奈奎斯特稳定性判据概要
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奈奎斯特稳定判据及应用
奈奎斯特稳定判据及应用奈奎斯特稳定判据是一种用于分析线性时不变系统稳定性的常用方法。
该方法的基本思想是通过对系统的频率响应进行分析，判断系统的稳定性。
下面我将详细介绍奈奎斯特稳定判据及其应用。
奈奎斯特稳定判据是由德国数学家埃尔温·奈奎斯特（Ernst Siegfried H Stabilization）在20世纪20年代提出的。
该判据基于系统的开环频率响应曲线和频率扰动的关系，通过分析系统的极点和奈奎斯特曲线的特性来判断系统的稳定性。
在分析一个系统的稳定性时，首先需要了解系统的传递函数。
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学模型，通常表示为H(s)，其中s是复频率。
传递函数中的极点（也称为极值）是指使传递函数无穷大的复频率值。
对于线性时不变系统，只有当所有的极点都位于s平面的左半平面时，系统才是稳定的。
根据奈奎斯特稳定判据，一个线性时不变系统是稳定的，当且仅当奈奎斯特曲线上的点环绕虚轴的次数等于系统极点位于虚轴右侧的个数。
这可以通过两个主要步骤来实现。
首先，我们需要绘制系统的开环频率响应曲线。
开环频率响应曲线是指系统传递函数H(s)的模量和幅角随频率变化的曲线。
我们可以通过画出传递函数的特定频率响应曲线来获得。
其次，我们需要绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线是通过将开环频率响应曲线绕过s 轴上方的点连接而得到的曲线。
具体来说，奈奎斯特曲线的性质如下：- 如果系统的开环频率响应曲线没有通过-1+j0（虚轴上的-1点），则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统的开环频率响应曲线通过-1+j0，但未环绕虚轴上的任何点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统开环频率响应曲线经过-1+j0，并绕过了虚轴上的n 个点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0并绕过虚轴上的n 个点。
通过绘制奈奎斯特曲线，我们可以根据它的形状和特性判断系统的稳定性。
奈奎斯特稳定判据的应用广泛，尤其在控制系统设计和分析方面。
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
4.4 奈奎斯特稳定判据
4.4.1 幅角原理
设为一单值复变函数，其零极点图如图 4.5(a)所示。在 s S平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 s 不通过 s F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点 s 和P个极点。记 在F平面上的映射为 F ，因为 F(s)为一单值复变函数，所以， F 是惟一的，也是 一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。
则
0
lim G ( j ) H ( j )
lim G( j ) H ( j ) 0
0
lim G ( j ) H ( j )
2
3 lim G ( j ) H ( j ) 2
奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代数 形式： 令
为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的 下列特征： ① 0 的映射； ② 的映射； ③奈氏曲线与实轴的交点； 根据这些映射点画出 对应的奈氏曲线， 然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性,画出 的奈氏曲线 0 。 ④奈氏路径中小半圆的映射。
小半圆上的点可以表示为:
G( j ) H ( j ) K (T1 T2 ) (1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 j K ( 2T1T2 1)
[(1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 ]
Im G( j ) H ( j ) V ( ) 0
4.4.2 奈奎斯特稳定判据
判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征 方程在右半平面有没有极点。下பைடு நூலகம்将幅角原理应用于 稳定性分析。 为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几 项工作。 1）取 F(s)=1+G(s)H(s)：当 G(s)与 H(s) 没有零、极点对 消时， F(s) 的零点就是系统的全部闭环极点或特征根， F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、 极点对消时， F(s) 的零点加上对消掉的开环极点，就 是系统的全部闭环极点。 下面先讨论 G(s) 与 H(s) 没有零、极点对消的情况， 导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明 G(s) 与 H(s)有零、极点对消时的处理方法。
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据
在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )
( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
奈奎斯特-判据
由0增至 时，辅助函数 F (s) 1 Gk (s) 的角度增量满足
F ( j) 2 pπ
：0
式中 p——s右半平面上开环极点的个数。
（1）当 p 0时，因为 F ( j) 1 Gk ( j)，所以上式又可以写为
：0
[1
Gk
(
j
)]
2
pπ
即角度增量为 2 pπ，或者说 F( j) 的轨线逆时针围绕原点p圈。
由于 p 2R 2 0，即 p 2R ，所以该闭环系统不稳定。
自动控制原理
然后根据角度增量式，从奈氏图上计算出或读出角度增量值；最后判断系统是 否稳定。
1．围绕圈数的计算
开环系统的幅相频率特性曲线 Gk ( j)围绕 G( j平) 面的 (1，j0)点的圈数
R可根据负穿越和正穿越的次数N来计算。负穿越和正穿越的概念如下图所示。
负穿越和正穿越
（1）负穿越：开环系统的幅相频率特性曲线由下向上（顺时针方向，幅角减
：0
Gk
(
j)
0
当 p 0时，开环极坐标的轨线围绕 ( 1，j0点) 的角度增量为 2 p，π 即
：0
Gk
(
j)
2
pπ
1.3奈奎斯特判据在伯德图中的应用
在应用奈奎斯特判据判断系统的稳定性时，首先要在 G( j) 平面上作出开 环系统的幅相频率特性曲线，即 Gk ( j轨)线（也称奈奎斯特图，简称奈氏图）；
自动控制原理
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据又称频域稳定性判据，简称奈氏判据，它是在频域中利 用系统的开环频率特性来获得闭环系统稳定性的判断方法。
1.1 奈奎斯特判据的基本思想
幅角定理是奈奎斯特判据的数学基础，其基本表述如下。
F ( j) 2 pπ
：0
式中 p——s右半平面上开环极点的个数。
（1）当 p 0时，因为 F ( j) 1 Gk ( j)，所以上式又可以写为
：0
[1
Gk
(
j
)]
2
pπ
即角度增量为 2 pπ，或者说 F( j) 的轨线逆时针围绕原点p圈。
由于 p 2R 2 0，即 p 2R ，所以该闭环系统不稳定。
自动控制原理
然后根据角度增量式，从奈氏图上计算出或读出角度增量值；最后判断系统是 否稳定。
1．围绕圈数的计算
开环系统的幅相频率特性曲线 Gk ( j)围绕 G( j平) 面的 (1，j0)点的圈数
R可根据负穿越和正穿越的次数N来计算。负穿越和正穿越的概念如下图所示。
负穿越和正穿越
（1）负穿越：开环系统的幅相频率特性曲线由下向上（顺时针方向，幅角减
：0
Gk
(
j)
0
当 p 0时，开环极坐标的轨线围绕 ( 1，j0点) 的角度增量为 2 p，π 即
：0
Gk
(
j)
2
pπ
1.3奈奎斯特判据在伯德图中的应用
在应用奈奎斯特判据判断系统的稳定性时，首先要在 G( j) 平面上作出开 环系统的幅相频率特性曲线，即 Gk ( j轨)线（也称奈奎斯特图，简称奈氏图）；
自动控制原理
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据又称频域稳定性判据，简称奈氏判据，它是在频域中利 用系统的开环频率特性来获得闭环系统稳定性的判断方法。
1.1 奈奎斯特判据的基本思想
幅角定理是奈奎斯特判据的数学基础，其基本表述如下。
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
5-4 奈奎斯特稳定判据
2
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数)s( F 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 ) s ( F 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，的开环传递函数为
比较式（5—107）和式（5—106）可知，
辅助函数 F (s) 的零点 Z i ( i = 1, 2 , … … , n ) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 + G(s) H (s) = 0 的根。因此，如果辅助函数 F (s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
5-4
奈奎斯特稳定判据
第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 1 念。
F (s) = ( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p 1 )( s − p 2 )( s − p 3 )
（5-110）
其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ,
Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点S 1 , 其对应的辅助函数 F ( s1 ) 的幅角应为
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数)s( F 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 ) s ( F 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，的开环传递函数为
比较式（5—107）和式（5—106）可知，
辅助函数 F (s) 的零点 Z i ( i = 1, 2 , … … , n ) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 + G(s) H (s) = 0 的根。因此，如果辅助函数 F (s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
5-4
奈奎斯特稳定判据
第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 1 念。
F (s) = ( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p 1 )( s − p 2 )( s − p 3 )
（5-110）
其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ,
Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点S 1 , 其对应的辅助函数 F ( s1 ) 的幅角应为
奈奎斯特稳定性判据-精华篇
GB s
零点 极点 相同
零点
极点
零点 相同
极点
2. 幅角定理
N=Z－P
Z---包围在 s内的F(S)零点 若N>0，逆时针包围原点N圈； 个数； 若N<0，顺时针包围原点N圈； P---包围在 s内的F(S)极点 若N=0，不包围原点； 个数。
3. [S]平面上的奈氏轨迹
s 内的PB=0. 若系统稳定，则：
i 1 n
系统特征方程的所有根（闭环极点）都具有负 实部（位于S平面的左半部）。
Im 不稳定
临界稳定
稳 定 区
Re
主要内容
一、系统稳定性的定义和条件 二、Nyquist（奈奎斯特）稳定判据的推导 三、结论与举例 四、小结
二、奈奎斯特稳定判据的推导
GB s GK j
1. 函数 F s 1 G s H s 与开环、闭环零、 极点的关系； 2. 辅角原理
奈奎斯特稳定性判据
主要内容
一、系统稳定性的定义和条件 二、Nyquist（奈奎斯特）稳定判据的推导 三、结论与举例 四、小结
一、什么是稳定系统？
所谓稳定性就是指扰动消失后，系统由初始 状态恢复到原来平衡状态的性能。
(a)
(b)
稳定系统
不稳定系统
稳定条件
时间响应： y t Ai e sit B t Re si 0
3. 奈奎斯特判据
1. 函数、开环闭环零极点的关系
闭环传递函数： G s B
开环传递函数：
1 G s H s
G s
GK s G s H s
特征方程： F s 1 G s H s
54-5 奈奎斯特稳定性判据
P183
曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，
因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平面零点一周，
(S+Pi)的相角积累是-2π角度。 幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函
数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的Z 个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平面 上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。 当N>0，表示曲线CF以顺时针方向旋转；
G( s ) K s(T1 s 1)(T2 s 1)
G( j 0) 0
解：依题有 G( j 0 ) 90
G( j) 0 270
K1 (小)
N 0
(稳定)
K
Z P N 00 0
K 2 (大)
N 2
(不稳定)
Z P N 02 2
2)T1 T2，G( j ) H ( j )曲线穿过 (1, j 0)点，说明闭环系统 有一对虚根，闭环系统 不稳定 ；
3) T1 T2，Z N 说明闭环系统有两个极点 P 2 0 2，
右方，故闭环系统不稳定。 在S平面的
例7：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。
zdkzcjlueducn22855频域稳定判据系统稳定的充要条件全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数不解根判定系统稳定性不能研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能代数稳定判据routh判据由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题频域稳定判据nyquist判据对数稳定判据
-j∞
G( jω )
曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，
因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平面零点一周，
(S+Pi)的相角积累是-2π角度。 幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函
数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的Z 个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平面 上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。 当N>0，表示曲线CF以顺时针方向旋转；
G( s ) K s(T1 s 1)(T2 s 1)
G( j 0) 0
解：依题有 G( j 0 ) 90
G( j) 0 270
K1 (小)
N 0
(稳定)
K
Z P N 00 0
K 2 (大)
N 2
(不稳定)
Z P N 02 2
2)T1 T2，G( j ) H ( j )曲线穿过 (1, j 0)点，说明闭环系统 有一对虚根，闭环系统 不稳定 ；
3) T1 T2，Z N 说明闭环系统有两个极点 P 2 0 2，
右方，故闭环系统不稳定。 在S平面的
例7：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。
zdkzcjlueducn22855频域稳定判据系统稳定的充要条件全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数不解根判定系统稳定性不能研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能代数稳定判据routh判据由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题频域稳定判据nyquist判据对数稳定判据
-j∞
G( jω )
54奈魁斯特稳定判据1汇总
Friday, February 21, 2020
10
注意：若有v个积分环节的系统，则在∠G(j0+)延长 至∠G(j0+)+v×90°处，其延长线也为相频 曲线一部分。
Friday, February 21, 2020
11
三、最小相位系统的奈氏判据：
开环频率特性Gk (s)在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相 位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图
正穿越 负穿越
1
这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数Gk (s) 在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当 从 0 时，频率特性曲线在实轴 (,1) 段的正负穿越次数
差为 P。
2
Friday, February 21, 2020
8
二、在对数坐标图上判断系统的稳定性：
Friday, February 21, 2020
3
[例5-6]开环传递函数为：Gk 断闭环系统的稳定性。
(s)
(T1s
k 1)(T2 s
，试用奈氏判据判
1)
[解]：开环系统的奈氏 图如右。在s右半平面的 极点数为0，绕(-1,j0)点 的圈数N=0，则闭环系 统在s右半平面的个数： Zk N Pk 0。故闭环 系统是稳定的。
Friday, February 21, 2020
21
带有延迟环节系统的相位裕度的求法：
设系统的开环传递函数为：Gk (s)es ，我们知道增加了延迟环节
后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 。表现在奈氏图和
波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。
L( )
奈奎斯特稳定判据
s jw
w 0
F(s)平面上的映射是这样得到的：
① 以 s = jw 代入F(s)，令w 从0→∞变化，得第一部分的映射；
② 以 s=R·ej 代入F(s)，令R→∞， :
，得第二部分的映射；
22
③ 以 s = jw 代入F(s)，令w从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算 N = Z－P，式中Z、P是F(s)在s右 半平面的零点数和极点数。
令： G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
N1 ( s)
N2 (s)
R(s)
C(Hale Waihona Puke )G(s)H (s)
则开环传递函数为：
闭环传递函数为：
16
Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
5 j1
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
•
Re
6
Im
•
F(s)
(s)
F(s)平面 Re
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF ，该 曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变 化量，则有
22
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率
控制工程奈奎斯特稳定判据
《控制工程基础》
—— 奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据
一、系统稳定性的定义和条件 二、Nyquist(奈奎斯特）稳定判据的推导 三、结论与举例说明 四、小结
一、什么是稳定性？
➢初所始谓状稳态定恢性复，到就原是来指平扰衡动状消态失的后性，能系。统由
(a)
稳定系统
(b)
不稳定系统
稳定的条件
n
时间响应 y(t) Aiesit B(t) 中：Re( si ) 0 i 1 ✓系统特征方程的所有的根（闭环极点）都 具有负实部(位于s平面的左半部)。
Im
临界稳定
Im
稳
定
Re
区
Re
不稳 定
二、奈氏稳定判据的推导
GB (s)
GK ( j)
1. 函数 F(s)=1+G(s)H(s) 与开环、闭环零 极点的关系。
2. 幅角原理（Cauchy原理） 3. 奈奎斯特判据
小结： [s] [F (s)] [GH ]
闭环极点
闭环传递函 数
GB (s)
系统稳定的 充要条件
LF
F(s) 1 G(s)H(s)
Re
[GH ]
坐标平移一个单位
N p z;且pB右 0;且pB右 zF右 0 N p 0 pF右
[GH]平面上的奈氏轨迹
若系统稳定，则： N p
N pF右 ;且pF右 pK右
Im
LGH
[GH]
N pK右
GH F
Re
(1, j0)
G( j)H ( j) s j
LF
Re
(a)
N p z 1
(b)
N pz 2
(c)
N pz 0
—— 奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据
一、系统稳定性的定义和条件 二、Nyquist(奈奎斯特）稳定判据的推导 三、结论与举例说明 四、小结
一、什么是稳定性？
➢初所始谓状稳态定恢性复，到就原是来指平扰衡动状消态失的后性，能系。统由
(a)
稳定系统
(b)
不稳定系统
稳定的条件
n
时间响应 y(t) Aiesit B(t) 中：Re( si ) 0 i 1 ✓系统特征方程的所有的根（闭环极点）都 具有负实部(位于s平面的左半部)。
Im
临界稳定
Im
稳
定
Re
区
Re
不稳 定
二、奈氏稳定判据的推导
GB (s)
GK ( j)
1. 函数 F(s)=1+G(s)H(s) 与开环、闭环零 极点的关系。
2. 幅角原理（Cauchy原理） 3. 奈奎斯特判据
小结： [s] [F (s)] [GH ]
闭环极点
闭环传递函 数
GB (s)
系统稳定的 充要条件
LF
F(s) 1 G(s)H(s)
Re
[GH ]
坐标平移一个单位
N p z;且pB右 0;且pB右 zF右 0 N p 0 pF右
[GH]平面上的奈氏轨迹
若系统稳定，则： N p
N pF右 ;且pF右 pK右
Im
LGH
[GH]
N pK右
GH F
Re
(1, j0)
G( j)H ( j) s j
LF
Re
(a)
N p z 1
(b)
N pz 2
(c)
N pz 0
奈奎斯特稳定性判据课件
在多变量系统和非线性系统的 分析中，奈奎斯特稳定性判据 具有重要的应用价值。
03
判据的数学模型
模型建立
01
02
03
确定系统传递函数
首先需要确定控制系统的 传递函数，包括开环和闭 环传递函数。
绘制极坐标图
将传递函数转换为极坐标 形式，以便于分析系统的 频率响应特性。
确定临界频率
根据系统的开环和闭环传 递函数，确定系统的临界 频率。
。
在生物医学工程、环境 工程等领域，利用奈奎 斯特稳定性判据研究复 杂系统的动态行为和稳
定性问题。
TH 据的未来发展
研究方向
深入研究奈奎斯特稳定性判据 的数学原理，探索其在控制系
统中的更广泛应用。
结合现代控制理论和算法， 发展新的稳定性分析方法。
研究奈奎斯特稳定性判据与其 他稳定性判据的关系，完善稳
定性理论体系。
技术发展
1
利用计算机技术和数值计算方法，提高奈奎斯特 稳定性判据的运算效率和精度。
它提供了一种有效的数学方法来分析系统的动态行为，帮助工程师预测系 统的性能和行为。
判据的应用场景
控制系统设计
在控制系统设计中，奈奎斯特稳 定性判据用于分析控制系统的稳 定性和性能。
通信系统分析
在通信系统中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号传输的稳定性 和可靠性。
信号处理
在信号处理中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号的频域特征和 系统的稳定性。
2
开发适用于不同控制系统的奈奎斯特稳定性判据 分析工具。
3
探索将奈奎斯特稳定性判据应用于非线性控制系 统的方法。
应用前景
01
02
03
在航空航天、电力、化 工等领域，利用奈奎斯 特稳定性判据优化控制 系统的设计和性能。
03
判据的数学模型
模型建立
01
02
03
确定系统传递函数
首先需要确定控制系统的 传递函数，包括开环和闭 环传递函数。
绘制极坐标图
将传递函数转换为极坐标 形式，以便于分析系统的 频率响应特性。
确定临界频率
根据系统的开环和闭环传 递函数，确定系统的临界 频率。
。
在生物医学工程、环境 工程等领域，利用奈奎 斯特稳定性判据研究复 杂系统的动态行为和稳
定性问题。
TH 据的未来发展
研究方向
深入研究奈奎斯特稳定性判据 的数学原理，探索其在控制系
统中的更广泛应用。
结合现代控制理论和算法， 发展新的稳定性分析方法。
研究奈奎斯特稳定性判据与其 他稳定性判据的关系，完善稳
定性理论体系。
技术发展
1
利用计算机技术和数值计算方法，提高奈奎斯特 稳定性判据的运算效率和精度。
它提供了一种有效的数学方法来分析系统的动态行为，帮助工程师预测系 统的性能和行为。
判据的应用场景
控制系统设计
在控制系统设计中，奈奎斯特稳 定性判据用于分析控制系统的稳 定性和性能。
通信系统分析
在通信系统中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号传输的稳定性 和可靠性。
信号处理
在信号处理中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号的频域特征和 系统的稳定性。
2
开发适用于不同控制系统的奈奎斯特稳定性判据 分析工具。
3
探索将奈奎斯特稳定性判据应用于非线性控制系 统的方法。
应用前景
01
02
03
在航空航天、电力、化 工等领域，利用奈奎斯 特稳定性判据优化控制 系统的设计和性能。
自动控制原理--奈奎斯特稳定判据及应用
Ⅱ
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
奈奎斯特稳定性判据
一、奈奎斯特稳定性判据 【4 Nyquist相曲线的绘制】
开环幅相曲线的绘制 精确曲线 ——由表达式取点，计算，描点。 概略曲线 ——工程方法。 概略幅相曲线的三要素：
0 1）起点： A( ), ( ) 终点：
2) 与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率ωx； 3) 曲线变化范围：象限，单调性。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
0.05 K 20 K 50 K , , 500 500 500
闭环系统渐近稳定的条件：
K K 20 1 0.05 500 500
或
1 50
K 500
由 20
K K 1 0.05 500 500
得 25 K 10000 得 0 K 10
【解答】 (2)
系统稳定性
Z P 2( N N_ ) 0
P 1, v 1
系统为渐近稳定系统。
三、例题详解
【例5】 某负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为
10 G(s) H (s) s(0.2s 2 0.8s 1)
试:（1）画出半奈奎斯特曲线； （2）判定系统的稳定性。
二、对数频率特性稳定性判据
由式（3）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (4)
由式（3）还可知：渐近稳定的必要条件是 N N； 发散不稳定的充分条件是 N N 。
在 c g 的条件下，当系统参数有微小变化使 c g 时，会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这 种条件下，称系统为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 (1)
半奈奎斯特曲线
10 G( s) H ( s) s(0.2s 1)( s 1)
奈奎斯特稳定判据
由此推论，若s平面上的闭合曲线 以顺时针方向包围
的z个零点，则在
平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转z周。
如果s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着
的一个极点
旋转一
周，则向量
的相角变化了
。由式（5－42）可知，
的相角
变化了
。这表示
平面上的映射曲线 按逆时针方向围绕其坐标原点
一周。由此推广到一般，若s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着
（1）首先要确定开环系统是否稳定，若不稳定，则P为多少？
（2）作出奈氏曲线 曲线，然后以实轴为对称轴，画出 氏曲线。
。具体作图时可先画出 从0到
的一段
从0到
的另一段曲线，从而得到完整的奈
（3）计算奈氏曲线
对点（－1，j0）按顺时针方向的包围圈数N。
（4）根据辐角原理确定Z是否为零。如果Z＝0，表示.闭环系统稳定；反之， ，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面
11.01.2011
控制理论
Seite 8 von 15
把上述 和 了。
部分在GH平面上的映射曲线和
的奈氏曲线在
处相连接，就组成了一条封闭曲线。此时，又可应用奈奎斯特稳定判据
例5－6 试判别该系统的稳定性。
反馈控制系统开环传函数为
试判别该系统的稳定性。
解：由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，因而在s上所取的奈氏
的具体形状，而是它是否包围
平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数，
因为它与系统的稳定性有着密切的关系。
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
乃奎斯特稳定判据的探讨
乃奎斯特稳定判据的探讨乃奎斯特稳定性判据是一种用于判断非线性复杂系统的动力学状态的判据，它可以帮助研究人员判断当前系统是否处于某种稳定状态，从而找到最优控制策略并实现有效控制。
本文将从基础概念出发，介绍乃奎斯特稳定性判据的相关概念，详细讨论乃奎斯特稳定性判据的应用和优越性，并对当前的发展动向进行简单的分析。
首先，该判据的基本思想是，系统在稳定状态时，其动力学状态能够无限持续恒定，而在不稳定状态时，系统将会出现明显的变量变化。
因此，乃奎斯特稳定性判据基于系统动力学方程，使用动力学状态变量的导数以及其的第三阶导数得到动力学状态的更高阶数学表达，并以此计算状态变量的几何快速度，由此可以定量判断出系统的稳定性。
其次，应用乃奎斯特稳定性判据的优势在于它可以有效地判断出系统的稳定性，而不用假设任何其他模型。
另外，乃奎斯特稳定性判据还有助于研究人员在探索系统控制过程中发现可能存在的隐藏稳定性要素，这可以帮助提高控制策略的有效性。
此外，乃奎斯特稳定性判据也可以应用于多个系统，可以用作参考，以帮助研究人员更好地比较不同系统之间的区别。
最后，在当前的研究中，乃奎斯特稳定性判据的发展内容很宽泛，从拓展应用到数值分析等不同内容均有涉及。
例如，在参数不确定的复杂系统中，研究人员使用乃奎斯特稳定性判据来实现参数识别，从而实现更有效的系统控制。
此外，乃奎斯特稳定性判据还可以用于多种复杂系统的稳定性识别，这有助于研究人员更准确地识别系统的稳定性状态，从而提高系统控制的成功率。
总之，乃奎斯特稳定性判据是一种非常实用的系统控制工具，它结合动力学视角和数学模型，可以有效地帮助研究人员判断当前系统的动力学状态，从而实现有效的控制。
乃奎斯特稳定性判据在当前研究中仍有着广泛的应用，它已经发展成一种被广泛用于控制复杂非线性系统的技术手段，并将会在未来发挥更广阔的作用。
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一、奈奎斯特稳定性判据
1 起点 —— 0对应的 G(j)G(j)
m
K(is1)
G(s)H(s) s
i1
n
(Tis1)
(mn)
i1
0 G (j0)H (j0)K
2
1 G (j0)H (j0) 900
2 G(j0)H(j0) 180 0
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个
数； N —半奈式曲线逆时针方向穿越点(1, j0) 左
侧实轴的次数。而逆时针起始于或终止 于点 (1, j0)左侧实轴的次数，折半计算 N —半奈式曲线顺时针方向穿越点(1, j0)左 侧实轴的次数。而顺时针起始于或终止 于点(1, j0)左侧实轴的次数，折半计算
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的
个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N N； 发散不稳定的充分条件是 N N。 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, j0) 左右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
一、奈奎斯特稳定性判据
【4 Nyquist相曲线的绘制】
开环幅相曲线的绘制 精确曲线 ——由表达式取点，计算，描点。 概略曲线 ——工程方法。 概略幅相曲线的三要素：
1）起点：0 A() , ()
终点：
2) 与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率ωx； 3) 曲线变化范围：象限，单调性。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
在给定系统的半奈奎斯特曲线及开环传递函数
G(s)H(s) 在右半s平面极点的个数P，可利用奈奎
斯特稳定性判据判定系统的稳定性。负反馈闭环 系统，当其开环频率特性不通过[GH]平面上点(1, j0) 时，则闭环传递函数位于s右半平面极点的个数为
(1)
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的
个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
二、对数频率特性稳定性判据
由式（3）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是
(4)
由式（3）还可知：渐近稳定的必要条件是 N N； 发散不稳定的充分条件是 N N。
在 c g 的条件下，当系统参数有微小变化使c g 时，会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这 种条件下，称系统为临界稳定。
Ts1:
00 900
T s1: 00 900
1
(s/n)22(s/n)1:
01800
1
(s/n)22(s/n)1:
01800
s 2 2
n2
s1:
n
01800
当
G(jsωn2)2H(j2ωn)
s1: 01800 包含非最小相位环节或
1:
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k ( .s) ...
L ( () ) 2 G l( G j g 0 (j ) H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G G g 0 1 2 2 l G g 0 G 2 k 2 lG g 0 k
900 900 一阶、二阶微分环节时减少。
s:
900 900
二、对数频率特性稳定性判据
【1 对数频率特性稳定性判据】 在给定负反馈闭环系统的开环传递函数右半s平面极
点个数 P 及对数幅频特性、相频特性，且
(c)(2k1)180
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
3
K 4 0
3 G (j0)H (j0) 27 0 0
4 G (j0)H (j0) 36 0 0
1
2 终点 —— m 对应的 G(j)G(j)
n n m mA A ( () ) 0 K i n i1 T 1G i i( j) H G ( j (j ) )H 9 (j ( n ) 0 m 0)n n n m m m 1 2 3
nm4
一、奈奎斯特稳定性判据
3 与实轴的交点
V(x)0
x ——穿越频率
( x) k , k 0 , 1 , 2 ......
4 曲线变化范围（象限及单调性）
K: 1: Ts 1
00 00 00 900
K: 1:
Ts 1
18001800 00 900
奈奎斯特稳定性判据
韩春 艳
2012年9月
一、奈奎斯特稳定性判据
【1 奈奎斯特围线】
奈奎斯特围线是如下点的集合：s平面上j 轴上除 了极点外所有点的集合，加上 j 轴上极点处半径 为无穷小右半圆上点的集合，再加上右半s平面半 径为无穷大半圆上点的集合。
【2 奈奎斯特曲线】
奈奎斯特曲线是s平面上奈奎斯特围线，按 G(s)H(s) 规则在平面 G(s)H(s) 上的影射。
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个
数； N —相频特性曲线正穿越次数。在 L() 0
对应的频率范围内， ( ) 自下而上穿越 (2k1)180 线的次数，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， ( ) 自上而下穿越 (2k1)180线的次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；