数学分析之实数的完备性
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
实数完备性
课题：实数完备性问题与确界原理(一)引入主题数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数．为此，先来讨论实数.我们在中学数学中已经知道实数由有理数与无理数两部分组成,并知道实数有如下一些主要性质:1．实数集R 对加、减、乘、除 ( 除数不为0 ) 四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商 ( 除数不为0 ) 仍然是实数．2．实数集是有序的，即任意两实数 必满足下述三个关系之一：b a ,b a b a b a >=<,,.3. 实数的大小关系具有传递性，即若 ，则有 ．4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何 c b b a >>,c a >R ∈b a ,，若 ，则存在正整数 ，使得 .5．实数集0>>a b n b na >R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数， 且既有有理数，也有无理数．6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点 O 作为原点，指定一个方向为正向( 通常把向右的方向规定为正向 )，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R 与数轴上的点有着1-1对应关系．提问: 在出现了无理数的情形下，你们对以上性质有什么疑问? ( 要善于提出疑问!请作简短讨论 )总结: 至少有三处存疑——1) 对于无理数（无限十进不循环小数），如何进行性质1中所说的四则运算？2）在性质2、3、4中出现了比较大小关系的不等式，然而如何对无理数进行大小比较呢？3）在性质6中所说的：“数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数”，为什么一定是这样? 为什么在数轴上除实数点外不再有别的空隙？( 这就是实数的完备性，是实数与有理数的根本区别.)这些问题正是我们数学专业的学人必须正视的、不可回避的根本问题, 也就是这一单元教学的主题.（ 其中第一个问题这里不去说它，有兴趣的同学可以去细心阅读课本第299-302页上的七、八两段. ）(二) 比较实数大小的一种方法先把有限小数( 包括整数 )也表示为无限小数，使得实数有统一的表示形式. 为此作如下规定：对于正有限小数n （ 其中 ，a a a a x L 210.=90≤≤i a ,,,2,1n i L =0,0a a n ≠为非负整数 ），记L L 9999)1(.210−=n a a a a x ;而当为正整数时，则记0a x =L 9999.)1(0−=a x .例如把 2 记为1.999 9 …，把2.001 记为2.000 999 9 …．对于负有限小数，则先将正数 -表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号.例如把 –8.06 记为 -8.059 999 ….y y 规定整数0表示为 0.000 0 …．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 ,并可用来定义两个实数的大小关系．定义1 给定两个非负实数L L L L n n b b b b y a a a a x 210210.,.==,其中为非负整数，．若有,00,b a 90,90,),2,1(,≤≤≤≤=k k k k b a k b a 为整数L L ,2,1,0,==k b a k k 则称 x 与 相等，记为 y y x = ; 若 或存在非负整数 ，使得00b a >l 11),,2,1,0(,++>==l l k k b a l k b a 而L ,则称 x 大于或小于x ，分别记为 x ＞ 或 ＜ x ．对于负实数 x 、 ，若按上述规定分别有 , 则分别称y y y y y y x y x −>−−=−与y x = 与 ．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．为了进一步能用有限小数来比较两个实数的大小, 需要引入实数的不足近似与过剩近似．)(x y y x ><或 定义2 设为非负实数．我们把有限小数L L n a a a a x 210.=n n a a a a x L 210.=， n = 0, 1, 2,L 称为实数x 的n 位不足近似 ；而把有限小数n n n x x −+=10， n = 0, 1, 2,L称为x 的 n 位过剩近似 。
实数的完备性
不存在 S,
使 1 . n
例：②设
I （0，1），S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }. n1
则开区间集S覆盖区间I，
x (0,1), 只要自然数m充分大，有
1 x m 1
即x ( 1 ,1) m1
定理7.3 （海涅—博雷尔（Heine-Borel)有限覆盖定理） 闭区间[a, b]的任一开覆盖H，必可从H中选 出有限个开区间覆盖[a, b]。
它是区间(a, b)的一个无限开覆盖。
又如：（0，2），（1，3）， ，（n 1, n 1）,
3
24
n n2
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
例：①设
I （0，1），S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }. n1 n
则开区间集S没有覆盖区间I，
1 (0,1), n
取 n min{ 1/ n,| xn1 |},则xn U ( ; n ) S，
且xn与x1，x2， xn1互异，
无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列 { xn },
且满足：|
xn
|
n
1， n
从而
lim
n
xn
.
证毕。
定理7.2 （魏尔斯特拉斯（weierstrass)聚点定理）
n 即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. {(1 1 )n }也是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e.
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套定 理、聚点定理和有限覆盖定理，
还将证明这六个基本定理的等价性。
一、 区间套定理与柯西收敛准则
数学分析第七章 实数的完备性
设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合,(即 H 的每一个 元素都是形如 (, )的开区间).若 S 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 H为 S的一个开覆盖,或简称H 覆盖 S .
若 H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 H 为 S 的一个
无限(有限)开覆盖.
例 开区间集
H = {(x - b - x , x + b - x) | x (a,b)}
五 作业
P168: 1, 3, 5, 6.
第七章 实数的完备性
§2 闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理
若函数 f 在闭区间 [a,b]上连续,则 f 在 [a,b] 上有界.
证明: (应用有限覆盖定理证明)
由连续函数的局部有界性， x' [a,b],U(x';x' ),Mx' 0使得
f (x) M x' x U (x'; x' ) [a,b]. 考虑开区间集 H = {U (x'; x' ) x' [a,b]}, 显然H是[a,b]的一个无限开覆 但不能覆盖[a, b].
•2 定理7.3 (Heine-Borele 有限覆盖定理)
设H 为闭区间 [a,b] 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中可 选出有限个开区间来覆盖 [a,b] .
•定理的证明
用反证法 假设定理的结论不成立， 即不能用H中有限个
开区间来覆盖 [a,b]. 将[a,b]等分为两个子区间 ， 则其中至少有一个子区 间不能用H
说明:区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.
如{(0, 1 )},虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个, n
且 lim ( 1 - 0) = 0,但不存在属于所有开区间的公共点. n n
《数学分析》第7章 实数的完备性ppt课件
在第一章与第二章中, 我们已经证明了实 数集中的确界定理、单调有界定理并给出了 柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种 特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是 不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与 上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定 理是数学分析理论的基石.
一、区间套定理与柯西收敛定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性
一、区间套定理与柯西收敛定理
定义1 设闭区间列 {[an, bn]} 满足如下条件 : 1. [an , bn ] [an1, bn1] , n 1, 2, , 2. lnim(bn an ) 0 , 则称 {[an, bn]} 为闭区间套, 简称区间套. 定义1 中的条件1 实际上等价于条件
b1] [a2 ,
b2 ],
b2 a2
, 2
并且当 n N2 时, an [a2 ,b2 ].
......
令
1 2k
,
存在
Nk (
N k1 ), 当
n
Nk
时,
an
a
N
k
1 2k
,
aNk
1 2k
.
取 [ak , bk ] [ak1, bk1]
aNk
1 2k
,
aNk
1 2k
.
......
n
N1
时,an
(aN1
1, 2
aN1
1 ), 2
取 [a1,
b1] [
aN1
1, 2
aN1
1 2
]. 令
1 22
,
存在
N2( N1 ), n N2 时,
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。
实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。
实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。
下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。
第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。
它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。
证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。
接下来我们来证明M是S的上确界。
首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。
其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε<s≤M。
这两点都可以使用导致上确界的性质来证明。
因此，我们证明了确界定理。
第二个定理是区间套定理。
它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。
证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。
其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。
因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。
第三个定理是柯西收敛准则。
它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，<ε。
证明如下：首先，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的有界性。
其次，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的单调性。
因此，根据实数完备性的定义，实数序列的柯西收敛准则是实数序列收敛的充分必要条件。
第四个定理是实数域的离散性。
它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。
证明如下：假设a和b是两个实数，并且a<b。
实数的完备性
第七章 实数的完备性§1 实数完备性的基本定理1． 验证 数集},2,11)1{(L =+−n n n有且只有两个聚点11−=ξ和12=ξ 解 因{1+}21n 是{(-1)n+n 1}的所有偶数项组成的子列,且,1)211(lim =+∞→nn 故12=ξ是数集},2,11)1{(L =+−n n n的一个聚点.由于}1211{−+−n 是原数集的所有奇数项组成的子列,且,1)1211(lim −=−+−∞→n n 因而11−=ξ也是原数集的聚点.下证该数集再无其它聚点. 时，有则当取001}21,21min{,1εϕϕεϕ>−+=±≠∀n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−=−−−为奇数为偶数为奇数，为偶数）（n n n n n n n n n n ,11.1111,1111ϕϕϕϕϕ.1200εε>−≥n故ϕ不是该数集的聚点.这就证明原数集只有两个聚点,即1+与1−. 2．证明:任何有限数集都没有聚点.证 设S 是有限数集,则对任一S R a 因,1,0=∃∈ε是有限数集,故领域),(0εa U 内至多 有S 中的有限个点,故a 不是S 的聚点,由a 的任意性知,S 无聚点.3．设)},{(n n b a 是一严格开区间套,即1221b b b a a a n n <<<<<<<<L L L , 且.0)(lim =−∞→n n n a b 证明存在唯一一点ξ,有L ,2,1,=<<n b a n n ξ证 作闭区间列]},{[n n y x , 其中L ,2,1,2,211=+=+=++n b b y a a x n n n n n n ，由于),(,11N n b y b a x a n n n n n n ∈∀<<<<++ 故有(1) ))(,(],[),(11N n b a y x b a n n n n n n ∈∀⊂⊂++，从而L ,2,1],,[],[11=⊂++n y x y x n n n n(2) )(0N n a b x y n n n n ∈∀−<−<从而由]},{[.0)(lim ,0)(lim n n n n n n n n y x x y a b 所以得=−=−∞→∞→为闭区间套.由区间套定理知,存在一点).,2,1()1().,2,1](,[L L =<<=∈n b a n y x n n n n ξξ有由满足条件),2,1(L =<<n b a n n ξ的点ξ的唯一性的证明与区间套定理的证明相同.4．试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
关于实数完备性的研究
关于实数完备性的研究一、实数完备性理论的介绍什么是实数完备性？实数完备性就是是数学分析的基础，它是指六大定理的等价。
下面我们介绍一下六大定理。
1.1 确界原理1.1.1确界原理的定义x∈，都有定义1设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切Sx≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．定义2设S是R中的一个数集．若数η满足：（i）对一切Sx∈，有ηx，即η是S的上界；≤（ii）对任何ηα<存在S>x即η又是S的最小上界x o∈，使得αoη则称数η为数集S的上确界，记作S=sup定义3 设S是R中的一个数集．若数ξ满足：（i）对一切Sx∈，有ξ≥x，即ξ是S的下界（ii）对任何ξβ>，存在Sx即ξ又是S的最大下界，则称x o∈，使得,β<o数ξ为数集S的下确界，记作Sξ=i n f上确界与下确界统称为确界．1.1.2确界原理及其证明确界原理设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．12 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数．由于S 有上界，故可找到非负整 数n ，使得)1对于任何S x ∈有1+<n x ; )2存在S a ∈0,使n a ≥0.对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的 一个数1n ,使得)1对于任何S x ∈有101.1+<n n x ； )2存在S a ∈1，使11.n n a ≥． 再对半开区间)101.,.[11+n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有<x 221101.+n n n)2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在9,2,1,0 中的—个数k n ，使得)1对于任何S x ∈有kk n n n n x 101.21+< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η．以下证明=ηS sup ．为此只需证明：（i ） 对一切S x ∈有η≤x ；（ii ）对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α．倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ， 使=>k k x η+k n n n n 21.k101， 从而得kk n n n n x 101.21+> ，3但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证．现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即k k n n n n α> 21.，根据数η的构造，存在S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ， 即得到'a <α，．这说明（ii ）成立．1.2单调有界原理1.2.1 极限以及数列定义定义4 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则称R f →N +: 或 ()+N ∈n n f , 为数列定义5 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定 数a 称为数列{}n a 的极限，并记作 a a n =lim 或 ()∞→→n a a n . 定义6 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a a a ，则称{}n a 为 递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列.1.2.2 单调有界定理及其证明单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .4 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.1.3 区间套定理1.3.1区间套定义定义7 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ； （ii ）()0lim =-∞→n n n a b ，则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.1. 3. 2区间套定理及其证明区间套定理 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.]2[证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0 , 显然ξ是不存在的.推论 若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂. 证 由区间套定理的证明可得：ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim .5由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 正整数N , 当N n ≥时， 有 n a <-εξ ，εξ+<n b ，即 εξεξ+<≤<-n n b a ， 这就是说 []()εξ;,U b a n n ⊂.1.4.1聚点定理1.4.1聚点定义定义8 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S , 也可以不属S ). 若对于任意正数ε ,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则 称ξ为的S 一个聚点.定义8' 设S 为实数集R 上的非空点集, R ∈ξ.若对于任意正数ε，()φεξο≠S U ; ，则称ξ为的S 一个聚点.定义8″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 定义8 → 定义8' 由定义直接得到定义8' → 定义8″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U ;， 那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈∃；取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξε12,21min x ，()S U x 22;εξο∈∃；..........取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξε1,1min n n x n ，()S U x n n εξο;∈∃；..........这样就得到一列{}S x n ⊂.由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且 nx n n 10≤<-<εξ 由此 ξ=∞→n n x lim6 定义8″ → 定义8 由极限的定义可知这是显然的.1. 4. 2聚点定理及其证明聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. ]2[证 因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-⊂ , 且记[][]M M b a ,,11-= .现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且 M a b a b =-=-)(211122. 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取 出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃， 且 2)(212233Ma b a b =-=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(021∞→→=--n Ma b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ. 由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点.推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列. ]2[证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的 子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ. 于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.71.5 开覆盖定理1.5.1开覆盖定义定义9 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）.若S 中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.1.5.2有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理 设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,.]2[证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈. 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .8 这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,注 定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立.1.6柯西收敛准则及其证明1.6.1柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a .]2[证 (必要性)设 A a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整 数N ，使得当N m n >,时有 2ε<-A a n , 2ε<-A a m因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n .(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，ε<-N n a a . 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,.令21=ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈21,2111N N n a a a ，取 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21,21,1111N N a a βα.令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈2221,2122N N n a a a ,取 [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=22112221,21,,22N N a a βαβα.显然有 [][]2211,,βαβα⊃ ，2122≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a .........令k 21=ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα.........Na ε-N a ε+N a x9这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足 （i ）[][],...2,1,,,11=⊃++k b a b a k k k k ； （ii ）∞→→≤--k a b k k k ,0211；（iii ）对+N ∈∀k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈. 由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈，所以εξ<-n a .这就证明了 ξ=∞→n n a lim . 故数列{}n a 收敛.二、引出问题----六大定理如何等价有限覆盖定理→聚点定理→柯西收敛准则→确界原理→单调有界定理→区间套定理→有限覆盖定理2.1用有限覆盖定理证明聚点定理证 设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,⊂. 假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点.令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖.，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S .由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾. 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点.2.2 用聚点定理证明柯西收敛准则证 设数列{}n a 为有界数列.若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些10 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ.于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.设数列{}n a 满足柯西条件. 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正 整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a .由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a . 令}1,,...,,max {121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤. 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设A a k n k =∞→lim .对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有2ε<-m n a a （柯西条件） 2ε<-A a K n （A a k n k =∞→lim ）因此当取()K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .2. 3 用柯西收敛准则证明确界原理证 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数αk ，使得αλααk =为S 的上界，而ααλαα)1(-=-k 不是S 的上界，即存在S ∈'α，使得ααα)1(->'k分别取n 1=α，,....2,1=n ，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为 S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得nn 1->'λα . (6)又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m . 结合(6)式得nm n 1<-λλ ；同理有 mn m 1<-λλ . 从而得 ⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1m a x λλ .于是，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N m n >,时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛. 记λλ=∞→n n lim . (7)现在证明λ就是S 的上确界. 首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由(7)式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界.其次，对任何0>δ，由)(01∞→→n n 及(7)式，对充分大的n 同时有21δ<n ， 2δλλ->n . 又因nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得n n 1->'λα .结合上式得δλδδλα-=-->'22 .这说明λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界 .2 .4 用确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界， 记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2 .5用单调有界定理证明区间套定理证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.2. 6用区间套定理证明有限覆盖定理证 假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n )(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈.于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,.三 、实数完备性的理论基础实数完备性理论是在实数的基本性质的基础上衍生出来的，如不足近似、过剩近似，四则运算的封闭性，绝对值与不等式等等。
数学分析7.1关于实数集完备性的基本定理
第七章 实数的完备性 1 关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1：设区间列{[a n ,b n ]}具有如下性质： 1、[a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1], n=1,2,…;(即a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1) 2、∞→x lim (b n -a n )=0， 则称{[a n ,b n ]}为闭区间套，或简称区间套.定理7.1：(区间套定理)若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,…, 即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,…. 证：由a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1知: {a n }递增有界，∴{a n }有极限ξ，且a n ≤ξ，n=1,2,….又{b n }递减有界，∴{b n }有极限，又∞→nlim (b n -a n )=0，∴∞→n lim b n =∞→n lim a n =ξ， 且b n ≤ξ，n=1,2,…，即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,….设数ξ’∈[a n ,b n ], n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤b n -a n , n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤∞→nlim (b n -a n )=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.推论：若ξ∈[a n ,b n ] (n=1,2,…)是区间套{[a n ,b n ]}所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε).例：证明：定理2.10：(数列的柯西收敛准则)数列{a n }收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在N>0，使得对m,n>N 有|a m -a n |<ε.证：[必要性]设∞→n lim a n =A ，由数列极限定义， 对任给的ε>0，存在N>0，当m,n>N 时，有|a m -A|<2ε，|a n -A|<2ε， ∴|a m -a n |≤|a m -A|+|a n -A|<ε.[充分性]∵对任给的ε>0，存在N>0，使得对n ≥N 有|a n -a N |≤ε，即 即在区间[a N -ε,a N +ε]内含有{a n }中几乎所有项(即除有限项外的所有项). 令ε=21，则存在N 1，在区间[a 1N -21,a 1N +21]内含有{a n }中几乎所有项.记[α1, β1]=[a 1N -21,a 1N +21].令ε=221，则存在N 2(>N 1)，在[a 2N -221,a 2N +221]含有{a n }几乎所有项. 记[α2, β2]=[a 2N -221,a 2N +221]∩[α1, β1]，[α2, β2]含有{a n }几乎所有项，且满足[α1, β1]⊃[α2, β2]及β2-α2≤21.依次令ε=321,…,n 21,…, 可得闭区间列{[αn , βn ]}，其中每个区间都含有{a n }几乎所有项，且 满足[αn , βn ]⊃[αn+1, βn+1], n=1,2,…, βn -αn ≤1-n 21→0 (n →∞)， 即{[αn , βn ]}是区间套，由区间套定理， 存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[αn , βn ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[αn , βn ]⊂U(ξ; ε)，∴在U(ξ; ε)内含有{a n }几乎所有项，∴∞→nlim a n =ξ.二、聚点定理与有限覆盖定理定义2：设S 为数轴上的点集，ξ为定点. 或ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点. 如：点集S={(-1)n +n 1}有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1；点集S={n1}只有一个聚点ξ=0； 又若S 为开区间(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a,b 都是S 的聚点； 根据定义，正整数集N +没有聚点，任何有限数集也没有聚点。
数学分析第五版练习册答案
数学分析第五版练习册答案在数学分析这门课程中，练习题是帮助学生巩固理论知识和提高解题技巧的重要手段。
以下是数学分析第五版练习册的部分答案，供学生参考。
第一章：实数和序列1. 证明实数的完备性。
答案：实数的完备性可以通过柯西序列来证明。
一个实数序列\( \{a_n\} \)被称为柯西序列，如果对于任意的正数\( \epsilon > 0 \)，存在正整数\( N \)，使得对于所有的\( m, n > N \)，都有\( |a_m - a_n| < \epsilon \)。
实数的完备性意味着每一个柯西序列都收敛到一个实数。
2. 判断序列\( \{a_n\} \)的收敛性。
答案：序列\( \{a_n\} \)收敛当且仅当存在实数\( L \)，使得对于任意的正数\( \epsilon > 0 \)，存在正整数\( N \)，使得对于所有的\( n > N \)，都有\( |a_n - L| < \epsilon \)。
第二章：连续函数1. 证明函数\( f(x) = x^2 \)在实数线上是连续的。
答案：对于任意的\( x \)和\( \delta > 0 \)，我们有\( |f(x+\delta) - f(x)| = |(x+\delta)^2 - x^2| =|\delta(2x+\delta)| \)。
当\( |\delta| < 1 \)时，\( |\delta(2x+\delta)| < 2|x||\delta| + |\delta|^2 \)。
由于\( 2|x||\delta| < 2|x| \)和\( |\delta|^2 < \epsilon \)，我们可以选择\( \delta < \min(1, \frac{\epsilon}{2(|x|+1)}) \)，使得\( |f(x+\delta) - f(x)| < \epsilon \)。
实数完备性理论
实数完备性理论，理论基础及英应用实数完备性是指六大定理的等价性。
它的六大定理如下：1、确界原理2、单调有界原理3、区间套定理4、有限覆盖定理5、聚点定理（紧性定理）6、Cauchy收敛准则。
其中任何一个命题都可推出其余的五个命题一、认识实数完备性1、确界原理（1）确界原理：设S为非空数集。
若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
（2）上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足（i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界；（ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界；下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足：（i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；（ii）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界；2、单调有界原理定理：在实数系中，单调有界数列必有极限3、区间套定理（1）区间套定义：设闭区间列{ [a（n）,b（n ）]}具有如下性质：(i) [a（n+1）,b（n+1）]包含于[a（n）,b（n ）]，n=1,2,3，......；(ii) Lim( a（n）-b（n))=0,则称{[an ,bn ]}为闭区间套，或简称区间套。
(2)区间套定理：如果{[an ,bn]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an ,bn]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。
且liman=lim bn=ξ。
4、开覆盖（1)开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S.(2)有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]5、聚点（1）聚点定义：设S为数轴上的点集,e为定点(它可以属于S,也可以不属于S),若e的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点,则称e为点集S的一个聚点。
实数完备性的证明及其应用
实数完备性的证明及其应用摘要一、实数完备性定理 1、闭区间套定理如果n n a b {[,]}形成一个闭区间套，即满足11n n n n a b a b n N ++⊃∈(i)[,][,],，n n a b →∞n (ii)lim(,)=0，则存在惟一的实数ξ属于所有的闭区间n n [a ,b ]，且n n a b ξ→∞→∞=n n =lim lim 。
2、聚点定理（又称维尔斯特拉斯聚点定理） 如果S 为有界无限点集，则S 必有聚点。
3、柯西收敛准则数列{}n x 收敛的充分必要条件是：{}n x 是基本数列，即{}n x 满足：对于任意给定的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时成立n m x x ε-<。
4、单调有界定理单调递增（减）有上（下）界数列必有极限。
5、有限覆盖定理闭区间a b [,]的任意开覆盖H 都含有一个有限子覆盖，即H 中可找出有限个开集覆盖a b [,]。
6、确界存在定理非空有上界的数集必有上确界；非空有下届的数集必有下确界。
二、实数完备性基本定理的证明1、由闭区间套定理出发，推其余五个定理 1）闭区间套定理⇒聚点定理证 设数列{}n x 有界，于是存在实数11,a b ，成立11,1,2,3,n a x b n ≤≤= 将闭区间11[,]a b 等分为两个小区间111[,]2a b a +与111[,]2a bb +，则其中至少有一个含有数列{}n x 中的无穷多项，把它记为22[,]a b 。
再将闭区间22[,]a b 等分为两个小区间222[,]2a b a +与222[,]2a bb +，同样其中至少有一个含有数列{}n x 中的无穷多项，把它记为33[,]a b 这样的步骤可以一直做下，于是得到一个闭区间套{[,]}k k a b ，其中每一个区间套[,]k k a b 中都含有数列{}n x 中的无穷多项。
根据区间套定理，存在实数ξ，满足k k k k a b ξ→∞→∞==lim lim 。
数学分析基本定理
数学分析基本定理数学分析是现代数学的一个重要分支，涵盖了许多基本理论和定理。
其中，数学分析的基本定理是数学分析的核心，是一系列重要的定理，对于理解和应用数学分析具有重要意义。
本文将介绍数学分析的基本定理，包括实数完备性定理、最大值最小值定理、洛必达法则以及泰勒展开定理。
一、实数完备性定理实数完备性定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了实数的性质。
实数完备性定理表明，每个非空有上界的实数集合必定存在上确界。
这个定理为数学分析的一些重要结论提供了基础。
证明：假设有一个非空实数集合S，且S有上界。
根据实数的性质，S必定存在上确界。
证毕。
二、最大值最小值定理最大值最小值定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了函数的性质。
最大值最小值定理表明，在一定条件下，函数在闭区间内必定取得最大值和最小值。
证明：假设有一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)。
如果f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
证毕。
三、洛必达法则洛必达法则是数学分析中的一个重要定理，它用于求解函数的极限。
洛必达法则表明，在一定条件下，通过对函数分子和分母同时求导，可以简化复杂的极限计算问题。
定理：假设有两个函数f(x)和g(x)，且f(x)和g(x)在某一点a附近连续，且g(x)在该点导数不为0。
如果f(x)和g(x)的极限都存在或者为无穷大，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)。
证明：设f(x)和g(x)满足上述条件，根据洛必达法则，可以通过对f(x)和g(x)同时求导，将极限问题简化为计算f'(x)和g'(x)的极限问题。
根据导数的定义和极限的定义，可以得出结论f'(x)/g'(x)是f(x)/g(x)的极限。
证毕。
四、泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一个重要定理，它用于近似计算复杂函数的值。
泰勒展开定理表明，如果某个函数在某一点附近具有足够多的连续导数，那么该函数可以用一个多项式来近似表示。
05数学分析中_实数完备性
代数学中是十分有用的，影响深远②．
定义 1 有理数列 {xn }称为是基本列，若 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ，当 m, n > N 时，有
xm − xn < ε
（1）
定义 2 两个有理数基本序列 {xn }和 {xn′ }称为是等价的，若
( lim
n→∞
xn
−
xn′
)
=
0
（2）
将相互等价的基本列作为一类，称为一等价类．有理数 a 可表为基本列的极限，如
中开区间的个数是无限（有限）的，称 H 为 S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．
3 七个定理的环路证明
例 1 确界定理 ⇒ 单调有界定理．
证 不妨设数列 {an }是单调增有上界，由确界定理知具有上确界，记为α = sup{an }，
显然α 就是其极限．事实上， ∀ε > 0 ，由上确界定义知， ∃aN ，使 aN > α − ε ，由单增性 知，当 n ≥ N 时，有
的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法．
方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限
不循环小数定义为无理数．
一个无限不循环小数 x ，取其 n 位小数的不足近似值α n 与过剩近似值 β n ，α n 与 β n 均为
[ ] 有理数，且 β n − α n
=1 10 n
191
有且仅有一个成立；
（2）传递性：若 x < y ， y < z ，则 x < z ； （3）与“+”相容性：若 x < y ，则 ∀z ∈ R ，有 x + z < y + z ； （4）与“·”相容性：若 x < y ， z > 0 ，则 x ⋅ z < y ⋅ z ． 公理 3（阿基米德（Archimedes）公理） ∀x > 0 ， y > 0 ， ∃n ∈ N ，使得 nx ≥ y ．
第七章关于实数集完备性的基本定理
其中 c1
a1
2
b1
. 那么 [a1,
c1], [c1,
b1 ]
中至少有一
个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为[a2, b2].
显然有[a1,b1] [a2 ,b2 ],
b2
a2
1 2
(b1
a1 )
下面来证明唯一性. 设 1 也满足
an 1 bn ,
返回
那么 1 bn an 0. 即 1 , 惟一性得证. 推论 设 {[an ,bn]} 是一个区间套, [an , bn ], n 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时,
M (ii) bn an 2n2 0 ; (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点.
由区间套定理, 存在惟一的 [an , bn ], n 1, 2, .
由定理 1的推论 : 对于任意的正数 ,存在 N ,
当n N使
[an , bn ] U ( ; ),
个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行
下去, 得到一列闭子区间
{ [an , bn] }, 满足:
(i) [an1, bn1] [an , b n ], n 1, 2, ;
(ii)
bn
an
ba 2n
0 , n ;
(iii) F (an )F (bn ) 0.
开区间所覆盖. 由区间套定理,存在惟一的 , 使 [an , bn ], n 1, 2, .
因 [a1, b1], H 覆盖了[a, b], 故存在 ( , ) H , 使 （ , ）. 由定理 7.1推论，当n充分大时有
数学分析 实数的完备性
第七章实数的完备性教学目的：1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。
教学时数：8学时§ 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）教学目的：1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2.明确基本定理是数学分析的理论基础。
教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。
一．确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 .三.Cantor闭区间套定理 :1.区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ>对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ>. 即当时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.区间套还可表达为:.我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增, 递减.例如和都是区间套. 但、和都不是.2.Cantor区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 :1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列.例1验证以下两数列为Cauchy列 :⑴ .⑵ .解⑴;对，为使，易见只要 .于是取.⑵.当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有,又.当为奇数时 ,,.综上 , 对任何自然数, 有. ……Cauchy列的否定:例2 . 验证数列不是Cauchy列.证对, 取, 有.因此, 取,……2.Cauchy收敛原理:Th 4 数列收敛是Cauchy列.( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点.数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.1.列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六.Heine–Borel有限复盖定理:1.复盖: 先介绍区间族.定义( 复盖 ) 设是一个数集 , 是区间族 . 若对,则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为.定义( 开复盖 ) 数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖, 简称为的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3复盖了区间, 但不能复盖;复盖, 但不能复盖.2.Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.§ 2 实数基本定理等价性的证明（2学时）证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理致密性定理 Cauchy收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 .一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ).1.用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.证系1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有.系2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:Th 4 数列收敛是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二.“Ⅱ”的证明:1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证（用对分法）2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：Th 4 数列收敛是Cauchy列.证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.三.“Ⅲ”的证明:1.用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:证2.用“Heine–Borel 有限复盖定理”证明“区间套定理”:证采用[3]P72例4的证明.§ 3 闭区间上连续函数性质的证明（2学时）教学目的：能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
实数的完备性及其应用课件
设E [a,b],是E一个的开覆盖,则中存在有限 个开区间覆盖 E，即有限覆盖 E .
Borel:波雷尔,1871—1956,法国
取 0 1, 因为{ xn}是基本数列，所以N0，n N 0： | xn xN0 1 | 1. 令 M max{| x1 |,| x1 |,,| xN0 |,| xN01 | 1}，
则对一切n，成立｜ xn｜ M .即 { xn}有界.
由致密性定理或 Bolzano-Weierstrass定理，在｛ xn｝中
比如，偶数集、有理数集都是可数集.
定理1 (0,1)是不可数集，从而实数 集R是不可数集. 证 (反证法) 设 (0,1)是可数集,那么(0,1)可以与N有一一对应, 即(0,1)的元素可以排序，设为 x1, x2 ,, xn ,
将xn写成十进制形式： x1 0.a11a12a13 , x2 0.a21a22a23 , x3 0.a31a32a33 , , xn 0.an1an2an3 ,
二、实数完备性基本定理
1.确界存在定理 2.单调数列收敛定理 3. 区间套定理 4. 有限覆盖定理 5. 聚点原理 6. 收敛子列定理(致密性定理) 7. 柯西收敛原理
1、确界存在定理
首先定义数集的界, 上界, 下界. 定义1 对于数集E,
界 : M 0,x E, | x | M; 上界 : b,x E, x b; 下界 : a,x E, x a.
记 m inf E Inf { x}. Inf是拉丁文Infimum 的缩写. xE
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数学分析之实数的完备性《数学分析》教案第七章实数的完备性教学目的:1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义;2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。
教学时数:14学时1 关于实数集完备性的基本定理(4学时)教学目的:1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义;2.明确基本定理是数学分析的理论基础。
教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。
一(确界存在定理:回顾确界概念(Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 .二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 .- 1 -《数学分析》教案三. Cantor闭区间套定理 :1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件> 对, 有 , 即 , 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;> . 即当时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:.我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、和都不是.2. Cantor区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.简言之, 区间套必有唯一公共点.四( Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 :- 2 -《数学分析》教案1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列.例1 验证以下两数列为Cauchy列 :..解 ?;对，为使，易见只要 .于是取.. 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有,- 3 -《数学分析》教案又.当为奇数时 ,,.综上 , 对任何自然数, 有. ……Cauchy列的否定:例2 . 验证数列不是Cauchy列. 证对, 取, 有- 4 -《数学分析》教案. 因此, 取,……2. Cauchy收敛原理:Th 4 数列收敛是Cauchy列.( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点.数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. 有限复盖定理: Heine–Borel1. 复盖: 先介绍区间族.- 5 -《数学分析》教案定义( 复盖 ) 设是一个数集 , 是区间族 . 若对,则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为.定义( 开复盖 ) 数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖, 简称为的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 复盖了区间, 但不能复盖;复盖, 但不能复盖.2. Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.2 实数基本定理等价性的证明(4学时) 证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: ?: 确界原理单调有界原理区间套定理 Cauchy收敛准则确界原理 ;- 6 -《数学分析》教案: 区间套定理致密性定理 Cauchy收敛准则 ;: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 .一. “?”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.证系1 若是区间套确定的公共点, 则对,当时, 总有.系2 若是区间套确定的公共点, 则有, , .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:Th 4 数列收敛是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4( 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” :Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 .- 7 -《数学分析》教案证 (只证“非空有上界数集必有上确界”)设为非空有上界数集 .当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是的上界,为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见?. 设?.有.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二.“?” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 ( 突出子列抽取技巧 )Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 ( 用对分法 )2(用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” :Th 4 数列收敛是Cauchy列.证 ( 只证充分性 )证明思路 :Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.三. “?” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:证2. 用“有限复盖定理” 证明“区间套定理”: Heine–Borel证采用[3]P72例4的证明.3 闭区间上连续函数性质的证明(4学时)- 8 -《数学分析》教案教学目的: 能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
教学重点难点:基本定理的应用。
一. 有界性:命题1 , 在上.证法一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 , 在上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法二 ]后半段.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理”.命题3 ( 零点定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用确界原理 ). 不妨设.令, 则非空有界, 有上确界. 设,有. 现证 , ( 为此证明且). 取>且. 由在点连续和,,- 9 -《数学分析》教案.于是.由在点连续和,. 因此只能有.证法三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) . 参阅[1]P229—230 [ 证法一 ]证法二 ( 用列紧性 ). 参阅[1]P229—230 [ 证法二 ]习题课(2学时)一(实数基本定理互证举例:例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证设数列递增有上界. 取闭区间 , 使不是的上界, 是的上界. 易见在闭区间内含有数列的无穷多项,而在外仅含有的有限项. 对分, 取使有的性质.…….于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项,.例2 用“确界原理”证明“区间套定理”.证为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 . 设 , .- 10 -《数学分析》教案易见有和. 由，.例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚点, 则对, 存在开区间 , 使在内仅有的有限个点. …… .例4 用“确界原理”证明“聚点原理”.证设为有界无限点集. 构造数集中大于的点有无穷多个. 易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设 .则对,由不是的上界,中大于的点有无穷多个;由是的上界,中大于的点仅有有限个. 于是, 在内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .二. 实数基本定理应用举例:例5 设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果,,则,使.(山东大学研究生入学试题)证法一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )设集合 . 则, 不空 ;,有界 .由确界原理 ,有上确界. 设, 则. 下证.- 11 -《数学分析》教案> 若, 有; 又, 得. 由递增和, 有, 可见. 由, . 于是 , 只能有.> 若, 则存在内的数列, 使?, ;, ?,. 由递增, 以及也存在数列, 就有式对任何成立 . 令, 得于是有.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当或时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为 . 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间 . 依此构造区间套, 对,有. 由区间套定理, , 使对任何,有. 现证. 事实上, 注意到时?和 ?以及递增, 就有.令, 得于是有.- 12 -《数学分析》教案例6 设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,. 试证明: 方程在区间内有实根 . ( 西北师大2001年硕士研究生入学试题 )证构造区间套,使 .由区间套定理, , 使对, 有. 现证 . 事实上, 由在上的递增性和的构造以及?和?,, 有.注意到在点连续，由Heine归并原则, 有,, . 为方程在区间内的实根.例7 试证明: 区间上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间上的全体实数是可列的,即可排成一列:把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. …… .依此得区间套 , 其中区间不含. 由区间套定理, , 使对,- 13 -《数学分析》教案有. 当然有.但对有而, . 矛盾 .第八章不定积分教学要求:1.积分法是微分法的逆运算。
要求学生:深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别;掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。