有理数的定义及其分类

年 级 初一

学科

数学

内容标题 有理数的定义及其分类 编稿老师

巩建兵

一、学习目标：

1. 知道正数与负数是由于实际需要产生的.

2. 会判断一个数是正数还是负数，能用正.负数表示相反意义的量.

3. 知道0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点.

4. 能说出整数与分数的概念，知道整数和分数统称为有理数.对于给出的有理数，会正确地进行分类.

5. 体会数学符号与对应的思想，掌握用正.负数表示具有相反意义的量的符号化方法.

二、重点.难点：

重点：知道什么是正数和负数，什么是有理数，理解数0表示的量的意义. 难点：理解负数.数0表示的量的意义.

三、考点分析：

本讲课程涉及两个考点，一是会用正数和负数表示具有相反意义的量，二是理解有理数的意义和分类.第一个考点出现的可能性更大.这两个考点通常以选择题或填空题的形式出现，大约占2分至3分.

1. 数的产生和发展：由记数.排序产生数1.

2.

3.…，由表示“没有”“空位”产生数0，

由分物.测量产生分数12.1

3

.….

2. 如图所示：

像10.8844.2303这样大于0的数叫做正数，像－10.－155.－11034这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数.

有时在正数前面也加上“＋”（正）号，一个数前面的“＋”“－”叫做它的符号.

3. 数0既不是正数，也不是负数.

4. 正整数.0.负整数.正分数.负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数.

5. 有理数的分类：

有理数

整数

正整数

零负整数

分数

正分数负分数

有理数

正有理数负有理数

负整数负分数

零正整数正分数(1)(2)

知识点一：正.负数的意义

例1：如果规定前进.收入为正，亏损.公元前为负，那么下列语句错误的是（ ） A . 前进－18m 的意义是后退18m B . 收入－4万元的意义是亏损4万元 C . 盈利的相反意义是亏损

D . 公元－300年的意义是公元后300年 思路分析：

题意分析：本题涉及到的知识点是相反意义的量，而相反意义的量是成对出现的. 解题思路：正.负数仅是为了用来区分具有相反意义的量，哪种意义为正或负，是可以任意解答过程：选项A ，规定前进为正，则后退为负，前进－18m 表示后退18m ，故A 正确；选项B ，规定亏损为负，则收入－4万元表示亏损4万元，故B 正确；选项C 正确，盈利和亏损具有相反意义；选项D ，规定公元前为负，则公元－300年表示公元前300年，故D 错误.本题选D .

解题后的思考：只有一对具有相反意义的量才能用正数.负数来表示，此时，把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它意义相反的量为负，用负数表示.

例2：在下面四组数：①－3，2.3，14；②34，0，212；③113，0.3，7；④12，1

5，2中，三

个数都不是负数的一组是（ ）

A . ①②

B . ②④

C . ③④

D . ②③④

思路分析：

题意分析：对“不是负数”要有一个正确的理解，“不是负数”表示“是正数或0”. 解题思路：判断正.负数的关键是看它是否大于0，大于0的数是正数，正数前面添上“－”号是负数.

解答过程：在所给四组数中，②③④三组中的数都是“正数或0”，都不是负数，故选D .也可用排除法，“都不是负数”表示不能有负数，所以排除①.

解题后的思考：本题主要考查对数的分类，一定要注意：0既不是正数也不是负数.不是负数意味着是正数或0，本题易错选C ，漏掉只包含正数和0（都不是负数）的第②组.

例3：在一次数学测验中，小明得了75分，记为＋15分，张强和王东分别得了90分和55分，他们的成绩应怎样记呢？ 思路分析：

题意分析：小明得了75分，记为＋15分，说明他超出了标准15分，可知当考到60分时，记为0，超过60分的记为正，不足60分的记为负.

解题思路：张强得了90分，与60分相比，超出30分，记为＋30分；王东的成绩是55分，与60分相比，少了5分，记为－5分.

解答过程：张强的成绩记为＋30分；王东的成绩记为－5分.

解题后的思考：在用正.负数表示具有相反意义的量时，通常规定某一数值为标准，超出（或不足）一方记为正时，则不足（或超出）的一方记为负，主要是看它们与标准的差距是多少. 小结：本题组主要考查正.负数的意义，学习时应注意以下几点：

1.一个数前面的“＋”.“－”可以看作是它的性质符号，“＋”号通常省略，“－”号不能省略.

2.思维误区：①只有带“＋”号的数是正数，②凡不带“－”号的数都是正数.

3.在利用正.负数解决实际问题时，要充分考虑数的实际意义，合理运用各种表达方式，如图示法可直观表达各数在具体问题中的意义.

知识点二：有理数的分类

例4：下列说法中正确的是（ ）

A . 有理数是指整数.分数.正有理数.零.负有理数这五类数

B . 一个有理数不是正数就是负数

C . 一个有理数不是整数就是分数

D . 以上说法都正确

题意分析：本题考查有理数的意义及分类方法.

解题思路：有理数的分类可按整数.分数分类（二分法），也可按正有理数.零.负有理数分类（三分法）.

解答过程：在选项A 中，把两种分类结果放在一起，分类重复，不正确；一个有理数可能

是正数，可能是负数，也可能是0，所以选项B 错误；有理数分为整数和分数，0包括在整数中，所以选项C 正确.

解题后的思考：（1）有理数的分类标准必须一致，即要么按二分法，分成整数和分数，要么按三分法，分成正有理数.零.负有理数，二者不能混为一谈；（2）无论按哪一种分类标准分类，都必须做到分类结果不重不漏，即任意一个有理数都一定属于某一类，并且只属于这一类.

例5：将下列各数填在相应的数的集合里.

－313，0，－2，7，115，73，－4

3，－3.14，＋8 848，－15%. 正整数集合{ …}； 负整数集合{ …}； 负数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非负数集合{ …}； 自然数集合{ …}. 思路分析：

题意分析：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，数的集合可以用椭圆形的圈表示，也可以用大括号表示，用这两种方法表示数时，若这个数集中有无数多个数时，要加“…”号. 解题思路：本题中的“非负数”是指正数和零；自然数是指正整数和零. 解答过程：正整数集合{7，＋8 848…}；

负整数集合{－2…}；

负数集合{－313，－2，－4

3，－3.14，－15%…}；

负分数集合{－313，－4

3，－3.14，－15%…}；

非负数集合{0，7，115，7

3，＋8 848…}；

自然数集合{0，7，＋8 848…}；

解题后的思考：（1）易将正整数集合和自然数集合混淆，0是自然数，0既不是正数也不是负数；（2）“非负数”指不是负数的意思，即正数和0；很多同学容易忽略掉0.

例6：下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请按要求设计方案：

（1）请在每个圈内填入5个数，其中有3个既是负数又是整数，这3个数应填在哪里？ （2）你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗？

负数集合整数集合

思路分析：

题意分析：本题是一道方案设计型的题目，主要考查有理数的分类.