2019年天津市高三第一次六校联考数学(理)试卷及答案
天津市部分区2019届高三上学期期末六校联考数学(理)试卷(含答案)
i 能被2整除？是否输出S结束1+=i i 否是4?i >开始0,1S i ==2018～2019学年度第一学期期末七校联考高三数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合}11{>-=x xA ，}3,2,0,1{-=B ，则B AC U ⋂)(=（ ）（A ）}2,1,0{ （B ）}2,0{ （C ）}3,1{-（D ）}3,2,1,0,1{-2．设R a ∈，直线062:1=++y ax l ，直线0)1()1(:22=-+-+a y a x l ，则“1-=a ”是“21//l l ”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3．设变量y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+≥010*******y x y x y x x ，则目标函数y x z +=2的最小值是（ ）（A ）-5 （B ）1 （C ）2（D ）74．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）（A ）7 （B ）14 （C ）30（D ）415．已知||2)(x x x f ⋅=,)5(log 3f a =，)4.0(5.0f b =，)5(log 2=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c b a >> （D ）b a c >>6．己知函数)0,0(sin )(>>=ωωA x A x f 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将)(x f 的图象向右平移31个单位长度，得到函数)(x g 的图象，则下列是函数)(x g 的单调递增区间的为（ ）S =S +2i -1S =S +2i -1（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,38 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,32 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,31 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡313,37 7．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线，交双曲线右支于点M ，若o MF F 4521=∠，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）2 （D ）58．定义域为R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+1-，当]2,0(∈x 时， ⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-=]2,1[,1)1,0(,2x x x x x x f ）（. 若(0,4]x ∈时，t x f tt -≤≤-3)(272恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） （A ）[]2,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知复数i iz -+=362(i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为___________.10．若二项式62133⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为m ，则dx x m⎰123=_____________.11．已知正方体1111D C B A ABCD -中，四面体11ACD B -的表面积为38，则该正方体的体积是_____________.12．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数，0>p ），其焦点为F ，顶点为O ，准线为l ，过点F 斜率为3的直线l '与抛物线C 交于点A （A 在x 轴的上方），过A 作l AB ⊥于点B ，若BOF ∆的面积为23，则p =_____________. 13．设,0,1>>b a 若,2=+b a 则ba 112+-的最小值为_____________. 14．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2==BC AB ，1=CD ，o BCD 120=∠，P ，Q 分别为线段BC和CD上的动点，且λ=，DC DQ λ61=，则⋅的最大值为_____________.三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 32)cos(=-B π，1=c ， A c B a sin 6sin =.（Ⅰ）求边a 的值； （Ⅱ）求)32cos(π+B 的值.16．（本题满分13分）某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作. 从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.（Ⅰ）设M 为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者a 但不包含男志愿者b ”，求事件M发生的概率.（Ⅱ）设X 表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.17．（本题满分13分）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，o DAB 90=∠，22===AD BC AB ，四边形EDCF 为矩形，2=DE ，平面⊥EDCF 平面ABCD . （Ⅰ）求证：DF ∥平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值； （Ⅲ）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为1414，求线段AP 的长. 18．（本题满分13分）设}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，公比大于0.已知11=b ，1232=+b b ，1)(462=+b a a ，3524a a b a -=.（Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设)2(11++=n n c n ，n n c c c c S 321⋅⋅=（*N n ∈）.（ⅰ）求n S ；（ⅱ）证明1112)1(121+=+⋅+-=-∑n nk k k k n kS b b （*N n ∈）19．（本题满分14分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为35，13||=AB .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线)0(:<=k kx y l 与椭圆交于N M ,两点，且点M 在第二象限. l 与AB 延长线交于点P ，若BNP ∆的面积是BMN ∆面积的3倍，求k 的值.20．（本题满分14分）已知函数1)(2---=bx ax e x f x，其中R b a ∈,，e ＝2.71828…为自然对数的底数. 设)(x g 是)(x f 的导函数.（Ⅰ）若1=a 时，函数)(x g 在0=x 处的切线经过点)1,1(-，求b 的值；（Ⅱ）求函数)(x g 在区间]0,1[-上的单调区间；（Ⅲ）若0)1(=-f ，函数)(x f 在区间)0,1(-内有零点，求a 的取值范围.天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高三数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1．B 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C 二、填空题（每小题5分，共30分）9．2 10．124 11．8 12．2 13．223+ 14．67三、解答题（共80分） 15．（本题满分13分） 【解析】（Ⅰ）由32)cos(=-B π，得32cos -=B ………………………………1分 1=c ，由A c B a sin 6sin =，得ca ab 6=，6=∴b ……………………3分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得015432=-+a a ，解得35=a 或3-=a （舍） 35=∴a …………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由32cos -=B 得 35sin =B ………………………………………………7分912cos ,9542sin -=-=∴B B ………………………………………………10分 1811543sin2sin 3cos2cos )32cos(-=-=+∴πππB B B …………………………13分 16．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）事件为M 的基本事件的总数为C610，事件M 包含基本事件的个数为48C ，则15421056)(61058===CC M P . …………………4分 （Ⅱ）由题意知X 可取的值为： 0,1,2,3,4. ……………………………5分则14121015)0(41046====CC X P ，2182108014)1(41036====CC C X P 732109024)2(41026====C C C X P ，3542102434)3(41016====CC C X P ， 2101)0(41044===CCX P ………………………………………………………10分因此X 的分布列为……………………………………… ………………………………………11分X 的数学期望是()()()()()()0011223344E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==58…13分17．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）证明：四边形EDCF 为矩形，CD DE ⊥，又平面⊥EDCF 平面ABCD ，平面 EDCF 平面ABCD =CD ，⊥ED 平面ABCD . …………………………………………………………1分取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则)0,0,1(A ，)0,2,1(B ，)0,2,1(-C ，)2,0,0(E ，)2,2,1(-F ， 设平面ABE的法向量),,(z y x m =，∵)2,2,1(--=，)0,2,0(=，由⎩⎨⎧=⋅=⋅00n n 得⎩⎨⎧==+--02022y z y x ，不妨设)1,0,2(=m，………3分又)2,2,1(-= ∴0202=++-=⋅m ，∴m⊥，……4分 又∵⊄DF 平面ABE ∴DF ∥平面ABE ． ……………………5分（Ⅱ）设平面BEF 的法向量),,(z y x n =∵)0,2,1(,)2,2,1(-=--=，由⎩⎨⎧=⋅=⋅00n n得⎩⎨⎧=+-=+--02022y x z y x ，不妨设)2,1,2(=n ， …………7分 ∴5525324||||,cos =+=⋅>=<n m n m n m，…………………………………………8分55,sin >=<∴n m∴平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值为55．…9分（Ⅲ）∵点P 在线段EF 上，设]1,0[,∈=λλ∴)2,2,1()0,2,1()2,0,1(λλλλ--=-+-=+=， ……………10分 又∵平面BEF 的法向量)2,1,2(=n，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ∴141444)1(3|42)1(2|||||,cos |sin 22++--++--=>=<=λλλλθn AP AP n， 01118452=-+∴λλ 0)1115)(13(=+-∴λλ，]1,0[∈λ ，31=∴λ ………………………………………………12分 ∴)2,32,34(-=，31424)32()34(22=++-=∴，∴AP 的长为3142.…13分 18．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， ∵11=b ，1232=+b b ，∴122=+q q ，∴21=q 或1-=q ， ∵0>q ，∴21=q ，∴1)21(-=n n b . …………………………………………3分 由1)(462=+b a a ，3524a a b a -=解得11=a ，1=d ：∴n a n=，1)21(-=n n b . …………………………………………………………5分（Ⅱ）设)2()1)(1()2(11+++=++=n n n n n n c n ，则 ………………………6分(ⅰ)2)1(2)2()1)(1(534442333122321++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=n n n n n n c c c c S n n…9分(ⅱ)1112)1(1212)1(2+++⋅+-⋅=⋅++=-k k k k k k k k k k k kS b b………………………11分113221112)1(121)]2)1(121()231221()221211[(++=+⋅+-=⋅+-⋅++⨯-⨯+⨯-⨯=-∴∑n n n nk k k k n n n kS b b1112)1(121+=+⋅+-=-∴∑n nk k k k n kS b b ………………………………………………………13分 19．（本题满分14分）【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为c 2，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+=133522b a a c 2,3==∴b a ， 所以，椭圆的方程为14922=+y x ． …………………………………………………3分（II ）设点M ),(11y x ，P ),(00y x ，由题意，010<<x x 且),(11y x N --由BNP ∆的面积是BMN ∆面积的3倍，可得||3||MN PN =， …………………5分 所以3=，从而),(3),(11110101y y x x y y x x ----=----， 所以)(31101x x x x --=--，即105x x =． ………………………………………6分易知直线AB 的方程为632=+y x ，由⎩⎨⎧==+kx y y x 632消去y ，可得2360+=k x …7分 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+kx y y x 14922消去y ，可得49621+-=k x ． …………………………9分 由105x x =，可得236+k 49302+-=k ，…………………………………10分 整理得0825182=++k k ，解得98-=k ，或21-=k ．………………………12分 当98-=k 时，090<-=x ，符合题意；当21-=k 时，0120>=x ，不符合题意，舍去．所以，k 的值为98-．…………………………………………………14分 20．（本题满分14分）【解析】（I ）1=a 时，b x e x g x--=2)(，2)(,1)0(-='-=xe x g b g∴切线斜率1)0(-='=g k ，切点坐标)1,0(b - ∴切线方程x b y -=--)1(∵切线经过点)1,1(-，∴1)1(1-=---b ∴1=b…………………………3分（II ）∵b ax e x g x --=2)( ∴a e x g x 2)(-='. ∵a e x g x 2)(-='在]0,1[-单调递增，∴]21,21[)(a a ex g --∈'021≥-a e，即e a 21≤时，0)(≥'x g ，所以)(x g 单调递增区间为]0,1[- …4分②当021≤-a ，即21≥a 时，0)(≤'x g ，所以)(x g 单调递减区间为]0,1[- ……5分③当2121<<a e 时，令0)(='x g ，得)0,1()2ln(-∈=a x ， 令0)(<'x g ，得)2ln(1a x <<-，令0)(<'x g ，得0)2ln(<<x a ， ∴函数)(x g 单调递减区间为)]2ln(,1[a -，单调递增区间为]0),2(ln(a 综上①②③可得：当e a 21≤时，)(x g 单调递增区间为]0,1[-； 当2121<<a e 时，)(x g 单调递减区间为)]2ln(,1[a -，单调递增区间为]0),2(ln(a ； 当21≥a 时，)(x g 单调递减区间为]0,1[- . …………………………7分（Ⅲ）由0)1(=-f 得：e a b 11-+=，)11(2)(ea ax e x g x-+--=∴…………8分由已知，设0x 为)(x f 在区间)0,1(-内的一个零点，则由0)0()()1(0===-f x f f 可知，)(x f 在区间)0,1(-上至少有三个单调区间． ∴)(x g 在区间),1(0x -内存在零点，在区间)0,(0x 内也存在零点. ∴)(x g 在区间)0,1(-内至少有两个零点． 由（II ）可知，当e a 21≤时，)(x g 在]0,1[-上单调递增，故)(x g 在)0,1(-内至多有一个零点，不合题意. 当21≥a 时，)(x g 在]0,1[-上单调递减，故)(x g 在)0,1(-内至多有一个零点，不合题意．∴2121<<a e ， …………………………………………………9分 此时)(x g 在区间)]2ln(,1[a -上单调递减，在区间]0),2(ln(a 上单调递增⎪⎩⎪⎨⎧><>-∴0)0(0))2(ln(0)1(g a g g ………………………………………………………10分 )11(2)(e a ax e x g x -+--= ea a a a g 11)2l n (2))2(ln(+--=∴令a t 2=，∵2121<<a e ∴11<<t e ，et t t a g 11ln 21))2(ln(+--= 令)11(11ln 21)(<<+--=t ee t t t t h t t h ln 21)(--=' ，令0)(>'t h 得et e 11<<；令0)(<'t h 得11<<t e ； ∴)(t h 在)1,1(e e 单调递增，在)1,1(e单调递减. ∴01111)1()(<-+=-+=≤e ee ee e h t h 在)1,1(e 恒成立.即0))2(ln(<a g 在21<a<2e时恒成立. …………………………………………12分∴由⎪⎩⎪⎨⎧><>-0)0(0))2(ln(0)1(g a g g 得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<<>+-012121021a e a e e a ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<->e a a ee a 1212121 ∴e a e 121<<-∴a 的取值范围是)1,21(ee -． …………………………………………………14分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a bc ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n n a n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；AB DC（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；ACDPE（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：x由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD===··． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得13326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a aFD PA FM PD ===··． 在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， ACD PEFM ABCDPEM又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+· 1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a a a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．。
【天津卷】2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)真题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.6 3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.2 6.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭A.2-B. D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考数学(理)试卷(含答案)
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 集合2{|ln(1)},{|24},x M y y x N x M N ==+=<则等于（ ）A ．[]0,2B.(0,2) C ．[0,2) D ．(]0,22. 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤+-0623063201y x y x y x ，则目标函数y x z 2-=的最大值为（ ）A ．3966-B.513- C ．2- D ．2 3.下列三个命题：①命题p ：2,0x R x x ∀∈+<，则p ⌝：2,0x R x x ∃∈+>； ②命题p ：112≤-x ，命题q ：011>-x，则p 是q 成立的充分不必要条件； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±； 其中真命题的个数为( )A ．0 B.1 C.2 D.3 4.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55.将函数cos26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos(2)3y x π=+的图象，则ϕ等于（ ）A ．3πB ．6πC ．2πD ．4π6.已知0.313log 0.6a =,121log 4b =,0.413log 0.5c =,则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ． b a c << B.c a b << C ．b c a << D ．a b c <<7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ∆的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =±B ．y = C．y x= D．y = 8. 已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，1()1g x =x+x -，则方程(())f g x a =的实根个数最多为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 若i z 21+=，且i z bi a -=⋅+8)(，则=⋅b a ． 10. 已知0=a sinxdx π⎰，则5ax ⎛+ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为 ． 11．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ．12．直线l ：12x at y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C：3)4πρθ=-+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l的距离为，则实数a = ．13.已知0>x ，0>y ，2是x 2与y4的等比中项，则yxx +1的最小值 ． 14. 在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45，高为m ， Q 为折线段B C D --上的动点，2AC AD AE += 设AE AQ ⋅ 的最小值为()f m ，若关于m 的方程()3f m km =-有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos )2(2c b a A c b b -+=-. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5a =，求b c +.16.（本小题满分13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含详解
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 （3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 （4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a（5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C)21(D) 772（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a（7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x（9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则 (A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2019年天津卷理科数学高考试题含答案#
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 63.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A. 5B. 8C. 24D. 295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C. 26.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A a c b << B. a b c << C. b c a <<D. c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2-B.C.D. 28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. []0,1B. []0,2C. []0,eD. []1,e第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题.9.i 是虚数单位，则51ii-+值为__________.10.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________. 11.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.12.设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.13.设0,0,25x y x y >>+=的最小值为______.14. 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在V ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 17.如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 18.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .20.设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案一、选择题：1.D2. D3. B4. B5. D6. A7. C8. C 8.∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤。
2019届天津市部分区高三联考一模数学(理)试题(解析版)
2019届天津市部分区高三联考一模数学（理）试题一、单选题1．若集合{}21A x x =<，{}02B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}01x x << B ．{}10x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}12x x -<<【答案】D【解析】先化简集合A ，再利用并集的定义求解即可. 【详解】集合{}{}2111A x x x x =<=-<<,{}02B x x =<<, ∴属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{}12A B x x ⋃=-<<，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果. 【详解】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =,() 2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值. 【详解】输入1,1n S ==， 第一次循环3,2S n ==； 第二次循环7,3S n ==； 第三次循环15,4S n ==； 第四次循环31,5S n ==， 退出循环，输出31S =,故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π= 【答案】D【解析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.6．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．108石 B ．169石C ．237石D ．338石【答案】A【解析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】256粒内夹谷18粒，∴米中含谷的频率为189256128=， 1536∴石中夹谷约为91536129108128⨯=⨯=（石）.故选A. 【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.7．已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C【解析】分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为53，利用排除法可得结果. 【详解】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.8．已知函数()y f x =的定义域为(),ππ-，且函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当()0,x π∈时，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()log 3a f π=,13log 9b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【解析】求出()'f x ,可得'2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，能确定()'f x 的解析式，分类讨论可确定()'f x 的符号，可得()f x 在()0,π上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log 32ππ、、的大小关系，结合函数()f x 的奇偶性与单调性可得结果.【详解】()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()''cos 2f x f x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()'2cos f x x x π=-，当2x π≤<π时，()2cos 0,'0x f x ≤>； 当02x π<<时，()2,2cos 2,'0x f x xπ><∴>， 即()f x 在()0,π上递增，()2y f x =+的图象关于2x =-对称，()2y f x ∴=+向右平移2个单位得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()y f x =为偶函数，()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，0log 1log 3log 1ππππ=<<=， 1103212πππ=<<<，即130log 32πππ<<<<，()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即b c a >>. 故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． .二、填空题 9．i 是虚数单位，若21aii++是纯虚数，则实数a 的值为_________. 【答案】2-【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，再利用纯虚数的定义求解即可. 【详解】()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a +-++-+==++-， 2i1i a ++是纯虚数， 202a +∴=且202a -≠，2a =-∴.故答案为2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）【答案】【解析】试题分析：由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.11．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 【答案】2π【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的，高为1的圆锥组成的组合体，利用圆锥的体积公式可得结果. 【详解】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体1，体积为212123ππ⨯⨯⨯=.故答案为2π. 【点睛】本题主要考查圆锥的性质、圆锥的体积公式的应用，考查空间想象能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.12．已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B两点，且AB ，则直线l 的斜率为_________.【答案】15±【解析】直线参数方程化为普通方程，圆方程化为标准方程求得圆心与半径，由AB ，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可.【详解】由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=， 设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得15k =±.故答案为15±. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13．若对任意的x ∈R ，不等式1221x x a --+≤-恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】(][)12-∞-⋃+∞，， 【解析】利用绝对值三角不等式求得12x x --+的最大值为3，解不等式213a -≥，即可得结果 【详解】()()12123y x x x x =--+≤--+=，∴要使1221x x a --+≤-恒成立，则213a -≥，213a -≥或213a -≤-， 即2a ≥或1a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][)12-∞-⋃+∞，，.故答案为(][)12-∞-⋃+∞，，.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点,E F 分别在边,AD DC 上，()12BE BA BD =+，13DF DC =，则BE BF ⋅=_________. 【答案】223【解析】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，求得,BE BF 的坐标，从而可得结果. 【详解】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系， 菱形边长为2，60ABC ∠=，()(()(1,0,0,,1,0,A B C D ∴-，()12BE BA BD =+E ∴为AD 的中点，1,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,333BF DC F ⎛=∴ ⎝⎭， 13315,,23BE BF ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，11522623BE BF ∴⋅=-+=.故答案为223. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，.（1）求的值； （2）求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）在中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果.【详解】（1）在中，根据余弦定理，，于是，解得或（舍去），故.（2）在中，，于是.根据正弦定理，得，.又为钝角，为锐角，即.从而，，.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,,,A B C D四所高校中选2所.（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（2）若甲必选A，记X为甲、乙、丙三名同学中选D校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）18；（2）43.【解析】（1）利用组合知识，由古典概型概率公式可得结果；（2）求出甲同学选中D高校的概率与乙、丙同学选中D高校的概率，判断X所有可能的取值为0,1,2,3，根据互斥事件的概率公式与独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】（1）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则()11133322244418C C C P M C C C ==. （2）甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲， 乙、丙同学选中D 高校的概率为：13241=2C P P C ==乙丙， X 所有可能的取值为0,1,2,3，∴，有()2111011326P X ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()22111151112323212P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()11111111112=111=3223223223P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()1111332212P X ==⨯⨯=;∴X 的分布列为∴()1511401236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB段DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】先利用线面垂直的性质证明直线PD ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量，求得()0,2,1QB =-，利用0QB AD ⋅=，且直线QB ⊄平面PDC 可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，()2,2,2PB =-，由cos<,15PB AH >==， 解方程可得结果.【详解】 （1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=， 又直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面. （2）()()2,2,2,=0,22PB PC =--，.设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量， 又()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =，∴ 1212123cos<,n n n n n n ⋅>==⋅ 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，又()2,2,2PB =-，又cos<,15PB AH>==，∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行、求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a a +=+（*N n ∈），3412a a +=.数列{}n b 为等比数列，且1223,b a b S ==. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)nn n n c a b =-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1341388n n n T +-=-⋅-. 【解析】（1）先得到数列{}n a 是以2为公差的等差数列，由3412a a +=求出首项，可得{}n a 的通项公式，由1223,b a b S ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】（1）由已知得：12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列.3412a a +=，121012a ∴+=，11a ∴=， 21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，12233,b a b S ===，2339b q S ∴===，3q ∴=， 3n n b ∴=.（2）由题意，得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，()()()()()23133353213nn T n ∴=⋅-+⋅-+⋅-+⋯+-⋅-， ()()()()()()23131333233213n n n T n n +∴-=⋅-+⋅-+⋯+-⋅-+-⋅-.上述两式相减，得()()()()()231432333213n n n T n +⎡⎤=-+-+-+⋯+---⋅-⎣⎦()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅- , ()1341388n n n T +-∴=-⋅- .【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆经过点离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据椭圆经过点，离心率，结合性质，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）直线的方程为， 代入椭圆方程整理得，求得的坐标为，求出,利用韦达定理化简可得，从而可得结果.【详解】（1）由在椭圆上，.①由已知得，又，.②②代入①解得.椭圆的方程为.（2）假设存在常数，使得向量共线，，即.由题意可设的斜率为，则直线的方程为，③代入椭圆方程并整理，得，设，则有，.④在方程③中令得，的坐标为.从而，，., ⑤④代入⑤得，又，.故存在常数符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 20．设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】 （1）()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=.从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数； 又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ⊂，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。
2019年天津市部分区高考一模数学试卷含参考答案（理科）
密……封……圈……内……不……能……答……题 密……封……圈……内……不……能……答……题 2019年天津市部分区高考一模数学试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1．（5分）若集合A＝{x|x2＜1}, B＝{x|0＜x＜2}, 则A∪B＝（ ） A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|1＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2} 2．（5分）若f（x）, g（x）均是定义在R上的函数, 则“f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）设变量x, y满足约束条件, 则目标函数z＝2x+y的最大值是（ ）A．2 B．3 C．5 D．74．（5分）阅读如图的程序框图, 运行相应的程序, 则输出S的值为（ ）A．7 B．15 C．31 D．635．（5分）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）, 则下列结论中错误的是（ ） A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮, 有人送来米1536石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得256粒内夹谷18粒, 则这批米内夹谷约为（ ）A．108石 B．169石 C．237石 D．338石7．（5分）已知离心率为的双曲线C：＝1（a＞0, b＞0）的左、右焦点分别是F1, F2, 若点P是抛物线y2＝12x的准线与C的渐近线的一个交点, 且满足PF1⊥PF2, 则双曲线的方程是（ ）A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝18．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π, π）, 且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称, 当x∈（0, π）时, f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f （x）的导函数）, 若a＝f（logπ3）, b＝f（log9）, c＝f（）, 则a, b, c的大小关系是（ ）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a二、填空题（本大题共6小题, 每小题5分, 共30分．)9．（5分）i是虚数单位, 若是纯虚数, 则实数a的值为 ．10．（5分）在（x2+）6的展开式中, 含x3项的系数为 ．（用数字填写答案）11．（5分）已知等边三角形的边长为2, 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ．12．（5分）已知直线l的参数方程是（t为参数）, 若l与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于A, B两点, 且|AB|＝, 则直线l的斜率为 ．13．（5分）若对任意的x∈R, 不等式|x﹣1|﹣|x+2|≤|2a﹣1|恒成立, 则实数a的取值范围为 ．14．（5分）已知菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝60°, 点E, F分别在边AD, DC上, ＝（）, ＝, 则＝ ．三、解答题（本大题共6小题, 共80分；解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤．）15．（13分）在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, a＝4, c＝3, cos A＝．（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求sin （2B +）的值．16．（13分）分）某中学的甲、某中学的甲、某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试乙、丙三名同学参加高校自主招生考试, 每位同学彼此独立的从A , B , C , D 四所高校中选2所． （Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢A 高校, 他必选A 校, 另在B , C , D 三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱, 因此他们每人在四所高校中随机选2所． （i ）求甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率；（ii ）记X 为甲、乙、丙三名同学中选D 校的人数, 求随机变量X 的分布列及数学期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中, 四边形ABCD 是正方形, 四边形ADPQ 是梯形, PD ∥QA , ∠PDA ＝, 平面ADPQ ⊥平面ABCD , 且AD ＝PD ＝2QA ＝2．（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ； （Ⅱ）求二面角C ﹣PB ﹣Q 的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上, 且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为, 求线段DH 的长．18．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n , 且a n +1＝a n +2（n ∈N *）, a 3+a 4＝12, 数列{b n }为等比数列, 且b 1＝a 2, b 2＝S 3． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝（﹣1）n a n •b n , 求数列{c n }的前n 项和T n ． 19．（14分）已知椭圆＝1（a ＞b ＞0）经过点P （﹣2, ）, 离心率e ＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F的直线（不经过点P且不与x轴重合）与椭圆交于A、B两点, 与直线l：x＝﹣3交于点M, 记直线P A, PB, PM的斜率分别为k1, k2, k3（k3≠0）, 则是否存在常数λ, 使得向量＝（k1+k2, λ）, ＝（k3, 1）共线？若存在求出λ的值；若不存在, 说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时, 试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时, 若对∀x∈（1, +∞）, 都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立, 求k的最大值．2019年天津市部分区高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1．（5分）若集合A＝{x|x2＜1}, B＝{x|0＜x＜2}, 则A∪B＝（ ）A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|1＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2} 【解答】解：∵集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1},B＝{x|0＜x＜2},∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．（5分）若f（x）, g（x）均是定义在R上的函数, 则“f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（x）和g（x）都是偶函数, 则f（x）•g（x）是偶函数, 即充分性成立, 当f（x）和g（x）都是奇函数时, 满足f（x）•g（x）是偶函数, 即必要性不成立, 即“f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”充分不必要条件,故选：A．3．（5分）设变量x, y满足约束条件, 则目标函数z＝2x+y的最大值是（ ） A．2 B．3 C．5 D．7【解答】解：作出变量x, y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z＝2x+y得y＝﹣2x+z,平移直线y＝﹣2x+z,由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时, 直线y＝﹣2x+z的截距最大,此时z最大．由, 解得, 即A（3, ﹣1）,代入目标函数z＝2x+y得z＝2×3﹣1＝5．即目标函数z＝2x+y的最大值为5．故选：C．4．（5分）阅读如图的程序框图, 运行相应的程序, 则输出S的值为（ ）A．7 B．15 C．31 D．63【解答】解：当n＝5时查询终止,则程序的功能是计算S＝1+2+22+23+24＝1+2+4+8+16＝31,故选：C．5．（5分）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）, 则下列结论中错误的是（ ） A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在区间（）上单调递减D．f（x+）的一个零点为x＝【解答】解：f（x）＝sin x+cos x＝．f（x）的一个周期为2π, 故A正确；f（x）的最大值为2, 故B正确；由＜x＜, 得＜＜π, ∴f（x）在区间（）上单调递减, 故C 正确； f （x +）＝,取x ＝时, 函数值为,故D 错误． 故选：D ．6．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮, 有人送来米1536石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得256粒内夹谷18粒, 则这批米内夹谷约为（ ） A ．108石B ．169石C ．237石D ．338石【解答】解：粮仓开仓收粮, 有人送来米1536石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得256粒内夹谷18粒, 这批米内夹谷约为：1536×＝108（石）．故选：A ．7．（5分）已知离心率为的双曲线C ：＝1（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别是F 1, F 2, 若点P 是抛物线y 2＝12x 的准线与C 的渐近线的一个交点, 且满足PF 1⊥PF 2, 则双曲线的方程是（ ） A ．＝1B ．＝1C ．＝1D ．＝1【解答】解：离心率为的双曲线C ：＝1（a ＞0,b ＞0）可得, 则,双曲线的一条渐近线方程为：4x ﹣3y ＝0, 抛物线y 2＝12x 的准线：x ＝﹣3, 可得P （﹣3, ﹣4）, 双曲线C ：＝1（a ＞0, b ＞0）的左、右焦点分别是F 1（﹣c , 0）, F 2（c , 0）,满足PF 1⊥PF 2, （3﹣c , 4）•（3+c , 4）＝0, 解得c ＝5, 则a ＝3；b ＝4； 舍去的双曲线方程为：＝1．故选：C ．8．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π, π）, 且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称, 当x∈（0, π）时, f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f （x）的导函数）, 若a＝f（logπ3）, b＝f（log9）, c＝f（）, 则a, b, c的大小关系是（ ）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣π, π）, 且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称,∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0, π）时, f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数）, f′（x）＝﹣f′（）cos x,令x＝, 则f′（）＝2,∴f′（x）＝﹣2cos x,当x∈时, ≥2, 2cos x≤2．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．当x∈时, ＞0, 2cos x≤0．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴x∈（0, π）时, f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴函数f（x）在x∈（0, π）时单调递增．∵a＝f（logπ3）, b＝f（log9）＝f（﹣2）＝f（2）, c＝f（）,∵0＜logπ3＜1＜＜2,∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：A．二、填空题（本大题共6小题, 每小题5分, 共30分．)9．（5分）i是虚数单位, 若是纯虚数, 则实数a的值为 ﹣2 ． 【解答】解：∵＝是纯虚数,∴,即a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．10．（5分）在（x 2+）6的展开式中, 含x 3项的系数为 20 ．（用数字填写答案） 【解答】解：由于（x 2+）6的展开式的通项公式为 T r +1＝•x 12﹣3r ,令12﹣3r ＝3, 解得r ＝3, 故展开式中x 3的系数是＝20,故答案为：20．11．（5分）已知等边三角形的边长为2, 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 2π ． 【解答】解：等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径,以1为高的两个圆锥的组合体,∴将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为： V ＝2×＝2π．故答案为：2π．12．（5分）已知直线l 的参数方程是（t 为参数）, 若l 与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于A , B 两点, 且|AB |＝,则直线l 的斜率为 ± ．【解答】解：根据题意, 直线l 的参数方程是（t 为参数）,圆的方程为x 2+y 2﹣4x +3＝0,若l 与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于A , B 两点,则有（t cos α）2+（t sin α）2﹣4t cos αx +3＝0, 变形可得t 2﹣4t cos αx +3＝0,则有t 1+t 2＝4cos α, t 1t 2＝3, 又由|AB |＝,则有（t 1+t 2）2﹣4t 1t 2＝16cos 2α﹣12＝3, 解可得cos 2α＝, 则有sin 2α＝,则有tan α＝±,则直线l 的斜率tan α＝±；故答案为：±．13．（5分）若对任意的x∈R, 不等式|x﹣1|﹣|x+2|≤|2a﹣1|恒成立, 则实数a的取值范围为 （﹣∞, ﹣1]∪[2, +∞） ．【解答】解：由|x﹣1|﹣|x+2|＝|x﹣1|﹣|﹣2﹣x|≤|（x﹣1）+（﹣2﹣x）|＝3,∴不等式|x﹣1|﹣|x+2|≤|2a﹣1|恒成立转化为|2a﹣1|≥3成立,即2a﹣1≥3或2a﹣1≤﹣3,可得a≥2或a≤﹣1,故答案为（﹣∞, ﹣1]∪[2, +∞）．14．（5分）已知菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝60°, 点E, F分别在边AD, DC上, ＝（）, ＝, 则＝ ．【解答】解：由＝（）, ＝, 可得点E为线段AD的中点, 点F 为线段DC的三等分点靠近点D处,由菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝60°, 得：||＝2, ∠ABD＝30°,则＝（）•（）＝﹣+＝×12﹣+×＝,故答案为：．三、解答题（本大题共6小题, 共80分；解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤．）15．（13分）在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, a＝4, c＝3, cos A ＝．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中, 由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A,又a＝4, c＝3, cos A＝,2b2+3b﹣14＝0,解得b ＝2；（Ⅱ）由cos A ＝﹣, 所以sin A ＝,由正弦定理得：,得sin B ＝, 又0,所以cos B ＝, 所以sin2B ＝2sin B cos B ＝, cos2B ＝2cos 2B ﹣1＝, 所以sin （2B +）＝+＝,故答案为：．16．（13分）分）某中学的甲、某中学的甲、某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试乙、丙三名同学参加高校自主招生考试, 每位同学彼此独立的从A , B , C , D 四所高校中选2所．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢A 高校, 他必选A 校, 另在B , C , D 三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱, 因此他们每人在四所高校中随机选2所． （i ）求甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率；（ii ）记X 为甲、乙、丙三名同学中选D 校的人数, 求随机变量X 的分布列及数学期望． 【解答】解：（I ）设甲、乙、丙三名同学分别选D 高校的概率为P i （i ＝1, 2, 3）． 则P 1＝P 2＝P 3＝,∴甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率P ＝＝．（II ）（i ）设乙、丙未选D 高校的概率都为：＝．∴甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率＝＝．（ii ）X 的取值为0, 1, 2, 3．P（X＝0）＝（1﹣）××＝,P（X＝1）＝+2×（1﹣）××＝,P（X＝2）＝++（1﹣）×＝．P（X＝3）＝×＝．∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P ∴数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．17．（13分）在如图所示的几何体中, 四边形ABCD是正方形, 四边形ADPQ是梯形, PD ∥QA, ∠PDA＝, 平面ADPQ⊥平面ABCD, 且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上, 且异面直线AH与PB所成角的余弦值为, 求线段DH的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形, ∴AB∥CD,∵四边形ADPQ是梯形, PD∥QA, AB∩QA＝A, CD∩PD＝D,∴平面ABP∥平面DCP,∵QB⊂平面ABQ, ∴QB∥平面PDC．解：（Ⅱ）以D为原点, DA为x轴, DC为y轴, DP为z轴, 建立空间直角坐标系, 则C（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, B（2, 2, 0）, Q（2, 0, 1）, ＝（2, 2, ﹣2）, ＝（0, 2, ﹣2）, ＝（2, 0, ﹣1）,设平面PBC的法向量＝（x, y, z）,则, 取y＝1, 得＝（0, 1, 1）,设平面PBQ的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, 2）,设二面角C﹣PB﹣Q的大小为θ, 由图形得θ为钝角,则cosθ＝﹣＝＝﹣,∴θ＝,∴二面角C﹣PB﹣Q的大小为．（Ⅲ）点H在棱PD上, 且异面直线AH与PB所成角的余弦值为,设DH＝t, 则H（0, 0, t）, A（2, 0, 0）, ＝（﹣2, 0, t）, ＝（2, 2, ﹣2）,∴|cos＜＞|＝＝＝,解得t＝, ∴线段DH的长为．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n, 且a n+1＝a n+2（n∈N*）, a3+a4＝12, 数列{b n}为等比数列, 且b1＝a2, b2＝S3．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设c n ＝（﹣1）n a n •b n , 求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）根据题意, 数列{a n }满足a n +1＝a n +2, 则数列{a n }是公差为2的等差数列,又由a 3+a 4＝12, 则a 3+a 3+d ＝12, 解可得a 3＝5, 则a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝2n ﹣1,又由数列{b n }为等比数列, 且b 1＝3, b 2＝1+3+5＝9, 则数列{b n }的公比为3, 则b n ＝3n ,（Ⅱ）根据题意, 由（Ⅰ）的结论, a n ＝2n ﹣1, b n ＝3n ,则c n ＝（﹣1）n a n •b n ＝（﹣1）n ×（2n ﹣1）×3n ＝（2n ﹣1）（﹣3）n ,则T n ＝1×（﹣3）+3×（﹣3）2+……+（2n ﹣1）（﹣3）n , ① ﹣3T n ＝1×（﹣3）2+3×（﹣3）3+……+（2n ﹣1）（﹣3）n +1, ② ①﹣②可得：4T n ＝﹣3+2[（﹣3）2+（﹣3）3+……（﹣3）n ]﹣（2n ﹣1）×（﹣3）n +1＝﹣×（﹣3）n ﹣1,变形可得：T n ＝﹣×（﹣3）n ﹣1．19．（14分）已知椭圆＝1（a ＞b ＞0）经过点P （﹣2,）, 离心率e ＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F 的直线（不经过点P 且不与x 轴重合）与椭圆交于A 、B 两点, 与直线l ：x ＝﹣3交于点M , 记直线P A , PB , PM 的斜率分别为k 1, k 2, k 3（k 3≠0）, 则是否存在常数λ, 使得向量＝（k 1+k 2, λ）, ＝（k 3, 1）共线？若存在求出λ的值；若不存在, 说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得,解得a 2＝6, b 2＝2, 故椭圆的方程为+＝1,（Ⅱ）假设存在常数λ, 使得向量＝（k1+k2, λ）, ＝（k3, 1）共线,∴k1+k2＝λk3,由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y＝k（x+2）, ①代入椭圆方程并整理得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6＝0设A（x1, y1）, B（x2, y2）, 则有x1+x2＝﹣, x1x2＝,在方程①中, 令x＝﹣3得, M（﹣3, ﹣k）,从而k1＝, k2＝, k3＝＝k+,∴k1+k2＝+＝+＝2k﹣•＝2k﹣×＝2k+＝2（k+）＝2k3, ∵k3＝k+≠0,∴k1+k2＝2k3．故存在常数λ＝2符合题意20．（14分）设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时, 试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时, 若对∀x∈（1, +∞）, 都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立, 求k的最大值．【解答】解：（I）f′（x）＝a﹣, （x＞0）．a≤0时, f′（x）＜0, 函数f（x）在（0, +∞）上单调递增．a＞0时, f′（x）＝, （x＞0）．则f（x）在（0, ）上单调递减, 在（, +∞）上单调递增．（II）a＝1时, f（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝, （x＞0）．则f（x）在（0, 1）上单调递减, 在（1, +∞）上单调递增．x＝1时, 函数f（x）取得极小值即最小值, f（1）＝﹣1．x→0+时, f（x）→+∞；x→+∞时, f（x）→+∞．∴函数f（x）存在两个零点．（III）当a＝1时, 对∀x∈（1, +∞）, 都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立,化为：4k＜lnx+＝g（x）,g′（x）＝+＝．令u（x）＝x﹣lnx﹣2, x∈（1, +∞）,u′（x）＝1﹣＞0, ∴函数u（x）在x∈（1, +∞）单调递增,u（3）＝1﹣ln3, u（4）＝2﹣2ln2,∴存在唯一的x0∈（3, 4）, 使得u（x0）＝0, 即x0﹣lnx0﹣2＝0,函数g（x）在（1, x0）内单调递减, 在（x0, +∞）内单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝lnx0+＝x0﹣2+＝x0+﹣1∈（, ）, ∵4k＜, k∈Z．∴k的最大值为0．注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上。
2019年天津市部分区联考2019届高三一模文科数学试题和理科数学试题及参考答案汇编
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C D B二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．17i 55z =−− 10．e11．4π3 12．(x −2)2+(y −1)2=13 13．2+2√2 14．200三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵cos A =63，∴sin A =√1−cos 2A =631=93− ……………2分 ∵B =A +2π，∴sin B =sin (A +2π)=cos A =63 . ………………………4分 由正弦定理，得332sin 33sin 63b A a B ⨯=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵B =A +2π，∴cos B =−sinA =33−. ……………………………………8分 ∴sin C =sin (A +B )=sinAcos B +cosAsinB 33661()33333=⨯−+⨯= ………………………11分 ∴cos2C =1−2sin 2C =27199−=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分 易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵∠PAD =90°，∴PA ⊥AD . …………1分又∵PA ⊥CD,CD ∩AD =D ， …………………2分∴PA ⊥平面ABCD . …………………………………3分又∵AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：取PA 中点N ，连接MN,BN .∵M,N 分别是PA,PD 的中点，∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵CD ⊥PA,CD ⊥AD,PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD . ……………………………………………………………9分 ∴∠CMD 为直线CM 与平面PAD 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，22PA =Q ,2AD = ,23PD ∴= ,3MD ∴=……11分 所以在Rt CMD ∆中，3tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为d ，134=112,a a a +=，∴2a 1+10=12，∴d =1，∴a n =2n −1. …………………………………4分 设等比数列{b n }的公比为q ，1225,b a b a ==，∴b 1=a 2=3，b 2=9，∴q =3，所以b n =3n . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得c n =(−1)n ∙a n ∙b n =(−1)n ∙(2n −1)∙3n=(2n −1)∙(−3)n . ……………………………………………………………8分 ∴T n =1∙(−3)+3∙(−3)2+5∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −1)∙(−3)n ，∴−3T n =1∙(−3)2+3∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −3)∙(−3)n +(2n −1)∙(−3)n+1. 上述两式相减，得4T n =−3+2∙(−3)2+2∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+2∙(−3)n −(2n −1)∙(−3)n+12112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n −+⋅−−−−+−−⋅−+ 1341=(3)22n n +−−⋅−. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +−=−⋅−. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分 解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y += …………………………………………………5分 （Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A −，设直线l 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k −. 由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++−=. 设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=−+−=. 2122821k x x k +=−+，21228421k x x k −⋅=+ …………………………………………7分∴2012214()221k x x x k =+=−+,2002242(2)(2)2121k k y k x k k k =+=−+=++， ∴0012OP y k x k ==−，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =−= . 所以，直线EM 方程为22y kx k =+ .直线AH 的方程为y =−k(x +2). ∴点42(,)33M k −− …………………………………………………………9分 ∴点M 到直线l:kx −y +2k =0的距离为22424|2|||33311k k k k d k k −++==++ . ∴2222121212241||=1||1()421k AB k x x k x x x x k ++−=++−=+. 22121||=||221k AP AB k +=+. ∴222244||||112133||=2221211APM k k k S AP d k k k ∆+=⋅⨯⋅=+++ ……………………12分 ∵23APM S ∆=，∴24||23213k k =+，解得22k =±. ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得f ′(x )=3x 2+2ax −b 2， …………………………1分由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与y −3=0平行，得(1)0f '= …………2分 即3+2a −b 2=0. ……………………………………………………3分 （Ⅱ）当 b =0时, f ′(x )=3x 2+2ax ，由f ′(x )=0知∆=4a 2≥0. ………………………………………………………4分 ①当a =0时，∆=0，f ′(x )≥0在R 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增. ……………………………………………6分 ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >0或23x a <−；由f′(x)<0，解得23a −<x <0. 函数f (x )在(−∞,23a −)和(0,+∞)上单调递增；在(23a −，0)上单调递减. 当a <0时，由f ′(x )>0，解得x >23a −或x <0；由f′(x)<0，解得0<x <23a −. 函数f (x )在(−∞,0)和(23a −,+∞)上单调递增；在(0，23a −)上单调递减. 8分（Ⅲ）当a=0,b=1时, f(x)=x3−x，由f(x)<x(e x+k)，得x3−x<x(e x+k)对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∵x>0,∴ x2−1<e x+k，∴ k>x2−1−e x在 x∈(0,+∞)恒成立. ……………………………………9分设 g(x)=x2−1−e x,(x>0).则g′(x)=2x−e x,令h(x)=2x−e x,则h′(x)=2−e x,由h′(x)=0，解得x=ln2. …………10分由h′(x)>0，解得0<x<ln2；由h′(x)<0，解得x>ln2.∴导函数g′(x)在区间(0,ln2)单增；在区间(ln2,+∞)单减，………………12分∴g′(x)≤g′(ln2)=2ln2−2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=−2，∴k≥−2. ……………………………………………13分故所求实数k的取值范围[−2,+∞). ………………………………………14分天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C D A C D二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．2− 10．20 11．π2 12．1515±13．(,1][2,)−∞−+∞U 14．322 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）在△ABC 中，根据余弦定理，A bc c b a cos 2222−+=， …………1分 于是014322=−+b b ， ……………………………………………………………3分 解得272−==b b 或（舍去）， 故2=b . …………………………………………5分 （Ⅱ）在△ABC 中，41cos −=A ，于是 415cos 1sin 2=−=A A . ……………6分 根据正弦定理，得B b A a sin sin =，所以815sin =B . …………………………8分 又A 为钝角，所以B 为锐角，即87sin 1cos 2=−=B B . ……………9分 从而32157cos sin 22sin ==B B B ，3217sin cos 2cos 22=−=B B B ， ……11分 所以64175216sin 2cos 6cos 2sin )62sin(+=+=+πππB B B . ……………13分 16．解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则1113332224441()8C C C P M C C C ==. ………………………………………………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）由已知得：甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲，…………………4分 乙、丙同学选中D 高校的概率为：1==2P P 乙丙，……………………………5分 所以甲同学选中D 高校且乙、丙都未选中D 高校的概率:1111=1-1-==32212P P P P ⨯⨯⨯⨯甲乙丙（）（）. …………………………………………7分 （ⅱ）易知，X 所有可能的取值为0,1,2,3, ………………………………………………8分所以，有2111(0)(1)326P X ==−−=（1）； 2211115(1)(1)1()2323212P X ==⨯−+−⨯⨯=（）； 1111111111(2)1(1)+(1)3223223223P X ==⨯⨯−+⨯−⨯−⨯⨯=（）； 1111(3)32212P X ==⨯⨯=； …………………………………………………11分 所以，X 的分布列为X 0 1 2 316 512 13 112……………………………………12分因此15114()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………13分 17．（Ⅰ）证明：因为平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ I 平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，AD PD ⊥，所以直线PD ⊥平面ABCD . ………………1分由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()0,0,0,(2,2,0),(0,2,0),D B C(2,0,0),(20,1),(0,0,2)A Q P ，. ………………………………………………2分依题意，易证：()2,0,0AD =−u u u r 是平面PDC 的一个法向量，又()0,2,1QB =−u u u r ，所以0QB AD ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线QB ⊄平面PDC ，所以//QB PDC 平面. ………………………4分（Ⅱ）解：因为()(2,2,2),0,2,2PB PC =−=−u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r 为平面PBC 的法向量，P则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即111112220220x y z y z +−=⎧⎨−=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =u r . ………………………………………………6分设()2222,,n x y z =u u r 为平面PBQ 的法向量，又因为()(2,2,2),2,0,1PB PQ =−=−u u u r u u u r ，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，即22222202220x z x y z −=⎧⎨+−=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =u u r ， ………………………………………………8分 所以23,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ， 又二面角Q PB C −−为钝二面角，故二面角Q PB C −−的大小为65π. ……………………………………………9分 （Ⅲ）解：设),0,0(h H （20≤≤h ），则(2,0,),AH h =−u u u r 又(2,2,2)PB =−u u u r ， 又1537,cos =><AH PB ，即1537432242=+⋅−−hh ， …………………11分 所以0242562=+−h h ，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为23. ……………………………………………………13分 18．解：（Ⅰ）由已知得：21=−+n n a a ，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列. ………………………………………………2分 ∵1243=+a a ，∴121021=+a ，∴11=a ，……………………………………3分 ∴12−=n a n . …………………………………………………………………………4分 设等比数列{}n b 的公比为q ，∵3221,3S b a b ===,∴2339b q S ===，∴3=q ，………………………………5分 所以n n b 3=. …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由题意，得n n n n n n n n n b a c )3()12(3)12()1()1(−⋅−=⋅−−=⋅−=， …………8分∴231(3)3(3)5(3)(21)(3)n n T n =⋅−+⋅−+⋅−++−⋅−L ，∴23131(3)3(3)(23)(3)(21)(3)n n n T n n +−=⋅−+⋅−++−⋅−+−⋅−L …9分 上述两式相减，得132)3()12(])3()3()3[(234+−⋅−−−++−+−+−=n n n n T Λ ………………10分112)3()12(31])3(1[)3(23+−−⋅−−+−−−⋅+−=n n n ……………………11分 1)3(21423+−⋅−−=n n ……………………………………………………12分 ∴1)3(81483+−⋅−−=n n n T . ……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由6(2,)3P −在椭圆上，所以224213a b+=. ① ……………………1分 由已知6=3e 得63c a =,所以2223c a = ………………………………………2分 又222c a b =− 所以223a b =. ② …………………………………………………4分②代入①解得226,2a b ==. 故椭圆C 的方程为22162x y +=. ……………………………………………………5分 （Ⅱ）假设存在常数λ,使得向量123(,),(,1)m k k n k λ=+=u r r 共线，所以123()10k k k λ+⨯−⨯= 即 123k k k λ+=. ……………………………7分 由题意可设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为(2)y k x =+， ③代入椭圆方程22360x y +−=并整理,得2222(31)121260k x k x k +++−=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有 2212122212126,3131k k x x x x k k −+=−=++. ④ ………………………………………9分 在方程③中令3x =−得,M 的坐标为(3,)k −−.从而12123126666333,,2213y y k k k k k x x −−−−====+++−. ………………10分 所以12121212116666(2)(2)33332222y y k x k x k k x x x x −−+−+−+=+=+++++12121246232()4x x k x x x x ++=−⨯+++⑤ ……………………………………11分 ④代入⑤得22122222124626631222()1262433343131k k k k k k k k k k k −+++=−⨯=+=+−−+++, 又3603k k =+≠,所以1232k k k +=. ………………………………………13分 故存在常数2λ=符合题意. …………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）因为()2ln (0)f x ax x x =−−>，所以11()ax f x a x x−'=−=. ……………………………………………………1分 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞恒成立，∴()f x 在(0,)+∞是单减函数. …………………………………………………2分 当0a >时，令()0f x '=，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，(),f x '()f x 随x 的变化情况如下表：x 1(0,)a1a 1(,)a +∞ ()f x ' -0 + ()f x单调递减 单调递增 由上表中可知，()f x 在1(0,)a 是单减函数，在1(,)a +∞是单增函数. …………3分综上，当0a ≤时， ()f x 的单减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单减区间为1(0,)a ，单增区间为1(,)a +∞. …4分（Ⅱ）当1a =时，由(Ⅰ)可知，()f x 在(0,1)是单减函数，在(1,)+∞是单增函数；又222211()0,(1)10,()40f f f e e e e=>=−<=−>. ………………………7分 所以221()(1)0,(1)()0f f f f e e ⋅<⋅<； 故()f x 在(0,)+∞有两个零点. …………………………………………………8分 （Ⅲ）当1,a k =为整数，且当1x >时，(41ln )()10k x x f x −−+−<恒成立⇔(41ln )2ln 10k x x x x −−+−−−<⇔13ln (ln ).4x k x x x <++ 令3ln ()ln (1)x F x x x x x =++>，只需min 1()()4k F x k Z <∈； ……………9分 又2222131ln 2ln ()()0x x x f x F x x x x x x−−−'=−+===， 由(Ⅱ)知，()0F x '=在(1,)+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在0(1,)x 上单减，在0(,)x +∞上单增； 所以0min 0000ln 3()()ln x F x F x x x x ==++ ()* ……………………………10分 又1ln 32ln 42(1ln 2)(3)0,(4)091616F F −−−''=<==>， 所以(3)(4)0F F ''⋅<，所以0(3,4)x ∈且002ln 0x x −−=，即00ln 2x x =−代入(*)式，得 0min 0000000231()()21,(3,4)x F x F x x x x x x x −==−++=+−∈. …………12分 而0011t x x =+−在(3,4)为增函数，所以713(,)34t ∈， 即min 1713()(,)41216F x ∈. 而713(,)(0,1)1216⊂，所以min 1()(0,1)4F x ⊂， 故所求k 的最大值为0. …………………………………………………………14分。
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高考数学精品复习资料2019.5高三六校联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U•柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2．已知正数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z )21()41(⋅=的最小值为（ ）A ．116B ．41C ．322D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知0,0>>y x ，112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A ．)4,2(-B ．)2,4(-C ．]4,2[-D ．]2,4[-5．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A ．455B ．355C ．255D ．556．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．16 B ．32 C ．48 D ．1447．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OB OA OP μλ+=),(R ∈μλ，且81=λμ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．223 B ．2 C ．332 D ．2 8．已知函数⎩⎨⎧-=22)(x x x f )0()0(<≥x x ， 若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．),2[+∞ B ．),2[+∞ C ．]2,0( D ．]3,2[]1,2[Y --第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．设Q P ,分别为直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 531541（t 为参数）和曲线C ：)4cos(2πθρ+=上的点，则PQ的最小值为 ．10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则31log (a 5＋a 7＋a 9)的值是 ．11．向平面区域Ω＝{(x ，y )|2π-≤x ≤2π，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos x 下方 的概率是 ．12．在平行四边形ABCD 中，N M ,分别是BC CD ,的中点，)1,3(,)2,1(==AN AM ，则=⋅AM AB ．13．如图，已知P A 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ． 若P A ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________．14．函数ax x x f -=ln )(在区间]3,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .（I ）求)(x f 的单调递增区间；（II ）求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为52,53,54，且各轮问题能否正确回答互不影响． （I ）求该同学被淘汰的概率；（II ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 17．（本题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？ 证明你的结论． 18．（本题满分13分）已知数列}{},{n n b a 的每一项都是正数，8,411==b a 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列)(*N n ∈（Ⅰ）求22,b a ；（Ⅱ）求数列}{},{n n b a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，都有3211111121<-+-+-n a a a Λ．19．（本题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，且椭圆经过点)1,0(-A （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如果过点)53,0(H 的直线与椭圆E 交于N M ,两点（点N M ,与点A 不重合），①若AMN ∆是以MN 为底边的等腰三角形，求直线MN 的方程；②在y 轴上是否存在一点B ，使得⊥，若存在求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分14分）设函数ax x x a x f 21ln )2()(++-=，x a xax x g ln )3(1)(-++=，R a ∈ （Ⅰ）当0=a 时，求)(x g 的极值； （Ⅱ）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数)(x F y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数)(x F y =图象上的点),(00y x M （其中2210x x x +=）总能使得)()(21x F x F -))((210'x x x F -=成立，则称函数具备性质“L”．试判断函数)()()(x g x f x F -=是否具备性质“L”，并说明理由．高三六校联考（一） 数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．1025-9； 10．－5； 11．2π； 12．310； 13．1077； 14．)1,33ln [e 三、解答题 15．(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x 当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ.(Ⅱ)当]2,0[π∈x 时，656ππ≤≤-x ，1)62sin(21≤-≤-πx所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为2116．2557251232582511=⨯+⨯+⨯=∴ξE 17．解：法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=设 1(,,)n x y z =v是平面BDE 的一个法向量，则由 1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r v u u u r v ，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩ 取1y =-，得1(1,1,1)n =-v ．∵1220PA n ⋅=-=u u u r v，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴u u u r v ，又平面平面 （II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-v 是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==u u u r v是平面DEC 的一个法向量．设二面角C DE B --的平面角为θ，由图可知>=<21,n n θ ∴33,cos cos 21>=<=n n θ 故二面角B DE C --的余弦值为33． （Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-=∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥u u u r u u u rg 假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλ，则(2,2,2)PF λλλ=-u u u r ，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=-u u u r u u u r u u u r由0PF DF •=u u u r u u u r 得22442(22)0λλλλ+--= ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE //PAPA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ．（II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线,Q BC ⊥CD∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, Q PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC ∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中,33cos ,26,,22=∠∴===BEC a BE a BC a CE 故二面角B DE C --的余弦值为33．（Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ． 在Rt PDB ∆中,PD a =，2BD a =，3PB a =，a PF 33=．所以在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 18．19．20．。