3.1.1 导数的概念

__
v = 2.005g = 20.05m / s.
的极限为： 从而平均速度 v 的极限为： __ ∆s v = lim v = lim = 2g = 20m / s. s ∆t →0 ∆t →0 ∆t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于 等于20(m/s). 即物体在时刻 的瞬时速度等于 当时间间隔Δ 逐渐变小时,平均速度就越接近 当时间间隔Δt 逐渐变小时 平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度 时的瞬时速度 瞬时速度v=20(m/s).
h(t0 + ∆t) − h(t0 ) lim ∆t →0 ∆t 2 − 4.9(∆t) − (9.8t0 − 6.5)∆t = lim ∆t →0 ∆t = lim (−4.9∆t −9.8t0 + 6.5)
∆t →0
= −9.8t0 + 6.5
定义: 定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
h(2 + ∆t) − h(2) lim = −13.1 ∆t →0 ∆t
表示“ 趋近于0时 表示“当t =2, △t趋近于 时, 平均速度 趋近于确定值 趋近于 v 趋近于确定值– 13.1”.
探 运动员在某一时刻 的瞬时速度怎样表示? 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示 函数 处的瞬时变化率怎样表示? 在
1. f ′(x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同 。 2. f ′(x0 )与∆x的具体取值无关。
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
说明： 说明： 处可导， （1）函数 f (x ) 在点 x0 处可导，是指 ∆x → 0 时， ）
∆y ∆y 有极限． 不存在极限， 有极限．如果 不存在极限，就说函数在 ∆x ∆x
h(t) = −4.9t 2 + 6.5t +10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 到 △ 这段时间内平均速度
∆h v= ∆t h(2 + ∆t ) − h(2) = = −13.1− 4.9∆t ∆t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
(2)求平均速度v = s ; t s （3）求极限 lim = lim s(t +
x →0
t
x →0
t ) − s (t ) . t
• 2由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量∆y=f(x0+∆t)-f(x0)
(2)求平均变化率 （3）求极限 f ' ( x0 ) = lim y
x→0
……
……
= −13.1000049
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 到 △ 这段时间内平均速度
∆h v= = −13.1− 4.9∆t ∆t 趋近于0时 从小于2的一边 的一边, 当△ t 趋近于 时, 即无论 t 从小于 的一边 还是从大于
பைடு நூலகம்
2的一边趋近于 时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 的一边趋近于2时 的一边趋近于 从物理的角度看, 无限变小时, 从物理的角度看 时间间隔 |△t |无限变小时 平均速度 v △ 无限变小时 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度 因此 运动员在 t = 2 时的 时的瞬时速度. 时的瞬时速度 因此, 瞬时速度是 –13.1.
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆f = lim lim ∆x→0 ∆x→0 ∆ x ∆x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ′(x0 )
或 y′ |x=x0 , 即
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f ′(x0 ) = lim . ∆x→0 ∆x
f (2 + ∆x) − f (2) 4∆x + (∆x)2 − 7∆x = = ∆x −3 ∆x ∆x ∆f ′(2) = lim = lim (∆x − 3) = −3. 所以, 所以 f ∆x→0 ∆x ∆x→0 同理可得 f ′(6) = 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 在第 和第 原油温度的瞬时变化率分别为 和 明在第2 附近, 原油温度大约以3 的速率下降; 在第6h附近 附近, 明在第 h附近 原油温度大约以 o C/ h的速率下降 在第 附近 原油温度大约以5 的速率上升. 原油温度大约以 o C / h的速率上升
h(t) = −4.9t 2 + 6.5t +10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 时 这段时 间内
当△t = – 0.01时, v = −13.051 当△t = – 0.001时, v = −13.0951
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 时 这段时 间内
当△t = 0.01时, v = −13.149 当△t =0.001时, v = −13.1049
3.1.1 导数的概念
引入：
• 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态， 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度 瞬时速度. 度称为瞬时速度
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
∆x→0
∆x
一差、二化、 一差、二化、三极限
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热. 需要对原油进行冷却和加热 如果第 x h时, 原油的温度 单 时 原油的温度(单 计算第2h和第 和第6h, 位: o C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第 和第 为 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 在第2h和第 和第6h时 解: 在第 和第 时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ′(2)和 f ′(6). 根据导数的定义, 根据导数的定义
y x
x
练习:
• 1.求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求∆f=∆y=f(１＋∆x)-f(１) =6∆x+(∆x)2
f 再求 = 6+ x x y 再求 lim =6 x→0 x
练习：
• 2．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规 律做直线运动， （１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
1 2 （２）求运动开始后４s时物体的动能。 ( E = mv ) 2
课后思考题： 课后思考题： 1
2.函数 函数f(x)=|x|在点 0=0处是否有导数？若有，求出来； 在点x 处是否有导数？ 函数 在点 处是否有导数 若有，求出来； 若没有，请说明理由. 若没有，请说明理由
小结：
• 1求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量∆s=s(t+∆t)-s(t)
解:
__
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: 将 代入上式， 代入上式 __
1 ∆s v= = 2 g + g ( ∆t ) 2 ∆t
O s(2) s(2+∆t)
v = 2.05g = 20.5m / s.
∆s
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: 将 代入上式， 代入上式 __
( 3 )当 ∆ t → 0,2 + ∆ t → 2,
△t = 0.00001,
v = −4.9∆t −13.1
v = −4.9∆t −13.1
当△t = –0.0001时, v = −13.09951 当△t =0.0001时, v = −13.10049
△t = – 0.00001, v
= −13.099951
v = −13.100049
△t = – 0.000001, v = −13.0999951 △t =0.000001, v
处不可导，或说无导数． 点 x0 处不可导，或说无导数． （2） ∆x 是自变量 在 ） 是自变量x在
x0 处的改变量， ∆x ≠ 0 ，而 处的改变量，
∆y 是函数值的改变量，可以是零． 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知, 的导数的一般方法: 由导数的定义可知 求函数 y = f (x)的导数的一般方法 的导数的一般方法 1. 求函数的改变量 ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ); f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆f = ; 2. 求平均变化率 ∆x ∆x ∆f 3. 求值 f ′(x0 ) = lim .
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为 s 运动方程为： 例2 物体作自由落体运动 运动方程为： = 2 gt 其 2
中位移单位是m,时间单位是 中位移单位是 时间单位是s,g=10m/s .求： 时间单位是 求 (1) 物体在时间区间 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； 上的平均速度； 上的平均速度 (2) 物体在时间区间 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； 上的平均速度； 上的平均速度 (3) 物体在 物体在t=2(s)时的瞬时速度 时的瞬时速度. 时的瞬时速度