(完整版)浅谈三角形中位线定理的几种证法
三角形中位线判定定理证明
三角形中位线判定定理证明三角形中位线判定定理是指，如果在一个三角形中，三条中位线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
现在让我们来证明这个定理。
首先，我们知道一个三角形的中位线是连接一个顶点和对边中点的线段。
设三角形ABC的中位线分别为DE, FG和HI，D是BC的中点，E是顶点A到BC的中线上的点，F是AC的中点，G是顶点B到AC的中线上的点，H是AB的中点，I是顶点C到AB的中线上的点。
我们要证明如果DE=FG=HI，那么三角形ABC是等腰三角形。
首先，我们知道中位线DE等于底边BC的一半，中位线FG等于底边AC的一半，中位线HI等于底边AB的一半。
因此，DE=FG=HI意味着BC=AC=AB，即三角形的三条边相等，这就是等腰三角形的定义。
另一种证明方法是利用向量。
假设向量AD=a, DC=b, AF=c,FC=d, AE=e, EB=f。
根据中位线的定义，我们知道D是BC的中点，所以D=(B+C)/2，同理F=(A+C)/2，H=(A+B)/2。
根据向量的加法和数量积的性质，我们可以得出E=(A+B)/2，G=(B+C)/2，I=(A+C)/2。
由于DE=FG=HI，所以E-D=G-F=I-H，即E-D=G-F=I-H=0。
根据向量的性质，我们知道E-D表示向量DE的方向和长度，同理G-F表示向量FG的方向和长度，I-H表示向量HI的方向和长度。
因此，E-D=G-F=I-H=0意味着向量DE, FG和HI的方向和长度相等，即三角形ABC是等腰三角形。
综上所述，根据中位线判定定理的证明过程，我们可以得出结论，如果在一个三角形中，三条中位线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形中位线定理的证明
备课偶得——三角形中位线定理的再证明王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。
关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。
笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。
已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC且证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE∴DE=EF ∴D E ∥BC 且证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF即 ∴DE ∥BC 且图1 BCADE图2BCADEF图3BCAD EFC图4BADEF E ′ 图5BCADE12DE BC =12DE BC =12DE BC =12DE BC =12DE BC =证法四、（相似法）如图5，∵D 、E 分别为AB 、AC 中点 ∴ ∵∠A=∠A∴△AD E ∽△ABC ∴ ∠ADE=∠B ∴DE ∥BC 且证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC 的中点E 为中心，将△ABC 绕点E 旋转180°得△ACF ，取CF 中点G ，连结EG 、DG ，则四边形ABCF 为平行四边形∴AF BC ∵D 、G 分别为AB 、CF 的中点 ∴AD FG ∴四边形ADGF 为平行四边形∴DG AF BC ∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠GCE ∴△ADE ≌△CGE （SAS ）∴∠AED=∠CEG ∴D 、E 、G 在一条直线上 ∴DE ∥BC ∵△ADE ≌△CGE∴DE=EG ∴ ∴DE ∥BC 且证法六、（面积法）如图7，取BC 中点F ，连结AF 、EF ，分别过A 、E 作A H ⊥BC ，EG ⊥BC ，垂足分别为H 、G ，过D 作DM ⊥BC 于M ，则∴ ∵F 为BC 中点 ∴ 同理 ∴DM EG ∴四边形DMGE 为矩形∴DE ∥BC 同理 EF ∥AB ∴四边形DBFE 为平行四边形∴DE=BF ∵ ∴DE ∥BC 且 证法七、（解析法）如图8，以点B 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨设A （a ，b ）C （c ，0）（c ＞0）则，D （ ），E （ ）则DE ∥x 轴，DE= ∵BC=c ∴DE ∥BC 且证法八、（三角法）如图9，取BC 中点F ，连结EF ，设AB=2c ，AC=2b BC=2a ，∠A=α则AD=c ，AE=b ，在△ADE 中，在△ABC 中，图6B CADEFG 图7BCM ADE12AD AE AB AC ==12DEADBC AB ==12DE BC =12DE BC =12DE BC =,ABF ACF AEF CEF S S S S ==14CEF ABCS S =12CF BC =111242CF EG BC AH =⨯12DM AH =12BF CF BC==12DE BC =12EG AH =,22a b,22a cb +222a ca c +-=12DE BC =222222cos 2cos AD AE A bc c b DE AD AE α=+-=+-222222cos 2(2)(2)cos (2)(2)AB AC A c b c b BC ACAB α=+-=+-⨯⨯∴ ∴BC=2DE ∵F 为BC 的中点 ∴DE=BF 同理 EF=BD ∴四边形DBFE 为平行四边形∴DE ∥BF 即DE ∥BC 且图9BCAD EF 224(2cos )bc c b α=+-224BC DE =12DE BC =。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法，则，，使，连结CF法1：如图所示，延长中位线DE至F DFFCBCFD 是平行四边形，BD，则四边形BC有ADFC，所以。
因为1DE，所以．BC 2，有F，则作FC交DE的延长线于法2C因为，DFBC。
为平行四边形，AD，那么BDFC ，则四边形BCFD1．所以DEBC 2，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF至法3：如图所示，延长DEF，使BD，那么四边形BCFDCFAD，所以FC为平行四边形，为平行四边形，有1BC．DE，所以BCDF 。
因为2法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都CENAEM 1。
DEDE∥BC，即DE=AM=NC=BN为平行四边形，所以，BC2法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？A BEDC图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?AEDBC图⑵：,上时A的顶点运动到直线BC说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的BC 中位线DE也运动到如果教师直接叫学.两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
2第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。
三角形中位线定理及推论
三角形中位线定理及推论一、三角形中位线定理三角形中位线定理是指在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段称为中位线，三条中位线交于一点，且该点与三个顶点的距离相等。
具体表述为：三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等。
以三角形ABC为例，连接顶点A与边BC的中点D，顶点B与边AC 的中点E，顶点C与边AB的中点F，根据中位线定理可知，中位线AD、BE和CF三条线段交于一点G，并且AG=BG=CG。
中位线定理的证明可以通过向量法或平面几何法进行，这里我们选择平面几何法证明。
证明思路如下：1. 连接顶点A与边BC的中点D，假设点G是中位线AD与中位线BE 的交点；2. 连接顶点B与边AC的中点E；3. 通过顶点C以平行于边AB的直线与中位线AD交于点H；4. 由平行线的性质可知，AH=CH；5. 进一步，由三角形的对应边成比例可得：AH/AD=CH/CF；6. 由于AH=CH，所以AD=CF；7. 同样地，由中位线定理可得：BE=CF；8. 综上所述，AD=BE=CF，即证明了中位线定理。
二、三角形中位线推论基于中位线定理，我们可以得出一些有关三角形的推论。
1. 三角形中位线长度关系推论根据中位线定理，三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等，即AG=BG=CG。
由此可得，中位线上的点距离顶点的距离是相等的。
进一步推论，三角形中位线的长度满足以下关系：AG=2GD，BG=2GE，CG=2GF。
2. 三角形中位线与三角形面积推论由三角形中位线定理可知，三条中位线交于一点G。
以G为顶点，三边中点分别为D、E、F，连接DG、EG和FG。
我们可以发现，连接G与三角形顶点的线段将三角形分成了六个小三角形，而这些小三角形的面积相等。
因此，我们可以推论得到：三角形中位线所分割的三个小三角形的面积相等。
3. 三角形中位线与三角形高度推论在三角形中，如果我们将中位线作为底边，那么与之对应的高度就是顶点到底边中点的距离。
三角形中位线定理的证明与应用
三角形中位线定理的证明与应用三角形中位线定理是初中数学中的重要定理，也是几何学中的基本概念之一。
本文将通过证明与应用，来深入解析三角形中位线定理的原理和意义。
一、三角形中位线定理的证明三角形中位线定理是指在任意三角形ABC中，连接三个顶点A、B、C处的中点形成的三条线段AD、BE、CF，它们两两平行且长度相等。
为了证明这个定理，我们可以利用向量和线段相等的性质进行推导。
假设三角形ABC的顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），中点分别为D（x4,y4）、E（x5,y5）、F（x6,y6）。
可以得到以下向量关系式：AB = AO + OB = (x2 - x1, y2 - y1) + (x2, y2)BC = BO + OC = (x3 - x2, y3 - y2) + (x3, y3)AC = AO + OC = (x3 - x1, y3 - y1) + (x3, y3)根据中点的定义，可以得到：D = (A + B) / 2 = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2E = (B + C) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2F = (A + C) / 2 = (x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2利用向量的加减法，可以计算得到：AD = D - A = [(x1 + x2) / 2 - x1, (y1 + y2) / 2 - y1]BE = E - B = [(x2 + x3) / 2 - x2, (y2 + y3) / 2 - y2]CF = F - C = [(x1 + x3) / 2 - x3, (y1 + y3) / 2 - y3]将上述结果代入，得到：AD = [(-x1 + x2) / 2, (-y1 + y2) / 2]BE = [(-x2 + x3) / 2, (-y2 + y3) / 2]CF = [(x1 - x3) / 2, (y1 - y3) / 2]可以观察到AD、BE、CF的x方向和y方向的分量相等，即它们的长度相等。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方【最新】
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法2： 如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FCBD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线B C 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
中位线定理怎么证明
中位线定理怎么证明
中位线可以通过测量的手段而得知，也就是通过测量证明中位线。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，两线平行且等于第二边的一半。
若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。
三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一，三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一。
中位线的其他知识
要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
三角形中线是连接一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连接三
角形两边中点的线段。
梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连接两底中点的线段。
两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
证明三角形中位线的方法
证明三角形中位线的方法1. 引言三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在研究三角形的性质时，中位线是一个重要的概念。
本文将介绍证明三角形中位线的方法，并详细讨论其性质和应用。
2. 什么是中位线？在一个三角形ABC中，连接任意两个顶点的中点，并将它们连成一条直线，这条直线就被称为该三角形的中位线。
具体来说，如果连接AB和CD两个顶点的中点E，并将其连成一条直线，则DE就是三角形ABC的一条中位线。
3. 中位线的性质性质1：三条中位线交于一点在任意一个三角形ABC中，连接任意两个顶点的中点，并将它们连成一条直线，这条直线被称为该三角形的一条中位线。
而对于这个三角形来说，所有的三条中位线都会交于同一个点，这个点被称为重心。
证明：我们可以通过向量法来证明这个性质。
假设D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点。
首先我们需要证明EF与BC平行。
由于D是BC的中点，所以有向量BD = -DC。
同理，由于E是AC的中点，所以有向量AE = -EC。
将这两个向量相加得到向量BD + AE = -DC - EC = -DE。
根据向量的加法规则，我们可以得到EF = DE。
同样地，我们可以证明FD与AC平行（通过使用向量AF和-FA）以及DE与AB平行（通过使用向量BD和-DB）。
EF、FD和DE都与三条边平行。
由于EF与BC平行且等于BC的一半，所以EF也等于BC的一半。
同样地，FD和DE 也分别等于AC和AB的一半。
我们可以得出结论：三条中位线交于同一个点，并且这个点将每条中位线分成两段，其中一段等于另外两条边的一半。
这个点就是三角形ABC的重心。
性质2：重心到顶点的距离比为2:1在任意一个三角形ABC中，连接重心G和顶点A，并将它们连成一条直线。
同样地，连接重心G和顶点B、C，并将它们连成直线。
我们可以发现，在每条直线上，从重心到顶点的距离恰好是从重心到另外两个顶点距离之和的两倍。
证明：假设重心G将中位线BC分成两段，其中一段为x，另一段为y。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。
需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。
三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。
常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。
可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。
第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。
第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。
中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。
中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。
四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。
不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。
三角形中位线定理和证明方法
三角形中位线定理和证明方法
三角形中位线定理是三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
下面整理了三角形中位线定理和证明方法，供大家参考。
三角形中位线定理及证明
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE 平行于BC且等于BC/2
过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）
∴△ADE≌△CGE （A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立
逆定理
逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
三角形中位线的三种证明方法
三角形中位线的三种证明方法一、定理：在三角形中，任意一个顶点都可以得到一条位线。
证明：（1）几何证明设三角形ABC的三条边分别是a,b,c以A点为例，在AB边上任取点D，令AD=x，DB=y∵AD/DB=AB/BC∴x/y=a/c设AD延伸出点P，令AP=z则△APD与△ABC具有相同的底边和高，即c=z∴△APD∽△ABC∴BD/DC=z/x∴y/x=z/a故x/y=a/c且y/x=z/a故x/y=(a/c)*(z/a)故x/y=(az)/(ca)故az=cy令F为BC边上任一点，令AF=u，CF=v则△AFD与△ABC具有相同的底边和高，即a=u ∴△AFD∽△ABC∴DF/FC=u/v故y/v=u/c故y/v=(u/c)*(z/a)故y/v=(uz)/(ca)故uz=cy联立az=cy 且 uz=cy，得a/u=z/c联立x/y=a/c且y/v=u/c，得x/v=(a/u)*(z/c)故x/v=(az)/(uc)令Q为AC边上任一点，令AQ=s，CQ=t则△AQD与△ABC具有相同的底边和高，即b=s ∴△AQD∽△ABC∴DQ/QC=s/t故y/t=s/c故y/t=(s/c)*(z/a)故y/t=(sz)/(ca)故sz=cy联立uz=cy 且 sz=cy，得u/s=z/c联立x/v=a/u且y/t=s/c，得x/t=(a/s)*(z/c)故x/t=(az)/(sc)∴∵az=cy、uz=cy、sz=cy，得az=uz=sz∴BC边上任取一点，连接这一点与A点构成一条位线。
即在三角形ABC中，A点得到一条位线。
由以上所述，当任取一个顶点时，可以得到一条位线。
三角形中位线证明6种方法
三角形中位线证明6种方法以下是6种证明三角形中位线的方法：方法1：套用中线定理根据中线定理，三角形中位线所构成的三角形，面积是原来三角形的1/4，因此中位线的长度为(1/2)其所对应的边长。
因此，对于三角形ABC，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。
我们可以用勾股定理证明这些相等关系，从而证明三角形的中位线。
方法2：利用向量根据向量的性质，若d、e、f分别为v1、v2、v3的中点，则三角形DEF的质心G=v1+v2+v3。
因此，若d、e、f分别为向量a、b、c的中点，则三角形DEF的质心为G=(a+b+c)/3。
因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。
可以使用向量的加减和数量积证明这些相等关系。
方法3：利用勾股定理根据勾股定理，若a、b、c分别为三角形ABC的边长，则a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。
因此，若D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则DE=1/2AC=sqrt[(b^2+c^2)/4]-bc*cosA/2。
同样地，EF=1/2AB=sqrt[(c^2+a^2)/4]-ca*cosB/2，FD=1/2BC=sqrt[(a^2+b^2)/4]-ab*cosC/2。
根据余弦定理，可以证明这些相等关系。
方法4：利用相似三角形根据相似三角形的性质，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则三角形DEF与三角形ABC相似。
因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。
可以使用相似三角形的性质证明这些相等关系。
方法5：利用三角形面积公式根据三角形面积公式，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则S(DEF)=1/4S(ABC)，其中S表示面积。
因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。
可以使用三角形面积公式证明这些相等关系。
方法6：利用垂直平分线根据垂直平分线的性质，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则AD、BE、CF相互垂直。
三角形的中位线与反证法核心考点讲八年级数学下学期考试满分全攻略浙教版解析版
第11讲三角形的中位线与反证法（核心考点讲与练）一．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE＝BC．二．反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．一．三角形中位线定理（共8小题）1．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB 的中点，则DE的长是（）A．6.5B．6C．5.5D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC＝＝＝12，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE＝BC＝6，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2．（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3B．2C．4D．2【分析】连接DN、DB，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理得到EF＝DN，结合图形解答即可．【解答】解：连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，∴EF长度的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．3．（2021春•温州期末）如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE．测得DE的长为6米，则B，C两地相距（）A．9米B．10米C．11米D．12米【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝2×6＝12（米），故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．（2021秋•丽水期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．（1）求立柱OC的高度；（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．【分析】（1）根据三角形中位线定理求出OC；（2）根据AD的长度求出OC的长度，得到答案．【解答】解：（1）由题意得：OC∥AD，∵点C为AB的中点，∴OC为△ABD的中位线，∴OC＝AD，∵AD＝1米，∴OC＝米；（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．当AD＝1.25米时，OC＝0.625米，所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5．（2021春•北仑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F 分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（）A．PE＝PF B．∠EPF＝120°C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB【分析】根据三角形中位线定理及AD＝BC推出PF＝PE，可判断A；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断B；根据三角形三边关系可判断C．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故选项A不合题意；故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠EPF＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故选项B不符合题意；∵PF＝BC，PE＝AD，PE+PF＞EF，∴BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，故选项C不符合题意；无法证明AB+CD＞DB，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形中位线定理推出PE＝PF是解决问题的关键．6．（2021春•鄞州区期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC 的中点，点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（）A．B．3C．D．5【分析】首先由勾股定理求得AC的长度，结合直角三角形斜边上中线的性质得到BM＝AC，三角形中位线定理得到CD＝2MN．【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，则由勾股定理知，AC＝＝＝10．∵点N是AD边的中点，∴BM＝AC＝5．∵BM＝3MN，∴MN＝BM＝．∵点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，∴MN是△ACD的中位线．∵CD＝2MN＝2×＝．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7．（2021•梓潼县模拟）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．12B．11C．10D．9【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：如图，延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝8，BN＝ND，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD 的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二．反证法（共6小题）9．（2021秋•平阳县期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（）A．三个角都小于60°B．三个角都大于60°C．三个角都大于或等于60°D．有两个角大于60°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设三个角都大于60°，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10．（2021春•乐清市期末）用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设（）A．a⊥c B．c不平行b C．a不平行b D．a不平行c【分析】反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，即结论的反面成立．【解答】解：用反证法证明命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”时，应假设a不平行于c．故选：D．【点评】本题考查了反证法的知识，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．11．（2021春•南浔区期末）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（）A．a＜0B．a≠0C．a≥0D．a≤0【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，故选：D．【点评】考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”12．（2017秋•庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≥PC．把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，∵PB≥PC，PB＝CD，∴CD≥PC，∴∠CPD≥∠CDP，又∵AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP，∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，又∵∠APB＝∠ADC，∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，∴PB≥PC不成立，综上所述，得：PB＜PC．【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．13．（2015春•萧山区期末）证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从而证明原命题正确．【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．14．（2013春•滨江区期中）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．题组A 基础过关练一．选择题（共11小题）1．（2021•太谷区校级开学）如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：7【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC＝BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ＝CF，即可求得答案．【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，∴∠EDB＝∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP＝BP，∵在△DEP与△BFP中，，∴△DEP≌△BFP（ASA），分层提分∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，∴FC＝BC，PQ是△EFC中位线，PQ＝FC，∴PQ：BC＝1：4．故选：A．【点评】此题考查学生对三角形中位线定理的理解与掌握，连接DE，连接并延长EP交BC于点F，求出△DEP≌△BFP，FC＝BC，是解答此题的关键．2．（2021春•上城区校级期末）用反证法证明“a＞b”时应假设（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可．【解答】解：用反证法证明“a＞b”时第一步应假设：a≤b．故选：D．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（）A．4B．2C．3D．4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，∴AB＝2DF＝6，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝3，∴BF＝＝＝3．故选：C．【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2021春•上城区期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案．【解答】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．故选：A．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5．（2018春•永嘉县期末）用反证法证明“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a ∥b”．时，第一步应先假设（）A．a不平行于b B．c不平行于b C．a不垂直于c D．b不垂直于c【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．【解答】解：原命题“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，用反证法时应假设结论不成立，即假设a与b不平行（或a与b相交）．故选：A．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．6．（2021•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝1，则EF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论．【解答】解：连接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1，∴AC＝＝，∵AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝AC＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2021春•婺城区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（）A．2.5B．1.5C．4D．5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．（2020春•鄞州区期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．C．D．【分析】证明△AGF≌△ACF，根据全等三角形的性质得到AG＝AC＝3，GF＝FC，求出GB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD是∠BAC平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）∴AG＝AC＝3，GF＝FC，∴GB＝AB﹣AG＝1，∵CF＝FG，CE＝EB，∴EF是△CGB的中位线，∴EF＝GB＝，故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．9．（2021春•温州期末）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b，故选：B．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10．（2021春•杭州期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（）A．四边形的四个角都是直角B．四边形的四个角都是锐角C．四边形的四个角都是钝角D．四边形的四个角都是钝角或直角【分析】根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设四边形的四个角都是锐角，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．11．（2021春•成都月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（）A．两锐角都大于45°B．有一个锐角小于45°C．有一个锐角大于45°D．两锐角都小于45°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，故选：A．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．二．填空题（共6小题）12．（2021春•永嘉县校级期末）用反证法证明命题“如果a＞b，那么”时，假设的内容是＜或＝．【分析】用反证法证明数学命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设它的否定“＜或＝”．【解答】解：由于命题“＞”的否定为“或”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设＜或＝，故答案为：＜或＝．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“＞”的否定为“＜或＝”，是解题的关键．13．（2021春•饶平县校级期末）如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是30cm．【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵△DEF的周长是15，∴DE+DF+EF＝15，∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），故答案为：30．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（2021春•红寺堡区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝3厘米．【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝AC，OB＝BD，结合AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC、BD的中点，∵AC+BD＝24厘米，∴OB+0A＝12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝18﹣12＝6厘米，∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴AB＝2EF，∴EF＝6÷2＝3厘米，故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．15．（2020春•衢州期末）如图，为测得B，C两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE，测得DE＝15米，则BC＝30米．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝30（米），故答案为：30．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．16．（2021春•灞桥区校级月考）用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步这个三角形是等腰三角形．【分析】假设命题的结论不成立，推出矛盾即可．【解答】解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形．故答案为这个三角形是等腰三角形．【点评】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．17．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为38．【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，∴DE＝2MN＝6，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝22，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，故答案为：38．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．三．解答题（共5小题）18．（2012春•杭州期中）在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求证：∠A≠30°．【分析】首先假设结论不成立，即∠A＝30°，利用勾股定理逆定理得出∠C＝90°，进而得出矛盾，从而得出结论成立，即∠A≠30°．【解答】证明：假设结论不成立，即∠A＝30°，∵，∴△ABC是Rt△，且∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴，这与BC＝1矛盾，∴假设不成立，∴结论成立，即∠A≠30°．【点评】此题主要考查了反证法的证明，利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．19．（2009春•杭州校级期中）用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以l1与l2不平行．【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1∥l2，根据平行线的性质，可得∠1+∠2＝180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2不平行．【解答】证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设_不成立．所以结论成立，l1与l2不平行．【点评】反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．20．（2019春•拱墅区期末）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是1上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中不会随点P的移动而变化的是①③④【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是1上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【解答】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故答案为：①③④．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．21．（2013秋•江山市校级月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别为AD与BC的中点，连接EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M．求证：∠BNF＝∠CMF．【分析】连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK，则EK、FK分别是△ACD和△ABC的中位线，根据平行线的性质定理即可证明．【解答】证明：连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK∵AE＝ED，AK＝KC∴EK∥DC，．同理FK∥AB，∴．∴∠FEK＝∠EFK∵EK∥DC∴∠CMF＝∠FEK∵FK∥AB∴∠BNF＝∠EFK∴∠BNF＝∠CMF【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．22．（2021春•仙居县期末）证明三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）【分析】根据题意画出图形，写出已知、求证，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，证明四边形ADCF是平行四边形，进而得到四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的在、性质定理证明即可．【解答】解：已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，求证：DE∥BC，DE＝BC，证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AD，CF＝AD，∴CF∥BD，CF＝BD，∴四边形BDFC是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∵DE＝DF，∴DE∥BC，DE＝BC．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，正确作出辅助性是解题的关键．题组B 能力提升练一．选择题（共6小题）1．（2021•宁波一模）如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故选：A．【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．2．（2021•奉化区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD ＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．3【分析】延长BC到E使BE＝AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM＝DE＝AB，根据跟勾股定理得到AB＝＝＝5，于是得到结论．【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，解法二：延长CM交AD于T．。
中位线的证明方法
中位线的证明方法
中位线，是指连接一个三角形的一个顶点与对边中点的线段，即将一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段。
中位线有许多重要的性质和应用，其中之一就是可以证明中位线的长度相等。
要证明中位线的长度相等，可以使用反证法。
假设存在一个三角形ABC，其中位线AD的长度不等于BE的长度。
我们假设AD的长度大于BE的长度，即AD > BE。
由于AD是AC 的中位线，所以AD = 1/2 * AC；类似地，BE是BC的中位线，所以BE = 1/2 * BC。
由于AD > BE，所以1/2 * AC > 1/2 * BC，即AC > BC。
接下来，我们将证明AC > BC导致矛盾。
根据三角形的性质，三角形的两边之和大于第三边，即AC + BC > AB。
由于AC > BC，所以AC + BC > AB。
但是，根据三角形ABC的定义，AC是AB的一条边，BC是AB的另一条边，所以AC + BC = AB。
因此，AB > AB，这是不可能的。
因此，我们得出结论，假设AD的长度大于BE的长度是错误的。
同样的推理，假设AD的长度小于BE的长度也是错误的。
所以，中位线AD的长度必然等于BE的长度。
中位线长度相等的证明方法有多种，上面只是其中一种常用的方法。
通过使用反证法，我们可以证明中位线的长度相等，这对于解决一些与中位线相关的问题是非常有帮助的。
中位线不仅仅是一个三角形的一条线段，它还具有许多重要的性质和应用，可以在几何学和实际生活中发挥重要作用。
三角形中位线证明方法
三角形中位线证明方法
三角形中位线的证明可以从以下几个方面进行：
1.利用向量法证明：可以利用向量表示三角形的中位线并计算其长度和角度，最终证明中位线相等。
2. 利用数学归纳法证明：首先证明在直角三角形中，中位线相等，假设三角形ABC的中位线DE相等，再证明当三角形ABC任意一边增加一小段时，中位线DE也相应增加一小段，从而证明中位线DE在三角形ABC中任意一边上都相等。
3. 利用勾股定理证明：首先利用勾股定理得出三角形中各个角的余弦值，接着利用中位线将三角形划分成两个小三角形，利用余弦定理证明两个小三角形的对应边长和夹角相等，从而证明中位线相等。
4. 利用相似三角形证明：利用中位线将三角形划分成两个小三角形，证明这两个小三角形与原三角形相似，从而证明中位线相等。
以上几种证明方法都可以用于证明三角形中位线相等的结论，根据具体情况可以灵活运用。
小议三角形中位线定理的几种证明方法
小议三角形中位线定理的几种证明方法三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习三角形有关知识非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下一节梯形的中位线定理的证明作好充分的理论上的准备。
对这一定理的证明有多种方法，现介绍几种。
之所以要介绍这几种方法，是因为：第一，证明定理是帮助学生掌握知识体系的重要环节；第二，这个定理的证明综合运用了前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等重要知识，又提示了某些辅助线的添置方法；第三，证题时，强化了思维过程的教学，培养了求异思维，有益于开发学生的智力。
同时，启发学生用不同的方法来证明三角形中位线定理，还可以培养学生发散性思维。
下面就介绍三角形中位线定理的几种证明方法：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
已知：如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点求证：⑴DE∥BC⑵DE=BC证明方法1：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BDAE=CE∴==∵∠DAE=∠BAC∴△ADE～△ABC∴∠ADE=∠ABC ==∴DE∥BCDE=BC[小结]利用相似三角形的判定和性质，有时会收到异想不到的效果。
证明方法2：延长DE至F，使EF=DE，连接CF∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF∴△ADE≌△CEF∴AD=CF，∠ADE=∠CFE，∵AD=BD，∴CF=BD∵∠ADE=∠CFE∴AB∥CF∴CF=BD，CF∥BD∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC∵DE=EF=DF,∴DE=BC，DE∥BC[小结] 用延长相等线段的方法构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质。
证明方法3：（同第二种方法的图）过点C作CF∥AB，与DE的延长线相交于点F∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴CF=AD∵AD=BD，∴CF=BD，∵CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形（以下证法与方法2相同）[小结] 作平行线的方法构造全等三角形，利用全等三角形、平行四边形的判定和性质。
中位线定理不同证明方法
中位线定理不同证明方法中位线定理，又称中线定理，是几何中的一个基本定理。
它指出，在一个三角形中，三条中线交于一点，这个交点被称为三角形的质心。
中位线定理的证明有多种方法，下面我将介绍其中的一些方法。
一、初级证明方法在这个证明方法中，我们将使用简单的几何知识来证明中位线定理。
让我们回顾一下中位线的定义。
中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
根据中位线的定义，我们可以得出结论：三条中位线交于一点。
为了方便说明，我们设这个三角形的三个顶点为A、B、C，对边分别为BC、CA和AB。
设M是BC的中点，N是CA的中点，P是AB的中点。
根据中位线的定义，线段AM是连接顶点A和对边BC的中点M的线段。
现在我们来证明中位线AM和BN的交点在CP上。
设交点为D。
根据三角形中位线的性质，AD和BC互相平分。
我们可以得出以下结论：AM = MD 和 BN = ND。
然后我们来看三角形ADM和三角形BND。
根据两个三角形的边长比较，我们可以得出：AD = ND 和 AM = MD。
根据边边边相似的性质，我们可以得出结论：三角形ADM和三角形BND全等。
根据全等三角形的性质，我们可以得出：∠DMA = ∠DNB。
因为∠DMA是三角形ADC的外角，所以∠DMA = ∠ADC + ∠ACD =∠ANB + ∠ACD。
同样的道理，∠DNB = ∠ANB + ∠BCD。
我们可以得出结论：∠ANB + ∠ACD = ∠ANB + ∠BCD。
根据等式两边相等的性质，我们可以得出：∠ACD = ∠BCD。
我们可以得出结论：CD || AB。
根据平行线的性质，我们可以得出：∠BDC = ∠ACB。
因为∠BDC是三角形BDC的内角，所以∠BDC + ∠BCD = 180°。
代入之前的等式，我们可以得出：∠ACB + ∠BCD = 180°。
我们可以得出结论：∠ACB+ ∠BCD = 180°。
根据三角形内角和的性质，我们可以得出：∠ACB + ∠BCA + ∠ABC = 180°。
三角形中位线所有证法
三角形中位线所有证法三角形中位线的故事，嘿，真的是个有趣的东西！大家知道，三角形就像是几何的明星，个个都有自己的性格。
而中位线，哎呀，就是那些把三角形一分为二的小精灵！中位线从一个顶点出发，连接到对边的中点，听上去简单，但它背后可藏着不少秘密哦。
想象一下，咱们在一块画布上，用笔划出三角形，哎，这个中位线就像是画布上闪闪发光的小河，流淌着无尽的智慧和美丽。
先说说第一个证法，三角形中位线的长度，嘿嘿，它可是很有意思的！设想你有一个三角形，叫做ABC。
你知道吗？中位线连接A点和对边的中点，长度居然是BC边长度的一半！这就像是把一块美味的蛋糕切成两半，吃起来更爽快。
我们可以用坐标来证明它，简单来说，把顶点A、B、C的坐标代进去，计算一下，不一会儿就能看出这中位线的长度真是巧妙得让人赞叹。
哎，几何真的像是在解开一个个小谜团，带给我们无尽的乐趣。
再来看看第二个证法，中位线的平行特性。
嘿，你有没有发现，三角形的中位线总是平行于对边？这就像在高空中飞翔的鸟儿，优雅而自由。
想象一下，如果把ABC三角形的中位线延长，哦，简直就像是在编织一条华丽的丝带，飘荡在空中。
我们可以借助平行线的性质，来证明这个特性。
用相似三角形的角度法，轻轻松松地推导出中位线与对边之间的关系。
哎，这种逻辑感真让人心里乐开了花！还有一个证法，就是中位线的重心特性。
每个三角形都有自己的重心，嘿嘿，真是个神奇的地方！重心就像是三角形的“家”，把每个角都拉到了一起。
中位线的交点正好是三角形的重心，真是太有趣了！试想一下，你的三角形就像个大家庭，孩子们在玩耍，重心就是家长，时刻关注着每一个角落。
利用重心的定义，我们可以轻松地得出这个结论，想想那种满足感，简直像是找到了一块隐藏的宝藏。
此外，中位线的中点性质也很迷人哦！中位线上的点，真的是个神奇的地方。
无论我们从哪个顶点出发，中位线的中点总是能让人惊叹，真的是个绝妙的连接点。
这种中点的存在，仿佛是宇宙在默默告诉我们，所有的美好都是相互连接的。
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浅谈三角形中位线定理的几种证法康园中学校 张瑜摘要：华师大数学九年级上册第23章中，学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证明方法我与学生进行了深入地研究，总结了十种类型的方法，下面将三角形中位线定理的这些证法与大家共同分享。
共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。
关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
如图，已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点。
求证：DE ‖BC ，DE=21BC 。
一、类型一：动手操作法方法1：度量法华师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的，七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能力（即学生的动手操作和简单的说理验证），八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力（即严格地利用定理进行证明）。
因此运用合情推理，可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。
首先用直尺分别量出DE 、BC 的长，看是否满足DE=21BC ，再用量角器分别量出∠ADE 和∠B 的度数，看是否相等，从而判断是否平行。
二、类型一：相似法方法2：相似法一根据AD=21AB ，AE=21AC ，∠DAE=∠BAC ，从而得到△ADE ∽△ABC 。
于是∠ADE=∠ABC ，DE:BC=AD:AB=1:2。
轻松得到DE ‖BC ，DE=21BC 。
方法3：相似法二过点D 作DF ⊥AC 于F ，过点B 作BG ⊥AC 于G ，则DF//BG ，于是△ADF ∽△ABG ，得到DF=21BG ，AF=FG 。
因为AE=EC ，所以FE=21GC 。
根据DF:BG=FE:GC ，∠DFE=∠BGC=900，得到△DFE ∽△BGC ，从而命题得证。
ABCD E A BC D E FG ADEB C F A DEB CFAD E BC G FADE BC 方法2方法3方法4 方法5方法6三、类型三：倍长法方法4：中位线倍长法一：这是常用的方法，也是北师大教材中使用的方法。
延长DE 至F ，使EF=DE ，连接FC ，则△ADE ≌△FEC ，则AD//FC 且AD=FC ，所以BD//FC 且BD=FC ，则四边形DBCF 是平行四边形。
因DE=21DF ，则DE ‖BC ，DE=21BC 。
方法5：中位线倍长法二：延长DE 至F ，使EF=DE ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，易知四边形BCFD 为平行四边形，从而命题得证。
方法6：中线倍长法：连接BE ，延长BE 至G ，使EG=BE ，连接CG ，延长DE ，交CG 于F ，则△ABE ≌△CGE ，得到AD//FC 易证四边形DBCF 是平行四边形，从而命题得证。
四、类型四：平行法方法7：外部平行一边法：过C 作CF//AB ，交DE 的延长线于F ， 易证△ADE ≌△CFE ，得到DE=EF ，AD=CF. 从而四边形BCFD 是平行四边形， 从而命题得证。
方法8：外部平行底边法过A 作AF//BC ，取BC 中点为G ，连接GD ，延长GD ，交AF 于F ，则△ADF ≌△BDG ，FD=DG ，AF=BG ，则AF=GC ，则四边形AFGC 是平行四边形，于是DG ‖AC ，DG=AC ，则四边形DGCE 是平行四边形，DE//BC ，DE=GC ，从而命题得证。
方法9：外部平行中位线法过A 作AF//DE ，AF=DE ，连接FE ，延长FE ，交BC 于点G ，则四边形AFED 是平行四边形，FG//AB ，从而得到BG=CG ，△AEF ≌△CEG ，则BG=AF=DE=GC ，FE=EG=AD=DB ，则四边形BGED 是平行四边形，从而命题得证。
方法10：内部平行一边法过E 作EF//AB ，交BC 于F ，则△CEF ∽△CAB ，得到BF=FC ，EF=21AB=AD ，∠A=∠FEC ，利用“SAS ”可以证明△ADE ≌△EFC ，得到DE=FC ，∠AED=∠C ，从而命题得证。
五、类型五：作高法FADE B CF AD E G BC FADEGBCFADEBC 方法7方法8方法9 方法10方法11：作底边高法此法是所有方法中最为巧妙也是最为经典的方法。
其思路主要是对于初中阶段所学知识的综合运用。
首先回顾与中点有关的知识点——（1、全等；2、垂直平分线；3、等腰三角形三线合一；4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
）这时联想到第4个知识点中点但没有直角三角形，就必须构造出来，于是就要作高。
过A 作AF ⊥BC 于F ，连接DF ，EF 。
得到FD=BD=DA ；FE=AE=EC 。
利用“SSS ”证明△ADE ≌△FDE ，得到∠ADE=∠FDE ，再运用三线合一得到AF ⊥DE ，再分别作DM ⊥BC 于F ，EN ⊥BC 于N ，于是四边形DMFG 、ENFG 、DMNE 均为矩形，从而命题得证。
方法12：作中位线高法分别过点A 、B 、C 向中位线作垂线，垂足分别为F 、M 、N 。
易知△ADF ≌△BDM ，△AEF ≌△CEN ，则MD=DF ，NE=EF ，MN=2DE ，MB//NC ，MB=NC ，得到四边形MBCN 为矩形，从而命题得证。
七、类型七：构造法方法13：构造矩形法过点D 作DF ⊥BC 于F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ，过A 作MN//BC ，分别与FD 、GE 的延长线交于M 、N 。
则四边形MFGN 为矩形，△MDA ≌△FDB ，△NEA ≌△GEC ，于是MN=FG ，MD=DF=NE=EG ，得到四边形DFGE 为矩形，从而命题得证。
方法14：构造平行四边形法一过点D 、E 作DF//EG ，分别交BC 于F 、G ，过点A 作MN//EG ，分别与FD 、GE 的延长线交于M 、N 。
则四边形MFGN 为平行四边形，与构造矩形法相同原理，从而命题得证。
方法15：构造平行四边形法二过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连接CF ，延长DE ，交CF 于G ，则四边形ABCF 为平行四边形，AB//FC 。
得到△ADE ≌△CGE ，于是CG=AD=DB ，则四边形BCGD 为平行四边形，从而命题得证。
八、类型八：旋转法方法16：旋转法一因AE=EC ，故可将△ADE 绕点E 顺时针旋转1800至△CFE 。
则△ADE ≌△FEC ，AD//FC ，AD=FC ，则BD//FC 且BD=FC ，则四边形DBCF 是平行四边形。
由DE=21DF ，所以DE ‖BC ，DE=21BC 。
G NA BC DEM FNA BC DEM N A BC D E M NA B C D E M F A DEBCG方法11 方法12方法13方法14FADEB C方法15GFADEBC F A DEB C G方法17：旋转法二因AE=EC ，故可将△ABC 绕点E 顺时针旋转1800至△CFA 。
可得到四边形DBCG 是平行四边形，从而命题得证。
方法18：旋转法三连接BE ，因AE=EC ，故可将△ABE 绕点E 顺时针旋转1800至△CGE ，则△ADE ≌△CFE ，△BDE ≌△GFE ，于是BD//FC ，BD=FC ，可得到四边形DBCF 是平行四边形，从而命题得证。
九、类型九：同一法 方法19：同一法过点D 作DF//BC ，交AC 于F ，△ADF ∽△ABC ，得到AF=21AC 。
由已知条件中AE=EC ，能够推出F 与E 为同一个点，从而命题得证。
十、类型十：反证法方法20：反证法一假设DE 与BC 不平行，设DE 与BC 交于点F 。
过点C 作CG//BD ，交DF 于G ，则△FGC ∽△FDB ，得到GC ：DB= FG ：FD ≠1，即GC ≠DB 。
根据CG//BD 可知，△CEG ≌△AED ，则GC=AD=DB ，这与GC ≠DB相矛盾，从而命题中的DE//BC 得证。
再根据DE//BC 很容易证明DE=21BC 。
初中数学中的几何变换包括：平移、旋转、轴对称。
我把这些方法分成了十种不同的类型，其中运用这三种变换都能达到证明的目的。
因为有中点，所以倍长法与作高法和构造法都能构造全等三角形，并且还能自动生成对顶角，平行法相当于就是把线段进行平移，也能构造全等三角形，并生成对顶角，因此平行法、倍长法与作高法和构造法都可以转化为旋转，从而顺利地寻找到证明思路与方法。
这些辅助线的作法能互相转化的关键之处就在AE=EC ，且A 、E 、C 在同一条直线上。
我们应该认真研究初中数学几何知识，发现其本质与联系，就能对几何证明达到融会贯通、运用自如的地步。
要让学生对几何证明进行全方位地探求，抓住问题的全貌以及与问题相关的其他因素，进行多角度、多层次的思考与研究，唯有这样，我们才能使学生的思路更加宽广，思维更加灵活，培养出具有创造性思维能力的学生。
方法16方法18方法19F A D EB C 方法19 FA D EBC G 方法20。