第二节双因素试验的方差分析
第四章双因素方差分析
ab
ab
2
(yi y)(yj y)2
(yi y)(yij yi yj y)
i1 j1
i1 j1
ab
2
(yj y)(yij yi yj y)
=0
i1 j1
=0
=0
可以验证三个的两两交叉项的累加和均为零
ab
(yiy)(yijyiyj y)
第四章 双因素方差分析
第一节 双因素无重复方差分析
一、数据描述
表4.1
B水 平
A水平 A1
A2
…
双因素无重复实验的典型数据
B1
B2
…
Bj
…
y11
y12
…
y1j
…
y21
y22
…
y2j
…
…
…
…
…
…
Ai
yi1
yi2
…
yij
…
…
…
…
…
…
…
Aa
ya1
ya2
…
yaj
…
…
y.j
y.1
y.2
y.j
…
Bb
yi.
y1b
ST
a
i1
b j1
yij2
T2 N
ab
T yij i1 j1
因素A总差分解:
ab
a
SA (yiy)2b (yiy)2
i1j1
i1
a
SAb (yi22yiyy2)
i1
a
a
a
SAb yi22by yib y2
所以 FB Fa(3,6).
02 第二节 双因素试验的方差分析
第二节双因素试验的方差分析在许多实际问题中，往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响. 例如，要同时考虑工人的技术和机器对产品质量是否有显著影响. 这里涉及到工人的技术和机器这样两个因素. 多因素方差分析与单因素方差分析的基本思想是一致的，不同之处就在于各因素不但对试验指标起作用，而且各因素不同水平的搭配也对试验指标起作用. 统计学上把多因素不同水平的搭配对试验指标的影响称为交互作用. 交互作用的效应只有在有重复的试验中才能分析出来.对于双因素试验的方差分析，我们分为无重复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复试验只需要检验两个因素对试验结果有无显著影响；而对等重复试验还要考察两个因素的交互作用对试验结果有无显著影响.内容分布图示★引言★无重复试验双因素方差分析★例1★例2等重复试验双因素方差分析★数学模型★数学模型的改进★偏差平方和及其分解★偏差平方和的统计特征★检验方法★例3★例4★内容小结★习题8-2内容要点：一、无重复试验双因素方差分析设因素A，B作用于试验指标。
因素A有r个水平A1，A2， ，Ar，因素B有s个水平B1，B2， ，Bs. 对因素A，B的每一个水平的一对组合（Ai，Bj），(i=1，2， ，r，j=1，2， ，s)只进行一次实验，得到rs个试验结果ijX，列于下表中表8-2-11. 假设前提与单因素方差分析的假设前提相同，仍假设： 1) ),(~2σμij ij N X ，2,σμij 未知，.,,1;,,1s j r i == 2) 每个总体的方差相同；3) 各ij X 相互独立，.,,1;,,1s j r i ==那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致，就是要检验各个总体的均值是否相等，故检验假设为：j rj j j A H ⋅====μμμμ 210: ,,,1s j =⋅====i is i i B H μμμμ 210: .,,1r i = 备择假设为不全相等。
双因素试验的方差分析
2
j 1
误差平方和： S
E
i 1
( x ijk X
ij
)
j 1 k 1
③计算自由度
SA的自由度：r－1 SB的自由度：s－1 SA×B的自由度： (r－1)(s－1) Se的自由度：rs(t －1)
ST的自由度：rst－1
(4) F检验
FA
S A /( r 1) S E /( rs ( t 1))
r
j 1 k 1
因素A的效应平方和： 因素B的效应平方和： A，B交互效应平方和：
S A B t
i 1 r
S A st ( X
S B rt ( X
j 1
i
X)
2
i 1 s
j
X )
2
r
s
(X
s
ij
X
t
i
X j X )
X 2 1 1 , X 2 1 2 , ..., X 2 1 t
A2 … Ar
x 221 , x 222 , ..., x 22 t
… … …
…
…
…
X rs 1 , X rs 2 , ..., X rst
X r 11 , X r 12 , ..., X r 1 t X r 2 1 , X r 2 2 , ..., X r 2 t
总和
ST
rs－1
（3）双因素无重复试验方差分析表 双因素无重复试验方差分析表 方差 来源 因素A
平方 和
SA
自由度
r－ 1
均方
SA SA r 1
交互作用双因子方差分析
st
xijk
j1 k 1
称为水平 Ai 下的样本均值；
x• j•
1 rt
r i1
t
xijk
k 1
称为水平 B j 下的样本均值。
r s t
考虑总变差平方和 ST 2 xijk x 2 的如下分解：
i1 j1 k 1
r s t
ST 2
xijk x 2
i1 j1 k1 rst
若 H01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然 不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于 SE
2
来说一定不应太大，倘若
SA2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
2
=
xijk xij• xi•• x x• j• x xij• xi•• x• j• x
i1 j 1 k 1
r s t
rst
rst
xijk xij• 2 xi•• x 2 x• j• x 2
i1 j1 k 1
i 1 j 1 k 1
第二节 双因素方差分析 PPT课件
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
行因素的均方，记为MSR，计算公式为
MSR SSR k 1
列因素的均方，记为MSC ，计算公式为
MSC SSC r 1
误差项的均方，记为MSE ，计算公式为
MSE SSE (k 1)(r 1)
分析步骤
(构造检验的统计量)
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
总体的简单随机样本
2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽
取的
3. 观察值是独立的
无交互作用的双因素方差分析 (无重复双因0
343
340
品牌2
345
368
363
330
品牌3
358
323
353
343
品牌4
288
280
298
260
地区5 323 333 308 298
数据结构
分析步骤
(提出假设)
• 提出假设
– 对行因素提出的假设为
• H0：m1 = m2 = … = mi = …= mk (mi为第i个水平的
平方和 自由度 误差来源
均方
(SS) (df) (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 SSR
MSR k-1 MSR
MSE
列因素 SSC
MSC r-1 MSC
MSE
误差
SSE (k-1)(r-1) MSE
总和 SST kr-1
双因素方差分析
(例题分析)
双因素试验方差分析
SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Aa
a b i 1 j 1
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：
i 1
a
i
0;
j 1
b
j
0; ij ~ N 0,
双因素试验方差分析课件
未来将结合其他统计方法，如回归 分析、聚类分析等，以更全面地揭 示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试 验，提高试验的可靠性和 准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试 验因素的影响，突出试验 因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验 结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验 结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个 因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素 对观测值的影响程度和显著性，得 出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据 是否符合正态分布和同方差性，以确 保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和 降低误差，对方差分析的结果产生积 极影响。
方差分析的步 骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设 条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进 行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提 出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个 因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验 设计，确保每个因素的每个水平都 被充分考虑。
数据收集
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
双因素方差分析课件
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
《双因素方差分析》课件
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
双因素方差分析方法
(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.
概率论-9.2 双因素试验的方差分析
65
A2
52
57
54
A3
60
71
39
A4
76
58
49
试在显著性水平 0.05下检验燃料不同水平之间及推
进器不同水平之间对射程有无显著影响．
2020年4月26日星期日
13
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解 将表 9.15 中的各数据均减去 58，得数据计算表 9-16. 由表 9-16，进而算得
ST
1042 02 12
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设因素 A 有 r 个水平 A1 ， A2 ， …， Ar ，因素 B 有 s 个水平 B1 ， B2 ，…， Bs ，这样因素 A 和因素 B 的各 水平有 r s 种搭配方式．对每种搭配相互独立地进行一 次试验，试验结果列表如下(见表 9-13)
因素 B
因素 A
B1
B2
L
Bs
A1
X 11
9.2 双因素试验的方差分析
一、问题的提出 二、平方和的分解 三、检验方法
2020年4月26日星期日
1
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一、问题的提出
B
A
B1
B2
A1
50 70
A2
40 60
表9-12(a)
无交互作用
B
A
B1
B2
A1
50 70
A2
90 60
表9-12(b)
有交互作用
2020年4月26日星期日
2
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绝 原 假 设 H 01 ， 否 则 就 接 受 H 01 ； 若
FB > F (s 1),(r 1)(s 1)，则拒绝原假设 H 02 ，否则就
双因素试验的方差分析
第二节 双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A 和B ，每个因素取两个水平.表9-7(b)表9-7（a ）中，无论B 在什么水平（B 1还是B 2），水平A 2下的结果总比A 1下的高20；同样地，无论A 是什么水平，B 2下的结果总比B 1下的高40.这说明A 和B 单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B 为B 1时，A 2下的结果比A 1的高，而且当B 为B 2时，A 1下的结果比A 2的高；类似地，当A 为A 1时，B 2下的结果比B 1的高70，而A 为A 2时，B 2下的结果比B 1的高30.这表明A 的作用与B 所取的水平有关，而B 的作用也与A 所取的水平有关.即A 和B 不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A 和B 的交互作用，记作A ×B .在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A 和B 的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标，因素A 有r 个水平A 1,A 2,…,Ar ,因素B 有s 个水平B 1,B 2,…,B s ,现对因素A ，B 的水平的每对组合(A i ,B j ),i =1,2,…,r ；j =1,2,…,s 都作t (t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8 ijk ij ijk ij 数.或写为⎪⎩⎪⎨⎧===+=.,,,2,1),,0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ijkijk ijk ij ijk t k N s j r j x εσεεμ (9.16) 记μ=111,r s ij i j rs μ==∑∑, 11si i j j s μμ∙==∑, i =1,2,…,r ,11rj ij i r μμ∙==∑, j =1,2,…,s ,,i i αμμ∙=-, i =1,2,…,r , j j βμμ∙=-, j =1,2,…,s ,ij ij i j γμμμμ∙∙=--+.于是 μij =μ+αi +βj +γij . (9.17)称μ为总平均，αi 为水平A i 的效应，βj 为水平B j 的效应，γij 为水平A i 和水平B j 的交互效应，这是由A i ,B j 搭配起来联合作用而引起的.易知1rii α=∑=0,1sjj β=∑=0，1riji γ=∑=0, j =1,2,…,s ,1sijj γ=∑=0, i =1,2,…,r ，这样（9.16）式可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=∑∑∑∑====.,,,2,1;,,2,1;,,2,1),,0(~,0,0,0,0,21111相互独立各ijkijk s j ij r i ij s j j r i i ijk ij j i ijk t k s j r i N x εσεγγβαεγβαμ (9.18) 其中μ,αi ,βj ,γij 及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A ，B 及交互作用A ×B 是否显著.要检验以下3个假设：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ ⎩⎨⎧=====.,,:,0:121113121103不全为零rs rs H H γγγγγγ 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记1111r s tijk i j k x x rst ====∑∑∑, 11tij ijk k x x t ∙==∑, i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ，111s ti ijk j k x x st ∙∙===∑∑, i =1,2,…,r ， 111r tj ijk i k x x rt ∙∙===∑∑, j =1,2,…,s ， S T =2111()r s tijk i j k x x ===-∑∑∑. 不难验证,,,i j ij x x x x ∙∙∙∙∙分别是μ,μi ·,μ·j,μij 的无偏估计.由 ()()()()i j k i j k i j i j i j i j x x x x x x x x x x x x∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙-=-+-+-+--+， 1≤i ≤r ,1≤j ≤s ,1≤k ≤t得平方和的分解式：S T =S E ＋S A ＋S B ＋S A ×B ， (9.19)其中S E =2111()rstijkij i j k xx ∙===-∑∑∑，S A =1()2ri i stxx ∙∙=-∑，S B =21()sj j rtxx ∙∙=-∑，S A ×B =211()rsij i j i j tx x x x ∙∙∙∙∙==--+∑∑. S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A ，B 的效应平方和，SA ×B 称为A ，B 交互效应平方和.当H 01:α1=α2=…=αr =0为真时，F A =[](1)(1)A ES S r rs t -- ~F (r -1,rs (t -1))；当假设H 02为真时，F B =[](1)(1)B ES S s rs t --~F (s -1,rs (t -1))；当假设H 03为真时，F A ×B =[](1)(1)(1)A BES S r s rs t ⨯--- ~F ((r -1)(s -1),rs (t -1)).当给定显著性水平α后，假设H 01，H 02，H 03的拒绝域分别为：(1,(1));(1,(1));(1)(1),(1)).A B A BF F r rs t F F s rs t F F r s rs t ααα⨯≥--⎧⎪≥--⎨⎪≥---⎩ (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算S T ，S A ，S B ，S A ×B ,S E . 记 T ···=111rstijki j k x===∑∑∑，T ij ·=1tijkk x=∑, i =1,2,…,r ; j =1,2,…,s ，T i ··=11s tijkj k x==∑∑, i =1,2,…,r ,T ·j ·=11rtijki k x==∑∑, j =1,2,…,s ,即有221112212212211,1,1,1,.r s tT ijk i j k r A i i s B j j r s A B ij A B i j E T A B A B T S x rst T S T st rst T S T rt rst T S T S S t rst S S S S S ∙∙∙===∙∙∙∙∙=∙∙∙∙∙=∙∙∙⨯∙==⨯⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎨=-⎪⎪⎪=---⎪⎪⎪=---⎩∑∑∑∑∑∑∑ (9.21) 例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg ·cm -2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A ），加速剂（B ）以及它们的交互作用（A ×B ）对抗牵拉强度有无显著影响.010203r =s =3, t =2， T ···,T ij ·,T i ··,T ·j ·的计算如表9-11.S T =22111,r s tijki j k T xrst∙∙∙===-∑∑∑=178.44， S A =2211r i i T T st rst∙∙∙∙∙=-∑=15.44，S B =2211s j j T T rt rst ∙∙∙∙∙=-∑=30.11，S A ×B =22111r s ij A B i j T T S S t rst∙∙∙∙==---∑∑ =2.89，S E =S T -S A -S B -S A ×B =130，得方差分析表9-12.由于F 0.10(2,9)=3.01>F A ,F 0.10(2,9)>F B ,F 0.10(4,9)=2.69>F A ×B ,因而接受假设H 01,H 02,H 03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（A i ,B j ）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.这时ij x ∙=x ijk ,S E =0,S E 的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A ，B 两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将S A ×B 取作S E ，仍可利用等重复的双因素试验对因素A ，B 进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式,112,0,0,~(0,),1,2,,;1,2,,,.ij i j ij r si j i j ij ijk x N i r j s μαβεαβεσε===+++⎧⎪⎪==⎪⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ 各相互独立 (9.22) 要检验的假设有以下两个：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ 记 1111111,,,r s s rij i ij j ij i j j i x x x x x x rs s r ∙∙=======∑∑∑∑平方和分解公式为：S T =S A +S B +S E ， (9.23)其中 22111(),(),r ssT ijA i i j j S xx S s x x ∙====-=-∑∑∑22111(),(),srsB j E ij i j j i j S r x x S x x x x ∙∙∙====-=--+∑∑∑分别为总平方和、因素A ，B 的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为α,当H 01成立时，F A =(1)AEs S S - ~F ((r -1),(r -1)(s -1))， H 01拒绝域为F A ≥F α((r -1),(r -1)(s -1)). (9.24)当H 02成立时，F B =(1)BEr S S - ~F ((s -1),(r -1)(s -1))， H 02拒绝域为F B ≥F α((s -1),(r -1)(s -1)). (9.25)得方差分析表9-14.例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg ·m ·cm ），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）01020.01A01F0.01（2,6）=10.92<F B,拒绝H02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.。
双因素试验的方差分析
设：
X ijk ~ N ij , 2 , i 1,2,, r, j 1,2,, s, k 1,2,, t ,
各
X ijk
独立， ij , 2 均为未知参数。或写成：
2 ijk ~ N 0, , 各 ijk 独立 i 1,2,, r , j 1,2,, s, k 1,2,, t.
双因素试验的方差分析
影响试验结果的因素不止一个，要用双因素
或 多因素的方差分析；
确定哪些因素是主要的，它们对试验结果的
影响是否显著； 它们之间是否有交互作用。
（一）双因素等重复试验（有交互作用）的方差分析设有两个因
素A，B作用于试验的指标。 因素A有r个水平
因素B有s个水平
A1 , A2 ,, Ar
X . j.
1 r t X ijk , j 1,2,, s. rt i 1 k 1
总偏差平方和（称为总变差）
ST X ijk X .
2 i 1 j 1 k 1 r s t
ST写成：
S T X ijk X
i 1 j 1 k 1 s t r
1 1319 .82 2 2 2 S A B 110.8 91.9 90.1 2 24 S A S B 1768 .69250 , S E ST S A S B S A B 236.95000 .
得方差分析表如下：
表9.11 例1的方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值
A1 A2
X 121 , X 122, , X 12t
…
X 211 , X 212, X 221 , X 222, , X 21t , X 22t
双因素方差分析
1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明： 构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水 平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),
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33
二、有交互作用的双 因素试验方差分析
34
在无交互作用时，对因素 A ， B 各水
平的每种组合只进行一次试验，即
t 1 ． 当 要 考虑 因 素 间的 交 互作 用 A B 时，在各水平组合下需要做重复试 验．设每种水平组合下试验次数均为 t
t 1 ．此时相对应的数学模型就是前述
j 1
0，
i 1
ij
j 1
0.
下面我们分两种情况来讨论双因素试验方差分析．
13
一、无交互作用的双 因素试验方差分析
14
如果因素 A 与因素 B 之间不存在交互作用，则
ij 0 ， i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ，
于是
ij i j
即每种水平组合 Ai , Bj 下的总体平均值 ij 可以看成是总
25
为清楚起见，将上述分析结果汇总成下表，称下表为无交互作用的双因素试验方差分析表．
表 无交互作用的双因素试验方差分析表
方差来源 平方和
自由度
均方
F值
临界值
显著性
因素 A
SA
r 1
SA
SA r 1
F r 1, r 1s 1
FA
因素 B
SB
s 1
SB
SB s 1
F s 1, r 1s 1
FB
误差
SE
Xijk ~ N ij , 2 i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ，
可将上式改写成如下形式：
Xij ij ijk i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s ; k 1, 2, , t
ijk ~ N 0, 2 各ijk相互独立
7
为进行统计分析，需将均值 ij 作适当分解，为此，令
2 ij
T2 rs
1135.42 109.82 43
130.75 ，
30
SA
1 s
r
Ti
2
i 1
T2 rs
1 3207 .74 3
1 12
109 .82
64.5767
，
SB
1 r
s
Tj2
j 1
T2 rs
1 4261.64 1 109.82
4
12
60.74 ，
SE ST SA SB 130.75 64.5767 60.74 5.4333 ，
2,
L,
s
r
s
i
1
i
0，
j
j 1
0.
上式就是无交互作用的双因素试验方差分析的数学模型16．
由上式可知，为判断 A 对试验指标的影响是否显
著，即等价于检验假设
H0 A : 1 2 r 0 ． 类似地，判断因素 B 对试验指标的影响是否显著，
即等价于检验假设
H0B : 1 2 s 0 ．
1 rs
r i 1
s
ij ，
j 1
i
1 s
s
ij
j 1
，
j
1 r
r i 1
ij
8
i i ， i 1, 2, , r j j ， j 1, 2, , s
ij ij i j ，
其中 称为总平均， i 称为因素 A 的第 i 个水平 Ai
的效应， j 称为因素 B 的第 j 个水平 B j 的效应．
r 1s 1；
24
为此，选取 FA ， FB 分别作为检验假设 H 0 A ， H 0B 的统计 量．按照假设检验的程序，对显著性水平 ，确定临界值
F r 1, r 1s 1 ，F s 1, r 1s 1 ．当 FA F r 1, r 1s 1 时，拒绝 H0A ， FB F s 1, r 1s 1时，拒绝 H0B ，
① SE ~ 2r 1s 1；
2
②
当
H
0
A
为真时，
S
A 2
~ 2
r 1
，而且 S A 与 SE 相互独立，从而
SA
FA
r 1 SE
~ Fr 1,
r 1s 1
r 1s 1 ；
③
当
H
0
B
为真时，
SB
2
~ 2
s 1
，而且 SB 与 SE 相互独立，从而
SB
FB
r 1 SE
~ Fs 1,
r 1s 1
31
S A 自由度： r 1 3 ，
SB 自由度： s 1 2 ，
SE 自由度： r 1s 1 6，
于是，
SA 64.5767
FA SE 3
3 5.4333
23.7707 ，
6
6
SB 64.5767
FB SE 2
2 5.4333
33.5376 ．
6
6
32
表 试验数据方差分析表
方差来源
i 1 j 1
r
SA s
Xi X 2
i 1
s
SB r
X j X 2
j 1
21
r
由于 Xi 是水平 Ai 下的所有观察值的平均，所以 X i X 2
i 1
反映了
X1, X2, , Xr 之间的差异程度．这种差异是由于因素 A 的不同水平所引起的， 因此 SA 称为因素 A 的效应平方和，简称为因素 A 的平方和．同样
将 ST 分解为
r s
ST
X ij X 2
i1 j 1
r s
Xij Xi X j X Xi X X j X 2
i1 j 1
r
s
X ij X i X j X 2 s r
Xi X 2 r s
Xj X 2
i1 j 1
i 1
j 1
r s
17
为构造检验统计量，我们仿造单因素试验方差分析 的做法，记
X
1 rs
r i 1
s
X ij ，
j 1
X i
1 s
s
X ij
j 1
，
X
j
1 r
r i 1
X ij
，
18
r s
ST
X ij X 2
i 1 j 1
其中 ST 称为总离差平方和，简称为总平方和，
也称为总变差平方和．
19
T
2 j
676
1281.64
2304
4261.64
29
解：
H0 A ：试验温度的各个水平无显著性差异；
H0B ：铜含量的各个水平无显著性差异．
rs
rs
X
2 ij
1135
.42
，T
Xij 109 .8 ， r 4 ， s 3 ．
i1 j 1
i1 j 1
所以， ST
r i 1
s j 1
X
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r
个不同的水平
A1, A2, , Ar ， 因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2, , Bs ．
在水平组合 Ai , Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
3
我们假定
X ij i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s
r 1s 1
SE
r
SE
1s
1
总和
ST
rs 1
26
SA
SB
其中 FA
r 1 SE
SA SE
， FB
s 1 SE
SB ． SE
r 1s 1
r 1s 1
为计算方便，常采用下列公式计算各偏差平方和．
ST
r i1
s j 1
X
2 ij
T2 rs
S A
1 s
r
Ti
2
i 1
T2 rs
SB
1 r
s
Tj2
X 221, X 222, , X 22t
X 2s1, X 2s2 , , X 2st
Ar
X r11, X r12, , X r1t
X r21, X r22, , X r2t
X rs1, X rs2 , , X rst
6
由于 X ijk k 1, 2, L , t 是取自总体 X ij 中的样本，则有
看作是取自正态总体 Xij ~ N ij , 2 中的容
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
5
B 因素 各水平 B1
A 因素 各水平
A1
X111, X112, , X11t
A2
X 211, X 212, , X 21t
B2
Bs
X121, X122, , X12t
X1s1, X1s2 , , X1st
rs
2
Xij Xi X j X Xi X 2
X ij X i X j X X j X
i1 j 1
i1 j 1
r s
2
Xi X X j X ．
i1 j 1
20
可以证明，上述平方和分解中交叉项均为 0．所以
其中
ST SE SA SB ，
r s
SE
X ij X i X j X 2
的道理， SB 称为因素 B 的效应平方和，简称为因素 B 的平方和．
22
又由于
SE ST S A SB 这表明 S E 是从总离差平方和 ST 中扣 除因素 A ，B 的效应平方和 S A 和 S B
之后的残量，这一残量反映了随机误
差因素的影响，因此 SE 称为误差平
方和．
23
与单因素试验的方差分析的讨论相类似，可以证明以下结论：