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论．【答案】(1) ; (2) ,; (3) θ增大时面积变小，证明过程见解析．【解析】(1) 设,, 直角三角形△F1MF2中，利用双曲线定义得,平方得，求得面积；(2) △F1MF2中由余弦定理可得，|MF1|·|MF2|，由面积公式可得面积；(3) 由双曲线定义与余弦定理，可得面积与θ的关系，所以θ增大时面积变小．解：(1)由双曲线方程知a=2,b=3,,设, ()．由双曲线定义,有,两边平方得,,即,也即,求得． 4分(2)若∠F1MF2=60°,在△MF1F2中,由余弦定理得, ,所以．求得．同理可求得若∠F1MF2=120°, ． 8分(3)由以上结果猜想,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小．证明如下:令∠F1MF2=θ,则．由双曲线定义及余弦定理,有②-①得,所以,因为0<θ<π,,在内,是增函数，因此当θ增大时, 将减小． 12分【考点】双曲线的定义，余弦定理，三角形面积公式．10.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A,B两点，F为该双曲线的右焦点．若, 则该双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线方程可知其渐近线方程为，将代入上式可得即。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】将双曲线的渐进线方程代如抛物线方程y=x2+1中化简得，由只有一公共点可知即，所以即，答案选C.【考点】1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系2.已知P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( )．A．双曲线的焦点到渐近线的距离为; B．若，则e的最大值为;C．△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为b ;D．若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则．【答案】D【解析】的焦点坐标为，渐近线方程为，对于选项A, 焦点到渐近线的距离，故A错；对于选项B,设,若，令所以即解得．故B错；对于选项C:如图，设切点A，由切线长定理得：，即，所以，故△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a,所以选项C错．对于选项D:由外角平分线定理得：，故选D．【考点】渐近线方程；点到直线的距离公式；焦半径公式；外角平分线定理；合比定理．3.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A,B两点，F为该双曲线的右焦点．若, 则该双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线方程可知其渐近线方程为，将代入上式可得即。
因为，由图形的对称性可知，即。
因为，所以，即。
因为，所以。
故B正确。
【考点】双曲线的简单几何性质。
4.过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为，若（是坐标原点），则双曲线C的离心率为____;【答案】【解析】，结合图形可知，为等腰直角三角形，F为焦点.可得，即.【考点】双曲线的几何性质.5.是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）焦点在轴上的双曲线渐近线方程为；（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．【答案】存在双曲线的方程满足题中的两个条件.【解析】先根据（1）的条件设出双曲线的方程，再设双曲线上的动点，然后利用两点间的距离公式得出，结合，最后化简得到，根据二次函数的图像与性质确定的最小值（含），并由计算出的值，如果有解并满足即可写出双曲线的方程；如果无解，则不存在满足要求的双曲线方程.试题解析：由（1）知，设双曲线为设在双曲线上，由双曲线焦点在轴上，，在双曲线上关于的二次函数的对称轴为即所以存在双曲线的方程满足题中的两个条件.【考点】1.双曲线的标准方程及其几何性质；2.二次函数的图像与性质.6.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若是钝角三角形，则双曲线的离心率范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，△PQF1是等腰直角三角形，且被F1F2分成两个全等的等腰直角三角形．由此结合双曲线的定义，可解出a=（-1）c，即可得到该双曲线的离心率．【考点】求双曲线的离心率问题.7.已知中心在原点且焦点在x轴的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为____________．【答案】【解析】设此双曲线方程为，所以解得，所以此双曲线方程为。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.已知抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是A．B．C．2D．3【答案】B【解析】抛物线的准线方程，设，焦点，由于为直角三角形，，，所以得，，.【考点】双曲线的离心率.2.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.【答案】【解析】由双曲线方程可知它是焦点在轴上的等轴双曲线，直线为它的渐近线，点在两个顶点之间，过可作与渐近线平行的两条直线，它们与此双曲线都各有一个公共点，但它们与双曲线是相交关系，此外过还可以作两条与双曲线右支都相切的直线，因此过点和双曲线只有一个交点的直线共有条，要注意两条是相交，另两条是相切，关注双曲线渐近线的特殊作用.【考点】直线与双曲线的位置关系.3.已知F是双曲线的左焦点,A为右顶点，上下虚轴端点B、C，若FB交CA于D，且，则此双曲线的离心率为（）.A ． B． C． D．【答案】B.【解析】如图，由已知可得直线FB的方程为：，直线AC的方程为：，联立前两方程可得D点坐标为：，因此有，又，所以有，整理得，又，所以有：即，故.【考点】直线方程的交点问题，两点间的距离公式（或向量的模长公式），双曲线的性质（含离心率公式）.4.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．5.已知P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( )．A．双曲线的焦点到渐近线的距离为; B．若，则e的最大值为;C．△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a ;D．若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则．【答案】C【解析】的焦点坐标为，渐近线方程为，对于选项A, 焦点到渐近线的距离，故A错；对于选项B,设,若，令所以即解得．故B错；对于选项C:如图，设切点A，由切线长定理得：，即，所以，故△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a,所以选项C正确对于选项D:由外角平分线定理得：，故选项D错误，故选项为C．．【考点】渐近线方程；点到直线的距离公式；焦半径公式；外角平分线定理；合比定理．6.若双曲线的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得和的关系，进而利用求得和的关系，则双曲线的离心率可求．【考点】双曲线的简单性质．7.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的右焦点坐标为(2,0),而抛物线的焦点坐标为(,0)，∴=2，p=4.【考点】抛物线与双曲线的焦点坐标.8.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）A．2B．4C．8D．【答案】C【解析】抛物线的焦点F为（，0），双曲线的右焦点F2（4，0），由已知得=4，∴p=8．故选C．【考点】圆锥曲线的共同特征．9.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是【答案】1【解析】由题意可得a=1，b=2，c=，得F2（0，），F1（0，-），又F1F22=20，|PF1-PF2|=4，由勾股定理可得：F1F22=PF12+PF22=（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=16+2PF1•PF2，∴PF1•PF2=2,所以=1．故选B．.【考点】双曲线的简单性质．10.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程11.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_________________；【答案】1【解析】由双曲线方程可知，则，即，所以焦点为，渐近线为。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 .【答案】【解析】设抛物线方程为，由已知可得双曲线的右焦点坐标为（3，0），所以，抛物线方程为.【考点】双曲线的性质与抛物线的方程2.已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于，求．【答案】（1）；（2）6【解析】（1）设双曲线的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与双曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．试题解析：(1)设双曲线方程为：，点代入得：，所以所求双曲线方程为：（2）直线的方程为：，由得：，．【考点】(1)双曲线的方程；（2）直线与双曲线的综合问题．3.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】将双曲线的渐进线方程代如抛物线方程y=x2+1中化简得，由只有一公共点可知即，所以即，答案选C.【考点】1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系4.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．3【答案】B【解析】抛物线的准线为，它与双曲线交于两点，则坐标为，抛物线的焦点，因为为直角三角形，则有，从而有，，因此，故选择B.【考点】圆锥曲线的性质.5.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______．【答案】【解析】由已知设已知双曲线的焦半径为c，则且左右两焦点的坐标分别为：，又抛物线的焦点坐标为，由已知有即：，故应填入：．【考点】双曲线的离心率．6.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．7.若双曲线的离心率为2,则等于（）A．B．C．D．1【答案】D.【解析】由，又∵.【考点】双曲线的标准方程.8.与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．【考点】双曲线的性质和应用．9.若双曲线的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得和的关系，进而利用求得和的关系，则双曲线的离心率可求．【考点】双曲线的简单性质．10.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【答案】B【解析】由题意，得，所以离心率＝，故选B．【考点】双曲线的几何意义．11.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为·＝0，所以,则|＋|＝=|2|=|2|=,故选B.【考点】1.双曲线的性质；2.向量加法和数量积的几何意义.12.双曲线的渐近线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令,解得【考点】双曲线渐近线的求法.13.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程14.已知F1、F2为双曲线的左、右焦点,点P在C上,,则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由余弦定理得,所以即由三角形面积得解得，因此P到x轴的距离为.【考点】双曲线定义15.我们把离心率为e＝的双曲线(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图，是双曲线的实轴顶点，是虚轴的顶点，是左右焦点，在双曲线上且过右焦点，并且轴，给出以下几个说法：①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；③如图，若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④如图，若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】D【解析】①由双曲线x2－＝1，可得离心率e=，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；②由b2=ac，可得c2-a2-ac=0，化为e2-e-1=0，又e＞1，解得e，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；③如图，由∠F1B1A2=90°，可得|B1F1|2+|B1A2|2＝|F1A2|2，可得b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2-ac-a2=0，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线；④如图，由∠MON=90°，可得MN⊥x轴，|MF2|＝，可得△MOF2是等腰直角三角形，得到c=，即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线．【考点】圆锥曲线的综合应用.16.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】【解析】根据正弦定理与题中等式，算出=e（e是椭圆的离心率）．作出椭圆的左准线l，作PQ⊥l于Q，根据椭圆的第二定义得＝e，所以|PQ|=|PF2|=．设P（x，y），将|PF1|、|PF2|表示为关于a、c、e、x的式子，利用|PF2|+|PF1|=2a解出x=．最后根据椭圆上点的横坐标满足-a≤x≤a，建立关于e的不等式并解之，即可得到该椭圆离心率的取值范围．【考点】(1)正弦定理；（2）椭圆的定义；（3）椭圆的几何性质.17.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 ( )A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】因为双曲线渐近线方程是，所以又因为,所以等于2或18【考点】双曲线定义，渐近线方程18.已知，，，则动点的轨迹是（）A．双曲线B．圆C．椭圆D．抛物线【答案】D【解析】∵＜=4∴由双曲线定义知点P的轨迹是双曲线.【考点】双曲线的定义.19.过点的双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为 .【答案】8【解析】由题可设双曲线方程为：，把代入得=1，所以双曲线方程为：，设双曲线右焦点为，∵P在双曲线右支上及由双曲线定义可知，∴，当点P为线段与双曲线交点时.【考点】1.双曲线的定义；2.双曲线的标准方程；3.双曲线的几何性质.20.已知，，，则动点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【答案】D【解析】∵＜=4∴由双曲线定义知点P的轨迹是双曲线.【考点】双曲线的定义.21.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为双曲线的方程为，故，所以该双曲线的渐近线方程为，故选D.【考点】双曲线的性质.22.已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】这个方程相信读者一定可以化简出最终结论（无非就是移项平方去根号），但如果考虑到方程中各式子的几何意义的话，可能解法更好，此方程表示点与到点的距离比到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线，只不过是右支。
双曲线试题及答案
双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求双曲线的焦点坐标。
答案：双曲线的焦点坐标为 \((\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)，代入 \(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
2. 双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)，代入\(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到渐近线方程为 \(y =\pm\frac{4}{3}x\)。
3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 \((2, 3)\)，并且其一条渐近线方程为 \(y = 2x\)，求双曲线的方程。
答案：设双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1\)，由于渐近线方程为 \(y = 2x\)，可知 \(\frac{b}{a} = 2\)。
将点 \((2, 3)\) 代入方程得 \(\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1\)。
联立 \(b = 2a\) 解得 \(a = 1\)，\(b = 2\)，因此双曲线方程为 \(x^2 - \frac{y^2}{4} = 1\)。
4. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) 与直线\(y = mx + 1\) 相交，求直线的斜率 \(m\) 的取值范围。
答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 \(\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1\)。
整理得 \((9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0\)。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（）. A．B．2C．D．3【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程是，即；因为渐近线与圆相切，所以，即，则，.【考点】双曲线的几何性质.2.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】为钝角三角形，且，，即，，，即，.【考点】双曲线的简单几何性质.3.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为 .【答案】17.【解析】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.【考点】双曲线的定义.4.若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则P的值为A．2B．3C．4D．【答案】C【解析】双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为，所以，解得：p=4，故选C.【考点】双曲线和抛物线的性质.5.若原点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是双曲线的左焦点，所以，解得，所以双曲线的方程为，设点，则有，因为，所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，而，所以当时，取得最小值，所以的取值范围为，选A.【考点】1.双曲线的标准方程及其几何性质；2.二次函数的图像与性质.6.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②过定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；③，则双曲线与的离心率相同；④已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.【答案】②③④【解析】对于①，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由，可知点为弦的中点，连结，则有即，而均为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以②正确；对于③，设的离心率分别为，则有，，所以③正确；对于④，设动点，则由可得，将代入等式左边可得，所以动点的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②③④.【考点】1.双曲线的定义；2.动点的轨迹问题；3.双曲线的离心率.7.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若是钝角三角形，则双曲线的离心率范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，△PQF1是等腰直角三角形，且被F1F2分成两个全等的等腰直角三角形．由此结合双曲线的定义，可解出a=（-1）c，即可得到该双曲线的离心率．【考点】求双曲线的离心率问题.8.双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.【答案】2;【解析】由于双曲线，所以，所以所以离心率.故填2.由于双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线的方程为.故填.【考点】1.双曲线的性质.2.双曲线中三个基本量的关系.9.已知，，，则动点的轨迹是（）A．双曲线B．圆C．椭圆D．抛物线【答案】D【解析】∵＜=4∴由双曲线定义知点P的轨迹是双曲线.【考点】双曲线的定义.10.双曲线的渐近线方程是 .【答案】【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以可得所求渐近线方程为.【考点】双曲线的几何性质.11.双曲线的渐近线方程为 .【答案】【解析】因为双曲线的方程为，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．【考点】双曲线的性质.12.抛物线的焦点Ｆ恰好是双曲线的右焦点，且它们的交点的连线过点Ｆ，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为抛物线的焦点为.所以.由于双曲线与抛物线的对称性可知，要使两交点的连线过.只有一种情况该直线垂直于x轴.因此可得抛物线过点代入抛物线的方程可得离心率为.故填.【考点】1.双曲线的性质.2.抛物线的性质.3.圆锥图形的对称性.4.离心率的概念.13.设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨设是双曲线右支上的一点，根据定义可得，又，所以，又且，所以的最小内角为，根据余弦定理可得，又，即代入化简可得，故选D.【考点】1.双曲线的定义；2.用余弦定理解三角形.14.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知且，所以。
高二双曲线练习题及答案(整理)
1 高二数学双曲线同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线 y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④2.若直线过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条3.方程221()23x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（ ） A.2k >或3k <- B.3k <-C.2k >D.32k -<<4．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k5． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是 （ ） A ．4 B ．22 C ．8D ．与m 有关 7． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（ ） A ．23 B ．3 C ．34 D ． 3 8．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x 7．9．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22C ．14D ．12 10．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为y=x 34，则离心率为_______ 12.双曲线的一个焦点为F ，虚轴一个端点为B ，若直线FB 与该双曲线一渐近线垂直，求离心率为____________13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________． 14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 15.动点P 与点1(0,5)F -与点2(0,5)F 满足126PF PF -=,则点P 的轨迹方程为。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.由曲线y和直线，以及所围成的图形面积是__________________.【答案】【解析】根据题意画出草图如下如图中的阴影部分面积为.【考点】定积分在几何中的应用.2.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的虚轴长为2，焦距为，则可知b=1,c= ,而焦点在x轴上，故其渐近线方程为即为,故选C.【考点】双曲线的几何性质点评：本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力3.双曲线的渐近线为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由双曲线方程知：双曲线的焦点在x轴上，且a=1,b=1，所以渐近线方程为。
【考点】双曲线的简单性质：渐近线方程。
点评：双曲线的渐近线方程为；双曲线的渐近线方程为。
4.已知点、，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设M(x,y),则,所以.5.已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】解：双曲线的右焦点F（5，0），∵M满足| MF |=1，∴点M在以F为圆心1为半径的圆上∵ MF • MP =0，即圆的半径FM⊥PM，即| MP |为圆F的切线长由圆的几何性质，要使| MP |最小，只需圆心F到P的距离|FP|最小∵P是双曲线上一点，∴|FP|最小为c-a=5-3=2∴此时| MP |= 故选B6.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）A．2<k<5 ；B．k>5 ；C．k<2或k>5；D．以上答案均不对【答案】C【解析】若方程表示双曲线，7.与双曲线有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为。
【答案】;【解析】双曲线有相同焦点是（3,0）（-3,0），c="3," 离心率为0.68.(14分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)－2<k<－．(2) k＝－．【解析】(1)直线与双曲线方程联立消y得关于x的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k的取值范围.(2)解本题的突破口是假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0再根据韦达定理解决即可.(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线方程2x2－y2＝1后，整理得：(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①解：依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故，解得－2<k<－．(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得②，假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0③把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0，解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．可得k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．9.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当的面积为2时的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】解：由题意可得 a=，b=1，c=2，故 F1（-2，0）、F2（2，0）则根据面积公式可知，| PF1 - PF2|="|" F2F1|=2c=4，利用向量的数量积公式可知的值为3，选B10.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是A．B．C．或D．以上答案均不对【答案】C【解析】解：因为方程表示双曲线，所以（k-2）(5-k)>0，解得未选项C11.已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（O为坐标原点），求k的取值范围.【答案】（1）；（2）（－1，－）（，1）.【解析】（1）由题意得，又，解得，故双曲线方程为；（2）直线方程与双曲线方程联立消去得，根据题意需满足得.由，即＞2，由韦达定理和直线方程把用表示，得关于的不等式，求出，取交集得的取值范围是（－1，－）（，1）.解：（1）由已知：双曲线过点P（，1），解得，，故所求的双曲线方程为---------------------------------4分（2）将代入得由直线与双曲线C交于不同的两点得，即①---------------------------------6分设A（），B（），由得＞2而＝＝＝，于是②---------------------------------8分由①②得故所求的的取值范围是（－1，－）（，1）---------------------------------10分12.双曲线的渐近线方程是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为.双曲线的方程为，则13.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】根据题意可知,,故应选B.14.双曲线的一个焦点坐标是，那么 _______【答案】.【解析】,.15.过双曲线的mx2－y2＝m（m>1）的左焦点作直线l交双曲线于P、 Q两点，若|PQ|＝2m，则这样的直线共有 _______条.【答案】3.【解析】由于双曲线方程为,当焦点弦的两端点在同支上时，最短的弦为2m，满足条件的有一条;当焦点弦的两端点在两支上时，最短的弦为2<2m，满足条件的两条;所以共有3条.16.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线的方程.（2）若点（3）在（2）的条件下【答案】（1）；（2）见解析；（3）6.【解析】（1）由于双曲线是等轴双曲线所以可设其方程为,然后把已知点代入方程即可.（2）用向量的坐标表示出来，利用点M在双曲线上这个条件即可得证.（3）在（2）的条件下可确定高|m|的值，面积即可求出.17.已知双曲线(1)求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）不存在.【解析】（1）本题涉及到用方程来判断直线与双曲线的位置关系，一定要注意再利用判别式进行判断时，二次项系数不为零.(2)本题求出直线方程后，要注意验证二次方程的判别式是否大于零，如果不大于零，就不存在，否则存在.解：（1）解方程组消去得当，时当时由得由得由得或综上知：时，直线与曲线有两个交点，时，直线与曲线切于一点，时，直线与曲线交于一点.或直线与曲线C没有公共点.（2）不存在假设以Q点为中点的弦存在（1）当过Q点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意.（2）当过Q点的直线的斜率存在时，设斜率为K联立方程两式相减得：所以过点Q的直线的斜率为K=1所以直线的方程为y=x即为双曲线的渐近线与双曲线没有公共点即所求的直线不存在.18.双曲线的两焦点为，在双曲线上且满足，则的面积为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|-|PF2|="2" ①|PF1|+|PF2|="2" ②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=-，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，故选B19.设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据双曲线的几何定义可得，，所以。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.若方程+=1所表示的曲线为C,则下面四个命题①若C为椭圆，则1<t<4 ;②若C为双曲线，则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则1<t<其中真命题的序号是_________.【答案】②【解析】据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围判断出①错，据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出②对；据圆方程的特点列出方程求出t的值，判断出③错；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．解：若C为椭圆应该满足(4-t)(t-1)＞0，4-t≠t-1即1＜t＜4且t≠故①错，若C为双曲线应该满足（4-t）（t-1）＜0即t＞4或t＜1故②对，当4-t=t-1即t=表示圆，故③错，若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4-t＞t-1＞0则1<t<，因此④错，故填写②【考点】圆锥曲线的共同特征。
点评：主要是考查了椭圆方程于双曲线方程的标准形式的运用，属于中档题。
2.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同（），那么可知，则可知双曲线的渐近线方程是，故选C.【考点】双曲线的性质，抛物线点评：解决的关键是对于双曲线和抛物线性质的熟练表示，属于基础题。
3.若双曲线（b＞0）的离心率为2，则实数b等于（）A．1B．2C．D．3【答案】C【解析】由双曲线方程可知【考点】双曲线的性质离心率点评：本题涉及到的性质：4.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】画图。
抛物线的焦点，准线。
连接和EO，则，即有，所以点P到准线的距离等于2a，所以点P的横坐标为，由点P在抛物线上，得点。
又OP=OF=c，所以，解得。
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高二数学下册双曲线单元训练题及答案
一、选择题每小题6分，共42分
1.若方程 =-1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是
A.0，1
B.1，2
C.1，+∞
D.以上都不对
答案：C
解析： =1，又焦点在y轴上，则m-1>0且|m|-2>0,故m>2，c= >1.
2.2021江苏南京一模，8若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的
离心率e等于
A. B. C. D.
答案：C
解析：设双曲线方程为 =1,则Fc,0到y= x的距离为 =2a b=2a, e= .
3.2021湖北重点中学模拟，11与双曲线 =1有共同的渐近线，且经过点-3, 4 的双曲线方程是
A. =1
B. =1
C. =1
D. =1
答案：A
解析：设双曲线为 =λ,∴λ= =-1,故选A.
4.设离心率为e的双曲线C： =1a>0,b>0的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，
则直线l与双曲线C在左、右两支都相交的充要条件是
A.k2-e2>1
B.k2-e2<1
C.e2-k2>1
D.e2-k2<1
答案：C
解析：双曲线渐近线的斜率为± ，直线l与双曲线左、右两支都相交，则- 1.
5.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3,则
A.e1>e2>e3
B.e1< p="">
C.e1=e3e2
答案：D
解析：e1= +1,
对于②，设正方形边长为2，则|MF2|= ，|MF1|=1，|F1F2|=2 ,
∴e2= ;
对于③设|MF1|=1,则|MF2|= ,?|F1F2|=2,
∴e3= +1.
又易知 +1> ,故e1=e3>e2.
6.2021湖北重点中学模拟,11已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1、F2，抛物线C 以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若 =e,则e的值为
A. B. C. D.
答案：A
解析：设Px0,y0,则ex0+a=ex0+3c e= .
7.2021江苏南通九校模拟，10已知双曲线 =1a>0,b>0的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为 O为原点，则两条渐近线的夹角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案：D
解析：A ,S△OAF= • •c= a=b,故两条渐近线为y=±x,夹角为90°.
二、填空题每小题5分，共15分
8.已知椭圆 =1与双曲线 =1m>0,n>0具有相同的焦点F1、F2，设两曲线的一个交点为Q，∠QF1F2=90°，则双曲线的离心率为______________.
答案：
解析：∵a2=25,b2=16,∴c= =3.
又|QF1|+|QF2|=2a=10,|QF2|-|QF1|=2m,
∴|QF2|=5+m,|QF1|=5-m.
又|QF2|2=|QF1|2+|F1F2|2，
即5+m2=5-m2+62 m= ,
∴e= = .
9.2021湖北黄冈一模，15若双曲线 =1的一条准线恰为圆x2+y2+2x=0的一条切线，则k等于_________________.
答案：48
解析：因圆方程为x+12+y2=1,故- =-2,即 =2,k=48.
10.双曲线 -y2=1n>1的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2 ,则△PF1F2的面积为_______________.
答案：1
解析：不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2 ，故|PF1|= ,|PF2|= ,又
|F1F2|2=4n+1=|PF1|2+|PF2|2，∴△PF1F2为Rt△.故= |PF1|•|PF2|=1.
三、解答题11—13题每小题10分，14题13分，共43分
11.若双曲线 =1a>0,b>0的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率e 的取值范围.
解析：如右图，设点Mx0,y0在双曲线右支上，依题意，点M到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，即
|MF2|=|MN|.
∵ =e,∴ =e, =e.
∴x0= .
∵x0≥a,∴ ≥a.
∵ ≥1,e>1,∴e2-e>0.
∴1+e≥e2-e.∴1- ≤e≤1+ .
但e>1,∴1
12.已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P而离心率为的双曲线方程.
解析：以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如右图所示的直角坐标系,设双曲
线方程为 =1a>0,b>0,由e2= =1+ 2= 2得 .
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y= x和y=- x，设点P1x1, x1，点P2x2,-
x2x1>0,x2>0,则点P分所成的比λ= =2.得P点坐标为 ,即 ,又点P在双曲线 =1上.
所以 =1,
即x1+2x22-x1-2x22=9a2.
8x1x2=9a2. ①
又|OP1|= x1,
|OP2|= x2,
sinP1OP2= ，
∴ = |OP1|•|OP2|•sinP1OP2= • x1x2• = ，
即x1x2= . ②
由①②得a2=4,∴b2=9,
故双曲线方程为 =1.
13.2021江苏扬州中学模拟，23已知倾斜角为45°的直线l过点A1，-2和点B，其
中B在第一象限，且?|AB|=3 .
1求点B的坐标;
2若直线l与双曲线C: -y2=1a>0相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为4，1，求实数a的值.
解：1直线AB方程为y=x-3,设点Bx,y，
由及x>0,y>0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为4，1.
2由得
-1x2+6x-10=0.
设Ex1,y1,Fx2,y2,则x1+x2= =4,得a=2,此时，Δ>0,∴a=2.
14.如右图，F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点，点A的坐标是 ,- ,点B在双曲线上，且• =0.
1求点B的坐标;
2求证：∠F1BA=∠F2BA.
1解析：依题意知F1-2,0,F22,0,?A ,- .
设Bx0,y0,则 = ,- ,? =x0- ,y0+ ,
∵ • =0，
∴ x0- - y0+ =0,
即3x0-y0=2 .
又∵x02-y02=1,
∴x02-3x0-2 2=1,
2 x0-32=0.
∴x0= ,代入3x0-y0=2 ,得y0= .
∴点B的坐标为 , .
2证明： =- ,- ,?BF2= ,- , =- ,- ,
cosF1BA= ,
cosF2BA= ,
∴∠F1BA=∠F2BA.
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