第二节双因素试验的方差分析

i 1 j 1
r
SA s
Xi X 2
i 1
s
SB r
X j X 2
j 1
21
r
由于 Xi 是水平 Ai 下的所有观察值的平均，所以 X i X 2
i 1
反映了
X1, X2, , Xr 之间的差异程度．这种差异是由于因素 A 的不同水平所引起的， 因此 SA 称为因素 A 的效应平方和，简称为因素 A 的平方和．同样
记作 A B ，称这个新因素 A 与 B 的交互作用．
11
可以证明，
r
r
i i r r r 0 ，
i 1
i 1
s
s
j j s s s 0 ，
j 1
j 1
rs
rs
r
s
ij
ij s i r j rs rs rs rs rs 0 ．
i1 j 1
平有显著性差异．
33
二、有交互作用的双 因素试验方差分析
34
在无交互作用时，对因素 A ， B 各水
平的每种组合只进行一次试验，即
t 1 ． 当 要 考虑 因 素 间的 交 互作 用 A B 时，在各水平组合下需要做重复试 验．设每种水平组合下试验次数均为 t
t 1 ．此时相对应的数学模型就是前述
31
S A 自由度： r 1 3 ，
SB 自由度： s 1 2 ，
SE 自由度： r 1s 1 6，
于是，
SA 64.5767
FA SE 3
3 5.4333
23.7707 ，
6
6
SB 64.5767
FB SE 2
2 5.4333
33.5376 ．
6
6
32
表 试验数据方差分析表
方差来源
B 铜含量
0.2%
0.4%
0.8%
Ti
A 试验温度
20 ℃
10.6
11.6
14.5
36.7
0℃
7.0
11.1
13.3
31.4
20 ℃
4.2
6.8
11.5
22.5
40 ℃
4.2
6.3
8.7
19.2
Ti
2
1346.89 985.96 506.25 368.64
T j
26
35.8
48
3207.74
① SE ~ 2r 1s 1；
2
②
当
H
0
A
为真时，
S
A 2
~ 2
r 1
，而且 S A 与 SE 相互独立，从而
SA
FA
r 1 SE
~ Fr 1,
r 1s 1
r 1s 1 ；
③
当
H
0
B
为真时，
SB
2
~ 2
s 1
，而且 SB 与 SE 相互独立，从而
SB
FB
r 1 SE
~ Fs 1,
r 1s 1
1 rs
r i 1
s
ij ，
j 1
i
1 s
s
ij
j 1
，
j
1 r
r i 1
ij
8
i i ， i 1, 2, , r j j ， j 1, 2, , s
ij ij i j ，
其中 称为总平均， i 称为因素 A 的第 i 个水平 Ai
的效应， j 称为因素 B 的第 j 个水平 B j 的效应．
2,
L,
s
r
s
i
1
i
0，
j
j 1
0.
上式就是无交互作用的双因素试验方差分析的数学模型16．
由上式可知，为判断 A 对试验指标的影响是否显
著，即等价于检验假设
H0 A : 1 2 r 0 ． 类似地，判断因素 B 对试验指标的影响是否显著，
即等价于检验假设
H0B : 1 2 s 0 ．
2 ij
T2 rs
1135.42 109.82 43
130.75 ，
30
SA
1 s
r
Ti
2
i 1
T2 rs
1 3207 .74 3
1 12
109 .82
64.5767
，
SB
1 r
s
Tj2
j 1
T2 rs
1 4261.64 1 109.82
4
12
60.74 ，
SE ST SA SB 130.75 64.5767 60.74 5.4333 ，
9
对于 ij 的上述表示式： ij ij i j ，
我们可以改写为
ij ij i j ij i j
其中 ij 反映了水平组合 Ai , Bj 对试验指
标的总效应．
10
在许多情况下，水平组合 Ai , Bj 的这种效应并不等
看作是取自正态总体 Xij ~ N ij , 2 中的容
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
5
B 因素 各水平 B1
A 因素 各水平
A1
X111, X112, , X11t
A2
X 211, X 212, , X 21t
B2
Bs
X121, X122, , X12t
X1s1, X1s2 , , X1st
17
为构造检验统计量，我们仿造单因素试验方差分析 的做法，记
X
1 rs
r i 1
s
X ij ，
j 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
X i
1 s
s
X ij
j 1
，
X
j
1 r
r i 1
X ij
，
18
r s
ST
X ij X 2
i 1 j 1
其中 ST 称为总离差平方和，简称为总平方和，
也称为总变差平方和．
19
X 221, X 222, , X 22t
X 2s1, X 2s2 , , X 2st
Ar
X r11, X r12, , X r1t
X r21, X r22, , X r2t
X rs1, X rs2 , , X rst
6
由于 X ijk k 1, 2, L , t 是取自总体 X ij 中的样本，则有
于水平 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 之和．我们把效应
ij 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 所得到差 ij
称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效应，简称交互
效应．在多因素试验中，通常把因素 A 与因素 B 对试验
指标的交互效应设想为某一新因素的效应．这个新因素
平方和
自由度
均方
F值
临界值
显著性
因素 A 64.5767
3
21.5256 23.7707 F0.01 3, 6 9.78
显著
因素 B
60.74
2
30.37
33.5378 F0.01 2, 6 10.92 显著
误差
5.4333
6 0.90555
总和
130.75
11
所以，拒绝 H 0 A ，认为试验温度的各个水平有显著性差异，拒绝 H 0B ，认为铜含量的各个水
j 1
0，
i 1
ij
j 1
0.
下面我们分两种情况来讨论双因素试验方差分析．
13
一、无交互作用的双 因素试验方差分析
14
如果因素 A 与因素 B 之间不存在交互作用，则
ij 0 ， i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ，
于是
ij i j
即每种水平组合 Ai , Bj 下的总体平均值 ij 可以看成是总
T
2 j
676
1281.64
2304
4261.64
29
解：
H0 A ：试验温度的各个水平无显著性差异；
H0B ：铜含量的各个水平无显著性差异．
rs
rs
X
2 ij
1135
.42
，T
Xij 109 .8 ， r 4 ， s 3 ．
i1 j 1
i1 j 1
所以， ST
r i 1
s j 1
X
的道理， SB 称为因素 B 的效应平方和，简称为因素 B 的平方和．
22
又由于
SE ST S A SB 这表明 S E 是从总离差平方和 ST 中扣 除因素 A ，B 的效应平方和 S A 和 S B
之后的残量，这一残量反映了随机误
差因素的影响，因此 SE 称为误差平
方和．
23
与单因素试验的方差分析的讨论相类似，可以证明以下结论：
r 1s 1；
24
为此，选取 FA ， FB 分别作为检验假设 H 0 A ， H 0B 的统计 量．按照假设检验的程序，对显著性水平 ，确定临界值
F r 1, r 1s 1 ，F s 1, r 1s 1 ．当 FA F r 1, r 1s 1 时，拒绝 H0A ， FB F s 1, r 1s 1时，拒绝 H0B ，
平均 与各因素水平的效应 i ， j 的简单迭加．
15
这时为研究因素 A ， B 对试验指标的影响是否显著，只
需要对每种水平组合 Ai , Bj 作一次试验，即 t 1的情
形．此时，模型可以写成如下形式：
X ij i j ij
ij
~
N
i 1,
0,
2
2, ，
L , r ; j 1, 且相互独立.
第二节 双因素试验的方差 分析
1
在上一节介绍了单因素试验的方差分析方法．然 而在许多问题中，还需对多个因素的影响进行分 析．例如，在制定农业增产的生产规划时，对种子 品种与肥料类型做出最优选择是首先要解决的问 题．实践中常发生这样的情况：采用最优的种子与 肥料类型，可能由于搭配得当而获得较高的亩产 量．因而不仅需要分别研究不同品种的种子和不同 类型肥料对亩产量影响，还需要研究各品种的种子 与各类型肥料的不同搭配对亩产量的影响，这便是 双因素试验的方差分析要研究的问题．更一般地， 对多因素试验的问题还需考虑多因素试验的方差分 析．以下我们仅介绍双因素试验的方差分析方法．
25
为清楚起见，将上述分析结果汇总成下表，称下表为无交互作用的双因素试验方差分析表．
表 无交互作用的双因素试验方差分析表
方差来源 平方和
自由度
均方
F值
临界值
显著性
因素 A
SA
r 1
SA
SA r 1
F r 1, r 1s 1
FA
因素 B
SB
s 1
SB
SB s 1
F s 1, r 1s 1
FB
误差
SE
j 1
T2
rs
SE ST SA SB 27
其中
s
Ti X ij ， j 1
rs
T X ij i 1 j 1
r
T j X ij ， i 1
28
例 1 试验某种钢不同的含铜量在各种温度下的冲击值 kgm cm2 ，其实测数据如下表，试在 0.01下
检验差异性是否显著？
表 某种钢的铜含量与不同温度下的冲击值表
i1 j 1
i 1
j 1
12
上式可以改写为
ij i j ij ，
于是我们得到双因素试验的方差分析模型：
Xijk i j ij ijk
ijk
~
i 1, 2,
N 0, 2 ，
, r ; j 1, 且相互独立.
2,
,
s;
k 1,
2,
,
t
r
s
rs
i
1
i
0，
j
的公式．
35
对此模型要检验的假设为
H0A : 1 2 r 0 ． H0B : 1 2 s 0 ．
将 ST 分解为
r s
ST
X ij X 2
i1 j 1
r s
Xij Xi X j X Xi X X j X 2
i1 j 1
r
s
X ij X i X j X 2 s r
Xi X 2 r s
Xj X 2
i1 j 1
i 1
j 1
r s
r 1s 1
SE
r
SE
1s
1
总和
ST
rs 1
26
SA
SB
其中 FA
r 1 SE
SA SE
， FB
s 1 SE
SB ． SE
r 1s 1
r 1s 1
为计算方便，常采用下列公式计算各偏差平方和．
ST
r i1
s j 1
X
2 ij
T2 rs
S A
1 s
r
Ti
2
i 1
T2 rs
SB
1 r
s
Tj2
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r
个不同的水平
A1, A2, , Ar ， 因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2, , Bs ．
在水平组合 Ai , Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
3
我们假定
X ij i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s
Xijk ~ N ij , 2 i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ，
可将上式改写成如下形式：
Xij ij ijk i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ; k 1, 2, , t
ijk ~ N 0, 2 各ijk相互独立
7
为进行统计分析，需将均值 ij 作适当分解，为此，令
rs
2
Xij Xi X j X Xi X 2
X ij X i X j X X j X
i1 j 1
i1 j 1
r s
2
Xi X X j X ．
i1 j 1
20
可以证明，上述平方和分解中交叉项均为 0．所以
其中
ST SE SA SB ，
r s
SE
X ij X i X j X 2
相互独立，且服从正态分布 N ij , 2 ，
也 就 是 说 ， 我 们 共 有 rs 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体
X ij ．此外，在假定每个水平组合 Ai , B j 下进行 t 次
独立重复试验，
4
试验结果用
X ijk k 1, 2, L , t
表示，我们把试验结果 X ijk k 1, 2, L , t